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期末考试学情自测卷（试题）2025-2026学年浙教版八年级数学下册（浙江省杭州市）
一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的，多选、错选、不选均不给分。)
1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．下列方程中，是一元二次方程的是（　　）．
A． B． C． D．
3．下列式子中属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
4．若用反证法证明命题“在中，若，则”，则应假设（ ）
A． B．
C． D．
5．小浙同学将一组数据准确地代入方差公式：．下列对这组数据的描述正确的是（ ）
A．样本容量是4 B．众数是4 C．平均数是4 D．中位数是4
6．已知关于x的一元二次方程的常数项为0，则k的值为（　　）
A． B．2 C．2或 D．4或
7．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，则下列判断正确的是( )
A．若，则四边形是正方形
B．若，则四边形是平行四边形
C．若，则四边形是菱形
D．若，则四边形是矩形
8．一次数学测试，某学习小组6名学生的分数分别为118，102，111，105，107，117．这组数据的平均数和中位数分别是( )
A．110，109 B．110，108 C．109，109 D．110，110
9．如图，四边形是平行四边形，点为的中点，延长至点，使，连接、、，则在中（）
A． B． C． D．
10．对于代数式（，a，b，c为常数），下列说法正确的是（ ）
①若，则有两个相等的实数根；
②存在三个实数，使得；
③若与方程的解相同，则．
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
二、填空题:本大题共6小题，每小题3分，共18分.把答案直接填在答题卡相对应的位置上.
11．已知一个多边形的每个内角都是，则这个多边形的边数为____ ．
12．关于x的一元二次方程的一个解是，则k值为__________．
13．如图，菱形ABCD的两条对角线相交于O，若AC＝6，BD＝4，则菱形ABCD的周长是_____．
14．若实数 满足 ，且 ，则 的值为 __________．
15．如图，平行四边形ABCD的邻边AD：AB=5：4，过点A作AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为点E、F，AE=2cm，则AF=_____cm．
16．如图，在平行四边形中，，，，分别以为一边，在平行四边形外部作正方形、若M，N，O，P是各正方形对角线的交点，则四边形的面积等于_____．
三、解答题:（17、18、19、20、21题每题8分，22、23每题10分，24题12分，共计72分，解答题要有必要的文字说明）
17．计算：
(1) ；
(2)．
18．解下列关于的一元二次方程：
(1)；
(2)．
19．某校组织全校900名学生开展安全教育，为了解该校学生对安全知识的掌握程度，现随机抽取40名学生进行安全知识测试，并将测试成绩（百分制）作为样本数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
①将样本数据分成5组：，，，，，并制作了如图所示的不完整的频数分布直方图；
②在这一组的成绩分别是：80，81，83，83，84，85，86，86，86，87，88，89．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)补全频数分布直方图；
(2)抽取的40名学生成绩的中位数是___________；
(3)如果测试成绩达到80分及以上为优秀，试估计该校900名学生中对安全知识掌握程度为优秀的学生约有多少人？
20．如图，在四边形 中， ，点是的中点，连接 并延长交的延长线于点 ．
(1)求证：；
(2)若，请判断四边形 的形状，并说明理由．
21．已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：不论m为何值，方程总有实数根；
(2)若方程的两个根分别为，，求m的值．
22．已知最简二次根式与最简二次根式可以合并．
(1)求的值．
(2)若，求的值．
23．如图1，四边形是边长为10的正方形，点P是射线上一点（点P不与点B和点C重合），连接，过B作的垂线，垂足为E，在线段上取点F，使得，连接．
(1)当点P在线段上时，求证：；
(2)当的面积为20时，求的值；
(3)如图2，连接，在点P的运动过程中，求线段所围成图形面积的最小值．
24．阅读下列材料：若关于x的一元二次方程的两个实数根分别为、，则，．解决下面问题：
已知关于x的一元二次方程有两个不等实数根、，
(1)求的取值范围；
(2)当时，设，试用含的代数式表示出；
(3)在（2）的条件下，若，求出的值．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C B B A A D A B B
11．8
12．2
13．
14．
15．2.5
16．
17．【详解】（1）解：
．
（2）解：
．
18．【详解】（1）解：，
移项得：，
提公因式得：，
可得：或，
解得：，；
（2）解：，
分解因式得：，
可得：或，
解得：，．
19．(1)补全频数分布直方图如下：
(2)
(3)该校900名学生中对安全知识掌握程度为优秀的学生约有495人
20．(1)证明：∵点是的中点，
∴
∵
∴
∵
∴；
(2)四边形是平行四边形，理由如下：
由（1）知
∴
∵
∴，
∵
∴四边形是平行四边形．
21．(1)证明：
，
任何实数的平方均为非负数，即，
恒成立，
即不论为何值，方程总有实数根．
（2）解：根据韦达定理，对于方程，两根满足：
，，
已知，利用变形得：
，
将，代入，结合条件得：
，
展开并整理方程：
，
，
因式分解求解：
，
解得：
，．
22．【详解】（1）解：根据题意得，最简二次根式与最简二次根式可以合并，
则，
整理得：，
解得：或，
当时，，，符合题意，
当时，，，符合题意，
因此，的值为1或；
（2）解：根据题意得：
解得：，
由（1）知：或，
当、时，，
当、时，
因此，的值为2或．
23．【详解】（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
设，，，
在中，，，
∴，
整理得，即，
解得或，
经检验，或都是方程的解，
∴的值为或；
（3）解：当点P在线段上时，连接和交于点，
∵四边形是正方形，
∴，，
又∵，，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，且，
∴线段所围成图形面积是；
当点P在线段的延长线上时，连接和并与的延长线交于点，
∵四边形是正方形，
∴，，
又∵，，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，且，
∴线段所围成图形面积是；
要求线段所围成图形面积的最小值，只要求得的最小值即可，
取的中点，连接和，
∵，
∴当共线时，有最小值，最小值为的长，
∵四边形是边长为10的正方形，点为的中点，且，
∴，，
∴有最小值为，
∴线段所围成图形面积的最小值为．
24．【详解】（1）解：将变形得：，
有两个不等实数根，
，即，
解得：，
的取值范围是；
（2）解：、是的两个实数根，
，，
；
（3）解：由题意，得：，
化简得：，
解得或，
经检验，或是方程的解，
且，
．
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