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北师大版数学九年级上册期末学情评估试题
一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分）
1．抛物线的对称轴是（ ）
A. 轴 B. 直线 C. 直线 D. 直线
2．先贤孔子曾说过“鼓之舞之”，这是“鼓舞”一词最早的起源，如图是喜庆集会时击鼓瞬间的情境及鼓的立体图形，该立体图形的主视图是（ ）
A. B.
C. D.
3．已知是关于的方程的一个根，则的值为（ ）
A. B. C. 2 D.
4．如图，要使成为菱形，则可添加的一个条件是（ ）
（第4题）
A. B.
C. D.
5．如图是一次数学活动课上制作的一个转盘，盘面被等分成四个扇形区域，并分别标有数，0，1，2。若转动转盘两次，每次转盘停止后记录指针所指区域的数（当指针恰好指在分界线上时，不记，重转），则记录的两个数都是正数的概率为（ ）
（第5题）
A. B. C. D.
6．如图，是由等腰直角三角形经过位似变换得到的，位似中心在轴的正半轴上，相似比为，已知，点的坐标为，则这两个三角形的位似中心的坐标是（ ）
（第6题）
A. B. C. D.
7．如图，二次函数的图象与轴交于，两点，下列说法正确的是（ ）
（第7题）
A. 抛物线的对称轴为直线
B. 抛物线的顶点坐标为
C. ，两点之间的距离为5
D. 当时，的值随值的增大而增大
8．如图，在正方形中，点，分别在，上，是等边三角形，连接交于点，下列结论：， ，垂直平分，，其中正确的有（ ）
（第8题）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
9．小梦在研究“掷一枚图钉，针尖朝上”的概率时，用同一枚图钉做试验得到如下数据：
掷图钉的次数 10 100 300 500 800 1 000 2 000
针尖朝上的频率
请利用以上数据估算“掷这枚图钉，针尖朝上”的概率是_ _ _ _ 。
10．如图，是的边上一点，若， ， ，则_ _ _ _ 。
（第10题）
11．如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的侧面积为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 。
（第11题）
12．若矩形的两邻边长分别为一元二次方程的两个实数根，则矩形的对角线长为_ _ _ _ 。
13．如图，将正方形绕点按逆时针方向旋转 得到正方形，连接，若，则的长度为_ _ _ _ _ _ 。
（第13题）
14．如图，甲、乙两人进行羽毛球比赛，羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分，甲在点正上方的处发出一球，以点为原点建立平面直角坐标系，羽毛球的飞行高度与水平距离之间满足表达式，球网离点的水平距离为，甲发球过网后，乙在球场上处接球，乙原地起跳可接球的最大高度为，若乙因接球高度不够而失球，则的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ 。
（第14题）
三、解答题（共12小题，共78分）
15．（6分）解下列方程：
（1） ;
（2） 。
16．（5分）如图，已知矩形，过点作交的延长线于点。求证：。
17．（5分）如图，已知，。请用尺规作图法，在射线上求作一点，使得。（保留作图痕迹，不写作法）
18．（5分）如图，在中，点，，分别在边，，上，，。
（1） 求证：；
（2） 若，，求线段的长。
19．（5分）已知关于的一元二次方程。
（1） 试判断该方程根的情况；
（2） 若，是该方程的两个实数根，且，求的值。
20．（5分）某汽车城销售某种型号的汽车，每辆进货价为25万元，市场调研表明：当销售单价为29万元时，平均每周能售出8辆，而当销售单价每降低1万元时，平均每周能多售出8辆。如果设每辆汽车降价万元，每辆汽车的销售利润为万元。
（1） 求与的函数关系式，在保证汽车城不亏本的前提下，写出的取值范围；
（2） 当每辆汽车的定价为多少万元时，平均每周的销售利润最大？最大利润是多少？
21．（5分）如图是两个可以自由转动的转盘，转盘A中数字1所在扇形区域的圆心角为 ，转盘B被分成面积相等的三个扇形。游戏规则：依次转动转盘A，B，当转盘停止后，若指针指向的两个区域的数字之和大于5，则甲获胜;否则乙获胜。（如果指针落在分割线上，则需要重新转动转盘）
（1） 转动转盘B，指针指向的数字为3的概率是_ _ _ _ _ _ ；
（2） 这个游戏公平吗？请用列表或画树状图的方法说明理由。
22．（7分）如图，是菱形的对角线的交点，，，连接。
（1） 求证：四边形是矩形；
（2） 若四边形为正方形，，求的长。
23．（7分）如图，某校操场上有一根旗杆，该校学习兴趣小组为测量它的高度，在和处各立一根高的标杆，，两杆相距。已知视线与地面的交点为，视线与地面的交点为，并且，，，，在同一直线上，，，均与垂直，测得为，为，求旗杆的高度。
24．（8分）为了丰富学生的课余生活，培养学生德智体美劳全面发展，某校成立了众多种类的学生社团。其中金鹏社团会定期组织学生参与农耕劳作，感受劳动之美。如图①，在生态大棚中有一块面积为的矩形空地，计划在矩形空地上一边增加，另一边增加，构成一个正方形区域，作为学生栽种鲜花的劳动教育基地。
（1） 求正方形区域的边长；
（2） 在实际建造时，从校园美观和实用的角度考虑，按图②的方式进行改造，先在正方形区域内的一侧建宽的画廊，再在余下地方建宽度相等的两条垂直小道，其余地方栽种鲜花（阴影部分），如果栽种鲜花区域的面积为，求小道的宽度。
25．（8分）已知关于的二次函数的图象过点，。
（1） 填空：_ _ _ _ ，_ _ _ _ _ _ ；
（2） 当时，该二次函数的最大值与最小值的差为8，求的取值范围；
（3） 已知，，若线段与抛物线有交点，求的取值范围。
26．（12分）【问题提出】
（1） 如图①，在中， ，，若的面积为，则边上的高为_ _ _ _ _ _ ；
【问题探究】
（2） 如图②，在中，为的延长线上一点，连接，交于点。若，，求的长；
【问题解决】
（3） 如图③，老王家有一块形如四边形的土地， ，，，他计划在这块土地上规划一个面积为的直角三角形区域，设立枇杷林用以放养走地鸡，为了充分利用这块土地，并考虑与周边环境协调，要求该三角形枇杷林的顶点，分别在线段，上，且，顶点在线段或线段上，为斜边。现要沿修一条笔直的水渠，请你帮他计算水渠的长。
参考答案
1．【答案】D
2．【答案】B
3．【答案】D
4．【答案】B
5．【答案】C
6．【答案】A
7．【答案】C
8．【答案】D
9．【答案】0.68
10．【答案】20
11．【答案】
12．【答案】5
13．【答案】
14．【答案】
15．【答案】
（1） 解：移项，得，
两边开平方，得，
即或。
所以,。
（2） 移项，得。
提取公因式，得,
所以或，
所以,。
16．证明：四边形是矩形，
，。
又，
四边形是平行四边形，
，。
17．解：如图所示。
18．【答案】
（1） 证明：，，
，，
。
（2） 解：，。
，。
。。
19．【答案】
（1） 解：因为，
所以该方程有两个不相等的实数根。
（2） 因为，是该方程的两个实数根，
所以，。
因为，
所以，
所以，
解得。
20．【答案】
（1） 解：由题意得，
因为,所以,所以,所以。
所以。
（2） 设平均每周的销售利润为万元，
则
，
因为，所以当时，取得最大值，最大为50。
因为（万元），
所以当每辆汽车的定价为27.5万元时，平均每周的销售利润最大，最大利润为50万元。
21．【答案】（1）
（2） 解：不公平。理由：将转盘A中数字2所在扇形等分为三个扇形，则转盘A被等分为四个扇形区域，四个区域上的数字分别为1，2，2，2。列表如下：
和 转盘A 转盘B 1 2 2 2
3 4 5 5 5
4 5 6 6 6
5 6 7 7 7
由表可知，共有12种等可能的结果，其中指针指向的两个区域的数字之和大于5的结果有7种，即甲获胜的结果有7种,所以（甲获胜）,（乙获胜）。
因为，所以这个游戏不公平。
22．【答案】
（1） 证明：,，
四边形是平行四边形，
是菱形的对角线的交点，
， ，
四边形是矩形。
（2） 解： 四边形为正方形，
。
在菱形中，
，,
， ，
，
，即，
解得（负值舍去），
。
23．解：由题意得，，，，,,，
,。
,,
,，
,。
，。
,。
，
。
，，
。
旗杆的高度为。
24．【答案】
（1） 解：设正方形区域的边长为，则,，
由题意，得，
解得,（舍去），
正方形区域的边长为。
（2） 设小道的宽度为，则栽种鲜花的区域可看成长为，宽为的矩形，
由题意，得，
整理，得，
解得，（不合题意，舍去），
小道的宽度为。
25．【答案】（1） 8；
（2） 解：由（1）得，
因为，所以当时，取最大值，为6。
因为当时，该二次函数的最大值与最小值的差为8，所以易得最小值为。当时，，解得或。
所以易得。
（3） 把代入，
得，
解得或，
所以抛物线上纵坐标为4的两点间的距离为。
因为，，
所以，
所以线段与抛物线只有1个交点。
当线段与抛物线在对称轴左侧有交点时，且，
所以此时。
当线段与抛物线在对称轴右侧有交点时，且，
所以。
综上所述，或。
26．【答案】（1）
（2） 解： 四边形是平行四边形，
，，
易得，。
，,
，，
。
（3） ，
，
四边形是平行四边形，
，。
，
。
过点作于点，当点在线段上时，延长，交于点，如图，
，
易得，
，
，
即，
在中， , , ,
，
,
，，
设，则，
易知 ， ， ，
，，
，
，即，
整理，得，
解得或，
即或,
或。
或，
或，
或。
当点在线段上时，易得，即，
（不合题意，舍去）。
综上，水渠的长为或。
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