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甘肃省庆阳市西峰区2024-2025学年下学期七年级期末数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列四个数中，最大的数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】实数的大小比较
【解析】【解答】解：
根据实数大小比较的方法可知：，
即，
∴最大的数是，
故答案为：．
【分析】
先将 化简，然后再根据实数大小比较的方法：正数都大于；负数都小于；正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的其值反而小，比较即可．
2．下面四组数据中，不是二元一次方程的解的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二元一次方程的解
【解析】【解答】解：A、，符合题意；
B、，不符合题意；
C、，不符合题意；
D、，不符合题意；
故选：A．
【分析】本题考查二元一次方程解的定义，能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解。解题时只需将每个选项中的和值分别代入方程，计算左边的结果并与右边的5比较，若不相等则该组数据不是方程的解。
3．坐标思想是法国数学家笛卡尔创立的，在平面直角坐标系中，关于点坐标和，下列结论正确的是（　　）
A．横坐标相同 B．纵坐标相同
C．所在象限相同 D．到y轴距离相同
【答案】D
【知识点】点的坐标；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】A．坐标的横坐标为，的横坐标为2，故选项错误；
B．坐标的纵坐标为4，的纵坐标为，故选项错误；
C．坐标在第二象限，在第四象限，故选项错误；
D．坐标和到y轴的距离相同，都等于2，故选项正确．
故选：D．
【分析】由和 知这两个点的横、纵坐标都互为相反数，则这两个点关于原点对称，它们到y轴的距离相等，到x轴的距离相等，到原点的距离也相等．

4．若，且是任意实数，则下列不等式总成立的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、∵，∴当时，，故A不符合题意；
B、∵，∴当时，，故B不符合题意；
C、∵，∴，故C符合题意；
D、∵，∴当时，，故D不符合题意.
故答案为：C．
【分析】不等式的两边同时减去同一个式子，不等号的方向不改变，据此可判断C选项；不等式的两边同时乘以同一个正数，不等号的方向不改变，据此可判断A、B选项；不等式的两边同时乘以同一个负数，不等号的方向改变，据此可判断D选项.
5．如图，直线、相交于点，为直角，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】角的运算；垂线的概念；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：∵为直角，，
∴，
故答案为：B.
【分析】本题主要考查对顶角相等以及角的和差计算.将转化为，再结合已知计算即可.
6．在今年的“十一”假期中，多景区客流“爆棚”，客流量与文旅消费均呈现上升趋势．小明为了解本年级学生的假期出游情况，从年级名学生记录的假期出游时间（单位：小时）中随机抽取了名学生的假期出游时间（单位：小时）进行统计，以下说法正确的是（　　）
A．名学生是总体
B．样本容量是
C．名学生的假期出游时间是样本
D．此调查为全面调查
【答案】C
【知识点】全面调查与抽样调查；总体、个体、样本、样本容量
【解析】【解答】A. 总体是名学生的假期出游时间，而非学生本身，故A错误；
B. 样本容量是抽取的名学生，故样本容量为，而非，B错误；
C.名学生的假期出游时间是样本，正确；
D. 此调查仅抽取部分学生，属于抽样调查，D错误；
故选：C；
【分析】本题考查统计调查中的基本概念，包括总体、样本、样本容量以及抽样调查与全面调查的区别。总体是指研究对象的全体，样本是从总体中抽取的一部分个体，样本容量是样本中个体的数目，抽样调查是抽取部分个体进行调查，全面调查是对所有个体进行调查，据此逐一判断选项。
7．若点在第二象限，那么a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】解一元一次不等式组；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：由题意，得：，
解得：；
故答案为：A.
【分析】本题主要考查平面直角坐标系中点的坐标符号与象限的关系.第二象限的点的坐标特征为横坐标为负，纵坐标为正，据此列出不等式求解即可.
8．如图，正方形的面积为3，顶点在数轴上，且点表示的数为2，数轴上有一点在点的左侧，若，则点表示的数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】实数在数轴上的表示；正方形的性质；求算术平方根
【解析】【解答】解：如图，
∵正方形的面积为3，
∴，
∴，
∵点表示的数为2，
∴点表示的数为，
故答案为：B．
【分析】根据正方形面积计算出，再根据点表示的数为2，结合数轴上两点距离公式计算即可得答案.求解即可．
9．如图，在三角形中，点，，分别在边，，上，连接，．下列四个命题中，是真命题的是（　　）
①若，则；
②若，则；
③若，则；
④若，则．
A．①② B．③④ C．①②③ D．①②③④
【答案】C
【知识点】平行线的判定；真命题与假命题；平行线的应用-证明问题
【解析】【解答】解：如图，
①∵，
∴，故①真命题，
②∵，
∴，故②真命题.
③∵，
∴，故③是真命题.
④∵，
∴无法判断，故④是假命题.
故真命题有①②③，假命题为④.
故答案为：C．
【分析】根据平行线的判定定理，结合条件，，，可判断、、平行，根据，不能判断，即可得答案.
10． 《孙子算经》是我国古代著名的数学典籍，其中有一道题：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳度之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．问木长多少尺？设木长尺，绳子长尺，则可以列出的方程组为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解： 设木长尺，绳子长y尺，根据题意，得：
.
故答案为：A。
【分析】 设木长尺，绳子长y尺，根据 用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺 ，可得方程y-x=4.5；根据 将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，可得方程x-0.5y=1，联立即可得出方程组。
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分．
11．计算：　 　．
【答案】
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：
故答案为：．
【分析】本题考查二次根式的混合运算，涉及二次根式的乘法法则和合并同类二次根式。解题时先根据二次根式的乘法法则计算，再进行加减运算，合并同类项后得到结果。
12．一个样本含有20个数据：
65 61 63 65 67 69 65 68 70 69
66 64 65 67 66 62 64 65 66 68
在列频数分布表时，如果取组距为2，那么应分成　 　组．
【答案】5
【知识点】频数（率）分布表
【解析】【解答】解：∵，
∴应分成5组．
故答案为：5.
【分析】本题主要考查频数分布表中组数的确定方法.使用公式“组数=极差÷组距”，其中极差=最大值-最小值.由数据，最大值为70，最小值为61，极差=70-61=9，已知组距为2，则组数为9÷2≈4.5，由于组数必须是正整数，因此需要进位取整，即为5组.
13．若方程组的解满足，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】加减消元法解二元一次方程组；已知二元一次方程组的解求参数
【解析】【解答】解：方程组的解满足，
，
得：，
把代入得：，
方程组的解为，
把代入得：，
解得：，
故答案为：．
【分析】根据题意，先解x+2y=5与x+y=3组成的方程组，求出x与y的值，再将所求的x、y的值代入4x+3y=3a+1可得关于字母a的方程，求解即可得出a的值.
14．已知，那么的立方根是　 　．
【答案】
【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：已知，
那么，
所以，
所以，
所以的立方根是．
故答案为：．
【分析】本题考查非负数的性质以及立方根的定义，算术平方根和绝对值都是非负数，两个非负数的和为0，则这两个非负数都为0。根据这一性质求出和的值，再计算的立方根。
15．天文学家以流星雨辐射的区域的星座给流星雨命名，如图，把狮子座的星座图放在网格中，若点 A 的坐标是，点 C 的坐标是，则点 B 的坐标是　 　 ．
【答案】
【知识点】用坐标表示地理位置
【解析】【解答】解：根据点A的坐标是，点C的坐标是，建立如图所示平面直角坐标系，
由图可知：，
故答案为：．
【分析】根据点A的坐标是，点C的坐标是，建立如图所示平面直角坐标系，根据坐标系即可得点 B 的坐标．
16．如图，，，三根木棒钉在一起，，，现将木棒，同时分别以和的速度沿顺时针方向旋转，当木棒旋转一周时，两根木棒同时停止旋转．则旋转　 　后木棒，平行．
【答案】或
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题；平行线的应用-求角度；分类讨论
【解析】【解答】解：设旋转后木棒，平行，根据题意，旋转后，
解得：
或
解得．
综上所述，秒或秒后木棒，平行．
故答案为：或.
【分析】本题主要考查平行线的性质、一元一次方程的应用和分类讨论思想.旋转过程中根据角度的变化，结合平行线的性质（内错角相等、同位角相等）建立方程.设旋转后木棒，平行，根据的速度比快，分两种情况讨论，解方程即可求解.
三、解答题：本题共11小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．计算：．
【答案】解：原式．
【知识点】二次根式的加减法；实数的绝对值；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【分析】本题考查实数的混合运算法则，根据题意，先进行开方，去绝对值运算，再进行加减运算，即可得到答案．
18．解方程组．
【答案】解：，
由①得：x＝y+4，
代入②得：4y+16+2y＝﹣1，
解得：y＝﹣，
将y＝﹣代入①得：x＝，
则方程组的解为．
【知识点】代入消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】本题主要考查用代入消元法解二元一次方程组.将方程①中的x用含y的式子表示出来，即x=y+4；再代入方程②，消去一个未知数x，从而转化为一元一次方程，解出y；再代回方程①解出x.
19．按要求完成下列证明∶
已知：如图，在中，于点是上一点，且．
求证∶．
证明∶（已知），
____________（____________）．
（已知）
____________（____________）．
（____________）．
【答案】解：如图，
（已知），
（垂直的定义）
（已知），
（同角的余角相等）．
（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：；垂直的定义；；同角的余角相等；内错角相等，两直线平行．
【知识点】垂线的概念；平行线的判定；平行线的应用-证明问题
【解析】【分析】根据垂直，根据垂直的定义得，再根据得，结合同角的余角相等得，再根据内错角相等，两直线平行即可判断.
20．解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．
【答案】解：，解不等式得：，
解不等式得：，
∴不等式组的解集是，
在数轴上表示如图，
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【分析】本题考查一元一次不等式组的解法以及解集在数轴上的表示方法。解一元一次不等式组时，先分别求出每个不等式的解集，再找出它们的公共部分即为不等式组的解集。在数轴上表示解集时，大于向右画，小于向左画，有等号用实心点，无等号用空心点。
21．已知的立方根是，的算术平方根是2，c的平方根是它本身．
（1）求a，b，c的值．
（2）求的平方根．
【答案】（1）解： ∵，，c的平方根是它本身，
∴，，，
∴，
∴．
（2）解：由（1）知：，，，
∴，
∴的平方根是．
【知识点】平方根的概念与表示；开平方（求平方根）；算术平方根的概念与表示；立方根的概念与表示
【解析】【分析】（1）根据立方根，算术平方根，平方根的概念，求出a，b，c的值，即可求出答案；
（2）根据（1）中所求，，的值代入代数式中求出答案，再求平方根即可．
（1）解： ∵，，c的平方根是它本身，
∴，，，
∴，
∴．
（2）解：由（1）知：，，，
∴，
∴的平方根是．
22．已知点是平面直角坐标系中的点．
（1）若点在轴上，则点的坐标为___________；
（2）若点在第一、三象限的角平分线上，则点的坐标为___________；
（3）已知点，且轴，求点的坐标．
【答案】（1）
（2）
（3）解：、，且轴，
，解得，则点的坐标为．
【知识点】坐标与图形性质；平面直角坐标系的构成；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】（1）解：在轴上，
横坐标为，即，解得，则点的坐标为，
故答案为：；
（2）解：在第一、三象限的角平分线上，
，解得，则点的坐标为，
故答案为：；
【分析】（1）根据y轴上点的坐标特征即可求出答案.
（2）根据第一、三象限的角平分线上点的坐标特征即可求出答案.
（3）根据平行与x轴的直线上点的坐标特征即可求出答案.
（1）解：在轴上，
横坐标为，即，解得，则点的坐标为，
故答案为：；
（2）解：在第一、三象限的角平分线上，
，解得，则点的坐标为，
故答案为：；
（3）解：、，且轴，
，解得，则点的坐标为．
23．在平面直角坐标系中，三角形三个顶点的坐标分别是将三角形向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度得到三角形（点A、B、C的对应点分别为、、）
（1）请在图中作出平移后的三角形，并写出、、三点的坐标；
（2）求三角形的面积．
【答案】（1）解：如图：即为所画：
、、三点的坐标为.
（2）解：如图，
根据图形得三角形的面积为：
∴三角形的面积为．
【知识点】三角形的面积；坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移
【解析】【分析】（1）根据“右加左减，上加下减”求出平移后的点，再连接即可.
（2）根据割补法得三角形的面积等于矩形面积减去周围三角形面积计算即可.
（1）解：如图：即为所画：
、、三点的坐标为；
（2）解：三角形的面积为：
，
答：三角形的面积为．
24．某市为了加强学生的安全意识，组织全市学生参加安全知识竞赛，为了了解此次知识竞赛成绩的情况，随机抽取了部分参赛学生的成绩，整理并制作出如下的不完整的统计表和统计图，请根据图表信息解答问题．
组别 成绩/分 频数
A组
B组 8
C组 12
D组 14
（1）这次一共抽取了_____名参赛学生的成绩；
（2）补全频数分布直方图；
（3）计算扇形统计图中“B”对应的圆心角度数；
（4）若该市共有学生120万人，成绩在80分及80分以上为“优秀”，估计该市学生中能获得“优秀”的有多少万人．
【答案】（1）40
（2）解：表中：，
补全频数分布直方图如图所示：
（3）解：根据题意得：
，
∴扇形统计图中“B”对应的圆心角度数是．
（4）解：根据题意得：
（万人），
∴即估计该市学生中能获得“优秀”的有78万人．
【知识点】频数（率）分布直方图；扇形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）解：根据题意得：（人）
故答案为：40.
【分析】（1）根据计算即可得答案.
（2）根据各组的频数之和等于总数即可求出数据，再补全频数分布直方图即可.
（3）根据“B”对应的圆心角度数＝的百分数即可求解.
（4）根据总体的“优秀”人数＝总体总数（样本“优秀”人数样本总数）即可求解.
（1）解：抽取了（人），
故答案为：40；
（2）解：表中，
补全频数分布直方图如图所示：
（3）解：，
即扇形统计图中“B”对应的圆心角度数是．
（4）解：（万人），
即估计该市学生中能获得“优秀”的有78万人．
25．阅读下面的文字，解答问题：
大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来．将这个数减去其整数部分，差就是小数部分，因为的整数部分是，于是用来表示的小数部分．又例如：
∵ ，即
∴的整数部分是2，小数部分为
（1）的整数部分是 ，小数部分是 ；
（2）若分别是的整数部分和小数部分，求 的值．
【答案】（1）5；
（2）解：∵，即，∴，
∴的整数部分是1，小数部分是，
∴，，
∴．
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】（1）∵，即，
∴的整数部分是5，小数部分是，
故答案为：5；．
【分析】（1）本题考查无理数的估算方法。先找出与26相邻的两个完全平方数25和36，得到，即，因此的整数部分是5，小数部分等于这个数减去其整数部分，即。
（2）本题考查无理数的估算与代数式求值。先估算的大小，得到，进而得到，因此的整数部分，小数部分，然后将和的值代入代数式进行计算。
（1）∵，即，
∴的整数部分是5，小数部分是，
故答案为：5；．
（2）解：∵，即，
∴，
∴的整数部分是1，小数部分是，
∴，，
∴．
26．某酒店计划购买两款智能送物机器人，已知购买台款和台款智能送物机器人共需要万元，购买台款和台款智能送物机器人共需要万元．
（1）该酒店购买台款和台款智能送物机器人分别需要多少万元？
（2）若该酒店计划购买，两款智能送物机器人共台，且总费用不超过万元，则该酒店最多可购买款智能送物机器人多少台？
【答案】（1）解：设该酒店购买台款智能送物机器人需要万元，台款智能送物机器人需要万元，
根据题意得：，
解得：，
答：该酒店购买台款智能送物机器人需要万元，台款智能送物机器人需要万元；
（2）解：设该酒店可购买款智能送物机器人台，则可购买款智能送物机器人台，根据题意得：，
解得：，
∴的最大值为，
答：该酒店最多可购买B款智能送物机器人台．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）本题考查二元一次方程组在实际问题中的应用。设购买1台A款智能送物机器人需要万元，1台B款需要万元，根据“购买2台A款和3台B款共需要11.5万元”以及“购买3台A款和2台B款共需要11万元”这两个等量关系，列出二元一次方程组并求解。
（2）本题考查一元一次不等式在实际问题中的应用。设购买B款智能送物机器人台，则购买A款台，根据总费用不超过22万元这一不等关系，列出一元一次不等式，解不等式并取最大整数解即可。
（1）解：设该酒店购买台款智能送物机器人需要万元，台款智能送物机器人需要万元，
根据题意得：，
解得：，
答：该酒店购买台款智能送物机器人需要万元，台款智能送物机器人需要万元；
（2）解：设该酒店可购买款智能送物机器人台，则可购买款智能送物机器人台，
根据题意得：，
解得：，
∴的最大值为，
答：该酒店最多可购买B款智能送物机器人台．
27．（1）【感知发现】学习平行线时，兴趣小组发现了很多有趣的模型图．如图1，当时，可以得到结论：．请你写出证明过程．
（2）【综合实践】利用这个“模型结论”，我们可以解决很多问题．如图2，已知直线，点C在直线b上，在三角形中，，兴趣小组的同学们发现，请说明理由．
（3）【探究运用】如图3，，F是上一点，平分，平分，试探究与之间的数量关系，并证明你的结论．
【答案】解：（1）证明：如图，
过E点作，
，
，
，
，
∴.
（2），理由如下：
如图2，
由（1）模型图知，，
，
，
，
，
∴.
（3），理由如下：
如图3，
由（1）模型图得，，
平分，平分，
，，
，
，
，
，
，
∴．
【知识点】平行公理及推论；平行线的判定；平行线的性质；角平分线的概念；猪蹄模型
【解析】【分析】（1）过E点作平行，根据平行线公理及推论可得互相平行，再根据平行线的性质得出相等，相等，即可得.
（2）根据（1）的结论得，根据，即可得，
再根据即可计算出.
（3）根据（1）可得，结合角平分线的定义得，，进一步推理计算可得，即可得.
1 / 1甘肃省庆阳市西峰区2024-2025学年下学期七年级期末数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列四个数中，最大的数是（　　）
A． B． C． D．
2．下面四组数据中，不是二元一次方程的解的是（　　）
A． B． C． D．
3．坐标思想是法国数学家笛卡尔创立的，在平面直角坐标系中，关于点坐标和，下列结论正确的是（　　）
A．横坐标相同 B．纵坐标相同
C．所在象限相同 D．到y轴距离相同
4．若，且是任意实数，则下列不等式总成立的是（　　）
A． B． C． D．
5．如图，直线、相交于点，为直角，，则（　　）
A． B． C． D．
6．在今年的“十一”假期中，多景区客流“爆棚”，客流量与文旅消费均呈现上升趋势．小明为了解本年级学生的假期出游情况，从年级名学生记录的假期出游时间（单位：小时）中随机抽取了名学生的假期出游时间（单位：小时）进行统计，以下说法正确的是（　　）
A．名学生是总体
B．样本容量是
C．名学生的假期出游时间是样本
D．此调查为全面调查
7．若点在第二象限，那么a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
8．如图，正方形的面积为3，顶点在数轴上，且点表示的数为2，数轴上有一点在点的左侧，若，则点表示的数为（　　）
A． B． C． D．
9．如图，在三角形中，点，，分别在边，，上，连接，．下列四个命题中，是真命题的是（　　）
①若，则；
②若，则；
③若，则；
④若，则．
A．①② B．③④ C．①②③ D．①②③④
10． 《孙子算经》是我国古代著名的数学典籍，其中有一道题：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳度之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．问木长多少尺？设木长尺，绳子长尺，则可以列出的方程组为（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分．
11．计算：　 　．
12．一个样本含有20个数据：
65 61 63 65 67 69 65 68 70 69
66 64 65 67 66 62 64 65 66 68
在列频数分布表时，如果取组距为2，那么应分成　 　组．
13．若方程组的解满足，则的值为　 　．
14．已知，那么的立方根是　 　．
15．天文学家以流星雨辐射的区域的星座给流星雨命名，如图，把狮子座的星座图放在网格中，若点 A 的坐标是，点 C 的坐标是，则点 B 的坐标是　 　 ．
16．如图，，，三根木棒钉在一起，，，现将木棒，同时分别以和的速度沿顺时针方向旋转，当木棒旋转一周时，两根木棒同时停止旋转．则旋转　 　后木棒，平行．
三、解答题：本题共11小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．计算：．
18．解方程组．
19．按要求完成下列证明∶
已知：如图，在中，于点是上一点，且．
求证∶．
证明∶（已知），
____________（____________）．
（已知）
____________（____________）．
（____________）．
20．解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．
21．已知的立方根是，的算术平方根是2，c的平方根是它本身．
（1）求a，b，c的值．
（2）求的平方根．
22．已知点是平面直角坐标系中的点．
（1）若点在轴上，则点的坐标为___________；
（2）若点在第一、三象限的角平分线上，则点的坐标为___________；
（3）已知点，且轴，求点的坐标．
23．在平面直角坐标系中，三角形三个顶点的坐标分别是将三角形向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度得到三角形（点A、B、C的对应点分别为、、）
（1）请在图中作出平移后的三角形，并写出、、三点的坐标；
（2）求三角形的面积．
24．某市为了加强学生的安全意识，组织全市学生参加安全知识竞赛，为了了解此次知识竞赛成绩的情况，随机抽取了部分参赛学生的成绩，整理并制作出如下的不完整的统计表和统计图，请根据图表信息解答问题．
组别 成绩/分 频数
A组
B组 8
C组 12
D组 14
（1）这次一共抽取了_____名参赛学生的成绩；
（2）补全频数分布直方图；
（3）计算扇形统计图中“B”对应的圆心角度数；
（4）若该市共有学生120万人，成绩在80分及80分以上为“优秀”，估计该市学生中能获得“优秀”的有多少万人．
25．阅读下面的文字，解答问题：
大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来．将这个数减去其整数部分，差就是小数部分，因为的整数部分是，于是用来表示的小数部分．又例如：
∵ ，即
∴的整数部分是2，小数部分为
（1）的整数部分是 ，小数部分是 ；
（2）若分别是的整数部分和小数部分，求 的值．
26．某酒店计划购买两款智能送物机器人，已知购买台款和台款智能送物机器人共需要万元，购买台款和台款智能送物机器人共需要万元．
（1）该酒店购买台款和台款智能送物机器人分别需要多少万元？
（2）若该酒店计划购买，两款智能送物机器人共台，且总费用不超过万元，则该酒店最多可购买款智能送物机器人多少台？
27．（1）【感知发现】学习平行线时，兴趣小组发现了很多有趣的模型图．如图1，当时，可以得到结论：．请你写出证明过程．
（2）【综合实践】利用这个“模型结论”，我们可以解决很多问题．如图2，已知直线，点C在直线b上，在三角形中，，兴趣小组的同学们发现，请说明理由．
（3）【探究运用】如图3，，F是上一点，平分，平分，试探究与之间的数量关系，并证明你的结论．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】实数的大小比较
【解析】【解答】解：
根据实数大小比较的方法可知：，
即，
∴最大的数是，
故答案为：．
【分析】
先将 化简，然后再根据实数大小比较的方法：正数都大于；负数都小于；正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的其值反而小，比较即可．
2．【答案】A
【知识点】二元一次方程的解
【解析】【解答】解：A、，符合题意；
B、，不符合题意；
C、，不符合题意；
D、，不符合题意；
故选：A．
【分析】本题考查二元一次方程解的定义，能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解。解题时只需将每个选项中的和值分别代入方程，计算左边的结果并与右边的5比较，若不相等则该组数据不是方程的解。
3．【答案】D
【知识点】点的坐标；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】A．坐标的横坐标为，的横坐标为2，故选项错误；
B．坐标的纵坐标为4，的纵坐标为，故选项错误；
C．坐标在第二象限，在第四象限，故选项错误；
D．坐标和到y轴的距离相同，都等于2，故选项正确．
故选：D．
【分析】由和 知这两个点的横、纵坐标都互为相反数，则这两个点关于原点对称，它们到y轴的距离相等，到x轴的距离相等，到原点的距离也相等．

4．【答案】C
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、∵，∴当时，，故A不符合题意；
B、∵，∴当时，，故B不符合题意；
C、∵，∴，故C符合题意；
D、∵，∴当时，，故D不符合题意.
故答案为：C．
【分析】不等式的两边同时减去同一个式子，不等号的方向不改变，据此可判断C选项；不等式的两边同时乘以同一个正数，不等号的方向不改变，据此可判断A、B选项；不等式的两边同时乘以同一个负数，不等号的方向改变，据此可判断D选项.
5．【答案】B
【知识点】角的运算；垂线的概念；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：∵为直角，，
∴，
故答案为：B.
【分析】本题主要考查对顶角相等以及角的和差计算.将转化为，再结合已知计算即可.
6．【答案】C
【知识点】全面调查与抽样调查；总体、个体、样本、样本容量
【解析】【解答】A. 总体是名学生的假期出游时间，而非学生本身，故A错误；
B. 样本容量是抽取的名学生，故样本容量为，而非，B错误；
C.名学生的假期出游时间是样本，正确；
D. 此调查仅抽取部分学生，属于抽样调查，D错误；
故选：C；
【分析】本题考查统计调查中的基本概念，包括总体、样本、样本容量以及抽样调查与全面调查的区别。总体是指研究对象的全体，样本是从总体中抽取的一部分个体，样本容量是样本中个体的数目，抽样调查是抽取部分个体进行调查，全面调查是对所有个体进行调查，据此逐一判断选项。
7．【答案】A
【知识点】解一元一次不等式组；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：由题意，得：，
解得：；
故答案为：A.
【分析】本题主要考查平面直角坐标系中点的坐标符号与象限的关系.第二象限的点的坐标特征为横坐标为负，纵坐标为正，据此列出不等式求解即可.
8．【答案】B
【知识点】实数在数轴上的表示；正方形的性质；求算术平方根
【解析】【解答】解：如图，
∵正方形的面积为3，
∴，
∴，
∵点表示的数为2，
∴点表示的数为，
故答案为：B．
【分析】根据正方形面积计算出，再根据点表示的数为2，结合数轴上两点距离公式计算即可得答案.求解即可．
9．【答案】C
【知识点】平行线的判定；真命题与假命题；平行线的应用-证明问题
【解析】【解答】解：如图，
①∵，
∴，故①真命题，
②∵，
∴，故②真命题.
③∵，
∴，故③是真命题.
④∵，
∴无法判断，故④是假命题.
故真命题有①②③，假命题为④.
故答案为：C．
【分析】根据平行线的判定定理，结合条件，，，可判断、、平行，根据，不能判断，即可得答案.
10．【答案】A
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解： 设木长尺，绳子长y尺，根据题意，得：
.
故答案为：A。
【分析】 设木长尺，绳子长y尺，根据 用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺 ，可得方程y-x=4.5；根据 将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，可得方程x-0.5y=1，联立即可得出方程组。
11．【答案】
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：
故答案为：．
【分析】本题考查二次根式的混合运算，涉及二次根式的乘法法则和合并同类二次根式。解题时先根据二次根式的乘法法则计算，再进行加减运算，合并同类项后得到结果。
12．【答案】5
【知识点】频数（率）分布表
【解析】【解答】解：∵，
∴应分成5组．
故答案为：5.
【分析】本题主要考查频数分布表中组数的确定方法.使用公式“组数=极差÷组距”，其中极差=最大值-最小值.由数据，最大值为70，最小值为61，极差=70-61=9，已知组距为2，则组数为9÷2≈4.5，由于组数必须是正整数，因此需要进位取整，即为5组.
13．【答案】
【知识点】加减消元法解二元一次方程组；已知二元一次方程组的解求参数
【解析】【解答】解：方程组的解满足，
，
得：，
把代入得：，
方程组的解为，
把代入得：，
解得：，
故答案为：．
【分析】根据题意，先解x+2y=5与x+y=3组成的方程组，求出x与y的值，再将所求的x、y的值代入4x+3y=3a+1可得关于字母a的方程，求解即可得出a的值.
14．【答案】
【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：已知，
那么，
所以，
所以，
所以的立方根是．
故答案为：．
【分析】本题考查非负数的性质以及立方根的定义，算术平方根和绝对值都是非负数，两个非负数的和为0，则这两个非负数都为0。根据这一性质求出和的值，再计算的立方根。
15．【答案】
【知识点】用坐标表示地理位置
【解析】【解答】解：根据点A的坐标是，点C的坐标是，建立如图所示平面直角坐标系，
由图可知：，
故答案为：．
【分析】根据点A的坐标是，点C的坐标是，建立如图所示平面直角坐标系，根据坐标系即可得点 B 的坐标．
16．【答案】或
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题；平行线的应用-求角度；分类讨论
【解析】【解答】解：设旋转后木棒，平行，根据题意，旋转后，
解得：
或
解得．
综上所述，秒或秒后木棒，平行．
故答案为：或.
【分析】本题主要考查平行线的性质、一元一次方程的应用和分类讨论思想.旋转过程中根据角度的变化，结合平行线的性质（内错角相等、同位角相等）建立方程.设旋转后木棒，平行，根据的速度比快，分两种情况讨论，解方程即可求解.
17．【答案】解：原式．
【知识点】二次根式的加减法；实数的绝对值；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【分析】本题考查实数的混合运算法则，根据题意，先进行开方，去绝对值运算，再进行加减运算，即可得到答案．
18．【答案】解：，
由①得：x＝y+4，
代入②得：4y+16+2y＝﹣1，
解得：y＝﹣，
将y＝﹣代入①得：x＝，
则方程组的解为．
【知识点】代入消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】本题主要考查用代入消元法解二元一次方程组.将方程①中的x用含y的式子表示出来，即x=y+4；再代入方程②，消去一个未知数x，从而转化为一元一次方程，解出y；再代回方程①解出x.
19．【答案】解：如图，
（已知），
（垂直的定义）
（已知），
（同角的余角相等）．
（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：；垂直的定义；；同角的余角相等；内错角相等，两直线平行．
【知识点】垂线的概念；平行线的判定；平行线的应用-证明问题
【解析】【分析】根据垂直，根据垂直的定义得，再根据得，结合同角的余角相等得，再根据内错角相等，两直线平行即可判断.
20．【答案】解：，解不等式得：，
解不等式得：，
∴不等式组的解集是，
在数轴上表示如图，
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【分析】本题考查一元一次不等式组的解法以及解集在数轴上的表示方法。解一元一次不等式组时，先分别求出每个不等式的解集，再找出它们的公共部分即为不等式组的解集。在数轴上表示解集时，大于向右画，小于向左画，有等号用实心点，无等号用空心点。
21．【答案】（1）解： ∵，，c的平方根是它本身，
∴，，，
∴，
∴．
（2）解：由（1）知：，，，
∴，
∴的平方根是．
【知识点】平方根的概念与表示；开平方（求平方根）；算术平方根的概念与表示；立方根的概念与表示
【解析】【分析】（1）根据立方根，算术平方根，平方根的概念，求出a，b，c的值，即可求出答案；
（2）根据（1）中所求，，的值代入代数式中求出答案，再求平方根即可．
（1）解： ∵，，c的平方根是它本身，
∴，，，
∴，
∴．
（2）解：由（1）知：，，，
∴，
∴的平方根是．
22．【答案】（1）
（2）
（3）解：、，且轴，
，解得，则点的坐标为．
【知识点】坐标与图形性质；平面直角坐标系的构成；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】（1）解：在轴上，
横坐标为，即，解得，则点的坐标为，
故答案为：；
（2）解：在第一、三象限的角平分线上，
，解得，则点的坐标为，
故答案为：；
【分析】（1）根据y轴上点的坐标特征即可求出答案.
（2）根据第一、三象限的角平分线上点的坐标特征即可求出答案.
（3）根据平行与x轴的直线上点的坐标特征即可求出答案.
（1）解：在轴上，
横坐标为，即，解得，则点的坐标为，
故答案为：；
（2）解：在第一、三象限的角平分线上，
，解得，则点的坐标为，
故答案为：；
（3）解：、，且轴，
，解得，则点的坐标为．
23．【答案】（1）解：如图：即为所画：
、、三点的坐标为.
（2）解：如图，
根据图形得三角形的面积为：
∴三角形的面积为．
【知识点】三角形的面积；坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移
【解析】【分析】（1）根据“右加左减，上加下减”求出平移后的点，再连接即可.
（2）根据割补法得三角形的面积等于矩形面积减去周围三角形面积计算即可.
（1）解：如图：即为所画：
、、三点的坐标为；
（2）解：三角形的面积为：
，
答：三角形的面积为．
24．【答案】（1）40
（2）解：表中：，
补全频数分布直方图如图所示：
（3）解：根据题意得：
，
∴扇形统计图中“B”对应的圆心角度数是．
（4）解：根据题意得：
（万人），
∴即估计该市学生中能获得“优秀”的有78万人．
【知识点】频数（率）分布直方图；扇形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）解：根据题意得：（人）
故答案为：40.
【分析】（1）根据计算即可得答案.
（2）根据各组的频数之和等于总数即可求出数据，再补全频数分布直方图即可.
（3）根据“B”对应的圆心角度数＝的百分数即可求解.
（4）根据总体的“优秀”人数＝总体总数（样本“优秀”人数样本总数）即可求解.
（1）解：抽取了（人），
故答案为：40；
（2）解：表中，
补全频数分布直方图如图所示：
（3）解：，
即扇形统计图中“B”对应的圆心角度数是．
（4）解：（万人），
即估计该市学生中能获得“优秀”的有78万人．
25．【答案】（1）5；
（2）解：∵，即，∴，
∴的整数部分是1，小数部分是，
∴，，
∴．
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】（1）∵，即，
∴的整数部分是5，小数部分是，
故答案为：5；．
【分析】（1）本题考查无理数的估算方法。先找出与26相邻的两个完全平方数25和36，得到，即，因此的整数部分是5，小数部分等于这个数减去其整数部分，即。
（2）本题考查无理数的估算与代数式求值。先估算的大小，得到，进而得到，因此的整数部分，小数部分，然后将和的值代入代数式进行计算。
（1）∵，即，
∴的整数部分是5，小数部分是，
故答案为：5；．
（2）解：∵，即，
∴，
∴的整数部分是1，小数部分是，
∴，，
∴．
26．【答案】（1）解：设该酒店购买台款智能送物机器人需要万元，台款智能送物机器人需要万元，
根据题意得：，
解得：，
答：该酒店购买台款智能送物机器人需要万元，台款智能送物机器人需要万元；
（2）解：设该酒店可购买款智能送物机器人台，则可购买款智能送物机器人台，根据题意得：，
解得：，
∴的最大值为，
答：该酒店最多可购买B款智能送物机器人台．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）本题考查二元一次方程组在实际问题中的应用。设购买1台A款智能送物机器人需要万元，1台B款需要万元，根据“购买2台A款和3台B款共需要11.5万元”以及“购买3台A款和2台B款共需要11万元”这两个等量关系，列出二元一次方程组并求解。
（2）本题考查一元一次不等式在实际问题中的应用。设购买B款智能送物机器人台，则购买A款台，根据总费用不超过22万元这一不等关系，列出一元一次不等式，解不等式并取最大整数解即可。
（1）解：设该酒店购买台款智能送物机器人需要万元，台款智能送物机器人需要万元，
根据题意得：，
解得：，
答：该酒店购买台款智能送物机器人需要万元，台款智能送物机器人需要万元；
（2）解：设该酒店可购买款智能送物机器人台，则可购买款智能送物机器人台，
根据题意得：，
解得：，
∴的最大值为，
答：该酒店最多可购买B款智能送物机器人台．
27．【答案】解：（1）证明：如图，
过E点作，
，
，
，
，
∴.
（2），理由如下：
如图2，
由（1）模型图知，，
，
，
，
，
∴.
（3），理由如下：
如图3，
由（1）模型图得，，
平分，平分，
，，
，
，
，
，
，
∴．
【知识点】平行公理及推论；平行线的判定；平行线的性质；角平分线的概念；猪蹄模型
【解析】【分析】（1）过E点作平行，根据平行线公理及推论可得互相平行，再根据平行线的性质得出相等，相等，即可得.
（2）根据（1）的结论得，根据，即可得，
再根据即可计算出.
（3）根据（1）可得，结合角平分线的定义得，，进一步推理计算可得，即可得.
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