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甘肃省威武市2026年中考数学真题
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项．
1． 2026的绝对值是（　　）
A．2026 B．-2026 C． D．
2．某几何体的三视图如图所示，该几何体为（　　）
A． B．
C． D．
3．截至年初，甘肃省光热发电装机容量已达千瓦，其规模居全国首位，为推动我国新能源高质量的发展做出了贡献．数据用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
4．计算：（　　）
A． B． C． D．﹣
5．如图，直线，及木条在同一平面内，将木条绕点顺时针旋转到与直线垂直时，其旋转角的最小度数是（　　）
A． B． C． D．
6．如图，四边形与四边形A'B'C'D'是以原点为位似中心的位似图形．若B'（2.0），B（4，0），A'B'=，则AB=（　　）
A．3 B． C． D．
7．随着人工智能的快速发展，越来越多的学生使用辅助学习．小凯记录了自己连续八周每周使用辅助学习的时间（单位：分钟），并绘制了如图所示的折线统计图．根据统计图，下列关于小凯这八周使用辅助学习时间的描述，错误的是（　　）
A．众数是127分钟 B．平均数是133分钟
C．中位数是132分钟 D．总时间是1064分钟
8．如图，内接于，是的直径，与交于点．若，，则（　　）
A． B． C． D．
9．甘肃省是“一带一路”沿线上重要的节点省份，特色农产品正借势加速走向世界．兰州海关数据显示，年第一季度甘肃省农产品出口呈增长趋势，其中天水花牛苹果汁和陇南黄芪出口总额为亿元，苹果汁出口额比黄芪出口额的倍少亿元．设苹果汁和黄芪的出口额分别为亿元、亿元，则可列二元一次方程组为（　　）
A． B．
C． D．
10．如图，在菱形中，对角线与交于点，动点从点出发，沿匀速运动至点时停止．设点的运动路程为，的长度为，与的函数图象如图所示，在点的运动过程中，当时，的长度是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分．
11．因式分解：　 　．
12．若代数式在实数范围内有意义，则实数的值可以是　 　．（请写出一个符合条件的值即可）
13．已知是一元二次方程的一个根，则代数式的值是　 　．
14．如图，矩形纸片的边上有一点，将纸片沿折叠，点落在点．若，，则点到的距离等于　 　．
15．求圆的面积是历史悠久的数学课题之一，在很多古代数学文献中都有记载，如公元世纪，中国数学家刘徽利用割圆术证明了圆的面积等于半周长与半径之积；世纪，德国数学家开普勒也利用无穷分割圆的方法，将圆转化为直角边长分别等于圆周长和半径的直角三角形，如图所示，将的面积转化为的面积，其中．在中，等于周长，等于半径，若，，则扇形的圆心角等于　 　度．
16．如图，据生物学资料介绍，射水鱼会从口中射出一股水流击中昆虫达到捕食目的，其射出的水流可以看作一条抛物线的一部分（不考虑空气阻力）．图是一次捕食中一条射水鱼发现一只昆虫后射出水流的图象，其中水流从点射出，水流运动的高度与水平距离近似满足函数关系．若这只昆虫在点，则这次射出的水流　 　击中昆虫．（填“能”或“不能”）
三、解答题：本大题共6小题，共32分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．计算：．
18．解不等式组：．
19．先化简，再求值：，其中．
20．在某学校举办的数学文化周活动中，同学们利用角、线段、三角形等图形，借助图形的旋转或对称设计了一些美丽的图案．如图是小彤设计的一件艺术作品的平面图，它由个全等三角形构成，外轮廓为正六边形．
（1）请判断图1是　 　图形；（填“轴对称”或“中心对称”）
（2）图是从图1选取的部分图案，其中看作由绕旋转中心顺时针方向旋转一定角度后得到的，请你用无刻度直尺和圆规确定该图案的旋转中心．（保留作图痕迹，不写作法）
21．现有四张材质、大小、颜色都相同的不透明卡片，每张卡片正面写上一个实数，分别为，，，，将四张卡片正面向下洗匀．
（1）随机抽取一张卡片，卡片上的实数是正数的概率是　 　；
（2）随机抽取一张卡片，记下卡片上的实数后，将卡片正面向下放回洗匀，再随机抽取一张卡片，记下卡片上的实数．请你用画树状图或列表的方法，求抽取的两张卡片上实数之和为负数的概率．
22．如图，清代数学典籍《平三角举要》中记载了“用高上之高测远”的古法，此法专门解决测远目标被遮挡且观测点周边没有多余空间的测绘困境，其关键在于观测者巧妙借用测远目标竖直方向正上方建筑的已知高度来完成测算．某数学兴趣小组的成员在黄河南岸的A处观测到黄河北岸的山上有一座塔，他们想了解观测点到塔的水平距离，但因宽阔的河面及山脚遮挡，无法直接利用工具测量，于是他们借助“用高上之高测远”的古法，设计了如下解决方案：如图，设观测点到塔的水平距离为（点，，在同一条直线上），，在点分别测得塔顶的仰角、塔底的仰角，查阅资料可知塔的高度米．根据以上信息，请你求出观测点到塔的水平距离．（结果精确到米）
参考数据：，，，，，．
四、解答题：本大题共5小题，共40分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
23．为深入学习贯彻习近平总书记关于“讲好中国故事，传播好中国声音，展示真实、立体、全面的中国”的重要指示精神，落实立德树人根本任务，某区教育系统举办“讲好中国故事，弘扬传统文化”讲故事比赛，引导学生了解中华优秀传统文化，增强民族自信心和自豪感．比赛分为初赛和复赛．经初赛后，共有名学生参加复赛．为了解比赛情况，举办方从学生复赛成绩中随机抽取了名学生的成绩作为样本数据，进行了整理和分析，绘制成如下不完整的统计图表：
频数、频率分布表
组别 成绩（分） 频数 频率
A 7
B 15
C
D 10
频数分布直方图
根据所给信息，解答下列问题：
（1）　 　，　 　；
（2）补全频数分布直方图；
（3）这名学生成绩的中位数会落在　 　组；（填组别）
（4）若复赛成绩在D组的学生将获得一等奖，请你估计这名复赛学生中获得一等奖的人数．
24．如图，一次函数的图象与反比例函数（x＞0）的图象交于点，与轴交于点．在反比例函数图象上有一点，过点作轴于点，连接，．
（1）求一次函数与反比例函数（x＞0）的表达式；
（2）求四边形的面积．
25．如图，是的直径，点是上一点，于点，点在的延长线上，平分．
（1）求证：是的切线；
（2）当，时，
①填空：的值等于 ▲ ；
②求的长．
26．在一次数学兴趣小组活动中，同学们围绕等腰三角形进行探究，下面是部分探究内容，请你思考并解答．
（1）【初步尝试】
如图1，在中，，过点作，，连接．点在线段上，满足，求的长．
（2）【类比探究】
如图，在中，，以为对角线的矩形的顶点在上，，分别是线段，上的动点（不含端点），．当时，用等式表示出和的数量关系，并说明理由．
（3）【拓展迁移】
如图，在矩形中，，分别是线段，上的动点（不含端点），．当时，用等式表示出和的数量关系，并说明理由．
27．抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，动点在线段上（点与点不重合）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）连接，在的左上方以为边作正方形．
①如图，当时，求正方形的面积；
②如图，当点落在抛物线上时，求点的坐标；
（3）如图，在动点的正上方有另一动点，且，当点从点开始运动时，点以相同的速度同时出发，两点都沿轴的正方向匀速运动，点停止运动时点同时停止运动．连接，，求的最小值和此时的值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】求有理数的绝对值的方法
【解析】【解答】解：|2026|＝2026．
故答案为：A．
【分析】2026是正数，因此其绝对值是它本身．
2．【答案】C
【知识点】由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：由题意可得：
该几何体为
故答案为：C
【分析】根据几何体的三视图即可求出答案.
3．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：用科学记数法表示为
故答案为：B
【分析】科学记数法是把一个数表示成a与10的n次幂相乘的形式.
4．【答案】D
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】解：
故答案为：D
【分析】根据分式的减法化简即可求出答案.
5．【答案】C
【知识点】旋转的性质
【解析】 【解答】解：直线a与b相交所成的锐角等于50°
当木条c顺时针旋转到与直线a垂直时，此时木
条c与直线a的夹角为90°。
因此旋转的最小度数为(180°-100°)-(90°-50°)=40°
故答案为：C
【分析】根据旋转性质即可求出答案.
6．【答案】B
【知识点】位似图形的性质
【解析】【解答】解：∵B'（2.0），B（4，0），
∴OB'=2，OB=4
∵四边形与四边形A'B'C'D'是以原点为位似中心的位似图形
∴，即
解得：AB=
故答案为：B
【分析】根据两点间距离可得OB'=2，OB=4，再根据位似图形性质即可求出答案.
7．【答案】A
【知识点】折线统计图；平均数及其计算；中位数；众数
【解析】【解答】解：由图可得，出现次数最多的为132，则众数为132，A错误，符合题意；
平均数为，B正确，不符合题意；
将数据按从小到大的顺序排列为：123，127，127，132，132，132，139，152
处在最中间的数为132和132，则中位数为，C正确，不符合题意；
总时间是，D正确，不符合题意
故答案为：A
【分析】根据众数，平均数，中位数的定义即可求出答案.
8．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：∵，
∴∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=70°
∴∠BDC=∠BAC=70°
∵是的直径
∴∠DBC=90°
∴∠DBP=∠DBC-∠ABC=30°
∴∠BPC=∠BDC+∠DBP=100°
故答案为：B
【分析】根据三角形内角和定理可得∠BAC，根据同弧所对的圆周角相等可得∠BDC，根据圆周角定理的推论可得∠DBC，根据角之间的关系可得∠DBP，再根据三角形内角和定理即可求出答案.
9．【答案】D
【知识点】列二元一次方程组
【解析】 【解答】解：设苹果汁和黄芪的出口额分别为亿元、亿元
由题意可得：
故答案为：D
【分析】设苹果汁和黄芪的出口额分别为亿元、亿元，根据题意建立方程组即可求出答案.
10．【答案】D
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质；解直角三角形；动点问题的函数图象；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：由图2可得，当x=0时，y=3，此时点M在点O处
∴AO=3
∵四边形ABCD是菱形
∴AC⊥BD，CO=AO=3，AD=CD
由图2可得，当x=9时，点M到达点D
此时运动路程为OC+CD=9
∴CD=9-OC=6
∴AD=CD=6
∵AC=AO+CO=6
∴AC=AD=CD，即△ACD为等边三角形
当AM⊥CD时，AM为等边△ACD的高
∴
故答案为：D
【分析】由图2可得，当x=0时，y=3，此时点M在点O处，则AO=3，根据菱形性质可得AC⊥BD，CO=AO=3，AD=CD，由图2可得，当x=9时，点M到达点D，此时运动路程为OC+CD=9，根据边之间的关系可得AC=AD=CD，根据等边三角形判定定理可得△ACD为等边三角形，当AM⊥CD时，AM为等边△ACD的高，解直角三角形即可求出答案.
11．【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：
故答案为：
【分析】提公因式进行因式分解即可求出答案.
12．【答案】1
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意可得：
x+1≥0，且x≠0
解得：x≥-1，且x≠0
∴x的值可以是1
故答案为：1
【分析】根据二次根式，分式有意义的条件即可求出答案.
13．【答案】6
【知识点】一元二次方程的根；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：将x=m代入方程可得：
m2+2m-3=0，即m2+2m=3
∴
故答案为：6
【分析】将x=m代入方程可得m2+2m=3，提公因式化简代数式，再整体代入即可求出答案.
14．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；含30°角的直角三角形；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：过点B'作B'F⊥AD于点F
由折叠性质可得，∠BEA=∠BE'A，AB'=AB=3，∠BAE=∠B'AE
∵∠CEB'=60°
∴
∵四边形ABCD为矩形
∴∠B=∠BAD=90°
∴∠BAE=90°-∠BEA=30°
∴∠B'AE=30°
∴∠B'AF=90°-∠BAE-∠B'AE=30°
∴
故答案为：1.5
【分析】过点B'作B'F⊥AD于点F，由折叠性质可得，∠BEA=∠BE'A，AB'=AB=3，∠BAE=∠B'AE，根据等边对等角及三角形内角和定理可得∠BEA，再根据矩形性质可得∠B=∠BAD=90°，根据角之间的关系可得∠B'AF，再根据含30°角的直角三角形性质即可求出答案.
15．【答案】20
【知识点】三角形的面积；扇形面积的计算；等积变换
【解析】【解答】解：设的半径为r，∠AOB=n°
∵CD等于的周长，CD=4π
∴2πr=4π
解得：r=2
∴OD=2
由题意可得，OD⊥CD
∵
∴
解得：n=20，即∠AOB=20°
故答案为：20
【分析】设的半径为r，∠AOB=n°，根据圆的周长可得r=2，再根据，结合扇形，三角形面积建立方程，解方程即可求出答案.
16．【答案】不能
【知识点】二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【解答】解：当x=20时，
∵40<50，即当水平距离为20cm时，水流的高度为40cm，低于昆虫所在的高度50cm
∴P(20，50)不在抛物线上
∴这次射出的水流不能击中昆虫
故答案为：不能
【分析】将x=20代入解析式求出y值，再比较大小即可求出答案.
17．【答案】解：原式=
=
=
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】根据二次根式的混合运算即可求出答案.
18．【答案】解：
解不等式①可得：x>2
解不等式②可得：x<5
∴不等式组的解集为：
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】分别解两个不等式，再求出不等式组的解集即可求出答案.
19．【答案】解：原式
．
当时，原式．
【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式及运用；利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】根据完全平方公式，多项式乘多项式去括号，合并同类项化简，再将a值代入即可求出答案.
20．【答案】（1）中心对称
（2）解：如图，点O为所求旋转中心．
【知识点】旋转对称图形；中心对称图形
【解析】【分析】（1）将图形沿某一点旋转180°后能够重合的图形为中心对称图形.
（2）根据旋转性质即可求出答案.
21．【答案】（1）
（2）解：画出树状图如下：
∴共有16中等可能的结果，其中抽取的两张卡片上实数之和为负数的结果有6种
∴抽取的两张卡片上实数之和为负数的概率为
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【分析】（1）根据概率公式即可求出答案.
（2）画出树状图，求出所有等可能的结果，再求出抽取的两张卡片上实数之和为负数的结果，再根据概率公式即可求出答案.
22．【答案】解：设米，
在中，，
．
在中，，
．
，
，
解得．
答：观测点到塔的水平距离约是米．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】设米，解直角三角形可得CB，DB，再根据边之间的关系建立方程，解方程即可求出答案.
23．【答案】（1）18；
（2）解：补全频数分布直方图如图：
（3）C
（4）解：人
答：估计获得一等奖的学生约有人．
【知识点】频数（率）分布表；频数（率）分布直方图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）由题意可得：
m=50-7-15-10=18，
故答案为：18；0.3
【分析】（1）根据总数先去其他组别的人数可得m值，再根据n=对应频数÷总数即可求出答案.
（2）补全图形即可.
（3）由树状图可得， 这名学生成绩的中位数会落在C组.
（4）根据360乘以D组的占比即可求出答案.
24．【答案】（1）解：∵点在一次函数的图象上，
∴，
∴，
∴一次函数的表达式为；
∵点在反比例函数的图象上，
∴，
∴反比例函数的表达式为
（2）解：∵点在反比例函数的图象上，
∴，
∴点，
∵轴于点，
∴，．
∵一次函数与轴交于点，
令，解得，
∴点，
∴，
∴，
∴．
过点作轴于点，则，
∴，
∴．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；三角形的面积；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】（1）根据待定系数法将点A坐标分别代入一次函数，反比例函数解析式即可求出答案.
（2）将点B坐标代入反比例函数解析式可得点，根据y轴上点的坐标特征可得，根据边之间的关系可得DC，过点作轴于点，则，根据，结合三角形面积即可求出答案.
25．【答案】（1）证明：如图，连接，
∵，
∴．
∵平分，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
∵为的半径，
∴是的切线
（2）①；
②连接AC
∵AB为的直径
∴∠ACB=90°
∴∠OBC+∠CAB=90°
由（1）可得∠OBC+∠DCB=90°
∴∠DCB=∠CAB
由（1）可得∠DCB=∠BCE
∴∠DCB=∠CAB=∠BCE
∴
在Rt△ACD中
∵，AD=8
∴CD=4
在Rt△BCD中
∵，CD=4
∴BD=2
∴
【知识点】勾股定理；切线的判定；解直角三角形；角平分线的概念；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：（2）①∵∠BCE=∠DCB，
∴
∵BD2+CD2=BC2
∴
∴
故答案为：
【分析】（1）连接，根据等边对等角可得，根据角平分线定义可得，根据角之间的关系可得，再根据切线判定定理即可求出答案.
（2）根据正弦定义可得BD，根据勾股定理可得CD，再根据正切定义即可求出答案.
②连接AC，根据圆周角定理的推论可得∠ACB=90°，根据三角形内角和定理可得∠OBC+∠CAB=90°，根据角之间的关系可得∠DCB=∠CAB=∠BCE，根据正切定义可得CD，BD，再根据勾股定理即可求出答案.
26．【答案】（1）解：∵BQ∥AC
∴∠PAC=∠QBA
∵∠BPC=∠CAQ
∴∠PAC+∠PCA=∠PAC+∠QAB
∴∠PCA=∠QAB
∵∠PAC=∠QBA，AC=BA，∠PCA=∠QAB
∴△PAC≌△QBA(ASA)
∴AP=BQ=2
（2）解：，理由如下：
如图，连接．
四边形为矩形，
∴，
，，，
∴，
，
∴，
即．
，
，
四边形为矩形，
，，
，
．
（3）解：，理由如下：
如图，延长至点，使得，连接，．
，
．
，
．
由（2）同理可得，，
．
，
，
．
四边形为矩形，
，
，
．
，
．
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）根据直线平行性质可得∠PAC=∠QBA，根据角之间的关系可得∠PCA=∠QAB，再根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案.
（2）连接，根据矩形性质可得，则，根据全等三角形判定定理可得，则，根据角之间的关系可得，再根据矩形性质可得，，再根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案.
（3）延长至点，使得，连接，，根据等边对等角及三角形内角和定理可得∠DFB，根据全等三角形判定定理可得，则，根据边之间的关系可，结合矩形性质即可求出答案.
27．【答案】（1）解：∵抛物线过点，
∴，解得：
∴抛物线的解析式为：
（2）解：①∵，
∴OB=6，OC=2
∵BD=4
∴OD=OB-BD=2
∴CD2=OC2+OD2=8
∴S正方形CDMN=CD2=8
②过点M作MG⊥y轴于点G，则∠MGD=90°=∠DOC
∵四边形CDMN为正方形
∴∠CDM=90°，CD=DM
∴∠GDM+∠ODC=90°
∵∠DOC=90°
∴∠OCD+∠ODC=90°
∴∠GDM=∠OCD
∵∠MGD=∠DOC，∠GDM=∠OCD，DM=CD
∴△MGD≌△DOC(AAS)
∴GD=OC=2，GM=OD
设GM=OD=m，则OG=OD-GD=m-2
∴点M(-m，2-m)
∵点M(-m，2-m)在抛物线上
∴
解得：m=4或m=-3(舍去)
∴点
（3）解：过点A，D分别作ED，AE的平分线交于点F，即AF∥ED，FD∥AE
∴四边形AEDF为平行四边形
∴，FD=AE
连接CF
∵AE+CD=FD+CD≥CF
∴当点C，D，F三点共线时，FD+CD=CF，即AE+CD的最小值等于CF的长，如图
令y=0，即
解得：
∴
∴
∵C(2，0)
∴
∵AF∥ED
∴∠CAF=∠COD=90°
在Rt△CAF中，
∴的最小值为
设直线CF的表达式为y=kx+n
∵y=kx+n过点C(2，0)，
∴，解得：
∴直线CF的表达式为
∴D(0，-1)
∴OD=1
∵
∴
∴当AE+CD取最小值时，
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；勾股定理；平行四边形的判定与性质；正方形的性质
【解析】【分析】（1）根据待定系数法将点C，B坐标代入解析式即可求出答案.\
（2）①根据两点间距离可得OB，OC，根据边之间的关系可得OD，再根据勾股定理，结合正方形面积即可求出答案.
②过点M作MG⊥y轴于点G，则∠MGD=90°=∠DOC，根据正方形性质可得∠CDM=90°，CD=DM，根据角之间的关系可得∠GDM=∠OCD，根据全等三角形判定定理可得△MGD≌△DOC(AAS)，则GD=OC=2，GM=OD，设GM=OD=m，则OG=OD-GD=m-2，根据点的坐标可得点M(-m，2-m)，再代入抛物线解析式即可求出答案.
（3）过点A，D分别作ED，AE的平分线交于点F，即AF∥ED，FD∥AE，根据平行四边形判定定理可得四边形AEDF为平行四边形，则，FD=AE，连接CF，根据边之间的关系可得AE+CD=FD+CD≥CF，当点C，D，F三点共线时，FD+CD=CF，即AE+CD的最小值等于CF的长，根据x轴上点的坐标特征可得，则，根据两点间距离可得AC，根据直线平行性质可得∠CAF=∠COD=90°，根据勾股定理可得CF；设直线CF的表达式为y=kx+n，根据待定系数法将点C，F坐标代入解析式可得直线CF的表达式为，根据y轴上点的坐标特征可得D(0，-1)，根据两点间距离可得OD，再根据边之间的关系即可求出答案.
1 / 1甘肃省威武市2026年中考数学真题
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项．
1． 2026的绝对值是（　　）
A．2026 B．-2026 C． D．
【答案】A
【知识点】求有理数的绝对值的方法
【解析】【解答】解：|2026|＝2026．
故答案为：A．
【分析】2026是正数，因此其绝对值是它本身．
2．某几何体的三视图如图所示，该几何体为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：由题意可得：
该几何体为
故答案为：C
【分析】根据几何体的三视图即可求出答案.
3．截至年初，甘肃省光热发电装机容量已达千瓦，其规模居全国首位，为推动我国新能源高质量的发展做出了贡献．数据用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：用科学记数法表示为
故答案为：B
【分析】科学记数法是把一个数表示成a与10的n次幂相乘的形式.
4．计算：（　　）
A． B． C． D．﹣
【答案】D
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】解：
故答案为：D
【分析】根据分式的减法化简即可求出答案.
5．如图，直线，及木条在同一平面内，将木条绕点顺时针旋转到与直线垂直时，其旋转角的最小度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】旋转的性质
【解析】 【解答】解：直线a与b相交所成的锐角等于50°
当木条c顺时针旋转到与直线a垂直时，此时木
条c与直线a的夹角为90°。
因此旋转的最小度数为(180°-100°)-(90°-50°)=40°
故答案为：C
【分析】根据旋转性质即可求出答案.
6．如图，四边形与四边形A'B'C'D'是以原点为位似中心的位似图形．若B'（2.0），B（4，0），A'B'=，则AB=（　　）
A．3 B． C． D．
【答案】B
【知识点】位似图形的性质
【解析】【解答】解：∵B'（2.0），B（4，0），
∴OB'=2，OB=4
∵四边形与四边形A'B'C'D'是以原点为位似中心的位似图形
∴，即
解得：AB=
故答案为：B
【分析】根据两点间距离可得OB'=2，OB=4，再根据位似图形性质即可求出答案.
7．随着人工智能的快速发展，越来越多的学生使用辅助学习．小凯记录了自己连续八周每周使用辅助学习的时间（单位：分钟），并绘制了如图所示的折线统计图．根据统计图，下列关于小凯这八周使用辅助学习时间的描述，错误的是（　　）
A．众数是127分钟 B．平均数是133分钟
C．中位数是132分钟 D．总时间是1064分钟
【答案】A
【知识点】折线统计图；平均数及其计算；中位数；众数
【解析】【解答】解：由图可得，出现次数最多的为132，则众数为132，A错误，符合题意；
平均数为，B正确，不符合题意；
将数据按从小到大的顺序排列为：123，127，127，132，132，132，139，152
处在最中间的数为132和132，则中位数为，C正确，不符合题意；
总时间是，D正确，不符合题意
故答案为：A
【分析】根据众数，平均数，中位数的定义即可求出答案.
8．如图，内接于，是的直径，与交于点．若，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：∵，
∴∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=70°
∴∠BDC=∠BAC=70°
∵是的直径
∴∠DBC=90°
∴∠DBP=∠DBC-∠ABC=30°
∴∠BPC=∠BDC+∠DBP=100°
故答案为：B
【分析】根据三角形内角和定理可得∠BAC，根据同弧所对的圆周角相等可得∠BDC，根据圆周角定理的推论可得∠DBC，根据角之间的关系可得∠DBP，再根据三角形内角和定理即可求出答案.
9．甘肃省是“一带一路”沿线上重要的节点省份，特色农产品正借势加速走向世界．兰州海关数据显示，年第一季度甘肃省农产品出口呈增长趋势，其中天水花牛苹果汁和陇南黄芪出口总额为亿元，苹果汁出口额比黄芪出口额的倍少亿元．设苹果汁和黄芪的出口额分别为亿元、亿元，则可列二元一次方程组为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】列二元一次方程组
【解析】 【解答】解：设苹果汁和黄芪的出口额分别为亿元、亿元
由题意可得：
故答案为：D
【分析】设苹果汁和黄芪的出口额分别为亿元、亿元，根据题意建立方程组即可求出答案.
10．如图，在菱形中，对角线与交于点，动点从点出发，沿匀速运动至点时停止．设点的运动路程为，的长度为，与的函数图象如图所示，在点的运动过程中，当时，的长度是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质；解直角三角形；动点问题的函数图象；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：由图2可得，当x=0时，y=3，此时点M在点O处
∴AO=3
∵四边形ABCD是菱形
∴AC⊥BD，CO=AO=3，AD=CD
由图2可得，当x=9时，点M到达点D
此时运动路程为OC+CD=9
∴CD=9-OC=6
∴AD=CD=6
∵AC=AO+CO=6
∴AC=AD=CD，即△ACD为等边三角形
当AM⊥CD时，AM为等边△ACD的高
∴
故答案为：D
【分析】由图2可得，当x=0时，y=3，此时点M在点O处，则AO=3，根据菱形性质可得AC⊥BD，CO=AO=3，AD=CD，由图2可得，当x=9时，点M到达点D，此时运动路程为OC+CD=9，根据边之间的关系可得AC=AD=CD，根据等边三角形判定定理可得△ACD为等边三角形，当AM⊥CD时，AM为等边△ACD的高，解直角三角形即可求出答案.
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分．
11．因式分解：　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：
故答案为：
【分析】提公因式进行因式分解即可求出答案.
12．若代数式在实数范围内有意义，则实数的值可以是　 　．（请写出一个符合条件的值即可）
【答案】1
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意可得：
x+1≥0，且x≠0
解得：x≥-1，且x≠0
∴x的值可以是1
故答案为：1
【分析】根据二次根式，分式有意义的条件即可求出答案.
13．已知是一元二次方程的一个根，则代数式的值是　 　．
【答案】6
【知识点】一元二次方程的根；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：将x=m代入方程可得：
m2+2m-3=0，即m2+2m=3
∴
故答案为：6
【分析】将x=m代入方程可得m2+2m=3，提公因式化简代数式，再整体代入即可求出答案.
14．如图，矩形纸片的边上有一点，将纸片沿折叠，点落在点．若，，则点到的距离等于　 　．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；含30°角的直角三角形；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：过点B'作B'F⊥AD于点F
由折叠性质可得，∠BEA=∠BE'A，AB'=AB=3，∠BAE=∠B'AE
∵∠CEB'=60°
∴
∵四边形ABCD为矩形
∴∠B=∠BAD=90°
∴∠BAE=90°-∠BEA=30°
∴∠B'AE=30°
∴∠B'AF=90°-∠BAE-∠B'AE=30°
∴
故答案为：1.5
【分析】过点B'作B'F⊥AD于点F，由折叠性质可得，∠BEA=∠BE'A，AB'=AB=3，∠BAE=∠B'AE，根据等边对等角及三角形内角和定理可得∠BEA，再根据矩形性质可得∠B=∠BAD=90°，根据角之间的关系可得∠B'AF，再根据含30°角的直角三角形性质即可求出答案.
15．求圆的面积是历史悠久的数学课题之一，在很多古代数学文献中都有记载，如公元世纪，中国数学家刘徽利用割圆术证明了圆的面积等于半周长与半径之积；世纪，德国数学家开普勒也利用无穷分割圆的方法，将圆转化为直角边长分别等于圆周长和半径的直角三角形，如图所示，将的面积转化为的面积，其中．在中，等于周长，等于半径，若，，则扇形的圆心角等于　 　度．
【答案】20
【知识点】三角形的面积；扇形面积的计算；等积变换
【解析】【解答】解：设的半径为r，∠AOB=n°
∵CD等于的周长，CD=4π
∴2πr=4π
解得：r=2
∴OD=2
由题意可得，OD⊥CD
∵
∴
解得：n=20，即∠AOB=20°
故答案为：20
【分析】设的半径为r，∠AOB=n°，根据圆的周长可得r=2，再根据，结合扇形，三角形面积建立方程，解方程即可求出答案.
16．如图，据生物学资料介绍，射水鱼会从口中射出一股水流击中昆虫达到捕食目的，其射出的水流可以看作一条抛物线的一部分（不考虑空气阻力）．图是一次捕食中一条射水鱼发现一只昆虫后射出水流的图象，其中水流从点射出，水流运动的高度与水平距离近似满足函数关系．若这只昆虫在点，则这次射出的水流　 　击中昆虫．（填“能”或“不能”）
【答案】不能
【知识点】二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【解答】解：当x=20时，
∵40<50，即当水平距离为20cm时，水流的高度为40cm，低于昆虫所在的高度50cm
∴P(20，50)不在抛物线上
∴这次射出的水流不能击中昆虫
故答案为：不能
【分析】将x=20代入解析式求出y值，再比较大小即可求出答案.
三、解答题：本大题共6小题，共32分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．计算：．
【答案】解：原式=
=
=
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】根据二次根式的混合运算即可求出答案.
18．解不等式组：．
【答案】解：
解不等式①可得：x>2
解不等式②可得：x<5
∴不等式组的解集为：
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】分别解两个不等式，再求出不等式组的解集即可求出答案.
19．先化简，再求值：，其中．
【答案】解：原式
．
当时，原式．
【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式及运用；利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】根据完全平方公式，多项式乘多项式去括号，合并同类项化简，再将a值代入即可求出答案.
20．在某学校举办的数学文化周活动中，同学们利用角、线段、三角形等图形，借助图形的旋转或对称设计了一些美丽的图案．如图是小彤设计的一件艺术作品的平面图，它由个全等三角形构成，外轮廓为正六边形．
（1）请判断图1是　 　图形；（填“轴对称”或“中心对称”）
（2）图是从图1选取的部分图案，其中看作由绕旋转中心顺时针方向旋转一定角度后得到的，请你用无刻度直尺和圆规确定该图案的旋转中心．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】（1）中心对称
（2）解：如图，点O为所求旋转中心．
【知识点】旋转对称图形；中心对称图形
【解析】【分析】（1）将图形沿某一点旋转180°后能够重合的图形为中心对称图形.
（2）根据旋转性质即可求出答案.
21．现有四张材质、大小、颜色都相同的不透明卡片，每张卡片正面写上一个实数，分别为，，，，将四张卡片正面向下洗匀．
（1）随机抽取一张卡片，卡片上的实数是正数的概率是　 　；
（2）随机抽取一张卡片，记下卡片上的实数后，将卡片正面向下放回洗匀，再随机抽取一张卡片，记下卡片上的实数．请你用画树状图或列表的方法，求抽取的两张卡片上实数之和为负数的概率．
【答案】（1）
（2）解：画出树状图如下：
∴共有16中等可能的结果，其中抽取的两张卡片上实数之和为负数的结果有6种
∴抽取的两张卡片上实数之和为负数的概率为
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【分析】（1）根据概率公式即可求出答案.
（2）画出树状图，求出所有等可能的结果，再求出抽取的两张卡片上实数之和为负数的结果，再根据概率公式即可求出答案.
22．如图，清代数学典籍《平三角举要》中记载了“用高上之高测远”的古法，此法专门解决测远目标被遮挡且观测点周边没有多余空间的测绘困境，其关键在于观测者巧妙借用测远目标竖直方向正上方建筑的已知高度来完成测算．某数学兴趣小组的成员在黄河南岸的A处观测到黄河北岸的山上有一座塔，他们想了解观测点到塔的水平距离，但因宽阔的河面及山脚遮挡，无法直接利用工具测量，于是他们借助“用高上之高测远”的古法，设计了如下解决方案：如图，设观测点到塔的水平距离为（点，，在同一条直线上），，在点分别测得塔顶的仰角、塔底的仰角，查阅资料可知塔的高度米．根据以上信息，请你求出观测点到塔的水平距离．（结果精确到米）
参考数据：，，，，，．
【答案】解：设米，
在中，，
．
在中，，
．
，
，
解得．
答：观测点到塔的水平距离约是米．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】设米，解直角三角形可得CB，DB，再根据边之间的关系建立方程，解方程即可求出答案.
四、解答题：本大题共5小题，共40分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
23．为深入学习贯彻习近平总书记关于“讲好中国故事，传播好中国声音，展示真实、立体、全面的中国”的重要指示精神，落实立德树人根本任务，某区教育系统举办“讲好中国故事，弘扬传统文化”讲故事比赛，引导学生了解中华优秀传统文化，增强民族自信心和自豪感．比赛分为初赛和复赛．经初赛后，共有名学生参加复赛．为了解比赛情况，举办方从学生复赛成绩中随机抽取了名学生的成绩作为样本数据，进行了整理和分析，绘制成如下不完整的统计图表：
频数、频率分布表
组别 成绩（分） 频数 频率
A 7
B 15
C
D 10
频数分布直方图
根据所给信息，解答下列问题：
（1）　 　，　 　；
（2）补全频数分布直方图；
（3）这名学生成绩的中位数会落在　 　组；（填组别）
（4）若复赛成绩在D组的学生将获得一等奖，请你估计这名复赛学生中获得一等奖的人数．
【答案】（1）18；
（2）解：补全频数分布直方图如图：
（3）C
（4）解：人
答：估计获得一等奖的学生约有人．
【知识点】频数（率）分布表；频数（率）分布直方图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）由题意可得：
m=50-7-15-10=18，
故答案为：18；0.3
【分析】（1）根据总数先去其他组别的人数可得m值，再根据n=对应频数÷总数即可求出答案.
（2）补全图形即可.
（3）由树状图可得， 这名学生成绩的中位数会落在C组.
（4）根据360乘以D组的占比即可求出答案.
24．如图，一次函数的图象与反比例函数（x＞0）的图象交于点，与轴交于点．在反比例函数图象上有一点，过点作轴于点，连接，．
（1）求一次函数与反比例函数（x＞0）的表达式；
（2）求四边形的面积．
【答案】（1）解：∵点在一次函数的图象上，
∴，
∴，
∴一次函数的表达式为；
∵点在反比例函数的图象上，
∴，
∴反比例函数的表达式为
（2）解：∵点在反比例函数的图象上，
∴，
∴点，
∵轴于点，
∴，．
∵一次函数与轴交于点，
令，解得，
∴点，
∴，
∴，
∴．
过点作轴于点，则，
∴，
∴．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；三角形的面积；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】（1）根据待定系数法将点A坐标分别代入一次函数，反比例函数解析式即可求出答案.
（2）将点B坐标代入反比例函数解析式可得点，根据y轴上点的坐标特征可得，根据边之间的关系可得DC，过点作轴于点，则，根据，结合三角形面积即可求出答案.
25．如图，是的直径，点是上一点，于点，点在的延长线上，平分．
（1）求证：是的切线；
（2）当，时，
①填空：的值等于 ▲ ；
②求的长．
【答案】（1）证明：如图，连接，
∵，
∴．
∵平分，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
∵为的半径，
∴是的切线
（2）①；
②连接AC
∵AB为的直径
∴∠ACB=90°
∴∠OBC+∠CAB=90°
由（1）可得∠OBC+∠DCB=90°
∴∠DCB=∠CAB
由（1）可得∠DCB=∠BCE
∴∠DCB=∠CAB=∠BCE
∴
在Rt△ACD中
∵，AD=8
∴CD=4
在Rt△BCD中
∵，CD=4
∴BD=2
∴
【知识点】勾股定理；切线的判定；解直角三角形；角平分线的概念；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：（2）①∵∠BCE=∠DCB，
∴
∵BD2+CD2=BC2
∴
∴
故答案为：
【分析】（1）连接，根据等边对等角可得，根据角平分线定义可得，根据角之间的关系可得，再根据切线判定定理即可求出答案.
（2）根据正弦定义可得BD，根据勾股定理可得CD，再根据正切定义即可求出答案.
②连接AC，根据圆周角定理的推论可得∠ACB=90°，根据三角形内角和定理可得∠OBC+∠CAB=90°，根据角之间的关系可得∠DCB=∠CAB=∠BCE，根据正切定义可得CD，BD，再根据勾股定理即可求出答案.
26．在一次数学兴趣小组活动中，同学们围绕等腰三角形进行探究，下面是部分探究内容，请你思考并解答．
（1）【初步尝试】
如图1，在中，，过点作，，连接．点在线段上，满足，求的长．
（2）【类比探究】
如图，在中，，以为对角线的矩形的顶点在上，，分别是线段，上的动点（不含端点），．当时，用等式表示出和的数量关系，并说明理由．
（3）【拓展迁移】
如图，在矩形中，，分别是线段，上的动点（不含端点），．当时，用等式表示出和的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）解：∵BQ∥AC
∴∠PAC=∠QBA
∵∠BPC=∠CAQ
∴∠PAC+∠PCA=∠PAC+∠QAB
∴∠PCA=∠QAB
∵∠PAC=∠QBA，AC=BA，∠PCA=∠QAB
∴△PAC≌△QBA(ASA)
∴AP=BQ=2
（2）解：，理由如下：
如图，连接．
四边形为矩形，
∴，
，，，
∴，
，
∴，
即．
，
，
四边形为矩形，
，，
，
．
（3）解：，理由如下：
如图，延长至点，使得，连接，．
，
．
，
．
由（2）同理可得，，
．
，
，
．
四边形为矩形，
，
，
．
，
．
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）根据直线平行性质可得∠PAC=∠QBA，根据角之间的关系可得∠PCA=∠QAB，再根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案.
（2）连接，根据矩形性质可得，则，根据全等三角形判定定理可得，则，根据角之间的关系可得，再根据矩形性质可得，，再根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案.
（3）延长至点，使得，连接，，根据等边对等角及三角形内角和定理可得∠DFB，根据全等三角形判定定理可得，则，根据边之间的关系可，结合矩形性质即可求出答案.
27．抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，动点在线段上（点与点不重合）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）连接，在的左上方以为边作正方形．
①如图，当时，求正方形的面积；
②如图，当点落在抛物线上时，求点的坐标；
（3）如图，在动点的正上方有另一动点，且，当点从点开始运动时，点以相同的速度同时出发，两点都沿轴的正方向匀速运动，点停止运动时点同时停止运动．连接，，求的最小值和此时的值．
【答案】（1）解：∵抛物线过点，
∴，解得：
∴抛物线的解析式为：
（2）解：①∵，
∴OB=6，OC=2
∵BD=4
∴OD=OB-BD=2
∴CD2=OC2+OD2=8
∴S正方形CDMN=CD2=8
②过点M作MG⊥y轴于点G，则∠MGD=90°=∠DOC
∵四边形CDMN为正方形
∴∠CDM=90°，CD=DM
∴∠GDM+∠ODC=90°
∵∠DOC=90°
∴∠OCD+∠ODC=90°
∴∠GDM=∠OCD
∵∠MGD=∠DOC，∠GDM=∠OCD，DM=CD
∴△MGD≌△DOC(AAS)
∴GD=OC=2，GM=OD
设GM=OD=m，则OG=OD-GD=m-2
∴点M(-m，2-m)
∵点M(-m，2-m)在抛物线上
∴
解得：m=4或m=-3(舍去)
∴点
（3）解：过点A，D分别作ED，AE的平分线交于点F，即AF∥ED，FD∥AE
∴四边形AEDF为平行四边形
∴，FD=AE
连接CF
∵AE+CD=FD+CD≥CF
∴当点C，D，F三点共线时，FD+CD=CF，即AE+CD的最小值等于CF的长，如图
令y=0，即
解得：
∴
∴
∵C(2，0)
∴
∵AF∥ED
∴∠CAF=∠COD=90°
在Rt△CAF中，
∴的最小值为
设直线CF的表达式为y=kx+n
∵y=kx+n过点C(2，0)，
∴，解得：
∴直线CF的表达式为
∴D(0，-1)
∴OD=1
∵
∴
∴当AE+CD取最小值时，
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；勾股定理；平行四边形的判定与性质；正方形的性质
【解析】【分析】（1）根据待定系数法将点C，B坐标代入解析式即可求出答案.\
（2）①根据两点间距离可得OB，OC，根据边之间的关系可得OD，再根据勾股定理，结合正方形面积即可求出答案.
②过点M作MG⊥y轴于点G，则∠MGD=90°=∠DOC，根据正方形性质可得∠CDM=90°，CD=DM，根据角之间的关系可得∠GDM=∠OCD，根据全等三角形判定定理可得△MGD≌△DOC(AAS)，则GD=OC=2，GM=OD，设GM=OD=m，则OG=OD-GD=m-2，根据点的坐标可得点M(-m，2-m)，再代入抛物线解析式即可求出答案.
（3）过点A，D分别作ED，AE的平分线交于点F，即AF∥ED，FD∥AE，根据平行四边形判定定理可得四边形AEDF为平行四边形，则，FD=AE，连接CF，根据边之间的关系可得AE+CD=FD+CD≥CF，当点C，D，F三点共线时，FD+CD=CF，即AE+CD的最小值等于CF的长，根据x轴上点的坐标特征可得，则，根据两点间距离可得AC，根据直线平行性质可得∠CAF=∠COD=90°，根据勾股定理可得CF；设直线CF的表达式为y=kx+n，根据待定系数法将点C，F坐标代入解析式可得直线CF的表达式为，根据y轴上点的坐标特征可得D(0，-1)，根据两点间距离可得OD，再根据边之间的关系即可求出答案.
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