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2027年中考复习：综合实践题
一、解答题：本题共28小题，共224分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
1.本小题分
综合与实践
【背景】一个物体的重心，是物体所受重力的等效作用点每一个平面图形都有重心．
例如：
名称 线段 三角形 平行四边形 圆
图形
重心位置 中点 三条中线交点 对角线交点 圆心
【探究】“探究学习小组”发现：把一个平面组合图形分割成甲、乙两部分，建立平面直角坐标系，若甲、乙两部分的面积分别为，，重心分别为，，原图形的重心坐标为，则有，．
【应用】
尺规作图：如图，找出的重心保留作图痕迹，不写作法；
如图是组合图形中“”形薄板工件的横截面，请通过推理、计算确定它的重心位置结果精确．
【答案】点即为所求； “”形的重心坐标为
【解析】解：如图，点即为所求；
以为原点，，分别为轴，轴建立坐标系，连接，交于点，连接，交于点，
四边形为矩形，，，，
，，为 的中点，
，
，即；
四边形为长方形，，，
，为 的中点，
，
，即；
由题意可得：，，
，
，
“”形的重心坐标为．
分别作，的垂直平分线，得到，的中点，再作出两条中线的交点即为的重心；
根据矩形的性质并结合中点坐标公式计算求解“”形两部分的重心坐标；再求出、，结合，计算即可得解．
本题考查三角形的重心，掌握矩形的性质是解题的关键．
2.本小题分
项目式学习
日晷、圭表是我国古代先民的智慧结晶：日晷利用光影与刻度计量时辰如图，圭表凭借正午表杆影长测算节气如图某中学数学兴趣小组以“东莞地域下的古代计时工具”为主题开展项目式学习，请结合数学与地理知识解决以下问题．
【数据探究】
图是该小组制作的东莞日晷放置于地面的示意图，晷面与赤道平面平行，晷针与地轴平行已知东莞位于北纬，则晷面与地平面的夹角为______
图是该小组制作的圭表的示意图，圭为南北向水平标尺，表为垂直立竿已知为米，在夏至正午时用该圭表测得表的影长为米，冬至正午时表的影长为米，请结合参考数据，分别估算东莞夏至、冬至正午太阳光线与地平面的夹角测量误差忽略不计
【解决问题】
该小组观察发现：如图，冬至正午时，阳光从一栋南北朝向的教学楼顶射入，恰好射到大楼北侧一棵木棉树的顶部；春分正午时，阳光从该楼顶射入，恰好照射到树的根部已知春分日光线与该小组制作的晷面平行，若大楼与树干距离为米，请结合上述数据探究的内容，求出此树的高度假设树的高度变化忽略不计
【参考数据：，，，，】
【答案】 夏至时测量时光线与地平面夹角；冬至时测量时光线与地平面夹角 树的高度为米
【解析】解：晷面与地平面的夹角为，
故答案为：；
据题意可知：在中，，
故由参考数据估算得，，
在中，，
故冬至时测量时光线与地平面夹角；
过作于，如图所示：
由可知春分光线与地平面夹角为，
，且米，
，
故DE米，
由可知冬至光线与地平面夹角为，
，
米，
由条件可知，，
米，
故树的高度为米．
根据晷面与地平面的夹角为当地纬度，计算即可得出结果；
分别求出，的值，结合题意分析即可得出结果；
过作于，由可知春分光线与地平面夹角为，分别解直角三角形得出米，米，最后结合矩形的性质计算即可得出结果．
本题考查相似三角形的应用，正确进行计算是解题关键．
3.本小题分
阅读与思考
【探索发现】如图，小军用两个大小不同的等腰直角三角板拼接成一个四边形．
【抽象定义】以等腰三角形的一腰为边向外作等腰三角形，使该边所对的角等于原等腰三角形的顶角，此时该四边形称为“双等四边形”，原等腰三角形称为四边形的“伴随三角形”如图，在中，，，此时，四边形是“双等四边形”，是“伴随三角形”．
【问题解决】如图，在四边形中，，，求：
与的位置关系为：______；
______填“”，“”或“”；
【深度探究】如图，在中，将绕点逆时针旋转至，点恰好落在边上，求证：四边形是双等四边形；
【方法应用】如图，在等腰三角形中，，，，在平面内找一点，使四边形是以为伴随三角形的双等四边形，______．
【答案】平行 或或
【解析】【探索发现】，，，
，
，
；
，，
∽，
，
故答案为：平行；；
【深度探究】令，
由旋转得，，，，，
，
，则，
，
，
，
，
，
四边形为双等四边形；
【方法应用】作于点，
，，
，，
设，则：，
在中，，即，
解得：，
，，
若，时，，
若，时，
，
作于点，
，
，
，
若，时，如图，
，
∽，
，
，
．
综上所述，或或．
故答案为：或或．
【探索发现】根据等腰三角形的性质得出，从而可得；
证明∽可得结论；
【深度探究】根据双等四边形的定义进行证明；
分，或，或，三种情况讨论求解即可．
本题考查平行四边形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
4.本小题分
综合与探究
问题情境：如图，四边形是平行四边形，，，，是边上一点，，是边上的动点，连接，以为腰向上作等腰，，过点作于点．
猜想证明：如图，当点恰好落在边上时，判断四边形的形状，并说明理由；
拓展延伸：过点作于点．
如图，当射线恰好过点时，猜想与的数量关系，并说明理由；
连接，当恰好将线段分为：的两部分时，请直接写出的长．
【答案】四边形是矩形；理由如下：
，
，
设，则，
在中，，
由勾股定理，得：，
解得：，
，，，
四边形是平行四边形，
，即，
点在边上时，是边上一点，，
的最短距离为，
是边上的动点，，
只有当点与点重合，才能以为腰向上作出等腰，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形 ；理由如下：
如图，四边形是平行四边形，过点作交的延长线于点，则，
，，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
即；的长为或
【解析】解：四边形是矩形；理由如下：
，
，
设，则，
在中，，
由勾股定理，得：，
解得：，
，，，
四边形是平行四边形，
，即，
点在边上时，是边上一点，，
的最短距离为，
是边上的动点，，
只有当点与点重合，才能以为腰向上作出等腰，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形；
；理由如下：
如图，四边形是平行四边形，过点作交的延长线于点，则，
，，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
即；
的长为或理由如下：
设与交于点，分别过点，作的垂线，垂足分别为，，如图，
当时，过点作交于点，交于点，
，
，
由得，，
，
，
，
，
、，
≌，
，，
设，
，，
，
，
，
∽，
，
，
，
，
，
，
解得，即的长为；
如图，
当时，过点作交于点，交于点，
同理可得，≌，
，，
设，
，，
，
，
，
∽，
，
，
，
，
，
，
解得，即的长为，
综上所述，的长为或．
先由三角函数得出，得出的最短距离为，再由是边上的动点，，得出只有当点与点重合，才能以为腰向上作出等腰，证出四边形是平行四边形，进而即可得证；
证≌，得出，，可得，，再证，最后利用三角函数即可得解；
分和两种情况讨论即可得解．
本题属于四边形综合题，主要考查了解直角三角形，等腰三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质．
5.本小题分
根据题意，回答以下各题
【教材再现】如图，在正方形中，为边上一点，为延长线上一点，且求证：，；
【纵向探变】如图，在矩形中，，，是边上一点，将沿折叠得到，延长和交于若，求、的长；
【横向拓展】保持中，的大小不变，扭动矩形，使得，如图所示是边上一点且满足，点是延长线上一点，连接交射线于点，当线段与射线所夹的锐角为时，直接写出的值．
【答案】四边形是正方形，
，，
在和中，
，
≌，
，．
如图，延长交于点，
，，
，
，即 ， 的值为或
【解析】证明：四边形是正方形，
，，
在和中，
，
≌，
，．
如图，延长交于点，
，，
，
，即；
解：在矩形中，，，，且，
，
，．
的面积为：，
在中，由勾股定理：，
由折叠知，与关于对称，
垂直平分，
即，
凹四边形面积，
，
，
解得：，
综上所述，，；
解：的值为或理由如下：
如图，过点作交射线于点，
则，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
，
由同理可知，，，
，
，，
在直角三角形中，由勾股定理得：，
过点作，
当时，如图，，
，
，
∽，
，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
解得：，
，，
∽，
，
，
解得：，
；
当时，如图，，
，
，
，
∽，
，
，
，
同理可知：∽，
，
，
；
，，
∽，
，
，
，
．
综上所述，的值为或．
延长交于点，先利用正方形性质得到边相等、角相等，结合已知，证明和全等，可得；再通过角的等量代换，结合直角三角形内角关系证明；
先根据和的长度求出、的长度，在中用勾股定理求；再利用折叠性质得到垂直平分，结合凹四边形面积求的长；
过点作交射线于点，根据平行四边形性质得，由直角三角形性质得，得，得，由勾股定理得，，过点作，当时，当时，分两种情况，运用相似三角形的判定和性质解答，最终得的值为或．
本题属于四边形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，折叠的性质，平行四边形的性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形与相似三角形的性质．
6.本小题分
【问题背景】如图，在平行四边形纸片中，过点作直线于点，沿直线将纸片剪开，得到和四边形，如图所示．
【动手操作】现将三角形纸片和四边形纸片进行如下操作以下操作均能实现
将三角形纸片置于四边形纸片内部，使得点与点重合，点在线段上，延长交线段于点，如图所示；
连接，过点作直线交射线于点，如图所示；
【问题解决】
如图，填空：______；
如图，求证：≌；
以线段的中垂线为对称轴，将点翻折到点，若：：，求：的值．
【答案】 由题可知，≌，即≌，
，，
四边形为平行四边形，
，
，则，
，即是等腰直角三角形，
，
，，
，
，即是等腰直角三角形，
，，
，，
在和中，
，
≌
【解析】解：由题可知，≌，
，
，
，
四边形为平行四边形，
，
，
，
，
故答案为：；
证明：由题可知，≌，即≌，
，，
四边形为平行四边形，
，
，则，
，即是等腰直角三角形，
，
，，
，
，即是等腰直角三角形，
，，
，，
在和中，
，
≌；
解：如图，的垂直平分线交、、于、、，中点为，
由：：，不妨取，，
由知，即，，
，又垂直平分，
则、、分别为、、的中点，
，又中点为，
，，则，
又，
，又，
，
又，
∽，
，
又≌，即≌，
，，
，
，由知，
，
，
即：的值为．
根据平行四边形的性质和垂直的定义，等量代换即可求解；
根据平行四边形的性质和垂直的定义，易证和是等腰直角三角形，可得，，再利用“”即可证明；
根据题意作图，先确定、、为、、的中点，不妨取，，证明∽，得到，再利用勾股定理可得，进而得到：的值即可．
本题属于四边形综合题，主要考查了平行四边形的性质，垂直的定义，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形与相似三角形的性质．
7.本小题分
如图，在 中，点在边上，点关于直线的对称点落在 内，射线交射线于点，交射线于点，射线交边于点．
如图，当时，点在延长线上，求证：≌；
在的条件下，若，，求的长；
如图，当时，点在边上，若，求的值用含的代数式表示
【答案】证明：由折叠的性质得：，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
由三角形内角和定理得，，
，，
，
又，
≌
【解析】证明：由折叠的性质得：，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
由三角形内角和定理得，，
，，
，
又，
≌；
解：≌，
，
，
，
，，
≌，
，，
由折叠的性质得：，
四边形是平行四边形，
，，
∽，
，
，
，
，
；
解：如图，延长，交于点，
设，，
，，
，，
四边形是平行四边形，
，，
由折叠的性质得：，，
，即，
∽，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
由折叠的性质得：，
，
，
，
，
，
，
，
，
又，
∽，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
又，
∽，
．
由折叠的性质得：，，再结合平行四边形的性质可得，然后根据三角形内角和定理可得，即可求证；
根据全等三角形的性质可得，从而得到，可证明≌，从而得到，，再由折叠的性质得：，再根据∽，可得，即可求解；
延长，交于点，设，，证明∽得出，证明∽得出，证明∽得出，进而求得，根据得出∽，根据相似三角形的性质，即可求解．
本题属于相似形综合题，主要考查了折叠的性质，平行四边形的性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形与相似三角形的性质．
8.本小题分
【问题背景】
数学活动课上，同学们每人画了一个矩形，然后剪了一个直角三角形纸片并记为，，，将这个直角三角形纸片和矩形按图摆放，使两个图形的点重合，点在边上，点在边上，将直角三角形纸片绕点顺时针旋转，观察图形的变化，完成探究活动．
【特例探究】
如图，沙沙同学画的矩形恰好是正方形，连接，，则线段，的数量关系是______，位置关系是______；
【问题解决】
将图中直角三角形纸片绕点顺时针旋转，位置如图所示，连接，，中与的位置关系是否仍成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由；
【拓广探索】
如图，在矩形中，，在直角三角形纸片中，，将直角三角形纸片绕点顺时针旋转，当，，三点恰好依次在同一直线上时，求的长．
【答案】 中与的位置关系仍成立．
证明：如图，设与交于点，延长交于点．
因为四边形是矩形，
所以，
因为，
所以，即．
因为，
所以∽．
所以．
又因为，
所以，
所以，即．
所以中与的位置关系仍成立
【解析】解：如图，延长分别交、于点、，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，即，
故答案为：，；
中与的位置关系仍成立．
证明：如图，设与交于点，延长交于点．
因为四边形是矩形，
所以，
因为，
所以，即．
因为，
所以∽．
所以．
又因为，
所以，
所以，即．
所以中与的位置关系仍成立．
如图，连接．
因为四边形是矩形，
所以，．
因为，
所以，
所以．
在中，，，
所以，
所以．
同可证得∽，
所以，
所以．
所以．
由可知，
所以，
即，
整理，得，解得或舍去．
所以的长为．
延长分别交、于点、，根据题意证明≌，得到，，再结合对顶角相等和三角形内角和定理可得，可得；
令与交于点，延长分别交、于点、，证明∽，得到，再结合对顶角相等和三角形内角和定理可得，可得；
连接，利用勾股定理求出，同可证得∽，求出，由勾股定理可得出答案．
本题考查了矩形的性质及判定，勾股定理等，掌握综合知识是解题的关键．
9.本小题分
探究角度与线段比例之间的关系
如图，在中，，点在边上，且，连接并延长至点，使得，作交延长线于点，连接交于点记，．
【图形认识】求证：．
【引元关联】设，求关于的函数表达式．
【答案】【图形认识】证明：，
∽，
．
，
，
；
【引元关联】．
【解析】【图形认识】证明：，
∽，
．
，
，
；
【引元关联】解：，，
，．
，
∽，
．
【图形认识】根据，得出∽，根据相似三角形的性质，结合已知条件即可得证；
【引元关联】根据，得出∽，根据相似三角形的性质得出比例式，即可求解．
本题属于相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是熟练掌握相似三角形的性质．
10.本小题分
【概念理解】如果两条线段所在直线形成的夹角中有一个角是，且这两条线段长度相等，则称其一条线段是另一条线段的双关联线段，也称这两条线段互为双关联线段．
【问题解决】
在矩形中，对角线与交于点，若，且与互为双关联线段，则矩形的面积为______．
如图，在等边中，点、分别在边、的延长线上，且，连接、交于点，求证：线段与线段互为双关联线段．
如图，在边长为的等边中，点是边上的动点不与点、重合，连接，以为边作线段的双关联线段点与点在直线的同侧，连接、．
求线段长度的最小值；
当为直角三角形时，直接写出所有满足条件的的长．
如图，点在线段上，请在图中作线段的双关联线段要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法；作出一条即可
【答案】 是等边三角形，
，，
，，
．
在和中，
，
≌，
，
，，，
，
、交于点，
线段与线段互为双关联线段 ； 作法一：；作法二：；作法三：；作法四：
【解析】解：如图，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
，
，
故答案为：；
证明：是等边三角形，
，，
，，
．
在和中，
，
≌，
，
，，，
，
、交于点，
线段与线段互为双关联线段；
解：为边作线段的双关联线段，
，．
当最短时，也最短．
直线外一点到直线的距离垂线最短，
时，最短．
，
此时线段长度的最小值是；
以为边作线段的双关联线段，
，．
为直角三角形，
当时，为的斜边．
．
点是边上的动点不与点、重合，
．
故，
同理，
当时，由可知，，
，
；
解：以为顶点，任意长为半径画弧，与交于一点，再分别以交点、点为顶点，相同长为半径画弧，交于一点，连接点与交点，并在所画直线上取．
都以相同长为半径画弧，
点、、与交点可构成等边三角形，
或，
如图，线段即为所求．
作法一：；
作法二：；
作法三：；
作法四：．
根据矩形的性质可得，，则，可得，可得，由勾股定理得的长，可求矩形的面积；
由是等边三角形，得，，证明≌，可得，由外角和对顶角可得，可证明线段与线段互为双关联线段；
证明≌，则，由直线外一点到直线的距离垂线最短，可得线段长度的最小值；
分情况考虑为直角三角形时，求的长；
以为顶点，任意长为半径画弧，与交于一点，再分别以交点、点为顶点，相同长为半径画弧，交于一点，连接点与交点，并在所画直线上取，点、、与交点可构成等边三角形，则或，可得线段．
本题考查了全等三角形的性质及判定，尺规作图等，掌握综合知识是解题的关键．
11.本小题分
阅读与思考
下面是一篇数学小短文的一部分，请你认真阅读，并完成相应的任务．
利用对称作图
在平面几何中，我们经常需要根据条件用尺规作出满足特定几何关系的图形下面介绍一个有趣的作图问题：
问题呈现：已知：如图，点，是外的两点三点不共线，且求作：的直径，使得．
思路梳理：为解决这个问题，我们先画出目标图形的草图．
探索作法：如图，假设直径已经作出，且满足借助草图可发现，作图的关键是确定直径端点或在圆上的位置由圆的对称性想到，直径的端点，关于圆心对称，因此可以作点关于圆心的对称点，只要确定点，使，就可以得到．
作图步骤：
根据以上材料，解答下列问题：
推理解释：
由“思路梳理”中的分析过程可得，点与关于点对称，且为的直径请根据上述条件，借助图说明当时，；
实践操作：
在图中完成作图要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法；作出一种符合要求的直径即可．
【答案】点与关于点对称，
，
为直径，
，
在和中，
，
≌，
，
当时，成立 如图，线段即为所求．

【解析】证明：点与关于点对称，
，
为直径，
，
在和中，
，
≌，
，
当时，成立；
解：如图，线段即为所求．
利用点与关于圆心对称，是直径的性质，通过证明≌，得到；再结合已知，通过等量代换证得；
先作点关于圆心的对称点，再以，为基础，在圆上找到满足的点，连接并延长交圆于，则直径即为所求．
本题属于圆的综合题，主要考查了圆周角定理，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的作法，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的性质．
12.本小题分
【问题情境】折纸是一种许多人熟悉的活动，在数学活动课上，老师让同学们以“图形的翻折”为主题开展数学活动．
活动一：矩形可折叠
矩形纸片中，在边上取一点沿翻折，使点落在矩形内部处；再次翻折矩形，使与所在直线重合，点落在直线上的点处，折痕为翻折后的纸片如图所示．
活动二：折叠可得矩形
如图，将纸片沿中位线折叠，使点对称点落在边上，再将纸片分别沿等腰和等腰的底边上的高线，折叠，折叠后的三个三角形拼合形成一个矩形类似地，对多边形进行折叠，若翻折后的图形恰能拼合成一个无缝隙、无重叠的矩形，这样的矩形称为“叠合矩形”，如图和图．
【问题解决】
如图，的度数为______；
如图，若，，求的最大值；
平行四边形纸片还可以按图的方式折叠成一个叠合矩形，若，，请求出的长；
【问题拓展】
如图，一张矩形纸片通过活动一中的翻折方式得到四边形，其中的一边与矩形纸片的一边重合，，，，，请直接写出该矩形纸片较短边的长度______．
【答案】 或
【解析】解：如图，
由题意得：，，
，
，
，
，
故答案为：；
如图，
设，，则，
由知，
，
四边形为矩形，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
，
当时，有最大值为，
的最大值为；
设点的对应点为，点的对应点为，如图，
，矩形中，，，
，
，，
，
由折叠的性质得：，，
中，，
，
≌，
，
，
，
，，，
；
作出原矩形，连接，如图，
，，，
，
，
四边形为矩形，
，．
设，则，设，则．
，
．
，
，
．
，
∽，
，
，
，
，
，
矩形纸片较短边的长度为；
当为矩形的一边时，作出原矩形，如图，
设，则，设，
四边形为矩形，
，，，
，
．
，
．
，
，
∽．
，
，
．
，
矩形纸片较长边的长度为；
综上，矩形纸片较长边的长度为或．
故答案为：或．
利用折叠的性质和平角的意义解答即可；
设，，则，利用相似三角形的判定与性质求得与的函数关系式，再利用二次函数的最值解答即可得出结论；
连接，作于，的延长线于，利用相似求出，，证明出四边形为平行四边形，四边形为平行四边形得出即可；
作出原矩形，连接，利用勾股定理求得线段，设，则，设，则，利用相似三角形的判定与性质得到关于，的方程组，解方程组求得，值，再利用矩形的面积公式解答即可；当为矩形的一边时，作出原矩形，设，设，利用相似求出和即可；
本题主要考查了矩形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，二次函数的应用，函数的最大值，熟练掌握矩形的性质和折叠的性质是解题的关键．
13.本小题分
问题探究
如图，在中，，，，是内部的一个动点，且满足．
求证：；
用圆规和无刻度的直尺，在图中作出点的运动轨迹不写作法，保留作图痕迹，作图确定后必须用黑色的签字笔描黑；
线段的最小值为______；
问题解决
如图，某学校规划一块矩形劳动实践基地，用于班级种植，是两个工具房，分别在，边上，且，沿铺设一条运送通道，再从点铺设一条垂直于的小路，在点处修一个肥料存放点，点处是基地水房，为方便参加劳动实践的同学取水后能最快到达点处获取肥料，需要沿铺设一条小路，要求尽可能的短，已知，，直接写出的最小值工具房、肥料存放点、水房的大小均忽略不计
【答案】证明：，
，
即，
，
，
；如图，点的运动轨迹为以为直径的圆在内部的圆弧即为所求；

【解析】证明：，
，
即，
，
，
；
解：如图，点的运动轨迹为以为直径的圆在内部的圆弧即为所求；
解：由可知点的运动轨迹为以为直径的圆在内部的圆弧，
如图，记中点为，连接、，
则，当且仅当、、三点依次共线时取等，
，
，
在中，，，
由勾股定理得，
，
则线段的最小值为；
故答案为：．
解：存在最小值；理由如下：
如图，延长、相交于点，连接，点是的中点，作，
四边形为矩形，，，
∽，
，
，，
，
即，
解得：经检验，是分式方程的解，且符合题意，
，即，
动点的运动轨迹是以点为圆心，为直径的圆弧上，
以点为圆心，为直径作圆弧，连接，交圆弧于一点，即为点，此时的值最小，
在中，由勾股定理得：，
，
，
，
在中，由勾股定理得：，
，
在中，由勾股定理得：，
，
则存在最小值，最小值为．
等角转化即可得证；
以为直径画圆即可得解；
易得，当且仅当、、三点依次共线时取等，据此求解即可；
延长、相交于点，连接，点是的中点，作，以点为圆心，为直径作圆弧，连接，交圆弧于点，此时的值最小，利用相似三角形的判定和性质，易求，再根据勾股定理，得，则，利用垂径定理，得，最后根据勾股定理，求得，，计算即可．
本题属于四边形综合题，主要考查了三角形中位线定理，垂径定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质．
14.本小题分
【定义】在平面直角坐标系中，是函数图象上任意一点，纵坐标与横坐标的差“”称为点的“纵横差”函数图象上所有点的“纵横差”中的最大值称为函数的“最优纵横差”
【举例】已知点在函数的图象上，则点的“纵横差”为函数的图象上所有点的“纵横差”可以表示为当时，的最大值为，故函数的“最优纵横差”为．
【问题】根据定义，解答下列问题：
点的“纵横差”为______；
已知二次函数．
求证：无论取何值，该二次函数的“最优纵横差”为定值；
当时，此二次函数的“最优纵横差”为，求出的值；
若此函数的顶点记为点，它的“最优纵横差”对应的点记为点，点与点到直线的距离相等，直接写出的值______．
【答案】
，
，
，
，
无论取何值，该二次函数的“最优纵横差”为定值，定值为；的值为或；
【解析】解：点的“纵横差”为，
故答案为：；
证明：
，
，
，
，
无论取何值，该二次函数的“最优纵横差”为定值，定值为；
解：，
当时，有最大值，
当时，二次函数的“最优纵横差”为，不符合题意，舍去；
当时，，
解得：或舍；
当时，，
解得舍或；
综上，的值为或；
解：，
，
，
，
点与点到直线的距离相等，
点与点关于直线对称或，
当点与点关于直线对称时，，即，
解得；
当时，，
此时方程无解；
综上，的值为，
故答案为：．
根据题干中的“纵横差”的定义计算即可；
根据“最优纵横差”的定义可知，求得，推出无论取何值，该二次函数的“最优纵横差”为定值，定值为；
可知当时，有最大值，所以可得不在之内，所以或，分两种情况求的值；
先求得和，由点与点到直线的距离相等，得到点与点关于直线对称或，据此列式计算即可求解．
本题属于二次函数综合题，主要考查了反比例函数的图象和性质，二次函数的图象和性质，解答本题的关键是熟练掌握二次函数的性质．
15.本小题分
【定义】设一个钝角三角形的两个锐角为与，如果，那么我们称这个钝角三角形是单余三角形，这个锐角叫做单余角．
【性质】如图，若是单余三角形，且是单余角，即，，，为了探究其性质，小鸣根据定义中出现的，联想到直角三角形，于是过点作，交延长线于点，请你根据小鸣的分析，进行以下探究：
求证：∽；
求证：．
【判定】如图， 中，，，，点是对角线上一点，连接并延长交于点，若，求证：是单余三角形，且是单余角．
【应用】如图，中，，，，点为斜边上一点，连接，是单余三角形，过点作，点在下方，且，请直接写出的长．
【答案】若是单余三角形，且是单余角，，
，
即，
，
，
，
，
即，
，
，
∽；∽，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，，，
，∽，
，
在直角三角形中，由勾股定理得：，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
即，
，
即，
，
，
是单余三角形，且是单余角 或
【解析】证明：若是单余三角形，且是单余角，，
，
即，
，
，
，
，
即，
，
，
∽；
∽，
，
，
，
；
证明：四边形是平行四边形，
，，，
，∽，
，
在直角三角形中，由勾股定理得：，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
即，
，
即，
，
，
是单余三角形，且是单余角；
解：或理由如下：
如图，过点作于点，
在中，，，，
由勾股定理得：，
，
，
解得：，
，
，
由，得，，
是单余三角形时，或，
当时，如图，
过点作于点，有，
由同理可得∽，
，
即，
解得：经检验，都是分式方程的解且符合题意，
，
，
，
∽，
，
即，
解得：，
，
，，
∽，
，
即，
，
当时，如图，过点作的延长线于点，
，
设，则，
，
∽，
，
，
由同理可得∽，
，
，
即，
解得经检验，是分式方程的解，且符合题意，
，
，
在直角三角形中，由勾股定理得：，
，
解得：，
，
，，
∽，
，
即，
解得：经检验，是分式方程的解，且符合题意．
综上所述，或．
先推导出，，得到，，则，进而证明∽，即可解答；
根据相似三角形推导出，由，得到，即可解答；
先求出，，得到，推导出∽，得到，进而推导出，则是单余三角形，且是单余角；
过点作于点，先求出，，得到，，进而推导出当是单余三角形时，或，分类讨论：，，逐个分析求解即可．
本题属于相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理，单余三角形，三角形的面积，分类讨论是解答本题的关键．
16.本小题分
如图，在中，，，，过点作斜边的高，垂足为，设如图，第一象限被直线和直线分成四个区域．
求关于的函数解析式．
证明：且，观察并判断函数图象上的点在图第一象限的哪个区域．
请根据要求，探究题中求得的函数在第一象限内的图象与性质．
列表：备注：无理数四舍五入到
描点：在平面直角坐标系中图，先用铅笔描点、连线，确定无误后再用黑色水笔描图．
写出性质：观察图象，类比已学函数的研究方法，另外写出一条不同于性质的性质．
性质：该函数图象在第一象限．
性质：______．
在上取靠近点的四分点，以点为圆心，长为半径作弧，且与交于点已知当约为时，取得最大值据此，求关于的方程有两个不同的正数解时的取值范围端点值若为无理数则四舍五入到．
【答案】 在第二区域，理由如下：
方法一：从解析式说理，
，
，
，
，
，，
在第二区域；方法二：从几何图形性质说理，
中，直角三角形中，斜边长度大于任意直角边的长度，
；中，直角三角形中，斜边长度大于任意直角边的长度，
；，，
在第二区域；方法三：从几何图形性质说理，
直线外一点与直线上各点连接的线段中，垂线段最短；即，，
，，
在第二区域 随的增大而增大答案不唯一
【解析】解：，，，
，
，
；
证明：在第二区域，理由如下：
方法一：从解析式说理，
，
，
，
，
，，
在第二区域；
方法二：从几何图形性质说理，
中，直角三角形中，斜边长度大于任意直角边的长度，
；
中，直角三角形中，斜边长度大于任意直角边的长度，
；
，，
在第二区域；
方法三：从几何图形性质说理，
直线外一点与直线上各点连接的线段中，垂线段最短；
即，，
，，
在第二区域；
解：根据表格数据作图如下：
性质：随的增大而增大答案不唯一，
故答案为：随的增大而增大答案不唯一；
解：由，
，
，即，
已知约为时，取得最大值，
根据题表格时的数据，
又方程有两个不同正数解，
函数和有两个不同的交点，
结合图象可得：则，
．
利用勾股定理求出，再利用等面积法求解，即可解题；
根据无理数的估算推出，进而即可证明且，再根据不等式，结合图形判断，即可解题；
根据作图步骤描点、连线画出图象即可；
根据图象写出其不同于性质的性质，可从增减性、与坐标轴交点情况等分析；
利用线段的和差，结合方程，推出，再约为时，取得最大值，结合问中表格数据，求得其最大值，根据方程有两个不同正数解，推出函数和有两个不同的交点，结合图象分析求解，即可解题．
本题考查了函数的图象，函数的性质等，掌握综合知识是解题的关键．
17.本小题分
【概念定义】中国象棋棋盘上双方的分界处也称为“楚河汉界”，以“楚河汉界”比喻双方对垒的分界线，在平面直角坐标系中，为了对两个图形进行分界，对“楚河汉界线”给出如下定义：点是图形上的任意一点，点是图形上的任意一点，若存在直线：满足且，则直线就是图形与的“楚河汉界线”．
例如：如图，直线：是函数的图象与正方形的一条“楚河汉界线”．
【初步应用】在直线，，，中，是图函数的图象与正方形的“楚河汉界线”的有______填序号；
【深入探究】如图，第一象限的等腰直角的两腰分别与坐标轴平行，直角顶点的坐标是，若与的“楚河汉界线”有且只有一条，此时的半径为______；请求出此“楚河汉界线”的表达式；
【拓展延伸】正方形的边在轴上，其他三边都在轴的右侧，点是此正方形的中心，直线是函数的图象与正方形的“楚河汉界线”．
若，“楚河汉界线”有且只有一条时，求的值；
若存在“楚河汉界线”，请求出的取值范围．
【答案】 ；或
【解析】解：如图，
从图可知：与双曲线和正方形只有一个公共点，，与双曲线和正方形没有公共点，
，不在双曲线及正方形之间，
根据“楚河汉界线”定义可知，直线，是双曲线与正方形的“楚河汉界线”，
故答案为：；
如图，连接，以为圆心，长为半径作，作轴于点，过点作的切线，则．
，
，
即的半径为，
直线是与的“楚河汉界线”．
，
，
，
，
，
设直线的解析式为，
则，
解得，
与的“楚河汉界线”是；
故答案为：；
在中，
当时，；当时，；
正方形的边在轴上，其他三边都在轴的右侧，点是此正方形的中心，
，，，，
，“楚河汉界线”有且只有一条，
正方形在直线的左方，如图，
把代入，得，
解得：，
把代入，得，
解得：；
由得，
直线与抛物线有唯一公共点，
，
，
解得，
此时的“楚河汉界线”为，
当正方形在直线上方时，如图，
点是此正方形的中心，
顶点，
顶点不能在直线下方，
，
解得；
当直线经过点时，，
解得：，
当正方形在直线下方时，如图，
点是此正方形的中心，
顶点，
顶点不能在直线下方，
，
解得；
综上所述，的取值范围为或．
根据定义，结合图象，可判断出直线为或与双曲线及正方形最多有一个公共点；
先作出以原点为圆心且经过的顶点的圆，再过点作的切线，求出该直线的解析式即可；
把，代入，得，则，把代入，则；
先由抛物线与直线组成方程组，则该方程组有唯一一组解，再考虑直线与正方形有唯一公共点的情形，数形结合，分类讨论，求出的取值范围．
此题是二次函数综合题，考查一次函数、正方形的性质、一次函数的应用、二元二次方程组．一元二次方程的根的判别式等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
18.本小题分
如果从一个平行四边形的一个顶点向不过该顶点的对角线作垂线，垂线交平行四边形的边于另一点，且该点为所在边的三等分点，那么这个平行四边形叫做垂对三等分平行四边形，垂足叫做垂三等分点．
【理解应用】如图，在 中，于点，交于点，若为的三等分点，则 是垂对三等分平行四边形，是垂三等分点若，则______，______；
【问题探究】如图，在垂对三等分平行四边形中，是垂三等分点，且满足，若，试猜想与的数量关系，并说明理由；
【拓展延伸】如图，已知四边形是矩形，过点作于点，交于点，，当四边形是垂对三等分平行四边形时，直接写出的长．
【答案】 ；理由如下：
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
∽，
，
设，则，，
，
，
在中，由勾股定理得：，
，
，
，
，
的长为或
【解析】解：，，
，
四边形是平行四边形，
，，
∽，
，即，
，
，
在中，由勾股定理得：，
在中，由勾股定理得：．
故答案为：；；
；理由如下：
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
∽，
，
设，则，，
，
，
在中，由勾股定理得：，
，
，
，
，
；
的长为或理由如下：
分两种情况讨论：
如图，若，
在矩形中，，
∽，
，
设，则，，
，
，
在矩形中，，
，
，
∽，
，即，
解得或舍去，
，
在中，由勾股定理得：．
如图，，
在矩形中，，
∽，
，
设，则，，
，
，
在矩形中，，
，
，
∽，
，即，
解得或舍去，
，
在中，由勾股定理得：．
综上所述，的长为或．
由 得到，得到∽，根据相似三角形的性质即可求出根据勾股定理在中，求出，进而在中求出；
由 得到，得到∽，因此，设，则，，在中，根据勾股定理求得，进而有，，即可得到；
分两种情况讨论：若，则由∽，得到，设，则，，证明∽，得到，求得，即，在中，根据勾股定理即可求出；若，同思路即可求解．
本题属于四边形综合题，主要考查平行四边形与矩形的性质，平行四边形的性质，垂线定义，相似三角形的判定及性质，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键．
19.本小题分
综合与探究
问题情境：在中，，，点是直线上的一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段．
观察发现：
如图，当点是的中点时，连接，试判断四边形的形状，并说明理由．
独立思考：
如图，当点在线段上时，连接，过点作于点，过点作于点，猜想线段与的数量关系，并说明理由．
拓展延伸：
连接，过点作于点，连接若，，请直接写出线段的长．
【答案】四边形为正方形，理由如下：
，，点是的中点，
，，
将线段绕点逆时针旋转得到线段，
，，
，，
四边形为平行四边形，
，，
四边形为正方形 ；理由如下：
如图，连接，

将线段绕点逆时针旋转得到线段，
，，
，
，
，
又，
≌，
，，
，
，
，
，
，
又，，
点为的中点，
是的中位线，
，
或
【解析】解：四边形为正方形，理由如下：
，，点是的中点，
，，
将线段绕点逆时针旋转得到线段，
，，
，，
四边形为平行四边形，
，，
四边形为正方形；
；理由如下：
如图，连接，

将线段绕点逆时针旋转得到线段，
，，
，
，
，
又，
≌，
，，
，
，
，
，
，
又，，
点为的中点，
是的中位线，
，
；
的长度为或理由如下：
当点在右侧时，如图，连接，作，

将线段绕点逆时针旋转得到线段，
，，
，
，
，
又，
≌，
，，，
，，
，
，
，，，
，，
，
，
，
又，
为等边三角形，
，
，
，
，
，
，，
，
；
当点在左侧时，如图，连接，作，

将线段绕点逆时针旋转得到线段，
，，
，
，
，
又，
≌，
，，，
，，
，
，
，，，
，，
，
，
，
又，
为等边三角形，
，
，
，
，
，
，，
，
；
综上所述，的长度为或．
根据等腰三角形三线合一，得，，根据旋转得，，证得四边形为平行四边形，再根据一组邻边相等且一个内角为，即可求证．
连接，可知和为等腰直角三角形，根据手拉手的全等三角形模型，可证≌，得到，，再根据三角形的中位线，即可求解．
根据题意，可分为点在左侧和右侧两种情况，连接，作，可知和为等腰直角三角形，根据手拉手的全等三角形模型，可证≌，得到，根据和利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到，即可证为等边三角形，根据角度变换得到，解直角三角形，即可求解．
本题属于四边形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，解直角三角形，三角形的中位线，直角三角形斜边上点的中线，掌握手拉手的全等三角形模型是解题的关键．
20.本小题分
综合与实践：
【提出问题】
如图，在菱形中，，点是对角线上一动点，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，则的度数为______；线段与的数量关系为______．
【类比探究】
如图，在正方形中，点是对角线上一动点，且，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，当时，求的长．
【迁移运用】
如图，在矩形中，，，是对角线上一动点，连接，以为边在的右边作，且，，当点到的距离为时，求出的长．
【答案】 的长为
【解析】解：四边形是菱形，，
，，
，是等边三角形，
，
将绕点顺时针旋转得到，
，，
为等边三角形，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
故答案为：，；
如图，四边形是正方形，是对角线，过作于点，
，即是等腰直角三角形，
，，
将绕点顺时针旋转得到，
，，
是等腰直角三角形，
，，
，，
∽，
，
在中，，
，
；
在中，，则，
，
，
，
过作于，过作于，则，
在中，，
当在上方时，如图，
，
，
，
又，
∽，
，
，
；
当在下方时，如图，
同理，
；
综上所述，的长为．
结合菱形的性质以及等边三角形的判定和性质可证明≌，即可求解；
过作于点，证明∽，可得，即可解答；
过作于，过作于，则，在中，，然后分两种情况讨论：当在上方时，当在下方时，即可求解．
本题是四边形综合题，主要考查全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，旋转的性质，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，熟练掌握全等三角形与相似三角形的性质是解决问题的关键．
21.本小题分
定义：若一个点的纵坐标是横坐标的倍，则称这个点为二倍点，如点为二倍点．
【定义理解】
下列函数图象上存在二倍点的有______填序号
；
；
．
【定义应用】
已知二次函数．
求该函数图象上的二倍点；
直接写出不等式的解集；
【问题解决】
无人机在各行各业都有广泛应用某地利用无人机投放救灾物资，无人机投放物资包裹的竖直高度米与离投放点的水平距离米的关系为，当无人机在距地面米的空中投放物资包裹时，包裹落地点距投放点的水平距离为米，试判断该抛物线上是否存在二倍点，若存在，请联系以上情境说明该二倍点表达的实际意义．
【拓展提升】
若抛物线对于任意的常数恒有两个二倍点，求的取值范围．
【答案】 ，；或 该抛物线上存在二倍点，为，其实际意义为无人机在距地面米处投放物资包裹时，物资包裹落地点距投放点的水平距离为米
【解析】解：依据“二倍点”的定义可知：点的纵坐标是横坐标的倍，
二倍点在直线上，
把代入，得：，无解，
直线与直线平行且无交点，
故函数图象上不存在二倍点“；
把代入，得：，
解得：，
当时，得：；当时，得：，
双曲线上存在二倍点，；
把代入，得：，
整理得：，
解得：，
当时，得：，
抛物线上存在二倍点，
函数图象上存在二倍点的有，
故答案为：；
联立得：，
解得：或，
该函数的二倍点为，；
函数图象如图所示；
由图可知，不等式的解集为或；
该抛物线上存在二倍点，
无人机在距地面米的空中投放物资包裹时，包裹落地点距投放点的水平距离为米，
抛物线过点，
将代入，得：，
解得：，
，
令，
解得：或舍去，
此时，
该抛物线上存在二倍点，为，
其实际意义为无人机在距地面米处投放物资包裹时，物资包裹落地点距投放点的水平距离为米；
方法一：由题可知二倍点在直线上，
将代入，得：
，
整理，得：．
抛物线对于任意的常数恒有两个二倍点，
，对任意的常数恒成立，
即对任意的常数恒成立，
对于任意的常数恒有两个二倍点，
可设关于的方程无解，
，
解得：，即的取值范围为；
方法二：由题可知二倍点在直线上，
将代入，得：
，
整理，得：，
抛物线对于任意的常数恒有两个二倍点，
，对任意的常数恒成立，
即对任意的常数恒成立，
即，对任意的常数恒成立，
，
令，知是关于的二次函数，
且开口向上，知当时，有最小值且，
，
解得：．
由题可知二倍点在直线上，再逐个判断与是否有交点即可；
根据题意与联立求解即可判断；
根据中的二倍点直接写出解集即可；
先利用待定系数法求出，再与联立求解即可判断；
方法一：抛物线与联立，再两次运用二次方程根的判别式求解；方法二：同方法一，根据根的判定式得到，再参变分离求的范围．
本题属于二次函数综合题，主要考查待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，利用二次函数的图象解不等式，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．
22.本小题分
综合与探究
【问题背景】我们学习了三角形的中位线定理，借助三角形的中位线可构造一组相似三角形，如图，探索小组利用这个基本图形进行了探究活动，探究发现：若将它们绕公共顶点旋转，对应顶点连线的长度存在特殊的数量关系，请你和探索小组一起对此进行研究如图，在中，，，分别取，的中点，，作．
初步发现：如图，由三角形中位线构造∽，可知：______．
猜想探究：如图所示，将绕点逆时针旋转，连接，旋转过程中，线段和的长度存在怎样的数量关系？写出你的猜想，并证明．
结论应用：如图，当所在直线首次经过点时，求的长．
延伸思考：如图，在中，，，，分别取，的中点，作，将绕点逆时针旋转，连接，当边正好经过时，直接写出的长．
【答案】 猜想，证明如下：
点和点为分别为，的中点，
由图可知，，
，
即，
，，
，
，
根据旋转的性质可得：，
∽，
，

【解析】解：，，
，
点和点分别为，的中点，
，
，
故答案为：；
猜想，证明如下：
点和点为分别为，的中点，
由图可知，，
，
即，
，，
，
，
根据旋转的性质可得：，
∽，
，
．
由图可知点和点为分别为，中点，
，
∽，
，
如图，当所在直线经过点时，，
根据勾股定理可得：，
由可得：，
，
解得：；
令，相交于点，过点作于点，
根据题意可得：，
，
∽，
，，，
，
，
边经过的中点，，
，
，
∽，
，
，
根据旋转的性质可得，
，
，
，
，
．
根据勾股定理结合，，求出，根据点和点分别为，的中点，得出，即可求解；
根据中点的定义得出，进而得出，再求出，通过证明∽，即可得出结论；
根据题意推出当所在直线经过点时，，根据勾股定理可得，根据可得，即可求解；
令，相交于点，过点作于点，根据直角三角形斜边中线的性质得出，则，根据相似三角形的性质得出，进而推出，则，求出，则，即可解答．
本题主要考查了勾股定理，相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边中线的性质等，掌握其相关知识点是解题的关键．
23.本小题分
已知是自变量的函数，若对于函数图象上任意一点，将点沿水平方向向右平移个单位长度，沿竖直方向平移个单位长度为常数，向上平移时，向下平移时得到点，点始终在函数的图象上，则称是的步移关联函数，称为步移系数．
例如：函数，当步移系数时，对于图象上任意一点，向右平移个单位，再向上平移个单位得到点；令，则，代入纵坐标得：，即是当步移系数时的“步移关联函数”．
对于函数图象上任意一点，若步移系数；
写出点的纵坐标______ 用含的代数式表示；
求的“步移关联函数”的函数表达式；
在的条件下，若，过点作轴于点，过点作轴于点，连接，，当线段将四边形的面积分成：的两部分时，求的值；
已知函数，步移系数为常数，是的“步移关联函数”，设新函数：当时，；当时，．
当时，求函数当时的最大值和最小值；
当时，是否存在实数，使得直线与函数的图象有且只有个不同的交点，若存在，直接写出的取值范围；若不存在，请说明理由．
【答案】；
对于函数上任意一点，
点向右平移个单位再向下平移个单位得到点，
令，则，
代入点的纵坐标得：，
的“步移关联函数”的表达式为；
轴于，轴于，，，
，，，，且，
将四边形面积分为：两部分，
：：，即，
解得；
当时，对于上任意一点，
平移后得到点
令，则，

综上所述，新函数的表达式为：，
当时，，时，取得最小值；
时，得：；
时，得：
此范围内的最大值为，最小值为
当时，，
时，取得最小值，
时，取得最大值，
此范围内的最大值为，最小值为，
综上所述，在最大值为，最小值为；
存在实数，使得直线与函数的图象有且只有个不同的交点；的取值范围是．

【解析】【分析】
本题属于二次函数综合题，主要考查了平移的性质，新定义，二次函数的图象与性质，解答本题的关键是熟练掌握二次函数的性质．
先求出，根据平移的规律解答即可；
由步移关联函数的定义解答即可；
由题意得，，，，且，根据将四边形面积分为：两部分，得到：：，即可求解；
当时，先求出，新函数的表达式为：，即可求解；
由步移关联函数的定义，得，利用二次函数的性质画出示意图，即可解答．
【解答】
解：对于函数图象上任意一点，若步移系数，
，
点纵坐标：，
故答案为：；
见答案；
见答案；
见答案；
存在实数，使得直线与函数的图象有且只有个不同的交点；的取值范围是理由如下：
由步移关联函数的定义，得：，
综上所述，，
在上，
时，取得最小值，时，取得最大值，时，，即，且函数图象随的增大先减小再增大，如图，

当时，直线与的图象有个交点；其他情况，直线与的图象个交点，
在上，，
在上，直线与的图象最多有个交点，如图：

要使直线与的图象有且只有个不同交点，需满足：
直线与有个交点，且与有个交点，
即与有公共部分，如图：

，
解得：
综上所述，存在实数，使得直线与函数的图象有且只有个不同的交点；的取值范围是．
24.本小题分
综合与实践
如图，在中，，，点为边上不与端点重合的一个动点，过点作于点，过点作，交的延长线于点，连接，过点作，交于点．
初步探究
如图，，四边形的形状是______；线段与的数量关系是______；
类比探究
如图，，
写出图中与相等的角，并说明理由；
求证：；
拓展应用
当时，直接用含的代数式表示的值．
【答案】矩形，；
，理由见解析；
证明见解析；

【解析】解：，，
，，
四边形是矩形；
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
四边形是矩形，
，，
，
是等腰直角三角形，
，
故答案为：矩形，；
，
理由：由题意得：，，
，，
，
证明：，，
，
，
又，
四边形为矩形，，
设，，
，
在中，，
，
，
；
解：，
，
设，
，
，
，
∽，
，
即，
，
，
，，
，
，
，
整理得，
，
．
由矩形的判定得出四边形是矩形；证明是等腰直角三角形，得出，则可得出结论；
由直角三角形的性质得出结论；
证明四边形为矩形，得出，设，，由直角三角形的性质得出结论；
证明∽，得出，即，则，得出，则可得出答案．
本题是四边形综合题，考查了矩形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
25.本小题分
中央广播电视总台马年春晚的主题是“骐骥驰骋，势不可挡”，寓意着骏马奔腾、昂扬奋进的时代气象受此启发，我们定义如下概念：对于一平面图形，若存在一个固定的方向，使得两端点都在这个图形上且与该方向平行的所有截线段的中点都在同一直线上，则称这个图形为“骐骥图形”，直线为这个图形的“驰骋轴”“驰骋轴”的存在性无需证明．
例如：如图，在正方形中，取固定方向为平行于对角线的方向，两端点都在正方形上且平行于的所有截线段如，，等的中点均在对角线所在的直线上因此，正方形是“骐骥图形”，直线是它的一条“驰骋轴”．
请你判断下列图形是否为“骐骥图形”在题后相应的括号中，是“骐骥图形”的打“”，不是“骐骥图形”的打“”：
梯形；______
六边形；______
双曲线______
由定义可知三角形和抛物线都是“骐骥图形”在平面直角坐标系中，抛物线与轴的交点为，点在点的左侧，其“驰骋轴”与轴交于点，点是抛物线的“驰骋轴”上一动点．
若的“驰骋轴”为直线，求点的坐标；
在点的运动过程中，是否存在最大值？若存在，求出最大值及此时点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】 点的坐标为或或；存在最大值；的最大值为，点的坐标为或
【解析】解：在梯形中，延长、交于点，取的中点，连接；作平行于边的线段，分别交边于点、，交边于点、，与、分别交于点、，如图：
即，，，是的中线．
，，
∽，∽，∽，∽，
，，，，
故，，
点是的中点，点是的中点，
故点、在的中线上，
同理，取固定方向为平行于边的方向，两端点都在边，上，且平行于的所有截线段如，等的中点，均在的中线所在的直线上．即的中线为这个图形的“驰骋轴”．
故梯形是“骐骥图形”；
在六边形中，取的中点；作平行于边的线段，分别交边于点，交边于点；交边于点，交边于点，取的中点，取的中点，连接，，如图：
点是的中点，点是的中点，点是的中点，
但、、三点不共线，
故六边形不是“骐骥图形”；
双曲线的函数图象是轴对称图形，
故其对称轴为这个图形的“驰骋轴”，
故双曲线的函数图象是“骐骥图形”；
故答案为：；；；
抛物线与轴的交点为，点在点的左侧，其“驰骋轴”与轴交于点，
当时，得：，
解得，，；
，，
抛物线的对称轴为直线，
抛物线的函数图象是轴对称图形，
故其抛物线的对称轴为这个图形的“驰骋轴”，
“驰骋轴”与轴交于点．
设点的坐标为，由可得，的“驰骋轴”为的中线，
故分别取、、的中点、、，连接、、，如图：
则是的中位线，，
故点在轴上，点的横坐标是．
当的“驰骋轴”经过点时，即点、在直线上，将点的坐标得：
，
解得：，
所在直线的解析式为，
将代入，得：，
点的坐标为；
点是的中点，
，
解得：，
点的坐标为．
当的“驰骋轴”经过点时，即点、在直线上，将点的坐标代入得：
，
解得：，
所在直线的解析式为，
将代入，得：，
点的坐标为；
点是的中点，
故，
解得：，
点的坐标为．
当的“驰骋轴”经过点时，即点、在直线上，将点代入得：
，
解得：，
所在直线的解析式为，
将代入，得，即点的坐标为．
综上所述，点的坐标为或或；
存在最大值；理由如下：
过点作交于点，如图：
设点的坐标为，
当时，、、三点共线，故该情况不存在；
当时，在中，由勾股定理得：，
在中，，
，
，，
∽，
，即，
故，
．
在中，，
即当取最小值时，的值最大；
，且，
当时，，
即时，的值最小，最小值为，
此时的值最大，的最大值为．
的最大值为，点的坐标为或．
根据相似三角形的判定和性质、三角形中位线的性质，结合“骐骥图形”的定义，即可分析，得出答案；
结合“骐骥图形”的定义和六边形的性质，即可得出答案；
结合“骐骥图形”的定义和双曲线的函数图象的对称性，即可得出答案；
结合抛物线的性质和“骐骥图形”的定义可得抛物线的对称轴为这个图形的“驰骋轴”，结合结论可得的“驰骋轴”为的中线，根据的三条中线，分类讨论即可求解；
过点作交于点，构建，根据勾股定理和三角形的面积求出，根据相似三角形的判定和性质求出，结合正切的定义得出，根据二次根式的化简和完全平方公式求出当时，的值最小，即可求出的最大值．
本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理、锐角三角函数等知识，属于综合的压轴题．在第二问中，根据完全平方公式和二次根式的性质求出的最小值是是解题的关键．
26.本小题分
【教材呈现】如图，在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形和摆放在一起，点为公共顶点，，若固定不动，将绕点旋转，边，与边分别交于点，点不与点重合，点不与点重合，则结是否成立______填“成立”或“不成立”；
【类比引申】如图，在正方形中，为内的一个动角，两边分别与，交于点，，且满足，求证：∽；
【拓展延伸】如图，菱形的边长为，，的两边分别与，相交于点，，且满足，若，则线段的长为______．
【答案】成立；
证明：四边形是正方形，
，
，
，
，
，
，
∽；

【解析】解：结论成立；
理由：和都是等腰直角三角形，
，
，，
，
，
∽，
，
，
，
，
故答案为：成立；
证明：四边形是正方形，
，
，
，
，
，
，
∽；
解：如图，在上取一点，使，过作于，
在菱形中，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
，，
，
，
，
，
，
菱形的边长为，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
先判断出，进而判断出，得出∽，即可得出结论；
判断出，即可得出结论；
在上取一点，使，过作于，先判断出，进而判断出，再判断出∽，得出，进而得出，即可求出答案．
此题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，菱形的面积公式，作出辅助线构造出相似三角形是解本题的关键．
27.本小题分
综合与实践
问题情境：数学活动课上，老师要求同学们以正方形为背景探索几何图形运动变化中的数学结论如图，正方形中，，点，分别是边，的中点，连接，点是线段上的一个动点，连接，将线段绕点逆时针方向旋转，得到，连接，．
猜想证明：
针对老师给出的问题背景，“智慧小组”发现，请你证明这一结论；
操作探究：
“善思小组”提出问题：如图，当点为线段的中点时，连接，试判断四边形的形状，并说明理由；
深入探究：
“创新小组”在认真分析了旋转到不同位置时的情形后，提出问题：若直线与直线交于点，当为直角三角形时，请直接写出四边形的面积．
【答案】证明：四边形是正方形，
，．
由旋转得，．
．
．
≌．
；
解：四边形为正方形．
证明：点，分别是边，的中点，，
．
在等腰中，点是的中点，
，，
．
，．
四边形为平行四边形，
，，
为正方形；
解：或．
分两种情况讨论：当时，如图，过点作于点，
≌，
，
，
四边形为矩形，
，
四边形为正方形，
，，
，
，，
，
，
，
，
四边形的面积为；
当时，
如图，点与点重合，此时，，
，
，
≌，
，，，
，，
，
，
，
，
∽，
，
，
，，
四边形的面积为．
综上说述，四边形的面积为或．
【解析】证明≌得出；
证出，，得出由正方形的判定可得出结论；
分两种情况，当时，如图，过点作于点，证出，求出，由勾股定理可得出答案；当时，如图，点与点重合，此时，，证明∽，求出，，
则可得出答案．
本题是四边几何变换综合题，考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识；熟练掌握以上知识是解题的关键．
28.本小题分
如图，已知点是正方形内一点，连接，将线段绕点顺时针方向旋转得到、连接、．
【问题发现】
如图，线段与的数量关系是______，线段与的位置关系是______；
【问题探究】
如图，点为正方形外一点，将绕点顺时针方向旋转得到、连接，，探究线段与的数量及位置关系，并说明理由；
【拓展延伸】
如图，在中，，，点为外一点，且，点为的中点，连接，，，若，，求的长．
【答案】，；
，，理由见解析；
．
【解析】解：，；理由如下：
四边形是正方形，
，，
由旋转的性质得：，，
，
≌，
，，
延长交于，交于，
，
，
，
，，
故答案为：，；
，；理由如下：
四边形是正方形，
，，
由旋转的性质得：，，
，
≌，
，，
设交于，与相交于，如图，
，
，
，
，；
过作交于连接，取中点，连接，如图，

点为的中点，
，，
，，
，
，
，
，，
，
在和中，
，
≌，
，，
，，
为中点，
，，
，，
，
在中，，
，
解得或舍去，
．
根据证明≌，得出，，然后根据三角形外角的性质可得出，即可得出结论；
类似，根据证明≌，得出，，然后根据三角形外角的性质可得出，即可得出结论；
过作交于连接，取中点，连接，根据三角形中位线定理得出，，证明是等腰直角三角形，得出，，证明≌，得出，则可求，在中，根据勾股定理可求出，即可求解．
本题是四边形综合题，考查了旋转的性质，正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，明确题意，添加合适辅助线，构造全等三角形是解题的关键．
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2027年中考复习：综合实践题
一、解答题：本题共28小题，共224分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
1.本小题分
综合与实践
【背景】一个物体的重心，是物体所受重力的等效作用点每一个平面图形都有重心．
例如：
名称 线段 三角形 平行四边形 圆
图形
重心位置 中点 三条中线交点 对角线交点 圆心
【探究】“探究学习小组”发现：把一个平面组合图形分割成甲、乙两部分，建立平面直角坐标系，若甲、乙两部分的面积分别为，，重心分别为，，原图形的重心坐标为，则有，．
【应用】
尺规作图：如图，找出的重心保留作图痕迹，不写作法；
如图是组合图形中“”形薄板工件的横截面，请通过推理、计算确定它的重心位置结果精确到．
2.本小题分
项目式学习
日晷、圭表是我国古代先民的智慧结晶：日晷利用光影与刻度计量时辰如图，圭表凭借正午表杆影长测算节气如图某中学数学兴趣小组以“东莞地域下的古代计时工具”为主题开展项目式学习，请结合数学与地理知识解决以下问题．
【数据探究】
图是该小组制作的东莞日晷放置于地面的示意图，晷面与赤道平面平行，晷针与地轴平行已知东莞位于北纬，则晷面与地平面的夹角为______
图是该小组制作的圭表的示意图，圭为南北向水平标尺，表为垂直立竿已知为米，在夏至正午时用该圭表测得表的影长为米，冬至正午时表的影长为米，请结合参考数据，分别估算东莞夏至、冬至正午太阳光线与地平面的夹角测量误差忽略不计
【解决问题】
该小组观察发现：如图，冬至正午时，阳光从一栋南北朝向的教学楼顶射入，恰好射到大楼北侧一棵木棉树的顶部；春分正午时，阳光从该楼顶射入，恰好照射到树的根部已知春分日光线与该小组制作的晷面平行，若大楼与树干距离为米，请结合上述数据探究的内容，求出此树的高度假设树的高度变化忽略不计
【参考数据：，，，，】
3.本小题分
阅读与思考
【探索发现】如图，小军用两个大小不同的等腰直角三角板拼接成一个四边形．
【抽象定义】以等腰三角形的一腰为边向外作等腰三角形，使该边所对的角等于原等腰三角形的顶角，此时该四边形称为“双等四边形”，原等腰三角形称为四边形的“伴随三角形”如图，在中，，，此时，四边形是“双等四边形”，是“伴随三角形”．
【问题解决】如图，在四边形中，，，求：
与的位置关系为：______；
______填“”，“”或“”；
【深度探究】如图，在中，将绕点逆时针旋转至，点恰好落在边上，求证：四边形是双等四边形；
【方法应用】如图，在等腰三角形中，，，，在平面内找一点，使四边形是以为伴随三角形的双等四边形，______．
4.本小题分
综合与探究
问题情境：如图，四边形是平行四边形，，，，是边上一点，，是边上的动点，连接，以为腰向上作等腰，，过点作于点．
猜想证明：如图，当点恰好落在边上时，判断四边形的形状，并说明理由；
拓展延伸：过点作于点．
如图，当射线恰好过点时，猜想与的数量关系，并说明理由；
连接，当恰好将线段分为：的两部分时，请直接写出的长．
5.本小题分
根据题意，回答以下各题
【教材再现】如图，在正方形中，为边上一点，为延长线上一点，且求证：，；
【纵向探变】如图，在矩形中，，，是边上一点，将沿折叠得到，延长和交于若，求、的长；
【横向拓展】保持中，的大小不变，扭动矩形，使得，如图所示是边上一点且满足，点是延长线上一点，连接交射线于点，当线段与射线所夹的锐角为时，直接写出的值．
6.本小题分
【问题背景】如图，在平行四边形纸片中，过点作直线于点，沿直线将纸片剪开，得到和四边形，如图所示．
【动手操作】现将三角形纸片和四边形纸片进行如下操作以下操作均能实现
将三角形纸片置于四边形纸片内部，使得点与点重合，点在线段上，延长交线段于点，如图所示；
连接，过点作直线交射线于点，如图所示；
【问题解决】
如图，填空：______；
如图，求证：≌；
以线段的中垂线为对称轴，将点翻折到点，若：：，求：的值．
7.本小题分
如图，在 中，点在边上，点关于直线的对称点落在 内，射线交射线于点，交射线于点，射线交边于点．
如图，当时，点在延长线上，求证：≌；
在的条件下，若，，求的长；
如图，当时，点在边上，若，求的值用含的代数式表示
8.本小题分
【问题背景】
数学活动课上，同学们每人画了一个矩形，然后剪了一个直角三角形纸片并记为，，，将这个直角三角形纸片和矩形按图摆放，使两个图形的点重合，点在边上，点在边上，将直角三角形纸片绕点顺时针旋转，观察图形的变化，完成探究活动．
【特例探究】
如图，沙沙同学画的矩形恰好是正方形，连接，，则线段，的数量关系是______，位置关系是______；
【问题解决】
将图中直角三角形纸片绕点顺时针旋转，位置如图所示，连接，，中与的位置关系是否仍成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由；
【拓广探索】
如图，在矩形中，，在直角三角形纸片中，，将直角三角形纸片绕点顺时针旋转，当，，三点恰好依次在同一直线上时，求的长．
9.本小题分
探究角度与线段比例之间的关系
如图，在中，，点在边上，且，连接并延长至点，使得，作交延长线于点，连接交于点记，．
【图形认识】求证：．
【引元关联】设，求关于的函数表达式．
10.本小题分
【概念理解】如果两条线段所在直线形成的夹角中有一个角是，且这两条线段长度相等，则称其一条线段是另一条线段的双关联线段，也称这两条线段互为双关联线段．
【问题解决】
在矩形中，对角线与交于点，若，且与互为双关联线段，则矩形的面积为______．
如图，在等边中，点、分别在边、的延长线上，且，连接、交于点，求证：线段与线段互为双关联线段．
如图，在边长为的等边中，点是边上的动点不与点、重合，连接，以为边作线段的双关联线段点与点在直线的同侧，连接、．
求线段长度的最小值；
当为直角三角形时，直接写出所有满足条件的的长．
如图，点在线段上，请在图中作线段的双关联线段要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法；作出一条即可
11.本小题分
阅读与思考
下面是一篇数学小短文的一部分，请你认真阅读，并完成相应的任务．
利用对称作图
在平面几何中，我们经常需要根据条件用尺规作出满足特定几何关系的图形下面介绍一个有趣的作图问题：
问题呈现：已知：如图，点，是外的两点三点不共线，且求作：的直径，使得．
思路梳理：为解决这个问题，我们先画出目标图形的草图．
探索作法：如图，假设直径已经作出，且满足借助草图可发现，作图的关键是确定直径端点或在圆上的位置由圆的对称性想到，直径的端点，关于圆心对称，因此可以作点关于圆心的对称点，只要确定点，使，就可以得到．
作图步骤：
根据以上材料，解答下列问题：
推理解释：
由“思路梳理”中的分析过程可得，点与关于点对称，且为的直径请根据上述条件，借助图说明当时，；
实践操作：
在图中完成作图要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法；作出一种符合要求的直径即可．
12.本小题分
【问题情境】折纸是一种许多人熟悉的活动，在数学活动课上，老师让同学们以“图形的翻折”为主题开展数学活动．
活动一：矩形可折叠
矩形纸片中，在边上取一点沿翻折，使点落在矩形内部处；再次翻折矩形，使与所在直线重合，点落在直线上的点处，折痕为翻折后的纸片如图所示．
活动二：折叠可得矩形
如图，将纸片沿中位线折叠，使点对称点落在边上，再将纸片分别沿等腰和等腰的底边上的高线，折叠，折叠后的三个三角形拼合形成一个矩形类似地，对多边形进行折叠，若翻折后的图形恰能拼合成一个无缝隙、无重叠的矩形，这样的矩形称为“叠合矩形”，如图和图．
【问题解决】
如图，的度数为______；
如图，若，，求的最大值；
平行四边形纸片还可以按图的方式折叠成一个叠合矩形，若，，请求出的长；
【问题拓展】
如图，一张矩形纸片通过活动一中的翻折方式得到四边形，其中的一边与矩形纸片的一边重合，，，，，请直接写出该矩形纸片较短边的长度______．
13.本小题分
问题探究
如图，在中，，，，是内部的一个动点，且满足．
求证：；
用圆规和无刻度的直尺，在图中作出点的运动轨迹不写作法，保留作图痕迹，作图确定后必须用黑色的签字笔描黑；
线段的最小值为______；
问题解决
如图，某学校规划一块矩形劳动实践基地，用于班级种植，是两个工具房，分别在，边上，且，沿铺设一条运送通道，再从点铺设一条垂直于的小路，在点处修一个肥料存放点，点处是基地水房，为方便参加劳动实践的同学取水后能最快到达点处获取肥料，需要沿铺设一条小路，要求尽可能的短，已知，，直接写出的最小值工具房、肥料存放点、水房的大小均忽略不计
14.本小题分
【定义】在平面直角坐标系中，是函数图象上任意一点，纵坐标与横坐标的差“”称为点的“纵横差”函数图象上所有点的“纵横差”中的最大值称为函数的“最优纵横差”
【举例】已知点在函数的图象上，则点的“纵横差”为函数的图象上所有点的“纵横差”可以表示为当时，的最大值为，故函数的“最优纵横差”为．
【问题】根据定义，解答下列问题：
点的“纵横差”为______；
已知二次函数．
求证：无论取何值，该二次函数的“最优纵横差”为定值；
当时，此二次函数的“最优纵横差”为，求出的值；
若此函数的顶点记为点，它的“最优纵横差”对应的点记为点，点与点到直线的距离相等，直接写出的值______．
15.本小题分
【定义】设一个钝角三角形的两个锐角为与，如果，那么我们称这个钝角三角形是单余三角形，这个锐角叫做单余角．
【性质】如图，若是单余三角形，且是单余角，即，，，为了探究其性质，小鸣根据定义中出现的，联想到直角三角形，于是过点作，交延长线于点，请你根据小鸣的分析，进行以下探究：
求证：∽；
求证：．
【判定】如图， 中，，，，点是对角线上一点，连接并延长交于点，若，求证：是单余三角形，且是单余角．
【应用】如图，中，，，，点为斜边上一点，连接，是单余三角形，过点作，点在下方，且，请直接写出的长．
16.本小题分
如图，在中，，，，过点作斜边的高，垂足为，设如图，第一象限被直线和直线分成四个区域．
求关于的函数解析式．
证明：且，观察并判断函数图象上的点在图第一象限的哪个区域．
请根据要求，探究题中求得的函数在第一象限内的图象与性质．
列表：备注：无理数四舍五入到
描点：在平面直角坐标系中图，先用铅笔描点、连线，确定无误后再用黑色水笔描图．
写出性质：观察图象，类比已学函数的研究方法，另外写出一条不同于性质的性质．
性质：该函数图象在第一象限．
性质：______．
在上取靠近点的四分点，以点为圆心，长为半径作弧，且与交于点已知当约为时，取得最大值据此，求关于的方程有两个不同的正数解时的取值范围端点值若为无理数则四舍五入到．
17.本小题分
【概念定义】中国象棋棋盘上双方的分界处也称为“楚河汉界”，以“楚河汉界”比喻双方对垒的分界线，在平面直角坐标系中，为了对两个图形进行分界，对“楚河汉界线”给出如下定义：点是图形上的任意一点，点是图形上的任意一点，若存在直线：满足且，则直线就是图形与的“楚河汉界线”．
例如：如图，直线：是函数的图象与正方形的一条“楚河汉界线”．
【初步应用】在直线，，，中，是图函数的图象与正方形的“楚河汉界线”的有______填序号；
【深入探究】如图，第一象限的等腰直角的两腰分别与坐标轴平行，直角顶点的坐标是，若与的“楚河汉界线”有且只有一条，此时的半径为______；请求出此“楚河汉界线”的表达式；
【拓展延伸】正方形的边在轴上，其他三边都在轴的右侧，点是此正方形的中心，直线是函数的图象与正方形的“楚河汉界线”．
若，“楚河汉界线”有且只有一条时，求的值；
若存在“楚河汉界线”，请求出的取值范围．
18.本小题分
如果从一个平行四边形的一个顶点向不过该顶点的对角线作垂线，垂线交平行四边形的边于另一点，且该点为所在边的三等分点，那么这个平行四边形叫做垂对三等分平行四边形，垂足叫做垂三等分点．
【理解应用】如图，在 中，于点，交于点，若为的三等分点，则 是垂对三等分平行四边形，是垂三等分点若，则______，______；
【问题探究】如图，在垂对三等分平行四边形中，是垂三等分点，且满足，若，试猜想与的数量关系，并说明理由；
【拓展延伸】如图，已知四边形是矩形，过点作于点，交于点，，当四边形是垂对三等分平行四边形时，直接写出的长．
19.本小题分
综合与探究
问题情境：在中，，，点是直线上的一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段．
观察发现：
如图，当点是的中点时，连接，试判断四边形的形状，并说明理由．
独立思考：
如图，当点在线段上时，连接，过点作于点，过点作于点，猜想线段与的数量关系，并说明理由．
拓展延伸：
连接，过点作于点，连接若，，请直接写出线段的长．
20.本小题分
综合与实践：
【提出问题】
如图，在菱形中，，点是对角线上一动点，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，则的度数为______；线段与的数量关系为______．
【类比探究】
如图，在正方形中，点是对角线上一动点，且，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，当时，求的长．
【迁移运用】
如图，在矩形中，，，是对角线上一动点，连接，以为边在的右边作，且，，当点到的距离为时，求出的长．
21.本小题分
定义：若一个点的纵坐标是横坐标的倍，则称这个点为二倍点，如点为二倍点．
【定义理解】
下列函数图象上存在二倍点的有______填序号
；
；
．
【定义应用】
已知二次函数．
求该函数图象上的二倍点；
直接写出不等式的解集；
【问题解决】
无人机在各行各业都有广泛应用某地利用无人机投放救灾物资，无人机投放物资包裹的竖直高度米与离投放点的水平距离米的关系为，当无人机在距地面米的空中投放物资包裹时，包裹落地点距投放点的水平距离为米，试判断该抛物线上是否存在二倍点，若存在，请联系以上情境说明该二倍点表达的实际意义．
【拓展提升】
若抛物线对于任意的常数恒有两个二倍点，求的取值范围．
22.本小题分
综合与探究
【问题背景】我们学习了三角形的中位线定理，借助三角形的中位线可构造一组相似三角形，如图，探索小组利用这个基本图形进行了探究活动，探究发现：若将它们绕公共顶点旋转，对应顶点连线的长度存在特殊的数量关系，请你和探索小组一起对此进行研究如图，在中，，，分别取，的中点，，作．
初步发现：如图，由三角形中位线构造∽，可知：______．
猜想探究：如图所示，将绕点逆时针旋转，连接，旋转过程中，线段和的长度存在怎样的数量关系？写出你的猜想，并证明．
结论应用：如图，当所在直线首次经过点时，求的长．
延伸思考：如图，在中，，，，分别取，的中点，作，将绕点逆时针旋转，连接，当边正好经过时，直接写出的长．
23.本小题分
已知是自变量的函数，若对于函数图象上任意一点，将点沿水平方向向右平移个单位长度，沿竖直方向平移个单位长度为常数，向上平移时，向下平移时得到点，点始终在函数的图象上，则称是的步移关联函数，称为步移系数．
例如：函数，当步移系数时，对于图象上任意一点，向右平移个单位，再向上平移个单位得到点；令，则，代入纵坐标得：，即是当步移系数时的“步移关联函数”．
对于函数图象上任意一点，若步移系数；
写出点的纵坐标______ 用含的代数式表示；
求的“步移关联函数”的函数表达式；
在的条件下，若，过点作轴于点，过点作轴于点，连接，，当线段将四边形的面积分成：的两部分时，求的值；
已知函数，步移系数为常数，是的“步移关联函数”，设新函数：当时，；当时，．
当时，求函数当时的最大值和最小值；
当时，是否存在实数，使得直线与函数的图象有且只有个不同的交点，若存在，直接写出的取值范围；若不存在，请说明理由．
24.本小题分
综合与实践
如图，在中，，，点为边上不与端点重合的一个动点，过点作于点，过点作，交的延长线于点，连接，过点作，交于点．
初步探究
如图，，四边形的形状是______；线段与的数量关系是______；
类比探究
如图，，
写出图中与相等的角，并说明理由；
求证：；
拓展应用
当时，直接用含的代数式表示的值．
25.本小题分
中央广播电视总台马年春晚的主题是“骐骥驰骋，势不可挡”，寓意着骏马奔腾、昂扬奋进的时代气象受此启发，我们定义如下概念：对于一平面图形，若存在一个固定的方向，使得两端点都在这个图形上且与该方向平行的所有截线段的中点都在同一直线上，则称这个图形为“骐骥图形”，直线为这个图形的“驰骋轴”“驰骋轴”的存在性无需证明．
例如：如图，在正方形中，取固定方向为平行于对角线的方向，两端点都在正方形上且平行于的所有截线段如，，等的中点均在对角线所在的直线上因此，正方形是“骐骥图形”，直线是它的一条“驰骋轴”．
请你判断下列图形是否为“骐骥图形”在题后相应的括号中，是“骐骥图形”的打“”，不是“骐骥图形”的打“”：
梯形；______
六边形；______
双曲线______
由定义可知三角形和抛物线都是“骐骥图形”在平面直角坐标系中，抛物线与轴的交点为，点在点的左侧，其“驰骋轴”与轴交于点，点是抛物线的“驰骋轴”上一动点．
若的“驰骋轴”为直线，求点的坐标；
在点的运动过程中，是否存在最大值？若存在，求出最大值及此时点的坐标；若不存在，请说明理由．
26.本小题分
【教材呈现】如图，在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形和摆放在一起，点为公共顶点，，若固定不动，将绕点旋转，边，与边分别交于点，点不与点重合，点不与点重合，则结是否成立______填“成立”或“不成立”；
【类比引申】如图，在正方形中，为内的一个动角，两边分别与，交于点，，且满足，求证：∽；
【拓展延伸】如图，菱形的边长为，，的两边分别与，相交于点，，且满足，若，则线段的长为______．
27.本小题分
综合与实践
问题情境：数学活动课上，老师要求同学们以正方形为背景探索几何图形运动变化中的数学结论如图，正方形中，，点，分别是边，的中点，连接，点是线段上的一个动点，连接，将线段绕点逆时针方向旋转，得到，连接，．
猜想证明：
针对老师给出的问题背景，“智慧小组”发现，请你证明这一结论；
操作探究：
“善思小组”提出问题：如图，当点为线段的中点时，连接，试判断四边形的形状，并说明理由；
深入探究：
“创新小组”在认真分析了旋转到不同位置时的情形后，提出问题：若直线与直线交于点，当为直角三角形时，请直接写出四边形的面积．
28.本小题分
如图，已知点是正方形内一点，连接，将线段绕点顺时针方向旋转得到、连接、．
【问题发现】
如图，线段与的数量关系是______，线段与的位置关系是______；
【问题探究】
如图，点为正方形外一点，将绕点顺时针方向旋转得到、连接，，探究线段与的数量及位置关系，并说明理由；
【拓展延伸】
如图，在中，，，点为外一点，且，点为的中点，连接，，，若，，求的长．
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