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山东省烟台市2026年中考数学真题
1．-的相反数是（　　）
A．- B． C．-2 D．2
【答案】B
【知识点】相反数及有理数的相反数
【解析】【分析】根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“-”号，求解即可。
【解答】的相反数是：-(-)=．
故选B．
【点评】本题要求熟练掌握相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“-”号：一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．不要把相反数的意义与倒数的意义混淆。
2．一笔画图形是指用一根连续不间断的线条，在不重复路径的情况下完成整个图形绘制的特殊贯通图.下列一笔画图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、沿对应直线折叠后，直线两侧部分可完全重合，属于轴对称图形；绕图形中心旋转180°后无法与原图形重合，不属于中心对称图形，不符合题意；
B、绕中心旋转180°后与原图形完全重合，属于中心对称图形；不存在能使折叠后两侧重合的对称轴，不属于轴对称图形，不符合题意；
C、沿对称轴折叠后两侧部分重合，属于轴对称图形；旋转180°后与原图形不重合，不属于中心对称图形，不符合题意；
D、既存在对称轴使折叠后两侧完全重合，绕中心旋转180°后也能与原图形完全重合，同时满足两类图形的定义，符合题意。
故答案为：D
【分析】本题考查轴对称图形与中心对称图形的判定，解题时分别依据两类图形的判定规则，对每个选项进行双向验证，先判断是否满足轴对称的折叠重合要求，再判断是否满足中心对称的旋转180°重合要求，最终筛选出同时符合条件的选项，熟练掌握两类图形的判定标准是解题的核心。
3． 2026年1月，百度发布并上线原生全模态大模型文心5.0正式版，该模型参数达24千亿，实现原生的全模态统一理解与生成，多项权威评测稳居全球第一梯队.24千亿用科学记数法表示为（　　）
A．24×1011 B．2.4×1011 C．2.4×1012 D．0.24×1012
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：，，
将其化为科学记数法的标准形式 （满足 ），
可得
故答案为：C
【分析】本题考查科学记数法的表示方法，解题时先将“千亿”单位转化为以10为底的幂的形式，再根据科学记数法的规范要求调整系数，使其满足1到10的取值范围，同时对应调整指数得到最终结果，掌握科学记数法的格式要求与大数单位换算规律是解题的重点。
4．如图是一个双耳罐器具，它的左视图是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：该双耳罐的两个把手分布在罐身左右两侧，从左侧观察时，双耳沿左右方向投影重叠，会在视图顶部中间呈现两条平行竖线，罐身整体保持容器的侧面轮廓，与选项A的特征一致；选项B呈现两侧带耳的形态，对应主视图；选项C包含同心圆与横向轮廓线，对应俯视图；选项D未体现双耳结构，不符合实际观察结果。
故答案为：A
【分析】本题考查几何体三视图的判断，解题时先明确左视图的观察方向，再结合双耳罐的结构特征，分析从左侧观察时双耳、罐身的投影形态，同时区分主视图、俯视图的不同投影特点，逐一排除错误选项，准确理解三视图的观察角度与投影规律是解题的关键。
5．下列运算结果为m5的算式是（　　）
A．m3·m2 B．m5÷m C．（m2）3 D．m3+m2
【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，符合要求；
B、，不符合要求；
C、，不符合要求；
D、与所含字母的指数不同，不属于同类项，无法合并计算，不符合要求
故答案为：A
【分析】本题考查幂的四则运算法则，解题时分别依据同底数幂乘除、幂的乘方的运算规则计算各选项，同时注意同类项才能合并的原则，逐一验证结果是否符合要求，熟练掌握各类幂运算的指数变化规律，是避免运算错误的核心。
6．如图，某行李箱的齿轮密码是三位数，每一位数都是0-9中的一个数字，开箱时发现忘记密码的最后一位，则一次成功打开该行李箱的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：密码最后一位的可选数字为0到9，共10种等可能的结果，其中正确的密码仅有1种结果。
根据概率公式，一次打开的概率
故答案为：D
【分析】本题考查概率公式，解题时先确定最后一位数字的所有可能情况总数，再明确正确结果的数量，代入概率公式即可求解，准确判断所有等可能结果的数量是解题的基础，注意0到9共包含10个数字，避免漏数或多数。
7．如图，在折纸活动中，将一组对边互相平行的纸带进行了两次折叠，折痕分别为AB，CD.若AB∥CE，∠CAB=36°，则∠CDB的度数为（　　）
A．14° B．16° C．18° D．20°
【答案】C
【知识点】平行线的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：延长至点，
，
（两直线平行，同位角相等）。
由折叠的对称性可知，平分，
。
又纸带对边互相平行，，
（两直线平行，内错角相等）。
故答案为：C
【分析】本题考查平行线的性质与折叠的性质，解题时先通过作辅助线构造同位角，利用平行线的性质得到，再根据折叠的性质得到，最后根据两直线平行，内错角相等即可求解。
8．若整数m使关于x的一元一次不等式组有且只有3个整数解，且关于y的分式方程的解为非负数，则符合条件的所有整数m的和为（　　）
A．0 B．-1 C．-2 D．-3
【答案】B
【知识点】分式方程的解及检验；解一元一次不等式组；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：先求解一元一次不等式组：
解不等式，得；
解不等式，得。
不等式组的解集为。
不等式组有且只有3个整数解，即整数解为，
，解得。
再求解分式方程：
方程两边同乘最简公分母，得，
整理得。
分式方程的解为非负数，且分母（避免增根），
，解得且。
综合两个条件，的取值范围为且。
为整数，符合条件的为，
所有整数的和为。
故答案为：B
【分析】本题综合考查一元一次不等式组的整数解问题与分式方程的解的限制条件，解题时先分别求解不等式组和分式方程，根据整数解的个数确定不等式组中参数的范围，再根据分式方程解为非负数且分母不为零的限制进一步缩小参数范围，最后筛选出范围内的整数并求和，解题过程中需特别注意分式方程的增根情况，避免遗漏分母不为零的限制条件。
9．如图，直线与x轴，y轴交于A，B两点，与反比例函数的图象交于C，D两点，CE⊥x轴，垂足为E，连接DE.若OA=2OE，则△CDE的面积是（　　）
A．8 B．12 C．16 D．24
【答案】B
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：将代入，
，解得，
，。
，，即。
轴，点的横坐标与点相同，为2。
将代入一次函数解析式，得，
。
将代入，得，
反比例函数解析式为。
联立一次函数与反比例函数解析式：
，
解得或，
。
利用割补法计算的面积，将其拆分为与的面积和，
，
。
故答案为：B
【分析】本题考查一次函数与反比例函数的综合应用，解题时先通过一次函数求出点A坐标，结合线段长度关系得到点E坐标，进而求出点C坐标并确定反比例函数解析式，再联立两个函数解析式求出交点D的坐标，最后利用割补法将三角形拆分为两个同底的三角形，结合坐标计算面积，掌握函数交点的求解方法与割补法求面积的技巧是解题的关键。
10．如图，二次函数y=ax2+bx+c的部分图象与x轴交于点A（1，0），与y轴的交点C位于（0，-2）和（0，-3）之间，顶点为P，对称轴为直线x=2.下列说法：①abc＜0；②4a+b=0；③-1＜a＜-；④设抛物线与x轴的另一交点为B，当∠CPB=90°时，.其中正确的是（　　）
A．②③④ B．②③ C．②④ D．①③④
【答案】A
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：① 由抛物线开口向下，得；
对称轴为，则；
抛物线与y轴交点在y轴负半轴，得；
，故①错误。
②对称轴为，
整理得，即，故②正确。
③ 将代入解析式，得，
将代入，得，即。
点C在与之间，
，即，
解得，故③正确。
④ 由抛物线对称性，对称轴为，，则另一交点。
由得；将代入解析式，
得，即顶点。
由勾股定理分别表示三条线段的平方：
，
，
。
，由勾股定理逆定理得，
代入得，
整理得，解得。
，，故④正确。
综上，②③④正确。
故答案为：A
【分析】本题考查二次函数的图象与性质综合，解题时先根据抛物线的开口方向、对称轴位置、与y轴交点位置判断系数符号，验证结论①；再利用对称轴公式变形验证结论②；接着结合函数过点A的条件，用a表示c，结合c的范围解不等式验证结论③；最后利用抛物线对称性得到点B坐标，结合勾股定理与直角条件列方程求解a的值，验证结论④，熟练掌握二次函数系数与图像的对应关系，以及勾股定理在坐标系中的应用是解题的核心。
11．若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是　 　.
【答案】
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解： 位于分母位置，
，
解得。
故答案为：
【分析】本题考查二次根式与分式有意义的条件，解题时需注意，当二次根式位于分母位置时，被开方数不仅要非负，还不能为零，因此需列严格大于零的不等式求解，准确区分二次根式在分子和分母时的不同限制是避免出错的关键。
12．计算的结果为　 　.
【答案】-3
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；开平方（求平方根）
【解析】【解答】解：零指数幂：非零数的0次幂为1，故；
负整数指数幂：；
算术平方根：。
将各项结果相加：。
故答案为：
【分析】本题考查实数的混合运算，涉及零指数幂、负整数指数幂与算术平方根三个知识点，解题时分别根据对应运算法则计算每一项的值，再按照有理数加减法则求和，准确掌握负整数指数幂的运算规则，避免符号计算错误是解题的重点。
13．路上一群马车行，车车坐人都相等.五人同车三车空，四人同车九步行.问车有多少辆，共有多少人？设有x辆车、y个人，根据题意，可列关于x、y的方程组为　 　.
【答案】
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：“五人同车三车空”，即实际载人的车有辆，每辆坐5人，总人数可表示为；
“四人同车九步行”，即每车坐4人，剩余9人未乘车，总人数可表示为。
联立可得方程组：
故答案为：
【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解题时分别分析两种乘车场景下总人数的表达形式，以总人数为等量关系列出两个方程，联立得到方程组，准确理解“三车空”“九步行”的实际含义，正确表示总人数是解题的核心。
14．如图，正五边形ABCDE的边长为10，连接AC，以AB为直径作⊙O，与AC交于点F，与CB的延长线交于点G，则阴影部分扇形GOF的面积为　 　.
【答案】
【知识点】圆周角定理；扇形面积的计算；正多边形的性质
【解析】【解答】解：连接，
五边形是正五边形，
，内角和为，
每个内角。
在中，，
。
是的直径，
（直径所对的圆周角为直角）。
在中，。
根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，
圆心角。
的半径，
代入扇形面积公式得：
。
故答案为：
【分析】本题综合考查正多边形的性质、圆周角定理与扇形面积计算，解题时连接，先利用正五边形的内角公式得到，再结合直径所对圆周角为直角的性质结合题意得到，通过圆周角定理得到，最后代入扇形面积公式即可求解。
15．如图，以原点O为顶点作边长为2的菱形点在x轴上，且将点A3向右平移2个单位得到点A4，以A4为顶点作与菱形全等的菱形.，点A7在x轴上；再将点向右平移2个单位得到点A8，以A8为顶点作与菱形，全等的菱形A8A9A10A11，点.在x轴上；…；按照以上规律作图，则点A126的坐标为　 　.
【答案】（125，-）
【知识点】点的坐标；菱形的性质；用代数式表示图形变化规律；解直角三角形—边角关系；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：过点作轴于点H，
在菱形中，，，
，，
即，依次推导可得，。
由平移与作图规律可知，每8个点为一个循环周期，每个周期整体向右平移8个单位长度。
，
的位置与第一个周期内的位置规律一致。
同理求得第一个周期内，
观察规律可得，第个周期的对应点横坐标为，纵坐标保持不变。
当时，横坐标为，纵坐标为，
即。
故答案为：
【分析】本题考查图形规律探究与菱形的性质，解题时先根据菱形的边长和角度结合题意解直角三角形求出，依次推导可得，，进而即可得到每8个点为一个循环、每个循环向右平移8个单位的规律，再通过带余除法确定在循环中的位置，结合坐标变化规律求出最终坐标即可。
16．如图1，点P从矩形ABCD的顶点A出发，沿A→B→C→D的方向运动至点D停止，连接AP，Q为AP的中点，连接BQ.设点P的运动路程为x，线段BQ的长为y，图2表示点P从A运动到C的过程中y与x的函数关系.当点P运动到CD中点时，BQ的长度为　 　.
【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；三角形全等的判定-AAS；直角三角形斜边上的中线；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：由函数图象可知，当点P与点B重合时，取得最小值3，
此时Q为AB中点，，即。
当点P运动到点C时，，
此时Q为AC中点，在矩形中，
由直角三角形斜边中线等于斜边的一半，得，即。
在中，由勾股定理得：
，
矩形中，。
当P为CD中点时，延长BQ交CD的延长线于点E，
，，，
又为AP中点，，
（AAS），
，。
是CD中点，，
。
在中，，
。
故答案为：
【分析】本题考查动点问题的函数图象与矩形的性质，解题时先从函数图象的特殊点入手，根据题意得到当点P与点B重合时，取得最小值3，此时Q为AB中点，，即，当点P运动到点C时，，进而结合题意根据直角三角形斜边上的中线的性质得到，即，从而根据勾股定理即可得到BC的长，再根据矩形的性质结合题意得到，；当P为CD中点时，延长BQ交CD的延长线于点E，根据三角形全等的判定与性质结合题意证明（AAS）得到，，再结合勾股定理求出BE，从而即可求解。
17．先化简、再求值：，其中|x|=1.
【答案】解：，
∵，
∴，
当时，原式无意义；
当时，原式
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】本题考查分式的混合运算与分式有意义的条件，先将分式除法转化为乘法运算，对各分式的分子、分母进行因式分解，通过约分化简第一项，再与1通分计算，完成整个式子的化简；根据绝对值的性质得到x的两个可能取值，结合分式分母不为零的限制，排除使原式无意义的取值，将剩余的x值代入化简后的式子计算最终结果。
18．为庆祝长征胜利90周年，文旅公司推出多款长征主题的文创产品.已知某款文创产品的成本价是每件20元，日销售量y（件）与每件售价x（元）的函数关系如图所示.
（1）求y与x的函数表达式；
（2）文旅公司在销售这款文创产品时，若每天盈利525元，且尽可能的让利于顾客，求该款文创产品每件的售价为多少元.
【答案】（1）解：设 与的函数表达式为 ，
将点和点的代入得：，
解得：，
与的函数表达式为；
（2）解：根据题意得，
整理得：，
解得：，，
尽可能的让利于顾客，
，
即该款文创产品每件的售价为35元．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一元二次方程的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】本题考查一次函数与一元二次方程的实际应用。
（1）设一次函数的一般式，将图像上两个已知点的坐标代入，通过解二元一次方程组求出系数，即可得到函数表达式；
（2）根据“总利润=单件利润×销售量”的等量关系，用含x的式子表示单件利润与销售量，列一元二次方程求解，再结合“让利于顾客”的要求选择较小的售价作为最终结果。
19．【综合与实践】
活动主题 测算矩形广告牌的面积
测量工具 皮尺、无人机、计时器、计算器等
活动过程 测量过程 如图，矩形广告牌ABCD的边CD为11米，BC与水平地面垂直.支柱EF长6.4米，且垂直于地面.无人机从N点起飞，以3米/秒的速度竖直向上飞行8秒到达M点，此时测得C点的俯角为67.4°，D点的俯角为36.9°（图中各点均在同一平面内）.
模型建构
参考数据 sin67.4°≈0.92，cos67.4°≈0.38，tan67.4°≈2.40，sin36.9°≈0.60，cos36.9°≈0.80，tan36.9°≈0.75.
问题解决 求矩形广告牌ABCD的面积（结果精确到1平方米）.
【答案】解：如图，过点分别作 的垂线，垂足分别为，则四边形，是矩形，
依题意，，，，，
∴
设，则
∴
解得：
∴
∴
∴的面积
答：矩形广告牌的面积约为平方米
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，解题时过点分别作 的垂线，垂足分别为，则四边形，是矩形， 进而根据题意得到，，，，，则，设，则，进而即可求出MH，再根据矩形的面积结合题意即可求解。
20． AI技术已广泛应用于社会各领域，某学校新建了一个智慧AI自习教室，引进了“数字人模型”和“AI助教模型”两种模型供学生使用.使用一段时间后，对这两种模型的使用满意度进行了问卷调查（每份问卷涉及两种模型，评分均为0～10的整数，单位：分），并随机抽取了20份调查问卷，对数据进行整理、分析，得到如图图表：
类别 平均数/分 中位数/分 众数/分
数字人模型 a b 7
AI助教模型 8 8 c
请根据上述信息解答下列问题：
（1）填空：a=　 　，b=　 　，c=　 　，m=　 　；
（2）运营商准备对“AI助教模型”进行优化升级，已知所抽取的20份调查问卷中，有2名男生和1名女生对该模型的评分为6分，现从这3人中随机抽取2人进行座谈，请利用树状图或表格求出恰好抽到2名男生的概率.
【答案】（1）7.2；7；8；30
（2）解：
共有六种等可能性的结果，其中恰好抽到两名男生的情况由种，
∴(抽到2名男生)．
【知识点】扇形统计图；用列表法或树状图法求概率；平均数及其计算；中位数；众数
【解析】【解答】（1）解：，
∴；
一共 个数据从小到大排列，第 和个数据的平均数是中位数，
由柱状图知第 和个数据都是，
∴中位数为，
即 ；
由扇形统计图可知“助教模型”中 分出现次数最多，
∴ ；
∵扇形统计图中 分占百分比为：，
∴，
即 ；
【分析】本题考查统计量的计算与古典概型的概率求解。
（1）计算平均数a时，根据条形统计图中各分数的对应人数，用加权平均数公式计算；求中位数b时，将20个数据从小到大排序，取第10和第11个数据的平均数；求众数c时，根据扇形统计图判断出现次数最多的分数；求m时，先计算8分对应的圆心角占比，再用1减去其他各分数的占比得到结果；
（2）先通过列表或画树状图列出所有等可能的抽取结果，再统计恰好抽到2名男生的结果数，代入概率公式计算对应概率。
21．如图，矩形ABCD中，AC是对角线，请解决下列问题：
（1）将△ABC绕点A旋转后，点B的对应点为点E，点C的对应点为点F，且点E在线段AC上，请用尺规作出旋转后的图形（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）的条件下，若AB=2，BC=4，EF与AD交于点G，求FG的长.
【答案】（1）图形如图所示：
（2）解：∵在矩形 中，
∴，
由（1）知，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；矩形的性质；旋转的性质；作图﹣旋转；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】本题考查图形的旋转作图与相似三角形的判定及性质。
（1）作图时以A为圆心、AB长为半径画弧，与AC的交点即为点E，再以A为圆心、AC长为半径画弧，结合旋转角相等的特点确定点F的位置，连接EF即可得到旋转后的三角形；
（2）先根据旋转的性质得到对应边、对应角相等，结合矩形的内角特征证明与相似，利用相似三角形对应边成比例求出EG的长度，再由EF与BC相等，通过线段差求出FG的长。
22．如图，△ABC中，∠C=90°，O是边AB上一点，以OB为半径作⊙O，分别与BC，AB交于D，E两点，与AC相切于点F，连接EF、BF.
（1）求证：；
（2）试用等式表示线段BE，BD，CD之间的数量关系，并证明你的结论.
【答案】（1）证明：如图，连接 ，
∵ 是 的切线，
∴
∵ ，
∴
∴
又∵
∴
∴
∴；
（2），
证明：如图，连接 ，过点作于点 ，
∴
由（1）可得
又∵
∴
∴，
∵
∴，
∴
∴
∴，即
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；圆周角定理；切线的判定与性质
【解析】【分析】本题考查圆的切线性质、弧与圆心角的关系以及全等三角形的判定与性质。
（1）先连接OF，根据切线的性质得到OF与AC垂直，结合∠C为直角推出OF与BC平行，得到内错角相等；再结合半径相等推出角相等，等量代换得到两个圆心角相等，进而证明对应的弧相等；
（2）先过点F作AB的垂线，结合角平分线的性质和三角形全等的判定与性质证明得到，再由等弧对等弦得到，证明得到CD与EG相等，最后通过线段和差推导得出三条线段的数量关系。
23．
（1）【尝试发现】
如图1，△ABC∽△ADE，.当点D，E分别在边AB和AC上时，的值是　 　.
（2）【变式探究】
如图2，将（1）中的△ADE绕点A按逆时针方向旋转一定的角度，其它条件不变，连接CE，BD，AC与BD交于点O，CE与BD的延长线交于点F.
①求的值；
②写出∠BAC和∠BFC的数量关系并证明.
（3）【联系拓广】
如图3，矩形ABCD中，AB=3，BC=6，点E在边BC上且BE=2，连接AE.F是直线BC上的动点，作△AFG∽△ABE，连接CG，EG.
①当点F在线段CB的延长线上，且EG=EA时，求EF的长；
②当CG的长度最小时，直接写出此时BF的长.
【答案】（1）
（2）解：①∵ ，
∴， ，
∴ ，，
∴ ，
∴，
∴；
②∠BAC=∠BFC，证明如下：
连接AF，
由①得△BAD∽△CAE，
∴∠ABD=∠ACE，即∠ABF=∠ACF，
∴点A、B、C、F四点共圆，
∴∠BAC=∠BFC
（3）解：①∵四边形 为矩形，
∴ ，
∴，
∵ ，
∴ ， ， ，
∵点 在线段 的延长线上，
∴ ，
∴点 、 、 、 四点共圆，
∴ ，
∴ ，
∵，
∴，
∵ ，
∴，
∴，
设 ，则 ，
由勾股定理得，
∴，
∴（负值不符合题意，舍去），
∴，
∴ ，
∴ ；
②
【知识点】勾股定理；圆内接四边形的性质；相似三角形的判定；解直角三角形—边角关系；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：（1）∵ ，
∴，
∴ ， ，
∵点 ， 分别在边 和 上，
∴ ， ，
∴；
（3）②∵主动点 在直线上，
∴从动点 必须在某一直线上，
∵当点 在点 时，点 在点 的位置，
∴点 在直线 上运动，
当 时， 的长度最小，为，此时点 在处，
由①得 ，
∴ ，
∴ ，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，则 ，
由勾股定理得，
∴，
解得（负值不符合题意舍去），
∴，，
作 于 ，
∵ ，
∴，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴，
∵，
∴
综上所述，当 的长度最小时，此时的长为．
【分析】本题综合考查相似三角形的判定与性质、图形旋转的性质、四点共圆的判定与性质、矩形的性质以及动点轨迹下的线段最值问题，属于几何探究类综合题。
（1）利用相似三角形对应边成比例的性质，由可直接得到，即、，再结合线段和差关系、，将与的表达式代入比值中，提取公因式后约分即可得到的结果，过程中仅需运用相似三角形的基本比例性质与线段的和差运算。
（2）①旋转后图形的相似性保持不变，先由推出且，在等式两边同时加上，可推导出，结合两边对应成比例且夹角相等的判定定理，可证明，再根据相似三角形对应边成比例，直接得到。
②由①中可得对应角，即，根据同侧共底边的两个三角形顶角相等则四点共圆的判定规则，可推出A、B、C、F四点共圆，再依据同弧所对的圆周角相等的性质，即可得到与相等的数量关系。
（3）①先结合矩形的直角性质，在中由勾股定理求出的长度；再由得到对应角相等，结合点的位置推出与相等，满足四点共圆的判定条件，得到A、F、G、E四点共圆，利用圆内接四边形对角互补的性质推出；结合可判断为等腰直角三角形，由勾股定理求出的长度；再由相似三角形对应角相等得到的正切值与一致，设出与的长度，结合勾股定理求出的长，最后在中用勾股定理算出，加上的长度即可得到的长。
②本题属于主动点-从动点的轨迹最值问题，由主动点在直线上运动，结合相似关系可判断从动点的运动轨迹为一条定直线，根据垂线段最短的原理，当垂直于该定直线时，的长度最小；再通过角度的正切关系推导对应边的比例，结合勾股定理、等面积法求出相关线段的长度，最后利用相似三角形的对应边比例关系，计算出此时的长度。
24．如图，直线y=-x-6与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线经过A，C两点，与x轴的另一个交点为B.抛物线的对称轴为直线.
（1）求抛物线的表达式；
（2）点D在抛物线上，横坐标为t，若点D到直线AC的距离为，求出所有满足条件的t的值；
（3）若H为抛物线的顶点，P为对称轴上一点，请直接写出的最小值.
【答案】（1）解：∵直线与轴交于点，与 轴交于点 ，
当时， ，当时，，
∴，，
∵抛物线与轴的另一个交点为，抛物线的对称轴为直线．
∴，
设抛物线解析式为，代入，
∴
解得：
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴
设直线 的解析式为 ，代入，
∴，解得：
∴直线 的解析式为
如图，取点，，过点 分别作 的平行线，过点 分别作 的垂线，垂足分别为，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵点到直线的距离为
∴在上，
∵平行 ，
∴的解析式分别为，
联立
消去 得，
解得：
联立
消去 得，
解得：
∵点横坐标为 ，
∴或或
（3）
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-动态几何问题；二次函数y=ax²+bx+c的图象；胡不归模型；二次函数-线段定值（及比值）的存在性问题
【解析】【解答】（3）∵
∴
如图，过点作使得，则，
∴，，，
∴，
过点 作，设的延长线交轴于点 ， 交轴于点，则
∴
∴当在 上时，取得最小值，最小值为．
∴
∴
∴
∴，
∴
【分析】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法求函数解析式、点到直线的距离计算、胡不归型线段和最值问题，属于代数与几何结合的综合题。
（1）先根据一次函数与坐标轴交点的求解方法，分别令、求出点、点的坐标；再利用二次函数的对称性，由对称轴公式结合点的坐标，求出抛物线与轴另一交点的坐标；设抛物线的交点式解析式，将点的坐标代入求解系数，最后整理为一般式即可得到抛物线表达式，核心运用了二次函数的对称性与待定系数法。
（2）先由A、C两点坐标判断为等腰直角三角形，得出直线的倾斜角为，根据平行线间距离处处相等的性质，满足到直线距离为的点均在与平行的两条直线上；结合等腰直角三角形的边长关系，计算出两条平行线相对于直线的平移距离，得到两条平行线的解析式；再分别将两条平行线的解析式与抛物线解析式联立，消去后得到关于的一元二次方程，求解方程得到的根即为点的横坐标，过程中用到了一次函数的平移规律、平行线间的距离关系以及二次函数与一元二次方程的对应关系。
（3）本题属于带系数的线段和最值问题，即胡不归模型，先对原式提取公因子，将变形为的形式；再通过构造定角的方式，作与夹角满足正弦值为的定直线，将转化为点到该定直线的垂线段长度，从而将括号内的线段和转化为点到定直线的垂线段距离；根据垂线段最短的原理求出原点到定直线的距离，再乘以系数即可得到原式的最小值，解题关键是通过三角函数关系将带系数的线段转化为垂线段，将动态线段和转化为定点到定直线的静态距离。
1 / 1山东省烟台市2026年中考数学真题
1．-的相反数是（　　）
A．- B． C．-2 D．2
2．一笔画图形是指用一根连续不间断的线条，在不重复路径的情况下完成整个图形绘制的特殊贯通图.下列一笔画图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3． 2026年1月，百度发布并上线原生全模态大模型文心5.0正式版，该模型参数达24千亿，实现原生的全模态统一理解与生成，多项权威评测稳居全球第一梯队.24千亿用科学记数法表示为（　　）
A．24×1011 B．2.4×1011 C．2.4×1012 D．0.24×1012
4．如图是一个双耳罐器具，它的左视图是（　　）
A． B．
C． D．
5．下列运算结果为m5的算式是（　　）
A．m3·m2 B．m5÷m C．（m2）3 D．m3+m2
6．如图，某行李箱的齿轮密码是三位数，每一位数都是0-9中的一个数字，开箱时发现忘记密码的最后一位，则一次成功打开该行李箱的概率是（　　）
A． B． C． D．
7．如图，在折纸活动中，将一组对边互相平行的纸带进行了两次折叠，折痕分别为AB，CD.若AB∥CE，∠CAB=36°，则∠CDB的度数为（　　）
A．14° B．16° C．18° D．20°
8．若整数m使关于x的一元一次不等式组有且只有3个整数解，且关于y的分式方程的解为非负数，则符合条件的所有整数m的和为（　　）
A．0 B．-1 C．-2 D．-3
9．如图，直线与x轴，y轴交于A，B两点，与反比例函数的图象交于C，D两点，CE⊥x轴，垂足为E，连接DE.若OA=2OE，则△CDE的面积是（　　）
A．8 B．12 C．16 D．24
10．如图，二次函数y=ax2+bx+c的部分图象与x轴交于点A（1，0），与y轴的交点C位于（0，-2）和（0，-3）之间，顶点为P，对称轴为直线x=2.下列说法：①abc＜0；②4a+b=0；③-1＜a＜-；④设抛物线与x轴的另一交点为B，当∠CPB=90°时，.其中正确的是（　　）
A．②③④ B．②③ C．②④ D．①③④
11．若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是　 　.
12．计算的结果为　 　.
13．路上一群马车行，车车坐人都相等.五人同车三车空，四人同车九步行.问车有多少辆，共有多少人？设有x辆车、y个人，根据题意，可列关于x、y的方程组为　 　.
14．如图，正五边形ABCDE的边长为10，连接AC，以AB为直径作⊙O，与AC交于点F，与CB的延长线交于点G，则阴影部分扇形GOF的面积为　 　.
15．如图，以原点O为顶点作边长为2的菱形点在x轴上，且将点A3向右平移2个单位得到点A4，以A4为顶点作与菱形全等的菱形.，点A7在x轴上；再将点向右平移2个单位得到点A8，以A8为顶点作与菱形，全等的菱形A8A9A10A11，点.在x轴上；…；按照以上规律作图，则点A126的坐标为　 　.
16．如图1，点P从矩形ABCD的顶点A出发，沿A→B→C→D的方向运动至点D停止，连接AP，Q为AP的中点，连接BQ.设点P的运动路程为x，线段BQ的长为y，图2表示点P从A运动到C的过程中y与x的函数关系.当点P运动到CD中点时，BQ的长度为　 　.
17．先化简、再求值：，其中|x|=1.
18．为庆祝长征胜利90周年，文旅公司推出多款长征主题的文创产品.已知某款文创产品的成本价是每件20元，日销售量y（件）与每件售价x（元）的函数关系如图所示.
（1）求y与x的函数表达式；
（2）文旅公司在销售这款文创产品时，若每天盈利525元，且尽可能的让利于顾客，求该款文创产品每件的售价为多少元.
19．【综合与实践】
活动主题 测算矩形广告牌的面积
测量工具 皮尺、无人机、计时器、计算器等
活动过程 测量过程 如图，矩形广告牌ABCD的边CD为11米，BC与水平地面垂直.支柱EF长6.4米，且垂直于地面.无人机从N点起飞，以3米/秒的速度竖直向上飞行8秒到达M点，此时测得C点的俯角为67.4°，D点的俯角为36.9°（图中各点均在同一平面内）.
模型建构
参考数据 sin67.4°≈0.92，cos67.4°≈0.38，tan67.4°≈2.40，sin36.9°≈0.60，cos36.9°≈0.80，tan36.9°≈0.75.
问题解决 求矩形广告牌ABCD的面积（结果精确到1平方米）.
20． AI技术已广泛应用于社会各领域，某学校新建了一个智慧AI自习教室，引进了“数字人模型”和“AI助教模型”两种模型供学生使用.使用一段时间后，对这两种模型的使用满意度进行了问卷调查（每份问卷涉及两种模型，评分均为0～10的整数，单位：分），并随机抽取了20份调查问卷，对数据进行整理、分析，得到如图图表：
类别 平均数/分 中位数/分 众数/分
数字人模型 a b 7
AI助教模型 8 8 c
请根据上述信息解答下列问题：
（1）填空：a=　 　，b=　 　，c=　 　，m=　 　；
（2）运营商准备对“AI助教模型”进行优化升级，已知所抽取的20份调查问卷中，有2名男生和1名女生对该模型的评分为6分，现从这3人中随机抽取2人进行座谈，请利用树状图或表格求出恰好抽到2名男生的概率.
21．如图，矩形ABCD中，AC是对角线，请解决下列问题：
（1）将△ABC绕点A旋转后，点B的对应点为点E，点C的对应点为点F，且点E在线段AC上，请用尺规作出旋转后的图形（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）的条件下，若AB=2，BC=4，EF与AD交于点G，求FG的长.
22．如图，△ABC中，∠C=90°，O是边AB上一点，以OB为半径作⊙O，分别与BC，AB交于D，E两点，与AC相切于点F，连接EF、BF.
（1）求证：；
（2）试用等式表示线段BE，BD，CD之间的数量关系，并证明你的结论.
23．
（1）【尝试发现】
如图1，△ABC∽△ADE，.当点D，E分别在边AB和AC上时，的值是　 　.
（2）【变式探究】
如图2，将（1）中的△ADE绕点A按逆时针方向旋转一定的角度，其它条件不变，连接CE，BD，AC与BD交于点O，CE与BD的延长线交于点F.
①求的值；
②写出∠BAC和∠BFC的数量关系并证明.
（3）【联系拓广】
如图3，矩形ABCD中，AB=3，BC=6，点E在边BC上且BE=2，连接AE.F是直线BC上的动点，作△AFG∽△ABE，连接CG，EG.
①当点F在线段CB的延长线上，且EG=EA时，求EF的长；
②当CG的长度最小时，直接写出此时BF的长.
24．如图，直线y=-x-6与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线经过A，C两点，与x轴的另一个交点为B.抛物线的对称轴为直线.
（1）求抛物线的表达式；
（2）点D在抛物线上，横坐标为t，若点D到直线AC的距离为，求出所有满足条件的t的值；
（3）若H为抛物线的顶点，P为对称轴上一点，请直接写出的最小值.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】相反数及有理数的相反数
【解析】【分析】根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“-”号，求解即可。
【解答】的相反数是：-(-)=．
故选B．
【点评】本题要求熟练掌握相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“-”号：一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．不要把相反数的意义与倒数的意义混淆。
2．【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、沿对应直线折叠后，直线两侧部分可完全重合，属于轴对称图形；绕图形中心旋转180°后无法与原图形重合，不属于中心对称图形，不符合题意；
B、绕中心旋转180°后与原图形完全重合，属于中心对称图形；不存在能使折叠后两侧重合的对称轴，不属于轴对称图形，不符合题意；
C、沿对称轴折叠后两侧部分重合，属于轴对称图形；旋转180°后与原图形不重合，不属于中心对称图形，不符合题意；
D、既存在对称轴使折叠后两侧完全重合，绕中心旋转180°后也能与原图形完全重合，同时满足两类图形的定义，符合题意。
故答案为：D
【分析】本题考查轴对称图形与中心对称图形的判定，解题时分别依据两类图形的判定规则，对每个选项进行双向验证，先判断是否满足轴对称的折叠重合要求，再判断是否满足中心对称的旋转180°重合要求，最终筛选出同时符合条件的选项，熟练掌握两类图形的判定标准是解题的核心。
3．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：，，
将其化为科学记数法的标准形式 （满足 ），
可得
故答案为：C
【分析】本题考查科学记数法的表示方法，解题时先将“千亿”单位转化为以10为底的幂的形式，再根据科学记数法的规范要求调整系数，使其满足1到10的取值范围，同时对应调整指数得到最终结果，掌握科学记数法的格式要求与大数单位换算规律是解题的重点。
4．【答案】A
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：该双耳罐的两个把手分布在罐身左右两侧，从左侧观察时，双耳沿左右方向投影重叠，会在视图顶部中间呈现两条平行竖线，罐身整体保持容器的侧面轮廓，与选项A的特征一致；选项B呈现两侧带耳的形态，对应主视图；选项C包含同心圆与横向轮廓线，对应俯视图；选项D未体现双耳结构，不符合实际观察结果。
故答案为：A
【分析】本题考查几何体三视图的判断，解题时先明确左视图的观察方向，再结合双耳罐的结构特征，分析从左侧观察时双耳、罐身的投影形态，同时区分主视图、俯视图的不同投影特点，逐一排除错误选项，准确理解三视图的观察角度与投影规律是解题的关键。
5．【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，符合要求；
B、，不符合要求；
C、，不符合要求；
D、与所含字母的指数不同，不属于同类项，无法合并计算，不符合要求
故答案为：A
【分析】本题考查幂的四则运算法则，解题时分别依据同底数幂乘除、幂的乘方的运算规则计算各选项，同时注意同类项才能合并的原则，逐一验证结果是否符合要求，熟练掌握各类幂运算的指数变化规律，是避免运算错误的核心。
6．【答案】D
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：密码最后一位的可选数字为0到9，共10种等可能的结果，其中正确的密码仅有1种结果。
根据概率公式，一次打开的概率
故答案为：D
【分析】本题考查概率公式，解题时先确定最后一位数字的所有可能情况总数，再明确正确结果的数量，代入概率公式即可求解，准确判断所有等可能结果的数量是解题的基础，注意0到9共包含10个数字，避免漏数或多数。
7．【答案】C
【知识点】平行线的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：延长至点，
，
（两直线平行，同位角相等）。
由折叠的对称性可知，平分，
。
又纸带对边互相平行，，
（两直线平行，内错角相等）。
故答案为：C
【分析】本题考查平行线的性质与折叠的性质，解题时先通过作辅助线构造同位角，利用平行线的性质得到，再根据折叠的性质得到，最后根据两直线平行，内错角相等即可求解。
8．【答案】B
【知识点】分式方程的解及检验；解一元一次不等式组；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：先求解一元一次不等式组：
解不等式，得；
解不等式，得。
不等式组的解集为。
不等式组有且只有3个整数解，即整数解为，
，解得。
再求解分式方程：
方程两边同乘最简公分母，得，
整理得。
分式方程的解为非负数，且分母（避免增根），
，解得且。
综合两个条件，的取值范围为且。
为整数，符合条件的为，
所有整数的和为。
故答案为：B
【分析】本题综合考查一元一次不等式组的整数解问题与分式方程的解的限制条件，解题时先分别求解不等式组和分式方程，根据整数解的个数确定不等式组中参数的范围，再根据分式方程解为非负数且分母不为零的限制进一步缩小参数范围，最后筛选出范围内的整数并求和，解题过程中需特别注意分式方程的增根情况，避免遗漏分母不为零的限制条件。
9．【答案】B
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：将代入，
，解得，
，。
，，即。
轴，点的横坐标与点相同，为2。
将代入一次函数解析式，得，
。
将代入，得，
反比例函数解析式为。
联立一次函数与反比例函数解析式：
，
解得或，
。
利用割补法计算的面积，将其拆分为与的面积和，
，
。
故答案为：B
【分析】本题考查一次函数与反比例函数的综合应用，解题时先通过一次函数求出点A坐标，结合线段长度关系得到点E坐标，进而求出点C坐标并确定反比例函数解析式，再联立两个函数解析式求出交点D的坐标，最后利用割补法将三角形拆分为两个同底的三角形，结合坐标计算面积，掌握函数交点的求解方法与割补法求面积的技巧是解题的关键。
10．【答案】A
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：① 由抛物线开口向下，得；
对称轴为，则；
抛物线与y轴交点在y轴负半轴，得；
，故①错误。
②对称轴为，
整理得，即，故②正确。
③ 将代入解析式，得，
将代入，得，即。
点C在与之间，
，即，
解得，故③正确。
④ 由抛物线对称性，对称轴为，，则另一交点。
由得；将代入解析式，
得，即顶点。
由勾股定理分别表示三条线段的平方：
，
，
。
，由勾股定理逆定理得，
代入得，
整理得，解得。
，，故④正确。
综上，②③④正确。
故答案为：A
【分析】本题考查二次函数的图象与性质综合，解题时先根据抛物线的开口方向、对称轴位置、与y轴交点位置判断系数符号，验证结论①；再利用对称轴公式变形验证结论②；接着结合函数过点A的条件，用a表示c，结合c的范围解不等式验证结论③；最后利用抛物线对称性得到点B坐标，结合勾股定理与直角条件列方程求解a的值，验证结论④，熟练掌握二次函数系数与图像的对应关系，以及勾股定理在坐标系中的应用是解题的核心。
11．【答案】
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解： 位于分母位置，
，
解得。
故答案为：
【分析】本题考查二次根式与分式有意义的条件，解题时需注意，当二次根式位于分母位置时，被开方数不仅要非负，还不能为零，因此需列严格大于零的不等式求解，准确区分二次根式在分子和分母时的不同限制是避免出错的关键。
12．【答案】-3
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；开平方（求平方根）
【解析】【解答】解：零指数幂：非零数的0次幂为1，故；
负整数指数幂：；
算术平方根：。
将各项结果相加：。
故答案为：
【分析】本题考查实数的混合运算，涉及零指数幂、负整数指数幂与算术平方根三个知识点，解题时分别根据对应运算法则计算每一项的值，再按照有理数加减法则求和，准确掌握负整数指数幂的运算规则，避免符号计算错误是解题的重点。
13．【答案】
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：“五人同车三车空”，即实际载人的车有辆，每辆坐5人，总人数可表示为；
“四人同车九步行”，即每车坐4人，剩余9人未乘车，总人数可表示为。
联立可得方程组：
故答案为：
【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解题时分别分析两种乘车场景下总人数的表达形式，以总人数为等量关系列出两个方程，联立得到方程组，准确理解“三车空”“九步行”的实际含义，正确表示总人数是解题的核心。
14．【答案】
【知识点】圆周角定理；扇形面积的计算；正多边形的性质
【解析】【解答】解：连接，
五边形是正五边形，
，内角和为，
每个内角。
在中，，
。
是的直径，
（直径所对的圆周角为直角）。
在中，。
根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，
圆心角。
的半径，
代入扇形面积公式得：
。
故答案为：
【分析】本题综合考查正多边形的性质、圆周角定理与扇形面积计算，解题时连接，先利用正五边形的内角公式得到，再结合直径所对圆周角为直角的性质结合题意得到，通过圆周角定理得到，最后代入扇形面积公式即可求解。
15．【答案】（125，-）
【知识点】点的坐标；菱形的性质；用代数式表示图形变化规律；解直角三角形—边角关系；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：过点作轴于点H，
在菱形中，，，
，，
即，依次推导可得，。
由平移与作图规律可知，每8个点为一个循环周期，每个周期整体向右平移8个单位长度。
，
的位置与第一个周期内的位置规律一致。
同理求得第一个周期内，
观察规律可得，第个周期的对应点横坐标为，纵坐标保持不变。
当时，横坐标为，纵坐标为，
即。
故答案为：
【分析】本题考查图形规律探究与菱形的性质，解题时先根据菱形的边长和角度结合题意解直角三角形求出，依次推导可得，，进而即可得到每8个点为一个循环、每个循环向右平移8个单位的规律，再通过带余除法确定在循环中的位置，结合坐标变化规律求出最终坐标即可。
16．【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；三角形全等的判定-AAS；直角三角形斜边上的中线；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：由函数图象可知，当点P与点B重合时，取得最小值3，
此时Q为AB中点，，即。
当点P运动到点C时，，
此时Q为AC中点，在矩形中，
由直角三角形斜边中线等于斜边的一半，得，即。
在中，由勾股定理得：
，
矩形中，。
当P为CD中点时，延长BQ交CD的延长线于点E，
，，，
又为AP中点，，
（AAS），
，。
是CD中点，，
。
在中，，
。
故答案为：
【分析】本题考查动点问题的函数图象与矩形的性质，解题时先从函数图象的特殊点入手，根据题意得到当点P与点B重合时，取得最小值3，此时Q为AB中点，，即，当点P运动到点C时，，进而结合题意根据直角三角形斜边上的中线的性质得到，即，从而根据勾股定理即可得到BC的长，再根据矩形的性质结合题意得到，；当P为CD中点时，延长BQ交CD的延长线于点E，根据三角形全等的判定与性质结合题意证明（AAS）得到，，再结合勾股定理求出BE，从而即可求解。
17．【答案】解：，
∵，
∴，
当时，原式无意义；
当时，原式
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】本题考查分式的混合运算与分式有意义的条件，先将分式除法转化为乘法运算，对各分式的分子、分母进行因式分解，通过约分化简第一项，再与1通分计算，完成整个式子的化简；根据绝对值的性质得到x的两个可能取值，结合分式分母不为零的限制，排除使原式无意义的取值，将剩余的x值代入化简后的式子计算最终结果。
18．【答案】（1）解：设 与的函数表达式为 ，
将点和点的代入得：，
解得：，
与的函数表达式为；
（2）解：根据题意得，
整理得：，
解得：，，
尽可能的让利于顾客，
，
即该款文创产品每件的售价为35元．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一元二次方程的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】本题考查一次函数与一元二次方程的实际应用。
（1）设一次函数的一般式，将图像上两个已知点的坐标代入，通过解二元一次方程组求出系数，即可得到函数表达式；
（2）根据“总利润=单件利润×销售量”的等量关系，用含x的式子表示单件利润与销售量，列一元二次方程求解，再结合“让利于顾客”的要求选择较小的售价作为最终结果。
19．【答案】解：如图，过点分别作 的垂线，垂足分别为，则四边形，是矩形，
依题意，，，，，
∴
设，则
∴
解得：
∴
∴
∴的面积
答：矩形广告牌的面积约为平方米
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，解题时过点分别作 的垂线，垂足分别为，则四边形，是矩形， 进而根据题意得到，，，，，则，设，则，进而即可求出MH，再根据矩形的面积结合题意即可求解。
20．【答案】（1）7.2；7；8；30
（2）解：
共有六种等可能性的结果，其中恰好抽到两名男生的情况由种，
∴(抽到2名男生)．
【知识点】扇形统计图；用列表法或树状图法求概率；平均数及其计算；中位数；众数
【解析】【解答】（1）解：，
∴；
一共 个数据从小到大排列，第 和个数据的平均数是中位数，
由柱状图知第 和个数据都是，
∴中位数为，
即 ；
由扇形统计图可知“助教模型”中 分出现次数最多，
∴ ；
∵扇形统计图中 分占百分比为：，
∴，
即 ；
【分析】本题考查统计量的计算与古典概型的概率求解。
（1）计算平均数a时，根据条形统计图中各分数的对应人数，用加权平均数公式计算；求中位数b时，将20个数据从小到大排序，取第10和第11个数据的平均数；求众数c时，根据扇形统计图判断出现次数最多的分数；求m时，先计算8分对应的圆心角占比，再用1减去其他各分数的占比得到结果；
（2）先通过列表或画树状图列出所有等可能的抽取结果，再统计恰好抽到2名男生的结果数，代入概率公式计算对应概率。
21．【答案】（1）图形如图所示：
（2）解：∵在矩形 中，
∴，
由（1）知，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；矩形的性质；旋转的性质；作图﹣旋转；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】本题考查图形的旋转作图与相似三角形的判定及性质。
（1）作图时以A为圆心、AB长为半径画弧，与AC的交点即为点E，再以A为圆心、AC长为半径画弧，结合旋转角相等的特点确定点F的位置，连接EF即可得到旋转后的三角形；
（2）先根据旋转的性质得到对应边、对应角相等，结合矩形的内角特征证明与相似，利用相似三角形对应边成比例求出EG的长度，再由EF与BC相等，通过线段差求出FG的长。
22．【答案】（1）证明：如图，连接 ，
∵ 是 的切线，
∴
∵ ，
∴
∴
又∵
∴
∴
∴；
（2），
证明：如图，连接 ，过点作于点 ，
∴
由（1）可得
又∵
∴
∴，
∵
∴，
∴
∴
∴，即
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；圆周角定理；切线的判定与性质
【解析】【分析】本题考查圆的切线性质、弧与圆心角的关系以及全等三角形的判定与性质。
（1）先连接OF，根据切线的性质得到OF与AC垂直，结合∠C为直角推出OF与BC平行，得到内错角相等；再结合半径相等推出角相等，等量代换得到两个圆心角相等，进而证明对应的弧相等；
（2）先过点F作AB的垂线，结合角平分线的性质和三角形全等的判定与性质证明得到，再由等弧对等弦得到，证明得到CD与EG相等，最后通过线段和差推导得出三条线段的数量关系。
23．【答案】（1）
（2）解：①∵ ，
∴， ，
∴ ，，
∴ ，
∴，
∴；
②∠BAC=∠BFC，证明如下：
连接AF，
由①得△BAD∽△CAE，
∴∠ABD=∠ACE，即∠ABF=∠ACF，
∴点A、B、C、F四点共圆，
∴∠BAC=∠BFC
（3）解：①∵四边形 为矩形，
∴ ，
∴，
∵ ，
∴ ， ， ，
∵点 在线段 的延长线上，
∴ ，
∴点 、 、 、 四点共圆，
∴ ，
∴ ，
∵，
∴，
∵ ，
∴，
∴，
设 ，则 ，
由勾股定理得，
∴，
∴（负值不符合题意，舍去），
∴，
∴ ，
∴ ；
②
【知识点】勾股定理；圆内接四边形的性质；相似三角形的判定；解直角三角形—边角关系；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：（1）∵ ，
∴，
∴ ， ，
∵点 ， 分别在边 和 上，
∴ ， ，
∴；
（3）②∵主动点 在直线上，
∴从动点 必须在某一直线上，
∵当点 在点 时，点 在点 的位置，
∴点 在直线 上运动，
当 时， 的长度最小，为，此时点 在处，
由①得 ，
∴ ，
∴ ，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，则 ，
由勾股定理得，
∴，
解得（负值不符合题意舍去），
∴，，
作 于 ，
∵ ，
∴，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴，
∵，
∴
综上所述，当 的长度最小时，此时的长为．
【分析】本题综合考查相似三角形的判定与性质、图形旋转的性质、四点共圆的判定与性质、矩形的性质以及动点轨迹下的线段最值问题，属于几何探究类综合题。
（1）利用相似三角形对应边成比例的性质，由可直接得到，即、，再结合线段和差关系、，将与的表达式代入比值中，提取公因式后约分即可得到的结果，过程中仅需运用相似三角形的基本比例性质与线段的和差运算。
（2）①旋转后图形的相似性保持不变，先由推出且，在等式两边同时加上，可推导出，结合两边对应成比例且夹角相等的判定定理，可证明，再根据相似三角形对应边成比例，直接得到。
②由①中可得对应角，即，根据同侧共底边的两个三角形顶角相等则四点共圆的判定规则，可推出A、B、C、F四点共圆，再依据同弧所对的圆周角相等的性质，即可得到与相等的数量关系。
（3）①先结合矩形的直角性质，在中由勾股定理求出的长度；再由得到对应角相等，结合点的位置推出与相等，满足四点共圆的判定条件，得到A、F、G、E四点共圆，利用圆内接四边形对角互补的性质推出；结合可判断为等腰直角三角形，由勾股定理求出的长度；再由相似三角形对应角相等得到的正切值与一致，设出与的长度，结合勾股定理求出的长，最后在中用勾股定理算出，加上的长度即可得到的长。
②本题属于主动点-从动点的轨迹最值问题，由主动点在直线上运动，结合相似关系可判断从动点的运动轨迹为一条定直线，根据垂线段最短的原理，当垂直于该定直线时，的长度最小；再通过角度的正切关系推导对应边的比例，结合勾股定理、等面积法求出相关线段的长度，最后利用相似三角形的对应边比例关系，计算出此时的长度。
24．【答案】（1）解：∵直线与轴交于点，与 轴交于点 ，
当时， ，当时，，
∴，，
∵抛物线与轴的另一个交点为，抛物线的对称轴为直线．
∴，
设抛物线解析式为，代入，
∴
解得：
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴
设直线 的解析式为 ，代入，
∴，解得：
∴直线 的解析式为
如图，取点，，过点 分别作 的平行线，过点 分别作 的垂线，垂足分别为，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵点到直线的距离为
∴在上，
∵平行 ，
∴的解析式分别为，
联立
消去 得，
解得：
联立
消去 得，
解得：
∵点横坐标为 ，
∴或或
（3）
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-动态几何问题；二次函数y=ax²+bx+c的图象；胡不归模型；二次函数-线段定值（及比值）的存在性问题
【解析】【解答】（3）∵
∴
如图，过点作使得，则，
∴，，，
∴，
过点 作，设的延长线交轴于点 ， 交轴于点，则
∴
∴当在 上时，取得最小值，最小值为．
∴
∴
∴
∴，
∴
【分析】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法求函数解析式、点到直线的距离计算、胡不归型线段和最值问题，属于代数与几何结合的综合题。
（1）先根据一次函数与坐标轴交点的求解方法，分别令、求出点、点的坐标；再利用二次函数的对称性，由对称轴公式结合点的坐标，求出抛物线与轴另一交点的坐标；设抛物线的交点式解析式，将点的坐标代入求解系数，最后整理为一般式即可得到抛物线表达式，核心运用了二次函数的对称性与待定系数法。
（2）先由A、C两点坐标判断为等腰直角三角形，得出直线的倾斜角为，根据平行线间距离处处相等的性质，满足到直线距离为的点均在与平行的两条直线上；结合等腰直角三角形的边长关系，计算出两条平行线相对于直线的平移距离，得到两条平行线的解析式；再分别将两条平行线的解析式与抛物线解析式联立，消去后得到关于的一元二次方程，求解方程得到的根即为点的横坐标，过程中用到了一次函数的平移规律、平行线间的距离关系以及二次函数与一元二次方程的对应关系。
（3）本题属于带系数的线段和最值问题，即胡不归模型，先对原式提取公因子，将变形为的形式；再通过构造定角的方式，作与夹角满足正弦值为的定直线，将转化为点到该定直线的垂线段长度，从而将括号内的线段和转化为点到定直线的垂线段距离；根据垂线段最短的原理求出原点到定直线的距离，再乘以系数即可得到原式的最小值，解题关键是通过三角函数关系将带系数的线段转化为垂线段，将动态线段和转化为定点到定直线的静态距离。
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