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期末综合能力培优导航练习卷2025-2026学年浙教版八年级数学下册（浙江省宁波市）
一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的，多选、错选、不选均不给分。)
1．以下二次根式是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．用反证法证明命题：“等腰三角形的底角是锐角”时，第一步可以假设（　　）
A．等腰三角形的底角是直角
B．等腰三角形的底角是直角或钝角
C．等腰三角形的底角是钝角
D．底角为锐角的三角形是等腰三角形
5．关于x的一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
6．若一个正边形的内角和为，则它的每个外角度数是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，平行四边形的对角线与相交于点，，若，，则的长是（ ）
A．10 B．18 C．20 D．22
8．杭州亚运会吉祥物深受大家喜爱．某商户3月份销售吉祥物“宸宸”摆件为10万个，5月份销售万个．设该摆件销售量的月平均增长率为x（），则可列方程（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在平行四边形中，点E在边上，将沿翻折，使点B恰好与边上的点F重合．若与的周长分别为12和42，则的长为( )
A．12 B．15 C．24 D．30
10．如图，线段，是线段上一动点，分别以和为边在同侧作菱形和菱形，且，，在同一条直线上，，连接，取的中点，连接，，以下说法正确的是（ ）

A．的长不会随着P点的运动而变化，始终为
B．的长随着P点的运动而变化，其最小值为
C．的长不会随着P点的运动而变化，始终为
D．的长随着P点的运动而变化，其最小值为
二、填空题:本大题共6小题，每小题3分，共18分.把答案直接填在答题卡相对应的位置上.
11．某校甲、乙两班学生身高的方差为，则_______班身高更整齐（填“甲”或“乙”）．
12．如图，是菱形的对角线，于点E，交于点F，若，则_______
13．已知关于x的方程为一元二次方程，则m的值是________．
14．如图，在矩形中，对角线相交于点O，，，则________．

15．如果，是正实数，方程 和方程都有实数解，那么的最小值是_____．
16．将矩形沿对角线对折，点落在点处，，与交于点，若， ， 则 _____．
三、解答题:（17、18、19、20、21题每题8分，22、23每题10分，24题12分，共计72分，解答题要有必要的文字说明）
17．计算：
(1)；
(2)．
18．解方程：
(1)；
(2)．
19．已知关于的方程．
(1)求证：该方程总有两个实数根；
(2)若该方程的两个实数根为，，求代数式的值．
20．豌豆荚里有几粒豆子不确定，那么豆子粒数是否有规律？同学们对这个问题很感兴趣．为此，调查小组从一批豌豆荚中随机抽取了若干个豌豆荚，进行豆子粒数的统计，以下是本次调查的过程．
【收集数据】打开每个豌豆荚，数清其中的豆子（直径大于3毫米）粒数，记录数据．
【整理数据】将收集的豆子粒数进行数据整理，用表示每个豌豆荚中的豆子粒数，将数据分为5类：其中A类（），B类（），C类（），D类（），E类（）．
【描述数据】根据整理的数据，绘制出如下统计图．
【分析数据】根据以上信息，解答下列问题：
(1)本次调查活动中随机抽取了 个豌豆荚，图中 ．
(2)所调查豆子粒数的中位数落在 类中．（只填写字母）
(3)若这批豌豆荚共有800个，估计豆子粒数不少于6粒的豌豆荚共有多少个？
(4)如果甲同学调查了20个豌豆荚，其中B类有7个，乙同学调查了10个豌豆荚，其中D类有3个．能否得到B类豌豆荚一定比D类豌豆荚多的规律？请说明理由．
21．如图，在中，点O是对角线的中点，过点O的直线交于点E，交于点F．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，的周长为10，求的周长．
22．为推动乡村振兴，弘扬本地农产品品牌，长沙市某大型超市在五一期间特设专柜，销售两种特色水果：大围山黄金梨和沩山李子．已知每千克黄金梨和每千克李子的进价之和为18元．在销售过程中发现，当每千克黄金梨的利润为4元，每千克李子的利润为2元时，张老师购买3千克黄金梨和4千克李子共花费82元．
(1)求黄金梨和李子每千克的进价分别是多少元？
(2)在（1）的条件下，该超市平均每天可售出黄金梨100千克、李子140千克．市场调研表明：若这两种水果每千克的售价各提高1元，则它们每天的销售量均减少10千克．超市决定将这两种水果每千克的售价均提高a元（不考虑其他因素），要使每天销售这两种水果的总利润为960元，求a的值．
23．如图1，点是正方形内部的一点，．连接，，过点作的垂线交的延长线于点．
(1)猜测的度数，并说明理由；
(2)若，求正方形的边长；
(3)如图2，过点作的垂线交于点．当恰好过的中点时，设正方形的边长为，用含的代数式表示．
24．定义：若关于的一元二次方程中的常数项是该方程的一个根，则称该一元二次方程为理想方程．
(1)已知关于的方程是理想方程，求的值；
(2)当，满足什么条件时，方程是理想方程；
(3)关于的理想方程的两个实根为，，若，求的取值范围．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A D B B D C A B D
11．乙
12．
13．
14．10
15．
16．
17．【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
18．【详解】（1）解：
移项得，，即，
∴，
解得：，．
（2）解：
∴，
，
解得：，．
19．(1)
证明：方程中，，，
所以，该方程总有两个实数根．
（2）解：由题意得：，，
．
20．【详解】（1）解：由题意可得，（个）
．
（2）解：由题意可得中位数是从小到大排列后，第50和51个数据的平均数，
∵，
∴所调查豆子粒数的中位数落在C类中；
（3）解：∵，
∴，
∴这批豌豆荚共有800个，估计豆子粒数不少于6粒的豌豆荚共有个．
(4)解：不能，
理由是：
样本容量太小，样本不具有代表性，且两个样本容量不一样，没有可比性．
21．(1)证明：四边形是平行四边形，
，
，，
点O是对角线的中点，
，
，
，
，
四边形是平行四边形；
（2）解：，，
，
的周长为10，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
的周长为．
22．【详解】（1）解：设黄金梨每千克的进价为x元，李子每千克的进价为y元，由题意，得
解得．
答：黄金梨和李子每千克的进价分别是10元和8元；
（2）解：由题意，得
，
解得，．
当或7时，两种水果的销售量均大于0，符合题意．
答：a的值为2或7．
23．【详解】（1），证明如下：
在正方形中，，，
设，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
∴．
（2）由（1）知，，
∵
∴是等腰直角三角形．
∴，
连接．
∵，，
由勾股定理可知．，
∴正方形的边长为．
（3）作．
∵，，
∴，
∵，，
∴，．
∴．
∵．
∴，
∴，
∴，
∵是的中点，
∴，
∵，
∴，
连接，，
∵，
∴．
24．【详解】（1）解：∵是理想方程，
∴是方程的解，
∴，
解得或；
（2）解：∵方程是理想方程，
∴，
∴或，
即当或时，方程是理想方程；
（3）解：∵方程有两个实数根，
∴，
由理想方程的定义知是方程的解，
∴，
∵，且，
∴，
∴，
∴，
，
这个不等式对于所有非0实数a都成立，
由根与系数关系得（其中），
又由理想方程定义知有一根为，
不妨设，则，
∴，
①当时，；
②当时，；
综上所述，的取值范围是或．
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