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罗山县高级中学2025-2026学年高二下学期第3次教学质量评估数学试题
一、单选题
1．对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，其中相关系数最小的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知从点发出的光线，经轴反射后，反射光线恰好平分圆：的圆周，则反射光线所在的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
3．在三棱柱中，设，，，，分别为，的中点，则（ ）
A． B． C． D．
4．城区某中学安排2位数学老师、4位英语老师到，两所乡村中学任教，要求两个乡村中学各安排3位老师，其中中学至少需要安排1位数学老师，那么有（ ）种不同的安排方式
A．9 B．12 C．14 D．16
5．已知数列满足．若，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知定义在上的函数满足，则必有（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，圆锥PO的底面圆周上有三点，为底面圆O的直径，点是底面直径所对弧的中点，点D是母线PA的中点，若，则直线和平面所成角的正弦值为（ ）

A． B． C． D．
8．已知函数在上不单调，则实数的取值范围是（ ）
A．B． C． D．
二、多选题
9．下列结论正确的是（ ）
A．随机变量X 服从二项分布，Y = 2X +1 ，则D(Y) = 3
B．相关系数 r 的值越小，两个变量之间的线性相关性越弱
C．在线性回归分析中，若 值越小则模型的拟合效果越好
D．随机变量X 服从正态分布 ，且P(2 < X < 5 ) = a ，则
10．已知数列，，，数列满足若在数列中去掉的项，余下的项组成数列，则（ ）
A． B．
C． D．
11．已知函数，下列结论正确的是（ ）
A．当时，在处的切线方程为
B．当时，恒成立
C．若恰有一个零点，则
D．若恰有两个零点，则
三、填空题
12．二项式的展开式中第4项与第5项的二项式系数相等，则展开式中的系数为______________.
13．如图所示，已知一质点在外力的作用下，从原点出发，每次向左移动的概率为，向右移动的概率为．若该质点每次移动一个单位长度，设经过5次移动后，该质点位于的位置，则______．

14．若直线为曲线的一条切线，则的最大值为__________.
四、解答题
15．已知数列为等差数列，且满足.
(1)若，求的前项和；
(2)若数列满足，且数列的前项和，求数列的通项公式.
16．某校举办定点投篮挑战赛，规则如下：每位参赛同学可在，两点进行投篮，共投两次．第一次投篮点可在，两点处随机选择一处，若投中，则第二次投篮点不变；若未投中，则第二次切换投篮点．在点投中得2分，在点投中得3分，未投中均得0分，各次投中与否相互独立．
(1)在参赛的同学中，随机抽查50名的得分情况，得到如下列联表
得分分 得分分 合计
先在点投篮 20 5 25
先在点投篮 10 15 25
合计 30 20 50
依据小概率值的独立性检验，判断投篮得分与第一次投篮点的选择是否有关？
(2)小明在点投中的概率为0.7，在点投中的概率为0.3．
（ⅰ）求小明第一次投中的概率；
（ⅱ）记小明投篮总得分为，求的分布列及数学期望．
参考公式：．
0.1 0.05 0.01 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828
17．如图，在四棱锥中，平面平面，底面为正方形，且为线段的中点，为线段上的动点，.
(1)证明：；
(2)求实数的值，使得平面与平面所成锐二面角的平面角的正弦值最小.
18．已知函数，.
(1)求的极值；
(2)若对于恒成立，求实数的取值范围；
(3)若关于的方程有两个不等实根，求实数的取值范围.
19．已知椭圆的离心率为左、右焦点分别是过的直线与C交于M，N两点的周长为
(1)求C的标准方程；
(2)若记线段MN的中点为
（ⅰ）求R的坐标；
（ⅱ）过R的动直线l与C交于P，Q两点，PQ，PN的中点分别是S和T，求面积的最大值.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A B D B B B B AD ACD
题号 11
答案 ABD
1．B
【详解】图①，数据点呈正线性相关，且相关性很强，所以接近1；
图②，数据点呈负线性相关，且相关性很强，所以接近；
图③，数据点呈正线性相关，且相关性比图①弱，所以；
图④，数据点呈负线性相关，且相关性比图②弱，所以；
所以.
2．A
由圆的方程可得圆心坐标，根据反射光线经过圆心和关于轴对称的点，可利用两点式整理得到所求直线方程.
【详解】由圆的方程得：圆心为，
反射光线恰好平分圆的圆周，反射光线经过点；
关于轴对称的点为，反射光线所在直线经过点，
反射光线所在直线方程为，即.
故选：A.
3．B
结合几何图形，利用给定的基底表示向量.
【详解】在三棱柱中，.
故选：B
4．D
【详解】情况1：中学安排1位数学老师，2位英语老师的方式：，
情况2：中学安排2位数学老师，1位英语老师的方式：，
所以中学至少需要安排1位数学老师的方式为：（种）.
5．B
逐项计算找到数列的周期即可.
【详解】由题意，，，，，…
故数列周期为4，则.
故选：B
6．B
【详解】设，则，所以在上单调递增，则，即，所以.
7．B
建立空间直角坐标系，求平面的法向量，利用空间向量求线面夹角.
【详解】点是底面直径所对弧的中点，所以，建立空间直角坐标系如图所示:

则，，，，，，
可得，，，
设平面的法向量为，则，
令，则，可得，
设直线和平面所成角为，
可得.
8．B
【解析】转化条件得当时，在上有解，令，求导得到函数的单调性后，画出草图即可得解.
【详解】，在上不单调，
在上有解，即在上有解，
当时，；当时，在上有解.
令，则，
函数在，上单调递增，
又 ，，可画出函数图象的草图：
由图象可知要使在上有解，则.
故选：B.
9．AD
【详解】对于A，，A正确；
对于B，相关系数 的值越小，两个变量之间的线性相关性越弱，B错误；
对于C，在线性回归分析中，若 值越大则模型的拟合效果越好，C错误；
对于D，正态曲线关于直线对称，所以，
又，所以，D正确.
10．ACD
【详解】对于A，因为，即，
所以，
故数列为等比数列，又，所以，
则，故A正确；
对于B，，则，故B错误；
对于C，因为，所以，故C正确；
对于D，因为，，
所以数列是以1为首项，2为公差的等差数列，
，，，，
又，，，
因为，
为正奇数组成，的项也是奇数，
由上面推理可得，…是由的前14项去掉的前4项余下的项组成，
所以
故D正确.
故选：ACD.
11．ABD
求导，根据点斜式即可求切线方程判断A，根据导数判断函数的单调性，即可求解B，构造函数，由导数求解单调性，即可得直线与的交点个数，进而判断CD.
【详解】对于A，当时，，，则，,
故切线方程是，即，故A正确；
对于B，当时，，，
当单调递增，当单调递减，
故，故B正确，
对于CD，令，则，记，则，
当单调递增，当单调递减，
故，又，而，
故当时，此时直线与有两个不相等的交点，
当或时，直线与有1个交点，故C错误，D正确，
故选：ABD.
12．
依题意可得，即可求出，再由展开式的通项计算可得.
【详解】二项式展开式的通项为（且），
依题意，所以，
所以二项式展开式的通项为（且），
令，解得，所以，
所以展开式中的系数为为.
故答案为：
13．
首先设该质点向右移动的次数为，则，然后根据已知找到满足条件的的取值，进而根据二项分布求解概率即可.
【详解】设该质点向右移动的次数为，则，，
若，则满足条件的的值为，对应的取值分别为.
所以
.
故答案为：.
14．/
设，切点为，再根据导数的几何意义求出切线方程，再结合题意求出的关系，再构造新的函数，利用导数求出最大值即可.
【详解】设，则，
设切点为，则，
则切线方程为，整理可得，
所以，解得，
所以，所以，
设，则，
当时，单调递增，
当时，单调递减，
所以当时，取得最大值，
所以的最大值为.
故答案为：
15．(1)
(2)
【详解】（1）当时，由，则，由，则，
所以等差数列的公差为，
即通项公式，
所以前项和.
（2）当时，，可得，
当时，
，
将代入上式，则，
综上所述，，.
，可得，
由（1）可知，则，
由方程，可得，解得，
由，则等差数列的公差为，所以，
由，，则.
16．(1)有关
(2)（ⅰ）0.5；
（ⅱ）
0 2 3 4 6
．
（1）由题设及独立性检验知识可完成判断；
（2）（i）设第一次选择在点投篮记为事件A，在点投篮记为事件B，投中记为事件E，然后由全概率公式可得答案；
（ii）由题可得可取0，2，3，4，6，据此可得分布列及期望.
【详解】（1）零假设：投篮得分与第一次投篮点的选择无关，
，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
因此认为投篮得分与第一次投篮点的选择有关，此推断犯错误的概率不超过0.01．
（2）设第一次选择在点投篮记为事件A，在点投篮记为事件B，投中记为事件E，
则，，，．
（ⅰ），
所以小明第一次投中的概率为0.5．
（ⅱ）小明投篮总得分可取0，2，3，4，6，
则，
，
，
，，
所以的分布列为
0 2 3 4 6
所以．
17．(1)证明见解析
(2)
（1）依题意可得，由面面垂直得到平面，即可得证；
（2）首先证明平面，建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.
【详解】（1）因为且为线段的中点，
所以，
又因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
因为平面，所以；
（2）因为平面，平面，则，
又，，面，所以平面，
因为平面，则平面平面，
平面平面，平面，
所以平面，
如图分别以所在的直线为轴，
不妨设，则，，，，，
，设，，，
则，解得，
设平面的法向量为，，
则，
所以，取，则，即，
设平面的法向量为，，，
则，取，
设平面与平面所成锐二面角的平面角为，
则，
所以，
令，则，
所以
，
因为，当且仅当，即时取等号，
所以当时，即时，，则.
18．(1)极大值为，无极小值；
(2)
(3)．
（1）求定义域，求导，得到函数单调性，进而求出极值情况；
（2）求导，得到的单调性和最小值，得到，求出；
（3）同构得到，设函数，则上式为，由单调性得到，令，，由（1）知函数的单调性和极值情况，从而得到，求出答案.
【详解】（1），，则，
当时，；当时，；
故在上递增，在上递减，
所以的极大值为，无极小值；
（2）由有意义可得，
因为，令得，令得，
故在递减，在上递增，
故对于恒成立，
则；
（3）由关于的方程有两个实根，得有两个不等实根，
整理得，则，
即，
设函数，则上式为，
因为在上单调递增，所以，即，
令，，
由（1）可知在上递增，在上递减，
的最大值为，
又因为，，，，
所以要想有两个根，只需要，
解得，所以的取值范围为．
19．(1)
(2)（ⅰ）或；（ⅱ）
（1）由椭圆的定义可得的周长为4a，求出离心率解得利用求出b，可得椭圆的方程；
（2）（ⅰ）设出直线方程，与椭圆方程联立，结合数量积为0，求出直线的斜率，进而求R的坐标；（ⅱ）不妨设点R的坐标是此时直线MN的方程可化为设点S到直线MN的距离为d，求出三角形的面积，分类讨论，求出d的最大值，即可得出结论.
【详解】（1）由椭圆的定义可得的周长为4a，所以所以
离心率解得所以
所以椭圆C的标准方程为
（2）（ⅰ）由（1）可得点坐标易得过点的所有直线与椭圆一定有两个不同的交点，
由可得
①直线MN斜率不存在时，在椭圆方程中令得
不妨设所以所以不成立；
②直线MN斜率存在时，设直线MN的斜率为k，则其方程为
设
由方程组消去y，得
则有
所以有
所以
当时
所以点R的坐标是
同理当时，点R的坐标是
综上所述，点R的坐标是或
（ⅱ）根据对称性面积最大值与点R所在象限无关，
不妨设点R的坐标是，此时直线MN的方程可化为
设点S到直线MN的距离为d，
因为T为PN的中点，R为MN的中点，所以可得
①直线l斜率不存在时，点S坐标为，此时点S到直线的距离
②直线l斜率存在时，设直线l方程为，
由方程组消去y，得
则有
所以点S坐标为
所以可得
令令
当时，即此时直线PQ与MN重合面积为
当即时，则有
从而当即时取得最大值
此时所以所以面积最大值为

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