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广东广州市第六中学2025-2026学年下学期八年级期中检测 数学
1．使代数式有意义的的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式有无意义的条件；解一元一次不等式
【解析】【解答】解：由题意知：，
解得：；
故选：C．
【分析】
根据被开方数非负性，可得，解不等式即可求得取值范围．
2．分别以下列各组数为边的三角形，不是直角三角形的是（　　）
A．，2， B． C．5，12，13 D．6，8，10
【答案】B
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A．，是直角三角形，故此选项不符合题意，
B．，不直角三角形，故此选项符合题意，
C．，是直角三角形，故此选项不符合题意，
D．，是直角三角形，故此选项不符合题意．
故选：B．
【分析】根据勾股定理的逆定理结合题意对选项逐一运算和判断，进而即可求解
3．我国古代园林连廊常采用八边形的窗户设计，其轮廓是一个正八边形，从窗户向外观看，景色宛如镶嵌于一个画框之中．如图是一个正八边形窗户的示意图，这个正八边形的每一个外角的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】多边形内角与外角；正多边形的性质；多边形的外角和公式
【解析】【解答】解： 任意多边形的外角和为，正八边形的8个外角都相等，
正八边形的每一个外角的度数为．
故选：B
【分析】根据多边形的外角和为以及正八边形各外角相等的性质，即可求解．
4．在平行四边形中，，则度数（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
又，
∴，
故选：C．
【分析】根据平行四边形的性质可得，结合，即可求解．
5．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除混合运算；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A.，故该选项不正确，不符合题意；
B.，故该选项不正确，不符合题意；
C.，故该选项不正确，不符合题意；
D.，故该选项正确，符合题意；
故选：D．
【分析】根据二次根式的性质和运算法则对选项逐个计算，求解即可．
6．下列命题正确的是（　　）
A．一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形
B．对角线相等的四边形是矩形
C．对角线相等且互相垂直的四边形是菱形
D．有一个角是直角的菱形是正方形
【答案】D
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】解：A、一组对边平行另一组对边相等的四边形是梯形，不是平行四边形，故本选项不符合题意；
B、对角线相等的平行四边形才是矩形，故本选项不符合题意；
C、对角线互相平分且互相垂直的四边形才是菱形，故本选项不符合题意；
D、有一个角是直角的菱形是正方形，故本选项符合题意；
故选：D．
【分析】根据平行四边形的判定、菱形的判定、矩形的判定、正方形的判定对选项逐一分析即可求解。
7．一根长的牙刷置于底面直径为、高为的圆柱形水杯中且靠杯底放置，若牙刷露在杯子外面的长度为，则h的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【解答】解：∵将一根长为的牙刷，置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，
∴在杯子中牙刷最短是等于杯子的高，最长是等于杯子斜边长度，
∴当杯子中牙刷最短是等于杯子的高时，，
最长时等于牙刷斜边长度是：，
∴h的取值范围是：，
即．
故选：C．
【分析】根据题意得到在杯子中牙刷最短是等于杯子的高，最长是等于杯子斜边长度，则当杯子中牙刷最短是等于杯子的高时，，再根据勾股定理结合题意即可求解。
8．如图，菱形，对角线与分别是3，4，于点E，则的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；菱形的性质；等积变换
【解析】【解答】解：∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：．
故选：A
【分析】根据菱形的性质可得，利用勾股定理求得BC的长度，再利用等面积法，求得AE即可．
9．已知，当分别取时，所对应值的总和是（　　）
A．2022 B．2024 C．2026 D．2028
【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简；探索数与式的规律；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：首先，利用二次根式性质，对函数进行化简：
当时：
当时：
当时：，因此，代入得
因此，当从到时：
对应；
对应；
到共个数，每个都对应。
总和为：，
故答案为：D。
【分析】先根据的取值范围，利用化简函数表达式，分段求出不同对应的值，再将所有值相加得到总和。
10．在矩形中，，点在上，点在上，且，连接，则的最小值为（　　）
A．12 B．13 C．16 D．17
【答案】B
【知识点】勾股定理；矩形的性质；三角形全等的判定-SAS；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【解答】解：连接，
∵矩形，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
延长到点，使得，连接交于点F，
∴当点P与点F重合时，取得最小值，且最小值为的长，
∵
∴，
∴，
故选：B．
【分析】连接，通过SAS可以证明，从而得到，延长到点，使得，连接交于点F，得到当点P与点F重合时，取得最小值，且最小值为的长，利用勾股定理求得CG即可．
11．比较大小：　 　（填“>”或“<”或“=”）．
【答案】
【知识点】实数的大小比较；复合二次根式概念、性质与运算
【解析】【解答】解：∵，而，
∴，
故答案为：．
【分析】把3移到根号下，，通过比较，即可得出。
12．从七边形的一个顶点出发，可以画出的对角线条数为　 　．
【答案】4
【知识点】多边形的对角线
【解析】【解答】解：从七边形的一个顶点出发，可以画出的对角线条数为（条），
故答案为：
【分析】根据多边形对角线的构成，从边形一个顶点出发，这个点本身及该点左右两侧相邻的两个点也无法连成对角线，得到从一个顶点出发，对角线的条数为，据此求解．
13．一棵大树在离地面6米处折断，树的顶部落在离根部8米处，则大树折断前有　 　米.
【答案】16
【知识点】风吹树折模型
【解析】【解答】解：∵大树在离地面6米，树的顶部落在离根部8米处，
∴根据勾股定理，树折断部分长为10米，
∴大树总长10米+6米=16米，
故答案为：16.
【分析】先利用勾股定理求出树折断部分长为10米，再利用线段的和差求出大树的总长即可.
14．如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，点E是AD的中点，△BCD的周长为18，则△DEO的周长是　 　．
【答案】9
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵E为AD中点，四边形ABCD是平行四边形，
∴DE=AD=BC，DO=BD，AO=CO，
∴OE=CD，
∵△BCD的周长为18，
∴BD+DC+BC=18，
∴△DEO的周长是DE+OE+DO=（BC+DC+BD）=×18=9，
故答案为：9．
【分析】根据平行四边性质可得DE=AD=BC，DO=BD，AO=CO，则OE=CD，再根据三角形周长即可求出答案.
15．使 是整数的最小正整数n=　 　．
【答案】3
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解： =2 ，由于 是整数，所以n的最小正整数值是3．
故答案为：3.
【分析】先把此二次根式化简，只要使得被开方数是最小的平方数即可.
16．如图，在中，D是的中点，，，　 　．
【答案】33
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：如图，过点C作于点E，
设，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∵D是的中点，
∴，
∴，
∴
∴．
故答案为：33
【分析】过点C作于点E，设，进而根据勾股定理表示出AE、BE，从而即可表示出AB，再根据中点得到BD，最后根据勾股定理得到，从而即可求解。
17．计算：
（1）；
（2）
【答案】（1）解：
（2）解：
【知识点】平方差公式及应用；二次根式的加减法；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）先化简每个二次根式，再合并同类二次根式即可；
（2）利用平方差公式和二次根式的乘法进行计算，然后求解即可．
（1）解：
（2）解：
18．如图，在平行四边形中，，求证：．
【答案】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴在和中，
，
∴，
∴．
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】 在平行四边形中， 利用平行四边形的性质可得，，通过SAS可以证明，即可求证．
19．一个正多边形的一个内角是其相邻外角的3倍．求该正多边形的边数和内角和．
【答案】解：设多边形的每个外角的度数为，则内角为，
，
解得，
即这个多边形的边数是：．
这个多边形的内角和是：．
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【分析】设多边形的每个外角的度数为，则内角为，根据题意可得，求得，再根据多边形的外角和等于求得多边形的边数，再根据内角和公式求解即可．
20．已知：，，分别求下列代数式的值：
（1）；
（2）
【答案】（1）解：∵，，∴，，
；
（2）解：∵，，∴，，
∴．
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；二次根式的化简求值
【解析】【分析】（1）先根据a和b的值求出和的值，进而根据平方差公式变形，从而整体代入即可求解；
（2）先根据a和b的值求出和的值，进而根据完全平方公式变形，从而整体代入即可求解。
（1）解：∵，，
∴，，
；
（2）解：∵，，
∴，，
∴．
21．如图，在四边形中，，，，．
（1）求的度数；
（2）求四边形的面积．
【答案】（1）解：，，
，，
在中，，，
，，
，
是直角三角形，
；
（2）解：由题意得：四边形的面积的面积的面积
．
四边形的面积为．
【知识点】三角形的面积；勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】（1）先根据勾股定理得到AC的长，进而根据勾股定理的逆定理得到，从而即可求解；
（2）根据题意得到四边形的面积的面积的面积，进而根据三角形的面积即可求解。
（1）解：，，
，，
在中，，，
，，
，
是直角三角形，
；
（2）解：由题意得：四边形的面积的面积的面积
．
四边形的面积为．
22．在四边形中，，，．
（1）用尺规作的平分线（基本作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）的情形下，设的平分线交于点，连接，猜想四边形是哪种特殊的平行四边形？并证明你的猜想．
【答案】（1）解：如图，射线即为所求作；
（2）解：四边形是菱形，证明如下：
，
，
平分，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的判定；菱形的判定；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】（1）根据角平分线的作图方法，求解即可；
（2）根据题意可得，根据平行线的性质以及等边对等角得到，从而得到四边形是平行四边形，再根据即可求证．
（1）解：如图，射线即为所求作；
（2）四边形是菱形，证明如下：
，
，
平分，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形．
23．点，是不同边上的两点（，不与顶点重合），连接，的一个顶点（不妨设为B）关于的对称点为，我们把的其他顶点（不妨设为D）与的距离称为这个点与的“关联距离”．比如：如图（1），点与关于对称，若，则点与的“关联距离”是．
（1）如图（2），四边形是矩形，点关于的对称点恰好在上，若，，，则点与的“关联距离”______，点与的“关联距离”______；
（2）如图（3），，点关于的对称点在的延长线上，若，，求点与的“关联距离”．
【答案】（1）；
（2）解：过点作于点，连接，如图所示：
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴
∵点关于的对称点在的延长线上，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴在中，，
∵，
∴在中，，
点与的“关联距离”．
【知识点】等边三角形的判定与性质；平行四边形的性质；矩形的性质；轴对称的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】（1）解：连接，如图所示：
∵点与点关于对称，
∴
∵四边形为矩形，
∴，，
∴在中，
∴；
∴在中，
∴则点与的“关联距离”，点与的“关联距离”；
【分析】（1）连接，，由点与点关于对称，可得，由勾股定理可得，求得，再用勾股定理求，再根据“关联距离”的定义，即可求解．
（2）过点作于点，连接，根据题意可以得到为等边三角形，进而，最后根据勾股定理求解即可．
（1）解：连接，如图所示：
∵点与点关于对称，
∴
∵四边形为矩形，
∴，，
∴在中，
∴；
∴在中，
∴则点与的“关联距离”，点与的“关联距离”；
（2）解：过点作于点，连接，如图所示：
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴
∵点关于的对称点在的延长线上，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴在中，，
∵，
∴在中，，
点与的“关联距离”．
24．若正整数，，（）满足，则称，，为一组勾股数．
（1）观察提供的4组勾股数的规律，完成第②组勾股数：
①，，；②5，______，______；③，，；④，，；⑤，，；
（2）毕达哥拉斯学派曾提出，，（n为正整数）是一组勾股数，请证明满足以上式子的，，是一组勾股数；
（3）直角三角形三条边长，，（）是勾股数，且周长的值是面积值的倍（为正整数），求的值和这个三角形的三边长度．
【答案】（1）；
（2）解：∵，，
∴，，
∴，，是一组勾股数；
（3）解：由题意可知得：三角形的周长为：，三角形的面积为：，∴，整理得，
由勾股定理可得：，
∵，
∴，
∴，
展开得：，
把代入可得：
，
把代入可得：
，
整理得：，
∵是正整数，是正整数，
①当时，则，
∴，
，
把代入可得：
，
因式分解可得：，
∵和都为整数，且，
∴当时，，
解得：，，；
当时，，
解得：，，；
②当时，则，
∴，
同理可得：，
∵和都为整数，且，
∴当时，，
解得：，，；
③当时，则，
∴，
同理可得：，
两整数相乘不可能等于，故此情况不符合题意；
综上：当时，三边长为，，；当时，三边长为，，或，，．
【知识点】完全平方公式及运用；因式分解的应用；勾股定理的逆定理；勾股数
【解析】【解答】（1）解：由题意可得：，这组勾股数是，，
【分析】（1）利用勾股数的定义得到，求解即可；
（2）利用勾股定理验证得到， 即可求证；
（3）由题意可知，三角形的周长为：，三角形的面积为：，根据题意可得，利用完全平方公式和勾股定理整理式子，得到，再分类讨论的取值情况结合完全平方公式运算求解即可．
（1）解：由题意可得：这组勾股数是，，
（2）解：∵，，
∴，，
∴，，是一组勾股数；
（3）解：由题意可知得：三角形的周长为：，三角形的面积为：，
∴，整理得，
由勾股定理可得：，
∵，
∴，
∴，
展开得：，
把代入可得：
，
把代入可得：
，
整理得：，
∵是正整数，是正整数，
①当时，则，
∴，
，
把代入可得：
，
因式分解可得：，
∵和都为整数，且，
∴当时，，
解得：，，；
当时，，
解得：，，；
②当时，则，
∴，
同理可得：，
∵和都为整数，且，
∴当时，，
解得：，，；
③当时，则，
∴，
同理可得：，
两整数相乘不可能等于，故此情况不符合题意；
综上：当时，三边长为，，；当时，三边长为，，或，，．
25．如图，P是正方形边上一个动点，线段与关于射线对称，连接并延长交射线于点F，连接．
（1）如图1，若，则______；
（2）如图2，能否为等腰三角形？如果能，求此时的度数；如果不能，请说明理由；
（3）如图2，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）45
（2）解：能成为等腰三角形，理由如下：
①由（1）可得：
∵
∴
∴不能为等腰三角形的顶角时，
②当为等腰三角形的顶角时，
则，
此时，与重合，不符合题意；
③当为等腰三角形的顶角时，
则，
设，则，
∴，
∴，
∵在等腰中，，
∴，
解得：，
∴时，能为等腰三角形；
（3）解：连接，过点作交于点，如图所示：
∵四边形是正方形，
∴，，
∴在中，，
∵，
∴，
∴，
设，由（2）同理可得：，，
∴在中，，
∴，
∴，
∴在和中：
，
∴，
∴，
又∵在和中，，
∴，
∴在中，，
∴．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质；轴对称的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】解答】（1）解：∵四边形是正方形，
∴，
∴
∵线段与关于射线对称，
∴，
∴
∴在等腰中，
∴在中，
【分析】（1）在 正方形中，，根据 可得，由对称的性质可得到，得到，利用等腰三角形的性质求出度数，再由三角形内角和求解即可；
（2）根据等腰三角形的性质，确定出等腰三角形的顶角，再分情况讨论，设，用含的式子表示出和的度数，再通过建立方程求解即可；
（3）连接，过点作交于点，根据勾股定理可得，通过SAS可以证明，得到，推出，得到，即可得到三边关系．
（1）解：∵四边形是正方形，
∴，
∴
∵线段与关于射线对称，
∴，
∴
∴在等腰中，
∴在中，
（2）解：能成为等腰三角形，理由如下：
①由（1）可得：
∵
∴
∴不能为等腰三角形的顶角时，
②当为等腰三角形的顶角时，
则，
此时，与重合，不符合题意；
③当为等腰三角形的顶角时，
则，
设，则，
∴，
∴，
∵在等腰中，，
∴，
解得：，
∴时，能为等腰三角形；
（3）解：连接，过点作交于点，如图所示：
∵四边形是正方形，
∴，，
∴在中，，
∵，
∴，
∴，
设，由（2）同理可得：，，
∴在中，，
∴，
∴，
∴在和中：
，
∴，
∴，
又∵在和中，，
∴，
∴在中，，
∴．
1 / 1广东广州市第六中学2025-2026学年下学期八年级期中检测 数学
1．使代数式有意义的的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
2．分别以下列各组数为边的三角形，不是直角三角形的是（　　）
A．，2， B． C．5，12，13 D．6，8，10
3．我国古代园林连廊常采用八边形的窗户设计，其轮廓是一个正八边形，从窗户向外观看，景色宛如镶嵌于一个画框之中．如图是一个正八边形窗户的示意图，这个正八边形的每一个外角的度数是（　　）
A． B． C． D．
4．在平行四边形中，，则度数（　　）
A． B． C． D．
5．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
6．下列命题正确的是（　　）
A．一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形
B．对角线相等的四边形是矩形
C．对角线相等且互相垂直的四边形是菱形
D．有一个角是直角的菱形是正方形
7．一根长的牙刷置于底面直径为、高为的圆柱形水杯中且靠杯底放置，若牙刷露在杯子外面的长度为，则h的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
8．如图，菱形，对角线与分别是3，4，于点E，则的长为（　　）
A． B． C． D．
9．已知，当分别取时，所对应值的总和是（　　）
A．2022 B．2024 C．2026 D．2028
10．在矩形中，，点在上，点在上，且，连接，则的最小值为（　　）
A．12 B．13 C．16 D．17
11．比较大小：　 　（填“>”或“<”或“=”）．
12．从七边形的一个顶点出发，可以画出的对角线条数为　 　．
13．一棵大树在离地面6米处折断，树的顶部落在离根部8米处，则大树折断前有　 　米.
14．如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，点E是AD的中点，△BCD的周长为18，则△DEO的周长是　 　．
15．使 是整数的最小正整数n=　 　．
16．如图，在中，D是的中点，，，　 　．
17．计算：
（1）；
（2）
18．如图，在平行四边形中，，求证：．
19．一个正多边形的一个内角是其相邻外角的3倍．求该正多边形的边数和内角和．
20．已知：，，分别求下列代数式的值：
（1）；
（2）
21．如图，在四边形中，，，，．
（1）求的度数；
（2）求四边形的面积．
22．在四边形中，，，．
（1）用尺规作的平分线（基本作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）的情形下，设的平分线交于点，连接，猜想四边形是哪种特殊的平行四边形？并证明你的猜想．
23．点，是不同边上的两点（，不与顶点重合），连接，的一个顶点（不妨设为B）关于的对称点为，我们把的其他顶点（不妨设为D）与的距离称为这个点与的“关联距离”．比如：如图（1），点与关于对称，若，则点与的“关联距离”是．
（1）如图（2），四边形是矩形，点关于的对称点恰好在上，若，，，则点与的“关联距离”______，点与的“关联距离”______；
（2）如图（3），，点关于的对称点在的延长线上，若，，求点与的“关联距离”．
24．若正整数，，（）满足，则称，，为一组勾股数．
（1）观察提供的4组勾股数的规律，完成第②组勾股数：
①，，；②5，______，______；③，，；④，，；⑤，，；
（2）毕达哥拉斯学派曾提出，，（n为正整数）是一组勾股数，请证明满足以上式子的，，是一组勾股数；
（3）直角三角形三条边长，，（）是勾股数，且周长的值是面积值的倍（为正整数），求的值和这个三角形的三边长度．
25．如图，P是正方形边上一个动点，线段与关于射线对称，连接并延长交射线于点F，连接．
（1）如图1，若，则______；
（2）如图2，能否为等腰三角形？如果能，求此时的度数；如果不能，请说明理由；
（3）如图2，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】二次根式有无意义的条件；解一元一次不等式
【解析】【解答】解：由题意知：，
解得：；
故选：C．
【分析】
根据被开方数非负性，可得，解不等式即可求得取值范围．
2．【答案】B
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A．，是直角三角形，故此选项不符合题意，
B．，不直角三角形，故此选项符合题意，
C．，是直角三角形，故此选项不符合题意，
D．，是直角三角形，故此选项不符合题意．
故选：B．
【分析】根据勾股定理的逆定理结合题意对选项逐一运算和判断，进而即可求解
3．【答案】B
【知识点】多边形内角与外角；正多边形的性质；多边形的外角和公式
【解析】【解答】解： 任意多边形的外角和为，正八边形的8个外角都相等，
正八边形的每一个外角的度数为．
故选：B
【分析】根据多边形的外角和为以及正八边形各外角相等的性质，即可求解．
4．【答案】C
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
又，
∴，
故选：C．
【分析】根据平行四边形的性质可得，结合，即可求解．
5．【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除混合运算；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A.，故该选项不正确，不符合题意；
B.，故该选项不正确，不符合题意；
C.，故该选项不正确，不符合题意；
D.，故该选项正确，符合题意；
故选：D．
【分析】根据二次根式的性质和运算法则对选项逐个计算，求解即可．
6．【答案】D
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】解：A、一组对边平行另一组对边相等的四边形是梯形，不是平行四边形，故本选项不符合题意；
B、对角线相等的平行四边形才是矩形，故本选项不符合题意；
C、对角线互相平分且互相垂直的四边形才是菱形，故本选项不符合题意；
D、有一个角是直角的菱形是正方形，故本选项符合题意；
故选：D．
【分析】根据平行四边形的判定、菱形的判定、矩形的判定、正方形的判定对选项逐一分析即可求解。
7．【答案】C
【知识点】勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【解答】解：∵将一根长为的牙刷，置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，
∴在杯子中牙刷最短是等于杯子的高，最长是等于杯子斜边长度，
∴当杯子中牙刷最短是等于杯子的高时，，
最长时等于牙刷斜边长度是：，
∴h的取值范围是：，
即．
故选：C．
【分析】根据题意得到在杯子中牙刷最短是等于杯子的高，最长是等于杯子斜边长度，则当杯子中牙刷最短是等于杯子的高时，，再根据勾股定理结合题意即可求解。
8．【答案】A
【知识点】勾股定理；菱形的性质；等积变换
【解析】【解答】解：∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：．
故选：A
【分析】根据菱形的性质可得，利用勾股定理求得BC的长度，再利用等面积法，求得AE即可．
9．【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简；探索数与式的规律；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：首先，利用二次根式性质，对函数进行化简：
当时：
当时：
当时：，因此，代入得
因此，当从到时：
对应；
对应；
到共个数，每个都对应。
总和为：，
故答案为：D。
【分析】先根据的取值范围，利用化简函数表达式，分段求出不同对应的值，再将所有值相加得到总和。
10．【答案】B
【知识点】勾股定理；矩形的性质；三角形全等的判定-SAS；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【解答】解：连接，
∵矩形，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
延长到点，使得，连接交于点F，
∴当点P与点F重合时，取得最小值，且最小值为的长，
∵
∴，
∴，
故选：B．
【分析】连接，通过SAS可以证明，从而得到，延长到点，使得，连接交于点F，得到当点P与点F重合时，取得最小值，且最小值为的长，利用勾股定理求得CG即可．
11．【答案】
【知识点】实数的大小比较；复合二次根式概念、性质与运算
【解析】【解答】解：∵，而，
∴，
故答案为：．
【分析】把3移到根号下，，通过比较，即可得出。
12．【答案】4
【知识点】多边形的对角线
【解析】【解答】解：从七边形的一个顶点出发，可以画出的对角线条数为（条），
故答案为：
【分析】根据多边形对角线的构成，从边形一个顶点出发，这个点本身及该点左右两侧相邻的两个点也无法连成对角线，得到从一个顶点出发，对角线的条数为，据此求解．
13．【答案】16
【知识点】风吹树折模型
【解析】【解答】解：∵大树在离地面6米，树的顶部落在离根部8米处，
∴根据勾股定理，树折断部分长为10米，
∴大树总长10米+6米=16米，
故答案为：16.
【分析】先利用勾股定理求出树折断部分长为10米，再利用线段的和差求出大树的总长即可.
14．【答案】9
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵E为AD中点，四边形ABCD是平行四边形，
∴DE=AD=BC，DO=BD，AO=CO，
∴OE=CD，
∵△BCD的周长为18，
∴BD+DC+BC=18，
∴△DEO的周长是DE+OE+DO=（BC+DC+BD）=×18=9，
故答案为：9．
【分析】根据平行四边性质可得DE=AD=BC，DO=BD，AO=CO，则OE=CD，再根据三角形周长即可求出答案.
15．【答案】3
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解： =2 ，由于 是整数，所以n的最小正整数值是3．
故答案为：3.
【分析】先把此二次根式化简，只要使得被开方数是最小的平方数即可.
16．【答案】33
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：如图，过点C作于点E，
设，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∵D是的中点，
∴，
∴，
∴
∴．
故答案为：33
【分析】过点C作于点E，设，进而根据勾股定理表示出AE、BE，从而即可表示出AB，再根据中点得到BD，最后根据勾股定理得到，从而即可求解。
17．【答案】（1）解：
（2）解：
【知识点】平方差公式及应用；二次根式的加减法；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）先化简每个二次根式，再合并同类二次根式即可；
（2）利用平方差公式和二次根式的乘法进行计算，然后求解即可．
（1）解：
（2）解：
18．【答案】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴在和中，
，
∴，
∴．
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】 在平行四边形中， 利用平行四边形的性质可得，，通过SAS可以证明，即可求证．
19．【答案】解：设多边形的每个外角的度数为，则内角为，
，
解得，
即这个多边形的边数是：．
这个多边形的内角和是：．
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【分析】设多边形的每个外角的度数为，则内角为，根据题意可得，求得，再根据多边形的外角和等于求得多边形的边数，再根据内角和公式求解即可．
20．【答案】（1）解：∵，，∴，，
；
（2）解：∵，，∴，，
∴．
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；二次根式的化简求值
【解析】【分析】（1）先根据a和b的值求出和的值，进而根据平方差公式变形，从而整体代入即可求解；
（2）先根据a和b的值求出和的值，进而根据完全平方公式变形，从而整体代入即可求解。
（1）解：∵，，
∴，，
；
（2）解：∵，，
∴，，
∴．
21．【答案】（1）解：，，
，，
在中，，，
，，
，
是直角三角形，
；
（2）解：由题意得：四边形的面积的面积的面积
．
四边形的面积为．
【知识点】三角形的面积；勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】（1）先根据勾股定理得到AC的长，进而根据勾股定理的逆定理得到，从而即可求解；
（2）根据题意得到四边形的面积的面积的面积，进而根据三角形的面积即可求解。
（1）解：，，
，，
在中，，，
，，
，
是直角三角形，
；
（2）解：由题意得：四边形的面积的面积的面积
．
四边形的面积为．
22．【答案】（1）解：如图，射线即为所求作；
（2）解：四边形是菱形，证明如下：
，
，
平分，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的判定；菱形的判定；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】（1）根据角平分线的作图方法，求解即可；
（2）根据题意可得，根据平行线的性质以及等边对等角得到，从而得到四边形是平行四边形，再根据即可求证．
（1）解：如图，射线即为所求作；
（2）四边形是菱形，证明如下：
，
，
平分，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形．
23．【答案】（1）；
（2）解：过点作于点，连接，如图所示：
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴
∵点关于的对称点在的延长线上，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴在中，，
∵，
∴在中，，
点与的“关联距离”．
【知识点】等边三角形的判定与性质；平行四边形的性质；矩形的性质；轴对称的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】（1）解：连接，如图所示：
∵点与点关于对称，
∴
∵四边形为矩形，
∴，，
∴在中，
∴；
∴在中，
∴则点与的“关联距离”，点与的“关联距离”；
【分析】（1）连接，，由点与点关于对称，可得，由勾股定理可得，求得，再用勾股定理求，再根据“关联距离”的定义，即可求解．
（2）过点作于点，连接，根据题意可以得到为等边三角形，进而，最后根据勾股定理求解即可．
（1）解：连接，如图所示：
∵点与点关于对称，
∴
∵四边形为矩形，
∴，，
∴在中，
∴；
∴在中，
∴则点与的“关联距离”，点与的“关联距离”；
（2）解：过点作于点，连接，如图所示：
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴
∵点关于的对称点在的延长线上，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴在中，，
∵，
∴在中，，
点与的“关联距离”．
24．【答案】（1）；
（2）解：∵，，
∴，，
∴，，是一组勾股数；
（3）解：由题意可知得：三角形的周长为：，三角形的面积为：，∴，整理得，
由勾股定理可得：，
∵，
∴，
∴，
展开得：，
把代入可得：
，
把代入可得：
，
整理得：，
∵是正整数，是正整数，
①当时，则，
∴，
，
把代入可得：
，
因式分解可得：，
∵和都为整数，且，
∴当时，，
解得：，，；
当时，，
解得：，，；
②当时，则，
∴，
同理可得：，
∵和都为整数，且，
∴当时，，
解得：，，；
③当时，则，
∴，
同理可得：，
两整数相乘不可能等于，故此情况不符合题意；
综上：当时，三边长为，，；当时，三边长为，，或，，．
【知识点】完全平方公式及运用；因式分解的应用；勾股定理的逆定理；勾股数
【解析】【解答】（1）解：由题意可得：，这组勾股数是，，
【分析】（1）利用勾股数的定义得到，求解即可；
（2）利用勾股定理验证得到， 即可求证；
（3）由题意可知，三角形的周长为：，三角形的面积为：，根据题意可得，利用完全平方公式和勾股定理整理式子，得到，再分类讨论的取值情况结合完全平方公式运算求解即可．
（1）解：由题意可得：这组勾股数是，，
（2）解：∵，，
∴，，
∴，，是一组勾股数；
（3）解：由题意可知得：三角形的周长为：，三角形的面积为：，
∴，整理得，
由勾股定理可得：，
∵，
∴，
∴，
展开得：，
把代入可得：
，
把代入可得：
，
整理得：，
∵是正整数，是正整数，
①当时，则，
∴，
，
把代入可得：
，
因式分解可得：，
∵和都为整数，且，
∴当时，，
解得：，，；
当时，，
解得：，，；
②当时，则，
∴，
同理可得：，
∵和都为整数，且，
∴当时，，
解得：，，；
③当时，则，
∴，
同理可得：，
两整数相乘不可能等于，故此情况不符合题意；
综上：当时，三边长为，，；当时，三边长为，，或，，．
25．【答案】（1）45
（2）解：能成为等腰三角形，理由如下：
①由（1）可得：
∵
∴
∴不能为等腰三角形的顶角时，
②当为等腰三角形的顶角时，
则，
此时，与重合，不符合题意；
③当为等腰三角形的顶角时，
则，
设，则，
∴，
∴，
∵在等腰中，，
∴，
解得：，
∴时，能为等腰三角形；
（3）解：连接，过点作交于点，如图所示：
∵四边形是正方形，
∴，，
∴在中，，
∵，
∴，
∴，
设，由（2）同理可得：，，
∴在中，，
∴，
∴，
∴在和中：
，
∴，
∴，
又∵在和中，，
∴，
∴在中，，
∴．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质；轴对称的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】解答】（1）解：∵四边形是正方形，
∴，
∴
∵线段与关于射线对称，
∴，
∴
∴在等腰中，
∴在中，
【分析】（1）在 正方形中，，根据 可得，由对称的性质可得到，得到，利用等腰三角形的性质求出度数，再由三角形内角和求解即可；
（2）根据等腰三角形的性质，确定出等腰三角形的顶角，再分情况讨论，设，用含的式子表示出和的度数，再通过建立方程求解即可；
（3）连接，过点作交于点，根据勾股定理可得，通过SAS可以证明，得到，推出，得到，即可得到三边关系．
（1）解：∵四边形是正方形，
∴，
∴
∵线段与关于射线对称，
∴，
∴
∴在等腰中，
∴在中，
（2）解：能成为等腰三角形，理由如下：
①由（1）可得：
∵
∴
∴不能为等腰三角形的顶角时，
②当为等腰三角形的顶角时，
则，
此时，与重合，不符合题意；
③当为等腰三角形的顶角时，
则，
设，则，
∴，
∴，
∵在等腰中，，
∴，
解得：，
∴时，能为等腰三角形；
（3）解：连接，过点作交于点，如图所示：
∵四边形是正方形，
∴，，
∴在中，，
∵，
∴，
∴，
设，由（2）同理可得：，，
∴在中，，
∴，
∴，
∴在和中：
，
∴，
∴，
又∵在和中，，
∴，
∴在中，，
∴．
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