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甘肃省陇南市武都区2024—2025学年下学期八年级数学期末试卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个正确选项．
1．要使式子有意义，则x的取值范围是（　　）．
A．x>0 B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵要使式子有意义，
∴，
解得：，
故答案为：D．
【分析】由二次根式有意义的条件：被开方数大于等于0，得关于x的一元一次不等式，解不等式求出x的取值范围，即可求解.
2．中，，，则的值为 （　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：如图：
，，
∴∠B=90°-45°=45°，
，
设，
∴，
，
故答案为：C．
【分析】根据条件结合计算出∠B=45°，此时利用“等角对等边”得到，再利用勾股定理求出长，最后计算化简即可得到答案．
3．某果农种植的金桔在采摘完后，发现大果、中果和小果的产量比为，若每斤的售价大果定为12元，中果定为8元，小果定为6元，则该批金桔的平均售价为每斤（　　）
A．6.5元 B．8.6元 C．8.8元 D．10元
【答案】C
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：设大果、中果和小果的产量分别为3份、5份和2分，因此总产量为份，
其中大果售价(元)，中果售价(元)，小果售价(元)，
∴总销售额(元)，平均售价（元/斤）．
故答案为：C．
【分析】本题根据大果、中果、小果的产量比，可以先假设出大果、中果和小果的产量分别为3份、5份和2分，因此计算求和得出总产量为10份，接着分别计算出大果、中果和小果的售价，即可计算出总销售额为88元，最后计算加权平均数即可得到平均售价．
4．如图，，是四边形的两条对角线，顺次连接四边形各边中点得到四边形，要使四边形为菱形，应添加的条件是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】菱形的判定；三角形的中位线定理；中点四边形模型
5．已知一次函数的图像如图所示，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：从图上可以看出，一次函数、为常数，且的图象经过第二、三、四象限，
．
故答案为：A．
【分析】本题依据一次函数经过二、三、四象限，得出该一次函数为递减函数，即k＜0，而函数经过y的负半轴，即b＜0，从而得出答案。
6．计算的结果是（　　）
A．7 B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：
，
故选：B．
【分析】想运算二次根式的乘法，然后运算减法解答即可.
7．若正比例函数的图象经过，则这个图象必经过（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；正比例函数的概念；正比例函数的图象
【解析】【解答】解：设正比例函数为：，
∵正比例函数的图象经过
∴，
解得：．
∴．
．把代入可得出，左边等于右边，则这个图象必经过点，故该选项符合题意；
．把代入可得出，左边不等于右边，则这个图象不经过点，故该选项不符合题意；
．把代入可得出，左边不等于右边，则这个图象不经过点，故该选项不符合题意；
．把代入可得出，左边不等于右边，则这个图象不经过点，故该选项不符合题意；
故答案为：A.
【分析】本题主要考查正比例函数的定义及图象上点的坐标特征.先利用待定系数法根据已知点求出正比例函数解析式；根据选项逐个验证即可.
8．如图，点E是矩形边上任意一点，点F，G，H分别是的中点，若，则的长为（　　）
A．4 B．6 C．8 D．5
【答案】A
【知识点】矩形的性质；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵点G，H分别是的中点，，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∵点F是的中点，
∴．
故答案为：A.
【分析】本题主要考查三角形中位线定理和直角三角形斜边中线的性质.首先根据已知条件判断GH是△BEC的中位线，可得；再根据△ABE是直角三角形，则有AF是△ABE斜边上的中线，可得.
9．如图，桌上有一个圆柱形玻璃杯（无盖）高6厘米，底面周长16厘米，在杯口内壁离杯口1.5厘米的A处有一滴蜜糖，在玻璃杯的外壁，A的相对方向有一小虫P，小虫离杯底的垂直距离为1.5厘米，小虫爬到蜜糖处的最短距离是（　　）
A．厘米 B．10厘米 C．厘米 D．8厘米
【答案】B
【知识点】勾股定理；圆柱的展开图；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【解答】把圆柱沿着点A所在母线展开，如图所示，
作点A的对称点B，连接PB，则PB为所求，
根据题意，得PC=8，BC=6，
根据勾股定理，得PB=10，
故答案为：B.
【分析】本题主要考查圆柱体表面的最短路径问题，包括圆柱侧面展开图、轴对称变换以及勾股定理的应用.首先将圆柱侧面展开并确定点A、P的位置，再利用“将军饮马”模型解决问题：作对称点，连接BP，利用勾股定理计算即可.
10．在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则下列结论正确的是（　　）
A．随的增大而增大
B．
C．当时，
D．关于的方程组的解为
【答案】D
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数的性质；比较一次函数值的大小
【解析】【解答】解：A、由函数图象可知，随的增大而减小，则此项错误，不符合题意；
B、由函数图象可知，一次函数与轴的交点位于一次函数与轴的交点的上方，所以，此项错误，不符合题意；
C、由函数图象可知，当时，一次函数的图象位于一次函数的图象的下方，所以，此项错误，不符合题意；
D、由函数图象可知，两个一次函数的交点坐标为，所以关于的方程组，即方程组的解为，此项正确，符合题意；
故答案为：D.
【分析】本题主要考查一次函数图象与性质，包括一次函数的增减性、与坐标轴的交点以及方程组的解与图象交点之间的关系.由图可知，一次函数的图象从左向右呈下降趋势，即可判断A错误；由两个函数图象与轴的交点位置即可判断B错误；根据函数图象，当时，一次函数的图象位于一次函数的图象下方，即可判断C错误；方程组的解对应两条直线的交点坐标即可判断D正确．
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．
11．已知一组数据4，x，5，y，7，9的平均数为6，众数为5，则这组数据的中位数是　 　．
【答案】5.5
【知识点】平均数及其计算；中位数；众数
【解析】【解答】∵一组数据4，x，5，y，7，9的众数为5，
∴x，y中至少有一个是5，
∵一组数据4，x，5，y，7，9的平均数为6，
∴ （4+x+5+y+7+9）=6，
∴x+y=11，
∴x，y中一个是5，另一个是6，
∴这组数为4，5，5，6，7，9，
∴这组数据的中位数是 ×（5+6）=5.5，
故答案为：5.5．
【分析】根据众数的概念得出x，y中至少有一个是5，根据平均数的计算方法列出方程，得出x+y=11，故x，y中一个是5，另一个是6，从而得出这组数据，将这组数据按从小到大排列后，处于最中间位置的是5，6，故其平均数就是中位数。
12．若，则的值为　 　．
【答案】2
【知识点】二次根式的性质与化简；化简含绝对值有理数
【解析】【解答】解：∵1＜x＜2，∴x-3＜0，x-1＞0，
则
=3-x+x-1
=2，
故答案为：2．
【分析】根据绝对值，二次根式性质化简，再计算加减即可求出答案.
13．如图，的顶点在边长为的正方形网格的格点上，于点．则的长为　 　．
【答案】
【知识点】三角形的面积；勾股定理；几何图形的面积计算-割补法；等积变换；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【解答】解：由勾股定理可得，，
由网格可得，，
∵，
∴，
解得，
故答案为：．
【分析】本题结合网格的特点并利用勾股定理求出=5，然后利用割补法并结合网格，可以求出的面积为，再根据等面积法列式，此时即可求出的长。
14．将直线向下平移3个单位后恰好经过点，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】一次函数图象上点的坐标特征；一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：由题意得平移后的直线解析式为，
∵平移后的直线经过点，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】
由直线的平移规律可得平移后的直线解析式为，再利用直线上点的坐标特征可得关于a的一元一次方程并求解即可．
15．一次函数 的图象如图所示，则关于x 的不等式 的解集为　 　．
【答案】
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：∵的图象与轴的交点坐标为，且函数值随的增大而增大，
∴不等式的解集是．
故答案为：．
【分析】本题结合一次函数与一元一次不等式的关系以及图中信息分析得出，不等式的解集就是一次函数在x轴上方对应的x的取值范围，此时找到该一次函数的交点并且分析出该函数的增减情况，即可得出答案。
16．如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AE平分交BC于点E，且， ，连接OE．下列结论：①；②S ABCD＝AB AC；③OB＝AB；④，成立的个数有　 　个．
【答案】3
【知识点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；平行四边形的面积；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠EAD=60°
∴△ABE是等边三角形，
∴AE=AB=BE，
∵AB=BC，
∴AE=BC=EC，
∵AD∥BC，
∴∠AEC=180°-∠EAD=120°，
∴∠ACE=∠CAE=30°
∴∠CAD=30°，故①正确；
∵AC⊥AB，
∴S ABCD=AB AC，故②正确，
∵AC⊥AB，
∴AB＜OB，故③错误；
∵∠CAD=30°，∠AEB=60°，AD∥BC，
∴∠EAC=∠ACE=30°，
∴AE=CE，
∴BE=CE，
∵OA=OC，
∴OE=AB=BC，故④正确．
故正确的有3个.
故答案是：3．
【分析】本题主要考查平行四边形的性质、等边三角形的判定与性质、角平分线的定义及三角形中位线定理的综合应用.先判断△ABE是等边三角形，再结合AB=BC判断△AEC是等腰三角形且顶角∠AEC=120°，即可推出①∠CAD=30°；进而可求∠BAC=90°，即AC⊥AB，可证②S ABCD=AB AC；在直角△AOB中，OB为斜边，AB为直角边，因此AB＜OB，③错误；最后利用OE是△ABC的中位线，可得④OE=BC.
三、解答题：本大题共6小题，共46分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．计算：．
【答案】解：原式

【知识点】零指数幂；二次根式的性质与化简；二次根式的乘除混合运算；实数的绝对值
【解析】【分析】先计算二次根式乘法、零指数幂、化简绝对值及最简二次根式，再进一步化简二次根式并进行实数加减计算即可．
18．如图，有两只猴子爬到一棵树上的点处，且，突然发现远方处有好吃的东西，其中一只猴子沿树爬下走到离树的处，另一只猴子先爬到树顶处后再沿缆绳滑到处，已知两只猴子所经过的路程相等，设为．
（1）请用含有的整式表示线段的长： ；
（2）求这棵树高有多少米？
【答案】（1）
（2）解：∵，
在中，，
，
解得：，
，
∴这棵树高米．
【知识点】等式的基本性质；勾股定理
【解析】【解答】（1）解：，
，
；
故答案为：（1）；
【分析】根据“ 一只猴子沿树爬下走到离树的处，另一只猴子先爬到树顶处后再沿缆绳滑到处，已知两只猴子所经过的路程相等 ”，此时结合图中信息和条件列式，将BD=x、BC=2、AC=6代入计算并变形，即可得出答案；
在中利用勾股定理列式，代入可得，解方程得出，然后结合图中信息得出树高为，代入计算即可。
（1）解：，
，
；
故答案为：；
（2）解：由题意知，
在中，，
，
解得：，
，
∴这棵树高米．
19． 先化简， 再求值： ， 其中．
【答案】解：
，
将代入得：
原式
．
【知识点】分母有理化；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】先将被除式的分子、分母分别利用完全平方公式和平方差公式分解因式，同时根据除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法转变为乘法，进而计算乘法约分化简，最后代入x的值，分子、分母分别合并后，再进行分母有理化即可.
20．某公司欲招聘一名公关人员，对甲、乙两位应试者进行了笔试和面试，他们各自成绩
(百分制)如下表所示.
应试者 笔试 面试
甲 85 75
乙 60 95
（1）如果公司认为笔试和面试同等重要，从他们的成绩看，被录取的是________；
（2）如果公司认为，作为公关人员面试应该比笔试更重要，按笔试成绩占，面试成绩占，计算应试者的平均成绩(百分制)，谁将被录取？
【答案】（1）甲
（2）解：甲的平均成绩：（分），
乙的平均成绩：（分），
∵，
∴乙将被录取．
【知识点】平均数及其计算；加权平均数及其计算
【解析】【解答】（1）解：甲的平均成绩为：分，乙平均成绩为：分．
∵公司认为笔试和面试同等重要，而甲的平均成绩大于乙，
∴被录取是甲．
故答案为：（1）甲；
【分析】（1）根据条件“笔试和面试同等重要”，因此需要计算出甲和乙各自的平均成绩，最后比较即可；
（2） 根据加权平均数的计算公式分别计算出甲和乙的加权平均成绩，最后比较大小即可。
（1）根据题干：笔试与面试同等重要，甲方的平均成绩为：，乙方平均成绩为：．
∴甲方平均成绩大于乙方，被录取是甲方．
（2）甲的平均成绩：（分），
乙的平均成绩：（分），
因为，所以乙将被录取．
21．如图，点分别在正方形的边上，，点在的延长线上，连接．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
【答案】（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，，
在与中，
，
∴，
∴；
（2）解：由，得，
∴，
∴
在与中，
，
∴，
∴，
在中，，
∴．
【知识点】角的运算；勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）结合正方形四条边相等、四个角都是直角的特点，并计算邻补角综合推出，，此时结合条件利用SAS证明，从而根据全等三角形的对应边相等即可得出答案；
（2）结合（1）的全等三角形的性质，得出，然后计算推出，此时可以利用SAS证明，从而根据全等三角形的对应边相等得出；接着在中运用勾股定理得到，从而得出答案。
（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，，
在与中，
，
∴，
∴；
（2）解：由，得，
∴，
∴
在与中，
，
∴，
∴，
在中，，
∴．
22．某服装厂接到一批任务，需要天内生产出件服装．生产天后，为按期完成任务，该服装厂增加了一定数目的工人，恰好在规定时间内完成任务．设该服装厂生产天数为天，累计生产服装的数量为件，则与之间的关系如图所示．
（1）求增加工人后与的函数表达式；
（2）问生产几天后的服装总件数恰好为件
【答案】（1）解：设增加工人后与的函数表达式是，
将，代入上式，得：，
解得：，
∴增加工人后与的函数表达式是．
（2）解：在中，令，得：，
解得：．
答：生产天后的服装总件数恰好为件．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用；通过函数图象获取信息
【解析】【分析】（1）先假出设增加工人后与的函数表达式。结合图中信息并利用待定系数法，将，代入解析式得到二元一次方程组，求解出k和b即可得出该函数表达式；
（2）在（1）计算出来的函数表达式基础上，令即可得到关于x的一元一次方程，求解x即可．
（1）解：设增加工人后与的函数表达式是，
将，代入上式，得：，
解得：，
∴增加工人后与的函数表达式是．
（2）在中，令，得：
解得：．
答：生产天后的服装总件数恰好为件．
四、解答题：本大题共5小题，共50分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
23．计算。
（1）
（2）
【答案】解： （1）
（2）
=
=
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；二次根式的乘除混合运算；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）解题第一步先运用平方差公式和完全平方公式去掉括号，之后再合并同类项就可以得到结果；
（2）解题第一步先把各个二次根式化简为最简二次根式，再对括号里的同类项进行合并，最后计算除法即可得到最终结果。
24．如图，已知点E，C在线段上，，，．
（1）求证：；
（2）试判断：四边形的形状，并证明你的结论．
【答案】（1）证明：∵，∴，
∵，
∴，
在和中
，
∴．
（2）四边形的形状是平行四边形，
证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，，
∴四边形是平行四边形．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】（1）由平行线的性质，可得，结合已知条件可推出，即可根据判定两个三角形全等；
（2）根据全等三角形的性质可得，结合，可先判定四边形ACFD是平行四边形，由此可得，且，再结合条件推出，，最后根据平行四边形的判定定理即可推出结论。
25．A，B两地相距，甲、乙两人分别开车从A地出发前往B地，其中甲先出发，如图是甲，乙行驶路程随行驶时间变化的图象，请结合图象信息．解答下列问题：
（1）填空：甲的速度为___________；
（2）分别求出与x之间的函数解析式；
（3）求出点C的坐标，并写点C的实际意义．
【答案】（1）60
（2）解：设与x之间的函数解析式为，
将点，代入得，
解得：，
∴与x之间的函数解析式为，
同理，设与x之间的函数解析式为，
将点，代入得，
解得，
∴与x之间的函数解析式为；
（3）解：将与x之间的函数解析式联立得，
，
解得，
∴点C的坐标为，
点C的实际意义为：甲出发时，乙追上甲，此时两人距A地.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与二元一次方程（组）的关系；通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】（1）解：观察图象，由甲先出发可知甲从A地到B地用了，
∵A，B两地相距，
∴甲的速度为，
故答案为：60.
【分析】（1）结合函数图象中国的数据，利用“速度=路程÷时间”列出算式求解即可；
（2）结合函数图象中的数据，再利用待定系数法求出函数解析式即可；
（3）先联立方程组，再求出方程组的解，从而可得点C的坐标.
（1）解：观察图象，由甲先出发可知甲从A地到B地用了，
∵A，B两地相距，
∴甲的速度为，
故答案为：60；
（2）解：设与x之间的函数解析式为，
将点，代入得，
解得，
∴与x之间的函数解析式为，
同理，设与x之间的函数解析式为，
将点，代入得，
解得，
∴与x之间的函数解析式为；
（3）解：将与x之间的函数解析式联立得，
，
解得，
∴点C的坐标为，
点C的实际意义为：甲出发时，乙追上甲，此时两人距A地．
26．本学期某校举行了有关垃圾分类知识测试活动，并从该校七年级和八年级中各随机抽取40名学生的测试成绩，整理如下：小明将样本中的成绩进行了数据处理，如表为数据处理的一部分，根据图表，解答问题：
年级 平均数 众数 中位数 方差
七年级 7.5 7 7 2.8
八年级 a 8 b 2.35
（1）填空：表中的a＝ ，b＝ ；
（2）你认为 年级的成绩更加稳定，理由是 ；
（3）若规定6分及6分以上为合格，该校八年级共1200名学生参加了此次测试活动，估计参如此次测试活动成绩合格的学生人数是多少？
【答案】（1）7.5；7.5
（2）八，八年级成绩的方差小于七年级
（3）解：估计参如此次测试活动成绩合格的学生人数是1200×＝1080（人）．
【知识点】用样本估计总体；统计表；条形统计图
【解析】【解答】（1）解：由表可知，
八年级成绩的平均数a＝＝7.5，
所以a＝7.5；
八年级成绩最中间的2个数分别为7、8，
所以其中位数b＝＝7.5，
故答案为：7.5；7.5；
（2）解：八年级的成绩更加稳定，理由是八年级成绩的方差小于七年级，
故答案为：八，八年级成绩的方差小于七年级.
【分析】（1）利用平均数、中位数的定义及计算方法分析求解即可；
（2）利用方差的性质（方差越大，这组数据的波动越大，离散程度越大，稳定性也越小）及计算方法分析求解即可；
（3）先求出“合格”的百分比，再乘以1200可得答案.
27．如图，在平面直角坐标系中，四边形是长方形，O为原点，点A在x轴上，点C在y轴上，，，点D在边上，将沿翻折，点B恰好落在边上点E处．
（1）求点E的坐标；
（2）求折痕所在直线的函数表达式；
（3）延长直线交x轴于点F，求的面积．
【答案】（1）解：四边形是长方形，
，，
由折叠的性质知，，
∵，
∴OC=6，
在中，由勾股定理得，
；
（2）解：设所在直线的解析式为，
将C（0，6）代入，解得b=6，
由折叠的性质知，，
设，
，，
由勾股定理得，
即，
解得，
，
，
代入得，，
故所在直线的解析式为：．
（3）解：在中，令，则，
∴，
∴．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形的面积；勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】（1）根据长方形的性质得出，，折叠的性质得出，最后利用勾股定理列式计算求出，即可得出E点坐标；
（2）将C点坐标代入可以先求出所在直线的解析式中b=6；结合折叠的性质与勾股定理，列式求得，最后利用待定系数法将D点坐标代入，即可求所在直线的解析式；
（3）因为“ 直线交x轴于点F ”，此时结合（2）中计算出来的CD所在直线的解析式，令y=0即可先求出点，此时利用三角形面积公式列式计算即可。
（1）解：四边形是长方形，
，，
由折叠的性质知，，
，
在中，由勾股定理得，
；
（2）解：设所在直线的解析式为，
，
，
由折叠的性质知，，
设，
，，
由勾股定理得，
即，
解得，
，
，
代入得，，
故所在直线的解析式为：．
（3）在中，令，则，
∴，
∴．
1 / 1甘肃省陇南市武都区2024—2025学年下学期八年级数学期末试卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个正确选项．
1．要使式子有意义，则x的取值范围是（　　）．
A．x>0 B． C． D．
2．中，，，则的值为 （　　）
A． B． C． D．
3．某果农种植的金桔在采摘完后，发现大果、中果和小果的产量比为，若每斤的售价大果定为12元，中果定为8元，小果定为6元，则该批金桔的平均售价为每斤（　　）
A．6.5元 B．8.6元 C．8.8元 D．10元
4．如图，，是四边形的两条对角线，顺次连接四边形各边中点得到四边形，要使四边形为菱形，应添加的条件是（　　）
A． B． C． D．
5．已知一次函数的图像如图所示，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
6．计算的结果是（　　）
A．7 B． C． D．
7．若正比例函数的图象经过，则这个图象必经过（　　）
A． B． C． D．
8．如图，点E是矩形边上任意一点，点F，G，H分别是的中点，若，则的长为（　　）
A．4 B．6 C．8 D．5
9．如图，桌上有一个圆柱形玻璃杯（无盖）高6厘米，底面周长16厘米，在杯口内壁离杯口1.5厘米的A处有一滴蜜糖，在玻璃杯的外壁，A的相对方向有一小虫P，小虫离杯底的垂直距离为1.5厘米，小虫爬到蜜糖处的最短距离是（　　）
A．厘米 B．10厘米 C．厘米 D．8厘米
10．在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则下列结论正确的是（　　）
A．随的增大而增大
B．
C．当时，
D．关于的方程组的解为
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．
11．已知一组数据4，x，5，y，7，9的平均数为6，众数为5，则这组数据的中位数是　 　．
12．若，则的值为　 　．
13．如图，的顶点在边长为的正方形网格的格点上，于点．则的长为　 　．
14．将直线向下平移3个单位后恰好经过点，则的值为　 　．
15．一次函数 的图象如图所示，则关于x 的不等式 的解集为　 　．
16．如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AE平分交BC于点E，且， ，连接OE．下列结论：①；②S ABCD＝AB AC；③OB＝AB；④，成立的个数有　 　个．
三、解答题：本大题共6小题，共46分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．计算：．
18．如图，有两只猴子爬到一棵树上的点处，且，突然发现远方处有好吃的东西，其中一只猴子沿树爬下走到离树的处，另一只猴子先爬到树顶处后再沿缆绳滑到处，已知两只猴子所经过的路程相等，设为．
（1）请用含有的整式表示线段的长： ；
（2）求这棵树高有多少米？
19． 先化简， 再求值： ， 其中．
20．某公司欲招聘一名公关人员，对甲、乙两位应试者进行了笔试和面试，他们各自成绩
(百分制)如下表所示.
应试者 笔试 面试
甲 85 75
乙 60 95
（1）如果公司认为笔试和面试同等重要，从他们的成绩看，被录取的是________；
（2）如果公司认为，作为公关人员面试应该比笔试更重要，按笔试成绩占，面试成绩占，计算应试者的平均成绩(百分制)，谁将被录取？
21．如图，点分别在正方形的边上，，点在的延长线上，连接．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
22．某服装厂接到一批任务，需要天内生产出件服装．生产天后，为按期完成任务，该服装厂增加了一定数目的工人，恰好在规定时间内完成任务．设该服装厂生产天数为天，累计生产服装的数量为件，则与之间的关系如图所示．
（1）求增加工人后与的函数表达式；
（2）问生产几天后的服装总件数恰好为件
四、解答题：本大题共5小题，共50分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
23．计算。
（1）
（2）
24．如图，已知点E，C在线段上，，，．
（1）求证：；
（2）试判断：四边形的形状，并证明你的结论．
25．A，B两地相距，甲、乙两人分别开车从A地出发前往B地，其中甲先出发，如图是甲，乙行驶路程随行驶时间变化的图象，请结合图象信息．解答下列问题：
（1）填空：甲的速度为___________；
（2）分别求出与x之间的函数解析式；
（3）求出点C的坐标，并写点C的实际意义．
26．本学期某校举行了有关垃圾分类知识测试活动，并从该校七年级和八年级中各随机抽取40名学生的测试成绩，整理如下：小明将样本中的成绩进行了数据处理，如表为数据处理的一部分，根据图表，解答问题：
年级 平均数 众数 中位数 方差
七年级 7.5 7 7 2.8
八年级 a 8 b 2.35
（1）填空：表中的a＝ ，b＝ ；
（2）你认为 年级的成绩更加稳定，理由是 ；
（3）若规定6分及6分以上为合格，该校八年级共1200名学生参加了此次测试活动，估计参如此次测试活动成绩合格的学生人数是多少？
27．如图，在平面直角坐标系中，四边形是长方形，O为原点，点A在x轴上，点C在y轴上，，，点D在边上，将沿翻折，点B恰好落在边上点E处．
（1）求点E的坐标；
（2）求折痕所在直线的函数表达式；
（3）延长直线交x轴于点F，求的面积．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵要使式子有意义，
∴，
解得：，
故答案为：D．
【分析】由二次根式有意义的条件：被开方数大于等于0，得关于x的一元一次不等式，解不等式求出x的取值范围，即可求解.
2．【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：如图：
，，
∴∠B=90°-45°=45°，
，
设，
∴，
，
故答案为：C．
【分析】根据条件结合计算出∠B=45°，此时利用“等角对等边”得到，再利用勾股定理求出长，最后计算化简即可得到答案．
3．【答案】C
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：设大果、中果和小果的产量分别为3份、5份和2分，因此总产量为份，
其中大果售价(元)，中果售价(元)，小果售价(元)，
∴总销售额(元)，平均售价（元/斤）．
故答案为：C．
【分析】本题根据大果、中果、小果的产量比，可以先假设出大果、中果和小果的产量分别为3份、5份和2分，因此计算求和得出总产量为10份，接着分别计算出大果、中果和小果的售价，即可计算出总销售额为88元，最后计算加权平均数即可得到平均售价．
4．【答案】D
【知识点】菱形的判定；三角形的中位线定理；中点四边形模型
5．【答案】A
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：从图上可以看出，一次函数、为常数，且的图象经过第二、三、四象限，
．
故答案为：A．
【分析】本题依据一次函数经过二、三、四象限，得出该一次函数为递减函数，即k＜0，而函数经过y的负半轴，即b＜0，从而得出答案。
6．【答案】B
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：
，
故选：B．
【分析】想运算二次根式的乘法，然后运算减法解答即可.
7．【答案】A
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；正比例函数的概念；正比例函数的图象
【解析】【解答】解：设正比例函数为：，
∵正比例函数的图象经过
∴，
解得：．
∴．
．把代入可得出，左边等于右边，则这个图象必经过点，故该选项符合题意；
．把代入可得出，左边不等于右边，则这个图象不经过点，故该选项不符合题意；
．把代入可得出，左边不等于右边，则这个图象不经过点，故该选项不符合题意；
．把代入可得出，左边不等于右边，则这个图象不经过点，故该选项不符合题意；
故答案为：A.
【分析】本题主要考查正比例函数的定义及图象上点的坐标特征.先利用待定系数法根据已知点求出正比例函数解析式；根据选项逐个验证即可.
8．【答案】A
【知识点】矩形的性质；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵点G，H分别是的中点，，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∵点F是的中点，
∴．
故答案为：A.
【分析】本题主要考查三角形中位线定理和直角三角形斜边中线的性质.首先根据已知条件判断GH是△BEC的中位线，可得；再根据△ABE是直角三角形，则有AF是△ABE斜边上的中线，可得.
9．【答案】B
【知识点】勾股定理；圆柱的展开图；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【解答】把圆柱沿着点A所在母线展开，如图所示，
作点A的对称点B，连接PB，则PB为所求，
根据题意，得PC=8，BC=6，
根据勾股定理，得PB=10，
故答案为：B.
【分析】本题主要考查圆柱体表面的最短路径问题，包括圆柱侧面展开图、轴对称变换以及勾股定理的应用.首先将圆柱侧面展开并确定点A、P的位置，再利用“将军饮马”模型解决问题：作对称点，连接BP，利用勾股定理计算即可.
10．【答案】D
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数的性质；比较一次函数值的大小
【解析】【解答】解：A、由函数图象可知，随的增大而减小，则此项错误，不符合题意；
B、由函数图象可知，一次函数与轴的交点位于一次函数与轴的交点的上方，所以，此项错误，不符合题意；
C、由函数图象可知，当时，一次函数的图象位于一次函数的图象的下方，所以，此项错误，不符合题意；
D、由函数图象可知，两个一次函数的交点坐标为，所以关于的方程组，即方程组的解为，此项正确，符合题意；
故答案为：D.
【分析】本题主要考查一次函数图象与性质，包括一次函数的增减性、与坐标轴的交点以及方程组的解与图象交点之间的关系.由图可知，一次函数的图象从左向右呈下降趋势，即可判断A错误；由两个函数图象与轴的交点位置即可判断B错误；根据函数图象，当时，一次函数的图象位于一次函数的图象下方，即可判断C错误；方程组的解对应两条直线的交点坐标即可判断D正确．
11．【答案】5.5
【知识点】平均数及其计算；中位数；众数
【解析】【解答】∵一组数据4，x，5，y，7，9的众数为5，
∴x，y中至少有一个是5，
∵一组数据4，x，5，y，7，9的平均数为6，
∴ （4+x+5+y+7+9）=6，
∴x+y=11，
∴x，y中一个是5，另一个是6，
∴这组数为4，5，5，6，7，9，
∴这组数据的中位数是 ×（5+6）=5.5，
故答案为：5.5．
【分析】根据众数的概念得出x，y中至少有一个是5，根据平均数的计算方法列出方程，得出x+y=11，故x，y中一个是5，另一个是6，从而得出这组数据，将这组数据按从小到大排列后，处于最中间位置的是5，6，故其平均数就是中位数。
12．【答案】2
【知识点】二次根式的性质与化简；化简含绝对值有理数
【解析】【解答】解：∵1＜x＜2，∴x-3＜0，x-1＞0，
则
=3-x+x-1
=2，
故答案为：2．
【分析】根据绝对值，二次根式性质化简，再计算加减即可求出答案.
13．【答案】
【知识点】三角形的面积；勾股定理；几何图形的面积计算-割补法；等积变换；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【解答】解：由勾股定理可得，，
由网格可得，，
∵，
∴，
解得，
故答案为：．
【分析】本题结合网格的特点并利用勾股定理求出=5，然后利用割补法并结合网格，可以求出的面积为，再根据等面积法列式，此时即可求出的长。
14．【答案】
【知识点】一次函数图象上点的坐标特征；一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：由题意得平移后的直线解析式为，
∵平移后的直线经过点，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】
由直线的平移规律可得平移后的直线解析式为，再利用直线上点的坐标特征可得关于a的一元一次方程并求解即可．
15．【答案】
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：∵的图象与轴的交点坐标为，且函数值随的增大而增大，
∴不等式的解集是．
故答案为：．
【分析】本题结合一次函数与一元一次不等式的关系以及图中信息分析得出，不等式的解集就是一次函数在x轴上方对应的x的取值范围，此时找到该一次函数的交点并且分析出该函数的增减情况，即可得出答案。
16．【答案】3
【知识点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；平行四边形的面积；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠EAD=60°
∴△ABE是等边三角形，
∴AE=AB=BE，
∵AB=BC，
∴AE=BC=EC，
∵AD∥BC，
∴∠AEC=180°-∠EAD=120°，
∴∠ACE=∠CAE=30°
∴∠CAD=30°，故①正确；
∵AC⊥AB，
∴S ABCD=AB AC，故②正确，
∵AC⊥AB，
∴AB＜OB，故③错误；
∵∠CAD=30°，∠AEB=60°，AD∥BC，
∴∠EAC=∠ACE=30°，
∴AE=CE，
∴BE=CE，
∵OA=OC，
∴OE=AB=BC，故④正确．
故正确的有3个.
故答案是：3．
【分析】本题主要考查平行四边形的性质、等边三角形的判定与性质、角平分线的定义及三角形中位线定理的综合应用.先判断△ABE是等边三角形，再结合AB=BC判断△AEC是等腰三角形且顶角∠AEC=120°，即可推出①∠CAD=30°；进而可求∠BAC=90°，即AC⊥AB，可证②S ABCD=AB AC；在直角△AOB中，OB为斜边，AB为直角边，因此AB＜OB，③错误；最后利用OE是△ABC的中位线，可得④OE=BC.
17．【答案】解：原式

【知识点】零指数幂；二次根式的性质与化简；二次根式的乘除混合运算；实数的绝对值
【解析】【分析】先计算二次根式乘法、零指数幂、化简绝对值及最简二次根式，再进一步化简二次根式并进行实数加减计算即可．
18．【答案】（1）
（2）解：∵，
在中，，
，
解得：，
，
∴这棵树高米．
【知识点】等式的基本性质；勾股定理
【解析】【解答】（1）解：，
，
；
故答案为：（1）；
【分析】根据“ 一只猴子沿树爬下走到离树的处，另一只猴子先爬到树顶处后再沿缆绳滑到处，已知两只猴子所经过的路程相等 ”，此时结合图中信息和条件列式，将BD=x、BC=2、AC=6代入计算并变形，即可得出答案；
在中利用勾股定理列式，代入可得，解方程得出，然后结合图中信息得出树高为，代入计算即可。
（1）解：，
，
；
故答案为：；
（2）解：由题意知，
在中，，
，
解得：，
，
∴这棵树高米．
19．【答案】解：
，
将代入得：
原式
．
【知识点】分母有理化；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】先将被除式的分子、分母分别利用完全平方公式和平方差公式分解因式，同时根据除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法转变为乘法，进而计算乘法约分化简，最后代入x的值，分子、分母分别合并后，再进行分母有理化即可.
20．【答案】（1）甲
（2）解：甲的平均成绩：（分），
乙的平均成绩：（分），
∵，
∴乙将被录取．
【知识点】平均数及其计算；加权平均数及其计算
【解析】【解答】（1）解：甲的平均成绩为：分，乙平均成绩为：分．
∵公司认为笔试和面试同等重要，而甲的平均成绩大于乙，
∴被录取是甲．
故答案为：（1）甲；
【分析】（1）根据条件“笔试和面试同等重要”，因此需要计算出甲和乙各自的平均成绩，最后比较即可；
（2） 根据加权平均数的计算公式分别计算出甲和乙的加权平均成绩，最后比较大小即可。
（1）根据题干：笔试与面试同等重要，甲方的平均成绩为：，乙方平均成绩为：．
∴甲方平均成绩大于乙方，被录取是甲方．
（2）甲的平均成绩：（分），
乙的平均成绩：（分），
因为，所以乙将被录取．
21．【答案】（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，，
在与中，
，
∴，
∴；
（2）解：由，得，
∴，
∴
在与中，
，
∴，
∴，
在中，，
∴．
【知识点】角的运算；勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）结合正方形四条边相等、四个角都是直角的特点，并计算邻补角综合推出，，此时结合条件利用SAS证明，从而根据全等三角形的对应边相等即可得出答案；
（2）结合（1）的全等三角形的性质，得出，然后计算推出，此时可以利用SAS证明，从而根据全等三角形的对应边相等得出；接着在中运用勾股定理得到，从而得出答案。
（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，，
在与中，
，
∴，
∴；
（2）解：由，得，
∴，
∴
在与中，
，
∴，
∴，
在中，，
∴．
22．【答案】（1）解：设增加工人后与的函数表达式是，
将，代入上式，得：，
解得：，
∴增加工人后与的函数表达式是．
（2）解：在中，令，得：，
解得：．
答：生产天后的服装总件数恰好为件．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用；通过函数图象获取信息
【解析】【分析】（1）先假出设增加工人后与的函数表达式。结合图中信息并利用待定系数法，将，代入解析式得到二元一次方程组，求解出k和b即可得出该函数表达式；
（2）在（1）计算出来的函数表达式基础上，令即可得到关于x的一元一次方程，求解x即可．
（1）解：设增加工人后与的函数表达式是，
将，代入上式，得：，
解得：，
∴增加工人后与的函数表达式是．
（2）在中，令，得：
解得：．
答：生产天后的服装总件数恰好为件．
23．【答案】解： （1）
（2）
=
=
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；二次根式的乘除混合运算；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）解题第一步先运用平方差公式和完全平方公式去掉括号，之后再合并同类项就可以得到结果；
（2）解题第一步先把各个二次根式化简为最简二次根式，再对括号里的同类项进行合并，最后计算除法即可得到最终结果。
24．【答案】（1）证明：∵，∴，
∵，
∴，
在和中
，
∴．
（2）四边形的形状是平行四边形，
证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，，
∴四边形是平行四边形．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】（1）由平行线的性质，可得，结合已知条件可推出，即可根据判定两个三角形全等；
（2）根据全等三角形的性质可得，结合，可先判定四边形ACFD是平行四边形，由此可得，且，再结合条件推出，，最后根据平行四边形的判定定理即可推出结论。
25．【答案】（1）60
（2）解：设与x之间的函数解析式为，
将点，代入得，
解得：，
∴与x之间的函数解析式为，
同理，设与x之间的函数解析式为，
将点，代入得，
解得，
∴与x之间的函数解析式为；
（3）解：将与x之间的函数解析式联立得，
，
解得，
∴点C的坐标为，
点C的实际意义为：甲出发时，乙追上甲，此时两人距A地.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与二元一次方程（组）的关系；通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】（1）解：观察图象，由甲先出发可知甲从A地到B地用了，
∵A，B两地相距，
∴甲的速度为，
故答案为：60.
【分析】（1）结合函数图象中国的数据，利用“速度=路程÷时间”列出算式求解即可；
（2）结合函数图象中的数据，再利用待定系数法求出函数解析式即可；
（3）先联立方程组，再求出方程组的解，从而可得点C的坐标.
（1）解：观察图象，由甲先出发可知甲从A地到B地用了，
∵A，B两地相距，
∴甲的速度为，
故答案为：60；
（2）解：设与x之间的函数解析式为，
将点，代入得，
解得，
∴与x之间的函数解析式为，
同理，设与x之间的函数解析式为，
将点，代入得，
解得，
∴与x之间的函数解析式为；
（3）解：将与x之间的函数解析式联立得，
，
解得，
∴点C的坐标为，
点C的实际意义为：甲出发时，乙追上甲，此时两人距A地．
26．【答案】（1）7.5；7.5
（2）八，八年级成绩的方差小于七年级
（3）解：估计参如此次测试活动成绩合格的学生人数是1200×＝1080（人）．
【知识点】用样本估计总体；统计表；条形统计图
【解析】【解答】（1）解：由表可知，
八年级成绩的平均数a＝＝7.5，
所以a＝7.5；
八年级成绩最中间的2个数分别为7、8，
所以其中位数b＝＝7.5，
故答案为：7.5；7.5；
（2）解：八年级的成绩更加稳定，理由是八年级成绩的方差小于七年级，
故答案为：八，八年级成绩的方差小于七年级.
【分析】（1）利用平均数、中位数的定义及计算方法分析求解即可；
（2）利用方差的性质（方差越大，这组数据的波动越大，离散程度越大，稳定性也越小）及计算方法分析求解即可；
（3）先求出“合格”的百分比，再乘以1200可得答案.
27．【答案】（1）解：四边形是长方形，
，，
由折叠的性质知，，
∵，
∴OC=6，
在中，由勾股定理得，
；
（2）解：设所在直线的解析式为，
将C（0，6）代入，解得b=6，
由折叠的性质知，，
设，
，，
由勾股定理得，
即，
解得，
，
，
代入得，，
故所在直线的解析式为：．
（3）解：在中，令，则，
∴，
∴．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形的面积；勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】（1）根据长方形的性质得出，，折叠的性质得出，最后利用勾股定理列式计算求出，即可得出E点坐标；
（2）将C点坐标代入可以先求出所在直线的解析式中b=6；结合折叠的性质与勾股定理，列式求得，最后利用待定系数法将D点坐标代入，即可求所在直线的解析式；
（3）因为“ 直线交x轴于点F ”，此时结合（2）中计算出来的CD所在直线的解析式，令y=0即可先求出点，此时利用三角形面积公式列式计算即可。
（1）解：四边形是长方形，
，，
由折叠的性质知，，
，
在中，由勾股定理得，
；
（2）解：设所在直线的解析式为，
，
，
由折叠的性质知，，
设，
，，
由勾股定理得，
即，
解得，
，
，
代入得，，
故所在直线的解析式为：．
（3）在中，令，则，
∴，
∴．
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