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一元二次方程 学情评估试题
一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分）
1．下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A. B.
C. D.
2．一元二次方程的根为（ ）
A. B.
C. ， D.
3．已知方程，依据下表，它的一个解的范围是（ ）
2.5 2.6 2.7 2.8
0.19 0.44
A. B.
C. D.
4．若是关于的一元二次方程的一个解，则的值是（ ）
A. 35 B. 34 C. 33 D. 32
5．某数学兴趣小组四人以接龙的方式用配方法解一元二次方程，每人负责完成一个步骤，如图所示，老师看后，发现有一名同学负责的步骤是错误的，这名同学是（ ）
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
6．已知关于的一元二次方程，其中，在数轴上的对应点如图所示，则这个方程的根的情况是（ ）
（第6题）
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根 D. 无法确定
7．西安是世界四大古都之一，也是中国历史上建都朝代最多、影响力最大的古都。到西安旅游的人越来越多，据统计，西安某景点8月接待了国内外游客约200万人，预计10月该景点接待国内外游客约288万人，则该景点9月、10月两个月接待游客的月平均增长率为（ ）
A. B. C. D.
8．如图，在中， ，，点从点出发沿方向以的速度移动，同时点从点出发沿射线方向以的速度移动，点到达点时，点随之停止移动。当点，相距时，所需的时间为（ ）
（第8题）
A. B. C. D. 或
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
9．方程化成一般形式是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 。
10．若关于的方程的两根分别为和5，则的值为_ _ _ _ 。
11．关于的一元二次方程有实数根，则的值可以是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 。（写出一个即可）
12．如图，根据小丽与的对话，在深度思考后，给出的答案是_ _ _ _ 。
（第12题）
13．对任意实数，，定义一种新运算：，例如：，若，则的值为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 。
14．如图，在长为，宽为的矩形空地上修建如图所示的道路（图中的阴影部分），余下部分铺设草坪，要使得草坪的面积为，设道路的宽为，则_ _ _ _ 。
（第14题）
三、解答题（共6小题，共58分）
15．（8分）用适当的方法解下列方程：
（1） ;
（2） ；
（3） ;
（4） 。
16．（6分）已知关于的一元二次方程。
（1） 求证：对于任意实数，方程都有实数根。
（2） 当为何值时，方程的两个根互为倒数？
17．（7分）若0是关于的方程的根，求实数的值，并讨论此方程根的情况。
18．（10分） 如图，在打印图片之前，为确定打印区域，需设置纸张大小和页边距（纸张的边线到打印区域的距离），上、下、左、右页边距分别为，，，。若纸张大小为，考虑到整体的美观性，要求各页边距相等并使打印区域的面积占纸张面积的，则需如何设置页边距？
19．（13分）公安交警支队提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定。某头盔的进价为30元/个，经市场调查发现，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上每个头盔的售价每上涨1元，则月销售量将减少10个。
（1） 设实际售价定为元/个，则每个头盔盈利_ _ _ _ _ _ _ _ 元，月销售量为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 个；（用含 的代数式表示）
（2） 在尽可能让顾客得到实惠的情况下，该头盔的实际售价定为多少时，商家月销售利润达到10 000元？
20．（14分） 阅读材料：求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为 的形式。求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解；类似地，求解三元一次方程组，把它转化为二元一次方程组来解；求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解；求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验。各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想——转化，把未知转化为已知。
用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程。例如，一元三次方程，可以把它转化为，解方程 和，可得方程 的解。
（1） 【问题】方程的解是，_ _ _ _ _ _ ，_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ；
（2） 【拓展】用“转化”思想求方程的解；
（3） 【应用】如图，已知矩形草坪的长，宽，点在上，小华把一根长为的绳子一端固定在点，把绳子拉直并固定在点，再拉直，绳子的另一端恰好落在点处，求的长。
参考答案
1．【答案】A
2. 【答案】C
3．【答案】B
4．【答案】B
5．【答案】C
6．【答案】A
7．【答案】C
8．【答案】D
9．【答案】
10．【答案】3
11．【答案】2（答案不唯一）
12．【答案】1
13．【答案】或
14．【答案】1
15.【答案】
（1） 解：原方程变形为，
两边开平方，得。
所以，。
（2） 配方，得，
即。
两边开平方，得。
所以，。
（3） 这里,,。
因为，
所以，即,。
（4） 原方程变形为，
因式分解,得，
即,
所以或。
所以,。
16．【答案】
（1） 证明：在方程中，因为,
所以对于任意实数，方程都有实数根。
（2） 解：设方程的两个根分别为,，则。
因为方程的两个根互为倒数，
所以，解得。
所以当时，方程的两个根互为倒数。
17．解：因为0是关于的方程的根，所以,解得,。
①当时，原方程为。
因为，所以此方程有两个不相等的实数根。
②当时，原方程为,
解得。
所以此方程有一个实数根。
18．解：设上、下、左、右页边距均为，根据题意得，
整理得，
解得，（不合题意，舍去）。
答：需设置上、下、左、右页边距均为。
19．【答案】（1） ；
（2） 解：依题意，得
，
整理得，
解得，。
因为尽可能让顾客得到实惠，
所以。
答：该头盔的实际售价定为50元/个时，商家月销售利润达到10 000元。
20．【答案】（1） ；（两空可互换）
（2） 解：方程的两边分别平方，得，即，
所以，
所以或，
所以，。
当时，，
所以不是原方程的解。
当时，,
所以方程的解是。
（3） 因为四边形是矩形，
所以 ，。
设，则。
因为，，，
所以，
所以，
两边分别平方，得，
整理，得，
两边分别平方并整理，得，解得或。
当时，，不合题意，舍去，
经检验，是原方程的解，
所以的长为。
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