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参考答案
一、选择题（每题 3 分）
1.D
2.C
3.C
4.A
5.B
6.B
7.B
8.C
二、填空题（每题3分）
9.3
10.x(c+2)(x-2)
11.-1
12.m<2
13.60°
14.①②④
三、解答题
15
原式=
x-3
,代入x=√3+3，结果1-√3
16
解：可选组合AB、AC、BC
质量：A=10g,B=20g,C=30;左侧50g,右侧两物体和需等于50
只有B+C=50符合，总情况3种，符合1种
1
概率=
3
17作图题（略）
18
解：设计划速度xkm/h
120
120
=1
优
1.2x
x=20
答：原计划20km/h
19
(1)作图：尺规作∠ADB角平分线交AB于F,连接DF(痕迹略)
(2)证明：
.DF平分∠ADB,.∠ADF=∠FDB
.AB IICD,.∴∠CDF=∠DFB,AD=BC
可证AD=AF,CD=CF,四边相等，故四边形AFCD为菱形
20
(1)C组
1
(2)样本中C、D共13个，1000×
20
=650个
(3)④方差
21
(1)60kg/h
(2)设y=kx+b,代入(2,180)，y=60x-120
(3)120kg
22
补全证明：
AB
AC
.·∠A=∠DCE,
CD
CE
.∴.△ABC∽△CDE
.'.∠ACB=∠CED,∠DEC+∠DCE=90°
.'.∠ACB+∠ACE=90°，∠BCE=90°
.'.BE为直径，E在以BC为直径的圆上
问题解决最大值：2√5
方法应用最小值：√5
23
24
(1)
5
2器
3
(2)
①t=
②t=
2
12
(3)t=
7
24
(1)y=x2-2x-3
(2)-1(3)4
(4)-2≤m<0或2数学
本试卷包括三道大题，共8页．全卷满分为120分，考试时间为120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内．
2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效．
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．实数-5的相反数是
A．-5 B． C． D．5
2．第六代战斗机是一种人工智能控制的吸气式超高音速战斗机，此类战机速度预计可以突破5马赫，飞行一小时的距离约为22100000米，用科学记数法表示数据22100000，正确的是
A． B． C． D．
3．一个不等式组的解集在数轴上的表示如图，则这个不等式组的解集是
A． B． C． D．
4．下列生活实物中，没有应用到三角形的稳定性的是
A． B． C． D．
5．唐朝李白的《行路难》有句诗“长风破浪会有时，直挂云帆济沧海”．如图是小明作的一个帆船模型抽象的几何图形，已知，，若，则的度数为
A． B． C． D．
6．如图，一艘海轮位于灯塔的北偏东方向，距离灯塔为10海里的点处，如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东方向处，那么海轮航行的距离的长是
A．10海里 B．海里 C．海里 D．海里
7．下列多边形中，与正八边形组合能够铺满地面的是
A．正三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形
8．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点与原点重合，点在轴的正半轴上，点在反比例函数（）的图象上，点的坐标为，将菱形向右平移个单位，使点刚好落在反比例函数（）的图象上，则的值为
A．5 B． C． D．4
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分．
9．当分式的值为0时，_____．
10．因式分解：_____．
11．若是关于的一元二次方程（）的解，则代数式的值是_____．
12．已知一次函数（是常数），且随着的增大而减小，那么的取值范围是_____．
13．如图，图形是由一个绕某点连续旋转若干次得到，每次旋转相同角度，则的最小值为_____．
14．如图，在中，已知，的垂直平分线分别交，于点，，，为的外接圆，过点作的切线交于点，则下列结论正确的是_____（写出所有正确结论的序号）．
①；②；③若，则的长为；④．
三、解答题：本题共10小题，共78分．
15．（6分）先化简，再求值：，其中．
16．（6分）在一个平衡的天平左、右两端托盘上，分别放置质量为和的物体后，天平倾斜，如图所示，现有A、B、C三个物体，它们除质量不同外其余完全相同，其中物体，物体，物体．小明从A、B、C三个物体中，随机选取两个放置在天平的右端托盘上．请用列表或画树状图的方法，求小明恰好使天平恢复平衡的概率（天平两端的托盘上放置的物体质量相同，天平恢复平衡）．
17．（6分）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，四边形是平行四边形，且，均为格点，，均为竖格线上的点，点是边与竖格线的交点．
（1）如图①，在线段上取点，连结，使得；
（2）如图②，点是边上任意一点，仅用无刻度的直尺在边上画出点，连结，使得．
18．（7分）骑行爱好者小王计划骑车前往距离120公里的邻市游玩．实际骑行时，因下坡路段较多，他的平均速度提升为原计划的1．2倍，结果提前1小时到达目的地．求小王原计划每小时骑行多少公里．
19．（7分）如图，点、分别在的边上，，．
（1）仅用圆规和无刻度直尺，在图中作的角平分线交射线于点，连结；（不写做法，保留作图痕迹，作图确定后必须用黑色签字笔描黑）
（2）利用（1）中所画图形，求证：四边形是菱形．
20．（7分）2026年全球优质生鲜跨境采购峰会在我国举办，我国精品苹果种植基地接到海外大批量出口订单．海关质检部门从基地待出口的1000枚精选苹果中，随机抽取20枚作为官方抽检样本，测量果实直径，数据整理如下：
组别 直径/mm 频数/个
A 3
B 4
C 8
D 5
根据以上信息，回答下列问题：
（1）抽取的20个苹果直径的中位数落在组_____；（填组别字母）
（2）本次国际出口贸易标准规定：苹果直径不小于，才可达到全球商超的准入采购门槛．结合本次样本抽检数据，预估该基地1000枚待出口苹果中，符合国际出口准入标准的苹果总数量；
（3）由于测量程序设置错误，抽取的20个苹果中的直径都少加了，改正数据后，这20个新数据与原数据的特征数保持不变的是_____．（填数字序号）
①众数；②中位数；③平均数；④方差．
21．（8分）某物流公司引进Ａ、Ｂ两种机器人用来搬运某种货物，这两种机器人充满电后可以连续搬运5小时，Ａ种机器人于某日0时开始搬运，过了1小时，Ｂ种机器人也开始搬运．两种机器人的搬运量（）与时间（h）的函数图象如图所示．
（1）A种机器人每小时搬运量为_____；
（2）求B种机器人的搬运量y（）关于x（h）的函数解析式；（不用写出自变量取值范围）
（3）如果A、B两种机器人分别连续搬运，那么B种机器人比A种机器人多搬运了_____．
22．（9分）
【问题呈现】如图①，，，，
求线段的最大值．
【问题探究】通过对已知条件进行整理可知：，小明想通过构造相似的办法探讨动点的轨迹问题．以下是小明的部分证明过程：
证明：如图②，过点作于点，且，连结．
，
，
．
，
又
，
证明过程缺失
，
点在以为直径的圆上．
请你帮助小明补全上述证明过程．
【问题解决】根据以上的推导可知原问题中线段的最大值为_____．
【方法应用】如图③，在平面直角坐标系中，点，点在轴上，连结，过点作于，使得，连结，则线段的最小值为_____．
23．（10分）如图①，在中，，．点在边上，且．点在边上，连接．
（1）__________．
（2）当是等腰三角形时，直接写出的长．
（3）将线段绕点逆时针旋转45°得到线段，过点作交线段或线段的延长线于点．
（ⅰ）如图②，当点在线段上时，求证：．
（ⅱ）连结，当面积是面积的3倍时，直接写出的长．
24．（12分）在平面直角坐标系中，点是坐标原点，抛物线（为常数）与轴交于点和点，与轴交于点，点在抛物线上，其横坐标为，直线交该抛物线的对称轴于点，点、关于点的对称点分别为Q、E，顺次连接点P、C、Q、E，得到四边形．
（1）求该抛物线对应的函数表达式；
（2）写出点的坐标___________；
（3）当点在第一象限时，四边形的边与抛物线共有两个交点（四边形的顶点除外），求的取值范围；
（4）直接写出使得四边形成为轴对称图形时的值．

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