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浙江温州市娄桥外国语学校2025-2026学年第二学期学科素养评价（一）八年级数学学科试卷
1．下列属于一元二次方程的是（　　）
A． B． C． D．
2．下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
3．为了解某校开展劳动教育的情况，组织人员进行了调查，调查发现其8名同学每周做家务的天数（单位：天）依次为，，，，，，，，则这组数据的众数和中位数分别为（　　）
A．5 和 5 B．7 和 5 C．5 和 7 D．6 和 5
4．下列计算中，正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．某文具店老板将6月份内每天的笔记本销售量绘制了箱线图，以下说法正确的是（　　）
A．有15天每天销售笔记本在200本以上
B．6月的笔记本每天销售量的中位数在200本以下
C．这个月中笔记本销售量最大的一天，销售量大于400本
D．这个月中每天笔记本的销售量差异不大
6．用配方法解一元二次方程，配方正确的是（　　）
A． B． C． D．
7．如图，长方形内有两个相邻的正方形．若两个正方形的面积分别为和，则图中阴影部分的面积为（　　）
A．1 B． C． D．
8．“村”是指乡村篮球赛，近年来，“村”在多地火爆开展，已发展成为一项全国性赛事．某地经过层层筛选，主办方最终确定了参赛队伍，并在小组赛阶段设置了双循环赛制（即每两支球队之间进行两场比赛）．已知整个小组赛阶段共比赛30场，设参加比赛的球队有支，可得方程（　　）
A． B． C． D．
9．一元二次方程的两个实数根为x1和x2，则代数式的值为(　　)
A．-3 B．3 C．-13 D．13
10．《周髀算经》中有一种几何方法可以用来解形如的方程的正数解，方法为：如图，将四个长为，宽为x的长方形纸片（面积为16）拼成一个大正方形，于是大正方形的面积为，边长为10，故得的正数解为．小明用此方法解关于x的方程时，构造出同样的图形，已知大正方形的面积为14，小正方形的面积为4，则（　　）
A． B． C． D．
11．若二次根式有意义，则x的取值范围是　 　．
12．冬季降水减少，很多河里河水枯竭，正是疏浚河道的好时机.如图是某河堤的横断面，堤高米，迎水坡的坡比是，则河堤的长是　 　米.
13．化简： 　 　．
14．电影《哪吒之魔童闹海》于2025年春节档上映，一上映就获得全国人民的追捧．据不完全统计，某市第一天票房约200万元，以后每天票房按相同的增长率增长，第三天票房收入288万元，将增长率记作x，则方程可以列为　 　
15．某小组6名学生的数学考试成绩（单位：分）分别为88，98，90，92，90，96老师决定将这些成绩分为两组，以便更好地分析学生的成绩分布，若按照以下分组方式：第一组，第二组，则组内离差平方和为　 　．
16．阳光小区附近有一块长，宽的长方形空地，在空地上有两条相同宽度的步道（一纵一横）和一个边长为步道宽度7倍的正方形休闲广场，两条步道的总面积与正方形休闲广场的面积相等，如图1所示，设步道的宽为．则步道的宽为　 　；方便市民进行跑步健身，现按如图2所示方案增建塑胶跑道．已知塑胶跑道的宽为，长方形区域甲的面积比长方形区域乙大，且区域丙为正方形，塑胶跑道的总面积为　 　．
17．计算：
（1）
（2）．
18．解方程：
（1）
（2）
19．【数据收集】某市射击队为了从A，B两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛，现组织两人在相同的条件下进行8轮射击比赛，每轮每人射靶一次，并对A，B两名选手每轮的射击成绩进行了数据收集．
【数据整理】如图1，将A，B两名选手8轮射击成绩绘制成如下统计图．
（1）小华利用平均数和方差进行分析．①处应填________环，由表格中的数据可以看出________（填“A”或“B”）的发挥更稳定．
选手 平均数 方差
A 8.5环 1.75
B ① 0.75
（2）小颖利用四分位数、箱线图（如图2）进行分析．下表中一部分数据被污染了，请你帮她计算出A选手8轮射击成绩的四分位数．
选手 最小值、四分位数和最大值
最小值 最大值
A 6 10
B 8 8 9 10 10
（3）根据小华和小颖的分析，A，B两名选手中应选拔________（填“A”或“B”）参加青少年射击比赛．
20．一个多边形的内角和是它的外角和的4倍，求这个多边形的边数．
21．已知关于x的一元二次方程
（1）如果方程的一个根是2，求k的值
（2）求证：无论k取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
22．实践活动：某中学“田园梦工厂”社团准备围建一个长方形菜园（如图）．
素材1：要围建的菜园边上有一堵墙，长为，菜园的一边靠墙，另外三边用总长为的铝合金材料围建．
素材2：与墙平行的一边上要预留宽的入口．
任务1：当长方形菜园的长为多少米时，菜园的面积为？
任务2：能否围成的长方形菜园？若能，求出的长；若不能，请说明理由．
23．某书店推出一套珍藏版书籍，每套进价为50元，原售价为100元/套．
普通顾客：售价每降低2元，日均销量增加10套，已知当售价为100元时，日均销量为40套，会员规则：
银卡会员：在普通顾客售价基础上再享受8折优惠
金卡会员：在普通顾客售价基础上再享受7折优惠
（1）在普通顾客销售模式中，设售价降低x元（，且x为整数）用含x的代数式表示：
实际售价______；日均销量______．
（2）在普通顾客销售模式中，书店希望日均销售利润达到3600元，尽可能让利于顾客，求此时的售价．
（3）某日，书店里银卡会员和金卡会员的购书数量均是普通顾客销售量的，此时，会员顾客部分销售利润为560元，问当日普通顾客售价为多少？
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：A、该式子不是等式，则本项不符合题意；
B、该式子含有一个未知数，但未知数的最高次数为1，则本项不符合题意；
C、该式子含有一个未知数，且未知数的最高次数为2，则本项符合题意；
D、该式子含有两个未知数，则本项不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据一元二次方程的定义：等号两边是整式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2，据此逐项分析即可．
2．【答案】A
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、是最简二次根式，故本选项符合题意；
B、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
C、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
D、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意.
故答案为：A．
【分析】被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，且被开方数中不含分母或分母不能带根号的二次根式就是最简二次根式，据此逐一判断即可解答．
3．【答案】A
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：将数据重新排列为，，，，，，，
所以这组数据的众数为，中位数为，
故答案为：A．
【分析】根据众数和中位数的概念"一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数"并结合题意即可判断求解．
4．【答案】C
【知识点】二次根式的乘除混合运算；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，该选项不符合题意；
B、，该选项不符合题意；
C、，该选项符合题意；
D、，该选项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用二次根式的加减乘除法则计算求解即可。
5．【答案】B
【知识点】中位数；箱线图
【解析】【解答】解：A、由箱线图可得，中位数小于200，不代表这个月有15天每天销售量在200本以上，故A错误；
B、由箱线图可得，中位数小于200，故B正确；
C、由箱线图可得，最大值小于400，故C错误；
D、由箱线图可得，最小值和最大值相差很大，销售量波动明显，差异较大，故D错误；
故选：B．
【分析】
需要理解箱线图中各部分（最小值、第一四分位数、中位数、第三四位数、最大值）所代表的统计意义，并结合图表中的刻度进行准确读数，利用中位数的定义判断数据的分布情况，利用极差判断数据的波动情况.
6．【答案】C
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：原方程为.
移项得.
方程两边同时加得.
配方得.
故答案为：C.
【分析】进行移项操作，给方程的两边都加上一次项系数一半的平方，把方程左边配方整理成完全平方式，即可得到答案.
7．【答案】B
【知识点】二次根式的实际应用；实数运算的实际应用；求算术平方根
【解析】【解答】解：设面积为1的正方形的边长为a，面积为2的正方形的边长为b，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：B.
【分析】
根据正方形面积求出边长，再根据边长求出阴影部分的长和宽，最后根据长方形面积共hi求出阴影部分的面积即可.
8．【答案】B
【知识点】一元二次方程的其他应用；列一元二次方程
【解析】【解答】解：双循环赛制下，每两支球队间进行两场比赛，设参赛球队有支，
每支球队都要进行个主场比赛，总比赛场次为场．
又小组赛阶段共比赛30场，
可列方程．
故选：B．
【分析】
先明确双循环赛制的定义，再根据球队数量与比赛场次的关系列出方程.
9．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵一元二次方程x2+5x-4=0的两个实数根为x1和x2，
∴x1+x2=-5，x1x2=-4，
∴x1+x2-2x1x2=-5-2×(-4)=-5+8=3
故答案为：B.
【分析】由根与系数的关系求出x1+x2和x1x2的值即可得到答案.
10．【答案】D
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：∵ 大正方形的面积为14，小正方形的面积为4，
∴关于 x的方程 化为，
∴图中长方形的长为，宽为x ，
∴图中小正方形的边长是 ，
大正方形的边长是 ，
∴ ，
∴ ，
故 ， ，
故答案为：D．
【分析】根据题意将x的方程 化为，即长方形的长为，宽为x ，再依据大正方形的面积为14，小正方形的面积为4，用代数式表示出边长即可．
11．【答案】
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：要使二次根式有意义，只需使：，
解得．
故答案为：．
【分析】根据二次根式有意义的条件"被开方数为非负数"列关于x的不等式，解不等式即可求解．
12．【答案】
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：根据题意得：，解得：（米）．
∴，
故答案为：．
【分析】本题考查的是利用直角三角形解决坡度坡角相关问题。在直角三角形中，已知坡面的坡度比等于垂直高度与水平距离之比，通过这个关系可以求出的长度，再运用勾股定理即可计算出坡面的长度。
13．【答案】
【知识点】分母有理化
【解析】【解答】解：
故答案为：.
【分析】对分母含有根式的式子进行分母有理化，通过乘以一个适当的式子，将分母中的根式去掉，从而化简式子.
14．【答案】
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：将增长率记作x，
根据题意得：．
故填：.
【分析】
根据增长率的概念，先表示出第二天的票房，再根据第二天的票房表示出第三天的，最后结合第三天的票房收入为288万元这一条件列方程.
15．【答案】10
【知识点】方差；离差平方和
【解析】【解答】解：第一组数据为，
第一组数据的平均数为：，
第一组的离差平方和为：，
第二组数据为，
第二组数据的平均数为：，
第二组的离差平方和为：，
因此组内离差平方和为．
故填：10.
【分析】
根据组内差平方和的定义：衡量一组数据离散程度的统计量，计算时需先求出每组数据的平均数，再用每组数据中的每个数据与平均数的差的平方求和即可.
16．【答案】；
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：由题意得，，
∴，
∴，
解得或（舍去），
∴步道的宽为；
设区域丙的边长为，
由题意得，长方形区域甲和长方形区域乙的宽相等，长方形区域甲的长比长方形区域乙的长多，
∵长方形区域甲的面积比长方形区域乙大，
∴，
∴，
∴塑胶跑道的总面积为．
【分析】
第一空：根据两条步道总面积与正方体休闲广场面相等建立方程求解步道宽即可；第二空：先根据长方形区域甲和乙的面积关系，求出丙区域的边长，再计算塑胶跑道总面积即可.
17．【答案】（1）解：
；
（2）解：
．

【知识点】二次根式的混合运算；幂的乘方运算；求算术平方根
【解析】【分析】
（1）先分别计算乘方运算和算数平方根，再进行加减运算即可；
（2）先分别化简各项二次根式，再按照乘除后加减的顺序进行计算即可.
（1）解：
；
（2）解：
．
18．【答案】（1）解：(x-6)(x+4)=0
x-6=0或x+4=0
∴x1=-4， x2=6
（2）解：a=2， b=-6， c=2
Δ=(-6)2-4×2×2=20>0
∴，
【知识点】公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】(1)利用因式分解法求出解即可；
(2)利用公式法求出解即可.
19．【答案】（1）9，B
（2）解：将A选手的成绩排序：6，7，8，9，9，9，，，
数据个数为偶数，取第4和第5个数据的平均值．
第4个数据为9，第5个数据为9，
因此环．
下四分位数()是下半部分数据(前4个∶6，7，8，9)的中位数，
取第2和第3个数据的平均值∶环．
上四分位数()∶上半部分数据(后4个∶9，9，，)的中位数，
取第6和第7个数据的平均值∶环．
因此，A选手的四分位数填写如下∶环，环，环．
（3）B
【知识点】折线统计图；方差；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；箱线图；四分位数
【解析】【解答】（1）解：选手B的平均成绩：，
①处应填9环．
选手A的方差为，选手B的方差为，
由于，因此B的发挥更稳定．
故答案为：9；B；
（3）
解：小华的分析显示B选手方差更小，更稳定．
小颖的分析显示B选手成绩分布更集中（四分位数范围小），且平均数更高（B为9环，A为环）．
综合来看，B选手成绩更优且更稳定，因此应选拔B参加青少年射击比赛．
故答案为：B．
【分析】（1）依据折线统计图给出的数据，先计算出选手B的平均成绩，再通过比较两名选手成绩的方差，判断谁的射击成绩更稳定；
（2）结合四分位数的相关意义，再对照折线统计图里给出的数据，计算得到最终结果；
（3）对两名选手射击成绩的方差、四分位数、平均数分别进行分析比较，综合多方面的信息后，得出最终的选择结论.
（1）解：选手B的平均成绩：，
①处应填9环．
选手A的方差为，选手B的方差为，
由于，因此B的发挥更稳定．
故答案为：9，B；
（2）解：将A选手的成绩排序：6，7，8，9，9，9，，，
数据个数为偶数，取第4和第5个数据的平均值．
第4个数据为9，第5个数据为9，
因此环．
下四分位数()是下半部分数据(前4个∶6，7，8，9)的中位数，
取第2和第3个数据的平均值∶环．
上四分位数()∶上半部分数据(后4个∶9，9，，)的中位数，
取第6和第7个数据的平均值∶环．
因此，A选手的四分位数填写如下∶环，环，环．
（3）解：小华的分析显示B选手方差更小，更稳定．
小颖的分析显示B选手成绩分布更集中（四分位数范围小），且平均数更高（B为9环，A为环）．
综合来看，B选手成绩更优且更稳定，因此应选拔B参加青少年射击比赛．
故答案为：B．
20．【答案】解：设这个多边形有n条边．
由题意得：（n﹣2）×180°=360°×4，
解得n=10．
故这个多边形的边数是10
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【分析】一个多边形的内角和是它的外角和的4倍，而外角和是360°，则内角和是4×360°．n边形的内角和可以表示成（n﹣2） 180°，设这个多边形的边数是n，就得到方程，从而求出边数．
21．【答案】（1）解：∵关于x的一元二次方程x2-(k+2)x+k-1=0有一个根是2
∴把x=2代入x2-(k+2)x+k-1=0得
22-2(k+2)+k-1=0，
解得k=-1
（2）证明：由题意得，Δ=[-(k+2)]2-4(k-1)
=k2+4k+4-4k+4
=k2+8
∵k2>0
∴k2+8≥8>0
∴无论k取何值，此方程总有两个不相等的实数根.
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；已知一元二次方程的根求参数
【解析】【分析】(1)把x=2代入原方程中得到关于k的方程，解方程即可得到答案.
(2)只需要证明Δ=[-(k+2)]2-4(k-1)>0即可.
22．【答案】解：任务1：解：设的长为米，
由题意，得，
解得，（舍去），
所以，
任务2：解：由题意得，
方程无解，
不能围成的长方形菜园
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】本题主要考查一元二次方程的实际应用，关键在于理解题目条件并建立正确的等量关系。解题时需注意围墙的最大长度为，需舍去不符合题意的解。任务1：已知砌墙材料总长度为，设，则平行于墙的一边（需考虑门宽）。根据矩形面积公式建立方程，解该一元二次方程即可。
任务2：通过计算判别式，判断方程是否有实数解，从而确定能否围成指定面积的饲养场。
23．【答案】（1）元；套
（2）解：由题意得，，
整理得，
解得或，
∵尽可能让利于顾客，
∴，
∴，
答：此时的售价为68元；
（3）解：设售价降低元，
由（1）得普通顾客的销售量为套，
∴银卡会员和金卡会员的销售量均为套，
由题意得
整理得，
解得或，
∵为非负整数，
∴，
∴，
答：当日普通顾客售价为80元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】
（1）
解：由题意得，实际售价为元，
日均销量为套；
【分析】
（1）根据售价降低的金额与原售价的关系求出实际售价，再根据售价降低与日均销量增加的关系求出日均销量；
（2）根据总利润（原售价降价进价）销售量建立方程，求解方程并结合让顾客的条件确定售价即可；
（3）分别表示出银卡会员、金卡会员的售价和利润，根据会员顾客部分销售利润列出方程求解．
（1）解：由题意得，实际售价为元，
日均销量为套；
（2）解：由题意得，，
整理得，
解得或，
∵尽可能让利于顾客，
∴，
∴，
答：此时的售价为68元；
（3）解：设售价降低元，
由（1）得普通顾客的销售量为套，
∴银卡会员和金卡会员的销售量均为套，
由题意得
整理得，
解得或，
∵为非负整数，
∴，
∴，
答：当日普通顾客售价为80元．
1 / 1浙江温州市娄桥外国语学校2025-2026学年第二学期学科素养评价（一）八年级数学学科试卷
1．下列属于一元二次方程的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：A、该式子不是等式，则本项不符合题意；
B、该式子含有一个未知数，但未知数的最高次数为1，则本项不符合题意；
C、该式子含有一个未知数，且未知数的最高次数为2，则本项符合题意；
D、该式子含有两个未知数，则本项不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据一元二次方程的定义：等号两边是整式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2，据此逐项分析即可．
2．下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、是最简二次根式，故本选项符合题意；
B、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
C、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
D、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意.
故答案为：A．
【分析】被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，且被开方数中不含分母或分母不能带根号的二次根式就是最简二次根式，据此逐一判断即可解答．
3．为了解某校开展劳动教育的情况，组织人员进行了调查，调查发现其8名同学每周做家务的天数（单位：天）依次为，，，，，，，，则这组数据的众数和中位数分别为（　　）
A．5 和 5 B．7 和 5 C．5 和 7 D．6 和 5
【答案】A
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：将数据重新排列为，，，，，，，
所以这组数据的众数为，中位数为，
故答案为：A．
【分析】根据众数和中位数的概念"一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数"并结合题意即可判断求解．
4．下列计算中，正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式的乘除混合运算；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，该选项不符合题意；
B、，该选项不符合题意；
C、，该选项符合题意；
D、，该选项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用二次根式的加减乘除法则计算求解即可。
5．某文具店老板将6月份内每天的笔记本销售量绘制了箱线图，以下说法正确的是（　　）
A．有15天每天销售笔记本在200本以上
B．6月的笔记本每天销售量的中位数在200本以下
C．这个月中笔记本销售量最大的一天，销售量大于400本
D．这个月中每天笔记本的销售量差异不大
【答案】B
【知识点】中位数；箱线图
【解析】【解答】解：A、由箱线图可得，中位数小于200，不代表这个月有15天每天销售量在200本以上，故A错误；
B、由箱线图可得，中位数小于200，故B正确；
C、由箱线图可得，最大值小于400，故C错误；
D、由箱线图可得，最小值和最大值相差很大，销售量波动明显，差异较大，故D错误；
故选：B．
【分析】
需要理解箱线图中各部分（最小值、第一四分位数、中位数、第三四位数、最大值）所代表的统计意义，并结合图表中的刻度进行准确读数，利用中位数的定义判断数据的分布情况，利用极差判断数据的波动情况.
6．用配方法解一元二次方程，配方正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：原方程为.
移项得.
方程两边同时加得.
配方得.
故答案为：C.
【分析】进行移项操作，给方程的两边都加上一次项系数一半的平方，把方程左边配方整理成完全平方式，即可得到答案.
7．如图，长方形内有两个相邻的正方形．若两个正方形的面积分别为和，则图中阴影部分的面积为（　　）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次根式的实际应用；实数运算的实际应用；求算术平方根
【解析】【解答】解：设面积为1的正方形的边长为a，面积为2的正方形的边长为b，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：B.
【分析】
根据正方形面积求出边长，再根据边长求出阴影部分的长和宽，最后根据长方形面积共hi求出阴影部分的面积即可.
8．“村”是指乡村篮球赛，近年来，“村”在多地火爆开展，已发展成为一项全国性赛事．某地经过层层筛选，主办方最终确定了参赛队伍，并在小组赛阶段设置了双循环赛制（即每两支球队之间进行两场比赛）．已知整个小组赛阶段共比赛30场，设参加比赛的球队有支，可得方程（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】一元二次方程的其他应用；列一元二次方程
【解析】【解答】解：双循环赛制下，每两支球队间进行两场比赛，设参赛球队有支，
每支球队都要进行个主场比赛，总比赛场次为场．
又小组赛阶段共比赛30场，
可列方程．
故选：B．
【分析】
先明确双循环赛制的定义，再根据球队数量与比赛场次的关系列出方程.
9．一元二次方程的两个实数根为x1和x2，则代数式的值为(　　)
A．-3 B．3 C．-13 D．13
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵一元二次方程x2+5x-4=0的两个实数根为x1和x2，
∴x1+x2=-5，x1x2=-4，
∴x1+x2-2x1x2=-5-2×(-4)=-5+8=3
故答案为：B.
【分析】由根与系数的关系求出x1+x2和x1x2的值即可得到答案.
10．《周髀算经》中有一种几何方法可以用来解形如的方程的正数解，方法为：如图，将四个长为，宽为x的长方形纸片（面积为16）拼成一个大正方形，于是大正方形的面积为，边长为10，故得的正数解为．小明用此方法解关于x的方程时，构造出同样的图形，已知大正方形的面积为14，小正方形的面积为4，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：∵ 大正方形的面积为14，小正方形的面积为4，
∴关于 x的方程 化为，
∴图中长方形的长为，宽为x ，
∴图中小正方形的边长是 ，
大正方形的边长是 ，
∴ ，
∴ ，
故 ， ，
故答案为：D．
【分析】根据题意将x的方程 化为，即长方形的长为，宽为x ，再依据大正方形的面积为14，小正方形的面积为4，用代数式表示出边长即可．
11．若二次根式有意义，则x的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：要使二次根式有意义，只需使：，
解得．
故答案为：．
【分析】根据二次根式有意义的条件"被开方数为非负数"列关于x的不等式，解不等式即可求解．
12．冬季降水减少，很多河里河水枯竭，正是疏浚河道的好时机.如图是某河堤的横断面，堤高米，迎水坡的坡比是，则河堤的长是　 　米.
【答案】
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：根据题意得：，解得：（米）．
∴，
故答案为：．
【分析】本题考查的是利用直角三角形解决坡度坡角相关问题。在直角三角形中，已知坡面的坡度比等于垂直高度与水平距离之比，通过这个关系可以求出的长度，再运用勾股定理即可计算出坡面的长度。
13．化简： 　 　．
【答案】
【知识点】分母有理化
【解析】【解答】解：
故答案为：.
【分析】对分母含有根式的式子进行分母有理化，通过乘以一个适当的式子，将分母中的根式去掉，从而化简式子.
14．电影《哪吒之魔童闹海》于2025年春节档上映，一上映就获得全国人民的追捧．据不完全统计，某市第一天票房约200万元，以后每天票房按相同的增长率增长，第三天票房收入288万元，将增长率记作x，则方程可以列为　 　
【答案】
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：将增长率记作x，
根据题意得：．
故填：.
【分析】
根据增长率的概念，先表示出第二天的票房，再根据第二天的票房表示出第三天的，最后结合第三天的票房收入为288万元这一条件列方程.
15．某小组6名学生的数学考试成绩（单位：分）分别为88，98，90，92，90，96老师决定将这些成绩分为两组，以便更好地分析学生的成绩分布，若按照以下分组方式：第一组，第二组，则组内离差平方和为　 　．
【答案】10
【知识点】方差；离差平方和
【解析】【解答】解：第一组数据为，
第一组数据的平均数为：，
第一组的离差平方和为：，
第二组数据为，
第二组数据的平均数为：，
第二组的离差平方和为：，
因此组内离差平方和为．
故填：10.
【分析】
根据组内差平方和的定义：衡量一组数据离散程度的统计量，计算时需先求出每组数据的平均数，再用每组数据中的每个数据与平均数的差的平方求和即可.
16．阳光小区附近有一块长，宽的长方形空地，在空地上有两条相同宽度的步道（一纵一横）和一个边长为步道宽度7倍的正方形休闲广场，两条步道的总面积与正方形休闲广场的面积相等，如图1所示，设步道的宽为．则步道的宽为　 　；方便市民进行跑步健身，现按如图2所示方案增建塑胶跑道．已知塑胶跑道的宽为，长方形区域甲的面积比长方形区域乙大，且区域丙为正方形，塑胶跑道的总面积为　 　．
【答案】；
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：由题意得，，
∴，
∴，
解得或（舍去），
∴步道的宽为；
设区域丙的边长为，
由题意得，长方形区域甲和长方形区域乙的宽相等，长方形区域甲的长比长方形区域乙的长多，
∵长方形区域甲的面积比长方形区域乙大，
∴，
∴，
∴塑胶跑道的总面积为．
【分析】
第一空：根据两条步道总面积与正方体休闲广场面相等建立方程求解步道宽即可；第二空：先根据长方形区域甲和乙的面积关系，求出丙区域的边长，再计算塑胶跑道总面积即可.
17．计算：
（1）
（2）．
【答案】（1）解：
；
（2）解：
．

【知识点】二次根式的混合运算；幂的乘方运算；求算术平方根
【解析】【分析】
（1）先分别计算乘方运算和算数平方根，再进行加减运算即可；
（2）先分别化简各项二次根式，再按照乘除后加减的顺序进行计算即可.
（1）解：
；
（2）解：
．
18．解方程：
（1）
（2）
【答案】（1）解：(x-6)(x+4)=0
x-6=0或x+4=0
∴x1=-4， x2=6
（2）解：a=2， b=-6， c=2
Δ=(-6)2-4×2×2=20>0
∴，
【知识点】公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】(1)利用因式分解法求出解即可；
(2)利用公式法求出解即可.
19．【数据收集】某市射击队为了从A，B两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛，现组织两人在相同的条件下进行8轮射击比赛，每轮每人射靶一次，并对A，B两名选手每轮的射击成绩进行了数据收集．
【数据整理】如图1，将A，B两名选手8轮射击成绩绘制成如下统计图．
（1）小华利用平均数和方差进行分析．①处应填________环，由表格中的数据可以看出________（填“A”或“B”）的发挥更稳定．
选手 平均数 方差
A 8.5环 1.75
B ① 0.75
（2）小颖利用四分位数、箱线图（如图2）进行分析．下表中一部分数据被污染了，请你帮她计算出A选手8轮射击成绩的四分位数．
选手 最小值、四分位数和最大值
最小值 最大值
A 6 10
B 8 8 9 10 10
（3）根据小华和小颖的分析，A，B两名选手中应选拔________（填“A”或“B”）参加青少年射击比赛．
【答案】（1）9，B
（2）解：将A选手的成绩排序：6，7，8，9，9，9，，，
数据个数为偶数，取第4和第5个数据的平均值．
第4个数据为9，第5个数据为9，
因此环．
下四分位数()是下半部分数据(前4个∶6，7，8，9)的中位数，
取第2和第3个数据的平均值∶环．
上四分位数()∶上半部分数据(后4个∶9，9，，)的中位数，
取第6和第7个数据的平均值∶环．
因此，A选手的四分位数填写如下∶环，环，环．
（3）B
【知识点】折线统计图；方差；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；箱线图；四分位数
【解析】【解答】（1）解：选手B的平均成绩：，
①处应填9环．
选手A的方差为，选手B的方差为，
由于，因此B的发挥更稳定．
故答案为：9；B；
（3）
解：小华的分析显示B选手方差更小，更稳定．
小颖的分析显示B选手成绩分布更集中（四分位数范围小），且平均数更高（B为9环，A为环）．
综合来看，B选手成绩更优且更稳定，因此应选拔B参加青少年射击比赛．
故答案为：B．
【分析】（1）依据折线统计图给出的数据，先计算出选手B的平均成绩，再通过比较两名选手成绩的方差，判断谁的射击成绩更稳定；
（2）结合四分位数的相关意义，再对照折线统计图里给出的数据，计算得到最终结果；
（3）对两名选手射击成绩的方差、四分位数、平均数分别进行分析比较，综合多方面的信息后，得出最终的选择结论.
（1）解：选手B的平均成绩：，
①处应填9环．
选手A的方差为，选手B的方差为，
由于，因此B的发挥更稳定．
故答案为：9，B；
（2）解：将A选手的成绩排序：6，7，8，9，9，9，，，
数据个数为偶数，取第4和第5个数据的平均值．
第4个数据为9，第5个数据为9，
因此环．
下四分位数()是下半部分数据(前4个∶6，7，8，9)的中位数，
取第2和第3个数据的平均值∶环．
上四分位数()∶上半部分数据(后4个∶9，9，，)的中位数，
取第6和第7个数据的平均值∶环．
因此，A选手的四分位数填写如下∶环，环，环．
（3）解：小华的分析显示B选手方差更小，更稳定．
小颖的分析显示B选手成绩分布更集中（四分位数范围小），且平均数更高（B为9环，A为环）．
综合来看，B选手成绩更优且更稳定，因此应选拔B参加青少年射击比赛．
故答案为：B．
20．一个多边形的内角和是它的外角和的4倍，求这个多边形的边数．
【答案】解：设这个多边形有n条边．
由题意得：（n﹣2）×180°=360°×4，
解得n=10．
故这个多边形的边数是10
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【分析】一个多边形的内角和是它的外角和的4倍，而外角和是360°，则内角和是4×360°．n边形的内角和可以表示成（n﹣2） 180°，设这个多边形的边数是n，就得到方程，从而求出边数．
21．已知关于x的一元二次方程
（1）如果方程的一个根是2，求k的值
（2）求证：无论k取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
【答案】（1）解：∵关于x的一元二次方程x2-(k+2)x+k-1=0有一个根是2
∴把x=2代入x2-(k+2)x+k-1=0得
22-2(k+2)+k-1=0，
解得k=-1
（2）证明：由题意得，Δ=[-(k+2)]2-4(k-1)
=k2+4k+4-4k+4
=k2+8
∵k2>0
∴k2+8≥8>0
∴无论k取何值，此方程总有两个不相等的实数根.
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；已知一元二次方程的根求参数
【解析】【分析】(1)把x=2代入原方程中得到关于k的方程，解方程即可得到答案.
(2)只需要证明Δ=[-(k+2)]2-4(k-1)>0即可.
22．实践活动：某中学“田园梦工厂”社团准备围建一个长方形菜园（如图）．
素材1：要围建的菜园边上有一堵墙，长为，菜园的一边靠墙，另外三边用总长为的铝合金材料围建．
素材2：与墙平行的一边上要预留宽的入口．
任务1：当长方形菜园的长为多少米时，菜园的面积为？
任务2：能否围成的长方形菜园？若能，求出的长；若不能，请说明理由．
【答案】解：任务1：解：设的长为米，
由题意，得，
解得，（舍去），
所以，
任务2：解：由题意得，
方程无解，
不能围成的长方形菜园
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】本题主要考查一元二次方程的实际应用，关键在于理解题目条件并建立正确的等量关系。解题时需注意围墙的最大长度为，需舍去不符合题意的解。任务1：已知砌墙材料总长度为，设，则平行于墙的一边（需考虑门宽）。根据矩形面积公式建立方程，解该一元二次方程即可。
任务2：通过计算判别式，判断方程是否有实数解，从而确定能否围成指定面积的饲养场。
23．某书店推出一套珍藏版书籍，每套进价为50元，原售价为100元/套．
普通顾客：售价每降低2元，日均销量增加10套，已知当售价为100元时，日均销量为40套，会员规则：
银卡会员：在普通顾客售价基础上再享受8折优惠
金卡会员：在普通顾客售价基础上再享受7折优惠
（1）在普通顾客销售模式中，设售价降低x元（，且x为整数）用含x的代数式表示：
实际售价______；日均销量______．
（2）在普通顾客销售模式中，书店希望日均销售利润达到3600元，尽可能让利于顾客，求此时的售价．
（3）某日，书店里银卡会员和金卡会员的购书数量均是普通顾客销售量的，此时，会员顾客部分销售利润为560元，问当日普通顾客售价为多少？
【答案】（1）元；套
（2）解：由题意得，，
整理得，
解得或，
∵尽可能让利于顾客，
∴，
∴，
答：此时的售价为68元；
（3）解：设售价降低元，
由（1）得普通顾客的销售量为套，
∴银卡会员和金卡会员的销售量均为套，
由题意得
整理得，
解得或，
∵为非负整数，
∴，
∴，
答：当日普通顾客售价为80元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】
（1）
解：由题意得，实际售价为元，
日均销量为套；
【分析】
（1）根据售价降低的金额与原售价的关系求出实际售价，再根据售价降低与日均销量增加的关系求出日均销量；
（2）根据总利润（原售价降价进价）销售量建立方程，求解方程并结合让顾客的条件确定售价即可；
（3）分别表示出银卡会员、金卡会员的售价和利润，根据会员顾客部分销售利润列出方程求解．
（1）解：由题意得，实际售价为元，
日均销量为套；
（2）解：由题意得，，
整理得，
解得或，
∵尽可能让利于顾客，
∴，
∴，
答：此时的售价为68元；
（3）解：设售价降低元，
由（1）得普通顾客的销售量为套，
∴银卡会员和金卡会员的销售量均为套，
由题意得
整理得，
解得或，
∵为非负整数，
∴，
∴，
答：当日普通顾客售价为80元．
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