资源简介

广东广州协和学校2025－2026学年下学期初二期中数学练习
1．下列是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、最简二次根式，选项正确.
B、不是最简二次根式，选项错误.
C、不是最简二次根式，选项错误.
D、不是最简二次根式，选项错误.
故答案为：A.
【分析】根据最简二次根式的性质逐项判断即可.
2．下列二次根式的运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式的乘除混合运算；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、，A选项错误；
B、，B选项错误；
C、，C选项错误； 故答案为：D.
【分析】根据二次根式的性质，，故.
同类二次根式加减过程可以利用合并同类项的方法，即系数相加作为结果的系数，根号和根号下被开方数不变；
二次根式计算公式：，.
3．为了更好开展劳动教育，实现五育并举，某校开设了劳动实践课程．该校的某劳动实践小组协助公园园区工人测量人工湖湖畔两点之间的距离，该实践小组所画的示意图如右图，先在湖边地面上确定点，再用卷尺分别确定的中点，最后用卷尺量出，则之间的距离是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵点是的中点，
∴，，
∴，即之间的距离是，
故选：．
【分析】
由题目已知条件可得CD是三角形OAB的中位线，根据中位线的性质：三角形的中位线平行于第三边且等于它的一半即可求解．
4．如图，在中，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点E，F，分别以E，F为圆心，以大于为半径画弧，两弧交于点G．作射线交于点H，若．则（　　）
A．4 B．4.5 C．5 D．6
【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定；平行四边形的性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：由作图得：平分，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：C.
【分析】本题主要考查平行四边形的性质、角平分线的尺规作图以及等腰三角形的判定.根据作图过程识别出平分，再利用平行线的性质进行角度转化，利用“等边对等角”得出边相等关系，即可求解.
5．如图，在四边形中，对角线、相交于点，下列条件不能判定四边形为平行四边形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A、根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可以判定，不符合题意；
B、无法判定，四边形可能是等腰梯形，也可能是平行四边形，符合题意；
C、根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可以判定，不符合题意；
D、根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可以判定，不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据平行四边形的判定定理逐项进行判断即可求出答案.
6．如图，在平行四边形中，于点，于点，若平行四边形的周长为，且，则平行四边形的面积为（　　）
A．48 B．36 C．24 D．12
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的面积；等积变换
【解析】【解答】解：如图，
平行四边形的周长为，
，
设为，则：，
，
，解得，
平行四边形的面积为，
故答案为：C．
【分析】根据平行四边形的性质，结合平行四边形的周长为得，设为，则，在根据即可列方程，解出x，再把数据代人平行四边形的面积公式即可得答案.
7．如图，面积为7的正方形的顶点在数轴上，且点表示的数为1，若点在数轴上（点在点的右侧）且，则点所表示的数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】实数在数轴上的表示；求算术平方根
【解析】【解答】解：∵正方形的面积为7，
∴，
∵，
∴，
∵A点表示的数为1，
∴E点表示的数为，
故选：D．
【分析】根据题意可得，正方形边长为，即，根据，可以得到，即可求解．
8．如图，平行四边形的对角线相交于点O，且，则的周长为（　　）
A．27 B．28 C．29 D．30
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：因为四边形是平行四边形
故选：C
【分析】
△OCD的周长=OC+OD+CD，根据平行四边形“对角线互相平分”的性质可得OC+OD=（AC+BD）=18，DC=AB=11，那么△OCD的周长就可求出．
9．如图，在矩形中， 将其折叠使落在对角线上，得到折痕那么的长度为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：在矩形中，，
∴∠B=90°，
∴，
由折叠的性质，得AF=AB=3，BE=EF，
∴CF=53=2，
在Rt△CEF中，设BE=EF=x，则CE=，
由勾股定理，得：，
解得：；
∴．
故选：C．
【分析】
在Rt三角形ABC中，由勾股定理求出AC的长度，同时根据折叠的性质可得：AF=AB=3，则CF=2，在Rt△CEF中，设BE=EF=x，则CE=，利用勾股定理，即可求出x的值，进而得到BE的长度．
10．如图，在中，，，为边上一动点，以，为边作，则对角线长度的最小值为（　　）
A．2 B． C．4 D．
【答案】C
【知识点】垂线段最短及其应用；等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；平行四边形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：四边形是平行四边形，
，，
最短也就是最短，
过作交于，
，
为等腰三角形，
，
，
根据直角三角形中对应的边等于斜边的一半，
，
的最小值，
故选：C．
【分析】
以，为邻边作平行四边形，由平行四边形的性质可知是中点，最短也就是最短，所以应该过作的垂线，然后根据等腰直角三角形的性质即可求出的最小值．
11．要使在实数范围内有意义，x应满足的条件　 　．
【答案】x≥﹣2
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：根据题意得x+2≥0，
解得x≥﹣2，
所以x的取值范围为x≥﹣2．
故答案为x≥﹣2．
【分析】
根据二次根式有意义的条件：被开方数是非负数，可得x+2≥0，然后解不等式即可．
12．一直角三角形的两边长分别为5和12，则第三边的长是　 　．
【答案】13或
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：设第三边为x，
⑴若12是直角边，则第三边x是斜边，由勾股定理得：
52+122=x2，
∴x=13；
⑵若12是斜边，则第三边x为直角边，由勾股定理得：
52+x2=122，
∴x= ；
∴第三边的长为13或 ．
故答案为：13或 ．
【分析】本题已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边，因此两条边中的较长边4既可以是直角边，也可以是斜边，所以求第三边的长必须分类讨论，即12是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解．
13．如图，平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点，过点的直线分别交AD和BC于点、E，若设该平行四边形的面积为2，则图中阴影部分的面积为　 　．
【答案】1
【知识点】三角形的面积；平行四边形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：∵平行四边形中，对角线，相交于点，
∴，，，
又∵，
∴，
∴，
∴阴影部分面积等于的面积，即为面积的一半，
∴阴影部分面积为，
故答案为：1．
【分析】
根据平行四边形的性质证明可得，由于平行四边形的对角线将其面积分为两个相等的部分，进而可得阴影部分面积等于的面积=面积的一半，由此可解．
14．如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，，且的中点是坐标原点O．固定点，把正方形沿箭头方向推，使点D落在y轴正半轴上点处，则点C的对应点的坐标为　 　．
【答案】
【知识点】点的坐标；菱形的判定与性质；正方形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：四边形为正方形，，
，
由题意可知，，，
∴，
四边形为菱形，
∴，
点的横坐标为2，
的中点是坐标原点，
，
在中，由勾股定理得：，
点的对应点的坐标为．
故答案为：.
【分析】本题主要考查正方形的性质、菱形的判定与性质以及勾股定理的应用.图形在推压过程中边长保持不变，从而判定四边形为菱形；则点的横坐标是的长度，纵坐标与点的纵坐标相同；由的中点是坐标原点O，则，在利用勾股定理求得的长，即可的得到点的纵坐标.
15．如图， 在正方形中， E是对角线上一点， 且满足，连接并延长交于点F，连接， 过B 点作于点G， 延长交于点 H． 在下列结论中∶ ①； ②； ；其中正确的结论有　 　(填正确的序号)．
【答案】①②④
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；正方形的性质；四边形的综合
【解析】【解答】解：∵是正方形的对角线，
∴，，
在和中，
∵，
∴，
故④正确；
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，
故①正确；
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故②正确；
连接，
∵，，
∴，是线段的垂直平分线，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形，
∵不垂直，
∴，
∴，
∴，
故③不正确；
故答案是①②④．
【分析】
根据正方形的性质可得：， ，进而根据SAS可证得，故④正确，由此得出，从而证明，得出①正确；根据等腰三角形的性质及三角形内角和求出即可求出，得出②正确；连接，判断得出③不正确．
16．如图，在中，，，以其三边为边分别向外作正方形，连接，，交于点，连接，当时，则的长为　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：延长到K，使得，
延长交于点L，延长，过点E作，
∵正方形，正方形，
∴，
∴，
∴，
∵正方形，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵正方形，，
∴，
∵正方形，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵正方形，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴即，
在中，，
∴，
故答案为：．
【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理解三角形．延长到K，使得，延长交于点L，延长，过点E作，利用正方形的性质可得：，，， 利用角的运算可得， 利用全等三角形的判定定理可证明，利用全等三角形的性质可得： ，利用正方形的性质可得， 利用角的运算可得， 利用全等三角形的判定定理可证明，利用全等三角形的性质可得：，，利用正方形的性质可得， 再结合AG=JE，利用全等三角形的判定定理可证明，利用全等三角形的性质可得
， 利用线段的运算可求出AP，利用勾股定理可求出BP，据此可求出答案.
17．计算：．
【答案】解：
．
【知识点】完全平方公式及运用；分母有理化；二次根式的混合运算
【解析】【分析】计算的完全平方、分母有理化得，再合并计算即可得答案.
18．已知，，求代数式的值．
【答案】解：∵，
∴，，
∴原式．
【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的化简求值
【解析】【分析】本题主要考查二次根式的运算、完全平方公式的灵活运用以及代数式求值.将原式转化为完全平方式与xy的组合：，利用已知条件整体代入，求出代数式的值.
19．如图，已知四边形是平行四边形，AC与BD相交于O点．且，，求和的长．
【答案】解：∵，
∴，
在中，根据勾股定理可得：，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
在中，根据勾股定理可得：，
∴，
综上：，．
【知识点】含30°角的直角三角形；平行四边形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】本题主要考查含30°角的直角三角形的性质、勾股定理以及平行四边形的性质.首先根据30°角所对的直角边等于斜边的一半可得；在利用勾股定理求出，根据“平行四边形对边相等”可得；根据“平行四边形对角线互相平分”可得，再次利用勾股定理可求出.
20．位于苏州乐园的漂流项目深受欢迎，在景区游船放置区，工作人员把偏离的游船从点A拉回点B的位置（如图）．在离水面垂直高度为的岸上点C，工作人员用绳子拉船移动，开始时绳子的长为，工作人员以米/秒的速度拉绳子，经过秒后游船移动到点D的位置，问此时游船移动的距离的长是多少？
【答案】解：如图，
在中，，，，
∴，
∵工作人员以米/秒的速度拉绳子，经过秒后游船移动到点D的位置，
∴，
∴，
∴．
答：此时游船移动的距离的长是．
【知识点】勾股定理的应用；勾股定理的实际应用-（行驶、航行）方向问题；勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【分析】在中，根据，，结合勾股定理得，根据工作人员以米/秒的速度拉绳子，经过秒后游船移动到点D的位置，得，再根据勾股定理得，进一步根据计算即可得答案.
21．已知线段平移后得到对应线段，进而可得平行四边形．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别是，，．
（1）是否存在一点，使以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由；
（2）求平行四边形的面积．
【答案】（1）解：存在一点，使以为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：
如图，
设，当四边形是平行四边形时，线段平移后得到对应线段，
∴点A和点D是对应点，点B和点C是对应点，
∴，
∴，，
∴.
如图，
当四边形是平行四边形时，线段平移后得到对应线段，
∴点A和点C是对应点，点B和点D是对应点，
∴，
∴，，
∴.
如图，
当四边形是平行四边形时，线段平移后得到对应线段，
∴点A和点D是对应点，点C和点B是对应点，
∴，
∴，，
∴.
综上所述，存在一点，使以为顶点的四边形是平行四边形，点D的坐标为或或.
（2）解：如图，
∵平行四边形的顶点坐标分别为，，，，
∴平行四边形的面积为：．
∴ 平行四边形的面积为27.
【知识点】坐标与图形性质；平行四边形的性质；坐标与图形变化﹣平移；分类讨论
【解析】【分析】（1）设，设，当四边形是平行四边形时，线段平移后得到对应线段，即可得点A和点D是对应点，点B和点C是对应点，时，，，即可得，同理得当四边形是平行四边形时，线段平移后得到对应线段时，，当四边形是平行四边形时，线段平移后得到对应线段时，.综上所述，存在一点，使以为顶点的四边形是平行四边形，点D的坐标为或或.
（2）根据割补法即可得平行四边形的面积为27.
（1）解：存在，设
如图，当四边形是平行四边形时，线段平移后得到对应线段，
∴点A和点D是对应点，点B和点C是对应点，
∴，
∴，
∴；
如图，当四边形是平行四边形时，线段平移后得到对应线段，
∴点A和点C是对应点，点B和点D是对应点，
∴，
∴，
∴；
如图，当四边形是平行四边形时，线段平移后得到对应线段，
∴点A和点D是对应点，点C和点B是对应点，
∴，
∴，
∴；
综上所述，存在一点，使以为顶点的四边形是平行四边形，点D的坐标为或或；
（2）解：∵平行四边形的顶点坐标分别为，，，，如图
∴平行四边形的面积．
22．如图，在中，点D，E分别是边的中点，，交的延长线于点F，连接交于点O．
（1）求证：；
（2）若，，求的度数．
【答案】（1）证明：∵点D，E分别是边的中点，∴
又∵
∴四边形为平行四边形，
∴
（2）解：∵点D，E分别是边的中点，∴，
又∵，
∴，
∴平行四边形为菱形，
∴，，
∵，
∴．
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质；直角三角形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）由题目已知条件可得DE是△ABC的中位线，根据三角形中位线地理可得DE∥BC，进而可得DF∥BC，结合CF∥BE，可得四边形为平行四边形，根据平行四边形的性质即可得出结论；
（2）根据中位线的性质可得，结合题目已知条件BE=2DE可得BC=BE，进而得到平行四边形为菱形，利用菱形的性质可得∠ACF=∠ACB=70°，∠COF=90°，再根据直角三角形的性质即可求解．
23．如图，在四边形中，，E是的中点，的延长线交于点F，，．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）当满足什么条件时，四边形是正方形？并证明
（3）若，，在矩形内部有一动点P，满足，求的最小值．（直接写出答案）
【答案】（1）解：∵E是的中点，∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，，
∴，
（2）解：当是等腰直角三角形时，四边形是一个正方形，由（1）知四边形为矩形，
∵，，
∴点D是的中点，
∴，
（3）13
【知识点】三角形的面积；平行四边形的判定；矩形的判定；正方形的判定；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】
（3）解：，∴，
设点P到的距离为h，则，
解得，
∴点P在平行于且到的距离为的直线上，如图，
作点A关于点P所在平行于的直线的对称点G，连接，此时的值最小为的长，
∴，
∴，
∴的最小值为．
【分析】（1）由于E是AD的中点，可得AE=DE。又因为AB∥CD，所以∠EAB=∠EDF，∠EBA=∠EFD。根据AAS全等定理可证△EAB≌△EDF。因此，AB=DF，AB∥CD。由于CD=DF，所以AB=CD，即四边形ABCD是平行四边形。再根据CD=DF和AC=AF，利用等腰三角形的性质，得到AD垂直于CF。因此，四边形ABCD是矩形；
（2）根据（1）已知，四边形ABCD是矩形。当△ACF是等腰直角三角形时，由于∠FAC=90°，而AD⊥BC，所以点D是AD的中点。因此，AD=FC=DC。综上所述，四边形ABCD是正方形；
（3）当AB=5，BC=8时，首先根据△ABP的面积等于矩形ABCD面积的，求出△ABP的面积，设点P到AB的距离为h，根据三角形的面积公式求得h=6。然后，作点A关于点P所在平行于AB的直线的对称点G，连接BG，此时PA+PB的值最小为BG的长。根据对称性质，AG=2h=12。最后通过勾股定理计算BG的长度，即可求出PA+PB的最小值。
24．如图，在四边形中，，，连接，，，，动点从点出发，沿射线方向匀速运动，同时动点从点出发，沿线段匀速运动，当运动到点时停止运动，设运动的时间为
（1）求证：四边形为平行四边形.
（2）若点的运动速度为，点的运动速度为，当运动到以，，，为顶点的四边形为平行四边形时，求的值.
（3）若点的运动速度为，点的运动速度为，以，，，为顶点的四边形能否为菱形，若能，请直接写出与之间的数量关系；若不能，请说明理由.
【答案】（1）证明：∵，，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形；
（2）解：∵，，，
∴，
四边形是平行四边形，
，，
由题意可知，，，
①当点在线段上时，此时，，
四边形是平行四边形，
，
，
解得：秒；
②当点在线段的延长线上时，此时，，
四边形是平行四边形，
，
，
解得：秒，
综上可知，当的值为秒或秒时，以，，，为顶点的四边形为平行四边形；
（3）当或时，以，，，为顶点的四边形能为菱形．
【知识点】平行线的判定与性质；平行四边形的判定与性质；菱形的性质；四边形-动点问题；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：（3）由题意可知，，，
①当点在线段上时，，
四边形是菱形，
，
，
，
，
，即；
②如图，当点在线段的延长线上时，，连接交于点，
∵，，
∴，
四边形是菱形，
，，，
∴，
，
四边形是平行四边形，
，
，
在中，，
，
，
，
，
综上可知，当或时，以，，，为顶点的四边形能为菱形．
【分析】（1）利用“两直线平行，同位角相等”得到，再结合已知条件和“内错角相等，两直线平行”判定，即可利用“两组对边分别平行”判定平行四边形；
（2）首先用含t的式子表示线段的长度，；由于点P在射线AE上运动，则需要考虑两种情况：①当点在线段上时，；②当点在线段的延长线上时，；根据平行四边形的性质BP=CQ，列方程求解即可；
（3）同问题（2）类似，，，分两种情况讨论：①当点在线段上时，根据菱形“四条边都相等”，得到，进而求得，即；②当点在线段的延长线上时，，连接交于点，根据菱形对角线的性质，得到，，利用勾股定理求出，再根据求得，即.
25．在正方形中，点是边上任意一点，连接，过点作于，交于．
（1）如图1，过点作于，求证：；
（2）如图2，点为的中点，连接，求证：；
（3）如图3，，连接，点为的中点，在点从点运动到点的过程中，点随之运动，请直接写出点运动的路径长．
【答案】（1）证明：如图1，
四边形是正方形，
，，
，
，，
，
在和中，
，
；
（2）证明：如图2：
过点作于，交的延长线于，
四边形是正方形，
，，
，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
点为的中点，
，
，
，
，，
，
四边形是矩形，
，
，
在和中，
，
，
，，
四边形是正方形，
，
，
；
（3）解：点运动的路径长为.
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等腰三角形的判定与性质；矩形的判定与性质；正方形的判定与性质
【解析】【解答】（3）如图3，
取的中点，连接，延长交于，过点作于，于，设，
由（2）得：，
，
，点为的中点，
，
，，
，
四边形是矩形，
，，
，，，
，，
，
，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
点在线段上运动，是等腰直角三角形，
，
点的运动轨迹的长为．
【分析】（1）根据正方形的性质得相等，等于90度，根据垂线定义，结合，，可证明相等，再根据可证明.
（2）过点作于，交的延长线于，根据正方形性质得等于90度，相等，再根据即可证明相等，进一步可证明
全等，根据全等性质得相等，根据点为的中点，得相等，进一步得相等，再根据，，可证明四边形是矩形，即可得相等，即可证明全等，根据全等性质得相等，相等，即可得四边形是正方形，根据正方形性质得相等，即可得，进而得.
（3）取的中点，连接，延长交于，过点作于，于，设，由（2）得全等，根据全等性质得，再根据等于90度，点为的中点，得相等，再根据，，得四边形是矩形，即可矩形性质，结合已知可推出，进一步可得是等腰直角三角形，即可得，即可得点在线段上运动，是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得，即可得点的运动轨迹的长为．
（1）解：证明：四边形是正方形，
，，
，，
，
，，
，
在和中，
，
；
（2）证明：过点作于，交的延长线于，如图2所示：
四边形是正方形，
，，
，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
点为的中点，
，
，
，
，，
，
四边形是矩形，
，
，
在和中，
，
，
，，
四边形是正方形，
，
，
；
（3）如图3，取的中点，连接，延长交于，过点作于，于，
设，
由（2）得：，
，
，点为的中点，
，
，，
，
四边形是矩形，
，，
，，，
，，
，
，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
点在线段上运动，是等腰直角三角形，
，
点的运动轨迹的长为．
1 / 1广东广州协和学校2025－2026学年下学期初二期中数学练习
1．下列是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
2．下列二次根式的运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
3．为了更好开展劳动教育，实现五育并举，某校开设了劳动实践课程．该校的某劳动实践小组协助公园园区工人测量人工湖湖畔两点之间的距离，该实践小组所画的示意图如右图，先在湖边地面上确定点，再用卷尺分别确定的中点，最后用卷尺量出，则之间的距离是（　　）
A． B． C． D．
4．如图，在中，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点E，F，分别以E，F为圆心，以大于为半径画弧，两弧交于点G．作射线交于点H，若．则（　　）
A．4 B．4.5 C．5 D．6
5．如图，在四边形中，对角线、相交于点，下列条件不能判定四边形为平行四边形的是（　　）
A． B．
C． D．
6．如图，在平行四边形中，于点，于点，若平行四边形的周长为，且，则平行四边形的面积为（　　）
A．48 B．36 C．24 D．12
7．如图，面积为7的正方形的顶点在数轴上，且点表示的数为1，若点在数轴上（点在点的右侧）且，则点所表示的数为（　　）
A． B． C． D．
8．如图，平行四边形的对角线相交于点O，且，则的周长为（　　）
A．27 B．28 C．29 D．30
9．如图，在矩形中， 将其折叠使落在对角线上，得到折痕那么的长度为（　　）
A． B． C． D．
10．如图，在中，，，为边上一动点，以，为边作，则对角线长度的最小值为（　　）
A．2 B． C．4 D．
11．要使在实数范围内有意义，x应满足的条件　 　．
12．一直角三角形的两边长分别为5和12，则第三边的长是　 　．
13．如图，平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点，过点的直线分别交AD和BC于点、E，若设该平行四边形的面积为2，则图中阴影部分的面积为　 　．
14．如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，，且的中点是坐标原点O．固定点，把正方形沿箭头方向推，使点D落在y轴正半轴上点处，则点C的对应点的坐标为　 　．
15．如图， 在正方形中， E是对角线上一点， 且满足，连接并延长交于点F，连接， 过B 点作于点G， 延长交于点 H． 在下列结论中∶ ①； ②； ；其中正确的结论有　 　(填正确的序号)．
16．如图，在中，，，以其三边为边分别向外作正方形，连接，，交于点，连接，当时，则的长为　 　．
17．计算：．
18．已知，，求代数式的值．
19．如图，已知四边形是平行四边形，AC与BD相交于O点．且，，求和的长．
20．位于苏州乐园的漂流项目深受欢迎，在景区游船放置区，工作人员把偏离的游船从点A拉回点B的位置（如图）．在离水面垂直高度为的岸上点C，工作人员用绳子拉船移动，开始时绳子的长为，工作人员以米/秒的速度拉绳子，经过秒后游船移动到点D的位置，问此时游船移动的距离的长是多少？
21．已知线段平移后得到对应线段，进而可得平行四边形．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别是，，．
（1）是否存在一点，使以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由；
（2）求平行四边形的面积．
22．如图，在中，点D，E分别是边的中点，，交的延长线于点F，连接交于点O．
（1）求证：；
（2）若，，求的度数．
23．如图，在四边形中，，E是的中点，的延长线交于点F，，．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）当满足什么条件时，四边形是正方形？并证明
（3）若，，在矩形内部有一动点P，满足，求的最小值．（直接写出答案）
24．如图，在四边形中，，，连接，，，，动点从点出发，沿射线方向匀速运动，同时动点从点出发，沿线段匀速运动，当运动到点时停止运动，设运动的时间为
（1）求证：四边形为平行四边形.
（2）若点的运动速度为，点的运动速度为，当运动到以，，，为顶点的四边形为平行四边形时，求的值.
（3）若点的运动速度为，点的运动速度为，以，，，为顶点的四边形能否为菱形，若能，请直接写出与之间的数量关系；若不能，请说明理由.
25．在正方形中，点是边上任意一点，连接，过点作于，交于．
（1）如图1，过点作于，求证：；
（2）如图2，点为的中点，连接，求证：；
（3）如图3，，连接，点为的中点，在点从点运动到点的过程中，点随之运动，请直接写出点运动的路径长．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、最简二次根式，选项正确.
B、不是最简二次根式，选项错误.
C、不是最简二次根式，选项错误.
D、不是最简二次根式，选项错误.
故答案为：A.
【分析】根据最简二次根式的性质逐项判断即可.
2．【答案】D
【知识点】二次根式的乘除混合运算；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、，A选项错误；
B、，B选项错误；
C、，C选项错误； 故答案为：D.
【分析】根据二次根式的性质，，故.
同类二次根式加减过程可以利用合并同类项的方法，即系数相加作为结果的系数，根号和根号下被开方数不变；
二次根式计算公式：，.
3．【答案】D
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵点是的中点，
∴，，
∴，即之间的距离是，
故选：．
【分析】
由题目已知条件可得CD是三角形OAB的中位线，根据中位线的性质：三角形的中位线平行于第三边且等于它的一半即可求解．
4．【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定；平行四边形的性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：由作图得：平分，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：C.
【分析】本题主要考查平行四边形的性质、角平分线的尺规作图以及等腰三角形的判定.根据作图过程识别出平分，再利用平行线的性质进行角度转化，利用“等边对等角”得出边相等关系，即可求解.
5．【答案】B
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A、根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可以判定，不符合题意；
B、无法判定，四边形可能是等腰梯形，也可能是平行四边形，符合题意；
C、根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可以判定，不符合题意；
D、根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可以判定，不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据平行四边形的判定定理逐项进行判断即可求出答案.
6．【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的面积；等积变换
【解析】【解答】解：如图，
平行四边形的周长为，
，
设为，则：，
，
，解得，
平行四边形的面积为，
故答案为：C．
【分析】根据平行四边形的性质，结合平行四边形的周长为得，设为，则，在根据即可列方程，解出x，再把数据代人平行四边形的面积公式即可得答案.
7．【答案】D
【知识点】实数在数轴上的表示；求算术平方根
【解析】【解答】解：∵正方形的面积为7，
∴，
∵，
∴，
∵A点表示的数为1，
∴E点表示的数为，
故选：D．
【分析】根据题意可得，正方形边长为，即，根据，可以得到，即可求解．
8．【答案】C
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：因为四边形是平行四边形
故选：C
【分析】
△OCD的周长=OC+OD+CD，根据平行四边形“对角线互相平分”的性质可得OC+OD=（AC+BD）=18，DC=AB=11，那么△OCD的周长就可求出．
9．【答案】C
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：在矩形中，，
∴∠B=90°，
∴，
由折叠的性质，得AF=AB=3，BE=EF，
∴CF=53=2，
在Rt△CEF中，设BE=EF=x，则CE=，
由勾股定理，得：，
解得：；
∴．
故选：C．
【分析】
在Rt三角形ABC中，由勾股定理求出AC的长度，同时根据折叠的性质可得：AF=AB=3，则CF=2，在Rt△CEF中，设BE=EF=x，则CE=，利用勾股定理，即可求出x的值，进而得到BE的长度．
10．【答案】C
【知识点】垂线段最短及其应用；等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；平行四边形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：四边形是平行四边形，
，，
最短也就是最短，
过作交于，
，
为等腰三角形，
，
，
根据直角三角形中对应的边等于斜边的一半，
，
的最小值，
故选：C．
【分析】
以，为邻边作平行四边形，由平行四边形的性质可知是中点，最短也就是最短，所以应该过作的垂线，然后根据等腰直角三角形的性质即可求出的最小值．
11．【答案】x≥﹣2
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：根据题意得x+2≥0，
解得x≥﹣2，
所以x的取值范围为x≥﹣2．
故答案为x≥﹣2．
【分析】
根据二次根式有意义的条件：被开方数是非负数，可得x+2≥0，然后解不等式即可．
12．【答案】13或
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：设第三边为x，
⑴若12是直角边，则第三边x是斜边，由勾股定理得：
52+122=x2，
∴x=13；
⑵若12是斜边，则第三边x为直角边，由勾股定理得：
52+x2=122，
∴x= ；
∴第三边的长为13或 ．
故答案为：13或 ．
【分析】本题已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边，因此两条边中的较长边4既可以是直角边，也可以是斜边，所以求第三边的长必须分类讨论，即12是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解．
13．【答案】1
【知识点】三角形的面积；平行四边形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：∵平行四边形中，对角线，相交于点，
∴，，，
又∵，
∴，
∴，
∴阴影部分面积等于的面积，即为面积的一半，
∴阴影部分面积为，
故答案为：1．
【分析】
根据平行四边形的性质证明可得，由于平行四边形的对角线将其面积分为两个相等的部分，进而可得阴影部分面积等于的面积=面积的一半，由此可解．
14．【答案】
【知识点】点的坐标；菱形的判定与性质；正方形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：四边形为正方形，，
，
由题意可知，，，
∴，
四边形为菱形，
∴，
点的横坐标为2，
的中点是坐标原点，
，
在中，由勾股定理得：，
点的对应点的坐标为．
故答案为：.
【分析】本题主要考查正方形的性质、菱形的判定与性质以及勾股定理的应用.图形在推压过程中边长保持不变，从而判定四边形为菱形；则点的横坐标是的长度，纵坐标与点的纵坐标相同；由的中点是坐标原点O，则，在利用勾股定理求得的长，即可的得到点的纵坐标.
15．【答案】①②④
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；正方形的性质；四边形的综合
【解析】【解答】解：∵是正方形的对角线，
∴，，
在和中，
∵，
∴，
故④正确；
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，
故①正确；
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故②正确；
连接，
∵，，
∴，是线段的垂直平分线，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形，
∵不垂直，
∴，
∴，
∴，
故③不正确；
故答案是①②④．
【分析】
根据正方形的性质可得：， ，进而根据SAS可证得，故④正确，由此得出，从而证明，得出①正确；根据等腰三角形的性质及三角形内角和求出即可求出，得出②正确；连接，判断得出③不正确．
16．【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：延长到K，使得，
延长交于点L，延长，过点E作，
∵正方形，正方形，
∴，
∴，
∴，
∵正方形，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵正方形，，
∴，
∵正方形，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵正方形，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴即，
在中，，
∴，
故答案为：．
【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理解三角形．延长到K，使得，延长交于点L，延长，过点E作，利用正方形的性质可得：，，， 利用角的运算可得， 利用全等三角形的判定定理可证明，利用全等三角形的性质可得： ，利用正方形的性质可得， 利用角的运算可得， 利用全等三角形的判定定理可证明，利用全等三角形的性质可得：，，利用正方形的性质可得， 再结合AG=JE，利用全等三角形的判定定理可证明，利用全等三角形的性质可得
， 利用线段的运算可求出AP，利用勾股定理可求出BP，据此可求出答案.
17．【答案】解：
．
【知识点】完全平方公式及运用；分母有理化；二次根式的混合运算
【解析】【分析】计算的完全平方、分母有理化得，再合并计算即可得答案.
18．【答案】解：∵，
∴，，
∴原式．
【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的化简求值
【解析】【分析】本题主要考查二次根式的运算、完全平方公式的灵活运用以及代数式求值.将原式转化为完全平方式与xy的组合：，利用已知条件整体代入，求出代数式的值.
19．【答案】解：∵，
∴，
在中，根据勾股定理可得：，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
在中，根据勾股定理可得：，
∴，
综上：，．
【知识点】含30°角的直角三角形；平行四边形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】本题主要考查含30°角的直角三角形的性质、勾股定理以及平行四边形的性质.首先根据30°角所对的直角边等于斜边的一半可得；在利用勾股定理求出，根据“平行四边形对边相等”可得；根据“平行四边形对角线互相平分”可得，再次利用勾股定理可求出.
20．【答案】解：如图，
在中，，，，
∴，
∵工作人员以米/秒的速度拉绳子，经过秒后游船移动到点D的位置，
∴，
∴，
∴．
答：此时游船移动的距离的长是．
【知识点】勾股定理的应用；勾股定理的实际应用-（行驶、航行）方向问题；勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【分析】在中，根据，，结合勾股定理得，根据工作人员以米/秒的速度拉绳子，经过秒后游船移动到点D的位置，得，再根据勾股定理得，进一步根据计算即可得答案.
21．【答案】（1）解：存在一点，使以为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：
如图，
设，当四边形是平行四边形时，线段平移后得到对应线段，
∴点A和点D是对应点，点B和点C是对应点，
∴，
∴，，
∴.
如图，
当四边形是平行四边形时，线段平移后得到对应线段，
∴点A和点C是对应点，点B和点D是对应点，
∴，
∴，，
∴.
如图，
当四边形是平行四边形时，线段平移后得到对应线段，
∴点A和点D是对应点，点C和点B是对应点，
∴，
∴，，
∴.
综上所述，存在一点，使以为顶点的四边形是平行四边形，点D的坐标为或或.
（2）解：如图，
∵平行四边形的顶点坐标分别为，，，，
∴平行四边形的面积为：．
∴ 平行四边形的面积为27.
【知识点】坐标与图形性质；平行四边形的性质；坐标与图形变化﹣平移；分类讨论
【解析】【分析】（1）设，设，当四边形是平行四边形时，线段平移后得到对应线段，即可得点A和点D是对应点，点B和点C是对应点，时，，，即可得，同理得当四边形是平行四边形时，线段平移后得到对应线段时，，当四边形是平行四边形时，线段平移后得到对应线段时，.综上所述，存在一点，使以为顶点的四边形是平行四边形，点D的坐标为或或.
（2）根据割补法即可得平行四边形的面积为27.
（1）解：存在，设
如图，当四边形是平行四边形时，线段平移后得到对应线段，
∴点A和点D是对应点，点B和点C是对应点，
∴，
∴，
∴；
如图，当四边形是平行四边形时，线段平移后得到对应线段，
∴点A和点C是对应点，点B和点D是对应点，
∴，
∴，
∴；
如图，当四边形是平行四边形时，线段平移后得到对应线段，
∴点A和点D是对应点，点C和点B是对应点，
∴，
∴，
∴；
综上所述，存在一点，使以为顶点的四边形是平行四边形，点D的坐标为或或；
（2）解：∵平行四边形的顶点坐标分别为，，，，如图
∴平行四边形的面积．
22．【答案】（1）证明：∵点D，E分别是边的中点，∴
又∵
∴四边形为平行四边形，
∴
（2）解：∵点D，E分别是边的中点，∴，
又∵，
∴，
∴平行四边形为菱形，
∴，，
∵，
∴．
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质；直角三角形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）由题目已知条件可得DE是△ABC的中位线，根据三角形中位线地理可得DE∥BC，进而可得DF∥BC，结合CF∥BE，可得四边形为平行四边形，根据平行四边形的性质即可得出结论；
（2）根据中位线的性质可得，结合题目已知条件BE=2DE可得BC=BE，进而得到平行四边形为菱形，利用菱形的性质可得∠ACF=∠ACB=70°，∠COF=90°，再根据直角三角形的性质即可求解．
23．【答案】（1）解：∵E是的中点，∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，，
∴，
（2）解：当是等腰直角三角形时，四边形是一个正方形，由（1）知四边形为矩形，
∵，，
∴点D是的中点，
∴，
（3）13
【知识点】三角形的面积；平行四边形的判定；矩形的判定；正方形的判定；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】
（3）解：，∴，
设点P到的距离为h，则，
解得，
∴点P在平行于且到的距离为的直线上，如图，
作点A关于点P所在平行于的直线的对称点G，连接，此时的值最小为的长，
∴，
∴，
∴的最小值为．
【分析】（1）由于E是AD的中点，可得AE=DE。又因为AB∥CD，所以∠EAB=∠EDF，∠EBA=∠EFD。根据AAS全等定理可证△EAB≌△EDF。因此，AB=DF，AB∥CD。由于CD=DF，所以AB=CD，即四边形ABCD是平行四边形。再根据CD=DF和AC=AF，利用等腰三角形的性质，得到AD垂直于CF。因此，四边形ABCD是矩形；
（2）根据（1）已知，四边形ABCD是矩形。当△ACF是等腰直角三角形时，由于∠FAC=90°，而AD⊥BC，所以点D是AD的中点。因此，AD=FC=DC。综上所述，四边形ABCD是正方形；
（3）当AB=5，BC=8时，首先根据△ABP的面积等于矩形ABCD面积的，求出△ABP的面积，设点P到AB的距离为h，根据三角形的面积公式求得h=6。然后，作点A关于点P所在平行于AB的直线的对称点G，连接BG，此时PA+PB的值最小为BG的长。根据对称性质，AG=2h=12。最后通过勾股定理计算BG的长度，即可求出PA+PB的最小值。
24．【答案】（1）证明：∵，，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形；
（2）解：∵，，，
∴，
四边形是平行四边形，
，，
由题意可知，，，
①当点在线段上时，此时，，
四边形是平行四边形，
，
，
解得：秒；
②当点在线段的延长线上时，此时，，
四边形是平行四边形，
，
，
解得：秒，
综上可知，当的值为秒或秒时，以，，，为顶点的四边形为平行四边形；
（3）当或时，以，，，为顶点的四边形能为菱形．
【知识点】平行线的判定与性质；平行四边形的判定与性质；菱形的性质；四边形-动点问题；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：（3）由题意可知，，，
①当点在线段上时，，
四边形是菱形，
，
，
，
，
，即；
②如图，当点在线段的延长线上时，，连接交于点，
∵，，
∴，
四边形是菱形，
，，，
∴，
，
四边形是平行四边形，
，
，
在中，，
，
，
，
，
综上可知，当或时，以，，，为顶点的四边形能为菱形．
【分析】（1）利用“两直线平行，同位角相等”得到，再结合已知条件和“内错角相等，两直线平行”判定，即可利用“两组对边分别平行”判定平行四边形；
（2）首先用含t的式子表示线段的长度，；由于点P在射线AE上运动，则需要考虑两种情况：①当点在线段上时，；②当点在线段的延长线上时，；根据平行四边形的性质BP=CQ，列方程求解即可；
（3）同问题（2）类似，，，分两种情况讨论：①当点在线段上时，根据菱形“四条边都相等”，得到，进而求得，即；②当点在线段的延长线上时，，连接交于点，根据菱形对角线的性质，得到，，利用勾股定理求出，再根据求得，即.
25．【答案】（1）证明：如图1，
四边形是正方形，
，，
，
，，
，
在和中，
，
；
（2）证明：如图2：
过点作于，交的延长线于，
四边形是正方形，
，，
，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
点为的中点，
，
，
，
，，
，
四边形是矩形，
，
，
在和中，
，
，
，，
四边形是正方形，
，
，
；
（3）解：点运动的路径长为.
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等腰三角形的判定与性质；矩形的判定与性质；正方形的判定与性质
【解析】【解答】（3）如图3，
取的中点，连接，延长交于，过点作于，于，设，
由（2）得：，
，
，点为的中点，
，
，，
，
四边形是矩形，
，，
，，，
，，
，
，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
点在线段上运动，是等腰直角三角形，
，
点的运动轨迹的长为．
【分析】（1）根据正方形的性质得相等，等于90度，根据垂线定义，结合，，可证明相等，再根据可证明.
（2）过点作于，交的延长线于，根据正方形性质得等于90度，相等，再根据即可证明相等，进一步可证明
全等，根据全等性质得相等，根据点为的中点，得相等，进一步得相等，再根据，，可证明四边形是矩形，即可得相等，即可证明全等，根据全等性质得相等，相等，即可得四边形是正方形，根据正方形性质得相等，即可得，进而得.
（3）取的中点，连接，延长交于，过点作于，于，设，由（2）得全等，根据全等性质得，再根据等于90度，点为的中点，得相等，再根据，，得四边形是矩形，即可矩形性质，结合已知可推出，进一步可得是等腰直角三角形，即可得，即可得点在线段上运动，是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得，即可得点的运动轨迹的长为．
（1）解：证明：四边形是正方形，
，，
，，
，
，，
，
在和中，
，
；
（2）证明：过点作于，交的延长线于，如图2所示：
四边形是正方形，
，，
，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
点为的中点，
，
，
，
，，
，
四边形是矩形，
，
，
在和中，
，
，
，，
四边形是正方形，
，
，
；
（3）如图3，取的中点，连接，延长交于，过点作于，于，
设，
由（2）得：，
，
，点为的中点，
，
，，
，
四边形是矩形，
，，
，，，
，，
，
，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
点在线段上运动，是等腰直角三角形，
，
点的运动轨迹的长为．
1 / 1

展开更多......

收起↑