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高二学情调研数学试题
一、单选题
1．设，则的虚部为（ ）
A． B．
C． D．
2．已知集合，，则的真子集个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
3．的展开式中的系数为（ ）
A．80 B．60 C．40 D．20
4．从点，，，中随机抽取2个点，恰有1个点在直线上的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．在垄断条件下，常需要考虑边际要素成本，记边际要素成本为，成本为，当要素供给函数为线性函数（且，均为常数）时，可得，这里记为供给公差．当时，供给公差为（ ）
A． B． C． D．
6．已知直线与圆有公共点，则该圆面积的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
7．已知定义在上的函数满足，且在上单调递增，，则关于x的方程的实数解的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
8．某博物馆有A，B，C，D四个不同的展厅，安保机器人每天需巡逻6次（某展厅可能未巡逻），每次只访问一个展厅，若要求机器人不能连续两次访问同一个展厅，且每天A展厅恰好被访问2次，则满足条件的巡逻路线共有（ ）
A．270条 B．360条 C．402条 D．480条
二、多选题
9．已知双曲线：的左焦点为，右顶点为，其右支上有一点位于第一象限，，，，则（ ）
A．点的坐标可表示为
B．
C．的渐近线方程为
D．点到的右焦点的距离与之差为
10．已知集合，从其所有子集中依次等可能地选取两个不同子集， ，记事件 为“是 的真子集”，事件为“子集 中恰有2个元素”，则（ ）
A． B．
C． D．
11．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则函数无极值点
B．若 ，则函数恰有1个极值点
C．若 ，则曲线存在1条斜率最小的切线
D．若，则曲线恰有2条斜率为0的切线
三、填空题
12．若随机变量服从正态分布，且，则______________．
13．在公比为整数的等比数列中，，，成等差数列，且，则_____________．
14．在三棱锥中，，，，，若该三棱锥的4个顶点均在一个球面上，则该球的表面积为_________________．
四、解答题
15．为测定常用刀具的磨损速度，每隔一个小时对刀具的厚度进行测量，记时间为，刀具的厚度为 ，得到如下数据：
时间
厚度
关于的经验回归方程为．
(1)现有五把刀具，其中三把质量较好，两把质量较差，从这五把中随机抽取两把，求这两把质量均较好的概率；
(2)求 关于的经验回归方程，并预测时间为时刀具的厚度．
参考数据：．
参考公式：对于经验回归方程，，．
16．已知函数．
(1)当时，求在区间上的最小值；
(2)若在处取得极小值，求的值．
17．某校对200名学生的心理情况与学习成绩进行问卷调查，通过对照表得到学生的心理测评分数，经过统计得到下表．
学习成绩较好 学习成绩较差
心理情况较好 80 45
心理情况较差 15 60
(1)依据小概率值的独立性检验，分析学生的学习成绩是否与心理情况有关；
(2)从上述学习成绩较差的学生中采用分层随机抽样的方法抽取7人，再从这7人中随机抽取3人，记这3人中心理情况较差的人数为 ，求 的分布列与数学期望．
附：，．
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
18．记为数列的前项和，已知，.
(1)求；
(2)证明：.
19．在平面直角坐标系中，点到点的距离与到直线：的距离之比为，记点的轨迹为曲线．
(1)求的方程；
(2)点，过点的直线与交于，两点．
（ⅰ）当时，求的方程；
（ⅱ）若直线斜率不为0，且直线与过点且垂直于的直线交于点，判断点是否在定直线上，并说明理由．
参考答案
1．C
【详解】因为，
所以其虚部为.
故选：C.
2．D
【详解】或，则方程组解为或，
即，有2个元素，
从而的真子集个数为个.
3．C
【详解】的展开式的通项公式为，
令，所以，
所以的展开式中的系数为40
4．C
【详解】从点，，，中在直线上.
则恰有1个点在直线上的概率为.
5．B
【详解】因为，
所以，
化简可得，
又，
所以，
即，
所以当时，供给公差为.
6．A
【详解】由题意可知，圆心到直线的距离，
因为，所以，
因为，等号成立时，所以，
得，
则该圆面积的最小值为.
7．B
【详解】因为定义在上且单调递增的函数满足，所以是一个固定常数，
设为，且，则，
所以，解得，所以，
所以关于x的方程的实数解的个数等价于解的个数，
即，所以，
所以方程的正数解只有一个，即关于x的方程的实数解的个数为1
8．C
【详解】选A的位置，6次巡逻中选2个不相邻位置放A，共10种位置组合，分位置组合计算剩余展厅排列，
根据A的位置将剩余4个位置分段，每段内B，C，D排列需相邻不同，
A在位置1与位置3：；A在位置1与位置4：；
A在位置1与位置5：；A在位置1与位置6：；
A在位置2与位置4：；A在位置2与位置5：；
A在位置2与位置6：；
A在位置3与位置5：；A在位置3与位置6：；
A在位置4与位置6：；
总共有.
9．ACD
【详解】双曲线中，右顶点，左焦点.
因为，所以.
结合双曲线关系，得.
选项A.由，顶点在，在第一象限，
可得直线斜率，直线方程为.
设，结合，
所以.
因在右支，则，得，即，，故，正确.
选项B.将代入双曲线方程，
化简得，错误.
选项C.将代入，得，
解得（，舍去负根），则，.
渐近线方程为，正确.
选项D.设右焦点为，由双曲线定义，，则，正确.
10．ACD
【详解】集合共个元素，子集总数为个.题目要求依次选取两个不同子集，因此基本事件总数为.
选项A：事件：恰有个元素，有种选法，从剩余个子集选，共种. 则，A正确；
选项B：因事件表示：有个元素，且是的真子集，则，，故，B错误；
选项C：按的元素个数分类计算满足是真子集的所有情况：
含个元素（空集）：真子集个数为，共种；
含个元素：共个，每个真子集个，共种；
含个元素：共个，每个真子集个，共种；
含个元素：共个，真子集个，共种；
即满足的所有事件数为，因此，C正确；
选项D：，D正确.
11．ABD
【详解】首先对原函数求导得 ，
对于A，令 ，
求导得 ，
因为 ，所以 ，，
且 与 同号，即 ，
因此 恒成立， 单调递增，无极值点，故A正确，
对于B，令 ，求导得 ，
令 ，，
而
则是奇函数，且时 ，，当时， ，
仅 时， ，即 仅有一个零点，
且在 处左负右正，恰有1个极值点，故B正确，
对于C，由切线斜率的性质得 ，
则 ，判别式为，
当 时 ，，故 恒成立，单调递增，
且 时， ，取不到最小值，不存在斜率最小的切线，
但当 时， ，
此时单调递增，无最小值，得到 下斜率最小的切线并非总是存在，故C错误，
对于D，若斜率为0，即 ，而 ，等价于，
判别式为，当 时， ，方程有两个不相等实根，
即恰有2条斜率为0的切线，故D正确.
12．0.15/
【详解】由随机变量服从正态分布，得,
所以.
13．18
【详解】设数列的公比为，则，，
∵，，成等差数列，∴，
∴，
因为，所以，
所以，即，
所以，
所以，即，
所以或（舍去）或（舍去）
所以.
14．
【详解】设，，方向上的单位向量分别为，，，由题意可得，
且，，，设该三棱锥外接球的球心为，半径为，设，
由外接球的性质可得，，，
又，
，
，
所以，，，
即，，，三式相加可得，，
则，回代解得，，，
所以，
所以该三棱锥外接球的表面积.
15．(1)
(2)，
【详解】（1）从五把刀具中随机抽取两把共有种结果，其中两把为质量较好的有种结果，
因此抽到的两把刀具质量均较好的概率为.
（2）由题得，，，
得到，
所以，
则.
所以 关于的经验回归方程为，
当时，，
故可预测时间为时刀具的厚度为
16．(1)
(2)．
【详解】（1）当时，，，
则，
令，得或，
则当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以在区间上的最小值为．
（2）由题得，，
因为在处取得极小值，
所以，解得或．
当时，，
令，得或，
则当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
此时在处取得极小值，符合题意；
当时，，
令，得或，
则当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
此时在处取得极大值，在处取得极小值，不符合题意．
综上，．
17．(1)认为学生的学习成绩与心理情况有关
(2)
．
【详解】（1）零假设：学生的学习成绩与心理情况无关，
，
所以依据小概率值的独立性检验，推断不成立，
即认为学生的学习成绩与心理情况有关，此推断犯错误的概率不大于．
（2）抽取心理情况较好的人数为，心理情况较差的人数为，
则的可能取值为,
则，，
，，
所以 的分布列为：
则．
18．(1)
(2)
因为，所以，
两式相减得，则.
当时，；
当时，，
设，，则，
所以在上单调递增，所以由，
得，
故，，
则，，
设，，则，
所以在上单调递减，
所以由，得，，
则当时，，所以；
当时，，
则，故.
综上，.
【详解】（1）因为，，
所以当时，，得；
当时，，
得.
（2）略
19．(1)
(2)（ⅰ）．
（ⅱ）假设点在定直线上，
由椭圆的对称性可知该定直线必然与轴垂直．
由题可知的斜率不为，且直线：，
直线：，联立，
得
，
所以点在定直线上．
【详解】（1）设，由题得，
即， 整理得，
所以 的方程为．
（2）（ⅰ）由题得，
当的斜率为 时，可取，或，.
则，符合题意，此时的方程为 ；
当的斜率不为 时，设：，，，
联立，得，
则，，．
，，
所以，即，不成立．
综上，的方程为 ．
（ⅱ）略

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