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广东省佛山市三水区2025-2026学年第二学期八年级中段知识素养检测数学试题
1．牛顿认为“反证法是数学家最精当的武器之一”，用反证法证明“在△ABC中，若∠A >∠B >∠C，则∠C <60°时，应先假设（　　)
A．∠C = 60° B．∠C > 60°
C．∠C ≠60° D．∠C ≥60°
【答案】D
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：原命题的结论是“”，其反面包括两种情况“”或“”，因此应先假设；
故答案为：D.
【分析】本题主要考查反证法的第一步——假设结论的反面成立.反证法的核心是假设结论不成立，推出矛盾，从而证明原结论正确.原命题结论“”，由于“小于”的反面是“大于等于”，因此应先假设.
2．某长方形草地中需修建一条等宽的小路（阴影），下列四种设计方案中，剩余草坪面积最小的方案是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】利用平移的思想解决实际问题
【解析】【解答】解：A、C、D三种方案剩余草坪面积都是：（长方形的长-小路的宽）×长方形的宽，而B方案的小路的模块比其他三种方案多1个以小路的宽度为边长的正方形的面积，
故选：B．
【分析】根据平移性质，结合矩形性质即可求出答案.
3．不等关系在生活中广泛存在.如图是两位同学分别站在地面、台阶上的情形.两人的对话体现的数学原理是（　　)
A．不等式两边都加同一个整式，不等号的方向不变
B．不等式两边都减同一个整式，不等号的方向不变
C．不等式两边都乘以同一个正数，不等号的方向不变
D．不等式两边都除以同一个正数，不等号的方向不变
【答案】A
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：从对话情景可知，两人先站在地面比较身高，又同时站在台阶比较身高，实际是在原身高基础上加上一个相同的高度，不等号方向保持不变，因此选项A符合题意；
故答案为：A.
【分析】本题主要考查不等式的基本性质.两位同学身高有差异，他们先后站在不同高度的地面上，相当于在原身高上加上了一个相同的“台阶高度”，两人之间的身高比较结果（谁更高）不变.这体现了“不等式两边都加同一个整式，不等号的方向不变”的性质.
4．在新型俄罗斯方块游戏中（出现的图案可进行顺时针、逆时针旋转，向左、向右平移），已拼好的图形如图所示．现又出现一个图案正向下运动，若要使该图案与下面的图形拼成一个完整的矩形，则该图案需进行的操作是（　　）
A．顺时针旋转，向右平移至最右侧
B．逆时针旋转，向右平移至最右侧
C．顺时针旋转，向左平移至最左侧
D．逆时针旋转，向左平移至最左侧
【答案】A
【知识点】作图﹣旋转；图形的平移
5．将一副三角板按如图方式重叠，则∠1的度数为（　　)
A．45° B．60° C．75° D．85°
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：如图：已知，，
∴，
∴.
故答案为：C.
【分析】本题主要考查三角形内角和定理以及三角板角度计算.由三角板的角度特征可知，，由三角形内角和180°可计算，最后根据对顶角的性质即可得到.
6．一个等腰三角形中，其中一个角的度数是另一个角的4倍，它的顶角是（　　)
A．20° B．120° C．30°或80° D．20°或120°
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；分类讨论
【解析】【解答】解：设顶角的度数为x，分以下两种情况讨论：
①当顶角度数是底角度数的4倍时，底角度数为，则，解得；
②当底角度数是顶角度数的4倍时，底角度数为，则，解得；
综上所述，顶角的度数为或.
故答案为：D.
【分析】本题主要考查等腰三角形的角的关系以及三角形内角和定理.解题关键是分情况讨论顶角与底角之间的倍数关系，再根据三角形内角和为180°，列出方程求解.
7．在平面直角坐标系中，有一个五边形经过了一定的变化，大小和形状没有改变，那么这个五边形各顶点的坐标可能发生的变化是（　　）
A．横、纵坐标分别乘
B．横坐标不变，纵坐标分别加
C．横坐标分别乘，纵坐标分别乘
D．横坐标加，纵坐标分别乘
【答案】B
【知识点】点的坐标；平移的性质
【解析】【解答】解：A、横、纵坐标分别乘，这种变换会使五边形各边在横纵方向上都拉伸为原来的倍，则五边形的大小会改变，此选项不符合题意；
B、横坐标不变，纵坐标分别加，这表示五边形在垂直方向向上平移了个单位长度，这个过程中，五边形的大小和形状都不发生改变，此选项符合题意；
C、横坐标分别乘，纵坐标分别乘，这种变换会使五边形在横纵方向都发生了变形，大小改变，此选项不符合题意；
D、横坐标加是五边形在水平方向向右平移个单位长度，纵坐标分别乘是五边形在垂直方向拉伸为原来的倍，五边形的大小改变，此选项不符合题意．
故选：B．
【分析】根据平移性质逐项进行判断即可求出答案.
8．如图， △ABC中， ∠ACB =90°， ∠B =30°，将△ABC折叠，便点B落在点A处，DE为折痕，在下列结论中，正确的结论有（　　)
①△ADE≌△BDE；
②AE垂直平分CD；
③△ADC是等边三角形；
④AB <4CE.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】三角形三边关系；三角形内角和定理；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：由折叠的性质得△ADE≌△BDE
故①正确；
∵∠ACB=90°，∠B=30°
∴，
∵△ADE≌△BDE
∴
∴
∴是等边三角形
故③正确；
∵，
∴
∵是等边三角形
∴，AE平分CD
∴AE垂直平分CD
故②正确；
在中，
∵AE=BE
∴
∵∠ACB=90°，∠CAE=30°
∴
∴
故④正确；
综上所述，①②③④均正确.
故答案为：D.
【分析】本题综合考查了折叠的性质、含30°直角三角形及等边三角形的判定与性质等.①由折叠的性质直接得出；②由等边三角形的性质“三线合一”即可判断；③结合含30°角的直角三角形与折叠得到△ACD是等腰三角形，在计算∠CAD=60°，即可判定等边三角形；④结合含30°角的直角三角形得到，再由三角形三边关系即可得出不等式.
9．在课堂上，陈老师发给每人一张印有Rt△ABC（如图①)的卡片，然后要求同学们画一个Rt△A'B'C'，使得Rt△A'B'C'≌Rt△ABC.小赵和小刘同学先画出了∠MBN=90°之后，后续画图的主要过程分别如图②所示.
对这两种画法的描述正确的是（　　)
A．小刘同学作图判定 的依据是ASA
B．小刘同学第一步作图时，用圆规截取的是线段A'C'
C．小赵同学作图判定 的依据是 HL
D．小赵同学第二步作图时，用圆规截取的是线段B'C'
【答案】C
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；三角形全等的判定-SSS；尺规作图-直线、射线、线段
【解析】【解答】解：A、小刘同学作图判定Rt△A'B'C'≌Rt△ABC的依据的SAS，错误；
B、小刘同学第一步作图是用圆规截取的线段A'B'=AB，错误；
C、小赵同学作图判定Rt△A'B'C'≌Rt△ABC的依据是HL，正确；
D、小赵同学第二步作图是用圆规截取的线段A'C'=AC，错误.
故答案为：C.
【分析】本题主要考查全等三角形的判定方法以及尺规作图的原理.小刘同学先画直角，再在两条直角边上分别截取与原三角形两直角边相等的线段，由此可以判断选项A、B；小赵同学画好直角后，先在一条直角边上截取与原三角形一条直角边相等的线段，再以这条直角边的端点为圆心、以原三角形斜边长为半径画弧，与另一条直角边相交，从而确定第三个顶点，由此可以判断选项C、D.
10．已知直线 的图象如图所示，无论x取何值，y总取y1、y2、y3中的最大值，则y的最小值是 （　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】一次函数的图象；比较一次函数值的大小；一次函数的其他应用
【解析】【解答】解：由图像可知，y的最小值是y2、y3交点坐标的纵坐标，
联立，解得
∴y的最小值为
故答案为：B.
【分析】本题主要考查分段函数的最值问题，解题的关键是理解“无论x取何值，y总取y1、y2、y3中的最大值”，可数形结合进行分析.观察图像，当x较小时，y1最大；中间段，y2最大；x较大时，y3最大，在y2、y3交点处，可以得到y的最小值，联立两个函数，解二元一次方程组即可.
11．如图在网格中，△A'B'C'由△ABC旋转得到，其旋转中心是点　 　.
【答案】P
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：如图所示：连接AA'、BB'，分别作AA'、BB'的垂直平分线，
由图可知两条直线交点为P.
故答案为：P.
【分析】本题主要考查旋转中心的确定方法.根据旋转中心是到对应点距离相等的点，连接两组对应点，分别作它们的垂直平分线，交点即为旋转中心.
12．如图，有P、Q、R、S四个小朋友玩跷跷板，则最重的是　 　.
【答案】R
【知识点】一元一次不等式的应用；用代数式表示实际问题中的数量关系
【解析】【解答】解：由图可知：①，②，③
由③得：，代入②得，
∴
故，
由③得：，则有，
因此，
故答案为：R.
【分析】本题结合实际情景考查不等式的应用.先根据三个图片得到对应的不等式或等式，再利用等式进行等量代换，推出四个小朋友的体重关系.
13．点A（a，-1)与点 B（2，b)关于原点成中心对称， 则a+b=　 　.
【答案】-1
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵、关于原点成中心对称
∴，解得
∴
故答案为：-1.
【分析】本题考查关于原点对称的坐标特点，即横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数.因此可以得到两个等式a+2=0，-1+b=0，求出a、b的值即可.
14．小明测量一种玻璃球的体积，他方法是：①将500cm3的水倒进一个容量为750cm3的杯子中；②将四颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满；③再将一颗同样大小的玻璃球放入水中，结果水满溢出.根据现象，小明判断这样的一个玻璃球的体积x（单位：cm3)的范围是　 　.
【答案】
【知识点】一元一次不等式组的应用
【解析】【解答】解：依题可列
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式得解集为
故答案为：.
【分析】本题主要考查一元一次不等式组的实际应用.根据题干中“未满”和“溢出”两个临界条件建立不等式组，求解即可得到x的范围.
15．一个正多边形的内角和比其外角和的度数大720°，则它的边数是　 　．
【答案】8
【知识点】正多边形的性质；多边形的内角和公式；多边形的外角和公式
【解析】【解答】解：设这个多边形是n边形．
则180°（n﹣2）＝720°+360°，
解得n＝8，
故答案为：8．
【分析】设这个多边形是n边形，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
16．如图，在△ABC中，∠C=90°，点D是AC上一点，∠ABD =∠CBD， AC=12cm，且.S△BCD：S△BDA =1：2，则点 D到AB的距离为　 　cm.
【答案】4
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，
∵，且、
∴
∵
∴
∵
∴
∵
∴
故答案为：4.
【分析】本题主要考查角平分线的性质、三角形面积比与边长比的关系.由图可知：面积比为1∶2的两个三角形高相等，因此可以得到它们对应底边的比，结合已知条件即可计算CD，最后利用角平分线的性质“角平分线上的点到角两边的距离相等”即可得到.
17．解下列不等式：
（1） 5x-2≤3x
（2）x+1≥2x-4
【答案】（1）解：5x-2≤3x
移项， 得5x-3x≤2，
合并同类项， 得2x≤2，
两边都除以2， 得x≤1
（2）解：x+1≥2x-4
移项， 得x-2x≥-4-1，
合并同类项， 得-x≥-5，
两边都除以-1， 得x≤5.
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【分析】本题主要考查一元一次不等式的解法.解题的关键是正确进行移项、合并同类项、系数化为1，在（2）中需注意在系数化为1时，不等号的方向要改变.
18．如图，下列都是由16个相同的小正方形组成，每个网格图中有4个小正方形已涂上阴影，请你在空白小正方形中，按下列要求涂上阴影：
（1）在图1中选取1个空白小正方形涂上阴影，使5个阴影小正方形组成一个轴对称图形；
（2）在图2中选取2个空白小正方形涂上阴影，使6个阴影小正方形组成一个中心对称但不轴对称的图形.（只需画出符合条件的一种情形)
【答案】（1）解：如图所示：
（2）解：如图所示：
【知识点】利用轴对称设计图案；利用旋转设计图案；作图﹣中心对称
【解析】【分析】本题主要考查轴对称图形和中心对称图形的定义.根据轴对称图形要有一条对称轴，中心对称图形要绕某点旋转180°后与自身重合进行作图.
（1）从对称轴可以是水平线、垂直线或对角线的角度来解题；
（2）添加两个阴影小正方形，使图形绕某个中心点旋转180°后与自身重合，但没有一条直线能使其完全折叠重合即可.
19．解不等式组： 并把解集表示在数轴上.
【答案】解：
解不等式①得，x>-2，
解不等式②得，x≤1，
所以不等式组解集为：-2∴解集在数轴上表示如图：
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【分析】本题主要考查一元一次不等式组的解法以及在数轴上表示解集.解不等式①移项即可得到x>-2；解不等式②先移项再合并同类项得-x≥-1，系数化为1得x≤1，在数轴上表示时，-2处用空心圆（不含等号）、1处用实心圆（含等号）表示.
20．“三等分角”大约是公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角.这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，OC =CD =DE，点D，E可在槽中滑动，若∠O =25°，求∠BDE度数.
【答案】解：∵OC= CD = DE，
∴∠O =∠ODC， ∠DCE =∠DEC，
∴∠DCE =∠O +∠ODC =2∠O =50°，
∴∠DEC =∠DCE=50°，
∴∠BDE =∠0+∠DEC =25°+50°=75°.
【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质
【解析】【分析】本题主要考查等腰三角形的性质以及三角形外角定理的应用.根据“等边对等角”得到∠O =∠ODC， ∠DCE =∠DEC；结合三角形外角得到∠DEC=∠DCE=2∠O=50°；最后再次使用外角计算∠BDE=∠O+∠DEC=75°.
21．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上.完成以下问题：
（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出A1、B1、C1的坐标；
（2）以原点 O 为对称中心，再画出与 关于原点O对称的 并写出A2、B2、C2的坐标.
【答案】（1）解：如图所示， 即为所求；
的坐标分别为
（2）解：如图所示，即为所求.
的坐标分别为
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征；坐标与图形变化﹣对称；关于原点对称的点的坐标特征；坐标与图形变化﹣中心对称
【解析】【分析】本题主要考查平面直角坐标系中关于坐标轴和原点对称的点的坐标变化规律.关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数；关于原点对称，横、纵坐标均互为相反数.
（1）可先写出点A、B、C的坐标，根据坐标变化规律写出A1、B1、C1的坐标，在网格中描出点并且连线即可；
（2）根据A1、B1、C1的坐标写出A2、B2、C2的坐标，在网格中描出点并且连线即可.
22．小亮和妈妈去超市买凳子，善于观察的小亮发现售货员把凳子整齐叠放在一起，如图所示，每增加一个凳子，叠在一起的凳子增加的高度是一样的.凳子的数量n（单位：个)与叠放在一起的凳子的总高度h（单位： cm)的关系如表：
凳子的数量n 1 2 3 4 …
叠放的凳子总高度h 45 50 55 60 …
（1）判断叠放的凳子总高度h与凳子的数量n之间符合什么函数关系 请用待定系数法求h与n的函数关系式；
（2）若将该种凳子竖直叠放在层高不超过96cm超市货架上，最多能叠放多少个
【答案】（1）解：∵每增加一个凳子，叠在一起的凳子增加的高度是一样的，
∴叠放的凳子总高度h与凳子的数量n之间符合一次函数关系，
设h= kn+b，把(1， 45)， (2， 50)代入得： 解得
∴h与n的函数关系式为h=5n+40；
（2）解：根据题意得： 5n+40≤96，
解得n≤11.2，
∵n为整数，
∴最多能叠放11个
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的其他应用
【解析】【分析】本题主要考查一次函数在实际问题中的应用、待定系数法求函数解析式及一元一次不等式的整数解.
（1）根据题干“每增加一个凳子，叠在一起的凳子增加的高度是一样的”判断h与n是一次函数关系，设出函数解析式，选择表格中的两组数据代入，解二元一次方程组即可；
（2）根据“货架层高不超过96cm”可知h≤96，即5n+40≤96，解出n取整数即可.
23．如图，在△ABC中，点E在BC上， AB =CE， AD⊥BC，垂足为点 D， △ABC的周长为52， AC =20.
（1）过点 E作EF⊥AC于点 F；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)
（2）在（1）的条件下，若点F是边AC的中点，求线段CD的长度.
【答案】（1）解：如图所示：
（2）解：连接AE，设CE=x，
∵在(1)的条件下，点 F是边AC的中点，
∴AE=CE，
∵AB=CE，
∴AB=AE=CE=x，
∵AD⊥BC，
∴D为BE的中点，
∵△ABC的周长为52， AC=20，
∴AB+BC=52-20=32，
∴CD=DE+CE=16-x+x=16.
【知识点】线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂线；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）尺规作图方法为：以点E为圆心，适当长为半径画弧，交AC于两点；再分别以这两点为圆心，大于两点距离一半的长为半径画弧，两弧交于一点；过点E和该交点作直线，与AC的交点即为F；
（2）根据（1）的条件，可得EF垂直平分AC，所以AE=EC，结合已知可得△ABE是等腰三角形，由等腰三角形“三线合一”推出点D是BE中点，因此根据△ABC的周长为52，AC=20可将DE用x表示，最后CD=DE+CE=16-x+x=16.
24．下表中有两种手机通话计费方式：
　 月使用费 主叫限定时间（分钟) 主叫超时费 （元/分钟) 被叫
方式一 50 150 0.2 免费
方式二 80 350 0.25 免费
（月使用费固定收：主叫不超过限定的时间不再收费，主叫超过限定时间的部分加收超时费)
（1）若李明某月主叫通话时间为200分钟，则他按方式一计费需　 　元，按方式二计费需　 　元；
（2）王华某月按方式二计费需100元，求王华该月主叫通话时间.
（3）请分析选取那种方式更合算。
【答案】（1）60；80
（2）解：设王华该月主叫通话时间为t分钟，
∵王华某月按方式二计费需100元
∴(t-350)×0.25 +80 = 100
∴t=430
（3）解：当0方式一费用为50元，方式二费用为80元，因此方式一合算；
当150∵方式一计费<方式二计费
∴50+0.2×(t-150)<80，
∴150当t = 300时，一样合算
∵方式一计费>方式二计费
∴50+0.2×(t-150)>80
∴300当t>350时，
∵方式一计费<方式二计费
∴50+0.2×(t-150)<(t-350)×0.25 +80，
∴t>550时；方式一更合算
当t = 550时，一样合算
∵方式一计费>方式二计费
∴50+0.2×(t-150)>(t-350)×0.25 +80，
∴350综上所述：
0550时，选择方式一更合算.
300当t=300或550时，一样合算
【知识点】一元一次不等式的应用；一元一次方程的实际应用-计费问题
【解析】【解答】解：（1）①元；②由，因此费用为80元；
故答案为：60；80.
【分析】本题主要考查分段函数，结合函数性质解决问题.
（1）方式一：月使用费50元，主叫限定时间150分钟，超出50分钟，超时费0.2元/分钟，总费用为；方式二：月使用费80元，主叫限定时间350分钟，200分钟未超出，因此只需支付80元；
（2）王华按方式二计费100元，超过月使用费80元，说明主叫时间超过了350分钟.设主叫时间为t分钟，则超时部分为分钟，超时费为0.25元/分钟，列方程(t-350)×0.25+80=100求解即可；
（3）根据通话时间的不同范围，分别比较两种方式的费用.依据表格信息可分别得到时间t的分界点0350，在不同范围内分别讨论两种费用的大小，结合一元一次不等式求解.
25．综合与实践。情境：△ABC是等边三角形，点D 是直线AC上一点（不与A，C重合)，点E在BC射线上（不与B， C重合)，且AD =CE，连接DE.
“兴趣小组”提出的问题是：探究BD与DE的数量关系.
（1）特例探究：从特殊到一般是研究几何的一般思路，如图1，当点D在边AC的中点时，请你直接写出线段BD与DE的数量关系　 　；
（2）数学思考：如图2，当点 D是边AC上任意一点时（不是中点)，同学们讨论发现结论依然成立，可以通过作平行线构造全等来证明.请你证明：
（3）类比延伸：进一步猜想：当点 D在CA或AC的延长线上时，仍存在使得线段BD与DE的数量关系与第（1）问结论相同的情况，请你任意选择一种在图3画出并证明.
（4）如下图，点M在等边ΔABC的边BC上，∠AMN = 60°， MN与等边三角形外角平分线CN所在的直线相交于点N，过N作ND⊥BC于D，请写出CM，CA，CD的数量关系并证明。
【答案】（1）BD=DE
（2）证明： 如图2， 过点D作DF∥BC， 交AB于点F，
∴∠AFD =∠ABC=60°， ∠ADF=∠ACB=60°，
∴∠AFD =∠ADF=60°，
∴△AFD是等边三角形， ∴AD=DF=AF，
∵AB = AC，
∴AB-AF=AC-AD， ∴FB=CD，
∵AD =CE，
∴DF=CE，
又∵∠AFD =∠ACB=60°，
在△FBD和△CDE中，
∴△ FBD≌△CDE(SAS)，
∴DB = DE；
（3）解：只需要一种情况即可
①如图3，过点D 作BC的平行线，交BA的延长线于点 F，
由 (2) 得△ADF是等边三角形， ∠F =∠C=60°，
∴AD = DF = AF，
∵AB =AC，
∴AB + AF=AC + AD， ∴FB = CD，
∵AD =CE，
∴DF =CE，
在△FBD和△CDE中，
∴△FBD≌△CDE(SAS)，
∴DB=DE；
②如图4，过点D 作BC的平行线，交AB的延长线于点 F，
由(2)得△ADF是等边三角形， ∠F =∠ACB =∠DCE=60°，
∴AD=DF=AF，
∵AB =AC，
∴AF-AB =AD-AC， ∴FB =CD，
∵AD=CE，
∴DF =CE，
在△FBD和△CDE中，
∴△FBD≌△CDE(SAS)，
∴DB =DE；
（4）解：CA=CM+2CD
证明：过M作MF//AC交AB于F，
由(2)得ΔABC是等边三角形，ΔBMF是等边三角形，
∴BF=BM，AB=BC=AC
∴AB-BF=BC-BM， ∴AF =CM
∵∠AMC =∠AMN+∠NMC =∠MAF+∠B， ∠AMN = 60°=∠B =60°
∴∠NMC =∠MAF
∵CN是ΔABC外角平分线， ∴∠ACN =∠DCN =60°，
∴∠MCN =∠ACN +∠ACB =120°，∠AFM =180°-∠BFM =120°，
∴∠MCN =∠AFM
在ΔAFM与ΔMCN中，
∴△AFM≌△MCN(ASA)，
∴FM =CN =BM；
∵∠DCN =60°，∠NDC =90°，
∴CN =2CD =MB； ∴CA=CB=CM+MB=CM+2CD
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；等边三角形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形
∴∠ABC=∠ACB=60°
∵点D是AC中点
∴AD=CD，∠CBD=30°
∵AD=CE
∴CE=CD
∴∠E=∠EDC
∵∠ACB=∠E+∠EDC
∴2∠E=60°
∴∠E=∠CBD=30°
∴BD=DE.
【分析】（1）利用等边三角形性质“三线合一”得到∠CBD=30°；再结合AD=CE得到△ECD是等腰三角形，利用外角的性质得到∠E=30°，最后根据“等角对等边”可证BD=DE；
（2）根据提示作出辅助线，推出△ADF是等边三角形，进而根据等边三角形性质推出FB=CD，DF=CE，∠DFB=∠ECD，证明△FBD与△CDE全等，即可推出BD=DE；
（3）当点D在CA或AC的延长线上时，分两种情况证明：①当点D在CA的延长线上时，依然如第（2）问，作出平行线，根据△ADF是等边三角形推出△FBD与△CDE全等的条件即可证明；②当点D在AC的延长线上时，同①证明△FBD≌△CDE即可；
（4）作出辅助线过M作MF//AC交AB于F，利用△ABC与△BFM是等边三角形得到AF=CM；结合∠AMN=60°，得到∠NMC =∠MAF；结合CN是△ABC外角平分线，得到∠MCN =∠AFM，即可证明△AFM≌△MCN，推出FM=CN=BM，最后结合含30°的直角三角形得到2CD=MB，根据线段的和差关系即可得到CA=CM+2CD.
1 / 1广东省佛山市三水区2025-2026学年第二学期八年级中段知识素养检测数学试题
1．牛顿认为“反证法是数学家最精当的武器之一”，用反证法证明“在△ABC中，若∠A >∠B >∠C，则∠C <60°时，应先假设（　　)
A．∠C = 60° B．∠C > 60°
C．∠C ≠60° D．∠C ≥60°
2．某长方形草地中需修建一条等宽的小路（阴影），下列四种设计方案中，剩余草坪面积最小的方案是（　　）
A． B．
C． D．
3．不等关系在生活中广泛存在.如图是两位同学分别站在地面、台阶上的情形.两人的对话体现的数学原理是（　　)
A．不等式两边都加同一个整式，不等号的方向不变
B．不等式两边都减同一个整式，不等号的方向不变
C．不等式两边都乘以同一个正数，不等号的方向不变
D．不等式两边都除以同一个正数，不等号的方向不变
4．在新型俄罗斯方块游戏中（出现的图案可进行顺时针、逆时针旋转，向左、向右平移），已拼好的图形如图所示．现又出现一个图案正向下运动，若要使该图案与下面的图形拼成一个完整的矩形，则该图案需进行的操作是（　　）
A．顺时针旋转，向右平移至最右侧
B．逆时针旋转，向右平移至最右侧
C．顺时针旋转，向左平移至最左侧
D．逆时针旋转，向左平移至最左侧
5．将一副三角板按如图方式重叠，则∠1的度数为（　　)
A．45° B．60° C．75° D．85°
6．一个等腰三角形中，其中一个角的度数是另一个角的4倍，它的顶角是（　　)
A．20° B．120° C．30°或80° D．20°或120°
7．在平面直角坐标系中，有一个五边形经过了一定的变化，大小和形状没有改变，那么这个五边形各顶点的坐标可能发生的变化是（　　）
A．横、纵坐标分别乘
B．横坐标不变，纵坐标分别加
C．横坐标分别乘，纵坐标分别乘
D．横坐标加，纵坐标分别乘
8．如图， △ABC中， ∠ACB =90°， ∠B =30°，将△ABC折叠，便点B落在点A处，DE为折痕，在下列结论中，正确的结论有（　　)
①△ADE≌△BDE；
②AE垂直平分CD；
③△ADC是等边三角形；
④AB <4CE.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．在课堂上，陈老师发给每人一张印有Rt△ABC（如图①)的卡片，然后要求同学们画一个Rt△A'B'C'，使得Rt△A'B'C'≌Rt△ABC.小赵和小刘同学先画出了∠MBN=90°之后，后续画图的主要过程分别如图②所示.
对这两种画法的描述正确的是（　　)
A．小刘同学作图判定 的依据是ASA
B．小刘同学第一步作图时，用圆规截取的是线段A'C'
C．小赵同学作图判定 的依据是 HL
D．小赵同学第二步作图时，用圆规截取的是线段B'C'
10．已知直线 的图象如图所示，无论x取何值，y总取y1、y2、y3中的最大值，则y的最小值是 （　　)
A． B． C． D．
11．如图在网格中，△A'B'C'由△ABC旋转得到，其旋转中心是点　 　.
12．如图，有P、Q、R、S四个小朋友玩跷跷板，则最重的是　 　.
13．点A（a，-1)与点 B（2，b)关于原点成中心对称， 则a+b=　 　.
14．小明测量一种玻璃球的体积，他方法是：①将500cm3的水倒进一个容量为750cm3的杯子中；②将四颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满；③再将一颗同样大小的玻璃球放入水中，结果水满溢出.根据现象，小明判断这样的一个玻璃球的体积x（单位：cm3)的范围是　 　.
15．一个正多边形的内角和比其外角和的度数大720°，则它的边数是　 　．
16．如图，在△ABC中，∠C=90°，点D是AC上一点，∠ABD =∠CBD， AC=12cm，且.S△BCD：S△BDA =1：2，则点 D到AB的距离为　 　cm.
17．解下列不等式：
（1） 5x-2≤3x
（2）x+1≥2x-4
18．如图，下列都是由16个相同的小正方形组成，每个网格图中有4个小正方形已涂上阴影，请你在空白小正方形中，按下列要求涂上阴影：
（1）在图1中选取1个空白小正方形涂上阴影，使5个阴影小正方形组成一个轴对称图形；
（2）在图2中选取2个空白小正方形涂上阴影，使6个阴影小正方形组成一个中心对称但不轴对称的图形.（只需画出符合条件的一种情形)
19．解不等式组： 并把解集表示在数轴上.
20．“三等分角”大约是公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角.这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，OC =CD =DE，点D，E可在槽中滑动，若∠O =25°，求∠BDE度数.
21．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上.完成以下问题：
（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出A1、B1、C1的坐标；
（2）以原点 O 为对称中心，再画出与 关于原点O对称的 并写出A2、B2、C2的坐标.
22．小亮和妈妈去超市买凳子，善于观察的小亮发现售货员把凳子整齐叠放在一起，如图所示，每增加一个凳子，叠在一起的凳子增加的高度是一样的.凳子的数量n（单位：个)与叠放在一起的凳子的总高度h（单位： cm)的关系如表：
凳子的数量n 1 2 3 4 …
叠放的凳子总高度h 45 50 55 60 …
（1）判断叠放的凳子总高度h与凳子的数量n之间符合什么函数关系 请用待定系数法求h与n的函数关系式；
（2）若将该种凳子竖直叠放在层高不超过96cm超市货架上，最多能叠放多少个
23．如图，在△ABC中，点E在BC上， AB =CE， AD⊥BC，垂足为点 D， △ABC的周长为52， AC =20.
（1）过点 E作EF⊥AC于点 F；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)
（2）在（1）的条件下，若点F是边AC的中点，求线段CD的长度.
24．下表中有两种手机通话计费方式：
　 月使用费 主叫限定时间（分钟) 主叫超时费 （元/分钟) 被叫
方式一 50 150 0.2 免费
方式二 80 350 0.25 免费
（月使用费固定收：主叫不超过限定的时间不再收费，主叫超过限定时间的部分加收超时费)
（1）若李明某月主叫通话时间为200分钟，则他按方式一计费需　 　元，按方式二计费需　 　元；
（2）王华某月按方式二计费需100元，求王华该月主叫通话时间.
（3）请分析选取那种方式更合算。
25．综合与实践。情境：△ABC是等边三角形，点D 是直线AC上一点（不与A，C重合)，点E在BC射线上（不与B， C重合)，且AD =CE，连接DE.
“兴趣小组”提出的问题是：探究BD与DE的数量关系.
（1）特例探究：从特殊到一般是研究几何的一般思路，如图1，当点D在边AC的中点时，请你直接写出线段BD与DE的数量关系　 　；
（2）数学思考：如图2，当点 D是边AC上任意一点时（不是中点)，同学们讨论发现结论依然成立，可以通过作平行线构造全等来证明.请你证明：
（3）类比延伸：进一步猜想：当点 D在CA或AC的延长线上时，仍存在使得线段BD与DE的数量关系与第（1）问结论相同的情况，请你任意选择一种在图3画出并证明.
（4）如下图，点M在等边ΔABC的边BC上，∠AMN = 60°， MN与等边三角形外角平分线CN所在的直线相交于点N，过N作ND⊥BC于D，请写出CM，CA，CD的数量关系并证明。
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：原命题的结论是“”，其反面包括两种情况“”或“”，因此应先假设；
故答案为：D.
【分析】本题主要考查反证法的第一步——假设结论的反面成立.反证法的核心是假设结论不成立，推出矛盾，从而证明原结论正确.原命题结论“”，由于“小于”的反面是“大于等于”，因此应先假设.
2．【答案】B
【知识点】利用平移的思想解决实际问题
【解析】【解答】解：A、C、D三种方案剩余草坪面积都是：（长方形的长-小路的宽）×长方形的宽，而B方案的小路的模块比其他三种方案多1个以小路的宽度为边长的正方形的面积，
故选：B．
【分析】根据平移性质，结合矩形性质即可求出答案.
3．【答案】A
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：从对话情景可知，两人先站在地面比较身高，又同时站在台阶比较身高，实际是在原身高基础上加上一个相同的高度，不等号方向保持不变，因此选项A符合题意；
故答案为：A.
【分析】本题主要考查不等式的基本性质.两位同学身高有差异，他们先后站在不同高度的地面上，相当于在原身高上加上了一个相同的“台阶高度”，两人之间的身高比较结果（谁更高）不变.这体现了“不等式两边都加同一个整式，不等号的方向不变”的性质.
4．【答案】A
【知识点】作图﹣旋转；图形的平移
5．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：如图：已知，，
∴，
∴.
故答案为：C.
【分析】本题主要考查三角形内角和定理以及三角板角度计算.由三角板的角度特征可知，，由三角形内角和180°可计算，最后根据对顶角的性质即可得到.
6．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；分类讨论
【解析】【解答】解：设顶角的度数为x，分以下两种情况讨论：
①当顶角度数是底角度数的4倍时，底角度数为，则，解得；
②当底角度数是顶角度数的4倍时，底角度数为，则，解得；
综上所述，顶角的度数为或.
故答案为：D.
【分析】本题主要考查等腰三角形的角的关系以及三角形内角和定理.解题关键是分情况讨论顶角与底角之间的倍数关系，再根据三角形内角和为180°，列出方程求解.
7．【答案】B
【知识点】点的坐标；平移的性质
【解析】【解答】解：A、横、纵坐标分别乘，这种变换会使五边形各边在横纵方向上都拉伸为原来的倍，则五边形的大小会改变，此选项不符合题意；
B、横坐标不变，纵坐标分别加，这表示五边形在垂直方向向上平移了个单位长度，这个过程中，五边形的大小和形状都不发生改变，此选项符合题意；
C、横坐标分别乘，纵坐标分别乘，这种变换会使五边形在横纵方向都发生了变形，大小改变，此选项不符合题意；
D、横坐标加是五边形在水平方向向右平移个单位长度，纵坐标分别乘是五边形在垂直方向拉伸为原来的倍，五边形的大小改变，此选项不符合题意．
故选：B．
【分析】根据平移性质逐项进行判断即可求出答案.
8．【答案】D
【知识点】三角形三边关系；三角形内角和定理；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：由折叠的性质得△ADE≌△BDE
故①正确；
∵∠ACB=90°，∠B=30°
∴，
∵△ADE≌△BDE
∴
∴
∴是等边三角形
故③正确；
∵，
∴
∵是等边三角形
∴，AE平分CD
∴AE垂直平分CD
故②正确；
在中，
∵AE=BE
∴
∵∠ACB=90°，∠CAE=30°
∴
∴
故④正确；
综上所述，①②③④均正确.
故答案为：D.
【分析】本题综合考查了折叠的性质、含30°直角三角形及等边三角形的判定与性质等.①由折叠的性质直接得出；②由等边三角形的性质“三线合一”即可判断；③结合含30°角的直角三角形与折叠得到△ACD是等腰三角形，在计算∠CAD=60°，即可判定等边三角形；④结合含30°角的直角三角形得到，再由三角形三边关系即可得出不等式.
9．【答案】C
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；三角形全等的判定-SSS；尺规作图-直线、射线、线段
【解析】【解答】解：A、小刘同学作图判定Rt△A'B'C'≌Rt△ABC的依据的SAS，错误；
B、小刘同学第一步作图是用圆规截取的线段A'B'=AB，错误；
C、小赵同学作图判定Rt△A'B'C'≌Rt△ABC的依据是HL，正确；
D、小赵同学第二步作图是用圆规截取的线段A'C'=AC，错误.
故答案为：C.
【分析】本题主要考查全等三角形的判定方法以及尺规作图的原理.小刘同学先画直角，再在两条直角边上分别截取与原三角形两直角边相等的线段，由此可以判断选项A、B；小赵同学画好直角后，先在一条直角边上截取与原三角形一条直角边相等的线段，再以这条直角边的端点为圆心、以原三角形斜边长为半径画弧，与另一条直角边相交，从而确定第三个顶点，由此可以判断选项C、D.
10．【答案】B
【知识点】一次函数的图象；比较一次函数值的大小；一次函数的其他应用
【解析】【解答】解：由图像可知，y的最小值是y2、y3交点坐标的纵坐标，
联立，解得
∴y的最小值为
故答案为：B.
【分析】本题主要考查分段函数的最值问题，解题的关键是理解“无论x取何值，y总取y1、y2、y3中的最大值”，可数形结合进行分析.观察图像，当x较小时，y1最大；中间段，y2最大；x较大时，y3最大，在y2、y3交点处，可以得到y的最小值，联立两个函数，解二元一次方程组即可.
11．【答案】P
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：如图所示：连接AA'、BB'，分别作AA'、BB'的垂直平分线，
由图可知两条直线交点为P.
故答案为：P.
【分析】本题主要考查旋转中心的确定方法.根据旋转中心是到对应点距离相等的点，连接两组对应点，分别作它们的垂直平分线，交点即为旋转中心.
12．【答案】R
【知识点】一元一次不等式的应用；用代数式表示实际问题中的数量关系
【解析】【解答】解：由图可知：①，②，③
由③得：，代入②得，
∴
故，
由③得：，则有，
因此，
故答案为：R.
【分析】本题结合实际情景考查不等式的应用.先根据三个图片得到对应的不等式或等式，再利用等式进行等量代换，推出四个小朋友的体重关系.
13．【答案】-1
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵、关于原点成中心对称
∴，解得
∴
故答案为：-1.
【分析】本题考查关于原点对称的坐标特点，即横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数.因此可以得到两个等式a+2=0，-1+b=0，求出a、b的值即可.
14．【答案】
【知识点】一元一次不等式组的应用
【解析】【解答】解：依题可列
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式得解集为
故答案为：.
【分析】本题主要考查一元一次不等式组的实际应用.根据题干中“未满”和“溢出”两个临界条件建立不等式组，求解即可得到x的范围.
15．【答案】8
【知识点】正多边形的性质；多边形的内角和公式；多边形的外角和公式
【解析】【解答】解：设这个多边形是n边形．
则180°（n﹣2）＝720°+360°，
解得n＝8，
故答案为：8．
【分析】设这个多边形是n边形，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
16．【答案】4
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，
∵，且、
∴
∵
∴
∵
∴
∵
∴
故答案为：4.
【分析】本题主要考查角平分线的性质、三角形面积比与边长比的关系.由图可知：面积比为1∶2的两个三角形高相等，因此可以得到它们对应底边的比，结合已知条件即可计算CD，最后利用角平分线的性质“角平分线上的点到角两边的距离相等”即可得到.
17．【答案】（1）解：5x-2≤3x
移项， 得5x-3x≤2，
合并同类项， 得2x≤2，
两边都除以2， 得x≤1
（2）解：x+1≥2x-4
移项， 得x-2x≥-4-1，
合并同类项， 得-x≥-5，
两边都除以-1， 得x≤5.
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【分析】本题主要考查一元一次不等式的解法.解题的关键是正确进行移项、合并同类项、系数化为1，在（2）中需注意在系数化为1时，不等号的方向要改变.
18．【答案】（1）解：如图所示：
（2）解：如图所示：
【知识点】利用轴对称设计图案；利用旋转设计图案；作图﹣中心对称
【解析】【分析】本题主要考查轴对称图形和中心对称图形的定义.根据轴对称图形要有一条对称轴，中心对称图形要绕某点旋转180°后与自身重合进行作图.
（1）从对称轴可以是水平线、垂直线或对角线的角度来解题；
（2）添加两个阴影小正方形，使图形绕某个中心点旋转180°后与自身重合，但没有一条直线能使其完全折叠重合即可.
19．【答案】解：
解不等式①得，x>-2，
解不等式②得，x≤1，
所以不等式组解集为：-2∴解集在数轴上表示如图：
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【分析】本题主要考查一元一次不等式组的解法以及在数轴上表示解集.解不等式①移项即可得到x>-2；解不等式②先移项再合并同类项得-x≥-1，系数化为1得x≤1，在数轴上表示时，-2处用空心圆（不含等号）、1处用实心圆（含等号）表示.
20．【答案】解：∵OC= CD = DE，
∴∠O =∠ODC， ∠DCE =∠DEC，
∴∠DCE =∠O +∠ODC =2∠O =50°，
∴∠DEC =∠DCE=50°，
∴∠BDE =∠0+∠DEC =25°+50°=75°.
【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质
【解析】【分析】本题主要考查等腰三角形的性质以及三角形外角定理的应用.根据“等边对等角”得到∠O =∠ODC， ∠DCE =∠DEC；结合三角形外角得到∠DEC=∠DCE=2∠O=50°；最后再次使用外角计算∠BDE=∠O+∠DEC=75°.
21．【答案】（1）解：如图所示， 即为所求；
的坐标分别为
（2）解：如图所示，即为所求.
的坐标分别为
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征；坐标与图形变化﹣对称；关于原点对称的点的坐标特征；坐标与图形变化﹣中心对称
【解析】【分析】本题主要考查平面直角坐标系中关于坐标轴和原点对称的点的坐标变化规律.关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数；关于原点对称，横、纵坐标均互为相反数.
（1）可先写出点A、B、C的坐标，根据坐标变化规律写出A1、B1、C1的坐标，在网格中描出点并且连线即可；
（2）根据A1、B1、C1的坐标写出A2、B2、C2的坐标，在网格中描出点并且连线即可.
22．【答案】（1）解：∵每增加一个凳子，叠在一起的凳子增加的高度是一样的，
∴叠放的凳子总高度h与凳子的数量n之间符合一次函数关系，
设h= kn+b，把(1， 45)， (2， 50)代入得： 解得
∴h与n的函数关系式为h=5n+40；
（2）解：根据题意得： 5n+40≤96，
解得n≤11.2，
∵n为整数，
∴最多能叠放11个
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的其他应用
【解析】【分析】本题主要考查一次函数在实际问题中的应用、待定系数法求函数解析式及一元一次不等式的整数解.
（1）根据题干“每增加一个凳子，叠在一起的凳子增加的高度是一样的”判断h与n是一次函数关系，设出函数解析式，选择表格中的两组数据代入，解二元一次方程组即可；
（2）根据“货架层高不超过96cm”可知h≤96，即5n+40≤96，解出n取整数即可.
23．【答案】（1）解：如图所示：
（2）解：连接AE，设CE=x，
∵在(1)的条件下，点 F是边AC的中点，
∴AE=CE，
∵AB=CE，
∴AB=AE=CE=x，
∵AD⊥BC，
∴D为BE的中点，
∵△ABC的周长为52， AC=20，
∴AB+BC=52-20=32，
∴CD=DE+CE=16-x+x=16.
【知识点】线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂线；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）尺规作图方法为：以点E为圆心，适当长为半径画弧，交AC于两点；再分别以这两点为圆心，大于两点距离一半的长为半径画弧，两弧交于一点；过点E和该交点作直线，与AC的交点即为F；
（2）根据（1）的条件，可得EF垂直平分AC，所以AE=EC，结合已知可得△ABE是等腰三角形，由等腰三角形“三线合一”推出点D是BE中点，因此根据△ABC的周长为52，AC=20可将DE用x表示，最后CD=DE+CE=16-x+x=16.
24．【答案】（1）60；80
（2）解：设王华该月主叫通话时间为t分钟，
∵王华某月按方式二计费需100元
∴(t-350)×0.25 +80 = 100
∴t=430
（3）解：当0方式一费用为50元，方式二费用为80元，因此方式一合算；
当150∵方式一计费<方式二计费
∴50+0.2×(t-150)<80，
∴150当t = 300时，一样合算
∵方式一计费>方式二计费
∴50+0.2×(t-150)>80
∴300当t>350时，
∵方式一计费<方式二计费
∴50+0.2×(t-150)<(t-350)×0.25 +80，
∴t>550时；方式一更合算
当t = 550时，一样合算
∵方式一计费>方式二计费
∴50+0.2×(t-150)>(t-350)×0.25 +80，
∴350综上所述：
0550时，选择方式一更合算.
300当t=300或550时，一样合算
【知识点】一元一次不等式的应用；一元一次方程的实际应用-计费问题
【解析】【解答】解：（1）①元；②由，因此费用为80元；
故答案为：60；80.
【分析】本题主要考查分段函数，结合函数性质解决问题.
（1）方式一：月使用费50元，主叫限定时间150分钟，超出50分钟，超时费0.2元/分钟，总费用为；方式二：月使用费80元，主叫限定时间350分钟，200分钟未超出，因此只需支付80元；
（2）王华按方式二计费100元，超过月使用费80元，说明主叫时间超过了350分钟.设主叫时间为t分钟，则超时部分为分钟，超时费为0.25元/分钟，列方程(t-350)×0.25+80=100求解即可；
（3）根据通话时间的不同范围，分别比较两种方式的费用.依据表格信息可分别得到时间t的分界点0350，在不同范围内分别讨论两种费用的大小，结合一元一次不等式求解.
25．【答案】（1）BD=DE
（2）证明： 如图2， 过点D作DF∥BC， 交AB于点F，
∴∠AFD =∠ABC=60°， ∠ADF=∠ACB=60°，
∴∠AFD =∠ADF=60°，
∴△AFD是等边三角形， ∴AD=DF=AF，
∵AB = AC，
∴AB-AF=AC-AD， ∴FB=CD，
∵AD =CE，
∴DF=CE，
又∵∠AFD =∠ACB=60°，
在△FBD和△CDE中，
∴△ FBD≌△CDE(SAS)，
∴DB = DE；
（3）解：只需要一种情况即可
①如图3，过点D 作BC的平行线，交BA的延长线于点 F，
由 (2) 得△ADF是等边三角形， ∠F =∠C=60°，
∴AD = DF = AF，
∵AB =AC，
∴AB + AF=AC + AD， ∴FB = CD，
∵AD =CE，
∴DF =CE，
在△FBD和△CDE中，
∴△FBD≌△CDE(SAS)，
∴DB=DE；
②如图4，过点D 作BC的平行线，交AB的延长线于点 F，
由(2)得△ADF是等边三角形， ∠F =∠ACB =∠DCE=60°，
∴AD=DF=AF，
∵AB =AC，
∴AF-AB =AD-AC， ∴FB =CD，
∵AD=CE，
∴DF =CE，
在△FBD和△CDE中，
∴△FBD≌△CDE(SAS)，
∴DB =DE；
（4）解：CA=CM+2CD
证明：过M作MF//AC交AB于F，
由(2)得ΔABC是等边三角形，ΔBMF是等边三角形，
∴BF=BM，AB=BC=AC
∴AB-BF=BC-BM， ∴AF =CM
∵∠AMC =∠AMN+∠NMC =∠MAF+∠B， ∠AMN = 60°=∠B =60°
∴∠NMC =∠MAF
∵CN是ΔABC外角平分线， ∴∠ACN =∠DCN =60°，
∴∠MCN =∠ACN +∠ACB =120°，∠AFM =180°-∠BFM =120°，
∴∠MCN =∠AFM
在ΔAFM与ΔMCN中，
∴△AFM≌△MCN(ASA)，
∴FM =CN =BM；
∵∠DCN =60°，∠NDC =90°，
∴CN =2CD =MB； ∴CA=CB=CM+MB=CM+2CD
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；等边三角形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形
∴∠ABC=∠ACB=60°
∵点D是AC中点
∴AD=CD，∠CBD=30°
∵AD=CE
∴CE=CD
∴∠E=∠EDC
∵∠ACB=∠E+∠EDC
∴2∠E=60°
∴∠E=∠CBD=30°
∴BD=DE.
【分析】（1）利用等边三角形性质“三线合一”得到∠CBD=30°；再结合AD=CE得到△ECD是等腰三角形，利用外角的性质得到∠E=30°，最后根据“等角对等边”可证BD=DE；
（2）根据提示作出辅助线，推出△ADF是等边三角形，进而根据等边三角形性质推出FB=CD，DF=CE，∠DFB=∠ECD，证明△FBD与△CDE全等，即可推出BD=DE；
（3）当点D在CA或AC的延长线上时，分两种情况证明：①当点D在CA的延长线上时，依然如第（2）问，作出平行线，根据△ADF是等边三角形推出△FBD与△CDE全等的条件即可证明；②当点D在AC的延长线上时，同①证明△FBD≌△CDE即可；
（4）作出辅助线过M作MF//AC交AB于F，利用△ABC与△BFM是等边三角形得到AF=CM；结合∠AMN=60°，得到∠NMC =∠MAF；结合CN是△ABC外角平分线，得到∠MCN =∠AFM，即可证明△AFM≌△MCN，推出FM=CN=BM，最后结合含30°的直角三角形得到2CD=MB，根据线段的和差关系即可得到CA=CM+2CD.
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