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期末综合能力培优导航练习卷2025-2026学年浙教版八年级数学下册（浙江省杭州市）
一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的，多选、错选、不选均不给分。)
1．要使二次根式有意义，则的取值可以是（ ）
A．5 B．3 C．0 D．
2．剪纸是中国古老的民间艺术之一，下列剪纸图案是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．用反证法证明命题“若，则”时，第一步应假设（　　）
A．不平行于 B．平行于 C．不垂直于 D．不垂直于
4．把方程的左边配方后可得方程（ ）
A． B． C． D．
5．某班七个兴趣小组人数分别为3，3，4，x，5，5，6．已知这组数据的平均数是4，则这组数据的中位数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
6．已知边形的内角和为，则的值是（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
7．下列条件中，不能判断四边形是平行四边形的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
8．有x支球队参加篮球比赛，共比赛了45场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是（ ）
A． B． C． D．
9．若以A（﹣1，0），B（3，0），C（0，1）三点为顶点画平行四边形，则第四个顶点不可能在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
10．如图所示，E为边长是4的正方形的边的中点，M为上一点，N为上一点，连接、、，则四边形周长的最小值为（　　）
A．10 B．12 C． D．
二、填空题:本大题共6小题，每小题3分，共18分.把答案直接填在答题卡相对应的位置上.
11．若是一元二次方程的根，则方程的另一个根为________．
12．小明用，计算一组数据的方差，那么______．
13．如图，在中，点分别是边的中点，点是线段上的一点．连接，且，则的长是_____．
14．在中，，则=___________°．
15．如图，菱形中，点O是的中点，，垂足为M，交于点N，，，则的长为_____．
16．如图，正方形的边长为 13，以为斜边向内作，，，于点 E，连接．若 ，则 的面积为_________．
三、解答题:（17、18、19、20、21题每题8分，22、23每题10分，24题12分，共计72分，解答题要有必要的文字说明）
17．计算：
(1)；
(2)．
18．解下列一元二次方程：
(1)；
(2)．
19．如图，为四边形的对角线，已知．
(1)求证：四边形是平行四边形．
(2)分别为的中点，连结．若，求的长．
20．某校举行班容班貌评比活动，以班级为单位，评比项目包括文化卫生、板报宣传和特色栏目．三个班级各项目得分如下表（单位：分）所示：
项目 班级 文化卫生 板报宣传 特色栏目
班 92 88 93
班 94 93 89
班 89 94 96
(1)已知两班的平均分分别是91分、92分，通过计算指出哪个班级平均分最高．
(2)若将文化卫生、板报宣传和特色栏目的得分按的比例计算总成绩，此时班的总成绩分别为分和分，求班的总成绩，并根据总成绩从高到低给出班级排名．
21．如图，已知四边形是菱形，延长到点E使，延长到点F使，连接，，，．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)连接，若平分，菱形的边长为4，求矩形的面积．
22．某校在一次数学活动中，组织学生设计矩形花圃．花圃的一边可利用长为8米的围墙，另三边用篱笆围成，已知篱笆长20米．下面是小高和小周两位同学设计的方案（篱笆全部用完，篱笆裁剪与拼接处的损耗忽略不计）：
(1)如图1是小高同学设计的方案，花圃的一边靠墙（米），另三边用篱笆围成．设的长为x米，
①求的长（用含x的代数式表示）；
②当花圃面积为42平方米时，求x的值；
(2)如图2是小周同学设计的方案，花圃的一边由围墙（）和部分篱笆（）组成，另三边由剩余的篱笆围成．问花圃面积能达到50平方米吗？请通过计算说明．
23．如图，四边形是正方形，，E，F，G分别是正方形的边，及对角线上的点，H是正方形内一点，满足四边形是正方形．
(1)如图1，若，求此时的长．
(2)如图2，连结，求证：．
(3)如图3，延长交射线于点J，取线段的中点K，连结．设，在范围内是否存在t的值，使是等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．
24．新定义：关于x的一元二次方程与互为“师梅方程”．
(1)根据上述定义，判断以下三组方程是否互为“师梅方程”（在题后相应的括号中，是打“√”，不是打“×”）；
①与（ ）
②与（ ）
③与（ ）
(2)若关于x的一元二次方程的两实数根．
①求a的值；
②记方程的“师梅方程”为方程，q是方程的一个实数根，求的值．
若关于x的一元二次方程与它的“师梅方程”有且只有一个公共实数根，求k的值．
参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A D A A B B C B C B
二、填空题
11．
12．
13．3
14．60
15．
16．72
三、解答题
17．【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
18．【详解】（1）解：∵,
∴
∴
解得，．
（2）解：∵，
∴
解得，．
19．【详解】（1）证明：，
．
，
四边形是平行四边形；
（2）分别为的中点，
是的中位线，
．
四边形是平行四边形，
，
．
20．【详解】（1）解：班的平均分为分，
∵，
班平均分最高．
（2）解：班的总成绩为分，
，
总成绩从高到低给出班级排名顺序为班、班、班．
21．(1)证明：∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵四边形是菱形，
∴，
又∵，，
∴，
∴四边形是矩形．
（2）解：∵四边形是菱形，
∴，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵菱形的边长为4 ，
∴，，
∵四边形是矩形，
∴，
∵中，，
∴，
∴，
∴四边形的面积为．
22．【详解】（1）解；①由题意得，米
②根据题意，得：，
整理得，
解得：，，
∵，
∴，
∴，
∴x的值为7；
（2）解：矩形花圃面积不能达到 50 平方米，理由如下：
设米，则米
根据题意，得：，
整理得，
∵，
∴此方程无实数解，
∴矩形花圃面积不能达到50平方米．
23．【详解】（1）解：如图，过点G作于点P，
∵四边形、四边形均是正方形，
∴，，，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：如图，过点G作于点P，过H作于点Q，
∵四边形、四边形均是正方形，
同理（1）可证，
∴，，
∵，
∴，即是的垂直平分线，
∴；
（3）解：如图，过H作于点Q，连结，
由（2）知，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即H是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∵是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
，
，
当或或时，是等腰三角形，
情况1：，
，解得；
情况2：，
，解得或3；
情况3：，
，解得或；
，
故所有符合条件的t的值是或或．
24．【详解】（1）解：①两组方程二次项系数均为1，一次项系数为2和，常数项均为0，符合定义，标记为√；
②两组方程常数项分别为4和，不相等，不符合定义，标记为×；
③两组方程二次项系数均为1，一次项系数为3和，常数项均为，符合定义，标记为√．
（2）解：①∵关于x的一元二次方程有两个相等实数根，
∴
，
解得或，
∵一元二次方程二次项系数，
∴，
∴；
②∵，方程的“师梅方程”为方程，
∴，即，
∴当方程的时，
师梅方程的，
且方程与的根互为相反数，
∴．
（3）解：∵，
∴该方程化为：，
该方程的“师梅方程”为：，
设两个方程的公共根为，
则有及，
两式相减得：，
∴或．
若，
则两个方程均为，
此时两个方程有两个公共根，不符题意，
故；
若，将其代入方程中，
解得：，
经验证，符合题意，
∴．
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