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广东清远市英德市2025--2026学年第二学期初中学业质量监测 七年级数学试卷
1．在2026年央视的春节晚会上，各种型号的机器人与演员们进行人机互动，为晚会增添了满满的科技感，其中某款机器人在微音乐剧节目中展示了高精度、高流畅的协同动作，其重复定位精度可达0.00002米.数据0.00002用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
2．下列事件中，是必然事件的是（　　）
A．掷一枚质地均匀的硬币，一定正面向上
B．车辆随机到达一个路口，遇到红灯
C．两直线平行，同旁内角互补
D．如果，那么
3．如图，直线，相交，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
4．为更好地激发学生的爱国主义情怀，学校建议学生利用假期时间观看《731》，《志愿军：浴血和平》，《南京照相馆》三部电影，霖霖同学从这三部电影中随机选择一部观看，他恰好选择看《731》电影的概率为（　　）
A． B． C． D．
5．下列运算错误的是（　　）
A． B． C． D．
6．如图，，，则，依据是（　　）
A．同位角相等，两直线平行 B．同旁内角互补，两直线平行
C．两直线平行，内错角相等 D．内错角相等，两直线平行
7．下表是某一项实验中结果出现的频率统计表（表中频率精确到0.01），请估计在一次实验中结果出现的概率为（结果保留小数点后一位）（　　）
试验次数 40 100 200 400 1000
频数 26 78 158 323 801
频率 0.65 0.78 0.79 0.81 0.80
A．0.6 B．0.7 C．0.8 D．0.9
8．如图，直线与相交于点，射线在内部，且于点．若平分，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
9．若，，则与的大小关系为（　　）
A． B．
C． D．与的大小由的取值而定
10．将一张长方形纸片折叠成如图所示图形，重叠部分是一个三角形，为折痕，若，则的度数为（　　）．
A． B． C． D．
11．若一个角的补角是，则这个角的度数是　 　．
12．计算：　 　．
13．自由转动如图所示的转盘（转盘被等分成6个扇形），当它停止时，指针落在阴影部分区域的概率为　 　．
14．如图，已知，，，则　 　．
15．如图，较大的正方形由个长方形和个较小的正方形拼成，由面积恒等关系可得　 　．
16．计算：．
17．计算式子的值：，其中．
18．已知：直线a和直线a外一点P，
（1）过点作直线的平行线．
（2）这种作法的依据是什么？
19．一个不透明的袋中有3个白球、4个黑球、6个红球，每个球除颜色外都相同．
（1）从中任意摸出一个球，摸到红球是_______事件，摸到黄球是_______事件；（填“不可能”“必然”或“随机”）
（2）从中任意摸出一个球，求摸到黑球的概率；
（3）现在再将若干个同样的黑球放入袋中，与原来13个球均匀混合在一起，使从袋中任意摸出一个球为黑球的概率为，请求出后来放入袋中的黑球个数．
20．篮球架及侧面示意图如图所示．若，，于点B，求的度数．由题意，可过点C作AB的平行线CM，请你补全依据和解题过程．
解：如图，过点C作，
∵，
∴（______），
∴（______），
∴，
∵，
∴（_______），
∵于点B，
∴（______），
∴，
∴_______（平角的定义）．
21．如图，直线、相交于点，过点作射线，作射线平分．
（1）若，求的度数；
（2）若的度数比的度数大，求的度数．
22．学习整式乘法时，老师拿出三种型号的卡片，如图①，A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是边长为b的正方形，C型卡片是长和宽分别为a，b的长方形．
（1）选取1张型卡片，2张型卡片，1张型卡片，在纸上按照图②的方式拼成一个边长为的大正方形，通过用不同方式表示大正方形的面积，可得到乘法公式 ；
（2）图③是由若干张三种卡片拼成的一个长方形，观察图形，可得 ；
（3）选取1张型卡片，4张型卡片按图④的方式不重叠地放在长方形框架内，已知的长度固定不变，的长度可以变化，图中两阴影部分(长方形)的面积分别表示为，若，且，则与有什么关系？请说明理由．
23．综合与实践：
【问题情境】
在综合与实践课上，同学们以“一个含的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动．如图1，已知两直线a，b且和直角，，，．
（1）在图1中，，求的度数；
【深入探究】
（2）如图2，创新小组的同学把直线a向上平移，并把的位置改变，发现，请说明理由；
【拓展应用】
（3）缜密小组在创新小组发现结论的基础上，将图2中的图形继续变化得到图3，平分，此时发现与又存在新的数量关系，请直接写出与的数量关系．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：．
故答案为：A.
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
2．【答案】C
【知识点】事件的分类；开平方（求平方根）；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：∵掷一枚质地均匀的硬币，可能正面向上，也可能反面向上，属于随机事件，
∴A选项不符合题意；
∵车辆随机到达一个路口，可能遇到红灯，也可能遇到绿灯，属于随机事件，
∴B选项不符合题意；
∵根据平行线的性质，两直线平行时，同旁内角一定互补，属于必然事件，
∴C选项符合题意；
∵若，可得或，不一定能得到，属于随机事件，
∴D选项不符合题意．
故答案为：C
【分析】根据必然事件：在一定条件下一定会发生的事件，符合题意的是C项.
3．【答案】B
【知识点】对顶角及其性质
【解析】【解答】解：由对顶角相等，得．
故答案为：B
【分析】对顶角相等得.
4．【答案】B
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：∵霖霖从三部电影中随机选择一部，共有3种等可能的结果，其中恰好选中《731》的结果只有1种，
∴所求概率为．
故答案为：B
【分析】找出所有等可能结果数是3和符合要求的结果数为1，在概率为.
5．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A ．，原运算正确，不符合题意；
B．，原运算正确，不符合题意；
C．，原运算错误，符合题意；
D．，原运算正确，不符合题意．
故答案为：C
【分析】计算错误.
6．【答案】D
【知识点】垂线的概念；内错角相等，两直线平行
【解析】【解答】解：∵，，
∴，，
∴，
又与是内错角，
∴（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：D
【分析】由垂直的定义得，，为内错角相等，由“内错角相等，两直线平行”，则．
7．【答案】C
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：∵ 试验次数较大时，频率稳定于概率，
由表可知，随着试验次数变大，频率稳定在，
故答案为：C．
【分析】根据频率估计概率的原理，当试验次数充分大时，频率稳定在概率附近，观察表中频率值随着试验次数增加，频率的趋近0.8，则概率为0.8．
8．【答案】D
【知识点】垂线的概念；对顶角及其性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵
∴
∵平分，
∴
∴．
故答案为：D
【分析】由垂直定义得，平分，由角平分线的定义得
9．【答案】A
【知识点】整式的大小比较
【解析】【解答】解：∵，，
∴
，
∴．
故答案为：A
【分析】=15，即M＞N．
10．【答案】D
【知识点】角的运算；平行线的判定与性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：由题意知，
，，
，
，
，
．
故选：D．
【分析】根据折叠性质可得，根据直线平行判定定理及角之间的关系即可求出答案.
11．【答案】116
【知识点】补角
【解析】【解答】解：设这个角为，根据补角的定义，有，解得．
故答案为：．
【分析】设这个角为，则，解得x=116°．
12．【答案】
【知识点】多项式除以单项式
【解析】【解答】解：．
【分析】多项式除以单项式等于多项式的每一项除以单项式，再把商相加，结果为.
13．【答案】
【知识点】几何概率；概率公式
【解析】【解答】解：∵转盘被等分成个相同的扇形，阴影部分区域占据了其中的个扇形，
∴指针落在阴影部分区域的概率．
故答案为：
【分析】转盘被等分成个相同的扇形，阴影部分区域占据了其中的个扇形，则阴影部分所在概率为.
14．【答案】135
【知识点】平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：∵，
∴，，
∵，
∴，
故答案为：135．
【分析】由，两直线平行，同位角相等，得，两直线平行，同旁内角互补，由，则．
15．【答案】
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：个长方形和个较小的正方形面积和为：
，
故答案为：
【分析】把个长方形和个较小的正方形的面积相加并合并同类项，表示为．
16．【答案】解：原式
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；有理数的加、减混合运算；有理数的乘方法则
【解析】【分析】分别计算有理数的乘方（-1）2026=1，负整数指数幂2-1=，零指数幂（π-3）0=1，再算加减结果为 .
17．【答案】解：
，
∵，
∴．
【知识点】平方差公式及应用；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】根据平方差公式去括号，合并同类项化简为2a2， 代入2a2计算结果为．
18．【答案】（1）解：如图所示：
（2）解：根据作图过程，得出，故，
∴这种作法的依据是同位角相等，两直线平行．
【知识点】作图-平行线；尺规作图-作一个角等于已知角；同位角相等，两直线平行
【解析】【分析】（1）以点为圆心，以适当长度为半径画弧，分别交直线a于点C，交直线于点D，再以点P为圆心，以为半径画弧，交直线于点E，再以点E为圆心，为半径画弧，与前弧交于点A，连接，且所在的直线即为直线b，
．
（2）根据作图过程，得，故，依据是同位角相等，两直线平行．
（1）解：如图所示：
（2）解：根据作图过程，得出，
故，
∴这种作法的依据是同位角相等，两直线平行．
19．【答案】（1）随机；不可能
（2）解：从中任意摸出一个球，摸到黑球的概率为．
答：摸到黑球的概率为．
（3）解：设后来放入袋中的黑球个数为x个，则袋子中黑球的个数为个，球的总数量为个，
依题意，得，
解得．
答：后来放入袋中的黑球个数为5．
【知识点】解一元一次方程；事件的分类；概率公式；简单事件概率的计算
【解析】【解答】（1）解：∵不透明的袋中有3个白球、4个黑球、6个红球，每个球除颜色外都相同，
∴从中任意摸出一个球，摸到红球是随机事件；摸到黄球是不可能事件，
故答案为：随机；不可能．
【分析】（1）根据随机事件和不可能事件的定义，得摸到红球是随机事件；摸到黄球是不可能事件，；
（2）利用黑球的数量除以袋子中球的总数量概率为 ；
（3）设后来放入袋中的黑球个数为x个，则袋子中黑球的个数为个，球的总数量为个，则， 解得x=5.
（1）解：∵不透明的袋中有3个白球、4个黑球、6个红球，每个球除颜色外都相同，
∴从中任意摸出一个球，摸到红球是随机事件；摸到黄球是不可能事件，
故答案为：随机；不可能．
（2）从中任意摸出一个球，摸到黑球的概率为．
答：摸到黑球的概率为．
（3）设后来放入袋中的黑球个数为x个，则袋子中黑球的个数为个，球的总数量为个，
依题意，得，
解得．
答：后来放入袋中的黑球个数为5．
20．【答案】解：如图，过点C作，
∵，
∴（平行于同一条直线的两条直线平行），
∴（两直线平行，同旁内角互补），
∴，
∵，
∴（两直线平行，内错角相等），
∵于点B，
∴（垂直的定义），
∴，
∴（平角的定义）
【知识点】垂线的概念；平行线的应用-求角度；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【分析】如图，过点C作，
则平行于同一条直线的两条直线平行，两直线平行，同旁内角互补，两直线平行，内错角相等，垂直的定义，平角的定义得.
21．【答案】（1）解：，
，
平分，
，
，
；
（2）解：的度数比的度数大，
，
由（1）得，
，
．
【知识点】角的运算；垂线的概念；对顶角及其性质；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）垂直的定义得，由角平分线的定义得，得；
（2）根据题意得，根据平角得，由对顶角相等得．
（1）解：，
，
平分，
，
，
；
（2）解：的度数比的度数大，
，
由（1）得，
，
．
22．【答案】（1）
（2）
（3）解：，理由如下：设长为，
，，
，
∵，
∴，即．
【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式的几何背景；用代数式表示几何图形的数量关系
【解析】【解答】（1）解：方法1：大正方形的面积为，
方法2：图②中四部分的面积和为：，
因此有；
（2）解：由图可知：图③是1张A，6张B，5张C三种卡片拼成的一个长方形，且长方形的长和宽分别为和，
∴；【分析】（1）用两种方法表示图②的面积，得公式；
（2）由图可知：图③是1张A，6张B，5张C三种卡片拼成的一个长方形，且长方形的长和宽分别为和，则；
（3）设长为，则，，则，即．
（1）解：方法1：大正方形的面积为，
方法2：图②中四部分的面积和为：，
因此有；
（2）解：由图可知：图③是1张A，6张B，5张C三种卡片拼成的一个长方形，且长方形的长和宽分别为和，
∴；
（3）解：，理由如下：
设长为，
，，
，
∵，
∴，即．
23．【答案】解：（1）∵，
，
∵，
；
（2）理由如下：
过点作．如图所示：
则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）
【知识点】角平分线的概念；平行线的应用-三角尺问题；平行公理的推论
【解析】【解答】解：（3），理由如下：
过点作，如图所示：
平分，
，
又，
，
，
，
又，
，
．
【分析】（1）根据补角可得∠3，再根据直线平行性质即可求出答案.
（2）过点作，根据直线平行性质，结合角之间的关系即可求出答案.
（3）过点作，根据角平分线定义可得，再根据直线平行性质，结合角之间的关系即可求出答案.
1 / 1广东清远市英德市2025--2026学年第二学期初中学业质量监测 七年级数学试卷
1．在2026年央视的春节晚会上，各种型号的机器人与演员们进行人机互动，为晚会增添了满满的科技感，其中某款机器人在微音乐剧节目中展示了高精度、高流畅的协同动作，其重复定位精度可达0.00002米.数据0.00002用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：．
故答案为：A.
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
2．下列事件中，是必然事件的是（　　）
A．掷一枚质地均匀的硬币，一定正面向上
B．车辆随机到达一个路口，遇到红灯
C．两直线平行，同旁内角互补
D．如果，那么
【答案】C
【知识点】事件的分类；开平方（求平方根）；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：∵掷一枚质地均匀的硬币，可能正面向上，也可能反面向上，属于随机事件，
∴A选项不符合题意；
∵车辆随机到达一个路口，可能遇到红灯，也可能遇到绿灯，属于随机事件，
∴B选项不符合题意；
∵根据平行线的性质，两直线平行时，同旁内角一定互补，属于必然事件，
∴C选项符合题意；
∵若，可得或，不一定能得到，属于随机事件，
∴D选项不符合题意．
故答案为：C
【分析】根据必然事件：在一定条件下一定会发生的事件，符合题意的是C项.
3．如图，直线，相交，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】对顶角及其性质
【解析】【解答】解：由对顶角相等，得．
故答案为：B
【分析】对顶角相等得.
4．为更好地激发学生的爱国主义情怀，学校建议学生利用假期时间观看《731》，《志愿军：浴血和平》，《南京照相馆》三部电影，霖霖同学从这三部电影中随机选择一部观看，他恰好选择看《731》电影的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：∵霖霖从三部电影中随机选择一部，共有3种等可能的结果，其中恰好选中《731》的结果只有1种，
∴所求概率为．
故答案为：B
【分析】找出所有等可能结果数是3和符合要求的结果数为1，在概率为.
5．下列运算错误的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A ．，原运算正确，不符合题意；
B．，原运算正确，不符合题意；
C．，原运算错误，符合题意；
D．，原运算正确，不符合题意．
故答案为：C
【分析】计算错误.
6．如图，，，则，依据是（　　）
A．同位角相等，两直线平行 B．同旁内角互补，两直线平行
C．两直线平行，内错角相等 D．内错角相等，两直线平行
【答案】D
【知识点】垂线的概念；内错角相等，两直线平行
【解析】【解答】解：∵，，
∴，，
∴，
又与是内错角，
∴（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：D
【分析】由垂直的定义得，，为内错角相等，由“内错角相等，两直线平行”，则．
7．下表是某一项实验中结果出现的频率统计表（表中频率精确到0.01），请估计在一次实验中结果出现的概率为（结果保留小数点后一位）（　　）
试验次数 40 100 200 400 1000
频数 26 78 158 323 801
频率 0.65 0.78 0.79 0.81 0.80
A．0.6 B．0.7 C．0.8 D．0.9
【答案】C
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：∵ 试验次数较大时，频率稳定于概率，
由表可知，随着试验次数变大，频率稳定在，
故答案为：C．
【分析】根据频率估计概率的原理，当试验次数充分大时，频率稳定在概率附近，观察表中频率值随着试验次数增加，频率的趋近0.8，则概率为0.8．
8．如图，直线与相交于点，射线在内部，且于点．若平分，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】垂线的概念；对顶角及其性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵
∴
∵平分，
∴
∴．
故答案为：D
【分析】由垂直定义得，平分，由角平分线的定义得
9．若，，则与的大小关系为（　　）
A． B．
C． D．与的大小由的取值而定
【答案】A
【知识点】整式的大小比较
【解析】【解答】解：∵，，
∴
，
∴．
故答案为：A
【分析】=15，即M＞N．
10．将一张长方形纸片折叠成如图所示图形，重叠部分是一个三角形，为折痕，若，则的度数为（　　）．
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】角的运算；平行线的判定与性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：由题意知，
，，
，
，
，
．
故选：D．
【分析】根据折叠性质可得，根据直线平行判定定理及角之间的关系即可求出答案.
11．若一个角的补角是，则这个角的度数是　 　．
【答案】116
【知识点】补角
【解析】【解答】解：设这个角为，根据补角的定义，有，解得．
故答案为：．
【分析】设这个角为，则，解得x=116°．
12．计算：　 　．
【答案】
【知识点】多项式除以单项式
【解析】【解答】解：．
【分析】多项式除以单项式等于多项式的每一项除以单项式，再把商相加，结果为.
13．自由转动如图所示的转盘（转盘被等分成6个扇形），当它停止时，指针落在阴影部分区域的概率为　 　．
【答案】
【知识点】几何概率；概率公式
【解析】【解答】解：∵转盘被等分成个相同的扇形，阴影部分区域占据了其中的个扇形，
∴指针落在阴影部分区域的概率．
故答案为：
【分析】转盘被等分成个相同的扇形，阴影部分区域占据了其中的个扇形，则阴影部分所在概率为.
14．如图，已知，，，则　 　．
【答案】135
【知识点】平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：∵，
∴，，
∵，
∴，
故答案为：135．
【分析】由，两直线平行，同位角相等，得，两直线平行，同旁内角互补，由，则．
15．如图，较大的正方形由个长方形和个较小的正方形拼成，由面积恒等关系可得　 　．
【答案】
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：个长方形和个较小的正方形面积和为：
，
故答案为：
【分析】把个长方形和个较小的正方形的面积相加并合并同类项，表示为．
16．计算：．
【答案】解：原式
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；有理数的加、减混合运算；有理数的乘方法则
【解析】【分析】分别计算有理数的乘方（-1）2026=1，负整数指数幂2-1=，零指数幂（π-3）0=1，再算加减结果为 .
17．计算式子的值：，其中．
【答案】解：
，
∵，
∴．
【知识点】平方差公式及应用；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】根据平方差公式去括号，合并同类项化简为2a2， 代入2a2计算结果为．
18．已知：直线a和直线a外一点P，
（1）过点作直线的平行线．
（2）这种作法的依据是什么？
【答案】（1）解：如图所示：
（2）解：根据作图过程，得出，故，
∴这种作法的依据是同位角相等，两直线平行．
【知识点】作图-平行线；尺规作图-作一个角等于已知角；同位角相等，两直线平行
【解析】【分析】（1）以点为圆心，以适当长度为半径画弧，分别交直线a于点C，交直线于点D，再以点P为圆心，以为半径画弧，交直线于点E，再以点E为圆心，为半径画弧，与前弧交于点A，连接，且所在的直线即为直线b，
．
（2）根据作图过程，得，故，依据是同位角相等，两直线平行．
（1）解：如图所示：
（2）解：根据作图过程，得出，
故，
∴这种作法的依据是同位角相等，两直线平行．
19．一个不透明的袋中有3个白球、4个黑球、6个红球，每个球除颜色外都相同．
（1）从中任意摸出一个球，摸到红球是_______事件，摸到黄球是_______事件；（填“不可能”“必然”或“随机”）
（2）从中任意摸出一个球，求摸到黑球的概率；
（3）现在再将若干个同样的黑球放入袋中，与原来13个球均匀混合在一起，使从袋中任意摸出一个球为黑球的概率为，请求出后来放入袋中的黑球个数．
【答案】（1）随机；不可能
（2）解：从中任意摸出一个球，摸到黑球的概率为．
答：摸到黑球的概率为．
（3）解：设后来放入袋中的黑球个数为x个，则袋子中黑球的个数为个，球的总数量为个，
依题意，得，
解得．
答：后来放入袋中的黑球个数为5．
【知识点】解一元一次方程；事件的分类；概率公式；简单事件概率的计算
【解析】【解答】（1）解：∵不透明的袋中有3个白球、4个黑球、6个红球，每个球除颜色外都相同，
∴从中任意摸出一个球，摸到红球是随机事件；摸到黄球是不可能事件，
故答案为：随机；不可能．
【分析】（1）根据随机事件和不可能事件的定义，得摸到红球是随机事件；摸到黄球是不可能事件，；
（2）利用黑球的数量除以袋子中球的总数量概率为 ；
（3）设后来放入袋中的黑球个数为x个，则袋子中黑球的个数为个，球的总数量为个，则， 解得x=5.
（1）解：∵不透明的袋中有3个白球、4个黑球、6个红球，每个球除颜色外都相同，
∴从中任意摸出一个球，摸到红球是随机事件；摸到黄球是不可能事件，
故答案为：随机；不可能．
（2）从中任意摸出一个球，摸到黑球的概率为．
答：摸到黑球的概率为．
（3）设后来放入袋中的黑球个数为x个，则袋子中黑球的个数为个，球的总数量为个，
依题意，得，
解得．
答：后来放入袋中的黑球个数为5．
20．篮球架及侧面示意图如图所示．若，，于点B，求的度数．由题意，可过点C作AB的平行线CM，请你补全依据和解题过程．
解：如图，过点C作，
∵，
∴（______），
∴（______），
∴，
∵，
∴（_______），
∵于点B，
∴（______），
∴，
∴_______（平角的定义）．
【答案】解：如图，过点C作，
∵，
∴（平行于同一条直线的两条直线平行），
∴（两直线平行，同旁内角互补），
∴，
∵，
∴（两直线平行，内错角相等），
∵于点B，
∴（垂直的定义），
∴，
∴（平角的定义）
【知识点】垂线的概念；平行线的应用-求角度；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【分析】如图，过点C作，
则平行于同一条直线的两条直线平行，两直线平行，同旁内角互补，两直线平行，内错角相等，垂直的定义，平角的定义得.
21．如图，直线、相交于点，过点作射线，作射线平分．
（1）若，求的度数；
（2）若的度数比的度数大，求的度数．
【答案】（1）解：，
，
平分，
，
，
；
（2）解：的度数比的度数大，
，
由（1）得，
，
．
【知识点】角的运算；垂线的概念；对顶角及其性质；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）垂直的定义得，由角平分线的定义得，得；
（2）根据题意得，根据平角得，由对顶角相等得．
（1）解：，
，
平分，
，
，
；
（2）解：的度数比的度数大，
，
由（1）得，
，
．
22．学习整式乘法时，老师拿出三种型号的卡片，如图①，A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是边长为b的正方形，C型卡片是长和宽分别为a，b的长方形．
（1）选取1张型卡片，2张型卡片，1张型卡片，在纸上按照图②的方式拼成一个边长为的大正方形，通过用不同方式表示大正方形的面积，可得到乘法公式 ；
（2）图③是由若干张三种卡片拼成的一个长方形，观察图形，可得 ；
（3）选取1张型卡片，4张型卡片按图④的方式不重叠地放在长方形框架内，已知的长度固定不变，的长度可以变化，图中两阴影部分(长方形)的面积分别表示为，若，且，则与有什么关系？请说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）解：，理由如下：设长为，
，，
，
∵，
∴，即．
【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式的几何背景；用代数式表示几何图形的数量关系
【解析】【解答】（1）解：方法1：大正方形的面积为，
方法2：图②中四部分的面积和为：，
因此有；
（2）解：由图可知：图③是1张A，6张B，5张C三种卡片拼成的一个长方形，且长方形的长和宽分别为和，
∴；【分析】（1）用两种方法表示图②的面积，得公式；
（2）由图可知：图③是1张A，6张B，5张C三种卡片拼成的一个长方形，且长方形的长和宽分别为和，则；
（3）设长为，则，，则，即．
（1）解：方法1：大正方形的面积为，
方法2：图②中四部分的面积和为：，
因此有；
（2）解：由图可知：图③是1张A，6张B，5张C三种卡片拼成的一个长方形，且长方形的长和宽分别为和，
∴；
（3）解：，理由如下：
设长为，
，，
，
∵，
∴，即．
23．综合与实践：
【问题情境】
在综合与实践课上，同学们以“一个含的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动．如图1，已知两直线a，b且和直角，，，．
（1）在图1中，，求的度数；
【深入探究】
（2）如图2，创新小组的同学把直线a向上平移，并把的位置改变，发现，请说明理由；
【拓展应用】
（3）缜密小组在创新小组发现结论的基础上，将图2中的图形继续变化得到图3，平分，此时发现与又存在新的数量关系，请直接写出与的数量关系．
【答案】解：（1）∵，
，
∵，
；
（2）理由如下：
过点作．如图所示：
则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）
【知识点】角平分线的概念；平行线的应用-三角尺问题；平行公理的推论
【解析】【解答】解：（3），理由如下：
过点作，如图所示：
平分，
，
又，
，
，
，
又，
，
．
【分析】（1）根据补角可得∠3，再根据直线平行性质即可求出答案.
（2）过点作，根据直线平行性质，结合角之间的关系即可求出答案.
（3）过点作，根据角平分线定义可得，再根据直线平行性质，结合角之间的关系即可求出答案.
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