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广东深圳实验学校中学部2025-2026学年第二学期八年级阶段检测数学试卷
1．语文的浪漫是诗歌里的乡愁与生机，物理的浪漫是公式描述星辰的诗意，数学的浪漫则在数形之间．下列平面直角坐标系中的图象是中心对称图形的是（　　）
A．笛卡尔心形线 B．三叶玫瑰线
C．笛卡尔叶形线 D．星形线
2．将多项式分解因式时，应提取的公因式是（　　）
A． B． C． D．
3．已知，则下列各式中正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．用反证法证明：等腰三角形的底角必定是锐角，应先假设（　　）
A．等腰三角形的顶角为锐角 B．等腰三角形的底角不为锐角
C．等腰三角形的底角为钝角 D．等腰三角形的顶角不为锐角
5．某商场推出了一项打折销售活动．已知某商品的进价为150元，标价为250元．现准备打折销售这种商品，且利润率不得低于，则根据题意可列不等式为（　　）
A． B．
C． D．
6．如图，在中，，．用直尺和圆规在边上确定一点D，使点D到、的距离相等，则符合要求的作图痕迹是（　　）
A． B．
C． D．
7．定义：若一个正整数能表示成两个正整数的平方差，则称这个数为“智慧数”．例如，，所以13是“智慧数”，则下列说法不正确的是（　　）
A．12是智慧数
B．代数式（是正整数）是智慧数的条件是
C．所有大于1的奇数都是智慧数
D．将智慧数从小到大进行排列，第10个智慧数是16
8．小明设想用电脑模拟台球游戏，约定：①台球桌面设计为腰长为的等腰；②小球撞击桌边后反弹角等于入射角．如图建立平面直角坐标系，球从点出发，撞击边上的点后反弹，再撞击边上的点反弹，最后回到点．则点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
9．如图，始建于明朝的道韵楼是中国最大的八卦形土楼，八卦土楼的名称源于其屋顶逐层凸起的八边形造型，则八边形的内角和为　 　．
10．如图，，，将沿方向平移得到，若，，则平移的距离为　 　．
11．在深圳湿地公园保护项目中，研究人员需监测两种关键水质指标——溶解氧浓度（单位：）和污染物浓度（单位：）随时间（天）的变化．溶解氧浓度由直线：描述，污染物浓度由直线：描述．如图，当溶解氧浓度不低于污染物浓度时，水质有较强的修复能力，此时范围　 　．
12．新定义：对于任意实数，都有，若，，则将因式分解的结果为　 　．
13．在内部有一动点，，，连接，，，若，求的最小值　 　．
14．因式分解：
（1）；
（2）．
15．解不等式及不等式组：
（1）解不等式：，并将不等式的解集在数轴上表示；
（2）解不等式组：，并写出所有正整数解．
16．平面直角坐标系中的三个顶点的坐标分别是，，．
（1）已知与关于点成中心对称．
①若点与原点重合，请在图中画出．
②若把①中的点沿轴向右平移1个单位长度，则①中的向右平移 个单位长度；若把①中的点沿轴向上平移1个单位长度，则①中的向上平移 个单位长度．
（2）直接写出点关于点的对称点的坐标 ．
17．如图，已知，，，，，与相交于点，连接．求证：
（1）；
（2）是的中垂线．
18．综合实践
背景一 深圳实验学校四十周年校庆的吉祥物是“燕宝啾啾”，某文创店购进大、小两种型号的“燕宝啾啾”玩偶共80个，且购进小号“燕宝啾啾”玩偶的数量不少于大号“燕宝啾啾”玩偶数量的．
背景二 经调查，大号“燕宝啾啾”玩偶进价每个58元，小号“燕宝啾啾”玩偶进价每个37元．因此，文创店计划大号“燕宝啾啾”玩偶每个卖88元，小号“燕宝啾啾”玩偶每个卖45元．
（1）该文创店购进小号“燕宝啾啾”玩偶至少多少件？
（2）该文创店所获得的最大利润是多少？
（3）实际进货时，小号“燕宝啾啾”玩偶的进价下降元/个，且限制小号“燕宝啾啾”玩偶的购进数量不得超过40个．在(1)问的条件下，若该文创店保持两种型号的“燕宝啾啾”玩偶售价均不变，要使全部售出后利润最大，求购进小号“燕宝啾啾”玩偶的数量？
19．【知识回顾】
一般地，两数和的完全平方公式为：，如果我们将写成，就可以由两数和的完全平方公式推导出两数差的完全平方公式．过程如下：．
（1）【类比推理】
已知两数的立方和公式为，请类比两数差的完全平方公式的推理过程，推导两数的立方差公式：___________．
（2）【应用公式】
因式分解：．
（3）【拓展提升】
如图，将八个完全相同的直角三角形拼成一个大正方形，设，，．若，则①___________．
②若该直角三角形两条边长分别为和，且，先将代数式进行因式分解，然后求出代数式的值．
20．如图，在中，，，分别为的高．
（1）如图1，若，，连接，___________，___________；
（2）如图2，连接，将绕点逆时针旋转到，连接，为线段上一点，连接．若，求证：；
（3）如图3，若是线段上一动点，将线段绕着点逆时针旋转至线段，连接，，．当取得最小值时，请直接写出的面积．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：选项A、B、C均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形，选项D能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形．
故选：D
【分析】
根据中心对称图形的概念，图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，对选项逐个进行判断即可．
2．【答案】B
【知识点】公因式的概念
【解析】【解答】解：对多项式分解因式时，应提取的公因式是，
故选：B．
【分析】根据公因式的确定方法，一看系数：若各项系数都是整数，应提取各项系数的最大公因数；二看字母：公因式的字母是各项相同的字母；三看字母的指数：各相同字母的指数取指数最低的，确定出公因式即可．
3．【答案】B
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、由两边同时乘以得：，故A不符合题意；
B、由两边同时减3得：，故B符合题意；
C、，，则，但，故C不符合题意；
D、由两边同时乘以得：，故D不符合题意.
故选：B.
【分析】根据不等式的性质，对选项逐个进行判断即可．
4．【答案】B
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：用反证法证明：等腰三角形的底角必定是锐角，应先假设等腰三角形的底角不为锐角.
故答案为：B.
【分析】用反证法证明一个命题，首先否定原命题的结论，即假设原命题结论的反面成立，然后给予反设进行逻辑推理，结合已知条件、公理或定理，逐步推出矛盾，最后通过矛盾证明假设不成立，从而间接验证原结论正确，据此求解即可.
5．【答案】B
【知识点】列一元一次不等式
【解析】【解答】解：∵商品打折销售，标价为元，
∴实际售价为元．
∵利润售价-进价，商品进价为元，
∴利润为元．
∵利润率不得低于，利润率，
∴利润不得低于．
∴可列不等式为，即B选项符合题意．
故选：B
【分析】理解题意，表示出商品现在的售价，确定出利润，再根据题意，列出不等式即可．
6．【答案】B
【知识点】尺规作图-直线、射线、线段；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：对于选项A：该作图痕迹表明，此时点D到、的距离不相等，不符合题意；
对于选项B：该作图痕迹表明平分，且点D在上，根据角平分线的性质可知，点D到、的距离相等，符合题意；
对于选项C：该作图痕迹表明虚线为的中垂线，点D为该中垂线与的交点，此时点D到、的距离不相等，不符合题意；
对于选项D：该作图痕迹表明于点D，此时点D到、的距离不相等，不符合题意；
故选：B．
【分析】根据题意可得，点D在的角平分线上，根据角平分线的作图方法，结合选项求解即可．
7．【答案】B
【知识点】平方差公式及应用；因式分解的应用
【解析】【解答】解：选项A：，满足定义，是智慧数；
选项B：对变形得，若它是智慧数，需和为正整数，且，可得，即，因此选项B说法不正确；
选项C：设大于1的奇数为（为正整数），，且当为正整数时，和都是正整数，所有大于1的奇数都是智慧数；
选项D：从小到大判断可得前10个智慧数依次为：3，5，7，8，9，11，12，13，15，16，因此第10个智慧数是16．
综上，说法不正确的是B．
故选：B
【分析】先理解“智慧数”的定义，将其变形为（，为正整数，），结合“智慧数”的定义对选项逐个判断即可．
8．【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定与性质；生活中的轴对称现象；三角形全等的判定-ASA；一次函数的实际应用-几何问题；线段垂直平分线的应用
【解析】【解答】解：如图所示，过点作交直线于点，延长交轴于点，连接，
由题意得，，，
，
，
又，，
，
，，
，
，
；
同理可证明，
，
垂直平分，
；
是等腰直角三角形，
；
，
，
，
设直线的解析式为，则，
，
直线的解析式为，
同理可得直线的解析式为，
联立，
解得，
点的坐标为，
故选：B．
【分析】过点作交直线于点，延长交轴于点，连接，根据角的关系可得，根据ASA可以证明，得到，，确定出；同理可以证明，得到垂直平分，则，推出，得到；根据待定系数法求得直线和直线的解析式，联立求得交点的坐标．
9．【答案】
【知识点】多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：八边形的内角和为．
故答案为：
【分析】根据多边形的内角和公式，直接求解即可．
10．【答案】8
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：∵由平移得到，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴平移的距离．
故答案：8
【分析】根据平移的性质可以得到，结合题意可得，，从而得到，根据题意可得，平移的距离为的长度，即可求解．
11．【答案】
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；通过函数图象获取信息；一次函数的其他应用
【解析】【解答】解：∵点在直线：上，
∴，解得，
∴ 交点 P的坐标为由函数图象可知，当 时，直线 的图像在直线 的图像上方或重合，即溶解氧浓度不低于污染物浓度
∴ x的范围是 ．
故答案为：
【分析】由题意得，点，代入直线：求出 m 的值，确定出交点P的坐标，根据题意，观察函数图象，找出直线 在直线 上方（包括交点）部分对应的自变量x的取值范围即可．
12．【答案】
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】解：∵，，
∴，解得，
∴，
∴．
故答案为：
【分析】根据题意可以得到，求得a、b的值，得到，再由新定义得到，利用十字相乘法分解即可．
13．【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；旋转的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：∵，，，
∴，
如图，将绕点B顺时针旋转得到，连接，作交的延长线于H．
∴，，，，
∴，均为等边三角形，
∴，，，
∴，
当且仅当B、P、E、F时，，即最小值为，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴的最小值为．
故答案为：
【分析】根据题意可得，如图，将绕点B顺时针旋转得到，连接，作交的延长线于H，从而得到，均为等边三角形，，，，根据三角形三边关系可得，，从而得到当且仅当B、P、E、F时，，最小值为，利用勾股定理求解即可．
14．【答案】（1）解：
．
（2）解：
．
【知识点】公因式的概念；因式分解﹣提公因式法；因式分解-分组分解法；因式分解-完全平方公式
【解析】【分析】（1）对式子进行变形，得到公因式，然后提取公因式即可解答；
（2）根据整式乘法，对式子展开，再进行分组提取公因式，最后再提取公因式即可．
（1）解：
．
（2）解：
．
15．【答案】（1）解：，
，
，
，
．
在数轴上表示如下：
（2）解：，解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴该不等式组的解集为，
∴该不等式组的所有正整数解为1，2．
【知识点】解一元一次不等式；解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【分析】（1）先求出每个不等式的解集，确定出不等式的解集，然后在数轴上表示即可；
（2）先求出每个不等式的解集，确定不等式组解集，根据不等式组的解集确定出所有正整数解即可．
（1）解：，
，
，
，
．
在数轴上表示如下：
（2）解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴该不等式组的解集为，
∴该不等式组的所有正整数解为1，2．
16．【答案】（1）解：①如图：即为所求；
②2，2
（2）
【知识点】坐标与图形变化﹣平移；中心对称及中心对称图形；关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】（1）解：②把①中的点沿轴向右平移1个单位长度，即以作的中心对称图形，可以发现向右平移了2个单位长度得到；
把①中的点沿轴向上平移1个单位长度，即以作的中心对称图形，可以发现向上平移了2个单位长度得到．
故答案为：2，2
（2）解：由坐标系可知：
根据在（1）中获得的经验，可得A点关于点的对称点的坐标分别为．
故答案为：
【分析】（1）①确定出点A，B，C关于点D的对称点，顺次连接即可；②根据题意，点D的坐标分别为，，再分别以，作的中心对称图形，然后再与对比即可解答；
（2）根据（1）可得规律为：一组对称点的横（纵）坐标之和等于对称点的横（纵）坐标的2倍，由此可解．
（1）解：①如图：即为所求；
②把①中的点沿轴向右平移1个单位长度，即以作的中心对称图形，可以发现向右平移了2个单位长度得到；
把①中的点沿轴向上平移1个单位长度，即以作的中心对称图形，可以发现向上平移了2个单位长度得到．
（2）解：由坐标系可知：
根据在（1）中获得的经验，可得A点关于点的对称点的坐标分别为．
17．【答案】（1）证明：，
，
即．
，，
．
又，
，
．
又，
，
．
（2）证明：由（1）可知，，，
，，
，
即．
又，
点和点在的垂直平分线上，
是的中垂线．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；直角三角形全等的判定-HL；线段垂直平分线的判定
【解析】【分析】（1）根据题意等量代换得到，进而根据垂直得到，再根据三角形全等的判定与性质证明得到，再证明即可求解；
（2）由（1）可知，，，进而根据三角形全等的性质得到，，从而进行线段的运算得到，从而根据垂直平分线的判定即可求解。
（1）证明：，
，
即．
，，
．
又，
，
．
又，
，
．
（2）证明：由（1）可知，，，
，，
，
即．
又，
点和点在的垂直平分线上，
是的中垂线．
18．【答案】（1）解：设文创店购进小号“燕宝啾啾”玩偶x个，则购进大号“燕宝啾啾”玩偶个，
由题意可得：，解得：，
所以该文创店购进小号“燕宝啾啾”玩偶至少35件．
（2）解：设文创店购进小号“燕宝啾啾”玩偶a个，则购进大号“燕宝啾啾”玩偶个，，
则文创店所获得的利润，
∵，
∴w随a的增大而减小，
∴当时，文创店所获得利润最大，最大利润为元．
（3）解：设文创店购进小号“燕宝啾啾”玩偶b件，则购进大号“燕宝啾啾”玩偶个，，
则文创店所获得的利润，
∵，
∴当 时，，w 随b增大而减小，故，即小号数量35 个，利润最大．
当时，，小号数量可为 35 40 个；
当时，，w 随b增大而增大，故，即小号数量： 40 个时，利润最大．
【知识点】一元一次不等式的应用；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设文创店购进小号“燕宝啾啾”玩偶x个，则购进大号“燕宝啾啾”玩偶个，根据题意可得，求解即可；
（2）设文创店购进小号“燕宝啾啾”玩偶a个，则购进大号“燕宝啾啾”玩偶个，，根据题意可得，，再根据一次函数的性质求最值即可；
（3）设文创店购进小号“燕宝啾啾”玩偶b件，则购进大号“燕宝啾啾”玩偶个，，根据题意可得，然后分、和三种情况，结合一次函数的性质求解即可．
（1）解：设文创店购进小号“燕宝啾啾”玩偶x个，则购进大号“燕宝啾啾”玩偶个，
由题意可得：，解得：，
所以该文创店购进小号“燕宝啾啾”玩偶至少35件．
（2）解：设文创店购进小号“燕宝啾啾”玩偶a个，则购进大号“燕宝啾啾”玩偶个，，
则文创店所获得的利润，
∵，
∴w随a的增大而减小，
∴当时，文创店所获得利润最大，最大利润为元．
（3）解：设文创店购进小号“燕宝啾啾”玩偶b件，则购进大号“燕宝啾啾”玩偶个，，
则文创店所获得的利润，
∵，
∴当 时，，w 随b增大而减小，故，即小号数量35 个，利润最大．
当时，，小号数量可为 35 40 个；
当时，，w 随b增大而增大，故，即小号数量： 40 个时，利润最大．
19．【答案】（1）
（2）解：
．
（3）①10；
解：②∵，，，
∴，
∵该直角三角形两条直角边长分别为和，
∴，，，
∴，，
∴
．
【知识点】完全平方公式的几何背景；因式分解﹣公式法；因式分解的应用；因式分解-分组分解法；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】（1）解：∵，
∴
．
（3）解：①∵图2是由图1这样八个形状、大小完全相同的直角三角形拼接而成，
∴由图形2可知，，，
又∵，
，
．
【分析】（1）将代入到式子中，然后再展开后合并同类项即可；
（2）对式子进行分组，分别进行因式分解，然后再提取公因式求解即可；
（3）①根据题意以及图形可得，，，再根据 ，求解即可；②先对式子进行分组，分别进行因式分解，再利用提取公因式结合公式求解即可；由，，，求得，得到，，再整体代入求值即可．
（1）解：∵，
∴
．
（2）解：
．
（3）解：①∵图2是由图1这样八个形状、大小完全相同的直角三角形拼接而成，
∴由图形2可知，，，
又∵，
，
．
②∵，，，
∴，
∵该直角三角形两条直角边长分别为和，
∴，，，
∴，，
∴
．
20．【答案】（1），
（2）证明：如图：连接，设与交点为点P，
∵，，分别为的高，
∴，
∴，，
∴，
∴是等腰三角形，
∴，
∵将绕点逆时针旋转到，连接，
，，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
，
∵，，，
∴，
∴，
，，
，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是直角三角形，
，，
，
∴
∴，
∵，
∴．
（3）
【知识点】等腰三角形的判定与性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；等积变换
【解析】【解答】（1）解：如图，过点E作交于点H，
∵，，分别为的高，，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
，
，
∴，
，
∵，即，
∴；
在中，，即，
同理在中，，
∴，
，
∴是等腰三角形，
∵，
∴，
∴，
在中，
∵，，
∴，
在中，．
（3）解：如图：将绕点C逆时针旋转得到，连接，过点E作交于点H，设与交于点O，此时点Q在上运动，
由旋转的性质得到，，是等边三角形，
∴，
∵，
，
∴，
当时，有最小值，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
，
∵，，
∴，即，解得：，
∴
．
【分析】（1）根据题意可得是等腰直角三角形，即，利用，可得，在中，根据勾股定理可得，同理在中，根据勾股定理求出，从而得到，从而得到是等腰直角三角形，过点E作交于点H，得到，从而得到，，最后在中，利用勾股定理即可求出；
（2）连接，设与交点为点P，根据题意可得，即，得到是等腰三角形，得，由旋转的性质得到，即可证明得到，，再证明得到，由，得到，，再根据是直角三角形，得到，即可证明结论；
（3）如图：将绕点C逆时针旋转得到，连接，过点E作交于点H，设与交与点O，此时点Q在上运动，由旋转的性质得到，，是等边三角形，进而得到，，当时，有最小值，根据含30度的直角三角形得到，利用勾股定理求得，由题意得，，再求出，利用求出，根据求解即可．
（1）解：如图，过点E作交于点H，
∵，，分别为的高，，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
，
，
∴，
，
∵，即，
∴；
在中，，即，
同理在中，，
∴，
，
∴是等腰三角形，
∵，
∴，
∴，
在中，
∵，，
∴，
在中，．
（2）证明：如图：连接，设与交点为点P，
∵，，分别为的高，
∴，
∴，，
∴，
∴是等腰三角形，
∴，
∵将绕点逆时针旋转到，连接，
，，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
，
∵，，，
∴，
∴，
，，
，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是直角三角形，
，，
，
∴
∴，
∵，
∴．
（3）解：如图：将绕点C逆时针旋转得到，连接，过点E作交于点H，设与交于点O，此时点Q在上运动，
由旋转的性质得到，，是等边三角形，
∴，
∵，
，
∴，
当时，有最小值，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
，
∵，，
∴，即，解得：，
∴
．
1 / 1广东深圳实验学校中学部2025-2026学年第二学期八年级阶段检测数学试卷
1．语文的浪漫是诗歌里的乡愁与生机，物理的浪漫是公式描述星辰的诗意，数学的浪漫则在数形之间．下列平面直角坐标系中的图象是中心对称图形的是（　　）
A．笛卡尔心形线 B．三叶玫瑰线
C．笛卡尔叶形线 D．星形线
【答案】D
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：选项A、B、C均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形，选项D能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形．
故选：D
【分析】
根据中心对称图形的概念，图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，对选项逐个进行判断即可．
2．将多项式分解因式时，应提取的公因式是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】公因式的概念
【解析】【解答】解：对多项式分解因式时，应提取的公因式是，
故选：B．
【分析】根据公因式的确定方法，一看系数：若各项系数都是整数，应提取各项系数的最大公因数；二看字母：公因式的字母是各项相同的字母；三看字母的指数：各相同字母的指数取指数最低的，确定出公因式即可．
3．已知，则下列各式中正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、由两边同时乘以得：，故A不符合题意；
B、由两边同时减3得：，故B符合题意；
C、，，则，但，故C不符合题意；
D、由两边同时乘以得：，故D不符合题意.
故选：B.
【分析】根据不等式的性质，对选项逐个进行判断即可．
4．用反证法证明：等腰三角形的底角必定是锐角，应先假设（　　）
A．等腰三角形的顶角为锐角 B．等腰三角形的底角不为锐角
C．等腰三角形的底角为钝角 D．等腰三角形的顶角不为锐角
【答案】B
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：用反证法证明：等腰三角形的底角必定是锐角，应先假设等腰三角形的底角不为锐角.
故答案为：B.
【分析】用反证法证明一个命题，首先否定原命题的结论，即假设原命题结论的反面成立，然后给予反设进行逻辑推理，结合已知条件、公理或定理，逐步推出矛盾，最后通过矛盾证明假设不成立，从而间接验证原结论正确，据此求解即可.
5．某商场推出了一项打折销售活动．已知某商品的进价为150元，标价为250元．现准备打折销售这种商品，且利润率不得低于，则根据题意可列不等式为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】列一元一次不等式
【解析】【解答】解：∵商品打折销售，标价为元，
∴实际售价为元．
∵利润售价-进价，商品进价为元，
∴利润为元．
∵利润率不得低于，利润率，
∴利润不得低于．
∴可列不等式为，即B选项符合题意．
故选：B
【分析】理解题意，表示出商品现在的售价，确定出利润，再根据题意，列出不等式即可．
6．如图，在中，，．用直尺和圆规在边上确定一点D，使点D到、的距离相等，则符合要求的作图痕迹是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】尺规作图-直线、射线、线段；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：对于选项A：该作图痕迹表明，此时点D到、的距离不相等，不符合题意；
对于选项B：该作图痕迹表明平分，且点D在上，根据角平分线的性质可知，点D到、的距离相等，符合题意；
对于选项C：该作图痕迹表明虚线为的中垂线，点D为该中垂线与的交点，此时点D到、的距离不相等，不符合题意；
对于选项D：该作图痕迹表明于点D，此时点D到、的距离不相等，不符合题意；
故选：B．
【分析】根据题意可得，点D在的角平分线上，根据角平分线的作图方法，结合选项求解即可．
7．定义：若一个正整数能表示成两个正整数的平方差，则称这个数为“智慧数”．例如，，所以13是“智慧数”，则下列说法不正确的是（　　）
A．12是智慧数
B．代数式（是正整数）是智慧数的条件是
C．所有大于1的奇数都是智慧数
D．将智慧数从小到大进行排列，第10个智慧数是16
【答案】B
【知识点】平方差公式及应用；因式分解的应用
【解析】【解答】解：选项A：，满足定义，是智慧数；
选项B：对变形得，若它是智慧数，需和为正整数，且，可得，即，因此选项B说法不正确；
选项C：设大于1的奇数为（为正整数），，且当为正整数时，和都是正整数，所有大于1的奇数都是智慧数；
选项D：从小到大判断可得前10个智慧数依次为：3，5，7，8，9，11，12，13，15，16，因此第10个智慧数是16．
综上，说法不正确的是B．
故选：B
【分析】先理解“智慧数”的定义，将其变形为（，为正整数，），结合“智慧数”的定义对选项逐个判断即可．
8．小明设想用电脑模拟台球游戏，约定：①台球桌面设计为腰长为的等腰；②小球撞击桌边后反弹角等于入射角．如图建立平面直角坐标系，球从点出发，撞击边上的点后反弹，再撞击边上的点反弹，最后回到点．则点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定与性质；生活中的轴对称现象；三角形全等的判定-ASA；一次函数的实际应用-几何问题；线段垂直平分线的应用
【解析】【解答】解：如图所示，过点作交直线于点，延长交轴于点，连接，
由题意得，，，
，
，
又，，
，
，，
，
，
；
同理可证明，
，
垂直平分，
；
是等腰直角三角形，
；
，
，
，
设直线的解析式为，则，
，
直线的解析式为，
同理可得直线的解析式为，
联立，
解得，
点的坐标为，
故选：B．
【分析】过点作交直线于点，延长交轴于点，连接，根据角的关系可得，根据ASA可以证明，得到，，确定出；同理可以证明，得到垂直平分，则，推出，得到；根据待定系数法求得直线和直线的解析式，联立求得交点的坐标．
9．如图，始建于明朝的道韵楼是中国最大的八卦形土楼，八卦土楼的名称源于其屋顶逐层凸起的八边形造型，则八边形的内角和为　 　．
【答案】
【知识点】多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：八边形的内角和为．
故答案为：
【分析】根据多边形的内角和公式，直接求解即可．
10．如图，，，将沿方向平移得到，若，，则平移的距离为　 　．
【答案】8
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：∵由平移得到，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴平移的距离．
故答案：8
【分析】根据平移的性质可以得到，结合题意可得，，从而得到，根据题意可得，平移的距离为的长度，即可求解．
11．在深圳湿地公园保护项目中，研究人员需监测两种关键水质指标——溶解氧浓度（单位：）和污染物浓度（单位：）随时间（天）的变化．溶解氧浓度由直线：描述，污染物浓度由直线：描述．如图，当溶解氧浓度不低于污染物浓度时，水质有较强的修复能力，此时范围　 　．
【答案】
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；通过函数图象获取信息；一次函数的其他应用
【解析】【解答】解：∵点在直线：上，
∴，解得，
∴ 交点 P的坐标为由函数图象可知，当 时，直线 的图像在直线 的图像上方或重合，即溶解氧浓度不低于污染物浓度
∴ x的范围是 ．
故答案为：
【分析】由题意得，点，代入直线：求出 m 的值，确定出交点P的坐标，根据题意，观察函数图象，找出直线 在直线 上方（包括交点）部分对应的自变量x的取值范围即可．
12．新定义：对于任意实数，都有，若，，则将因式分解的结果为　 　．
【答案】
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】解：∵，，
∴，解得，
∴，
∴．
故答案为：
【分析】根据题意可以得到，求得a、b的值，得到，再由新定义得到，利用十字相乘法分解即可．
13．在内部有一动点，，，连接，，，若，求的最小值　 　．
【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；旋转的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：∵，，，
∴，
如图，将绕点B顺时针旋转得到，连接，作交的延长线于H．
∴，，，，
∴，均为等边三角形，
∴，，，
∴，
当且仅当B、P、E、F时，，即最小值为，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴的最小值为．
故答案为：
【分析】根据题意可得，如图，将绕点B顺时针旋转得到，连接，作交的延长线于H，从而得到，均为等边三角形，，，，根据三角形三边关系可得，，从而得到当且仅当B、P、E、F时，，最小值为，利用勾股定理求解即可．
14．因式分解：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：
．
（2）解：
．
【知识点】公因式的概念；因式分解﹣提公因式法；因式分解-分组分解法；因式分解-完全平方公式
【解析】【分析】（1）对式子进行变形，得到公因式，然后提取公因式即可解答；
（2）根据整式乘法，对式子展开，再进行分组提取公因式，最后再提取公因式即可．
（1）解：
．
（2）解：
．
15．解不等式及不等式组：
（1）解不等式：，并将不等式的解集在数轴上表示；
（2）解不等式组：，并写出所有正整数解．
【答案】（1）解：，
，
，
，
．
在数轴上表示如下：
（2）解：，解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴该不等式组的解集为，
∴该不等式组的所有正整数解为1，2．
【知识点】解一元一次不等式；解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【分析】（1）先求出每个不等式的解集，确定出不等式的解集，然后在数轴上表示即可；
（2）先求出每个不等式的解集，确定不等式组解集，根据不等式组的解集确定出所有正整数解即可．
（1）解：，
，
，
，
．
在数轴上表示如下：
（2）解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴该不等式组的解集为，
∴该不等式组的所有正整数解为1，2．
16．平面直角坐标系中的三个顶点的坐标分别是，，．
（1）已知与关于点成中心对称．
①若点与原点重合，请在图中画出．
②若把①中的点沿轴向右平移1个单位长度，则①中的向右平移 个单位长度；若把①中的点沿轴向上平移1个单位长度，则①中的向上平移 个单位长度．
（2）直接写出点关于点的对称点的坐标 ．
【答案】（1）解：①如图：即为所求；
②2，2
（2）
【知识点】坐标与图形变化﹣平移；中心对称及中心对称图形；关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】（1）解：②把①中的点沿轴向右平移1个单位长度，即以作的中心对称图形，可以发现向右平移了2个单位长度得到；
把①中的点沿轴向上平移1个单位长度，即以作的中心对称图形，可以发现向上平移了2个单位长度得到．
故答案为：2，2
（2）解：由坐标系可知：
根据在（1）中获得的经验，可得A点关于点的对称点的坐标分别为．
故答案为：
【分析】（1）①确定出点A，B，C关于点D的对称点，顺次连接即可；②根据题意，点D的坐标分别为，，再分别以，作的中心对称图形，然后再与对比即可解答；
（2）根据（1）可得规律为：一组对称点的横（纵）坐标之和等于对称点的横（纵）坐标的2倍，由此可解．
（1）解：①如图：即为所求；
②把①中的点沿轴向右平移1个单位长度，即以作的中心对称图形，可以发现向右平移了2个单位长度得到；
把①中的点沿轴向上平移1个单位长度，即以作的中心对称图形，可以发现向上平移了2个单位长度得到．
（2）解：由坐标系可知：
根据在（1）中获得的经验，可得A点关于点的对称点的坐标分别为．
17．如图，已知，，，，，与相交于点，连接．求证：
（1）；
（2）是的中垂线．
【答案】（1）证明：，
，
即．
，，
．
又，
，
．
又，
，
．
（2）证明：由（1）可知，，，
，，
，
即．
又，
点和点在的垂直平分线上，
是的中垂线．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；直角三角形全等的判定-HL；线段垂直平分线的判定
【解析】【分析】（1）根据题意等量代换得到，进而根据垂直得到，再根据三角形全等的判定与性质证明得到，再证明即可求解；
（2）由（1）可知，，，进而根据三角形全等的性质得到，，从而进行线段的运算得到，从而根据垂直平分线的判定即可求解。
（1）证明：，
，
即．
，，
．
又，
，
．
又，
，
．
（2）证明：由（1）可知，，，
，，
，
即．
又，
点和点在的垂直平分线上，
是的中垂线．
18．综合实践
背景一 深圳实验学校四十周年校庆的吉祥物是“燕宝啾啾”，某文创店购进大、小两种型号的“燕宝啾啾”玩偶共80个，且购进小号“燕宝啾啾”玩偶的数量不少于大号“燕宝啾啾”玩偶数量的．
背景二 经调查，大号“燕宝啾啾”玩偶进价每个58元，小号“燕宝啾啾”玩偶进价每个37元．因此，文创店计划大号“燕宝啾啾”玩偶每个卖88元，小号“燕宝啾啾”玩偶每个卖45元．
（1）该文创店购进小号“燕宝啾啾”玩偶至少多少件？
（2）该文创店所获得的最大利润是多少？
（3）实际进货时，小号“燕宝啾啾”玩偶的进价下降元/个，且限制小号“燕宝啾啾”玩偶的购进数量不得超过40个．在(1)问的条件下，若该文创店保持两种型号的“燕宝啾啾”玩偶售价均不变，要使全部售出后利润最大，求购进小号“燕宝啾啾”玩偶的数量？
【答案】（1）解：设文创店购进小号“燕宝啾啾”玩偶x个，则购进大号“燕宝啾啾”玩偶个，
由题意可得：，解得：，
所以该文创店购进小号“燕宝啾啾”玩偶至少35件．
（2）解：设文创店购进小号“燕宝啾啾”玩偶a个，则购进大号“燕宝啾啾”玩偶个，，
则文创店所获得的利润，
∵，
∴w随a的增大而减小，
∴当时，文创店所获得利润最大，最大利润为元．
（3）解：设文创店购进小号“燕宝啾啾”玩偶b件，则购进大号“燕宝啾啾”玩偶个，，
则文创店所获得的利润，
∵，
∴当 时，，w 随b增大而减小，故，即小号数量35 个，利润最大．
当时，，小号数量可为 35 40 个；
当时，，w 随b增大而增大，故，即小号数量： 40 个时，利润最大．
【知识点】一元一次不等式的应用；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设文创店购进小号“燕宝啾啾”玩偶x个，则购进大号“燕宝啾啾”玩偶个，根据题意可得，求解即可；
（2）设文创店购进小号“燕宝啾啾”玩偶a个，则购进大号“燕宝啾啾”玩偶个，，根据题意可得，，再根据一次函数的性质求最值即可；
（3）设文创店购进小号“燕宝啾啾”玩偶b件，则购进大号“燕宝啾啾”玩偶个，，根据题意可得，然后分、和三种情况，结合一次函数的性质求解即可．
（1）解：设文创店购进小号“燕宝啾啾”玩偶x个，则购进大号“燕宝啾啾”玩偶个，
由题意可得：，解得：，
所以该文创店购进小号“燕宝啾啾”玩偶至少35件．
（2）解：设文创店购进小号“燕宝啾啾”玩偶a个，则购进大号“燕宝啾啾”玩偶个，，
则文创店所获得的利润，
∵，
∴w随a的增大而减小，
∴当时，文创店所获得利润最大，最大利润为元．
（3）解：设文创店购进小号“燕宝啾啾”玩偶b件，则购进大号“燕宝啾啾”玩偶个，，
则文创店所获得的利润，
∵，
∴当 时，，w 随b增大而减小，故，即小号数量35 个，利润最大．
当时，，小号数量可为 35 40 个；
当时，，w 随b增大而增大，故，即小号数量： 40 个时，利润最大．
19．【知识回顾】
一般地，两数和的完全平方公式为：，如果我们将写成，就可以由两数和的完全平方公式推导出两数差的完全平方公式．过程如下：．
（1）【类比推理】
已知两数的立方和公式为，请类比两数差的完全平方公式的推理过程，推导两数的立方差公式：___________．
（2）【应用公式】
因式分解：．
（3）【拓展提升】
如图，将八个完全相同的直角三角形拼成一个大正方形，设，，．若，则①___________．
②若该直角三角形两条边长分别为和，且，先将代数式进行因式分解，然后求出代数式的值．
【答案】（1）
（2）解：
．
（3）①10；
解：②∵，，，
∴，
∵该直角三角形两条直角边长分别为和，
∴，，，
∴，，
∴
．
【知识点】完全平方公式的几何背景；因式分解﹣公式法；因式分解的应用；因式分解-分组分解法；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】（1）解：∵，
∴
．
（3）解：①∵图2是由图1这样八个形状、大小完全相同的直角三角形拼接而成，
∴由图形2可知，，，
又∵，
，
．
【分析】（1）将代入到式子中，然后再展开后合并同类项即可；
（2）对式子进行分组，分别进行因式分解，然后再提取公因式求解即可；
（3）①根据题意以及图形可得，，，再根据 ，求解即可；②先对式子进行分组，分别进行因式分解，再利用提取公因式结合公式求解即可；由，，，求得，得到，，再整体代入求值即可．
（1）解：∵，
∴
．
（2）解：
．
（3）解：①∵图2是由图1这样八个形状、大小完全相同的直角三角形拼接而成，
∴由图形2可知，，，
又∵，
，
．
②∵，，，
∴，
∵该直角三角形两条直角边长分别为和，
∴，，，
∴，，
∴
．
20．如图，在中，，，分别为的高．
（1）如图1，若，，连接，___________，___________；
（2）如图2，连接，将绕点逆时针旋转到，连接，为线段上一点，连接．若，求证：；
（3）如图3，若是线段上一动点，将线段绕着点逆时针旋转至线段，连接，，．当取得最小值时，请直接写出的面积．
【答案】（1），
（2）证明：如图：连接，设与交点为点P，
∵，，分别为的高，
∴，
∴，，
∴，
∴是等腰三角形，
∴，
∵将绕点逆时针旋转到，连接，
，，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
，
∵，，，
∴，
∴，
，，
，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是直角三角形，
，，
，
∴
∴，
∵，
∴．
（3）
【知识点】等腰三角形的判定与性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；等积变换
【解析】【解答】（1）解：如图，过点E作交于点H，
∵，，分别为的高，，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
，
，
∴，
，
∵，即，
∴；
在中，，即，
同理在中，，
∴，
，
∴是等腰三角形，
∵，
∴，
∴，
在中，
∵，，
∴，
在中，．
（3）解：如图：将绕点C逆时针旋转得到，连接，过点E作交于点H，设与交于点O，此时点Q在上运动，
由旋转的性质得到，，是等边三角形，
∴，
∵，
，
∴，
当时，有最小值，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
，
∵，，
∴，即，解得：，
∴
．
【分析】（1）根据题意可得是等腰直角三角形，即，利用，可得，在中，根据勾股定理可得，同理在中，根据勾股定理求出，从而得到，从而得到是等腰直角三角形，过点E作交于点H，得到，从而得到，，最后在中，利用勾股定理即可求出；
（2）连接，设与交点为点P，根据题意可得，即，得到是等腰三角形，得，由旋转的性质得到，即可证明得到，，再证明得到，由，得到，，再根据是直角三角形，得到，即可证明结论；
（3）如图：将绕点C逆时针旋转得到，连接，过点E作交于点H，设与交与点O，此时点Q在上运动，由旋转的性质得到，，是等边三角形，进而得到，，当时，有最小值，根据含30度的直角三角形得到，利用勾股定理求得，由题意得，，再求出，利用求出，根据求解即可．
（1）解：如图，过点E作交于点H，
∵，，分别为的高，，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
，
，
∴，
，
∵，即，
∴；
在中，，即，
同理在中，，
∴，
，
∴是等腰三角形，
∵，
∴，
∴，
在中，
∵，，
∴，
在中，．
（2）证明：如图：连接，设与交点为点P，
∵，，分别为的高，
∴，
∴，，
∴，
∴是等腰三角形，
∴，
∵将绕点逆时针旋转到，连接，
，，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
，
∵，，，
∴，
∴，
，，
，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是直角三角形，
，，
，
∴
∴，
∵，
∴．
（3）解：如图：将绕点C逆时针旋转得到，连接，过点E作交于点H，设与交于点O，此时点Q在上运动，
由旋转的性质得到，，是等边三角形，
∴，
∵，
，
∴，
当时，有最小值，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
，
∵，，
∴，即，解得：，
∴
．
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