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广东省广州市越秀区2026年九年级中考二模数学试卷
1． 2026 年 4 月，国际能源署（IEA)发布报告指出，全球 AI数据中心的年度总耗电量已突破950 000 000 000千瓦时，将数950 000 000 000 用科学记数法表示为 （　　)
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：．
故答案为：C.
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
2．如图，是某几何体的三视图，则该几何体为（　　）
A．三棱锥 B．三棱柱 C．四棱锥 D．四棱柱
【答案】B
【知识点】由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：俯视图反映几何体的底面形状，本题中俯视图为三角形，说明该几何体的底面是三角形；主视图和左视图均为矩形，说明该几何体的侧面是矩形。底面为三角形且侧面为矩形的几何体是三棱柱。
故答案为：B
【分析】本题考查由三视图还原几何体。三视图中，俯视图体现几何体的底面轮廓，主视图和左视图体现几何体的侧面特征。解题时需结合三种视图的信息综合判断，排除不符合特征的选项：三棱锥的三视图均为三角形，四棱锥的俯视图为四边形，四棱柱的俯视图为四边形，均与本题三视图不符。
3．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式的加减法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、合并同类项时，只把系数相加，字母和指数不变，因此，A错误；
B、积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，因此，B错误；
C、与不是同类二次根式，被开方数不同，不能直接合并，C错误；
D、先将二次根式化为最简形式，再合并同类二次根式，，D正确。
故答案为：D
【分析】本题考查整式与二次根式的基本运算，需熟练掌握各类运算的法则，逐一验证选项。合并同类项、积的乘方是整式运算的基础，二次根式加减的核心是先化简再合并同类二次根式，非同类二次根式不能直接合并。
4．为了解某校开展劳动教育的情况，组织人员进行了调查，调查发现8名同学每周做家务的天数（单位：天）依次为3，5，6，7，5，6，5，4，则这组数据的众数和中位数分别为（　　）
A．5和5 B．7和5 C．5和7 D．6和5
【答案】A
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：将数据3，5，6，7，5，6，5，4从小到大重新排列为：3，4，5，5，5，6，6，7。
众数是一组数据中出现次数最多的数据，5在这组数据中出现了3次，出现次数最多，因此众数为5。
中位数是将数据排序后最中间的数，若数据个数为偶数，则取中间两个数的平均数。这组数据共8个，中位数为第4个和第5个数的平均数，即。
故答案为：A
【分析】本题考查众数和中位数的定义。求众数时无需排序，直接统计每个数据出现的次数即可；求中位数时必须先将数据按从小到大或从大到小的顺序排列，再根据数据个数的奇偶性计算中位数。
5．不等式组的解集为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：解不等式，移项得，两边同时除以2得
解不等式，移项得，两边同时乘以-1，不等号方向改变，得
根据“同大取大”的原则，两个不等式解集的公共部分为
故答案为：B
【分析】本题考查一元一次不等式组的解法。解题步骤为：先分别求出每个不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”的口诀确定不等式组的解集。注意解不等式时，两边同时乘以或除以负数，不等号方向必须改变。
6．如图，，，．则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的性质；三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵，
∴（两直线平行，同位角相等）。
∵，
∴（等边对等角）。
又∵是的外角，
∴，
∴。
故答案为：C
【分析】本题综合考查平行线的性质、等腰三角形的性质和三角形外角定理。首先利用平行线的同位角相等得到的度数，再根据等腰三角形等边对等角得出，最后结合三角形外角等于不相邻两个内角之和，推导出与的数量关系，从而求出的度数。
7．如图，的周长为，与相交于点，交于，则的周长为（　　）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，，（平行四边形对边相等，对角线互相平分）。
∵平行四边形ABCD的周长为16，
∴，即。
∵且，
∴OE是线段AC的垂直平分线，
∴（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）。
∴的周长为。
故答案为：C
【分析】本题考查平行四边形和线段垂直平分线的性质。解题的关键是利用线段垂直平分线的性质进行线段等量代换，将的周长转化为的长。平行四边形的周长等于两组对边之和，因此可直接求出的值，无需分别求出AD和CD的长度。
8．现有四张形状完全相同的卡片，卡片上面分别画有线段，等边三角形，平行四边形，圆，现将画有图形的一面朝下，混合均匀后从中随机抽取两张，则抽到的卡片图形都是中心对称图形的概率为（　　）
A． B． C．1 D．
【答案】D
【知识点】中心对称及中心对称图形；概率公式
【解析】【解答】解：根据中心对称图形的定义，四个图形中，线段、平行四边形、圆是中心对称图形，等边三角形不是中心对称图形，
将四个图形分别记为(线段)，(等边三角形)，(平行四边形)，(圆)，
列表如下：
由表可知，共有12种等可能的结果，其中抽到的两张卡片都是中心对称图形的结果有(A，C)、(A，D)、(C，A)、(C，D)、(D，A)、(D，C)，共6种。
因此所求概率为。
故答案为：D
【分析】本题考查中心对称图形的概念和用列表法求概率。首先根据中心对称图形的定义（绕某点旋转180°后能与自身重合的图形）判断出四个图形中的中心对称图形，再通过列表法列举出所有等可能的抽取结果，最后根据概率公式计算概率。注意抽取两张卡片是不放回抽样，因此总结果数为种。
9．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，且，则一次函数的图象一定不经过（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简；一元二次方程根的判别式及应用；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴根的判别式，
即，化简得，解得。
∵，
∴，解得。
综上，k的取值范围是。
对于一次函数，
∵，∴斜率，截距。
一次函数斜率为负、截距为正时，图象经过第一、二、四象限，一定不经过第三象限。
故答案为：C
【分析】本题综合考查一元二次方程根的判别式、二次根式的性质和一次函数的图象性质。首先根据一元二次方程有两个不相等实数根的条件求出k的上限，再根据二次根式的性质求出k的下限，确定k的取值范围。最后根据一次函数斜率和截距的符号，判断其图象经过的象限：斜率负、截距正，图象过一、二、四象限；斜率负、截距负，图象过二、三、四象限；斜率正、截距正，图象过一、二、三象限；斜率正、截距负，图象过一、三、四象限。
10．如图，边长为4的正六边形的中心与原点O重合，顶点C，F在x轴上，将正六边形绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第2026次旋转结束时，点A的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理；探索数与式的规律；正多边形的性质；解直角三角形—边角关系；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：∵每次旋转，而，
∴旋转8次为一个完整的循环周期。
∵，
∴第2026次旋转结束时，点A的位置与第2次旋转结束时的位置相同，即相当于将初始位置的点A绕原点O顺时针旋转
∵六边形ABCDEF是边长为4的正六边形，
∴中心角为，且
初始位置时，点C在x轴正半轴上，
顺时针旋转后，，点A'位于第一象限
过点A'作轴于点H，在中，
，
∴点A'的坐标为，即第2026次旋转结束时点A的坐标为
故答案为：B
【分析】本题考查正六边形的性质、旋转的周期性和平面直角坐标系中点的坐标变化。首先根据旋转角度求出循环周期，通过计算2026除以周期的余数，确定点A最终的旋转角度。再利用正六边形的中心角为60°，求出初始时点A与x轴的夹角，进而得到旋转后点A与x轴的夹角。最后通过解直角三角形，利用三角函数求出旋转后点A的横、纵坐标。
11．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：分式有意义的条件是分母不为0，二次根式有意义的条件是被开方数为非负数。
∵式子在实数范围内有意义，
∴且，即，
解得
故答案为：
【分析】本题考查分式与二次根式有意义的条件。本题中分母是二次根式，因此需要同时满足两个条件：一是被开方数非负，二是分母不为0。综合这两个条件可得被开方数必须大于0，据此列出不等式求解即可。
12．分式方程的解为　 　．
【答案】
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：分式方程的最简公分母为
方程两边同时乘以，去分母得：
，
去括号得：，
移项合并同类项得：
检验：当时，，
因此是原分式方程的解
故答案为：
【分析】本题考查分式方程的解法。解分式方程的核心是将分式方程转化为整式方程，步骤为：确定最简公分母、方程两边同乘最简公分母去分母、解整式方程、检验。检验是解分式方程必不可少的步骤，因为去分母过程中可能会产生增根，即使得最简公分母为0的根.
13．如图，与位似，点O为位似中心，已知，则与的面积比为 　 　．
【答案】
【知识点】位似变换；位似图形的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴
∵与位似，点O为位似中心
∴与的位似比等于，即相似比为
∵相似三角形的面积比等于相似比的平方，
∴与的面积比为
故答案为：
【分析】本题考查位似图形的性质和相似三角形的面积比。位似图形是特殊的相似图形，位似比等于对应点到位似中心的距离之比，也等于相似比。相似三角形的面积比等于相似比的平方，周长比等于相似比。解题时需注意区分线段比和位似比。
14．已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示，如果以此蓄电池为电源的用电器的限制电流I不能超过10A，那么用电器可变电阻R应控制的范围是　 　．
【答案】
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：由图象，设，
把代入，得：，
∴，
当时，，
∵随着的增大而减小，
∴如果以此器电池为电源的用电器的限制电流I不能超过10A时，；
故答案为：．
【分析】根据题意设，进而将代入求出k，从而即可求解。
15．如图，四边形内接于，已知的半径为，，若，则劣弧的长是　 　．
【答案】
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质；弧长的计算
【解析】【解答】解：连接OA、OB、OC，
∵四边形ABCD内接于，
∴（圆内接四边形对角互补）
∵，
∴
∴（圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半）
∴
∵，
∴（等弧所对的圆心角相等）
∴
根据弧长公式（其中n为圆心角度数，r为半径），劣弧的长为：
故答案为：
【分析】本题综合考查圆内接四边形的性质、圆周角定理和弧长公式。首先利用圆内接四边形对角互补求出的度数，再根据圆周角定理求出的度数。结合等弧所对的圆心角相等，求出劣弧BC所对的圆心角的度数，最后代入弧长公式计算即可。
16．如图，折叠矩形的一边，使点D落在边的点F处，已知折痕，且．
（1）矩形的面积是　 　；
（2）作与四边形各边都相切的，点P在上运动，则的最小值是　 　．
【答案】（1）80
（2）
【知识点】勾股定理；矩形的性质；切线的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：(1)在矩形ABCD中，，，。
由折叠的性质可知，
∴，，
∴
又∵，∴，
∴（同角的余角相等）。
在中，，
设，，则
∴，
在中，，
∴，
∴
在中，由勾股定理得：
，即，
解得（负值舍去）
∴，，矩形ABCD的面积为
故答案为：80
(2) 设与AD、DE分别相切于点G、H，连接OG、OH，设的半径为r，
则，，
∵，∴四边形OGDH是正方形，
∴，。
∴，
∴，即，解得
∵，∴，
∴
连接OP，在OA上取点M，使，
则，，
∴
又∵，∴
∴，即
∴
当B、P、M三点共线时，取得最小值，最小值为BM的长度
过点M作于点N，则，
∴，∴
又∵，∴
∴
∵
∴，
解得，
∴
在中，由勾股定理得：
∴的最小值为
故答案为：
【分析】本题是矩形折叠与阿氏圆最值的综合题，考查矩形性质、折叠性质、三角函数、勾股定理、相似三角形和圆的性质。
（1） 利用折叠的全等性质和同角的余角相等，推出，结合三角函数设未知数表示各边长度，再通过勾股定理列方程求解矩形的长和宽；
（2）先求出四边形ADEF的内切圆半径，再通过构造相似三角形将转化为，利用两点之间线段最短确定最小值为BM，最后通过相似三角形和勾股定理求出BM的长度。
17．解方程组：
【答案】解：
，得，
解得.
将代入①，得，
解得，
原方程组的解为．
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】本题考查二元一次方程组的解法，常用方法有代入消元法和加减消元法。
（1）本题中两个方程x的系数相同，适合使用加减消元法，将两个方程相减消去x，先求出y的值；
（2）再将求出的y的值代入第一个方程，求出x的值，即可得到方程组的解。
18．如图，是的直径，弦，垂足为P，连接，，求证：．
【答案】证明： ∵是的直径，弦，垂足为P，
∴，，
∴，
在和中，，，
∴
【知识点】垂径定理；圆周角定理；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】本题考查相似三角形的判定、垂径定理和圆周角定理。根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦所对的弧，可得；根据圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，可得；再结合CD⊥AB得到的，利用“两角分别相等的两个三角形相似”即可证明结论。
19．已知：
（1）化简A；
（2）从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求A的值．
条件①：若点是反比例函数图象上的点；
条件②：若a是方程的一个根．
【答案】（1）解：
；
（2）解：①点是反比例函数图象上的点，
∴，
∴；
②是方程的一个根，
∴，
∴，
∴；
【知识点】一元二次方程的根；反比例函数图象上点的坐标特征；分式的化简求值-其他方法
【解析】【分析】本题考查分式的化简求值，涉及平方差公式、通分、反比例函数和一元二次方程的解。
（1）先利用平方差公式分解，找出两个分式的最简公分母进行通分，再根据同分母分式减法法则计算，最后约分得到最简结果；
（2）条件①根据反比例函数图象上点的坐标满足解析式，将点P代入可得；条件②根据一元二次方程解的定义，将a代入方程整理后也可得，最后将整体代入化简后的式子计算即可。
20．如图，在矩形中，对角线与相交于点O．
（1）尺规作图：作点O关于的对称点E（保留作图痕迹，不写作法）．
（2）在（1）所作的图中，连接，，求证：四边形是菱形．
【答案】（1）解：如图，点E即为所求：
（2）证明：∵在矩形中，对角线与相交于点O，
∴，
由作图可知，，
∴，
∴四边形是菱形
【知识点】菱形的判定；矩形的性质；作图﹣轴对称
【解析】【分析】本题考查尺规作图作轴对称点和菱形的判定，同时涉及矩形的性质。
（1）作点O关于BC的对称点，可分别以B、C为圆心，OB长为半径作弧，两弧在BC下方的交点即为点E；
（2）首先根据矩形对角线相等且互相平分的性质，可得；再根据轴对称的性质，对称点到对称轴两端的距离相等，可得，，从而得到，根据“四条边相等的四边形是菱形”即可证明结论。
21．近年来，“青少年视力健康”受到社会的广泛关注．某校综合实践小组为了解该校学生的视力健康状况，从全校学生中随机抽取部分学生进行视力调查．根据调查结果和视力有关标准，绘制了两幅不完整的统计图．请根据图中信息解答下列问题：
（1）本次抽样调查的样本容量为　 　，并补全条形统计图；
（2）扇形统计图中“高度近视”对应的扇形的圆心角的大小是　 　；
（3）若该校共有学生2000人，请估计该校学生中视力不正常的学生人数．
【答案】（1）解：200，补全条形统计图如下：
（2）
（3）解：（人），
答：估计该校学生中视力不正常的学生人数为1100人．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）（人），
即本次抽样调查的样本容量为200；
“中度近视”的人数：（人），
“高度近视”的人数：（人），
（2）“高度近视”对应的扇形的圆心角的度数为：；
【分析】本题考查条形统计图和扇形统计图的综合应用，涉及样本容量、圆心角计算和用样本估计总体。
（1）用“视力正常”的人数除以其对应的百分比，即可得到样本容量；再用样本容量乘以“中度近视”的百分比得到中度近视人数，用样本容量减去其他三类人数得到高度近视人数，进而补全条形统计图；
（2）用“高度近视”的人数除以样本容量，再乘以，得到对应的圆心角度数；
（3）用全校总人数乘以样本中视力不正常人数的占比，即可估计出全校视力不正常的学生人数。
22．端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．端午节前夕，某公司准备购买一批粽子礼盒作为福利，了解到有A、B两家超市可供选择，此款礼盒在A、B两家超市售价均为元/盒，为了促销两家超市给出了不同的优惠方案：
A超市：打折出售；
B超市：盒以内（含盒）不打折，超过盒后，超过的部分打折．
该公司计划购买这款粽子礼盒盒，设去A超市购买应付元，去B超市购买应付元．
（1）分别求出，与之间的函数关系式；
（2）若该公司只在一家超市购买，你认为在哪家超市购买更划算？为什么？
【答案】（1）解：礼盒在A超市售价为元/盒，打折出售，
（，且为整数）；
礼盒在B超市售价为元/盒，盒以内（含盒）不打折，超过盒后，超过的部分打折，
当时，；
当时，；
；
（2）解：由（1）中（，且为整数）；，
当时，恒成立；
当时，
．当时，解得；
． ，解得；
．，解得；
综上所述，当购买粽子礼盒少于盒时，在A超市购买更划算；当购买盒时，在A、B两家超市购买费用相同；当购买多于盒时，在B超市购买更划算．
【知识点】一次函数的实际应用-方案问题
【解析】【分析】本题考查一次函数的实际应用——方案选择问题。
（1）对于A超市，直接根据“总价=单价×数量×折扣”写出的函数关系式；对于B超市，分两种情况讨论：当时，无折扣，直接用“总价=单价×数量”；当时，前100盒按原价，超过部分打7折，两部分费用相加得到的函数关系式；
（2）分和两种情况比较和的大小：当时，直接比较系数即可；当时，分别令、、，解出对应的x的取值范围，从而确定不同购买数量下的最优方案。
23．在平面直角坐标系中，平移抛物线，若其顶点在直线上运动，则称直线为抛物线的“型亲密线”．已知抛物线：．
（1）求抛物线的顶点坐标；
（2）当的值变化时，求抛物线的“型亲密线”的表达式；
（3）将抛物线平移得到抛物线，设抛物线与轴交点的纵坐标为，顶点的横坐标为，当时，有最小值为，若抛物线有“型亲密线”，求的值．
【答案】（1）解：，
抛物线的顶点坐标为；
（2）解：由（1）知抛物线：的顶点坐标，
当时，，则抛物线的“型亲密线”的表达式为；
（3）解：抛物线有“型亲密线”，
抛物线的顶点在直线上，
抛物线顶点的横坐标为，
当时，，即抛物线的顶点坐标为，
抛物线是由抛物线：平移得到，
抛物线的表达式为，
抛物线与轴交点的纵坐标为，
当时，，
是一个二次函数，则抛物线开口向上、对称轴为，
由当时，有最小值为，可分对称轴在上、对称轴在左侧和对称轴在右侧三种情况，具体讨论如下：
①当时，对称轴在上，
即当时，的最小值在对称轴上取得，为，
解得或（不满足，舍去）；
②当时，对称轴在左侧，
即当时，二次函数在范围内，随的增大而增大，
当时，取得最小值，为，
解得（不满足，舍去）；
③当时，对称轴在右侧，
即当时，二次函数在范围内，随的增大而减小，
当时，取得最小值，为，
解得；
综上所述，若抛物线有“型亲密线”，则或．
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象；二次函数y=a（x-h）²+k的性质；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】本题是二次函数新定义问题，考查二次函数的顶点式、平移性质和最值问题。
（1）将抛物线G的一般式通过配方法转化为顶点式，即可直接得到顶点坐标；
（2）由顶点坐标可知，顶点的纵坐标是横坐标的2倍加1，因此无论h取何值，顶点都在直线上，该直线即为抛物线G的“k-b型亲密线”；
（3）根据“k-3型亲密线”的定义，抛物线的顶点在直线上，结合顶点横坐标为m，可得顶点坐标为。由于平移不改变二次项系数，因此抛物线的解析式为。令x=0，得到n与m的函数关系式，这是一个开口向上的二次函数，对称轴为。分三种情况讨论对称轴与区间的位置关系：对称轴在区间左侧、对称轴在区间内、对称轴在区间右侧，分别求出每种情况下n的最小值，令其等于1，解出k的值并检验是否符合条件，最终得到符合要求的k值。
24．某玩转数学小组以“注意用车安全”为主题开展项目式学习，该小组探究了某品牌越野车在停车场能否打开后备厢的问题，如图所示，
请认真阅读以下素材，解决问题．
注意用车安全
素材一 如图1是越野车的侧视图以及打开后备厢的示意图，已知，，连接，，当后备厢打开到最大时，与水平面的夹角．（参考数据：，，．）
素材二 挡车器可以有效提醒正在倒车的驾驶员，使其不能再继续倒车，防止发生意外，对于保障停车场安全管理起到了重要的作用．当车恰好停在挡车器位置时，轮胎与挡车器的位置关系如图2所示．挡车器上的点M在轮胎所在的圆O上，设轮胎与地面相切于点Q，点M到的距离为，已知某款挡车器，，高，，．
素材三 如图3是某露天停车场搭建的一个停车棚的侧视图．其中顶棚与地面平行，支撑杆与地面垂直，，，．现计划在停车棚每一个停车位安装与【素材二】中同款的挡车器．已知该车的高度，垂直地面l．参考数据：，，，．
问题解决：
（1）如图1，求点B到的距离．
（2）如图2，当越野车停在挡车器位置时，求该越野车的轮胎所在圆O的半径．
（3）如图3，将越野车停在停车棚内，在后备厢盖打开的过程中，后备厢盖不与停车棚发生刮蹭，那么挡车器应安装在距离支撑杆的什么位置？
【答案】（1）解：过点作于点，如图：
∵，，
∴，
即，
解得，
即点到的距离为；
（2）解：由题意得，轮胎的圆心为，与地面切点为，过点作，过点作，过点作于，如图，
∴四边形是矩形，
∵挡车器高，点到的距离为，
∴，，
∴设的半径，则，
∴在中，，
∴，
解得，
∴该越野车的轮胎所在圆的半径是；
（3）解：由素材一知，，即，
由素材三知，，
如图：过点作于点，
，即，
解得，
∵，
∴，
∴；
∵，
如图，过点作的垂线，垂足为，
∵当后备箱打开到最大时，与水平面夹角，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
如图4中，作，，
∵，，，，
∴保证越野车的后备箱可以完全打开，则，，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
即挡车器应安装在距离支撑杆大于的位置．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】本题是解直角三角形的综合应用题，结合实际停车场景考查三角函数和勾股定理。
（1）过点B作于点D，在中，利用正弦函数，直接求出BD的长度，即点B到AC的距离；
（2）过点M作于点G，由题意可知四边形GQEM是矩形，因此，。设圆O的半径为r，则，，在中利用勾股定理列方程求解r；
（3）先在图1中利用余弦函数求出AD的长度，再用勾股定理求出CD的长度，进而得到AC的长度。后备厢打开到最大时，，，在中利用正弦函数求出的长度，加上车高AQ得到后备厢最高点距地面的高度。在图3中作，，由得。为避免刮蹭，需满足后备厢最高点高度，求出GL的最小值，再利用正切函数求出LF的长度，即挡车器距支撑杆的最小距离。
25．已知正方形的边长为6．
（1）如图1，若E、F分别为、上的动点，与相交于点P，且．
①求证：；
②连接，当最大时，求的长．
（2）如图2，若E为的中点，P为上的动点，F为上一点，N为上一点，且满足，，求的最小值．
【答案】（1）解：①证明：∵四边形是正方形，
∴，，
在和中，
，
∴；
②由①得，，
∴，
∴，
即，
∴，
∴点在以为直径的圆上运动；
如图1，以为直径作，连接、，
当与相切时，最大，此时，
∵正方形的边长为6，
∴，，，
∴，，
又∵，，
∴，
∴，
又∵，
∴是的垂直平分线，
∴，
∵，即，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴；
（2）解：如图2，连接，延长交于点，过点作交于点，以为直径作，连接、，
则，
∴点在上，
∵正方形的边长为6，
∴，，
∵E为的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴四点共圆，
∴点在的外接圆上，即点在上，
∴，
在中，，
∵，
∴，
∴当三点共线时，有最小值，
∴的最小值为．
【知识点】三角形全等的判定；勾股定理；切线的性质；相似三角形的判定；定角定弦辅助圆模型
【解析】【分析】本题是正方形中的几何综合题，考查全等三角形、圆的性质、相似三角形和最值问题。
（1）①根据正方形的性质，可得，，结合已知，利用SAS即可证明；②由全等可得，进而推出，因此点P在以BC为直径的圆上运动。当DP与该圆相切时，最大，此时连接圆心G与D、P，利用HL证明，得到，再证明四边形DGBE是平行四边形，求出AE的长度，进而得到BF的长度，最后在中用勾股定理求出CF的长；
（2）连接CE，延长FN交CE于点G，过点G作交CD于点K，以KC为直径作。首先证明，得到。结合已知条件证明，得到。再证明，求出GK和CK的长度，得到的半径。通过证明C、N、G、K四点共圆，可知点N在上。根据两点之间线段最短，，当B、N、O三点共线时，BN取得最小值，最后用勾股定理求出BO的长度，减去ON的长度即可得到BN的最小值。
1 / 1广东省广州市越秀区2026年九年级中考二模数学试卷
1． 2026 年 4 月，国际能源署（IEA)发布报告指出，全球 AI数据中心的年度总耗电量已突破950 000 000 000千瓦时，将数950 000 000 000 用科学记数法表示为 （　　)
A． B． C． D．
2．如图，是某几何体的三视图，则该几何体为（　　）
A．三棱锥 B．三棱柱 C．四棱锥 D．四棱柱
3．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．为了解某校开展劳动教育的情况，组织人员进行了调查，调查发现8名同学每周做家务的天数（单位：天）依次为3，5，6，7，5，6，5，4，则这组数据的众数和中位数分别为（　　）
A．5和5 B．7和5 C．5和7 D．6和5
5．不等式组的解集为（　　）
A． B． C． D．
6．如图，，，．则的度数为（　　）
A． B． C． D．
7．如图，的周长为，与相交于点，交于，则的周长为（　　）
A．4 B．6 C．8 D．10
8．现有四张形状完全相同的卡片，卡片上面分别画有线段，等边三角形，平行四边形，圆，现将画有图形的一面朝下，混合均匀后从中随机抽取两张，则抽到的卡片图形都是中心对称图形的概率为（　　）
A． B． C．1 D．
9．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，且，则一次函数的图象一定不经过（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
10．如图，边长为4的正六边形的中心与原点O重合，顶点C，F在x轴上，将正六边形绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第2026次旋转结束时，点A的坐标为（　　）
A． B． C． D．
11．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是　 　．
12．分式方程的解为　 　．
13．如图，与位似，点O为位似中心，已知，则与的面积比为 　 　．
14．已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示，如果以此蓄电池为电源的用电器的限制电流I不能超过10A，那么用电器可变电阻R应控制的范围是　 　．
15．如图，四边形内接于，已知的半径为，，若，则劣弧的长是　 　．
16．如图，折叠矩形的一边，使点D落在边的点F处，已知折痕，且．
（1）矩形的面积是　 　；
（2）作与四边形各边都相切的，点P在上运动，则的最小值是　 　．
17．解方程组：
18．如图，是的直径，弦，垂足为P，连接，，求证：．
19．已知：
（1）化简A；
（2）从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求A的值．
条件①：若点是反比例函数图象上的点；
条件②：若a是方程的一个根．
20．如图，在矩形中，对角线与相交于点O．
（1）尺规作图：作点O关于的对称点E（保留作图痕迹，不写作法）．
（2）在（1）所作的图中，连接，，求证：四边形是菱形．
21．近年来，“青少年视力健康”受到社会的广泛关注．某校综合实践小组为了解该校学生的视力健康状况，从全校学生中随机抽取部分学生进行视力调查．根据调查结果和视力有关标准，绘制了两幅不完整的统计图．请根据图中信息解答下列问题：
（1）本次抽样调查的样本容量为　 　，并补全条形统计图；
（2）扇形统计图中“高度近视”对应的扇形的圆心角的大小是　 　；
（3）若该校共有学生2000人，请估计该校学生中视力不正常的学生人数．
22．端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．端午节前夕，某公司准备购买一批粽子礼盒作为福利，了解到有A、B两家超市可供选择，此款礼盒在A、B两家超市售价均为元/盒，为了促销两家超市给出了不同的优惠方案：
A超市：打折出售；
B超市：盒以内（含盒）不打折，超过盒后，超过的部分打折．
该公司计划购买这款粽子礼盒盒，设去A超市购买应付元，去B超市购买应付元．
（1）分别求出，与之间的函数关系式；
（2）若该公司只在一家超市购买，你认为在哪家超市购买更划算？为什么？
23．在平面直角坐标系中，平移抛物线，若其顶点在直线上运动，则称直线为抛物线的“型亲密线”．已知抛物线：．
（1）求抛物线的顶点坐标；
（2）当的值变化时，求抛物线的“型亲密线”的表达式；
（3）将抛物线平移得到抛物线，设抛物线与轴交点的纵坐标为，顶点的横坐标为，当时，有最小值为，若抛物线有“型亲密线”，求的值．
24．某玩转数学小组以“注意用车安全”为主题开展项目式学习，该小组探究了某品牌越野车在停车场能否打开后备厢的问题，如图所示，
请认真阅读以下素材，解决问题．
注意用车安全
素材一 如图1是越野车的侧视图以及打开后备厢的示意图，已知，，连接，，当后备厢打开到最大时，与水平面的夹角．（参考数据：，，．）
素材二 挡车器可以有效提醒正在倒车的驾驶员，使其不能再继续倒车，防止发生意外，对于保障停车场安全管理起到了重要的作用．当车恰好停在挡车器位置时，轮胎与挡车器的位置关系如图2所示．挡车器上的点M在轮胎所在的圆O上，设轮胎与地面相切于点Q，点M到的距离为，已知某款挡车器，，高，，．
素材三 如图3是某露天停车场搭建的一个停车棚的侧视图．其中顶棚与地面平行，支撑杆与地面垂直，，，．现计划在停车棚每一个停车位安装与【素材二】中同款的挡车器．已知该车的高度，垂直地面l．参考数据：，，，．
问题解决：
（1）如图1，求点B到的距离．
（2）如图2，当越野车停在挡车器位置时，求该越野车的轮胎所在圆O的半径．
（3）如图3，将越野车停在停车棚内，在后备厢盖打开的过程中，后备厢盖不与停车棚发生刮蹭，那么挡车器应安装在距离支撑杆的什么位置？
25．已知正方形的边长为6．
（1）如图1，若E、F分别为、上的动点，与相交于点P，且．
①求证：；
②连接，当最大时，求的长．
（2）如图2，若E为的中点，P为上的动点，F为上一点，N为上一点，且满足，，求的最小值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：．
故答案为：C.
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
2．【答案】B
【知识点】由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：俯视图反映几何体的底面形状，本题中俯视图为三角形，说明该几何体的底面是三角形；主视图和左视图均为矩形，说明该几何体的侧面是矩形。底面为三角形且侧面为矩形的几何体是三棱柱。
故答案为：B
【分析】本题考查由三视图还原几何体。三视图中，俯视图体现几何体的底面轮廓，主视图和左视图体现几何体的侧面特征。解题时需结合三种视图的信息综合判断，排除不符合特征的选项：三棱锥的三视图均为三角形，四棱锥的俯视图为四边形，四棱柱的俯视图为四边形，均与本题三视图不符。
3．【答案】D
【知识点】二次根式的加减法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、合并同类项时，只把系数相加，字母和指数不变，因此，A错误；
B、积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，因此，B错误；
C、与不是同类二次根式，被开方数不同，不能直接合并，C错误；
D、先将二次根式化为最简形式，再合并同类二次根式，，D正确。
故答案为：D
【分析】本题考查整式与二次根式的基本运算，需熟练掌握各类运算的法则，逐一验证选项。合并同类项、积的乘方是整式运算的基础，二次根式加减的核心是先化简再合并同类二次根式，非同类二次根式不能直接合并。
4．【答案】A
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：将数据3，5，6，7，5，6，5，4从小到大重新排列为：3，4，5，5，5，6，6，7。
众数是一组数据中出现次数最多的数据，5在这组数据中出现了3次，出现次数最多，因此众数为5。
中位数是将数据排序后最中间的数，若数据个数为偶数，则取中间两个数的平均数。这组数据共8个，中位数为第4个和第5个数的平均数，即。
故答案为：A
【分析】本题考查众数和中位数的定义。求众数时无需排序，直接统计每个数据出现的次数即可；求中位数时必须先将数据按从小到大或从大到小的顺序排列，再根据数据个数的奇偶性计算中位数。
5．【答案】B
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：解不等式，移项得，两边同时除以2得
解不等式，移项得，两边同时乘以-1，不等号方向改变，得
根据“同大取大”的原则，两个不等式解集的公共部分为
故答案为：B
【分析】本题考查一元一次不等式组的解法。解题步骤为：先分别求出每个不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”的口诀确定不等式组的解集。注意解不等式时，两边同时乘以或除以负数，不等号方向必须改变。
6．【答案】C
【知识点】平行线的性质；三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵，
∴（两直线平行，同位角相等）。
∵，
∴（等边对等角）。
又∵是的外角，
∴，
∴。
故答案为：C
【分析】本题综合考查平行线的性质、等腰三角形的性质和三角形外角定理。首先利用平行线的同位角相等得到的度数，再根据等腰三角形等边对等角得出，最后结合三角形外角等于不相邻两个内角之和，推导出与的数量关系，从而求出的度数。
7．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，，（平行四边形对边相等，对角线互相平分）。
∵平行四边形ABCD的周长为16，
∴，即。
∵且，
∴OE是线段AC的垂直平分线，
∴（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）。
∴的周长为。
故答案为：C
【分析】本题考查平行四边形和线段垂直平分线的性质。解题的关键是利用线段垂直平分线的性质进行线段等量代换，将的周长转化为的长。平行四边形的周长等于两组对边之和，因此可直接求出的值，无需分别求出AD和CD的长度。
8．【答案】D
【知识点】中心对称及中心对称图形；概率公式
【解析】【解答】解：根据中心对称图形的定义，四个图形中，线段、平行四边形、圆是中心对称图形，等边三角形不是中心对称图形，
将四个图形分别记为(线段)，(等边三角形)，(平行四边形)，(圆)，
列表如下：
由表可知，共有12种等可能的结果，其中抽到的两张卡片都是中心对称图形的结果有(A，C)、(A，D)、(C，A)、(C，D)、(D，A)、(D，C)，共6种。
因此所求概率为。
故答案为：D
【分析】本题考查中心对称图形的概念和用列表法求概率。首先根据中心对称图形的定义（绕某点旋转180°后能与自身重合的图形）判断出四个图形中的中心对称图形，再通过列表法列举出所有等可能的抽取结果，最后根据概率公式计算概率。注意抽取两张卡片是不放回抽样，因此总结果数为种。
9．【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简；一元二次方程根的判别式及应用；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴根的判别式，
即，化简得，解得。
∵，
∴，解得。
综上，k的取值范围是。
对于一次函数，
∵，∴斜率，截距。
一次函数斜率为负、截距为正时，图象经过第一、二、四象限，一定不经过第三象限。
故答案为：C
【分析】本题综合考查一元二次方程根的判别式、二次根式的性质和一次函数的图象性质。首先根据一元二次方程有两个不相等实数根的条件求出k的上限，再根据二次根式的性质求出k的下限，确定k的取值范围。最后根据一次函数斜率和截距的符号，判断其图象经过的象限：斜率负、截距正，图象过一、二、四象限；斜率负、截距负，图象过二、三、四象限；斜率正、截距正，图象过一、二、三象限；斜率正、截距负，图象过一、三、四象限。
10．【答案】B
【知识点】勾股定理；探索数与式的规律；正多边形的性质；解直角三角形—边角关系；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：∵每次旋转，而，
∴旋转8次为一个完整的循环周期。
∵，
∴第2026次旋转结束时，点A的位置与第2次旋转结束时的位置相同，即相当于将初始位置的点A绕原点O顺时针旋转
∵六边形ABCDEF是边长为4的正六边形，
∴中心角为，且
初始位置时，点C在x轴正半轴上，
顺时针旋转后，，点A'位于第一象限
过点A'作轴于点H，在中，
，
∴点A'的坐标为，即第2026次旋转结束时点A的坐标为
故答案为：B
【分析】本题考查正六边形的性质、旋转的周期性和平面直角坐标系中点的坐标变化。首先根据旋转角度求出循环周期，通过计算2026除以周期的余数，确定点A最终的旋转角度。再利用正六边形的中心角为60°，求出初始时点A与x轴的夹角，进而得到旋转后点A与x轴的夹角。最后通过解直角三角形，利用三角函数求出旋转后点A的横、纵坐标。
11．【答案】
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：分式有意义的条件是分母不为0，二次根式有意义的条件是被开方数为非负数。
∵式子在实数范围内有意义，
∴且，即，
解得
故答案为：
【分析】本题考查分式与二次根式有意义的条件。本题中分母是二次根式，因此需要同时满足两个条件：一是被开方数非负，二是分母不为0。综合这两个条件可得被开方数必须大于0，据此列出不等式求解即可。
12．【答案】
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：分式方程的最简公分母为
方程两边同时乘以，去分母得：
，
去括号得：，
移项合并同类项得：
检验：当时，，
因此是原分式方程的解
故答案为：
【分析】本题考查分式方程的解法。解分式方程的核心是将分式方程转化为整式方程，步骤为：确定最简公分母、方程两边同乘最简公分母去分母、解整式方程、检验。检验是解分式方程必不可少的步骤，因为去分母过程中可能会产生增根，即使得最简公分母为0的根.
13．【答案】
【知识点】位似变换；位似图形的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴
∵与位似，点O为位似中心
∴与的位似比等于，即相似比为
∵相似三角形的面积比等于相似比的平方，
∴与的面积比为
故答案为：
【分析】本题考查位似图形的性质和相似三角形的面积比。位似图形是特殊的相似图形，位似比等于对应点到位似中心的距离之比，也等于相似比。相似三角形的面积比等于相似比的平方，周长比等于相似比。解题时需注意区分线段比和位似比。
14．【答案】
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：由图象，设，
把代入，得：，
∴，
当时，，
∵随着的增大而减小，
∴如果以此器电池为电源的用电器的限制电流I不能超过10A时，；
故答案为：．
【分析】根据题意设，进而将代入求出k，从而即可求解。
15．【答案】
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质；弧长的计算
【解析】【解答】解：连接OA、OB、OC，
∵四边形ABCD内接于，
∴（圆内接四边形对角互补）
∵，
∴
∴（圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半）
∴
∵，
∴（等弧所对的圆心角相等）
∴
根据弧长公式（其中n为圆心角度数，r为半径），劣弧的长为：
故答案为：
【分析】本题综合考查圆内接四边形的性质、圆周角定理和弧长公式。首先利用圆内接四边形对角互补求出的度数，再根据圆周角定理求出的度数。结合等弧所对的圆心角相等，求出劣弧BC所对的圆心角的度数，最后代入弧长公式计算即可。
16．【答案】（1）80
（2）
【知识点】勾股定理；矩形的性质；切线的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：(1)在矩形ABCD中，，，。
由折叠的性质可知，
∴，，
∴
又∵，∴，
∴（同角的余角相等）。
在中，，
设，，则
∴，
在中，，
∴，
∴
在中，由勾股定理得：
，即，
解得（负值舍去）
∴，，矩形ABCD的面积为
故答案为：80
(2) 设与AD、DE分别相切于点G、H，连接OG、OH，设的半径为r，
则，，
∵，∴四边形OGDH是正方形，
∴，。
∴，
∴，即，解得
∵，∴，
∴
连接OP，在OA上取点M，使，
则，，
∴
又∵，∴
∴，即
∴
当B、P、M三点共线时，取得最小值，最小值为BM的长度
过点M作于点N，则，
∴，∴
又∵，∴
∴
∵
∴，
解得，
∴
在中，由勾股定理得：
∴的最小值为
故答案为：
【分析】本题是矩形折叠与阿氏圆最值的综合题，考查矩形性质、折叠性质、三角函数、勾股定理、相似三角形和圆的性质。
（1） 利用折叠的全等性质和同角的余角相等，推出，结合三角函数设未知数表示各边长度，再通过勾股定理列方程求解矩形的长和宽；
（2）先求出四边形ADEF的内切圆半径，再通过构造相似三角形将转化为，利用两点之间线段最短确定最小值为BM，最后通过相似三角形和勾股定理求出BM的长度。
17．【答案】解：
，得，
解得.
将代入①，得，
解得，
原方程组的解为．
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】本题考查二元一次方程组的解法，常用方法有代入消元法和加减消元法。
（1）本题中两个方程x的系数相同，适合使用加减消元法，将两个方程相减消去x，先求出y的值；
（2）再将求出的y的值代入第一个方程，求出x的值，即可得到方程组的解。
18．【答案】证明： ∵是的直径，弦，垂足为P，
∴，，
∴，
在和中，，，
∴
【知识点】垂径定理；圆周角定理；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】本题考查相似三角形的判定、垂径定理和圆周角定理。根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦所对的弧，可得；根据圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，可得；再结合CD⊥AB得到的，利用“两角分别相等的两个三角形相似”即可证明结论。
19．【答案】（1）解：
；
（2）解：①点是反比例函数图象上的点，
∴，
∴；
②是方程的一个根，
∴，
∴，
∴；
【知识点】一元二次方程的根；反比例函数图象上点的坐标特征；分式的化简求值-其他方法
【解析】【分析】本题考查分式的化简求值，涉及平方差公式、通分、反比例函数和一元二次方程的解。
（1）先利用平方差公式分解，找出两个分式的最简公分母进行通分，再根据同分母分式减法法则计算，最后约分得到最简结果；
（2）条件①根据反比例函数图象上点的坐标满足解析式，将点P代入可得；条件②根据一元二次方程解的定义，将a代入方程整理后也可得，最后将整体代入化简后的式子计算即可。
20．【答案】（1）解：如图，点E即为所求：
（2）证明：∵在矩形中，对角线与相交于点O，
∴，
由作图可知，，
∴，
∴四边形是菱形
【知识点】菱形的判定；矩形的性质；作图﹣轴对称
【解析】【分析】本题考查尺规作图作轴对称点和菱形的判定，同时涉及矩形的性质。
（1）作点O关于BC的对称点，可分别以B、C为圆心，OB长为半径作弧，两弧在BC下方的交点即为点E；
（2）首先根据矩形对角线相等且互相平分的性质，可得；再根据轴对称的性质，对称点到对称轴两端的距离相等，可得，，从而得到，根据“四条边相等的四边形是菱形”即可证明结论。
21．【答案】（1）解：200，补全条形统计图如下：
（2）
（3）解：（人），
答：估计该校学生中视力不正常的学生人数为1100人．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）（人），
即本次抽样调查的样本容量为200；
“中度近视”的人数：（人），
“高度近视”的人数：（人），
（2）“高度近视”对应的扇形的圆心角的度数为：；
【分析】本题考查条形统计图和扇形统计图的综合应用，涉及样本容量、圆心角计算和用样本估计总体。
（1）用“视力正常”的人数除以其对应的百分比，即可得到样本容量；再用样本容量乘以“中度近视”的百分比得到中度近视人数，用样本容量减去其他三类人数得到高度近视人数，进而补全条形统计图；
（2）用“高度近视”的人数除以样本容量，再乘以，得到对应的圆心角度数；
（3）用全校总人数乘以样本中视力不正常人数的占比，即可估计出全校视力不正常的学生人数。
22．【答案】（1）解：礼盒在A超市售价为元/盒，打折出售，
（，且为整数）；
礼盒在B超市售价为元/盒，盒以内（含盒）不打折，超过盒后，超过的部分打折，
当时，；
当时，；
；
（2）解：由（1）中（，且为整数）；，
当时，恒成立；
当时，
．当时，解得；
． ，解得；
．，解得；
综上所述，当购买粽子礼盒少于盒时，在A超市购买更划算；当购买盒时，在A、B两家超市购买费用相同；当购买多于盒时，在B超市购买更划算．
【知识点】一次函数的实际应用-方案问题
【解析】【分析】本题考查一次函数的实际应用——方案选择问题。
（1）对于A超市，直接根据“总价=单价×数量×折扣”写出的函数关系式；对于B超市，分两种情况讨论：当时，无折扣，直接用“总价=单价×数量”；当时，前100盒按原价，超过部分打7折，两部分费用相加得到的函数关系式；
（2）分和两种情况比较和的大小：当时，直接比较系数即可；当时，分别令、、，解出对应的x的取值范围，从而确定不同购买数量下的最优方案。
23．【答案】（1）解：，
抛物线的顶点坐标为；
（2）解：由（1）知抛物线：的顶点坐标，
当时，，则抛物线的“型亲密线”的表达式为；
（3）解：抛物线有“型亲密线”，
抛物线的顶点在直线上，
抛物线顶点的横坐标为，
当时，，即抛物线的顶点坐标为，
抛物线是由抛物线：平移得到，
抛物线的表达式为，
抛物线与轴交点的纵坐标为，
当时，，
是一个二次函数，则抛物线开口向上、对称轴为，
由当时，有最小值为，可分对称轴在上、对称轴在左侧和对称轴在右侧三种情况，具体讨论如下：
①当时，对称轴在上，
即当时，的最小值在对称轴上取得，为，
解得或（不满足，舍去）；
②当时，对称轴在左侧，
即当时，二次函数在范围内，随的增大而增大，
当时，取得最小值，为，
解得（不满足，舍去）；
③当时，对称轴在右侧，
即当时，二次函数在范围内，随的增大而减小，
当时，取得最小值，为，
解得；
综上所述，若抛物线有“型亲密线”，则或．
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象；二次函数y=a（x-h）²+k的性质；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】本题是二次函数新定义问题，考查二次函数的顶点式、平移性质和最值问题。
（1）将抛物线G的一般式通过配方法转化为顶点式，即可直接得到顶点坐标；
（2）由顶点坐标可知，顶点的纵坐标是横坐标的2倍加1，因此无论h取何值，顶点都在直线上，该直线即为抛物线G的“k-b型亲密线”；
（3）根据“k-3型亲密线”的定义，抛物线的顶点在直线上，结合顶点横坐标为m，可得顶点坐标为。由于平移不改变二次项系数，因此抛物线的解析式为。令x=0，得到n与m的函数关系式，这是一个开口向上的二次函数，对称轴为。分三种情况讨论对称轴与区间的位置关系：对称轴在区间左侧、对称轴在区间内、对称轴在区间右侧，分别求出每种情况下n的最小值，令其等于1，解出k的值并检验是否符合条件，最终得到符合要求的k值。
24．【答案】（1）解：过点作于点，如图：
∵，，
∴，
即，
解得，
即点到的距离为；
（2）解：由题意得，轮胎的圆心为，与地面切点为，过点作，过点作，过点作于，如图，
∴四边形是矩形，
∵挡车器高，点到的距离为，
∴，，
∴设的半径，则，
∴在中，，
∴，
解得，
∴该越野车的轮胎所在圆的半径是；
（3）解：由素材一知，，即，
由素材三知，，
如图：过点作于点，
，即，
解得，
∵，
∴，
∴；
∵，
如图，过点作的垂线，垂足为，
∵当后备箱打开到最大时，与水平面夹角，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
如图4中，作，，
∵，，，，
∴保证越野车的后备箱可以完全打开，则，，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
即挡车器应安装在距离支撑杆大于的位置．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】本题是解直角三角形的综合应用题，结合实际停车场景考查三角函数和勾股定理。
（1）过点B作于点D，在中，利用正弦函数，直接求出BD的长度，即点B到AC的距离；
（2）过点M作于点G，由题意可知四边形GQEM是矩形，因此，。设圆O的半径为r，则，，在中利用勾股定理列方程求解r；
（3）先在图1中利用余弦函数求出AD的长度，再用勾股定理求出CD的长度，进而得到AC的长度。后备厢打开到最大时，，，在中利用正弦函数求出的长度，加上车高AQ得到后备厢最高点距地面的高度。在图3中作，，由得。为避免刮蹭，需满足后备厢最高点高度，求出GL的最小值，再利用正切函数求出LF的长度，即挡车器距支撑杆的最小距离。
25．【答案】（1）解：①证明：∵四边形是正方形，
∴，，
在和中，
，
∴；
②由①得，，
∴，
∴，
即，
∴，
∴点在以为直径的圆上运动；
如图1，以为直径作，连接、，
当与相切时，最大，此时，
∵正方形的边长为6，
∴，，，
∴，，
又∵，，
∴，
∴，
又∵，
∴是的垂直平分线，
∴，
∵，即，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴；
（2）解：如图2，连接，延长交于点，过点作交于点，以为直径作，连接、，
则，
∴点在上，
∵正方形的边长为6，
∴，，
∵E为的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴四点共圆，
∴点在的外接圆上，即点在上，
∴，
在中，，
∵，
∴，
∴当三点共线时，有最小值，
∴的最小值为．
【知识点】三角形全等的判定；勾股定理；切线的性质；相似三角形的判定；定角定弦辅助圆模型
【解析】【分析】本题是正方形中的几何综合题，考查全等三角形、圆的性质、相似三角形和最值问题。
（1）①根据正方形的性质，可得，，结合已知，利用SAS即可证明；②由全等可得，进而推出，因此点P在以BC为直径的圆上运动。当DP与该圆相切时，最大，此时连接圆心G与D、P，利用HL证明，得到，再证明四边形DGBE是平行四边形，求出AE的长度，进而得到BF的长度，最后在中用勾股定理求出CF的长；
（2）连接CE，延长FN交CE于点G，过点G作交CD于点K，以KC为直径作。首先证明，得到。结合已知条件证明，得到。再证明，求出GK和CK的长度，得到的半径。通过证明C、N、G、K四点共圆，可知点N在上。根据两点之间线段最短，，当B、N、O三点共线时，BN取得最小值，最后用勾股定理求出BO的长度，减去ON的长度即可得到BN的最小值。
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