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内蒙古锡林郭勒盟三县多校联考2025-2026学年九年级数学第二次模拟考试
一、单选题
1．如图，该图形经过折叠可以围成一个正方体，折好以后，与“悟”字所在面相对的面上的字是（　　）

A．数 B．学 C．抽 D．象
2．在平面直角坐标系中，以点为圆心，半径为5作圆，则原点一定（ ）
A．在圆外 B．在圆内 C．在圆上 D．与圆相交
3．如图，一只松鼠先经过第一道门（，或），再经过第二道门（或）出去，则松鼠走出笼子的路线是“先经过门，再经过门”的概率是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，这是一靶盘，圆内接四边形是边长为2的正方形，现随意向该标靶区域投掷飞镖，则飞镖落在阴影区域的概率为（ ）

A． B． C． D．
5．在平面直角坐标系中，已知抛物线与关于轴对称，则抛物线与轴的交点情况是（ ）
A．没有或有一个交点 B．只有一个交点 C．有两个交点 D．没有交点
6．已知蓄电池的电压为定值，使用某蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示，则当电阻为时，电流为（ ）
A． B． C． D．
7．我们知道订书针的两条短边垂直长边．如图是由三枚完全相同的订书针，，拼成的图形，点B，E，C，F在同一条直线上，点D，K，L分别在，，上，，．当点，I重合时，的长度为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，4个全等的直角三角形围出一个正方形，过点P，Q分别作的平行线，过点M，N分别作的平行线得四边形．则下列关于线段和的关系中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．为促进学生德、智、体、美、劳全面发展，某县开展了跳绳比赛，某校为选拔一名1分钟跳绳比赛运动员，组织了几次预选赛，其中甲、乙、丙、丁四名运动员较为突出，他们在几次选拔赛中成绩平均数与方差如下表．根据表中数据，学校要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择______运动员．（填“甲”或“乙”或“丙”或“丁”）
甲 乙 丙 丁
平均数/个
方差
10．如图，平分，，如果 ，那么_________________．

11．如图，在矩形中，，点O为的中点，以O为圆心，长为半径画弧，交于点E，若点E为的中点，则图中阴影部分的面积为__________．

12．如图，为半圆直径，，连接交半圆于D，连接，作交直径于E，则______________．
三、解答题
13．为了落实国家教育数字化战略行动有关要求，提升师生数字素养，我区决定组织开展2022—2023年度学生信息素养提升实践活动．某校九年级460名学生在“信息素养提升”培训后参加了一次水平测试，按评比标准将测试成绩全部折算成“6分”、“7分”、“8分”、“9分”和“10分”5个成绩．为了解培训效果，学校用抽样调查的方式从中选取了部分学生的测试成绩，绘制成下面两幅不完整的统计图：

(1)请补全条形统计图；本次抽样调查的学生人数是______；本次抽样调查的测试成绩众数是______；
(2)若测试成绩为9分、10分是“优秀”，试估计本校九年级学生测试成绩为“优秀”的人数；
(3)在本次抽样调查中，有2名男生和2名女生的测试成绩都为10分，现从他们中随机选取2人代表学校参加比赛，求选中的2人恰好两名男生的概率．
14．如图，已知，是延长线上一点，与交于点，．

(1)求证：；
(2)若面积为，求的面积．
15．为了测量某古塔的高度，小明将一根长的竹竿（），立在处，当塔顶点，竹竿顶点以及地面点同一条直线时，测得，然后小明将竹竿向前移动（），当点、、共线时，测得，求古塔的高度．（结果精确到，参考数据：，，，）
16．在数学课上，老师请同学们思考如下问题：
如图，四边形为正方形，以为直径作，请用无刻度直尺过点C作的切线（除外）
小超同学设计的作图过程是这样的：
①连接交于点E；
②连接并延长交于点M；
③连接，交于点N，连接，则直线为的切线．

(1)根据小超的设计，完成作图；
(2)你认为小超的设计正确吗？为什么？请说明理由．
17．（1）计算：；
（2）因式分解：．
18．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，两点，交轴于点，抛物线的对称轴是直线．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点是直线下方对称轴右侧抛物线上一动点．过点作轴交抛物线对称轴于点，作于点，求的最大值：
(3)如图2，点是直线上一动点，过点作线段（点在直线上方），已知，若线段与抛物线有交点，请求出点的横坐标的取值范围．
参考答案
1．B
【详解】解：与“悟”字所在面相对的面上的字是学，
故选：B．
2．C
【详解】解：根据题意可得：
原点到圆心的距离，
∵半径为5，
∴原点在圆上，
故选：C．
3．C
【详解】画树状图如下：
共有种等可能的结果，其中松鼠走出笼子的路线是“先经过门，再经过门”的只有种结果，
∴松鼠走出笼子的路线是“先经过门，再经过门”的概率为，
故选：．
4．A
【详解】解：如图，连接、，
，圆内接四边形是边长为2的正方形，
，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
圆的面积为，
飞镖落在阴影区域的概率为，
故选：A．
5．C
【详解】解：抛物线的对称轴为：，
抛物线的对称轴为：，
抛物线与关于轴对称，
，
，
中，，，
，
，
，
，
有两个不相等的实数根，
抛物线与轴有两个交点，故C正确．
故选：C．
6．C
【详解】设电流与电阻函数关系为，
∵图象经过点，
∴，
解得：；
∴，
当时，，
故选：．
7．B
【详解】如图，过点J作，交于点N，交于点M，设，
∵，
∴，，
∴四边形是矩形，，
∴，，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
∵，
∴
解得，
∴，
故选B．
8．B
【详解】解：连接、，过点C作，，
∵四边形是正方形，
∴，，，
∵，，
∴，，，
设，，
由题意可知，
∴，，，
∴，，
∵， ，
∴，，
∵，，，
∴四边形是矩形，
∴，
∴ ，
同理：，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
9．甲
【详解】解：由表中数据，可知甲运动员成绩的平均数高且方差较低，故应选择甲运动员．
故答案为：甲．
10．4
【详解】解：平分，
，
，
，
，即，
，
，
，
，
，
，即，
，
，
故答案为：4．
11．
【详解】如图，连接交于点F，
∵四边形是矩形，
∴，
∵点O为的中点，点E为的中点，
∴，

在和中，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
12．/0.05
【详解】解：连接，
∵为半圆直径，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴
∵为半圆直径，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
13．(1)20人，9分
(2)估计本校九年级学生测试成绩为“优秀”的人数是253人；
(3)
【详解】（1）解：本次抽样调查的学生人数是人；
本次抽样调查中，6分的学生人数为：人，
9分的学生人数为：人，
补全条形统计图，如图：
由图形知，9分的学生人数最多，
本次抽样调查的测试成绩众数是9分，
古答案为：20人，9分；
（2）解：人，
答：估计本校九年级学生测试成绩为“优秀”的人数是253人；
（3）解：画树状图为：

共有12种等可能的结果，其中选中的2人恰好是两名男生的结果有2种，
选中的2人恰好是两名男生的概率，
答：选中的2人恰好两名男生的概率是．
14．(1)
证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∴，
(2)．
【详解】（1）略
（2）解：∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∴，，
∵，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
∴．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，熟练掌握以上知识的应用是解题的关键.
15．
【详解】解：由题意可知，，，，，，
则
在中，，
在中，，
在中，，
在中，，
而，
即：，
∴．
16．(1)如图所示，即为所求；

(2)小超的设计正确．
理由如下：连接，，如图所示，

∵是直径，
∴，即，
∵四边形为正方形，
∴，
∴三点共线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴直线为的切线．
【详解】（1）略
（2）略
17．（1）；
（2）．
【详解】（1）
；
（2）
．
18．(1)
(2)
(3)或
【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点，对称轴是直线 ，
∴，，
解得，
∴；
（2）解：∵，
∴当时，，
故点，
又当时，
，
解得，
故，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
将，代入，
得，
解得，
∴直线的解析式为：．
过点P作轴于点K，交于点Q，
则轴，
∴，
∵，
∴，
∴,
∴,
∴,
∴，
设，
则，
∴；
∵轴交抛物线对称轴于点E，
∴，
∴，
∵，
∴当时，取得最大值；
（3）解：，∵点是直线上一动点，线段（点在直线上方），
∴当点N在抛物线上时，设，
∴，
∵，
∴，
解得，
当时，
，
解得，
∵线段与抛物线有交点，
∴或，
故点的横坐标的取值范围为或．

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