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内蒙古赤峰市红山区2025--2026学年九年级模拟监测试卷 数学
一、单选题
1．下列各数中比小的数是（ ）
A． B． C． D．
2．近年来，我国新能源汽车发展迅猛，截至2025年6月，中国市场活跃的新能源汽车品牌约120个．下列新能源汽车标志不是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列各式计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A．b-c＜0 B．b＞-2 C．a+c＞0 D．|b|＞|c|
5．如图，将一块含有角的直角三角板的两个顶点分别放在直尺的两条平行对边上，若，则（ ）
A． B． C． D．
6．如图，规格相同的某种盘子整齐地摞在一起，若这摞盘子的个数为x，盘子摞在一起的厚度为，则y与x之间的函数图象关系（不考虑自变量取值范围）大致为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在中，，轴，点在反比例函数的图象上，若点在反比例函数的图象上，则的值为（ ）
A．6 B． C． D．
8．如图，在中，，，，P为边上一动点，于E，于，为的中点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．分解因式：_______．
10．苏步青来自“数学家之乡”，为纪念其卓越贡献，国际上将一颗距地球约218000000公里的行星命名为“苏步青星”．数据218000000用科学记数法表示为______．
11．如图，为订书机的托板，压柄绕着点旋转，连接杆的一端点固定，点从向处滑动，在滑动的过程中，的长度保持不变．若，，则的长度为___．（结果保留整数，参考数据：）
12．如图，在边长为6的正方形的外侧，作等腰三角形，，若F为的中点，连接并延长，与相交于点G，则的长为________．
三、解答题
13．计算与化简：
(1)计算：．
(2)化简：．
14．某中学积极落实国家“双减”教育政策，决定增设“礼仪”、“陶艺”、“园艺”、“厨艺”及“编程”等五门校本课程以提升课后服务质量，促进学生全面健康发展．学校面向七年级参与课后服务的部分学生开展了“你选修哪门课程？（要求必须选修一门且只能选修一门）”的随机问卷调查，并根据调查数据绘制了如下两幅不完整的统计图：
请结合上述信息，解答下列问题：
(1)共有_________名学生参与了本次问卷调查；“编程”在扇形统计图中所对应的圆心角是_________度；
(2)请补全条形统计图；
(3)小刚和小明分别从“礼仪”、“陶艺”、“园艺”、“厨艺”这四门校本课程中任选一门，请用列表法或画树状图法求出两人恰好选到同一门课程的概率．
15．宋代是茶文化发展的第二个高峰，宋代的饮茶主要以点茶为主，煎茶为辅，在点茶的基础上升华为斗茶、分茶和茶百戏．某网店销售两种点茶器具套装，已知甲种点茶器具套装的单价比乙种点茶器具套装的单价少30元，花2220元购进甲种点茶器具套装的数量是花1780元购进乙种点茶器具套装数量的1.5倍．
(1)求甲、乙两种点茶器具套装的单价．
(2)某学校社团开展茶文化学习活动，打算从该网店购进甲、乙两种点茶器具共30套，且经费预算不超过5000元，则学校最多可以购进乙种点茶器具套装多少套？
16． 如图，在中，，以为直径作交于点，过点作，垂足为，延长交的延长线于点．
(1)求证：为的切线；
(2)若，，求的长．
17．综合与实践
问题情境：远离城市喧嚣，走进自然山野，露营已成为当下人们放松身心、享受生活、感受自然之美的热门休闲方式．已知某款露营帐篷的支架撑开后（如图）可近似看作抛物线．
建立模型：如图，抛物线与水平地面交于，两点，以的中点为原点，所在直线为轴，过点作的垂线与抛物线交于点，且点是抛物线的顶点，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系（单位长度为）．已知，．
问题解决：
(1)求抛物线的函数表达式．
(2)为保证在帐篷内坐着休息时不碰头，要求活动区域的高度不低于，求活动区域在水平方向上的最大宽度．
(3)如图3，为获得更舒适的空间且方便悬挂露营灯，将抛物线支架沿竖直方向向上平移（平移后的抛物线可视为原抛物线向上平移后的一部分）后，在轴右侧抛物线上距原点水平距离为的点处悬挂露营灯，要求悬挂的露营灯高度不低于，直接写出的最小值．
18．【问题背景】如图①，正方形中，点为边上一点，连接，过点作交边于点，将沿直线折叠后，点落在点处．如图②，连接，点恰好落在上；
【初步探究】
（1）如图②所示，求证：；
【探究迁移】
（2）如图②所示，请你求出的值，并说明理由；
【拓展应用】
（3）如图③所示，在【问题背景】的条件下，若把正方形改成矩形，且，其他条件不变，请直接写出的值（用含的式子表示）．
参考答案
1．A
【详解】解：∵正数大于负数，
∴比小的数在，，中，
∵两个负数，绝对值大的数反而更小，
又∵，
∴，
∴比小的数是，
故选：．
2．B
【详解】解：A、是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、不是中心对称图形，故此选项符合题意；
C、是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D、是中心对称图形，故此选项不符合题意．
故选：B．
3．D
【详解】解：A、根据同底数幂乘法法则，同底数幂相乘，底数不变，指数相加，，故此选项错误；
B、根据积的乘方法则，积的乘方等于各因式乘方的积，，故此选项错误；
C、根据同底数幂乘法法则，，故此选项错误；
D、根据合并同类项法则，同类项相加，系数相加，字母与指数不变，，故此选项正确．
4．B
【详解】由图知：，
则，则A错误，不符合题意；
，则B正确，符合题意；
，则C错误，不符合题意；
，则D错误，不符合题意；
故选：B．
5．A
【详解】解：如图所示，
，
，
直尺的两条对边平行，
，
，
，
故选A．
6．D
【详解】解：由题意得：每增加一个盘子，厚度增加，
一个盘子的厚度为，
与x之间满足的关系式为，
即图象是经过一二三象限，与y轴交于正半轴的一次函数，
故选D．
7．C
【详解】如图，交轴于，
∵，
∴，
∵点在反比例函数的图象上，
∴，
∵，
∴，
∵点在反比例函数的图象上，
∴，
解得，
∵过第二象限，
∴，
∴，
故选：C．
8．C
【详解】解：如图，连接，
，，，
，
，，
，
四边形是矩形，
，
是的中点，
，
根据垂线段最短可知，当时，最短，则也最短，
此时，，
，
即最短时，，
的最小值，
故选：C．
9．
【详解】解：
，
故答案为：．
10．
【详解】解：．
故答案为：．
11．
【详解】解：如图，过点作于点
在中，，.
在中，，
是等腰直角三角形
．
．
12．
【详解】过E作的垂线交于M，于N，于P，
∵，
∴，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∵F为的中点，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
13．(1)
(2)
【详解】（1）解：
．
（2）解：
．
14．(1)；
(2)见解析
(3)
【详解】（1）解析： 由扇形图可知，“礼仪”对应圆心角为，条形图中“礼仪”人数为，
因此总参与人数为；
“编程”人数为，对应圆心角为；
（2）厨艺：人 ，
园艺：人 ，
在条形统计图中，对应“园艺”位置补画高度为的长方形，“厨艺”位置补画高度为的长方形即可，
（3）记四门课程分别为（礼仪）、（陶艺）、（园艺）、（厨艺），列表得所有等可能结果：
小刚小明
共有种等可能结果，其中两人选到同一门课程的结果有种，
因此：．
15．(1)甲种点茶器具套装的单价是148元，乙种点茶器具套装的单价是178元；
(2)学校最多可以购进乙种点茶器具套装18套．
【详解】（1）解：设甲种点茶器具套装的单价是x元，则乙种点茶器具套装的单价是元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
∴，
答：甲种点茶器具套装的单价是148元，乙种点茶器具套装的单价是178元；
（2）解：设学校购进乙种点茶器具套装m套，则购进甲种点茶器具套装套，
根据题意得：，
解得：，
∴整数m的最大值为18，
答：学校最多可以购进乙种点茶器具套装18套．
16．(1)见解析
(2)
【详解】（1）证明：如图，连接，，
∵为的直径，
∴，
∴，
∵，
∴点为的中点，
∵点为的中点，
∴为的中位线，
∴，
∵，
∴，
∵为的半径，
∴为的切线；
（2）解：∵，
∴，
∵，，
∴由勾股定理，得，
由（）知，即，
∴，
∴，
∵，，，
∴，解得，，
∴．
17．(1)
(2)
(3)
【详解】（1）解：∵，，为的中点，
∴，
∵以点为原点，所在直线为轴，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系（单位长度为），
∴，，，
设抛物线的函数表达式为，过点，，，
∴，
解得：
∴抛物线的函数表达式为；
（2）解：由（1）知：抛物线的函数表达式为，
当时，得：，
解得：或，
∴，
∴活动区域在水平方向上的最大宽度为；
（3）解：∵将抛物线支架沿竖直方向向上平移，
∴平移后的抛物线的解析式为，
∵在轴右侧抛物线上距原点水平距离为的点处悬挂露营灯，要求悬挂的露营灯高度不低于，
∴此时抛物线上的点的坐标为，
∴，
∴，
∴的最小值．
18．（1）见解析；（2），理由见解析；（3）
【详解】解：（1）∵，
∴，
∴，
由翻折性质可知，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
由翻折性质可知，
∴，
又∵，
∴，
∴，
（2）由翻折性质可知，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）由（2）可知，，，
∵，
∴，
∴．

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