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湖南省湘潭市湘乡市湘乡市东皋学校2025-2026学年下学期八年级数学期中质量监测试题卷
1．遵守交通规则不仅关系到自己的生命和安全，同时也是尊重他人生命的体现，是构筑和谐社会的重要因素．下列交通标志图案中，是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A．该图形不是中心对称图形，故Ａ错误.
B．该图形是中心对称图形，故Ｂ正确.
C．该图形不是中心对称图形，故Ｃ错误.
D．该图形不是中心对称图形，故Ｄ错误.
故答案为：Ｂ.
【分析】根据中心对称图形的定义，分别对Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ逐个分析判断即可得答案
2．一个六边形从一个顶点出发，引出对角线的条数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【知识点】多边形的对角线
【解析】【解答】解：从一个顶点出发，可引对角线条数，
∵，
∴可引对角线条数．
故答案为：D．
【分析】利用多边形的对角线的定义及数量与边数的关系（连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．n边形从一个顶点出发可引出（n-3）条对角线．从n个顶点出发引出n（n-3）条，而每条重复一次，所以n边形对角线的总条数为：n（n-3）（n≥3，且n为整数））分析求解即可.
3．已知中，，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；邻补角
【解析】【解答】解：∵中，，
∴，
∴，
故选：C．
【分析】
先利用平行四边形对角相等的性质求出的度数，再根据邻补角互补求出的度数.
4．四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（　　）
A．OA=OC，OB=OD B．AD∥BC，AB∥DC
C．AB=DC，AD=BC D．AB∥DC，AD=BC
【答案】D
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A、∵OA=OC，OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形．故能能判定这个四边形是平行四边形；
B、∵AD∥BC，AB∥DC，
∴四边形ABCD是平行四边形．故能能判定这个四边形是平行四边形；
C、AB=DC，AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．故能能判定这个四边形是平行四边形；
D、AB∥DC，AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形或等腰梯形．故不能能判定这个四边形是平行四边形．
故选：D．
【分析】根据平行四边形的判定定理求解即可求得答案，注意排除法在解选择题中的应用．
5．若一次函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（　　）
A． B．当时，
C．随的增大而减小 D．当时，
【答案】B
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：、由图象可知，一次函数的图象经过第一、三、四象限，则有，该选项不符合题意；
、由图象可知，当时，，该选项符合题意；
、由图象可知，随的增大而增大，该选项不符合题意；
、由图象可知，当时，，该选项不符合题意．
故选：B.
【分析】
先根据一次函数图象判断k的正负，再确定与x轴交点坐标，结合函数图象增减性及不同x的取值范围y的正负分析各选项.
6．将一次函数的图像沿轴向上平移个单位长度后经过点，则的值为（　　）
A．6 B．5 C． D．
【答案】B
【知识点】一次函数图象上点的坐标特征；一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：一次函数的图象沿轴向上平移个单位长度，
平移后的解析式为，
平移后经过点，
，
解得．
故答案为：B．
【分析】根据一次函数图象平移的规则得到平移后函数的解析式，将已知经过的点代入解析式，即可解出平移单位m的值.
7．如图，在中，、是对角线上两点，，，，则的大小为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故选：B.
【分析】
利用平行四边形的性质得到相关角的关系，再结合直角三角形斜边的中线定理和等腰三角形的性质求出的度数.
8．甲、乙二人在一次赛跑中，路程（米）与时间（秒）的关系如图所示，从图中可以看出，下列结论正确的是（　　）
A．甲、乙两人跑的路程不相等
B．甲、乙同时到达终点
C．甲的速度比乙的速度快米/秒
D．甲、乙不是同时出发的
【答案】C
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：由函数图象可知，二者同时出发，且路程都为100米，其中甲比乙先到达终点，
甲的速度为，乙的速度为，
∴甲的速度比乙的速度快米/秒，
故答案为：C．
【分析】从函数图象中获取信息，得到甲乙出发时间相同、总路程相同，甲先到达终点，再利用速度公式“速度=路程÷时间”分别计算出甲、乙的速度，作差即可得到结果.
9．在测浮力的实验中，将一长方体石块由玻璃器皿的上方，向下缓慢移动浸入水里的过程中，弹簧测力计的示数（N）与石块下降的高度之间的关系如图所示（温馨提示：当石块位于水面上方时，，当石块入水后，）．则以下说法不正确的是（　　）
A．当时，（N）与之间的函数表达式为
B．石块的高度为
C．当弹簧测力计的示数为时，此时石块距离水底
D．石块下降高度时，此时石块所受浮力是
【答案】D
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的其他应用
【解析】【解答】解：A、当时，设，代入，得，故A不符题意；
B、由图得，当石块下降时，拉力才变化，故石块的高度为，故B不符合题意；
C、将代入，得，故C不符合题意；
D、，将代入，得，故D符合题意；
故答案为：D．
【分析】先观察图象获取信息，求出范围内的函数关系式，再结合浮力的相关知识，利用函数关系式逐一判断每个选项即可．
10．如图，已知是边长为3的等边三角形，点是边上的一点，且，以为边作等边，过点作，交于点，连接，则下列结论中①；②；③四边形是平行四边形；④；⑤．其中正确的有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【知识点】最简二次根式；等边三角形的性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：连接，作于，
∵，都是等边三角形，
∴，，，
∴，故①符合题意；
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴在中，由勾股定理得：，
∵，
∴四边形是平行四边形，故③符合题意，
∵，，，
∴，故②符合题意，
∴，
如图，过作于点，则，
∵是边长为的等边三角形，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴，故④不符合题意；
∵，，
∴， 而，，
∴，
∴；故⑤不符合题意，
综上①②③符合题意，共个，
故答案为：B．
【分析】连接，过点作，交于，根据等边三角形的性质证明结论①正确；通过全等三角形判定证得，再进一步推出是等边三角形，由此得到，由勾股定理计算得到，即可判断结论③成立；再证得，即可判断结论②正确；根据平行四边形面积公式，可得，最后如图，过点作，交于点，此时，进一步推导可以发现结论④和⑤不符合要求.
11．一个正多边形的内角和为，则它的每一个内角为　 　．
【答案】108
【知识点】多边形内角与外角；正多边形的性质
【解析】【解答】解：设正多边形的边数为，
∵ 一个正多边形的内角和为 ，
∴，
解得：，
∴正多边形是正五边形，
∴它的每一个内角为，
故答案为：108．
【分析】设正多边形的边数为，利用多边形内角和公式求出正多边形的边数，根据正多边形的性质求出每一个内角的度数即可.
12．在梯形中，，，，，，则梯形高　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：根据题意可知，线段的长度即为梯形高的长度．
过点作于点．
，
四边形是矩形．
，．
．
在中，由勾股定理得．
梯形的高．
故填：.
【分析】
通过作辅助线（高），将梯形问题转化为直角三角形和矩形的问题，利用勾股定理求解直角三角形的直角边长度.
13．完美五边形是指可以无重叠、无间隙铺满整个平面的凸五边形．如图，五边形ABCDE是迄今为止人类发现的第15种完美五边形，其中，则　 　 ．
【答案】
【知识点】多边形内角与外角；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：由条件可知，
∵，
∴；
故答案为：．
【分析】
根据图形先根据一个顶点处内外角是互补的关系计算得到，再根据五边形的内角和计算可得的度数，解答即可 ．
14．如图，四边形是平行四边形，平分，交边于E，若，，则DE的长度为　 　．
【答案】4
【知识点】等腰三角形的判定；平行四边形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：四边形是平行四边形，
，，，
，
平分，
，
，
，
，
故答案为：4 ．
【分析】根据平行四边形的性质，得到，，且AD与BC平行，由内错角相等，可得；再结合BE是角平分线，可得，通过等量代换可以推出，根据“等角对等边”的性质，可得，根据AD的长度即可计算出的长度.
15．已知二元一次方程表示的直线与一次函数的图象交点的横坐标为3，则关于的二元一次方程组的解为　 　．
【答案】
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系
【解析】【解答】解：已知交点横坐标为，
将代入，得，
两条直线的交点坐标为，
二元一次方程组的解为．
故填：.
【分析】
二元一次方程组的解就是对应的两个一次函数图象交点的坐标，需要求出交点坐标，就可以得到方程组的解.
16．如图，已知正方形的对角线，相交于点，顶点，，的坐标分别为，，，规定“把正方形先沿轴翻折，再向右平移1个单位”为一次变换，如此这样，连续经过次变换后，点的坐标变为　 　．
【答案】
【知识点】点的坐标；正方形的性质；坐标与图形变化﹣对称；坐标与图形变化﹣平移；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：∵正方形的顶点，，的坐标分别为，，，
∴正方形的对角线的交点的坐标为，
把正方形先沿轴翻折，再向右平移个单位为一次变换，
则第一次变换后点的坐标为，即，
第二次变换后点的坐标为，即，
第三次变换后点的坐标为，即，
…，
第次变换后，当为奇数时，点的坐标为：；当为偶数时点的坐标为：，
∴连续经过第次变换后，点的坐标为：，即．
故填：
【分析】
首先利用正方形对角线互相平分的性质求出点M的初始坐标，根据题目规定的“沿x轴翻折”和“向右平移”两步骤，分析出点坐标的通向规律（横坐标每次加1，纵坐标正负交替），最后根据变换次数n=2026的奇偶性确定最终坐标.
17．如图，在平行四边形中，点E，F在对角线上，且，连接．求证：．
【答案】证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴
∴．
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】
利用平行四边形“对边平行且相等”的性质，推导出AD=BC及内错角=，再结合已知条件AE=CF，利用SAS判定定理证明，最后根据全等三角形对应边相等得出结论即可.
18．如图所示，已知正比例函数与一次函数的交点P的坐标为，其中，满足，且与轴交于点；
（1）求点的坐标；
（2）求直线与直线的函数解析式；
（3）求的面积．
【答案】（1）解：∵，
∴，，
解得，
∴点P的坐标为
（2）解：设的函数解析式为，代入点P，
解得，
∴的函数解析式为；
设的函数解析式为，代入点P，点A得；
，解得
∴的函数解析式为；
（3）解：过点P作，交于N，
∵P，
∴，
点Q为与轴的交点，
∴Q，
∴，
．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形的面积；一次函数图象与坐标轴交点问题；算术平方根的性质（双重非负性）
【解析】【分析】
（1）根据非负数的性质，算术平方根和完全平方根都是非负数求出点P的坐标；
（2）利用待定系数法，将已知点代入解析式即可；
（3）通过作辅助线和已知点，可求出和长，然后利用三角形的面积公式计算即可.．
（1）解：∵，
∴，，
解得，
∴点P的坐标为
（2）解：设的函数解析式为，代入点P，
解得，
∴的函数解析式为；
设的函数解析式为，代入点P，点A得；
，解得
∴的函数解析式为；
（3）解：过点P作，交于N，
∵P，
∴，
点Q为与轴的交点，
∴Q，
∴，
．
19．如图，在中，，连接，过点作，交的延长线于点，过点作，交的延长线于点；
（1）求的度数；
（2）若，求的长．
【答案】（1）解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴
∵，
∴，
∵，
∴；

（2）解： ∵，，，
∴，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴
又∵
∴，
∴．

【知识点】含30°角的直角三角形；平行四边形的性质；平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】
（1）利用平行四边形ABCD的性质求出，进而求出，同时需证明四边形ABDE为平行四边形，从而得到AB=DE，结合AB=CD得到CE=2AB的关系，最后再直角三角形中利用互余求出度数即可；
（2）利用含度角的直角三角形的性质，可求出CE的长，再结合（1）中得出CE=2AB关系即可求出AB的长.
（1）解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴
∵，
∴，
∵，
∴；
（2）∵，，，
∴，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴
又∵
∴，
∴．
20．如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点分别为点，，，，点在线段上，连接并延长交轴于点，将沿直线翻折到，延长与轴交于点．
（1）求证：；
（2）当时，求的长．
【答案】（1）解：∵点，的纵坐标相同，
∴轴，
∴．
根据图形折叠的性质可知，
∴．
∴．
（2）解：∵点，的横坐标相同，
∴轴．
∴．
设，则，．
∵在中，，
∵，
∴．
∴．
∴．

【知识点】等腰三角形的判定；勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】（1）利用坐标特征发现ABx轴，结合平行线性质和折叠性质进行角度转化，从而利用“等角对等边”证明线段相等；
（2）首先设未知数OD，利用第（1）问结论表示出斜边BD的长，在直角三角形中利用勾股定理构建方程求解即可.
（1）解：∵点，的纵坐标相同，
∴轴，
∴．
根据图形折叠的性质可知，
∴．
∴．
（2）解：∵点，的横坐标相同，
∴轴．
∴．
设，则，．
∵在中，，
∵，
∴．
∴．
∴．
21．为贯彻落实健康第一的指导思想，切实加强学校体育工作，促进学生积极参加体育锻炼，养成良好的锻炼习惯，提高体质健康水平．某校计划购买篮球和排球，供更多学生参加体育锻炼，增强身体素质．已知购买2个篮球与购买3个排球需要的费用相等，购买2个篮球和5个排球共需800元．
（1）求每个篮球，每个排球的价格分别是多少元？
（2）该校计划购买篮球和排球共60个，篮球和排球均需购买，且购买排球的个数不超过购买篮球个数的2倍．请给出最节省费用的购买方案，并求出最少的费用．
【答案】（1）解：设每个篮球的价格为x元，每个排球的价格为y元，根据题意可得 ，
解得：，
答：每个篮球的价格是150元，每个排球的价格是100元．
（2）解：设购买篮球m个，总费用为W元，则购买排球个，其中m为正整数，
∴ ，，，
∴，m为正整数，
∴总费用 ，
∵，
∴W随m的增大而增大，
∴当m取最小值20时，W取得最小值，此时（元），个，
答：最节省费用的购买方案是购买篮球20个，购买排球40个，最少费用是7000元．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据2个篮球与3个排球费用相等的关系，设篮球单价为未知数，用一元一次方程求出篮球和排球的单价；
（2）根据购买总数和排球个数不超过篮球个数2倍的条件，确定篮球数量的可能范围，计算不同数量下的总费用，比较得出最节省的方案即可.
（1）解：设每个篮球的价格为x元，每个排球的价格为y元，根据题意可得 ，
解得：，
答：每个篮球的价格是150元，每个排球的价格是100元．
（2）解：设购买篮球m个，总费用为W元，则购买排球个，其中m为正整数，
∴ ，，，
∴，m为正整数，
∴总费用 ，
∵，
∴W随m的增大而增大，
∴当m取最小值20时，W取得最小值，此时（元），个，
答：最节省费用的购买方案是购买篮球20个，购买排球40个，最少费用是7000元．
22．对于实数a，b定义两种新运算“※”和“*”：（其中k为常数，且），若对于平面直角坐标系中的点，有点的坐标与之对应，则称点P的“k衍生点”为点．例如：的“2衍生点”为，即．
（1）点的“3衍生点”的坐标为 ；
（2）若点P的“5衍生点”的坐标为，求点P的坐标；
（3）若点P的“k衍生点”为点，且直线平行于y轴，线段的长度为线段长度的3倍，求k的值．
【答案】（1）
（2）解：设依题意，得方程组
，
解得，
∴点；
（3）解：设，则的坐标为，∵平行于y轴，
∴，
即，
又∵，
∴，
∴点P的坐标为，点的坐标为，
∴线段的长度为，
∴线段的长为，
根据题意，有，
∴．
∴．
∴k的值为3和．
【知识点】点的坐标；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】（1）解：点的“3衍生点”的坐标为，
即，
故答案为：；
【分析】（1）按照新定义的运算规则直接计算，就能得到结果；
（2）结合新定义列出方程，通过求解二元一次方程组就能得到答案；
（3）根据平行于y轴，可得P点横纵坐标满足关系，推导出点P的坐标为，根据新定义得到它的k衍生点的坐标为，根据“线段的长度为线段长度的3倍”的关系列方程求解即可.
（1）解：点的“3衍生点”的坐标为，
即，
故答案为：；
（2）解：设
依题意，得方程组
，
解得，
∴点；
（3）解：设，则的坐标为，
∵平行于y轴，
∴，
即，
又∵，
∴，
∴点P的坐标为，点的坐标为，
∴线段的长度为，
∴线段的长为，
根据题意，有，
∴．
∴．
∴k的值为3和．
23．如图，在中，点，分别为，上的动点（不含端点），且．
（1）如图1，当为等边三角形时，将绕点逆时针旋转得到，连接，则与的数量关系为___________；
（2）如图2，在中，，于点，交于点，将绕点逆时针旋转得到，连接，．
①试猜想四边形的形状，并证明；
②若，请直接写出的最小值．
【答案】（1）
（2）解：①四边形为平行四边形；
证明如下：
，
，
绕点M逆时针旋转得到，
，
，
则，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
，
则四边形为平行四边形；
；②
【知识点】等边三角形的性质；平行四边形的判定；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】
（1）
解：为等边三角形，
，
绕点M逆时针旋转得到，
，
，
在和中，
，
，
；
（2）
②设，则，
∵，
∴，
∵，
∴
∵，
∴，即的最小值为.
此时，．
【分析】
（1）首先利用等边三角形的性质可得，再根据旋转的性质可得，从而可得，再利用全等三角形的判定定理SAS，证明即可得求解；
（2）根据旋转和等腰直角三角形的性质可得到=，再根据内错角相等，两直线平行得到ADBF，进而证明，进而得到=，通过角度转换和平行线的判定即可得到四边形是平行四边形；②通过设AN为未知数，根据勾股定理可得出MN，代入数值即可.
（1）解：为等边三角形，
，
绕点M逆时针旋转得到，
，
，
在和中，
，
，
；
（2）解：①四边形为平行四边形；
证明如下：
，
，
绕点M逆时针旋转得到，
，
，
则，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
，
则四边形为平行四边形；
②设，则，
∵，
∴，
∵，
∴
∵，
∴，即的最小值为.
此时，．
24．【操作思考】如图1，在平面直角坐标系中，等腰的直角顶点在原点，若顶点恰好落在点处．则点的坐标为_____．（直接写结果）
【感悟应用】如图2．在平面直角坐标系中，将等腰如图放置，直角顶点，点，试求直线的函数表达式．
【拓展探究】若点是直线上且位于第三象限图象上的一个动点，点是轴正半轴上的一个动点．点是函数与轴的交点，当以点为顶点的三角形为等腰直角三角形时，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】【操作思考】；
【感悟应用】
如图，过点作轴于点H．
∵点，点，
∴，，
∵为等腰直角三角形
∴，，
轴，
∴，
∵，
，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
设直线的表达式为
将和代入，
得，
解得，
∴直线的函数表达式为：．
【拓展探究】存在，点的坐标为或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形全等的判定-AAS；一次函数的实际应用-几何问题；全等三角形中对应边的关系；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：【操作思考】如图1，过点A作轴于点，过点B作轴于点．
由点坐标可知，
为等腰直角三角形，
∴，，
∵轴，轴，
∴，
又，，
∴，
∴，
∴，，
∴点坐标为：；
【拓展探究】存在；
由F是函数与轴的交点，可知，
点D是直线上且位于第三象限图象上的一个动点，点E是轴正半轴上的一个动点，
设，，
以点F为直角顶点，即：，过F作轴，过点D作于点P，过点E作于点N，如图所示：
由感悟应用类比可得：，，
∴，
解得：
故此时：；
以点D为直角顶点时，点E在y轴的负半轴，不符合题意；
以点E为顶角，即：，过E作轴，过点D作于点P，过点F作于点N，如图所示：
由感悟应用类比可得：，，，
解得：
故：
不存在符合题意的以点D为直角顶点的等腰三角形，
综上，点E的坐标为：或．
【分析】
【操作思考】通过构造直角三角形，根据已知条件可知为等腰直角三角形，然后再利用AAS证明，从而得到BE=CF，CE=AF，进而求出点B坐标；
【感悟应用】首先利用“一线三垂直”模型和通过全等三角形AAS可证明，进而得出点坐标，然后利用待定系数法求直线的函数表达式；
【拓展探究】根据直角顶点不同（，=90°，=90°）分类讨论，利用全等三角形构造或旋转公式建立方程求解，并验证点D是否在第三象限，点E是否在y轴正半轴.
1 / 1湖南省湘潭市湘乡市湘乡市东皋学校2025-2026学年下学期八年级数学期中质量监测试题卷
1．遵守交通规则不仅关系到自己的生命和安全，同时也是尊重他人生命的体现，是构筑和谐社会的重要因素．下列交通标志图案中，是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．一个六边形从一个顶点出发，引出对角线的条数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
3．已知中，，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
4．四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（　　）
A．OA=OC，OB=OD B．AD∥BC，AB∥DC
C．AB=DC，AD=BC D．AB∥DC，AD=BC
5．若一次函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（　　）
A． B．当时，
C．随的增大而减小 D．当时，
6．将一次函数的图像沿轴向上平移个单位长度后经过点，则的值为（　　）
A．6 B．5 C． D．
7．如图，在中，、是对角线上两点，，，，则的大小为（　　）
A． B． C． D．
8．甲、乙二人在一次赛跑中，路程（米）与时间（秒）的关系如图所示，从图中可以看出，下列结论正确的是（　　）
A．甲、乙两人跑的路程不相等
B．甲、乙同时到达终点
C．甲的速度比乙的速度快米/秒
D．甲、乙不是同时出发的
9．在测浮力的实验中，将一长方体石块由玻璃器皿的上方，向下缓慢移动浸入水里的过程中，弹簧测力计的示数（N）与石块下降的高度之间的关系如图所示（温馨提示：当石块位于水面上方时，，当石块入水后，）．则以下说法不正确的是（　　）
A．当时，（N）与之间的函数表达式为
B．石块的高度为
C．当弹簧测力计的示数为时，此时石块距离水底
D．石块下降高度时，此时石块所受浮力是
10．如图，已知是边长为3的等边三角形，点是边上的一点，且，以为边作等边，过点作，交于点，连接，则下列结论中①；②；③四边形是平行四边形；④；⑤．其中正确的有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
11．一个正多边形的内角和为，则它的每一个内角为　 　．
12．在梯形中，，，，，，则梯形高　 　．
13．完美五边形是指可以无重叠、无间隙铺满整个平面的凸五边形．如图，五边形ABCDE是迄今为止人类发现的第15种完美五边形，其中，则　 　 ．
14．如图，四边形是平行四边形，平分，交边于E，若，，则DE的长度为　 　．
15．已知二元一次方程表示的直线与一次函数的图象交点的横坐标为3，则关于的二元一次方程组的解为　 　．
16．如图，已知正方形的对角线，相交于点，顶点，，的坐标分别为，，，规定“把正方形先沿轴翻折，再向右平移1个单位”为一次变换，如此这样，连续经过次变换后，点的坐标变为　 　．
17．如图，在平行四边形中，点E，F在对角线上，且，连接．求证：．
18．如图所示，已知正比例函数与一次函数的交点P的坐标为，其中，满足，且与轴交于点；
（1）求点的坐标；
（2）求直线与直线的函数解析式；
（3）求的面积．
19．如图，在中，，连接，过点作，交的延长线于点，过点作，交的延长线于点；
（1）求的度数；
（2）若，求的长．
20．如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点分别为点，，，，点在线段上，连接并延长交轴于点，将沿直线翻折到，延长与轴交于点．
（1）求证：；
（2）当时，求的长．
21．为贯彻落实健康第一的指导思想，切实加强学校体育工作，促进学生积极参加体育锻炼，养成良好的锻炼习惯，提高体质健康水平．某校计划购买篮球和排球，供更多学生参加体育锻炼，增强身体素质．已知购买2个篮球与购买3个排球需要的费用相等，购买2个篮球和5个排球共需800元．
（1）求每个篮球，每个排球的价格分别是多少元？
（2）该校计划购买篮球和排球共60个，篮球和排球均需购买，且购买排球的个数不超过购买篮球个数的2倍．请给出最节省费用的购买方案，并求出最少的费用．
22．对于实数a，b定义两种新运算“※”和“*”：（其中k为常数，且），若对于平面直角坐标系中的点，有点的坐标与之对应，则称点P的“k衍生点”为点．例如：的“2衍生点”为，即．
（1）点的“3衍生点”的坐标为 ；
（2）若点P的“5衍生点”的坐标为，求点P的坐标；
（3）若点P的“k衍生点”为点，且直线平行于y轴，线段的长度为线段长度的3倍，求k的值．
23．如图，在中，点，分别为，上的动点（不含端点），且．
（1）如图1，当为等边三角形时，将绕点逆时针旋转得到，连接，则与的数量关系为___________；
（2）如图2，在中，，于点，交于点，将绕点逆时针旋转得到，连接，．
①试猜想四边形的形状，并证明；
②若，请直接写出的最小值．
24．【操作思考】如图1，在平面直角坐标系中，等腰的直角顶点在原点，若顶点恰好落在点处．则点的坐标为_____．（直接写结果）
【感悟应用】如图2．在平面直角坐标系中，将等腰如图放置，直角顶点，点，试求直线的函数表达式．
【拓展探究】若点是直线上且位于第三象限图象上的一个动点，点是轴正半轴上的一个动点．点是函数与轴的交点，当以点为顶点的三角形为等腰直角三角形时，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A．该图形不是中心对称图形，故Ａ错误.
B．该图形是中心对称图形，故Ｂ正确.
C．该图形不是中心对称图形，故Ｃ错误.
D．该图形不是中心对称图形，故Ｄ错误.
故答案为：Ｂ.
【分析】根据中心对称图形的定义，分别对Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ逐个分析判断即可得答案
2．【答案】D
【知识点】多边形的对角线
【解析】【解答】解：从一个顶点出发，可引对角线条数，
∵，
∴可引对角线条数．
故答案为：D．
【分析】利用多边形的对角线的定义及数量与边数的关系（连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．n边形从一个顶点出发可引出（n-3）条对角线．从n个顶点出发引出n（n-3）条，而每条重复一次，所以n边形对角线的总条数为：n（n-3）（n≥3，且n为整数））分析求解即可.
3．【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；邻补角
【解析】【解答】解：∵中，，
∴，
∴，
故选：C．
【分析】
先利用平行四边形对角相等的性质求出的度数，再根据邻补角互补求出的度数.
4．【答案】D
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A、∵OA=OC，OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形．故能能判定这个四边形是平行四边形；
B、∵AD∥BC，AB∥DC，
∴四边形ABCD是平行四边形．故能能判定这个四边形是平行四边形；
C、AB=DC，AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．故能能判定这个四边形是平行四边形；
D、AB∥DC，AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形或等腰梯形．故不能能判定这个四边形是平行四边形．
故选：D．
【分析】根据平行四边形的判定定理求解即可求得答案，注意排除法在解选择题中的应用．
5．【答案】B
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：、由图象可知，一次函数的图象经过第一、三、四象限，则有，该选项不符合题意；
、由图象可知，当时，，该选项符合题意；
、由图象可知，随的增大而增大，该选项不符合题意；
、由图象可知，当时，，该选项不符合题意．
故选：B.
【分析】
先根据一次函数图象判断k的正负，再确定与x轴交点坐标，结合函数图象增减性及不同x的取值范围y的正负分析各选项.
6．【答案】B
【知识点】一次函数图象上点的坐标特征；一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：一次函数的图象沿轴向上平移个单位长度，
平移后的解析式为，
平移后经过点，
，
解得．
故答案为：B．
【分析】根据一次函数图象平移的规则得到平移后函数的解析式，将已知经过的点代入解析式，即可解出平移单位m的值.
7．【答案】B
【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故选：B.
【分析】
利用平行四边形的性质得到相关角的关系，再结合直角三角形斜边的中线定理和等腰三角形的性质求出的度数.
8．【答案】C
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：由函数图象可知，二者同时出发，且路程都为100米，其中甲比乙先到达终点，
甲的速度为，乙的速度为，
∴甲的速度比乙的速度快米/秒，
故答案为：C．
【分析】从函数图象中获取信息，得到甲乙出发时间相同、总路程相同，甲先到达终点，再利用速度公式“速度=路程÷时间”分别计算出甲、乙的速度，作差即可得到结果.
9．【答案】D
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的其他应用
【解析】【解答】解：A、当时，设，代入，得，故A不符题意；
B、由图得，当石块下降时，拉力才变化，故石块的高度为，故B不符合题意；
C、将代入，得，故C不符合题意；
D、，将代入，得，故D符合题意；
故答案为：D．
【分析】先观察图象获取信息，求出范围内的函数关系式，再结合浮力的相关知识，利用函数关系式逐一判断每个选项即可．
10．【答案】B
【知识点】最简二次根式；等边三角形的性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：连接，作于，
∵，都是等边三角形，
∴，，，
∴，故①符合题意；
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴在中，由勾股定理得：，
∵，
∴四边形是平行四边形，故③符合题意，
∵，，，
∴，故②符合题意，
∴，
如图，过作于点，则，
∵是边长为的等边三角形，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴，故④不符合题意；
∵，，
∴， 而，，
∴，
∴；故⑤不符合题意，
综上①②③符合题意，共个，
故答案为：B．
【分析】连接，过点作，交于，根据等边三角形的性质证明结论①正确；通过全等三角形判定证得，再进一步推出是等边三角形，由此得到，由勾股定理计算得到，即可判断结论③成立；再证得，即可判断结论②正确；根据平行四边形面积公式，可得，最后如图，过点作，交于点，此时，进一步推导可以发现结论④和⑤不符合要求.
11．【答案】108
【知识点】多边形内角与外角；正多边形的性质
【解析】【解答】解：设正多边形的边数为，
∵ 一个正多边形的内角和为 ，
∴，
解得：，
∴正多边形是正五边形，
∴它的每一个内角为，
故答案为：108．
【分析】设正多边形的边数为，利用多边形内角和公式求出正多边形的边数，根据正多边形的性质求出每一个内角的度数即可.
12．【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：根据题意可知，线段的长度即为梯形高的长度．
过点作于点．
，
四边形是矩形．
，．
．
在中，由勾股定理得．
梯形的高．
故填：.
【分析】
通过作辅助线（高），将梯形问题转化为直角三角形和矩形的问题，利用勾股定理求解直角三角形的直角边长度.
13．【答案】
【知识点】多边形内角与外角；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：由条件可知，
∵，
∴；
故答案为：．
【分析】
根据图形先根据一个顶点处内外角是互补的关系计算得到，再根据五边形的内角和计算可得的度数，解答即可 ．
14．【答案】4
【知识点】等腰三角形的判定；平行四边形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：四边形是平行四边形，
，，，
，
平分，
，
，
，
，
故答案为：4 ．
【分析】根据平行四边形的性质，得到，，且AD与BC平行，由内错角相等，可得；再结合BE是角平分线，可得，通过等量代换可以推出，根据“等角对等边”的性质，可得，根据AD的长度即可计算出的长度.
15．【答案】
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系
【解析】【解答】解：已知交点横坐标为，
将代入，得，
两条直线的交点坐标为，
二元一次方程组的解为．
故填：.
【分析】
二元一次方程组的解就是对应的两个一次函数图象交点的坐标，需要求出交点坐标，就可以得到方程组的解.
16．【答案】
【知识点】点的坐标；正方形的性质；坐标与图形变化﹣对称；坐标与图形变化﹣平移；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：∵正方形的顶点，，的坐标分别为，，，
∴正方形的对角线的交点的坐标为，
把正方形先沿轴翻折，再向右平移个单位为一次变换，
则第一次变换后点的坐标为，即，
第二次变换后点的坐标为，即，
第三次变换后点的坐标为，即，
…，
第次变换后，当为奇数时，点的坐标为：；当为偶数时点的坐标为：，
∴连续经过第次变换后，点的坐标为：，即．
故填：
【分析】
首先利用正方形对角线互相平分的性质求出点M的初始坐标，根据题目规定的“沿x轴翻折”和“向右平移”两步骤，分析出点坐标的通向规律（横坐标每次加1，纵坐标正负交替），最后根据变换次数n=2026的奇偶性确定最终坐标.
17．【答案】证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴
∴．
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】
利用平行四边形“对边平行且相等”的性质，推导出AD=BC及内错角=，再结合已知条件AE=CF，利用SAS判定定理证明，最后根据全等三角形对应边相等得出结论即可.
18．【答案】（1）解：∵，
∴，，
解得，
∴点P的坐标为
（2）解：设的函数解析式为，代入点P，
解得，
∴的函数解析式为；
设的函数解析式为，代入点P，点A得；
，解得
∴的函数解析式为；
（3）解：过点P作，交于N，
∵P，
∴，
点Q为与轴的交点，
∴Q，
∴，
．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形的面积；一次函数图象与坐标轴交点问题；算术平方根的性质（双重非负性）
【解析】【分析】
（1）根据非负数的性质，算术平方根和完全平方根都是非负数求出点P的坐标；
（2）利用待定系数法，将已知点代入解析式即可；
（3）通过作辅助线和已知点，可求出和长，然后利用三角形的面积公式计算即可.．
（1）解：∵，
∴，，
解得，
∴点P的坐标为
（2）解：设的函数解析式为，代入点P，
解得，
∴的函数解析式为；
设的函数解析式为，代入点P，点A得；
，解得
∴的函数解析式为；
（3）解：过点P作，交于N，
∵P，
∴，
点Q为与轴的交点，
∴Q，
∴，
．
19．【答案】（1）解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴
∵，
∴，
∵，
∴；

（2）解： ∵，，，
∴，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴
又∵
∴，
∴．

【知识点】含30°角的直角三角形；平行四边形的性质；平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】
（1）利用平行四边形ABCD的性质求出，进而求出，同时需证明四边形ABDE为平行四边形，从而得到AB=DE，结合AB=CD得到CE=2AB的关系，最后再直角三角形中利用互余求出度数即可；
（2）利用含度角的直角三角形的性质，可求出CE的长，再结合（1）中得出CE=2AB关系即可求出AB的长.
（1）解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴
∵，
∴，
∵，
∴；
（2）∵，，，
∴，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴
又∵
∴，
∴．
20．【答案】（1）解：∵点，的纵坐标相同，
∴轴，
∴．
根据图形折叠的性质可知，
∴．
∴．
（2）解：∵点，的横坐标相同，
∴轴．
∴．
设，则，．
∵在中，，
∵，
∴．
∴．
∴．

【知识点】等腰三角形的判定；勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】（1）利用坐标特征发现ABx轴，结合平行线性质和折叠性质进行角度转化，从而利用“等角对等边”证明线段相等；
（2）首先设未知数OD，利用第（1）问结论表示出斜边BD的长，在直角三角形中利用勾股定理构建方程求解即可.
（1）解：∵点，的纵坐标相同，
∴轴，
∴．
根据图形折叠的性质可知，
∴．
∴．
（2）解：∵点，的横坐标相同，
∴轴．
∴．
设，则，．
∵在中，，
∵，
∴．
∴．
∴．
21．【答案】（1）解：设每个篮球的价格为x元，每个排球的价格为y元，根据题意可得 ，
解得：，
答：每个篮球的价格是150元，每个排球的价格是100元．
（2）解：设购买篮球m个，总费用为W元，则购买排球个，其中m为正整数，
∴ ，，，
∴，m为正整数，
∴总费用 ，
∵，
∴W随m的增大而增大，
∴当m取最小值20时，W取得最小值，此时（元），个，
答：最节省费用的购买方案是购买篮球20个，购买排球40个，最少费用是7000元．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据2个篮球与3个排球费用相等的关系，设篮球单价为未知数，用一元一次方程求出篮球和排球的单价；
（2）根据购买总数和排球个数不超过篮球个数2倍的条件，确定篮球数量的可能范围，计算不同数量下的总费用，比较得出最节省的方案即可.
（1）解：设每个篮球的价格为x元，每个排球的价格为y元，根据题意可得 ，
解得：，
答：每个篮球的价格是150元，每个排球的价格是100元．
（2）解：设购买篮球m个，总费用为W元，则购买排球个，其中m为正整数，
∴ ，，，
∴，m为正整数，
∴总费用 ，
∵，
∴W随m的增大而增大，
∴当m取最小值20时，W取得最小值，此时（元），个，
答：最节省费用的购买方案是购买篮球20个，购买排球40个，最少费用是7000元．
22．【答案】（1）
（2）解：设依题意，得方程组
，
解得，
∴点；
（3）解：设，则的坐标为，∵平行于y轴，
∴，
即，
又∵，
∴，
∴点P的坐标为，点的坐标为，
∴线段的长度为，
∴线段的长为，
根据题意，有，
∴．
∴．
∴k的值为3和．
【知识点】点的坐标；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】（1）解：点的“3衍生点”的坐标为，
即，
故答案为：；
【分析】（1）按照新定义的运算规则直接计算，就能得到结果；
（2）结合新定义列出方程，通过求解二元一次方程组就能得到答案；
（3）根据平行于y轴，可得P点横纵坐标满足关系，推导出点P的坐标为，根据新定义得到它的k衍生点的坐标为，根据“线段的长度为线段长度的3倍”的关系列方程求解即可.
（1）解：点的“3衍生点”的坐标为，
即，
故答案为：；
（2）解：设
依题意，得方程组
，
解得，
∴点；
（3）解：设，则的坐标为，
∵平行于y轴，
∴，
即，
又∵，
∴，
∴点P的坐标为，点的坐标为，
∴线段的长度为，
∴线段的长为，
根据题意，有，
∴．
∴．
∴k的值为3和．
23．【答案】（1）
（2）解：①四边形为平行四边形；
证明如下：
，
，
绕点M逆时针旋转得到，
，
，
则，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
，
则四边形为平行四边形；
；②
【知识点】等边三角形的性质；平行四边形的判定；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】
（1）
解：为等边三角形，
，
绕点M逆时针旋转得到，
，
，
在和中，
，
，
；
（2）
②设，则，
∵，
∴，
∵，
∴
∵，
∴，即的最小值为.
此时，．
【分析】
（1）首先利用等边三角形的性质可得，再根据旋转的性质可得，从而可得，再利用全等三角形的判定定理SAS，证明即可得求解；
（2）根据旋转和等腰直角三角形的性质可得到=，再根据内错角相等，两直线平行得到ADBF，进而证明，进而得到=，通过角度转换和平行线的判定即可得到四边形是平行四边形；②通过设AN为未知数，根据勾股定理可得出MN，代入数值即可.
（1）解：为等边三角形，
，
绕点M逆时针旋转得到，
，
，
在和中，
，
，
；
（2）解：①四边形为平行四边形；
证明如下：
，
，
绕点M逆时针旋转得到，
，
，
则，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
，
则四边形为平行四边形；
②设，则，
∵，
∴，
∵，
∴
∵，
∴，即的最小值为.
此时，．
24．【答案】【操作思考】；
【感悟应用】
如图，过点作轴于点H．
∵点，点，
∴，，
∵为等腰直角三角形
∴，，
轴，
∴，
∵，
，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
设直线的表达式为
将和代入，
得，
解得，
∴直线的函数表达式为：．
【拓展探究】存在，点的坐标为或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形全等的判定-AAS；一次函数的实际应用-几何问题；全等三角形中对应边的关系；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：【操作思考】如图1，过点A作轴于点，过点B作轴于点．
由点坐标可知，
为等腰直角三角形，
∴，，
∵轴，轴，
∴，
又，，
∴，
∴，
∴，，
∴点坐标为：；
【拓展探究】存在；
由F是函数与轴的交点，可知，
点D是直线上且位于第三象限图象上的一个动点，点E是轴正半轴上的一个动点，
设，，
以点F为直角顶点，即：，过F作轴，过点D作于点P，过点E作于点N，如图所示：
由感悟应用类比可得：，，
∴，
解得：
故此时：；
以点D为直角顶点时，点E在y轴的负半轴，不符合题意；
以点E为顶角，即：，过E作轴，过点D作于点P，过点F作于点N，如图所示：
由感悟应用类比可得：，，，
解得：
故：
不存在符合题意的以点D为直角顶点的等腰三角形，
综上，点E的坐标为：或．
【分析】
【操作思考】通过构造直角三角形，根据已知条件可知为等腰直角三角形，然后再利用AAS证明，从而得到BE=CF，CE=AF，进而求出点B坐标；
【感悟应用】首先利用“一线三垂直”模型和通过全等三角形AAS可证明，进而得出点坐标，然后利用待定系数法求直线的函数表达式；
【拓展探究】根据直角顶点不同（，=90°，=90°）分类讨论，利用全等三角形构造或旋转公式建立方程求解，并验证点D是否在第三象限，点E是否在y轴正半轴.
1 / 1

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