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广东佛山市南海区狮山镇2025~2026 学年度第二学期七年级 期中教学质量检测试题
1．下列各运算中，计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．数据0.000000028用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
3．下列英文大写字母中，不含有同旁内角的是（　　）
A． B． C． D．
4．下列算式能用平方差公式计算的是（　　）
A． B． C． D．
5．确定了“”“豆包”“”三个主题，小红随机选择其中一个主题，她恰好选中“”的概率是（　　）
A． B． C． D．
6．已知与互为余角，若，则的补角的大小为（　　）
A． B． C． D．
7．下面给出的四个三角形都有一部分被遮挡，如果按角的大小来进行分类，其中不能判断三角形类型的是（　　）
A． B． C． D．
8．下列现象能用“垂线段最短”来解释的是（　　）
A． B．
C． D．
9．如图，AB⊥AC，AD⊥BC，垂足分别为A，D，则图中能表示点到直线距离的线段共有（　　）
A．2条 B．3条 C．4条 D．5条
10．如图，下列条件中，不能判定的是（　　）
A． B．
C． D．
11．如图，△ACB≌△A'CB'，∠BCB'=30°，则∠ACA'的度数为　 　°．
12．已知m，n是正整数，且满足，则m与n的关系是　 　．
13．如图，在中，AD是BC边上的中线，的周长比的周长多5cm，若cm，则AC的长为　 　cm．
14．如图，将长方形纸条折叠，若，则　 　°．
15．如图，直线a，b被直线c所截，请添加一个条件　 　，使得．（只添一种情况即可）
16．计算：
17．先化简，再求值：，其中．
18．如图，已知，点C和点E，点A和点F是对应顶点，，，，，求的长，以及，的度数．
19．一个不透明的口袋中装有 8 个白球和 12 个红球，每个球除颜色外都相同．
（1）求从口袋中随机摸出一个球是红球这一事件的概率；
（2）从口袋中取走 x个红球后，再放人 x 个白球，并充分摇匀，如果随机摸出白球的概率是，求x的值．
20．如图是一种躺椅及其简化结构示意图，扶手与底座都平行于地面，靠背与支架平行，前支架与后支架分别与交于点G和点D．与交于点N，当前支架与后支架正好垂直，时，人躺着最舒服，求此时扶手与靠背的夹角的度数．读懂下面的推理过程，并填空．
解：∵，（已知）
∴．（ ）
∵ ____，（已知）
∴_____，（　　）
又∵，
∴．
∵，，（已知）
∴_____．（ ）
∴_____．（ ）
21．已知：整式，，为任意有理数．
（1）的值可能为负数吗？请说明理由；
（2）请通过计算说明：当是整数时，的值一定能被整除．
22．已知长方形，，，将图1沿虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成图2中的“回字形”正方形．
（1）观察图2，请你写出、、之间的等量关系是_____；
（2）根据（1）中的结论，若，，求的值；
（3）拓展应用：如图3，点M，Q分别是，的中点，点E在上，，以为边作正方形，点G在上，交于点N，长方形的面积为，若，求的值．
23．按要求完成以下问题
（1）如图①，，与的角平分线相交于点P，求的大小；
（2）如图②，，点E，F在直线之间，小明认为，你能帮他说出理由吗？
（3）如图，，，，，与的角平分线相交于点P，则 ；（用α，β，γ的代数式表示）
（4）结合（3）的探索经验，对这一模型进行一般化研究．若，在平行线与之间有，，，，…，，与的角平分线相交于点P，则_____；（用含，，，，…，的代数式表示）
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、与不是同类项，不能合并，故A选项计算错误；
B、，故B选项计算错误；
C、，故C选项计算错误；
D、，故D选项计算正确．
故选：D
【分析】根据合并同类项，完全平方公式，积的乘方等运算，对选项逐个判断即可．
2．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：．
故选：B
【分析】用科学记数法表示数时，一般形式为，其中，n可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．
3．【答案】D
【知识点】同旁内角的概念
【解析】【解答】解：观察可知，D选项的字母，只有两条直线，不存在同旁内角；A，C，B中都含有同旁内角．
故选：D
【分析】根据同旁内角的定义，两条直线被第三条直线所截，在截线同旁，且在被截线之间的两角，叫做同旁内角，对选项逐个进行判断即可．
4．【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用
【解析】【解析】A、，不能用平方差公式计算，故本选项不符合题意；
B、，能用完全平方公式计算，不能用平方差公式计算，故本选项不符合题意；
C、，能用完全平方公式计算，不能用平方差公式计算，故本选项不符合题意；
D、，能用平方差公式计算，故本选项符合题意；
故选：D．
【分析】本题考查了平方差公式（a+b)(a-b)=a2-b2和完全平方公式（a+b)2=a2+2ab+b2，属于基本题型，A、，不符合平方差公式结构；B、，能用完全平方公式计算，不能用平方差公式计算；C、，能用完全平方公式计算，不能用平方差公式计算；D、，能用平方差公式计算.熟知平方差公式和完全平方公式的结构特点是解题的关键．
5．【答案】B
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：∵总共有3个等可能的选择结果，恰好选中“”的结果只有1种，
∴她恰好选中“”的概率是．
故选：B
【分析】根据概率公式，求得总的可能数为3，选中“”的可能数为1，求解即可．
6．【答案】B
【知识点】余角；补角
【解析】【解答】解：∵与互为余角，若，
∴
故选B
【分析】根据与互为余可得，求出，再根据互补求解即可．
7．【答案】C
【知识点】三角形相关概念；三角形的分类
【解析】【解答】解：观察图形可知：
A、露出的角是直角，因此是直角三角形；
B、知道两个角，可以计算出第三个角的度数，因此可以判断出三角形类型；
C、露出的角是锐角，其他两角都不知道，因此不能判断出三角形类型；
D、露出的角是钝角，因此是钝角三角形．
故选：C．
【分析】观察图形，再根据三角形按角分类的方法，对选项逐个判断即可．
8．【答案】A
【知识点】两点确定一条直线；两点之间线段最短；垂线段最短及其应用
【解析】【解答】解：A、用垂线段最短解释，符合题意；
B、用两点确定一条直线解释，不符合题意；
C、用两点确定一条直线解释，不符合题意；
D、用两点之间线段最短解释，不符合题意；
故选：A
【分析】结合图形以及基本的几何原理，对选项逐个进行判断求解即可．
9．【答案】D
【知识点】点到直线的距离
【解析】【解答】如图所示，根据点到直线的距离就是这个点到这条直线垂线段的长度可知，
线段AB是点B到AC的距离，
线段CA是点C到AB的距离，
线段AD是点A到BC的距离，
线段BD是点B到AD的距离，
线段CD是点C到AD的距离，
所以图中能表示点到直线距离的线段共有5条．
故选：D.
【分析】根据点到直线的距离结合题意即可求解。
10．【答案】C
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：A.∵，
∴；
B. ∵，
∴；
C. ∵，
∴，
无法得出；
D.∵，
∴；
故答案为：C
【分析】根据平行线的判定结合题意对选项逐一判断，进而即可求解。
11．【答案】30
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：∵△ACB≌△A'CB'，
∴∠ACB=∠A'CB'，
即∠ACA'+∠A'CB=∠B'CB+∠A'CB，
∴∠ACA'=∠B'CB，
又∠B'CB=30°
∴∠ACA'=30°．
故答案为30
【分析】根据全等三角形的性质可得∠ACB=∠A'CB'，根据角之间的和差关系，得到∠ACA'=∠B'CB，即可求解．
12．【答案】
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴．
故答案为：
【分析】根据同底数幂的乘法可得，即可求解．
13．【答案】18
【知识点】三角形的中线
【解析】【解答】解：∵(AD+DC+AC)-(AB+BD+AD)=5，BD=CD，AB=13，
∴AC-AB=5，
∴AC=13+5=18cm，
故答案为18．
【分析】根据的周长比的周长多5cm可以得到(AD+DC+AC)-(AB+BD+AD)=5，从而得到AC-AB=5，结合AB=13，代入计算即可．
14．【答案】80
【知识点】轴对称的性质；翻折变换（折叠问题）；邻补角
【解析】【解答】解：如图，
∵，
∴，
由轴对称的性质可得：，
∴，
故答案为：．
【分析】根据题意，标注各点，根据题意可得，再根据轴对称的性质可得，结合角的和差关系求解即可．
15．【答案】（答案不唯一）
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：①，
（同位角相等，两直线平行）；
②，
（内错角相等，两直线平行）；
③，
（同旁内角互补，两直线平行）；
综上所述，添加条件或或，使得．
故答案为：（答案不唯一）．
【分析】根据平行线的判定结合题意添加条件，进而即可求解。
16．【答案】解：
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；有理数的乘方法则；求有理数的绝对值的方法
【解析】【分析】先根据零指数幂，负整数指数幂，绝对值以及乘方的运算法则化简每个式子，再计算加减，即可求解．
17．【答案】解：
；
当时，原式．
【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式及运用；平方差公式及应用；利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】根据完全平方公式，平方差公式以及整式的四则运算法则进行化简，然后代入求值即可．
18．【答案】解：∵，点和点、点和点是对应顶点，
∴，，．
∵，，，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵在中，，，，
∴，
∴．
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质
【解析】【分析】根据全等三角形的性质，可得，，，根据题意可得，从而得到的长．由对应角相等直接得到的度数；再利用三角形内角和定理，先算出中的度数，最后根据对应角相等得到的度数．
19．【答案】（1）解：∵一个不透明的口袋中装有 8 个白球和 12 个红球，且每个球被摸到的概率相同，
∴从口袋中随机摸出一个球是红球这一事件的概率为；
（2）解：由题意得，，
解得．
【知识点】概率公式；简单事件概率的计算
【解析】【分析】（1）根据简单事件的概率结合题意用红球的个数除以球的总数，进而即可求解；
（2）根据题意结合概率公式列出一元一次方程，进而即可求解。
（1）解：∵一个不透明的口袋中装有 8 个白球和 12 个红球，且每个球被摸到的概率相同，
∴从口袋中随机摸出一个球是红球这一事件的概率为；
（2）解：由题意得，，
解得．
20．【答案】解：∵，（已知）
∴．（垂直的定义）
∵，（已知）
∴，（两直线平行，内错角相等）
又∵，
∴．
∵，，（已知）
∴．（平行于同一直线的两条直线平行）
∴．（两直线平行，同位角相等）
垂直的定义；；；；两直线平行，内错角相等；；平行于同一直线的两条直线平行；；两直线平行，同位角相等
【知识点】垂线的概念；平行线的应用-求角度
【解析】【分析】根据垂直的性质可得 ，再由平行线的性质可得，根据角的和差关系可得，根据平行线的判定可得，最后根据平行线的性质，即可求解．
21．【答案】（1）解：不可能为负，理由如下：
，∵，
∴，
∴的值不可能为负数；
（2）解：，
∵是整数，
∴能被整除，
∴的值一定能被整除．
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；整式的混合运算
【解析】【分析】（1）根据整式乘法，计算出的值，结合平方的非负性进行判断即可；
（2）根据完全平方公式，计算得，结合题干可知，能被整除，因此结论成立．
（1）解：，
∵，
∴，
∴的值不可能为负数；
（2）解：，
∵是整数，
∴能被整除，
∴的值一定能被整除．
22．【答案】（1）
（2）解：由（）得，，∵，，
∴，
∴，
∴；
（3）解：由题意可知，正方形的边长为，，
∵，，
∴，
即，
∵长方形的面积为，即，
∴，
把代入得，，
整理得，，
∴．
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】（1）解：图中，大正方形的边长为，面积为，阴影部分是边长为，面积为，个空白长方形的面积和为，
所以有，
故答案为：；
【分析】（）根据图（）表示出大正方形、小正方形（阴影部分）和个空白长方形的面积和，再根据大正方形的面积等于四个长方形与小正方形的面积和，求解即可；
（）根据（1）中的等量关系可得，求得，即可求解；
（）根据图形可得正方形的边长为，，再根据可得，再根据长方形的面积为，可以得到，即，最后代入计算即可求解．
（1）解：图中，大正方形的边长为，面积为，阴影部分是边长为，面积为，个空白长方形的面积和为，
所以有，
故答案为：；
（2）解：由（）得，，
∵，，
∴，
∴，
∴；
（3）解：由题意可知，正方形的边长为，，
∵，，
∴，
即，
∵长方形的面积为，即，
∴，
把代入得，，
整理得，，
∴．
23．【答案】（1）解：作，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵平分平分，
∴，
∴；
（2）解：如图所示，作，则，
∴，，
∴，
∴
；
（3）
（4）当为奇数时，则；
当为偶数时，则．
【知识点】角平分线的概念；猪蹄模型；锯齿模型；平行线的应用-求角度；平行公理的推论
【解析】【解答】（3）解：如图所示，作，则，
∴，
∴
，
∴，
∵，
∴；
（4）解：由（3）知：，在平行线与之间有，，，与的角平分线相交于点P，则；当，在平行线与之间有，，，，与的角平分线相交于点P，同理（3）得；
当，在平行线与之间有，，，，，与的角平分线相交于点P，同理（3）得；
；
即内部所有折点（点）中所有下标为奇数的角的和减去所有下标为偶数的角的和的差的一半，
∴，在平行线与之间有，，，，…，，与的角平分线相交于点P，
当为奇数时，则；
当为偶数时，则．
【分析】（1）作，根据平行线的判定与性质可得，再根据角平分线定义可得；
（2）作，可得，再根据平行线的性质得到角之间的关系，结合角平分线的定义即可说明理由；
（3）作，则，再根据平行线的性质建立与α、β、γ的关系，再结合角平分线定义可以得到；
（4）根据（3）的性质，找出找出规律，从而求解即可．
（1）解：作，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵平分平分，
∴，
∴；
（2）解：如图所示，作，则，
∴，，
∴，
∴
；
（3）解：如图所示，作，则，
∴，
∴
，
∴，
∵，
∴；
（4）解：由（3）知：，在平行线与之间有，，，与的角平分线相交于点P，则；
当，在平行线与之间有，，，，与的角平分线相交于点P，同理（3）得；
当，在平行线与之间有，，，，，与的角平分线相交于点P，同理（3）得；
；
即内部所有折点（点）中所有下标为奇数的角的和减去所有下标为偶数的角的和的差的一半，
∴，在平行线与之间有，，，，…，，与的角平分线相交于点P，
当为奇数时，则；
当为偶数时，则．
1 / 1广东佛山市南海区狮山镇2025~2026 学年度第二学期七年级 期中教学质量检测试题
1．下列各运算中，计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、与不是同类项，不能合并，故A选项计算错误；
B、，故B选项计算错误；
C、，故C选项计算错误；
D、，故D选项计算正确．
故选：D
【分析】根据合并同类项，完全平方公式，积的乘方等运算，对选项逐个判断即可．
2．数据0.000000028用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：．
故选：B
【分析】用科学记数法表示数时，一般形式为，其中，n可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．
3．下列英文大写字母中，不含有同旁内角的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】同旁内角的概念
【解析】【解答】解：观察可知，D选项的字母，只有两条直线，不存在同旁内角；A，C，B中都含有同旁内角．
故选：D
【分析】根据同旁内角的定义，两条直线被第三条直线所截，在截线同旁，且在被截线之间的两角，叫做同旁内角，对选项逐个进行判断即可．
4．下列算式能用平方差公式计算的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用
【解析】【解析】A、，不能用平方差公式计算，故本选项不符合题意；
B、，能用完全平方公式计算，不能用平方差公式计算，故本选项不符合题意；
C、，能用完全平方公式计算，不能用平方差公式计算，故本选项不符合题意；
D、，能用平方差公式计算，故本选项符合题意；
故选：D．
【分析】本题考查了平方差公式（a+b)(a-b)=a2-b2和完全平方公式（a+b)2=a2+2ab+b2，属于基本题型，A、，不符合平方差公式结构；B、，能用完全平方公式计算，不能用平方差公式计算；C、，能用完全平方公式计算，不能用平方差公式计算；D、，能用平方差公式计算.熟知平方差公式和完全平方公式的结构特点是解题的关键．
5．确定了“”“豆包”“”三个主题，小红随机选择其中一个主题，她恰好选中“”的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：∵总共有3个等可能的选择结果，恰好选中“”的结果只有1种，
∴她恰好选中“”的概率是．
故选：B
【分析】根据概率公式，求得总的可能数为3，选中“”的可能数为1，求解即可．
6．已知与互为余角，若，则的补角的大小为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】余角；补角
【解析】【解答】解：∵与互为余角，若，
∴
故选B
【分析】根据与互为余可得，求出，再根据互补求解即可．
7．下面给出的四个三角形都有一部分被遮挡，如果按角的大小来进行分类，其中不能判断三角形类型的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形相关概念；三角形的分类
【解析】【解答】解：观察图形可知：
A、露出的角是直角，因此是直角三角形；
B、知道两个角，可以计算出第三个角的度数，因此可以判断出三角形类型；
C、露出的角是锐角，其他两角都不知道，因此不能判断出三角形类型；
D、露出的角是钝角，因此是钝角三角形．
故选：C．
【分析】观察图形，再根据三角形按角分类的方法，对选项逐个判断即可．
8．下列现象能用“垂线段最短”来解释的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】两点确定一条直线；两点之间线段最短；垂线段最短及其应用
【解析】【解答】解：A、用垂线段最短解释，符合题意；
B、用两点确定一条直线解释，不符合题意；
C、用两点确定一条直线解释，不符合题意；
D、用两点之间线段最短解释，不符合题意；
故选：A
【分析】结合图形以及基本的几何原理，对选项逐个进行判断求解即可．
9．如图，AB⊥AC，AD⊥BC，垂足分别为A，D，则图中能表示点到直线距离的线段共有（　　）
A．2条 B．3条 C．4条 D．5条
【答案】D
【知识点】点到直线的距离
【解析】【解答】如图所示，根据点到直线的距离就是这个点到这条直线垂线段的长度可知，
线段AB是点B到AC的距离，
线段CA是点C到AB的距离，
线段AD是点A到BC的距离，
线段BD是点B到AD的距离，
线段CD是点C到AD的距离，
所以图中能表示点到直线距离的线段共有5条．
故选：D.
【分析】根据点到直线的距离结合题意即可求解。
10．如图，下列条件中，不能判定的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：A.∵，
∴；
B. ∵，
∴；
C. ∵，
∴，
无法得出；
D.∵，
∴；
故答案为：C
【分析】根据平行线的判定结合题意对选项逐一判断，进而即可求解。
11．如图，△ACB≌△A'CB'，∠BCB'=30°，则∠ACA'的度数为　 　°．
【答案】30
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：∵△ACB≌△A'CB'，
∴∠ACB=∠A'CB'，
即∠ACA'+∠A'CB=∠B'CB+∠A'CB，
∴∠ACA'=∠B'CB，
又∠B'CB=30°
∴∠ACA'=30°．
故答案为30
【分析】根据全等三角形的性质可得∠ACB=∠A'CB'，根据角之间的和差关系，得到∠ACA'=∠B'CB，即可求解．
12．已知m，n是正整数，且满足，则m与n的关系是　 　．
【答案】
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴．
故答案为：
【分析】根据同底数幂的乘法可得，即可求解．
13．如图，在中，AD是BC边上的中线，的周长比的周长多5cm，若cm，则AC的长为　 　cm．
【答案】18
【知识点】三角形的中线
【解析】【解答】解：∵(AD+DC+AC)-(AB+BD+AD)=5，BD=CD，AB=13，
∴AC-AB=5，
∴AC=13+5=18cm，
故答案为18．
【分析】根据的周长比的周长多5cm可以得到(AD+DC+AC)-(AB+BD+AD)=5，从而得到AC-AB=5，结合AB=13，代入计算即可．
14．如图，将长方形纸条折叠，若，则　 　°．
【答案】80
【知识点】轴对称的性质；翻折变换（折叠问题）；邻补角
【解析】【解答】解：如图，
∵，
∴，
由轴对称的性质可得：，
∴，
故答案为：．
【分析】根据题意，标注各点，根据题意可得，再根据轴对称的性质可得，结合角的和差关系求解即可．
15．如图，直线a，b被直线c所截，请添加一个条件　 　，使得．（只添一种情况即可）
【答案】（答案不唯一）
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：①，
（同位角相等，两直线平行）；
②，
（内错角相等，两直线平行）；
③，
（同旁内角互补，两直线平行）；
综上所述，添加条件或或，使得．
故答案为：（答案不唯一）．
【分析】根据平行线的判定结合题意添加条件，进而即可求解。
16．计算：
【答案】解：
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；有理数的乘方法则；求有理数的绝对值的方法
【解析】【分析】先根据零指数幂，负整数指数幂，绝对值以及乘方的运算法则化简每个式子，再计算加减，即可求解．
17．先化简，再求值：，其中．
【答案】解：
；
当时，原式．
【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式及运用；平方差公式及应用；利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】根据完全平方公式，平方差公式以及整式的四则运算法则进行化简，然后代入求值即可．
18．如图，已知，点C和点E，点A和点F是对应顶点，，，，，求的长，以及，的度数．
【答案】解：∵，点和点、点和点是对应顶点，
∴，，．
∵，，，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵在中，，，，
∴，
∴．
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质
【解析】【分析】根据全等三角形的性质，可得，，，根据题意可得，从而得到的长．由对应角相等直接得到的度数；再利用三角形内角和定理，先算出中的度数，最后根据对应角相等得到的度数．
19．一个不透明的口袋中装有 8 个白球和 12 个红球，每个球除颜色外都相同．
（1）求从口袋中随机摸出一个球是红球这一事件的概率；
（2）从口袋中取走 x个红球后，再放人 x 个白球，并充分摇匀，如果随机摸出白球的概率是，求x的值．
【答案】（1）解：∵一个不透明的口袋中装有 8 个白球和 12 个红球，且每个球被摸到的概率相同，
∴从口袋中随机摸出一个球是红球这一事件的概率为；
（2）解：由题意得，，
解得．
【知识点】概率公式；简单事件概率的计算
【解析】【分析】（1）根据简单事件的概率结合题意用红球的个数除以球的总数，进而即可求解；
（2）根据题意结合概率公式列出一元一次方程，进而即可求解。
（1）解：∵一个不透明的口袋中装有 8 个白球和 12 个红球，且每个球被摸到的概率相同，
∴从口袋中随机摸出一个球是红球这一事件的概率为；
（2）解：由题意得，，
解得．
20．如图是一种躺椅及其简化结构示意图，扶手与底座都平行于地面，靠背与支架平行，前支架与后支架分别与交于点G和点D．与交于点N，当前支架与后支架正好垂直，时，人躺着最舒服，求此时扶手与靠背的夹角的度数．读懂下面的推理过程，并填空．
解：∵，（已知）
∴．（ ）
∵ ____，（已知）
∴_____，（　　）
又∵，
∴．
∵，，（已知）
∴_____．（ ）
∴_____．（ ）
【答案】解：∵，（已知）
∴．（垂直的定义）
∵，（已知）
∴，（两直线平行，内错角相等）
又∵，
∴．
∵，，（已知）
∴．（平行于同一直线的两条直线平行）
∴．（两直线平行，同位角相等）
垂直的定义；；；；两直线平行，内错角相等；；平行于同一直线的两条直线平行；；两直线平行，同位角相等
【知识点】垂线的概念；平行线的应用-求角度
【解析】【分析】根据垂直的性质可得 ，再由平行线的性质可得，根据角的和差关系可得，根据平行线的判定可得，最后根据平行线的性质，即可求解．
21．已知：整式，，为任意有理数．
（1）的值可能为负数吗？请说明理由；
（2）请通过计算说明：当是整数时，的值一定能被整除．
【答案】（1）解：不可能为负，理由如下：
，∵，
∴，
∴的值不可能为负数；
（2）解：，
∵是整数，
∴能被整除，
∴的值一定能被整除．
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；整式的混合运算
【解析】【分析】（1）根据整式乘法，计算出的值，结合平方的非负性进行判断即可；
（2）根据完全平方公式，计算得，结合题干可知，能被整除，因此结论成立．
（1）解：，
∵，
∴，
∴的值不可能为负数；
（2）解：，
∵是整数，
∴能被整除，
∴的值一定能被整除．
22．已知长方形，，，将图1沿虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成图2中的“回字形”正方形．
（1）观察图2，请你写出、、之间的等量关系是_____；
（2）根据（1）中的结论，若，，求的值；
（3）拓展应用：如图3，点M，Q分别是，的中点，点E在上，，以为边作正方形，点G在上，交于点N，长方形的面积为，若，求的值．
【答案】（1）
（2）解：由（）得，，∵，，
∴，
∴，
∴；
（3）解：由题意可知，正方形的边长为，，
∵，，
∴，
即，
∵长方形的面积为，即，
∴，
把代入得，，
整理得，，
∴．
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】（1）解：图中，大正方形的边长为，面积为，阴影部分是边长为，面积为，个空白长方形的面积和为，
所以有，
故答案为：；
【分析】（）根据图（）表示出大正方形、小正方形（阴影部分）和个空白长方形的面积和，再根据大正方形的面积等于四个长方形与小正方形的面积和，求解即可；
（）根据（1）中的等量关系可得，求得，即可求解；
（）根据图形可得正方形的边长为，，再根据可得，再根据长方形的面积为，可以得到，即，最后代入计算即可求解．
（1）解：图中，大正方形的边长为，面积为，阴影部分是边长为，面积为，个空白长方形的面积和为，
所以有，
故答案为：；
（2）解：由（）得，，
∵，，
∴，
∴，
∴；
（3）解：由题意可知，正方形的边长为，，
∵，，
∴，
即，
∵长方形的面积为，即，
∴，
把代入得，，
整理得，，
∴．
23．按要求完成以下问题
（1）如图①，，与的角平分线相交于点P，求的大小；
（2）如图②，，点E，F在直线之间，小明认为，你能帮他说出理由吗？
（3）如图，，，，，与的角平分线相交于点P，则 ；（用α，β，γ的代数式表示）
（4）结合（3）的探索经验，对这一模型进行一般化研究．若，在平行线与之间有，，，，…，，与的角平分线相交于点P，则_____；（用含，，，，…，的代数式表示）
【答案】（1）解：作，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵平分平分，
∴，
∴；
（2）解：如图所示，作，则，
∴，，
∴，
∴
；
（3）
（4）当为奇数时，则；
当为偶数时，则．
【知识点】角平分线的概念；猪蹄模型；锯齿模型；平行线的应用-求角度；平行公理的推论
【解析】【解答】（3）解：如图所示，作，则，
∴，
∴
，
∴，
∵，
∴；
（4）解：由（3）知：，在平行线与之间有，，，与的角平分线相交于点P，则；当，在平行线与之间有，，，，与的角平分线相交于点P，同理（3）得；
当，在平行线与之间有，，，，，与的角平分线相交于点P，同理（3）得；
；
即内部所有折点（点）中所有下标为奇数的角的和减去所有下标为偶数的角的和的差的一半，
∴，在平行线与之间有，，，，…，，与的角平分线相交于点P，
当为奇数时，则；
当为偶数时，则．
【分析】（1）作，根据平行线的判定与性质可得，再根据角平分线定义可得；
（2）作，可得，再根据平行线的性质得到角之间的关系，结合角平分线的定义即可说明理由；
（3）作，则，再根据平行线的性质建立与α、β、γ的关系，再结合角平分线定义可以得到；
（4）根据（3）的性质，找出找出规律，从而求解即可．
（1）解：作，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵平分平分，
∴，
∴；
（2）解：如图所示，作，则，
∴，，
∴，
∴
；
（3）解：如图所示，作，则，
∴，
∴
，
∴，
∵，
∴；
（4）解：由（3）知：，在平行线与之间有，，，与的角平分线相交于点P，则；
当，在平行线与之间有，，，，与的角平分线相交于点P，同理（3）得；
当，在平行线与之间有，，，，，与的角平分线相交于点P，同理（3）得；
；
即内部所有折点（点）中所有下标为奇数的角的和减去所有下标为偶数的角的和的差的一半，
∴，在平行线与之间有，，，，…，，与的角平分线相交于点P，
当为奇数时，则；
当为偶数时，则．
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