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2026年贵州毕节梁才学校中考第二次适应性考试数学试卷
1．在，0.5，1，四个实数中，大于1的实数是（　　）
A． B．0.5 C．1 D．
【答案】D
【知识点】实数的大小比较
【解析】【解答】解：∵，
∴
∴在，0.5，1，四个实数中，大于1的实数是．
故答案为：D.
【分析】根据实数大小得比较方法，结合，即可判断得答案.
2．如图，用一个平行于圆锥底面的平面截圆锥，截面的形状是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】截一个几何体
【解析】【解答】解：用平行底面的平面截圆锥体，截面是圆形，
故选：B．
【分析】根据圆锥体的特征即可求出答案.
3．袁隆平院士被誉为“杂交水稻之父”，经过他带领的团队多年艰苦努力，目前我国杂交水稻种植面积达2.4亿亩，每年增产的粮食可以养活80000000人.将80000000这个数用科学记数法可表示为 ，则 的值是（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：∵80000000＝8×107，
∴n＝7，
故答案为：B.
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值＞1时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数，据此求解即可.
4．如图，将菱形纸片沿着线段剪成两个全等的图形，则的度数是（　　）
A．40° B．60° C．80° D．100°
【答案】C
【知识点】菱形的性质；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：∵纸片是菱形
∴对边平行且相等
∴（两直线平行，内错角相等）
故选：C．
【分析】根据菱形性质，结合直线平行性质即可求出答案.
5．某公司5名员工在一次义务募捐中的捐款额为(单位：元)：30，50，50，60，60.若捐款最少的员工又多捐了20元，则分析这5名员工捐款额的数据时，不受影响的统计量是（　　）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
【答案】B
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：由于捐款最少的员工又多捐了20元，则这五个人的捐款数量为：50，50，50，60，60，
∴数据的平均数、众数及方差肯定都会发生变化，只是排在最中间位置的数据没有改变，
∴中位数不会发生改变.
故答案为：B.
【分析】平均数是指一组数据之和，除以这组数的个数；众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做众数，(众数可能有多个)；中位数：将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数；方差就是一组数据的各个数据与其平均数差的平方和的算术平均数，据此逐项判断得出答案.
6．化简的结果是（　　）
A． B． C． D．1
【答案】B
【知识点】同分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：
．
故答案为：B．
【分析】根据同分母分式的减法求解．
7．如图，点、、、在上，，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵点、、、在上，
∴，
故选：C．
【分析】根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得∠A，再根据圆内接四边形性质即可求出答案.
8．《孙子算经》是南北朝时期重要的数学专著，包含“鸡兔同笼”等许多有趣的数学问题.如：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸：屈绳量大，不足一尺，木长几何？”大意是：“用一根绳量一根木，绳剩余4.5尺；将绳对折再量木，木剩余1尺，问木长多少？”设木长x尺，绳长y尺，则依题意可列方程（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：根据题意可列方程组，
故答案为：D.
【分析】 设木长x尺，绳长y尺 ，由“用一根绳量一根木，绳剩余4.5尺”可列方程y=x+4.5，由“将绳对折再量木，木剩余1尺”可列方程0.5y=x-1，联立两方程组成方程组.
9．如图，原点O是和的位似中心，点与点是对应点，的面积是4，则的面积是（　　）
A．4 B．8 C．12 D．16
【答案】D
【知识点】位似图形的性质
【解析】【解答】解：和位似，
，
∴，
∵点与点是对应点，
∴，
=，
的面积是4，
的面积是16，
故答案为：D．
【分析】先根据位似图形的概念得到，再根据相似三角形的性质列出比例式，然后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算求解．
10．如图，小红居住的小区内有一条笔直的小路，小路的正中间有一路灯，晚上小红由A处径直走到B处，她在灯光照射下的影长l与行走的路程s之间的变化关系用图象刻画出来，大致图象是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】函数的图象；中心投影
【解析】【解答】解：∵小路的正中间有一路灯，晚上小红由A处径直走到B处，她在灯光照射下的影长l与行走的路程S之间的变化关系应为：当小红走到灯下以前：l随S的增大而减小；当小红走到灯下以后再往前走时：l随S的增大而增大，
∴用图象刻画出来应为C．
故选：C．
【分析】根据中心投影的性质，结合一次函数的性质分类讨论即可求出答案.
11．如图，在四边形中，，，．按下列步骤作图：①以点D为圆心，适当长度为半径画弧，分别交于E，F两点；②分别以点E，F为圆心以大于的长为半径画弧，两弧交于点P；③连接并延长交于点G．则的长是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【知识点】等腰三角形的判定；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：根据作图步骤，得平分，
，
，
，
，
∵CD=3，
，
∵BC=5，
，
故答案为：A．
【分析】先由作图步骤得平分，然后根据角平分线的定义、平行线的性质得，从而由等腰三角形判定“等角对等边”得，进而求BG=BC-CG的值即可.
12．王明从家步行到公交车站台，然后等公交车去单位．下公交车后又步行了一段路程才到单位．图中的折线表示王明的行程s（米）与所花时间t（分）之间的函数关系．下列说法正确的是（　　）
A．王明等公交车时间为5分钟
B．王明步行的速度是60米/分
C．王明全程的平均速度为290米/分
D．公交车的速度是500米/分
【答案】D
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：A． 依题意在第5分钟开始等公交车，第8分钟结束，故王明等公交车时间为3分钟，故选项错误；
B． 依题意得王明离家400米共用了5分钟，故步行的速度为80米/分，故选项错误；
C． 王明全程6800米，共用时25分钟，全程速度为272米/分，故选项错误；
D． 公交车分钟走了米，故公交车的速度为米/分，故选项正确．
故选：D．
【分析】根据函数图象信息逐项进行判断即可求出答案.
13．中国最热的地方是吐鲁番，年最高温度可达43℃，记为“+43℃”，最冷的地方是呼伦贝尔的根河市，极端低温可达零下58℃，记为　 　℃．
【答案】
【知识点】具有相反意义的量
【解析】【解答】解：零下，记为，
故答案为：．
【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，另一个为负，结合题意即可求解.
14．在实数范围内分解因式： 　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】直接利用平方差公式分解因式．平方差公式：a2-b2=（a+b）（a-b）．
=" x" (x-2)=
【分析】先提取公因式x，然后利用平方差公式进行分解即可.
15．如图，是一束平行的光线从教室窗户射入教室的平面示意图，窗户的高在教室地面上的影长米，点到墙角的距离米，窗户的下沿到教室地面的距离米（点在同一直线上），则窗户的高为　 　米．
【答案】
【知识点】平行线的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：，
，
，
解得，，
．
故答案为：．
【分析】根据直线平行性质可得，再根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算可得AC，再根据边之间的关系即可求出答案.
16．如图，在中，平分，，，点E为的中点，，则的长为　 　．
【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；角平分线的概念；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的性质-对应边；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：过点作，交的延长线于，延长交于，连接，如图所示：
则，，
，，
，
，点为的中点，
，
，
即点为的中点，
，
，，
平分，
，
，
即为等腰三角形，
根据等腰三角形三线合一定理得：，
，
在中，，，
，
，
由勾股定理得：，
在中，，，
由勾股定理得：，
，
，
，
．
故答案为：
【分析】过点作，交的延长线于，延长交于，连接，根据相似三角形判定定理可得，，则，，即，根据边之间的关系可得，即点为的中点，根据直线平行性质可得，，根据角平分线定义可得，则，再根据等腰三角形判定定理可得为等腰三角形，根据等腰三角形三线合一性质可得，根据含30°角的直角三角形性质可得EG，根据勾股定理可得AG，CG，再根据边之间的关系即可求出答案.
17．计算：
（1）
（2）
【答案】（1）解：
（2）解：
【知识点】分式的加减法；分式的混合运算；负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】（1）分别计算零指数幂、负整数指数幂，特殊角的三角函数值，去括号得，然后再进行加减 即可.
（2）先把的括号内通分计算后，再把除法转换为乘法为，进一步计算即可得答案.
（1）解：
；
（2）解：
．
18．今年春节档期全国总观影人次超亿，总票房超80亿元．以下是甲、乙两部影片一周上映的观影人次信息．根据图中信息，回答下列问题：
两部影片观影人次折线统计图
（1）甲影片观影人次的众数为______万人；乙影片观影人次的中位数为_______万人．
（2）下列说法正确的是______（填序号）
①甲影片的观影人次逐日增加；
②周日甲影片与乙影片的观影人次差值最大；
③乙影片观影人次比甲影片观影人次更稳定；
④甲影片的日平均观影人次低于乙影片的日平均观影人次．
（3）根据甲、乙两部影片累计观影人次统计数据，判断甲、乙两部影片受欢迎的程度并提出一条合理化的建议．
【答案】（1）45.2，61.4；
（2）②③；
（3）解：根据甲、乙两部影片数据可知，甲影片在累计观影人次、观影人次众数、周平均观影人次等方面表现更优，更受欢迎，故建议多安排甲影片的播放次数．
【知识点】折线统计图；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】解：（1）∵甲影片观看的人数为45.2万人的有两天，天数最多，
∴甲影片观影人次的众数为45.2万人；
将乙影片周一到周日观影人次从小到大进行排列为：47.3，51.3，57.3，61.4，64.2，65.6，70.9，
∴乙影片观影人次的中位数为61.4万人，
故答案为：45.2，61.4；
（2）解：①根据折线统计图可知，甲影片的观影人次没有逐日增加，故①错误；
②周一：61.4-50.5=10.9（万人），
周二：70.9-45.2=25.7（万人），
周三：63.4-51.3=12.1（万人），
周四：89.6-65.6=24（万人），
周五：82.6-57.3=25.3（万人），
周六：64.2-45.2=19（万人），
周日：95.8-47.3=48.5（万人），
∴10.9<12.1<19<24<25.3<25.7<48.5，
∴周日甲影片与乙影片的观影人次差值最大，故②正确；
③根据折线统计图可知，乙影片观影人次比甲影片观影人次波动小，
∴乙影片观影人次比甲影片观影人次更稳定，故③正确；
④甲影片的日平均观影人次为：（万人），
乙影片的日平均观影人次为：（万人），
，
∴甲影片的日平均观影人次高于乙影片的日平均观影人次，故④错误；
故答案为：②③.
【分析】（1）根据众数和中位数的定义进行求解；
（2）①根据折线统计图直接判断该说法错误；②求出每一天观影人次的差值，进行比较后可判断②正确；③根据折线统计图直接可判断③正确；④分别求出甲乙影片的平均观影人次，进行比较后可判断④错误；
（3）根据众数和平均数的意义进行求解．
（1）解：甲影片观看的人数为万人的有两天，天数最多，
∴甲影片观影人次的众数为万人；
乙影片周一到周日观影人次从小到大排列为：，则乙影片观影人次的中位数为万人；
（2）解：①根据折线统计图，甲影片的观影人次没有逐日增加，故预案说法错误；
②周一：（万人），
周二：（万人），
周三：（万人），
周四：（万人），
周五：（万人），
周六：（万人），
周日：（万人），
则周日甲影片与乙影片的观影人次差值最大，故原说法正确；
③根据统计图，乙影片观影人次比甲影片观影人次波动小，则乙影片观影人次比甲影片观影人次更稳定，故原说法正确；
④甲影片的日平均观影人次为：（万人），
乙影片的日平均观影人次为：（万人），
，
甲影片的日平均观影人次高于乙影片的日平均观影人次，故原说法错误；
故答案为：②③；
（3）解：根据甲、乙两部影片数据可知，甲影片在累计观影人次、观影人次众数、周平均观影人次等方面表现更优，更受欢迎．
建议：多安排甲影片的播放次数．
19．已知，求代数式的值．
【答案】解：，
，
．
【知识点】单项式乘多项式；完全平方公式及运用；平方差公式及应用；整式的混合运算；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【分析】由题意可得，根据平方差公式，完全平方公式，单项式乘多项式去括号，合并同类项化简，再整体代入即可求出答案.
20．如图，在中，为对角线上的中点，连接，且，垂足为．延长至，使，连接，，且交于点．
（1）求证：是菱形；
（2）若，求的面积．
【答案】（1）证明：∵为对角线上的中点，且，
∴垂直平分，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴是菱形；
（2）解：如图：
∵，
∴，
设
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴为等边三角形，
∴
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【知识点】三角形的面积；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；菱形的判定与性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）根据垂直平分线判定定理可得垂直平分，则，再根据菱形判定定理即可求出答案.
（2）根据等边对等角可得，设，根据角之间的关系建立方程，解方程可得，根据含30°角的直角三角形性质就饿得BC，再根据等边三角形判定定理可得为等边三角形，则，根据菱形性质可得，则，根据含30°角的直角三角形性质可得CG，再根据勾股定理可得FG，再根据三角形面积即可求出答案.
（1）证明：∵为对角线上的中点，且，
∴垂直平分，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴是菱形；
（2）解：如图：
∵，
∴，
设
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴为等边三角形，
∴
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
21．某商城在“双十一”期间促销海尔冰箱，每台进货价为2500元，标价为3000元．
（1）商城举行了“感恩新老用户”摸奖活动，中奖者商城将冰箱连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以2430元售出，求每次降价的百分率；
（2）市场调研表明：当每台售价为2900元时，平均每天能售出8台，当每台售价每降50元时，平均每天就能多售出4台，若商城要想使海尔冰箱平均每天销售利润达到4800元，为减小库存，则每台冰箱的定价应为多少元？
（3）在条件（2）的背景下，商场应把售价定为多少元才能使海尔冰箱平均每天销售利润达到最大？最大利润是多少元？
【答案】（1）解：设每次降价的百分率为，
依题意得：，
解得（不合题意，舍去），
答：每次降价的百分率是；
（2）解：假设下调个50元，
依题意得：，
解得：．
∵为减小库存，
∴，
所以下调元，因此定价为元．
（3）解：设海尔冰箱平均每天销售利润为W，
则，
∵，
∴当，即定价为元时，海尔冰箱平均每天销售利润W最大，最大利润是5000元．
故当售价为元时，海尔冰箱平均每天销售利润最大，最大利润是5000元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设每次降价的百分率为，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（2）假设下调个50元，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（3）设海尔冰箱平均每天销售利润为W，根据题意建立函数关系式，结合一次函数性质即可求出答案.
（1）解：设每次降价的百分率为，
依题意得：，
解得（不合题意，舍去），
答：每次降价的百分率是；
（2）解：假设下调个50元，
依题意得：，
解得：．
∵为减小库存，
∴，
所以下调元，因此定价为元．
（3）解：设海尔冰箱平均每天销售利润为W，
则，
∵，
∴当，即定价为元时，海尔冰箱平均每天销售利润W最大，最大利润是5000元．
故当售价为元时，海尔冰箱平均每天销售利润最大，最大利润是5000元．
22．某小区在设计时，计划在如图①的住宅楼正前方建一栋文体活动中心．设计示意图如图②所示，已知，该地冬至正午太阳高度角为．如果你是建筑设计师，请结合示意图和已知条件完成下列任务．
任务一：计算冬至正午太阳照到住宅楼的位置与地面之间的距离的长；
任务二：为符合建筑规范对日照的要求，让整栋住宅楼在冬至正午太阳高度角下恰好都能照射到阳光，需将活动中心沿方向移动一定的距离（活动中心高度不变），求该活动中心移动了多少米？
（参考数据：．结果保留小数点后一位）
【答案】解：任务一：如图，过作于，
结合题意可得：四边形为矩形，，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴；
任务二：如图，过作的平行线，过作的平行线，两线交于点，交于点，过作于，
∴，四边形为矩形，
∴，
∴，
∴；
∴该活动中心移动了2米.
【知识点】平行线的性质；矩形的判定与性质；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】任务一：过作于，根据矩形性质可得，，解直角三角形可得CE，再根据边之间的关系即可求出答案.
任务②；过作的平行线，过作的平行线，两线交于点，交于点，过作于，根据直线平行性质可得，则四边形为矩形，根据矩形性质可得，解直角三角形即可求出答案.
23．如图，在平面直角坐标中，反比例函数与一次函数的图象相交于点A和点C，一次函数图象与x轴相交于点B，其中点A的坐标是．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若，求一次函数的解析式；
【答案】（1）解：在反比例函数图象上，
，
反比例函数解析式为：.
（2）解：如图，
，
，解得，
，
点，在一次函数的图象上，
，解得，
一次函数解析式为：.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积
【解析】【分析】（1）根据在反比例函数图象上，结合待定系数法列方程，解出即可得反比例函数解析式.
（2）根据列方程，解出得，即可得，再根据点，在一次函数的图象上，结合待定系数法列方程组，解出即可得一次函数解析式.
（1）解：在反比例函数图象上，
，
反比例函数解析式为：；
（2），
，解得，
，
点，在一次函数的图象上，
，
解得，
一次函数解析式为：．
24．如图①是某小区设计的一个车棚，其截面如图②所示，顶棚是抛物线的一部分，垂直于地面，且，以所在的直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，顶棚抛物线满足函数关系式（为常数，）．
（1）求顶棚抛物线的函数关系式；
（2）小星想驾驶一辆高为，宽为的货车进入车棚．通过计算判断他能驾驶这辆车进入车棚吗？
（3）如图③，为使车棚更加稳固，需增加钢筋进行加固．在顶棚之间抛物线上有两个点和（不与点重合）．它们的横坐标分别为，连接，．设点与点之间部分（含点和点）的最高点与最低点的纵坐标的差为，点与点之间部分（含点和点）的最高点与最低点的纵坐标的差为，当时，求出的值．
【答案】（1）解：∵，
∴，代入得，
解得：，
∴顶棚抛物线的函数关系式为：；
（2）解：如图，过作于点，
∵顶棚抛物线的函数关系式为：，
∴抛物线对称轴为直线，
∵车身的宽为，
∴车身一端点的坐标为，
将代入，得，
∴，
∴小星能将车开进车棚；
（3）解：在抛物线之间，，
且，
，
，
，
①当都在对称轴的左侧时，
∴，
，
，
，
（舍去）；
②当在对称轴的左侧，点在对称轴上或右侧时，
∴，且，
，
，
，
（舍去），（舍去），
综上所述，当时， ．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【分析】（1）根据题意得的坐标，然后利用待定系数法求解即可；
（2）过作于点，先求出抛物线的对称轴，然后得车身一端点的坐标为，将代入抛物线解析式得此时的值，进行比较即可确定能将车开进车棚；
（3）根据在抛物线之间求出的取值范围，得坐标，于是得用含的算式表示的值，然后分两种情况讨论：①当都在对称轴的左侧时，②当在对称轴的左侧，点在对称轴上或右侧时，最后结合函数图象，根据二次函数的性质求解即可．
（1）解：由题意得，，
将分别代入得
，
解得：，
顶棚抛物线的函数关系式为：；
（2）解：如图，
∵对称轴为直线：，
车身的宽为，
车身一端点的坐标为，
过作于点，
将代入
得
即，
小星能将车开进车棚；
（3）解：在抛物线之间，
且，
，
．
①当都在对称轴的左侧时，
则，
∴
，
（舍）．
②当在对称轴的左侧，点在对称轴上或右侧时，
则，且，
，
，
（舍），（舍）
综上所述：．
25．如图，在矩形中，，，对角线，相交于点O，E为的中点，将绕点D顺时针旋转α（）得到.
（1）求的面积.
（2）旋转过程中，是否存在α使得与的面积相等？若存在，求出α的值，若不存在，请说明理由.
（3）旋转过程中，当所在直线经过点B时，求的长.
【答案】（1）解：在矩形中，，
∵E为的中点，
∴，，，
∴；
（2）解：存在，理由如下：
当时，则有，
①如图1，当在上方时，
∵，，
∴即；
②如图2，当在下方时，
此时，点与点C重合，
∴；
综上所述，α的值为或；
（3）解：①如图2，当射线经过点B时，
∵，，
∴，
又∵，，
∴；
②如图3，当射线经过点B时，
记与的交点为F，作于点G.
∵，
在和中，
∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴
∴，
设，则，可列方程，解得，
∴，
∵，
∴，
由得，
∴；
综上所述，的长为或．
【知识点】三角形的面积；直角三角形全等的判定-HL；勾股定理；旋转的性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）根据矩形性质可得，，，再根据三角形面积即可求出答案.
（2）当时，则有，分情况讨论：①当在上方时，②当在下方时，根据直线平行性质即可求出答案.
（3）分情况讨论：①当射线经过点B时，根据边之间的关系可得BO，根据勾股定理即可求出答案；②当射线经过点B时，记与的交点为F，作于点G，根据全等三角形判定定理可得，则，，根据直线平行性质可得，则，根据等角对等边可得，设，则，根据勾股定理建立方程，解方程可得x，再根据相似三角形性质可得，再根据勾股定理即可求出答案.
（1）解：在矩形中，，
∵E为的中点，
∴，，，
∴；
（2）解：存在，理由如下：
当时，则有，
①如图1，当在上方时，
∵，，
∴即；
②如图2，当在下方时，
此时，点与点C重合，
∴；
综上所述，α的值为或；
（3）解：①如图2，当射线经过点B时，
∵，，
∴，
又∵，，
∴；
②如图3，当射线经过点B时，
记与的交点为F，作于点G.
∵，
在和中，
∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴
∴，
设，则，可列方程，解得，
∴，
∵，
∴，
由得，
∴；
综上所述，的长为或．
1 / 12026年贵州毕节梁才学校中考第二次适应性考试数学试卷
1．在，0.5，1，四个实数中，大于1的实数是（　　）
A． B．0.5 C．1 D．
2．如图，用一个平行于圆锥底面的平面截圆锥，截面的形状是（　　）
A． B．
C． D．
3．袁隆平院士被誉为“杂交水稻之父”，经过他带领的团队多年艰苦努力，目前我国杂交水稻种植面积达2.4亿亩，每年增产的粮食可以养活80000000人.将80000000这个数用科学记数法可表示为 ，则 的值是（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
4．如图，将菱形纸片沿着线段剪成两个全等的图形，则的度数是（　　）
A．40° B．60° C．80° D．100°
5．某公司5名员工在一次义务募捐中的捐款额为(单位：元)：30，50，50，60，60.若捐款最少的员工又多捐了20元，则分析这5名员工捐款额的数据时，不受影响的统计量是（　　）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
6．化简的结果是（　　）
A． B． C． D．1
7．如图，点、、、在上，，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
8．《孙子算经》是南北朝时期重要的数学专著，包含“鸡兔同笼”等许多有趣的数学问题.如：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸：屈绳量大，不足一尺，木长几何？”大意是：“用一根绳量一根木，绳剩余4.5尺；将绳对折再量木，木剩余1尺，问木长多少？”设木长x尺，绳长y尺，则依题意可列方程（　　）
A． B．
C． D．
9．如图，原点O是和的位似中心，点与点是对应点，的面积是4，则的面积是（　　）
A．4 B．8 C．12 D．16
10．如图，小红居住的小区内有一条笔直的小路，小路的正中间有一路灯，晚上小红由A处径直走到B处，她在灯光照射下的影长l与行走的路程s之间的变化关系用图象刻画出来，大致图象是（　　）
A． B．
C． D．
11．如图，在四边形中，，，．按下列步骤作图：①以点D为圆心，适当长度为半径画弧，分别交于E，F两点；②分别以点E，F为圆心以大于的长为半径画弧，两弧交于点P；③连接并延长交于点G．则的长是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
12．王明从家步行到公交车站台，然后等公交车去单位．下公交车后又步行了一段路程才到单位．图中的折线表示王明的行程s（米）与所花时间t（分）之间的函数关系．下列说法正确的是（　　）
A．王明等公交车时间为5分钟
B．王明步行的速度是60米/分
C．王明全程的平均速度为290米/分
D．公交车的速度是500米/分
13．中国最热的地方是吐鲁番，年最高温度可达43℃，记为“+43℃”，最冷的地方是呼伦贝尔的根河市，极端低温可达零下58℃，记为　 　℃．
14．在实数范围内分解因式： 　 　．
15．如图，是一束平行的光线从教室窗户射入教室的平面示意图，窗户的高在教室地面上的影长米，点到墙角的距离米，窗户的下沿到教室地面的距离米（点在同一直线上），则窗户的高为　 　米．
16．如图，在中，平分，，，点E为的中点，，则的长为　 　．
17．计算：
（1）
（2）
18．今年春节档期全国总观影人次超亿，总票房超80亿元．以下是甲、乙两部影片一周上映的观影人次信息．根据图中信息，回答下列问题：
两部影片观影人次折线统计图
（1）甲影片观影人次的众数为______万人；乙影片观影人次的中位数为_______万人．
（2）下列说法正确的是______（填序号）
①甲影片的观影人次逐日增加；
②周日甲影片与乙影片的观影人次差值最大；
③乙影片观影人次比甲影片观影人次更稳定；
④甲影片的日平均观影人次低于乙影片的日平均观影人次．
（3）根据甲、乙两部影片累计观影人次统计数据，判断甲、乙两部影片受欢迎的程度并提出一条合理化的建议．
19．已知，求代数式的值．
20．如图，在中，为对角线上的中点，连接，且，垂足为．延长至，使，连接，，且交于点．
（1）求证：是菱形；
（2）若，求的面积．
21．某商城在“双十一”期间促销海尔冰箱，每台进货价为2500元，标价为3000元．
（1）商城举行了“感恩新老用户”摸奖活动，中奖者商城将冰箱连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以2430元售出，求每次降价的百分率；
（2）市场调研表明：当每台售价为2900元时，平均每天能售出8台，当每台售价每降50元时，平均每天就能多售出4台，若商城要想使海尔冰箱平均每天销售利润达到4800元，为减小库存，则每台冰箱的定价应为多少元？
（3）在条件（2）的背景下，商场应把售价定为多少元才能使海尔冰箱平均每天销售利润达到最大？最大利润是多少元？
22．某小区在设计时，计划在如图①的住宅楼正前方建一栋文体活动中心．设计示意图如图②所示，已知，该地冬至正午太阳高度角为．如果你是建筑设计师，请结合示意图和已知条件完成下列任务．
任务一：计算冬至正午太阳照到住宅楼的位置与地面之间的距离的长；
任务二：为符合建筑规范对日照的要求，让整栋住宅楼在冬至正午太阳高度角下恰好都能照射到阳光，需将活动中心沿方向移动一定的距离（活动中心高度不变），求该活动中心移动了多少米？
（参考数据：．结果保留小数点后一位）
23．如图，在平面直角坐标中，反比例函数与一次函数的图象相交于点A和点C，一次函数图象与x轴相交于点B，其中点A的坐标是．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若，求一次函数的解析式；
24．如图①是某小区设计的一个车棚，其截面如图②所示，顶棚是抛物线的一部分，垂直于地面，且，以所在的直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，顶棚抛物线满足函数关系式（为常数，）．
（1）求顶棚抛物线的函数关系式；
（2）小星想驾驶一辆高为，宽为的货车进入车棚．通过计算判断他能驾驶这辆车进入车棚吗？
（3）如图③，为使车棚更加稳固，需增加钢筋进行加固．在顶棚之间抛物线上有两个点和（不与点重合）．它们的横坐标分别为，连接，．设点与点之间部分（含点和点）的最高点与最低点的纵坐标的差为，点与点之间部分（含点和点）的最高点与最低点的纵坐标的差为，当时，求出的值．
25．如图，在矩形中，，，对角线，相交于点O，E为的中点，将绕点D顺时针旋转α（）得到.
（1）求的面积.
（2）旋转过程中，是否存在α使得与的面积相等？若存在，求出α的值，若不存在，请说明理由.
（3）旋转过程中，当所在直线经过点B时，求的长.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】实数的大小比较
【解析】【解答】解：∵，
∴
∴在，0.5，1，四个实数中，大于1的实数是．
故答案为：D.
【分析】根据实数大小得比较方法，结合，即可判断得答案.
2．【答案】B
【知识点】截一个几何体
【解析】【解答】解：用平行底面的平面截圆锥体，截面是圆形，
故选：B．
【分析】根据圆锥体的特征即可求出答案.
3．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：∵80000000＝8×107，
∴n＝7，
故答案为：B.
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值＞1时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数，据此求解即可.
4．【答案】C
【知识点】菱形的性质；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：∵纸片是菱形
∴对边平行且相等
∴（两直线平行，内错角相等）
故选：C．
【分析】根据菱形性质，结合直线平行性质即可求出答案.
5．【答案】B
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：由于捐款最少的员工又多捐了20元，则这五个人的捐款数量为：50，50，50，60，60，
∴数据的平均数、众数及方差肯定都会发生变化，只是排在最中间位置的数据没有改变，
∴中位数不会发生改变.
故答案为：B.
【分析】平均数是指一组数据之和，除以这组数的个数；众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做众数，(众数可能有多个)；中位数：将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数；方差就是一组数据的各个数据与其平均数差的平方和的算术平均数，据此逐项判断得出答案.
6．【答案】B
【知识点】同分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：
．
故答案为：B．
【分析】根据同分母分式的减法求解．
7．【答案】C
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵点、、、在上，
∴，
故选：C．
【分析】根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得∠A，再根据圆内接四边形性质即可求出答案.
8．【答案】D
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：根据题意可列方程组，
故答案为：D.
【分析】 设木长x尺，绳长y尺 ，由“用一根绳量一根木，绳剩余4.5尺”可列方程y=x+4.5，由“将绳对折再量木，木剩余1尺”可列方程0.5y=x-1，联立两方程组成方程组.
9．【答案】D
【知识点】位似图形的性质
【解析】【解答】解：和位似，
，
∴，
∵点与点是对应点，
∴，
=，
的面积是4，
的面积是16，
故答案为：D．
【分析】先根据位似图形的概念得到，再根据相似三角形的性质列出比例式，然后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算求解．
10．【答案】C
【知识点】函数的图象；中心投影
【解析】【解答】解：∵小路的正中间有一路灯，晚上小红由A处径直走到B处，她在灯光照射下的影长l与行走的路程S之间的变化关系应为：当小红走到灯下以前：l随S的增大而减小；当小红走到灯下以后再往前走时：l随S的增大而增大，
∴用图象刻画出来应为C．
故选：C．
【分析】根据中心投影的性质，结合一次函数的性质分类讨论即可求出答案.
11．【答案】A
【知识点】等腰三角形的判定；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：根据作图步骤，得平分，
，
，
，
，
∵CD=3，
，
∵BC=5，
，
故答案为：A．
【分析】先由作图步骤得平分，然后根据角平分线的定义、平行线的性质得，从而由等腰三角形判定“等角对等边”得，进而求BG=BC-CG的值即可.
12．【答案】D
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：A． 依题意在第5分钟开始等公交车，第8分钟结束，故王明等公交车时间为3分钟，故选项错误；
B． 依题意得王明离家400米共用了5分钟，故步行的速度为80米/分，故选项错误；
C． 王明全程6800米，共用时25分钟，全程速度为272米/分，故选项错误；
D． 公交车分钟走了米，故公交车的速度为米/分，故选项正确．
故选：D．
【分析】根据函数图象信息逐项进行判断即可求出答案.
13．【答案】
【知识点】具有相反意义的量
【解析】【解答】解：零下，记为，
故答案为：．
【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，另一个为负，结合题意即可求解.
14．【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】直接利用平方差公式分解因式．平方差公式：a2-b2=（a+b）（a-b）．
=" x" (x-2)=
【分析】先提取公因式x，然后利用平方差公式进行分解即可.
15．【答案】
【知识点】平行线的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：，
，
，
解得，，
．
故答案为：．
【分析】根据直线平行性质可得，再根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算可得AC，再根据边之间的关系即可求出答案.
16．【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；角平分线的概念；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的性质-对应边；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：过点作，交的延长线于，延长交于，连接，如图所示：
则，，
，，
，
，点为的中点，
，
，
即点为的中点，
，
，，
平分，
，
，
即为等腰三角形，
根据等腰三角形三线合一定理得：，
，
在中，，，
，
，
由勾股定理得：，
在中，，，
由勾股定理得：，
，
，
，
．
故答案为：
【分析】过点作，交的延长线于，延长交于，连接，根据相似三角形判定定理可得，，则，，即，根据边之间的关系可得，即点为的中点，根据直线平行性质可得，，根据角平分线定义可得，则，再根据等腰三角形判定定理可得为等腰三角形，根据等腰三角形三线合一性质可得，根据含30°角的直角三角形性质可得EG，根据勾股定理可得AG，CG，再根据边之间的关系即可求出答案.
17．【答案】（1）解：
（2）解：
【知识点】分式的加减法；分式的混合运算；负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】（1）分别计算零指数幂、负整数指数幂，特殊角的三角函数值，去括号得，然后再进行加减 即可.
（2）先把的括号内通分计算后，再把除法转换为乘法为，进一步计算即可得答案.
（1）解：
；
（2）解：
．
18．【答案】（1）45.2，61.4；
（2）②③；
（3）解：根据甲、乙两部影片数据可知，甲影片在累计观影人次、观影人次众数、周平均观影人次等方面表现更优，更受欢迎，故建议多安排甲影片的播放次数．
【知识点】折线统计图；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】解：（1）∵甲影片观看的人数为45.2万人的有两天，天数最多，
∴甲影片观影人次的众数为45.2万人；
将乙影片周一到周日观影人次从小到大进行排列为：47.3，51.3，57.3，61.4，64.2，65.6，70.9，
∴乙影片观影人次的中位数为61.4万人，
故答案为：45.2，61.4；
（2）解：①根据折线统计图可知，甲影片的观影人次没有逐日增加，故①错误；
②周一：61.4-50.5=10.9（万人），
周二：70.9-45.2=25.7（万人），
周三：63.4-51.3=12.1（万人），
周四：89.6-65.6=24（万人），
周五：82.6-57.3=25.3（万人），
周六：64.2-45.2=19（万人），
周日：95.8-47.3=48.5（万人），
∴10.9<12.1<19<24<25.3<25.7<48.5，
∴周日甲影片与乙影片的观影人次差值最大，故②正确；
③根据折线统计图可知，乙影片观影人次比甲影片观影人次波动小，
∴乙影片观影人次比甲影片观影人次更稳定，故③正确；
④甲影片的日平均观影人次为：（万人），
乙影片的日平均观影人次为：（万人），
，
∴甲影片的日平均观影人次高于乙影片的日平均观影人次，故④错误；
故答案为：②③.
【分析】（1）根据众数和中位数的定义进行求解；
（2）①根据折线统计图直接判断该说法错误；②求出每一天观影人次的差值，进行比较后可判断②正确；③根据折线统计图直接可判断③正确；④分别求出甲乙影片的平均观影人次，进行比较后可判断④错误；
（3）根据众数和平均数的意义进行求解．
（1）解：甲影片观看的人数为万人的有两天，天数最多，
∴甲影片观影人次的众数为万人；
乙影片周一到周日观影人次从小到大排列为：，则乙影片观影人次的中位数为万人；
（2）解：①根据折线统计图，甲影片的观影人次没有逐日增加，故预案说法错误；
②周一：（万人），
周二：（万人），
周三：（万人），
周四：（万人），
周五：（万人），
周六：（万人），
周日：（万人），
则周日甲影片与乙影片的观影人次差值最大，故原说法正确；
③根据统计图，乙影片观影人次比甲影片观影人次波动小，则乙影片观影人次比甲影片观影人次更稳定，故原说法正确；
④甲影片的日平均观影人次为：（万人），
乙影片的日平均观影人次为：（万人），
，
甲影片的日平均观影人次高于乙影片的日平均观影人次，故原说法错误；
故答案为：②③；
（3）解：根据甲、乙两部影片数据可知，甲影片在累计观影人次、观影人次众数、周平均观影人次等方面表现更优，更受欢迎．
建议：多安排甲影片的播放次数．
19．【答案】解：，
，
．
【知识点】单项式乘多项式；完全平方公式及运用；平方差公式及应用；整式的混合运算；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【分析】由题意可得，根据平方差公式，完全平方公式，单项式乘多项式去括号，合并同类项化简，再整体代入即可求出答案.
20．【答案】（1）证明：∵为对角线上的中点，且，
∴垂直平分，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴是菱形；
（2）解：如图：
∵，
∴，
设
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴为等边三角形，
∴
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【知识点】三角形的面积；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；菱形的判定与性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）根据垂直平分线判定定理可得垂直平分，则，再根据菱形判定定理即可求出答案.
（2）根据等边对等角可得，设，根据角之间的关系建立方程，解方程可得，根据含30°角的直角三角形性质就饿得BC，再根据等边三角形判定定理可得为等边三角形，则，根据菱形性质可得，则，根据含30°角的直角三角形性质可得CG，再根据勾股定理可得FG，再根据三角形面积即可求出答案.
（1）证明：∵为对角线上的中点，且，
∴垂直平分，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴是菱形；
（2）解：如图：
∵，
∴，
设
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴为等边三角形，
∴
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
21．【答案】（1）解：设每次降价的百分率为，
依题意得：，
解得（不合题意，舍去），
答：每次降价的百分率是；
（2）解：假设下调个50元，
依题意得：，
解得：．
∵为减小库存，
∴，
所以下调元，因此定价为元．
（3）解：设海尔冰箱平均每天销售利润为W，
则，
∵，
∴当，即定价为元时，海尔冰箱平均每天销售利润W最大，最大利润是5000元．
故当售价为元时，海尔冰箱平均每天销售利润最大，最大利润是5000元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设每次降价的百分率为，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（2）假设下调个50元，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（3）设海尔冰箱平均每天销售利润为W，根据题意建立函数关系式，结合一次函数性质即可求出答案.
（1）解：设每次降价的百分率为，
依题意得：，
解得（不合题意，舍去），
答：每次降价的百分率是；
（2）解：假设下调个50元，
依题意得：，
解得：．
∵为减小库存，
∴，
所以下调元，因此定价为元．
（3）解：设海尔冰箱平均每天销售利润为W，
则，
∵，
∴当，即定价为元时，海尔冰箱平均每天销售利润W最大，最大利润是5000元．
故当售价为元时，海尔冰箱平均每天销售利润最大，最大利润是5000元．
22．【答案】解：任务一：如图，过作于，
结合题意可得：四边形为矩形，，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴；
任务二：如图，过作的平行线，过作的平行线，两线交于点，交于点，过作于，
∴，四边形为矩形，
∴，
∴，
∴；
∴该活动中心移动了2米.
【知识点】平行线的性质；矩形的判定与性质；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】任务一：过作于，根据矩形性质可得，，解直角三角形可得CE，再根据边之间的关系即可求出答案.
任务②；过作的平行线，过作的平行线，两线交于点，交于点，过作于，根据直线平行性质可得，则四边形为矩形，根据矩形性质可得，解直角三角形即可求出答案.
23．【答案】（1）解：在反比例函数图象上，
，
反比例函数解析式为：.
（2）解：如图，
，
，解得，
，
点，在一次函数的图象上，
，解得，
一次函数解析式为：.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积
【解析】【分析】（1）根据在反比例函数图象上，结合待定系数法列方程，解出即可得反比例函数解析式.
（2）根据列方程，解出得，即可得，再根据点，在一次函数的图象上，结合待定系数法列方程组，解出即可得一次函数解析式.
（1）解：在反比例函数图象上，
，
反比例函数解析式为：；
（2），
，解得，
，
点，在一次函数的图象上，
，
解得，
一次函数解析式为：．
24．【答案】（1）解：∵，
∴，代入得，
解得：，
∴顶棚抛物线的函数关系式为：；
（2）解：如图，过作于点，
∵顶棚抛物线的函数关系式为：，
∴抛物线对称轴为直线，
∵车身的宽为，
∴车身一端点的坐标为，
将代入，得，
∴，
∴小星能将车开进车棚；
（3）解：在抛物线之间，，
且，
，
，
，
①当都在对称轴的左侧时，
∴，
，
，
，
（舍去）；
②当在对称轴的左侧，点在对称轴上或右侧时，
∴，且，
，
，
，
（舍去），（舍去），
综上所述，当时， ．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【分析】（1）根据题意得的坐标，然后利用待定系数法求解即可；
（2）过作于点，先求出抛物线的对称轴，然后得车身一端点的坐标为，将代入抛物线解析式得此时的值，进行比较即可确定能将车开进车棚；
（3）根据在抛物线之间求出的取值范围，得坐标，于是得用含的算式表示的值，然后分两种情况讨论：①当都在对称轴的左侧时，②当在对称轴的左侧，点在对称轴上或右侧时，最后结合函数图象，根据二次函数的性质求解即可．
（1）解：由题意得，，
将分别代入得
，
解得：，
顶棚抛物线的函数关系式为：；
（2）解：如图，
∵对称轴为直线：，
车身的宽为，
车身一端点的坐标为，
过作于点，
将代入
得
即，
小星能将车开进车棚；
（3）解：在抛物线之间，
且，
，
．
①当都在对称轴的左侧时，
则，
∴
，
（舍）．
②当在对称轴的左侧，点在对称轴上或右侧时，
则，且，
，
，
（舍），（舍）
综上所述：．
25．【答案】（1）解：在矩形中，，
∵E为的中点，
∴，，，
∴；
（2）解：存在，理由如下：
当时，则有，
①如图1，当在上方时，
∵，，
∴即；
②如图2，当在下方时，
此时，点与点C重合，
∴；
综上所述，α的值为或；
（3）解：①如图2，当射线经过点B时，
∵，，
∴，
又∵，，
∴；
②如图3，当射线经过点B时，
记与的交点为F，作于点G.
∵，
在和中，
∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴
∴，
设，则，可列方程，解得，
∴，
∵，
∴，
由得，
∴；
综上所述，的长为或．
【知识点】三角形的面积；直角三角形全等的判定-HL；勾股定理；旋转的性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）根据矩形性质可得，，，再根据三角形面积即可求出答案.
（2）当时，则有，分情况讨论：①当在上方时，②当在下方时，根据直线平行性质即可求出答案.
（3）分情况讨论：①当射线经过点B时，根据边之间的关系可得BO，根据勾股定理即可求出答案；②当射线经过点B时，记与的交点为F，作于点G，根据全等三角形判定定理可得，则，，根据直线平行性质可得，则，根据等角对等边可得，设，则，根据勾股定理建立方程，解方程可得x，再根据相似三角形性质可得，再根据勾股定理即可求出答案.
（1）解：在矩形中，，
∵E为的中点，
∴，，，
∴；
（2）解：存在，理由如下：
当时，则有，
①如图1，当在上方时，
∵，，
∴即；
②如图2，当在下方时，
此时，点与点C重合，
∴；
综上所述，α的值为或；
（3）解：①如图2，当射线经过点B时，
∵，，
∴，
又∵，，
∴；
②如图3，当射线经过点B时，
记与的交点为F，作于点G.
∵，
在和中，
∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴
∴，
设，则，可列方程，解得，
∴，
∵，
∴，
由得，
∴；
综上所述，的长为或．
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