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北京市燕山区2024-2025学年八年级下学期6月期末数学试卷
一、下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．
1．化简的结果是（　　）
A． B．2 C． D．4
【答案】B
【知识点】求算术平方根
【解析】【解答】解：．
故选：B．
【分析】本题主要考查算术平方根的基本概念，需要明确算术平方根与平方根的本质区别。（）专门表示的非负平方根，即算术平方根，而平方根才包含正负两个值。因此仅表示4的正平方根，直接计算可得结果。
2．下列各组数中，能作为直角三角形三边长度的是（　　）
A．1，1， B．1，1，2 C．1，2，2 D．2，2，4
【答案】A
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】选项A：最长边为，验证勾股定理：等式成立，符合条件．
选项B：最长边为2，验证：等式不成立，排除．
选项C：最长边为2，验证：等式不成立，排除．
选项D：最长边为4，验证：等式不成立，排除．
综上，只有选项A满足勾股定理，
故选A．
【分析】本题考查勾股定理的逆定理，这是判断三角形是否为直角三角形的核心方法。解题时先从每组数中找出最长边，再计算两条较短边的平方和，将其与最长边的平方进行对比，若二者相等，则该组数据能构成直角三角形，反之则不能。
3．若菱形两条对角线的长分别为6和8，则这个菱形的周长为 (　　)
A．20 B．16 C．12 D．10
【答案】A
【知识点】勾股定理的应用；菱形的性质
【解析】【分析】根据菱形的对角线性质求边长后计算周长．
【解答】如图，
在菱形ABCD中，AC=8，BD=6．
∵ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，BO=3，AO=4．
∴AB=5．
∴周长=4×5=20．
故选A．
4．如图，在中，，，，则边上的高的长为（　　）
A．4 B． C． D．
【答案】B
【知识点】解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—面积关系；等积变换
【解析】【解答】解：在中，，，，
由勾股定理，
∵CD⊥AB，
∴S△ABC=，
∴．
故答案为：B.
【分析】本题主要考查勾股定理和等面积法求三角形的高.首先直接利用勾股定理计算AB，再根据三角形面积既可以用表示，也可以用表示，列出等式即可计算CD.
5．下列各曲线中表示y是x的函数的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】函数的概念；函数的图象
【解析】【解答】解：A．对于自变量x的任何值，y都有唯一的值与之相对应，y是x的函数，符合题意；
B．在圆内，对于自变量x的任何值，y都有两个值与之相对应，y不是x的函数，不符合题意；
C．在x轴正半轴，对于自变量x的任何值，y都有两个值与之相对应，y不是x的函数，不符合题意；
D．当时，y有两个值与之相对应， y不是x的函数，不符合题意；
故选A．
【分析】本题考查函数的定义，核心判断标准是“对于自变量的每一个确定的值，是否有且只有一个值与之对应”。解题时可采用“垂直于轴的直线检验法”：作任意一条垂直于轴的直线，若该直线与曲线有且仅有一个交点，则是的函数；若有两个或多个交点，则不是的函数。
6．甲、乙两座城市某年四季的平均气温如图所示，下列说法正确的是（　　）
A．甲城市的年平均气温在以上
B．乙城市的年平均气温在以下
C．甲城市的年平均气温低于乙城市的年平均气温
D．甲、乙两座城市中，甲城市四季的平均气温较为接近
【答案】D
【知识点】折线统计图
【解析】【解答】解：由折线图可知，甲的年平均气温．故选项不符合题意，
乙的年平均气温，故选项，不符合题意．
故选：．
【分析】本题考查折线统计图的数据分析和算术平均数的计算。需要从折线图中准确提取甲、乙两座城市春、夏、秋、冬四季的平均气温数据，分别计算它们的年平均气温，再对各选项进行逐一验证。同时，通过观察折线的起伏程度，还能直观判断两座城市气温的稳定性差异。
7．在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点P，且y随x的增大而增大，则点P的坐标可以是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的性质
【解析】【解答】函数中，随的增大而增大，说明．
点在函数图象上，需满足坐标代入后方程成立且．
选项A：把代入得，解得，不满足，排除．
选项B：把代入得，解得，满足，符合条件．
选项C：把代入得，解得，不满足，排除．
选项D：把代入得，解得，不满足，排除．
综上，只有选项B满足条件，
故选B．
【分析】本题考查一次函数的增减性与系数的关系，以及一次函数图象上点的坐标特征。在一次函数中，当时，随的增大而增大。因此我们可以将各选项中的点坐标依次代入函数解析式，求出对应的值，判断其是否满足的条件即可。
8．如图，正方形中，点是中点，点在边上，点关于的对称点为，连接，，，若的边长为2，当四边形是正方形时，＝（　　）
A． B． C． D．3
【答案】A
【知识点】勾股定理；正方形的性质；轴对称的性质
【解析】【解答】解：如图，连接，连接，
∵四边形是正方形，
∴，平分，
∵为边的中点，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，平分，
∴点，点，点三点共线，
∴，
故选：A．
【分析】本题综合考查正方形的性质、轴对称的性质以及勾股定理的应用。首先根据正方形的边长，利用勾股定理求出对角线的长度；再结合轴对称和正方形的性质，求出的长度；同时证明点、、三点共线，最后通过线段的差运算计算出的长度。
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．若式子 在实数范围内有意义，则x的取值范围是　 　．
【答案】x≥2．
【知识点】二次根式有无意义的条件；解一元一次不等式
【解析】【解答】要保证二次根式有意义，则需要保证被开方数为非负数，即x－2≥0，解得：x≥2．
【分析】二次根式有意义，则被开方数≥0，建立不等式求解。
10．在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点，该一次函数的表达式为　 　．
【答案】
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：∵一次函数的图象由函数的图象平移得到，
∴k值不变，，
∴一次函数为：，
∵一次函数的图象经过点，
∴，
∴一次函数的表达式为：，
故答案为：.
【分析】本题主要考查一次函数平移的性质以及待定系数法求函数解析式.一次函数平移时，斜率k不变，改变的只是截距b.由题意，函数y=kx+b是由y=3x平移得到的，因此k=3；又因为图象经过点（0，1），代入y=3x+b得b=-1.
11．如图，将沿对角线折叠，使点B落在点处，若，则　 　．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴．
根据折叠的性质可知，
∵，
∴．
∵在中，，，
∴．
故答案为：．
【分析】根据平行四边形的对边平行得出，根据两直线平行，内错角相等得出；根据折叠前后两图形的对应角相等得出的度数，根据手机性能那就好是180°即可求出的度数．
12．请写出一个二次根式，使它与的积是有理数，这个二次根式可以是　 　．
【答案】（答案不唯一）
【知识点】二次根式的乘除混合运算
【解析】【解答】解：．
故答案为：（答案不唯一）．
【分析】本题考查二次根式的乘法运算和有理化因式的概念。若两个二次根式相乘的结果不含根号，则这两个二次根式互为有理化因式。要使一个二次根式与的积为有理数，只需这个二次根式是的有理化因式即可，最简单的有理化因式就是本身，满足条件的答案不唯一。
13．如图，大正方形是由四个全等的直角三角形和面积分别为，的两个正方形所拼成的．若直角三角形的斜边长为，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图所示，
根据题意得，，，四边形都是正方形，
∴，
在中，，
∵，
∴，
故答案为：.
【分析】本题主要考查勾股定理的几何意义以及面积关系的转化.由大正方形是由四个全等直角三角形和两个小正方形拼成，，，根据勾股定理在中，即可求解.
14．10名同学分成甲、乙两队进行篮球比赛，他们的身高（单位：）如下表所示：
　 队员1 队员2 队员3 队员4 队员5
甲队 177 176 175 172 175
乙队 170 175 173 174 183
则两队队员身高的平均数　 　（填或），身高的方差　 　（填或）．
【答案】；
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：由题意得，，
，
∴；
，
，
∴，
故答案为：，.
【分析】本题主要考查平均数和方差的计算与比较.先计算两组数据的平均数，再根据方差公式计算方差，从而比较数据的稳定性.
15．小兰在参观故宫博物院时，被太和殿窗棂的三交六椀菱花图案所吸引，她从中提取出一个含角的菱形（如图所示）．若的长度为a，则菱形的面积为　 　．
【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：如图所示，过点A作交延长线于H，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】本题考查菱形的面积计算和含角的直角三角形的性质。菱形的面积可以用“底×高”的公式计算，因此过点作交的延长线于点，构造直角三角形。利用菱形的内角为，求出，进而得到，根据含角的直角三角形的性质求出高的长度，最后代入面积公式计算即可。
16．正方形，，，…，按如图所示的方式放置．点，，，…，和点，，…，分别在直线和x轴上，已知点，，则点的坐标是　 　，点的坐标是　 　．
【答案】；
【知识点】点的坐标；待定系数法求一次函数解析式；正方形的性质；用代数式表示数值变化规律；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解： ∵，正方形，
∴的纵坐标与相同为，横坐标为，即；
∵，正方形，
∴的纵坐标与相同为，横坐标为，即．
把、代入，
，
解得，即直线解析式为．
推导坐标规律
观察，对应正方形边长为，横坐标，纵坐标；
，对应正方形边长为，横坐标，纵坐标；
对于，正方形的边长为（由在直线上，结合规律
∴横坐标为，纵坐标为 ），则横坐标为，纵坐标为，即；
归纳
∴坐标为．
当时，；
当时，．
故答案为：，．
【分析】本题是一次函数与正方形的综合规律探究题，主要考查待定系数法求一次函数解析式、正方形的性质以及归纳推理能力。首先根据已知点、的坐标，求出对应的、的坐标，代入直线解析式求出和的值；然后通过分析前几个点的坐标特征，归纳出坐标的通用规律；最后利用规律分别求出和的坐标。
三、解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17．计算：．
【答案】解：
．
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除混合运算；二次根式的加减法
【解析】【分析】本题考查二次根式的混合运算，运算顺序与整式混合运算一致，先算乘除，后算加减。首先将和分别化简为最简二次根式，计算它们的乘积；再将化简为最简二次根式；最后合并同类二次根式即可得到最终结果。
18．计算：．
【答案】解：
．
【知识点】平方差公式及应用；二次根式的混合运算
【解析】【分析】本题考查平方差公式在二次根式运算中的应用以及算术平方根的计算。观察到符合平方差公式的结构特征，利用公式将其化简可以大幅简化计算；再计算的值，最后进行减法运算即可。
19．已知，求代数式的值．
【答案】解：．
当时，，
∴
【知识点】二次根式的化简求值；因式分解-完全平方公式
【解析】【分析】本题主要考查代数式的化简求值及完全平方公式的应用.将原式通过配方法转化为的形式，再代入已知条件简化计算.
20．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点，．点在第一象限，且四边形是矩形．
（1）使用直尺和圆规，按照下面的作法补全图形（保留作图痕迹）；
作法：以点为圆心，的长为半径画弧，再以点为圆心，的长为半径画弧，两弧在第一象限相交于点，连接，，则四边形是矩形．
（2）根据（1）中的作法，完成下面的证明：
证明：
∵，　　　　，
∴四边形是平行四边形．（　　　　）（填推理的依据）
∵，
∴四边形是矩形，（　　　　）（填推理的依据）
（3）若直线的表达式为，直接写出矩形的面积和直线的表达式．
【答案】（1）解：由题意作图如下：
（2），两组对边分别相等的四边形是平行四边形，有一个角是直角的平行四边形是矩形
（3），
【知识点】矩形的判定与性质；一次函数图象与坐标轴交点问题；正比例函数的概念；尺规作图-直线、射线、线段
【解析】【解答】解：（2）证明：∵，，
∴四边形是平行四边形．（两组对边分别相等的四边形为平行四边形）
∵，
∴四边形是矩形，（有一个角为直角的平行四边形为矩形）
故答案为：；两组对边分别相等的四边形为平行四边形；有一个角为直角的平行四边形为矩形；
（3）解：∵直线：与轴，轴分别交于点，，
当时，，当时，，
∴，，
∴，，
∴矩形的面积为：，
∵四边形是矩形，，
∴，，
则线段向上平移个单位与线段重合，其中点是点的对应点，点是点的对应点，
∴，
设直线的表达式为，过点，
∴，
解得：，
∴直线的表达式为．
【分析】本题第（1）、（2）小问主要考查矩形的判定、尺规作图以及平行四边形的判定定理；第（3）小问主要考查一次函数与坐标轴的交点、矩形的性质以及待定系数法求直线解析式.
（1）根据题干作图步骤，按要求作图；
（2）根据作图步骤，利用两组对边分别相等的四边形是平行四边形，再结合一个角为直角证明是矩形；
（3）根据直线解析式确定点、的坐标、，可求出矩形面积；再根据矩形的性质确定点C的坐标，利用待定系数法即可求出直线OC的表达式.
（1）解：由题意作图如下：
（2）证明：∵，，
∴四边形是平行四边形．（两组对边分别相等的四边形为平行四边形）
∵，
∴四边形是矩形，（有一个角为直角的平行四边形为矩形）
故答案为：；两组对边分别相等的四边形为平行四边形；有一个角为直角的平行四边形为矩形；
（3）解：∵直线：与轴，轴分别交于点，，
当时，，当时，，
∴，，
∴，，
∴矩形的面积为：，
∵四边形是矩形，，
∴，，
则线段向上平移个单位与线段重合，其中点是点的对应点，点是点的对应点，
∴，
设直线的表达式为，过点，
∴，
解得：，
∴直线的表达式为．
21．如图，在ABCD中，F是AD的中点，延长BC到点E，使CE=BC，连结DE，CF．
（1）求证：四边形CEDF是平行四边形；
（2）若AB=4，AD=6，∠B=60°，求DE的长．
【答案】（1）证明：在 ABCD中，ADBC，且AD=BC
∵F是AD的中点
∴DF=AD
又∵CE=BC
∴DF=CE，且DFCE
∴四边形CEDF是平行四边形；
（2）如图，过点D作DH⊥BE于点H．
在 ABCD中，∵∠B=60°，
∴∠DCE=60°．
∵AB=4，
∴CD=AB=4，
∴CH=CD=2，DH=2．
在 CEDF中，CE=DF=AD=3，则EH=1．
∴在Rt△DHE中，根据勾股定理知DE=．
【知识点】平行线的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】（1）平行四边形性质可得ADBC，且AD=BC，再根据怒线段中点可得DF=AD，则DF=CE，且DFCE，再根据平行四边形判定定理即可求出答案.
（2）过点D作DH⊥BE于点H，根据直线平行性质可得∠DCE=60°，再根据含30°角的直角三角形性质可得CH=CD=2，DH=2，再根据勾股定理即可求出答案.
22．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b的图象与x轴交点为 A（-3，0），与y轴交点为B，且与正比例函数的图象的交于点 C（m，4）．
（1）求m的值及一次函数 y=kx+b的表达式；
（2）若点P是y轴上一点，且△BPC的面积为6，请直接写出点P的坐标．
【答案】解：（1）∵ 点C（m，4）在正比例函数的图象上，
∴m，，即点C坐标为（3，4）．
∵ 一次函数经过A（－3，0）、点C（3，4），
∴ 解得： ，
∴ 一次函数的表达式为 ；
（2）∵△BPC的面积为6，
∴，
解得：BP=4，
对于，当x=0时，y=2，
∴点B（0，2），
∴点P 的坐标为（0， 6）或（0，－2）．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与二元一次方程（组）的关系
【解析】【分析】（1）根据待定系数法将点C坐标代入正比例函数解析式可得点C坐标为（3，4），再根据待定系数法将点A，C坐标代入一次函数解析式即可求出答案.
（2）根据三角形面积可得BP，根据y轴上点的坐标特征令x=0代入解析式即可求出答案.
23．某学校举办的“青春飞扬”主题演讲比赛分为初赛和决赛两个阶段.
（1）初赛由名教师评委和名学生评委给每位选手打分（百分制）对评委给某位选手的打分进行整理、描述和分析.下面给出了部分信息.
.教师评委打分：
.学生评委打分的频数分布直方图如下（数据分6组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，第6组）：
.评委打分的平均数、中位数、众数如下：
平均数 中位数 众数
教师评委
学生评委
根据以上信息，回答下列问题：
①的值为___________，的值位于学生评委打分数据分组的第__________组；
②若去掉教师评委打分中的最高分和最低分，记其余8名教师评委打分的平均数为，则___________（填“”“”或“”）；
（2）决赛由5名专业评委给每位选手打分（百分制）.对每位选手，计算5名专业评委给其打分的平均数和方差.平均数较大的选手排序靠前，若平均数相同，则方差较小的选手排序靠前，5名专业评委给进入决赛的甲、乙、丙三位选手的打分如下：
评委1 评委2 评委3 评委4 评委5
甲
乙
丙
若丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，则这三位选手中排序最靠前的是____________，表中（为整数）的值为____________.
【答案】（1）①，；②
（2）甲，
【知识点】解一元一次不等式组；平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】
解：（1）①从教师评委打分的情况看，分出现的次数最多，故教师评委打分的众数为，
所以，
共有45名学生评委给每位选手打分，
所以学生评委给每位选手打分的中位数应当是第个，从频数分面直方图上看，可得学生评委给每位选手打分的中位数在第4组，
故答案为：，；
②去掉教师评委打分中的最高分和最低分，其余8名教师评委打分分别为：，，，，，，，，
，
故答案为：；
（2）
，
，
，
，
丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，
依题意，当，则
解得：
当时，
此时
∵，则乙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，不合题意，
当时，
此时
∵，则丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，这三位选手中排序最靠前的是甲
故答案为：甲，．
【分析】
（1）根据众数的定义：分出现的次数最多可得m的值；根据中位数的定义：共有45名学生评委给每位选手打分，每位选手打分的中位数应当是第个可得n的分组；根据算术平均数的定义计算解答即可；
（2）根据方差的公式计算并判断得，再根据方差越小越稳定，求解即可；
（3）根据题意得出，进而分别求得方差与平均数，分类讨论，求解即可．
（1）①从教师评委打分的情况看，分出现的次数最多，故教师评委打分的众数为，
所以，
共有45名学生评委给每位选手打分，
所以学生评委给每位选手打分的中位数应当是第个，从频数分面直方图上看，可得学生评委给每位选手打分的中位数在第4组，
故答案为：，；
②去掉教师评委打分中的最高分和最低分，其余8名教师评委打分分别为：，，，，，，，，
，
故答案为：；
（2），
，
，
，
丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，
依题意，当，则
解得：
当时，
此时
∵，则乙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，不合题意，
当时，
此时
∵，则丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，这三位选手中排序最靠前的是甲
故答案为：甲，．
24．在数学课上，老师说统计学中常用的平均数不是只有算术平均数一种，好学的小聪通过网络搜索，又得到了两种平均数的定义，他把三种平均数的定义整理如下：
对于两个数a，b，
称为a，b这两个数的算术平均数，
称为a，b这两个数的几何平均数，
称为a，b这两个数的平方平均数．
小聪根据上述定义，探究了一些问题，下面是他的探究过程，请你补充完整：
（1）若a = -1，b = -2，则M = ，N = ，P = ；
（2）小聪发现当a，b两数异号时，在实数范围内N没有意义，所以决定只研究当a，b都是正数时这三种平均数的大小关系．结合乘法公式和勾股定理的学习经验，他选择构造几何图形，用面积法解决问题：
如图，画出边长为a+b的正方形和它的两条对角线，则图1中阴影部分的面积可以表示N2．
①请分别在图2，图3中用阴影标出一个面积为M2，P2的图形；
②借助图形可知当a，b都是正数时，M，N，P的大小关系是： （把M，N，P从小到大排列，并用“＜”或“≤”号连接）．
【答案】（1），，；
（2）①，
则用阴影标出一个面积为的图形如下所示：
，
则用阴影标出一个面积为的图形如下所示：
②．
【知识点】完全平方公式的几何背景；二次根式的实际应用；正方形的性质
【解析】【解答】解：（1）当时，
，
，
，
故答案为：，，；
（2）②由①可知，，当且仅当，即时，等号成立，
都是正数，
都是正数，
，
故答案为：.
【分析】本题主要考查三种平均数（算术平均数、几何平均数、平方平均数）的定义及其大小关系，同时结合几何图形（面积法）进行直观验证.
（1）将分别代入，，计算求解；
（2）①分别求出，，并将计算结果利用完全平方公式变形为含有的式子；可由左下角的矩形直接表示，利用正方形的性质可由矩形上方两条对角线分割的线段表示.阴影部分形状并不唯一，这里这样表示是为②问的比较大小；
②根据①中的所画的图形直接比较，可得，由N，M，P均大于0，可得出结论.
25．如图，《九章算术》中记载，浮箭漏（图（1））是由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺读数计算时间．某学校数学实验小组仿制了一套浮箭漏（箭尺最大读数为），实验小组通过观察，每2小时记录一次箭尺读数，得部分数据如下：
供水时间 0 2 4 6 8
箭尺读数 6 18
42 54
（1）补全表格：
（2）通过分析数据，发现可以用函数刻画y与x之间的关系．如图（2），横轴表示供水时间x，纵轴表示箭尺读数y，建立平面直角坐标系，描出以表中数据为坐标的各点，画出函数图象．
（3）根据以上数据与函数图象，解决下列问题：
①供水时间达到12h时，估算箭尺的读数约为________；
②如果本次实验记录的开始时间是上午，那当箭尺读数为时供水时间达到________h，此时时间是________点．
【答案】（1）解：由表格可知，供水时间每上升2，箭尺读数上升6，∴当供水时间从2升到4时，箭尺读数为；
（2）解：描出以表格中数据为坐标的各点，并连线，如图：
（3）①；②，
【知识点】描点法画函数图象；用表格表示变量间的关系；一次函数的其他应用
【解析】【解答】（3）①解：设解析式为，
当，
则有，
解得，
∴解析式为：，
∵时，，
∴函数解析式为：，
将代入得，
故答案为：；
②解：当时，即，
解得：，
即经过，箭尺读数为，
∵本次实验记录的开始时间是上午，
∴当箭尺读数为时是．
故答案为：，．
【分析】（1）本题考查数据的规律分析。观察表格中的数据可以发现，供水时间每增加2小时，箭尺读数就增加12cm，即箭尺读数随供水时间呈匀速增长趋势，每小时增长6cm，据此可以计算出供水时间为4小时时对应的箭尺读数，补全表格。
（2）本题考查一次函数图象的绘制。根据补全后的表格数据，在平面直角坐标系中准确描出对应的五个点，然后用平滑的直线将这些点依次连接起来，即可得到函数图象。
（3）本题考查一次函数的实际应用。①首先根据表格中的两组数据和，利用待定系数法求出与之间的一次函数关系式，并确定自变量的取值范围；然后将代入解析式，计算出对应的值。②将代入函数解析式，解方程求出对应的值，即供水时间；再根据实验开始时间是上午8：00，计算出此时的具体时间。
（1）解：由表格可知，供水时间每上升2，箭尺读数上升6，
∴当供水时间从2升到4时，箭尺读数为；
（2）解：描出以表格中数据为坐标的各点，并连线，如图：
（3）①解：设解析式为，
当，
则有，
解得，
∴解析式为：，
∵时，，
∴函数解析式为：，
将代入得，
故答案为：；
②解：当时，即，
解得：，
即经过，箭尺读数为，
∵本次实验记录的开始时间是上午，
∴当箭尺读数为时是．
故答案为：，．
26．在平面直角坐标系中，一次函数的图象是由函数的图象平移得到，且经过点．
（1）求k，b的值；
（2）当时，对于x的每一个值，函数的值小于一次函数的值，请结合函数图象，直接写出m的取值范围．
【答案】（1）解：函数的图象是由函数的图象平移得到，
．
函数的图象经过点，
．
解得．
，．
（2）
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与不等式（组）的关系；一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：（2）结合函数图象，当时，对于x的每一个值，函数的值小于一次函数的值，此时．
【分析】（1）本题考查一次函数图象的平移规律和待定系数法求函数解析式。一次函数图象进行平移变换时，斜率的值保持不变，因此由平移得到的函数；再将点代入解析式中，解方程求出的值即可。
（2）本题考查一次函数的图象与性质，通过数形结合分析函数值的大小关系。当时，函数的值小于一次函数的值，说明在的范围内，直线始终在直线的下方。结合函数图象，考虑直线过定点，分析不同斜率下直线的位置，从而确定的取值范围。
（1）解：函数的图象是由函数的图象平移得到，
．
函数的图象经过点，
．
解得．
，．
（2）解：结合函数图象，当时，对于x的每一个值，函数的值小于一次函数的值，此时．
27．如图，在中，，，N是中点，P为上一点，连接，D为内一点，且，点D关于直线的对称点为点E，与交于点M，连接．
（1）依题意补全图形；
（2）求证：；
（3）连接MN，若，用等式表示线段与的数量关系，并证明．
【答案】（1）解：依题意补全图形如下：
（2）证明：连接．
∵点D关于直线的对称点为E，，
，．
．
，
．
．
，
．
．
（3）解：用等式表示线段与的数量关系是：．
证明：连接并延长到F，使得，连接．
∴点N是中点．
∵点D关于直线的对称点为E，与交于点M，
∴点M是中点．
∴为的中位线．
．
∵点N是中点，
．
，，
．
，．
又，
．
，
．
．
．
．
，，
．
．
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；轴对称的性质；三角形的中位线定理；旋转全等模型
【解析】【分析】本题主要考查轴对称的性质、三角形中位线定理、全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质.
（1）根据题意补全图形：找到点E、M，连接BD、CE；
（2）连接.由对称的性质得到AE=AD，，利用角的和差关系得到，结合△ABC是等腰三角形，证明，推出BD=EC；
（3）连接并延长到F，使得，连接，构造全等三角形.根据M、N分别是DE、DF中点，得到为的中位线，则.由全等得BD=CF，根据问题（2）可知BD=EC，因此EC=CF；根据已知条件倒角可证明△ECF是等腰直角三角形，推出，因此，即可得到.
28．定义：形如的函数称为正比例函数的“分移函数”，其中b叫“分移值”．
（1）①函数的“分移函数”为其中“分移值”为3，在图1中画出其图象；
②已知点在的“分移函数”的图象上，则________；
（2）已知点，）在函数的“分移函数”的图象上，则m的值是__________；
（3）已知矩形顶点坐标为，，，．函数的“分移函数”的“分移值”为3，且其图象与矩形恰好有2个交点，直接写出k的取值范围．
【答案】（1）解：①当时，函数为，取点、；
当时，函数为，取点、；
描点连线，画出分移函数图象如下．
②；
（2）m的值是
（3）
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与不等式（组）的关系；矩形的性质；描点法画函数图象；一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】（1）②点，，代入分移函数，
，
解得．
故答案为．
（2）
解：的“分移函数”为（为分移值，本题隐含分移值不影响，直接代入点坐标）：
，，代入得；
，，代入得；
两式相加消去：，
化简得，解得．
故答案为．
（3）
解：∵函数的“分移函数”的“分移值”为，
∴，
当时，函数图象与矩形没有交点，
当时，当函数图象经过点时，如图所示：
此时函数图象与矩形有一个交点，
将点代入，
得，
解得，
当函数图象经过点时，此时函数图象与矩形有三个交点，
将点代入，
得，
解得，
∴当函数图象与矩形有两个交点时，的取值范围是．
【分析】（1）本题考查新定义“分移函数”的图象绘制和点的坐标特征。①根据“分移函数”的定义，分别写出和时对应的函数表达式，在每个区间内选取两个特殊点（如与坐标轴的交点），描点后用直线连接即可画出图象，注意两个区间的图象在处不连续。②已知点在“分移函数”的图象上，由于，因此将点坐标代入对应的分段函数解析式中，解方程即可求出的值。
（2）本题考查“分移函数”上点的坐标特征。首先写出的“分移函数”的一般形式，然后根据的横坐标，代入对应的分段函数；根据的横坐标，代入对应的分段函数，得到两个关于和的方程，将两个方程相加消去，即可求出的值。
（3）本题考查“分移函数”与矩形的交点问题，采用临界值法求解。首先写出“分移值”为3时的函数表达式；分和两种情况讨论，当时，函数图象与矩形没有交点；当时，分别求出函数图象经过矩形顶点和顶点时的值，再结合函数图象的走势，确定图象与矩形恰好有2个交点时的取值范围。
（1）解：①当时，函数为，取点、；
当时，函数为，取点、；
描点连线，画出分移函数图象如下．
②点，，代入分移函数，
，
解得．
故答案为．
（2）解：的“分移函数”为（为分移值，本题隐含分移值不影响，直接代入点坐标）：
，，代入得；
，，代入得；
两式相加消去：，
化简得，解得．
故答案为．
（3）解：∵函数的“分移函数”的“分移值”为，
∴，
当时，函数图象与矩形没有交点，
当时，当函数图象经过点时，如图所示：
此时函数图象与矩形有一个交点，
将点代入，
得，
解得，
当函数图象经过点时，此时函数图象与矩形有三个交点，
将点代入，
得，
解得，
∴当函数图象与矩形有两个交点时，的取值范围是．
1 / 1北京市燕山区2024-2025学年八年级下学期6月期末数学试卷
一、下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．
1．化简的结果是（　　）
A． B．2 C． D．4
2．下列各组数中，能作为直角三角形三边长度的是（　　）
A．1，1， B．1，1，2 C．1，2，2 D．2，2，4
3．若菱形两条对角线的长分别为6和8，则这个菱形的周长为 (　　)
A．20 B．16 C．12 D．10
4．如图，在中，，，，则边上的高的长为（　　）
A．4 B． C． D．
5．下列各曲线中表示y是x的函数的是（　　）
A． B．
C． D．
6．甲、乙两座城市某年四季的平均气温如图所示，下列说法正确的是（　　）
A．甲城市的年平均气温在以上
B．乙城市的年平均气温在以下
C．甲城市的年平均气温低于乙城市的年平均气温
D．甲、乙两座城市中，甲城市四季的平均气温较为接近
7．在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点P，且y随x的增大而增大，则点P的坐标可以是（　　）
A． B． C． D．
8．如图，正方形中，点是中点，点在边上，点关于的对称点为，连接，，，若的边长为2，当四边形是正方形时，＝（　　）
A． B． C． D．3
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．若式子 在实数范围内有意义，则x的取值范围是　 　．
10．在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点，该一次函数的表达式为　 　．
11．如图，将沿对角线折叠，使点B落在点处，若，则　 　．
12．请写出一个二次根式，使它与的积是有理数，这个二次根式可以是　 　．
13．如图，大正方形是由四个全等的直角三角形和面积分别为，的两个正方形所拼成的．若直角三角形的斜边长为，则的值为　 　．
14．10名同学分成甲、乙两队进行篮球比赛，他们的身高（单位：）如下表所示：
　 队员1 队员2 队员3 队员4 队员5
甲队 177 176 175 172 175
乙队 170 175 173 174 183
则两队队员身高的平均数　 　（填或），身高的方差　 　（填或）．
15．小兰在参观故宫博物院时，被太和殿窗棂的三交六椀菱花图案所吸引，她从中提取出一个含角的菱形（如图所示）．若的长度为a，则菱形的面积为　 　．
16．正方形，，，…，按如图所示的方式放置．点，，，…，和点，，…，分别在直线和x轴上，已知点，，则点的坐标是　 　，点的坐标是　 　．
三、解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17．计算：．
18．计算：．
19．已知，求代数式的值．
20．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点，．点在第一象限，且四边形是矩形．
（1）使用直尺和圆规，按照下面的作法补全图形（保留作图痕迹）；
作法：以点为圆心，的长为半径画弧，再以点为圆心，的长为半径画弧，两弧在第一象限相交于点，连接，，则四边形是矩形．
（2）根据（1）中的作法，完成下面的证明：
证明：
∵，　　　　，
∴四边形是平行四边形．（　　　　）（填推理的依据）
∵，
∴四边形是矩形，（　　　　）（填推理的依据）
（3）若直线的表达式为，直接写出矩形的面积和直线的表达式．
21．如图，在ABCD中，F是AD的中点，延长BC到点E，使CE=BC，连结DE，CF．
（1）求证：四边形CEDF是平行四边形；
（2）若AB=4，AD=6，∠B=60°，求DE的长．
22．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b的图象与x轴交点为 A（-3，0），与y轴交点为B，且与正比例函数的图象的交于点 C（m，4）．
（1）求m的值及一次函数 y=kx+b的表达式；
（2）若点P是y轴上一点，且△BPC的面积为6，请直接写出点P的坐标．
23．某学校举办的“青春飞扬”主题演讲比赛分为初赛和决赛两个阶段.
（1）初赛由名教师评委和名学生评委给每位选手打分（百分制）对评委给某位选手的打分进行整理、描述和分析.下面给出了部分信息.
.教师评委打分：
.学生评委打分的频数分布直方图如下（数据分6组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，第6组）：
.评委打分的平均数、中位数、众数如下：
平均数 中位数 众数
教师评委
学生评委
根据以上信息，回答下列问题：
①的值为___________，的值位于学生评委打分数据分组的第__________组；
②若去掉教师评委打分中的最高分和最低分，记其余8名教师评委打分的平均数为，则___________（填“”“”或“”）；
（2）决赛由5名专业评委给每位选手打分（百分制）.对每位选手，计算5名专业评委给其打分的平均数和方差.平均数较大的选手排序靠前，若平均数相同，则方差较小的选手排序靠前，5名专业评委给进入决赛的甲、乙、丙三位选手的打分如下：
评委1 评委2 评委3 评委4 评委5
甲
乙
丙
若丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，则这三位选手中排序最靠前的是____________，表中（为整数）的值为____________.
24．在数学课上，老师说统计学中常用的平均数不是只有算术平均数一种，好学的小聪通过网络搜索，又得到了两种平均数的定义，他把三种平均数的定义整理如下：
对于两个数a，b，
称为a，b这两个数的算术平均数，
称为a，b这两个数的几何平均数，
称为a，b这两个数的平方平均数．
小聪根据上述定义，探究了一些问题，下面是他的探究过程，请你补充完整：
（1）若a = -1，b = -2，则M = ，N = ，P = ；
（2）小聪发现当a，b两数异号时，在实数范围内N没有意义，所以决定只研究当a，b都是正数时这三种平均数的大小关系．结合乘法公式和勾股定理的学习经验，他选择构造几何图形，用面积法解决问题：
如图，画出边长为a+b的正方形和它的两条对角线，则图1中阴影部分的面积可以表示N2．
①请分别在图2，图3中用阴影标出一个面积为M2，P2的图形；
②借助图形可知当a，b都是正数时，M，N，P的大小关系是： （把M，N，P从小到大排列，并用“＜”或“≤”号连接）．
25．如图，《九章算术》中记载，浮箭漏（图（1））是由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺读数计算时间．某学校数学实验小组仿制了一套浮箭漏（箭尺最大读数为），实验小组通过观察，每2小时记录一次箭尺读数，得部分数据如下：
供水时间 0 2 4 6 8
箭尺读数 6 18
42 54
（1）补全表格：
（2）通过分析数据，发现可以用函数刻画y与x之间的关系．如图（2），横轴表示供水时间x，纵轴表示箭尺读数y，建立平面直角坐标系，描出以表中数据为坐标的各点，画出函数图象．
（3）根据以上数据与函数图象，解决下列问题：
①供水时间达到12h时，估算箭尺的读数约为________；
②如果本次实验记录的开始时间是上午，那当箭尺读数为时供水时间达到________h，此时时间是________点．
26．在平面直角坐标系中，一次函数的图象是由函数的图象平移得到，且经过点．
（1）求k，b的值；
（2）当时，对于x的每一个值，函数的值小于一次函数的值，请结合函数图象，直接写出m的取值范围．
27．如图，在中，，，N是中点，P为上一点，连接，D为内一点，且，点D关于直线的对称点为点E，与交于点M，连接．
（1）依题意补全图形；
（2）求证：；
（3）连接MN，若，用等式表示线段与的数量关系，并证明．
28．定义：形如的函数称为正比例函数的“分移函数”，其中b叫“分移值”．
（1）①函数的“分移函数”为其中“分移值”为3，在图1中画出其图象；
②已知点在的“分移函数”的图象上，则________；
（2）已知点，）在函数的“分移函数”的图象上，则m的值是__________；
（3）已知矩形顶点坐标为，，，．函数的“分移函数”的“分移值”为3，且其图象与矩形恰好有2个交点，直接写出k的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】求算术平方根
【解析】【解答】解：．
故选：B．
【分析】本题主要考查算术平方根的基本概念，需要明确算术平方根与平方根的本质区别。（）专门表示的非负平方根，即算术平方根，而平方根才包含正负两个值。因此仅表示4的正平方根，直接计算可得结果。
2．【答案】A
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】选项A：最长边为，验证勾股定理：等式成立，符合条件．
选项B：最长边为2，验证：等式不成立，排除．
选项C：最长边为2，验证：等式不成立，排除．
选项D：最长边为4，验证：等式不成立，排除．
综上，只有选项A满足勾股定理，
故选A．
【分析】本题考查勾股定理的逆定理，这是判断三角形是否为直角三角形的核心方法。解题时先从每组数中找出最长边，再计算两条较短边的平方和，将其与最长边的平方进行对比，若二者相等，则该组数据能构成直角三角形，反之则不能。
3．【答案】A
【知识点】勾股定理的应用；菱形的性质
【解析】【分析】根据菱形的对角线性质求边长后计算周长．
【解答】如图，
在菱形ABCD中，AC=8，BD=6．
∵ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，BO=3，AO=4．
∴AB=5．
∴周长=4×5=20．
故选A．
4．【答案】B
【知识点】解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—面积关系；等积变换
【解析】【解答】解：在中，，，，
由勾股定理，
∵CD⊥AB，
∴S△ABC=，
∴．
故答案为：B.
【分析】本题主要考查勾股定理和等面积法求三角形的高.首先直接利用勾股定理计算AB，再根据三角形面积既可以用表示，也可以用表示，列出等式即可计算CD.
5．【答案】A
【知识点】函数的概念；函数的图象
【解析】【解答】解：A．对于自变量x的任何值，y都有唯一的值与之相对应，y是x的函数，符合题意；
B．在圆内，对于自变量x的任何值，y都有两个值与之相对应，y不是x的函数，不符合题意；
C．在x轴正半轴，对于自变量x的任何值，y都有两个值与之相对应，y不是x的函数，不符合题意；
D．当时，y有两个值与之相对应， y不是x的函数，不符合题意；
故选A．
【分析】本题考查函数的定义，核心判断标准是“对于自变量的每一个确定的值，是否有且只有一个值与之对应”。解题时可采用“垂直于轴的直线检验法”：作任意一条垂直于轴的直线，若该直线与曲线有且仅有一个交点，则是的函数；若有两个或多个交点，则不是的函数。
6．【答案】D
【知识点】折线统计图
【解析】【解答】解：由折线图可知，甲的年平均气温．故选项不符合题意，
乙的年平均气温，故选项，不符合题意．
故选：．
【分析】本题考查折线统计图的数据分析和算术平均数的计算。需要从折线图中准确提取甲、乙两座城市春、夏、秋、冬四季的平均气温数据，分别计算它们的年平均气温，再对各选项进行逐一验证。同时，通过观察折线的起伏程度，还能直观判断两座城市气温的稳定性差异。
7．【答案】B
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的性质
【解析】【解答】函数中，随的增大而增大，说明．
点在函数图象上，需满足坐标代入后方程成立且．
选项A：把代入得，解得，不满足，排除．
选项B：把代入得，解得，满足，符合条件．
选项C：把代入得，解得，不满足，排除．
选项D：把代入得，解得，不满足，排除．
综上，只有选项B满足条件，
故选B．
【分析】本题考查一次函数的增减性与系数的关系，以及一次函数图象上点的坐标特征。在一次函数中，当时，随的增大而增大。因此我们可以将各选项中的点坐标依次代入函数解析式，求出对应的值，判断其是否满足的条件即可。
8．【答案】A
【知识点】勾股定理；正方形的性质；轴对称的性质
【解析】【解答】解：如图，连接，连接，
∵四边形是正方形，
∴，平分，
∵为边的中点，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，平分，
∴点，点，点三点共线，
∴，
故选：A．
【分析】本题综合考查正方形的性质、轴对称的性质以及勾股定理的应用。首先根据正方形的边长，利用勾股定理求出对角线的长度；再结合轴对称和正方形的性质，求出的长度；同时证明点、、三点共线，最后通过线段的差运算计算出的长度。
9．【答案】x≥2．
【知识点】二次根式有无意义的条件；解一元一次不等式
【解析】【解答】要保证二次根式有意义，则需要保证被开方数为非负数，即x－2≥0，解得：x≥2．
【分析】二次根式有意义，则被开方数≥0，建立不等式求解。
10．【答案】
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：∵一次函数的图象由函数的图象平移得到，
∴k值不变，，
∴一次函数为：，
∵一次函数的图象经过点，
∴，
∴一次函数的表达式为：，
故答案为：.
【分析】本题主要考查一次函数平移的性质以及待定系数法求函数解析式.一次函数平移时，斜率k不变，改变的只是截距b.由题意，函数y=kx+b是由y=3x平移得到的，因此k=3；又因为图象经过点（0，1），代入y=3x+b得b=-1.
11．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴．
根据折叠的性质可知，
∵，
∴．
∵在中，，，
∴．
故答案为：．
【分析】根据平行四边形的对边平行得出，根据两直线平行，内错角相等得出；根据折叠前后两图形的对应角相等得出的度数，根据手机性能那就好是180°即可求出的度数．
12．【答案】（答案不唯一）
【知识点】二次根式的乘除混合运算
【解析】【解答】解：．
故答案为：（答案不唯一）．
【分析】本题考查二次根式的乘法运算和有理化因式的概念。若两个二次根式相乘的结果不含根号，则这两个二次根式互为有理化因式。要使一个二次根式与的积为有理数，只需这个二次根式是的有理化因式即可，最简单的有理化因式就是本身，满足条件的答案不唯一。
13．【答案】
【知识点】解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图所示，
根据题意得，，，四边形都是正方形，
∴，
在中，，
∵，
∴，
故答案为：.
【分析】本题主要考查勾股定理的几何意义以及面积关系的转化.由大正方形是由四个全等直角三角形和两个小正方形拼成，，，根据勾股定理在中，即可求解.
14．【答案】；
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：由题意得，，
，
∴；
，
，
∴，
故答案为：，.
【分析】本题主要考查平均数和方差的计算与比较.先计算两组数据的平均数，再根据方差公式计算方差，从而比较数据的稳定性.
15．【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：如图所示，过点A作交延长线于H，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】本题考查菱形的面积计算和含角的直角三角形的性质。菱形的面积可以用“底×高”的公式计算，因此过点作交的延长线于点，构造直角三角形。利用菱形的内角为，求出，进而得到，根据含角的直角三角形的性质求出高的长度，最后代入面积公式计算即可。
16．【答案】；
【知识点】点的坐标；待定系数法求一次函数解析式；正方形的性质；用代数式表示数值变化规律；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解： ∵，正方形，
∴的纵坐标与相同为，横坐标为，即；
∵，正方形，
∴的纵坐标与相同为，横坐标为，即．
把、代入，
，
解得，即直线解析式为．
推导坐标规律
观察，对应正方形边长为，横坐标，纵坐标；
，对应正方形边长为，横坐标，纵坐标；
对于，正方形的边长为（由在直线上，结合规律
∴横坐标为，纵坐标为 ），则横坐标为，纵坐标为，即；
归纳
∴坐标为．
当时，；
当时，．
故答案为：，．
【分析】本题是一次函数与正方形的综合规律探究题，主要考查待定系数法求一次函数解析式、正方形的性质以及归纳推理能力。首先根据已知点、的坐标，求出对应的、的坐标，代入直线解析式求出和的值；然后通过分析前几个点的坐标特征，归纳出坐标的通用规律；最后利用规律分别求出和的坐标。
17．【答案】解：
．
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除混合运算；二次根式的加减法
【解析】【分析】本题考查二次根式的混合运算，运算顺序与整式混合运算一致，先算乘除，后算加减。首先将和分别化简为最简二次根式，计算它们的乘积；再将化简为最简二次根式；最后合并同类二次根式即可得到最终结果。
18．【答案】解：
．
【知识点】平方差公式及应用；二次根式的混合运算
【解析】【分析】本题考查平方差公式在二次根式运算中的应用以及算术平方根的计算。观察到符合平方差公式的结构特征，利用公式将其化简可以大幅简化计算；再计算的值，最后进行减法运算即可。
19．【答案】解：．
当时，，
∴
【知识点】二次根式的化简求值；因式分解-完全平方公式
【解析】【分析】本题主要考查代数式的化简求值及完全平方公式的应用.将原式通过配方法转化为的形式，再代入已知条件简化计算.
20．【答案】（1）解：由题意作图如下：
（2），两组对边分别相等的四边形是平行四边形，有一个角是直角的平行四边形是矩形
（3），
【知识点】矩形的判定与性质；一次函数图象与坐标轴交点问题；正比例函数的概念；尺规作图-直线、射线、线段
【解析】【解答】解：（2）证明：∵，，
∴四边形是平行四边形．（两组对边分别相等的四边形为平行四边形）
∵，
∴四边形是矩形，（有一个角为直角的平行四边形为矩形）
故答案为：；两组对边分别相等的四边形为平行四边形；有一个角为直角的平行四边形为矩形；
（3）解：∵直线：与轴，轴分别交于点，，
当时，，当时，，
∴，，
∴，，
∴矩形的面积为：，
∵四边形是矩形，，
∴，，
则线段向上平移个单位与线段重合，其中点是点的对应点，点是点的对应点，
∴，
设直线的表达式为，过点，
∴，
解得：，
∴直线的表达式为．
【分析】本题第（1）、（2）小问主要考查矩形的判定、尺规作图以及平行四边形的判定定理；第（3）小问主要考查一次函数与坐标轴的交点、矩形的性质以及待定系数法求直线解析式.
（1）根据题干作图步骤，按要求作图；
（2）根据作图步骤，利用两组对边分别相等的四边形是平行四边形，再结合一个角为直角证明是矩形；
（3）根据直线解析式确定点、的坐标、，可求出矩形面积；再根据矩形的性质确定点C的坐标，利用待定系数法即可求出直线OC的表达式.
（1）解：由题意作图如下：
（2）证明：∵，，
∴四边形是平行四边形．（两组对边分别相等的四边形为平行四边形）
∵，
∴四边形是矩形，（有一个角为直角的平行四边形为矩形）
故答案为：；两组对边分别相等的四边形为平行四边形；有一个角为直角的平行四边形为矩形；
（3）解：∵直线：与轴，轴分别交于点，，
当时，，当时，，
∴，，
∴，，
∴矩形的面积为：，
∵四边形是矩形，，
∴，，
则线段向上平移个单位与线段重合，其中点是点的对应点，点是点的对应点，
∴，
设直线的表达式为，过点，
∴，
解得：，
∴直线的表达式为．
21．【答案】（1）证明：在 ABCD中，ADBC，且AD=BC
∵F是AD的中点
∴DF=AD
又∵CE=BC
∴DF=CE，且DFCE
∴四边形CEDF是平行四边形；
（2）如图，过点D作DH⊥BE于点H．
在 ABCD中，∵∠B=60°，
∴∠DCE=60°．
∵AB=4，
∴CD=AB=4，
∴CH=CD=2，DH=2．
在 CEDF中，CE=DF=AD=3，则EH=1．
∴在Rt△DHE中，根据勾股定理知DE=．
【知识点】平行线的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】（1）平行四边形性质可得ADBC，且AD=BC，再根据怒线段中点可得DF=AD，则DF=CE，且DFCE，再根据平行四边形判定定理即可求出答案.
（2）过点D作DH⊥BE于点H，根据直线平行性质可得∠DCE=60°，再根据含30°角的直角三角形性质可得CH=CD=2，DH=2，再根据勾股定理即可求出答案.
22．【答案】解：（1）∵ 点C（m，4）在正比例函数的图象上，
∴m，，即点C坐标为（3，4）．
∵ 一次函数经过A（－3，0）、点C（3，4），
∴ 解得： ，
∴ 一次函数的表达式为 ；
（2）∵△BPC的面积为6，
∴，
解得：BP=4，
对于，当x=0时，y=2，
∴点B（0，2），
∴点P 的坐标为（0， 6）或（0，－2）．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与二元一次方程（组）的关系
【解析】【分析】（1）根据待定系数法将点C坐标代入正比例函数解析式可得点C坐标为（3，4），再根据待定系数法将点A，C坐标代入一次函数解析式即可求出答案.
（2）根据三角形面积可得BP，根据y轴上点的坐标特征令x=0代入解析式即可求出答案.
23．【答案】（1）①，；②
（2）甲，
【知识点】解一元一次不等式组；平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】
解：（1）①从教师评委打分的情况看，分出现的次数最多，故教师评委打分的众数为，
所以，
共有45名学生评委给每位选手打分，
所以学生评委给每位选手打分的中位数应当是第个，从频数分面直方图上看，可得学生评委给每位选手打分的中位数在第4组，
故答案为：，；
②去掉教师评委打分中的最高分和最低分，其余8名教师评委打分分别为：，，，，，，，，
，
故答案为：；
（2）
，
，
，
，
丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，
依题意，当，则
解得：
当时，
此时
∵，则乙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，不合题意，
当时，
此时
∵，则丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，这三位选手中排序最靠前的是甲
故答案为：甲，．
【分析】
（1）根据众数的定义：分出现的次数最多可得m的值；根据中位数的定义：共有45名学生评委给每位选手打分，每位选手打分的中位数应当是第个可得n的分组；根据算术平均数的定义计算解答即可；
（2）根据方差的公式计算并判断得，再根据方差越小越稳定，求解即可；
（3）根据题意得出，进而分别求得方差与平均数，分类讨论，求解即可．
（1）①从教师评委打分的情况看，分出现的次数最多，故教师评委打分的众数为，
所以，
共有45名学生评委给每位选手打分，
所以学生评委给每位选手打分的中位数应当是第个，从频数分面直方图上看，可得学生评委给每位选手打分的中位数在第4组，
故答案为：，；
②去掉教师评委打分中的最高分和最低分，其余8名教师评委打分分别为：，，，，，，，，
，
故答案为：；
（2），
，
，
，
丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，
依题意，当，则
解得：
当时，
此时
∵，则乙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，不合题意，
当时，
此时
∵，则丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，这三位选手中排序最靠前的是甲
故答案为：甲，．
24．【答案】（1），，；
（2）①，
则用阴影标出一个面积为的图形如下所示：
，
则用阴影标出一个面积为的图形如下所示：
②．
【知识点】完全平方公式的几何背景；二次根式的实际应用；正方形的性质
【解析】【解答】解：（1）当时，
，
，
，
故答案为：，，；
（2）②由①可知，，当且仅当，即时，等号成立，
都是正数，
都是正数，
，
故答案为：.
【分析】本题主要考查三种平均数（算术平均数、几何平均数、平方平均数）的定义及其大小关系，同时结合几何图形（面积法）进行直观验证.
（1）将分别代入，，计算求解；
（2）①分别求出，，并将计算结果利用完全平方公式变形为含有的式子；可由左下角的矩形直接表示，利用正方形的性质可由矩形上方两条对角线分割的线段表示.阴影部分形状并不唯一，这里这样表示是为②问的比较大小；
②根据①中的所画的图形直接比较，可得，由N，M，P均大于0，可得出结论.
25．【答案】（1）解：由表格可知，供水时间每上升2，箭尺读数上升6，∴当供水时间从2升到4时，箭尺读数为；
（2）解：描出以表格中数据为坐标的各点，并连线，如图：
（3）①；②，
【知识点】描点法画函数图象；用表格表示变量间的关系；一次函数的其他应用
【解析】【解答】（3）①解：设解析式为，
当，
则有，
解得，
∴解析式为：，
∵时，，
∴函数解析式为：，
将代入得，
故答案为：；
②解：当时，即，
解得：，
即经过，箭尺读数为，
∵本次实验记录的开始时间是上午，
∴当箭尺读数为时是．
故答案为：，．
【分析】（1）本题考查数据的规律分析。观察表格中的数据可以发现，供水时间每增加2小时，箭尺读数就增加12cm，即箭尺读数随供水时间呈匀速增长趋势，每小时增长6cm，据此可以计算出供水时间为4小时时对应的箭尺读数，补全表格。
（2）本题考查一次函数图象的绘制。根据补全后的表格数据，在平面直角坐标系中准确描出对应的五个点，然后用平滑的直线将这些点依次连接起来，即可得到函数图象。
（3）本题考查一次函数的实际应用。①首先根据表格中的两组数据和，利用待定系数法求出与之间的一次函数关系式，并确定自变量的取值范围；然后将代入解析式，计算出对应的值。②将代入函数解析式，解方程求出对应的值，即供水时间；再根据实验开始时间是上午8：00，计算出此时的具体时间。
（1）解：由表格可知，供水时间每上升2，箭尺读数上升6，
∴当供水时间从2升到4时，箭尺读数为；
（2）解：描出以表格中数据为坐标的各点，并连线，如图：
（3）①解：设解析式为，
当，
则有，
解得，
∴解析式为：，
∵时，，
∴函数解析式为：，
将代入得，
故答案为：；
②解：当时，即，
解得：，
即经过，箭尺读数为，
∵本次实验记录的开始时间是上午，
∴当箭尺读数为时是．
故答案为：，．
26．【答案】（1）解：函数的图象是由函数的图象平移得到，
．
函数的图象经过点，
．
解得．
，．
（2）
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与不等式（组）的关系；一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：（2）结合函数图象，当时，对于x的每一个值，函数的值小于一次函数的值，此时．
【分析】（1）本题考查一次函数图象的平移规律和待定系数法求函数解析式。一次函数图象进行平移变换时，斜率的值保持不变，因此由平移得到的函数；再将点代入解析式中，解方程求出的值即可。
（2）本题考查一次函数的图象与性质，通过数形结合分析函数值的大小关系。当时，函数的值小于一次函数的值，说明在的范围内，直线始终在直线的下方。结合函数图象，考虑直线过定点，分析不同斜率下直线的位置，从而确定的取值范围。
（1）解：函数的图象是由函数的图象平移得到，
．
函数的图象经过点，
．
解得．
，．
（2）解：结合函数图象，当时，对于x的每一个值，函数的值小于一次函数的值，此时．
27．【答案】（1）解：依题意补全图形如下：
（2）证明：连接．
∵点D关于直线的对称点为E，，
，．
．
，
．
．
，
．
．
（3）解：用等式表示线段与的数量关系是：．
证明：连接并延长到F，使得，连接．
∴点N是中点．
∵点D关于直线的对称点为E，与交于点M，
∴点M是中点．
∴为的中位线．
．
∵点N是中点，
．
，，
．
，．
又，
．
，
．
．
．
．
，，
．
．
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；轴对称的性质；三角形的中位线定理；旋转全等模型
【解析】【分析】本题主要考查轴对称的性质、三角形中位线定理、全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质.
（1）根据题意补全图形：找到点E、M，连接BD、CE；
（2）连接.由对称的性质得到AE=AD，，利用角的和差关系得到，结合△ABC是等腰三角形，证明，推出BD=EC；
（3）连接并延长到F，使得，连接，构造全等三角形.根据M、N分别是DE、DF中点，得到为的中位线，则.由全等得BD=CF，根据问题（2）可知BD=EC，因此EC=CF；根据已知条件倒角可证明△ECF是等腰直角三角形，推出，因此，即可得到.
28．【答案】（1）解：①当时，函数为，取点、；
当时，函数为，取点、；
描点连线，画出分移函数图象如下．
②；
（2）m的值是
（3）
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与不等式（组）的关系；矩形的性质；描点法画函数图象；一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】（1）②点，，代入分移函数，
，
解得．
故答案为．
（2）
解：的“分移函数”为（为分移值，本题隐含分移值不影响，直接代入点坐标）：
，，代入得；
，，代入得；
两式相加消去：，
化简得，解得．
故答案为．
（3）
解：∵函数的“分移函数”的“分移值”为，
∴，
当时，函数图象与矩形没有交点，
当时，当函数图象经过点时，如图所示：
此时函数图象与矩形有一个交点，
将点代入，
得，
解得，
当函数图象经过点时，此时函数图象与矩形有三个交点，
将点代入，
得，
解得，
∴当函数图象与矩形有两个交点时，的取值范围是．
【分析】（1）本题考查新定义“分移函数”的图象绘制和点的坐标特征。①根据“分移函数”的定义，分别写出和时对应的函数表达式，在每个区间内选取两个特殊点（如与坐标轴的交点），描点后用直线连接即可画出图象，注意两个区间的图象在处不连续。②已知点在“分移函数”的图象上，由于，因此将点坐标代入对应的分段函数解析式中，解方程即可求出的值。
（2）本题考查“分移函数”上点的坐标特征。首先写出的“分移函数”的一般形式，然后根据的横坐标，代入对应的分段函数；根据的横坐标，代入对应的分段函数，得到两个关于和的方程，将两个方程相加消去，即可求出的值。
（3）本题考查“分移函数”与矩形的交点问题，采用临界值法求解。首先写出“分移值”为3时的函数表达式；分和两种情况讨论，当时，函数图象与矩形没有交点；当时，分别求出函数图象经过矩形顶点和顶点时的值，再结合函数图象的走势，确定图象与矩形恰好有2个交点时的取值范围。
（1）解：①当时，函数为，取点、；
当时，函数为，取点、；
描点连线，画出分移函数图象如下．
②点，，代入分移函数，
，
解得．
故答案为．
（2）解：的“分移函数”为（为分移值，本题隐含分移值不影响，直接代入点坐标）：
，，代入得；
，，代入得；
两式相加消去：，
化简得，解得．
故答案为．
（3）解：∵函数的“分移函数”的“分移值”为，
∴，
当时，函数图象与矩形没有交点，
当时，当函数图象经过点时，如图所示：
此时函数图象与矩形有一个交点，
将点代入，
得，
解得，
当函数图象经过点时，此时函数图象与矩形有三个交点，
将点代入，
得，
解得，
∴当函数图象与矩形有两个交点时，的取值范围是．
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