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特殊平行四边形 学情评估试题
一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分）
1．下列命题正确的是（ ）
A. 正方形的对角线相等且互相平分
B. 对角互补的四边形是平行四边形
C. 矩形的对角线互相垂直
D. 菱形的四个内角都是直角
2．如图，在菱形中，，分别是，的中点，连接，若，则菱形的周长为（ ）
（第2题）
A. 16 B. 12 C. 8 D. 6
3．如图，要使平行四边形成为矩形，需要添加的条件是（ ）
（第3题）
A. B.
C. D.
4．如图，矩形的对角线和相交于点，过点的直线分别交和于点，，，，则图中阴影部分的面积为（ ）
（第4题）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
5．如图，已知，是正方形的对角线上的两点，，，则四边形的面积是（ ）
（第5题）
A. 8 B. 16 C. 32 D. 64
6．如图，四边形是正方形，延长到点，使，连接交于点，则（ ）
（第6题）
A. B. C. D.
7．如图，，，，分别为四边形四条边的中点，连接，，，得到四边形。有下列说法：
（第7题）
①四边形是平行四边形；
②当四边形为平行四边形时，四边形是菱形；
③当四边形为矩形时，四边形是菱形；
④当四边形为菱形时，四边形是矩形；
⑤若四边形是正方形，则四边形一定是正方形。其中正确的是（ ）
A. ①③④ B. ①②⑤ C. ①③④⑤ D. ②④⑤
8．勾股定理有着悠久的历史，1955年希腊发行了以勾股定理为背景的邮票（如图①）。如图②，在中， ，，，分别以，，为边向外作正方形，正方形，正方形，并按如图②所示作矩形，延长交于点，反向延长交于点，则矩形的面积为（ ）
（第8题）
A. 32 B. 16 C. 8 D. 49
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
9．如图，在中， ， ，是的中点，则_ _ _ _ _ _ 。
（第9题）
10．如图，在矩形中，点，分别在，上，。只需添加一个条件即可证明四边形是菱形，这个条件可以是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ （写出一个即可）。
（第10题）
11．如图，矩形在平面直角坐标系内，点的坐标为，则对角线的长为_ _ _ _ _ _ 。
（第11题）
12．如图，在矩形中，，，平分交于点，为的中点，则线段的长为_ _ _ _ 。
（第12题）
13．如图，在菱形中，，是上一点，过点作于点，点是上一点，过点作，分别交，于点，，，，则图中正方形有_ _ _ _ 个。
（第13题）
14．如图①是一个伸缩晾衣架，如图②是其侧面示意图。为衣架的墙体固定端，为固定支点，为滑动支点，四边形和四边形是菱形，且。点在上滑动时，衣架外延部分发生形变，其外延长度（点 和点 间的距离）也随之变化，形成伸缩效果。伸缩衣架为初始状态时，衣架外延长度为。当点向点移动时，外延长度为。如图③，当外延长度为时，和的间距长为_ _ _ _ _ _ _ _ 。
三、解答题（共5小题，共58分）
15．（8分）如图所示，在矩形中，，是对角线，过顶点作的平行线与的延长线相交于点，求证：是等腰三角形。
16．（10分） 如图，，分别平分的内、外角，过点作，的垂线，垂足分别为，。
（1） 求证：四边形是矩形；
（2） 当满足什么条件时，四边形是正方形？请说明理由。
17．（11分）如图，是菱形的一条对角线，点在射线上，点在平面内。请用尺规作图法将菱形补充完整。（保留作图痕迹，不写作法）
18．（14分）如图，四边形是平行四边形，连接，交于点，平分交于点，平分交于点，连接，。
（1） 求证：；
（2） 若四边形是菱形且，，求四边形的面积。
19．（15分）【问题提出】
如图①，在正方形中，点，分别在边，上，连接，，。，将绕点按顺时针方向旋转，点与点重合，得到。易证，从而得。
【实践探究】
（1） 在图①的条件下，若，，则正方形的边长是_ _ _ _ ；
（2） 如图②，在正方形中，点，分别在边，上，且。点，分别在，上，，连接，猜想三条线段，，之间满足的数量关系，并说明理由。
参考答案
1．【答案】A
2．【答案】A
3．【答案】B
4．【答案】A
5．【答案】B
6．【答案】A
7．【答案】A
8．【答案】D
9．【答案】
10．【答案】（答案不唯一）
11．【答案】
12．【答案】
13．【答案】3
14．【答案】
15．证明：四边形是矩形，
,。
又，
四边形是平行四边形。
。
又，。
是等腰三角形。
16．【答案】
（1） 证明：，分别平分的内、外角，
易得,即。
，，
，
四边形是矩形。
（2） 解：当满足时，四边形是正方形。
理由：是的平分线，，
。
又，
，。
又四边形是矩形，
四边形是正方形。
17．解：如图所示。
18．【答案】
（1） 证明： 四边形是平行四边形，
，，
。
平分，平分，
，
，
，。
，，，
，
，
四边形是平行四边形，
，。
（2） 解：由（1）知四边形是平行四边形，
。
四边形是菱形，
，，
四边形是菱形。
，
。
， 。
又，是等边三角形。
， ，
。
，
，。
在中，，
，解得，
， 四边形的面积。
19．【答案】（1） 12
（2） 解：三条线段，，之间满足的数量关系为。
理由如下：
如图，过点作，且，连接，，
则 。
。
四边形是正方形，
,， 。
又，
四边形是平行四边形。
。
。
在与中，
。
，。
， ，
。
又,,
,。
在中，由勾股定理，
得，。
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