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重庆市礼嘉中学校2025-2026学年高三下学期适应性考试一数学试题
1．已知集合，，则（　　）
A． B． C． D．
2．“”是“”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知复数z是方程的根，则（　　）
A． B． C．2 D．3
4．已知数列与均为等差数列，且，，则（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
5．已知函数为增函数，则的最小值是（　　）
A． B． C． D．
6．已知，则（　　）
A．1 B． C． D．2
7．如图1的“方斗”古时候常作为一种容器，有如图2的方斗杯，其形状是一个上大下小的正四棱台，，，现往该方斗杯里加水，当水的高度是方斗杯高度的一半时，水的体积为74，则该方斗杯可盛水的总体积为（　　）
A．148 B． C． D．196
8．已知函数的定义域为，任意给定，都存在，使得，则不可能为（　　）
A． B． C． D．
9．下列说法正确的是（　　）
A．随机事件A，B相互独立的充要条件是
B．设X为随机变量，则
C．，则，
D．若，记函数，，则的图象关于点对称
10．如图，在正三棱柱中，点P，Q，M，N分别是，，，BC的中点，则下列说法中正确的有（　　）
A．平面ABC B．
C．平面 D．PQ与MN相交
11．曲线C：（）是优美的封闭曲线，其围成的面积记为，M是C与y轴正半轴的交点，过原点O的直线交C于点A，B，则（　　）
A．
B．
C．当时，的最大值是
D．当时，
12．已知单位向量，满足，则　 　.
13．已知等差数列的公差不为0，，且成等比数列，则的前项和的最大值为　 　．
14．双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，以为直径的圆与在第一象限的交点为，若直线与的一条渐近线平行，则的离心率为　 　.
15．已知函数．
（1）若是奇函数，求；
（2）当时，的所有正零点从小到大排列构成数列，求的前项和．
16．已知函数．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若，求的取值范围．
17．四棱柱的底面ABCD是菱形，且，，侧面是矩形，且M是的中点.
（1）求证：平面平面；
（2）若平面与平面ABCD所成二面角的平面角为，，求直线与平面MAB所成角的正弦值.
18．某盲盒商店调查数据显示，顾客一次性购买某种文创盲盒数量的分布列为
其中，．
（1）当时，求顾客一次性购买该种文创盲盒数量的平均值；
（2）已知该种文创盲盒分为封面款与非封面款两类，且每个盲盒为封面款的概率为，每个盲盒是否为封面款相互独立．若顾客一次性购买的盲盒中，封面款的数量大于非封面款的数量，则称此顾客为幸运客户．现从顾客中随机选取一人．
（i）求该顾客为幸运客户的概率；
（ii）若该顾客是幸运客户，他购买的盲盒全部是封面款的概率不超过，求的取值范围．
19．如图所示，由椭圆（）和抛物线（）组合成曲线，若与存在共同焦点，由图形特点，它们的形状像收回四条腿的七星瓢虫，这里称曲线为“七星瓢虫曲线”.特别地，若椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距成等差数列，则称其为“等差椭圆”.
（1）求“等差椭圆”的离心率；
（2）在“七星瓢虫曲线”中，若是“等差椭圆”，且.
（ⅰ）求与和都相切的直线的方程；
（ⅱ）直线（），且l与相交所得弦的中点为M，与相交所得弦的中点为N，证明：直线OM，ON（O为原点）的斜率之积为定值.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】交集及其运算；一元二次不等式及其解法；其他不等式的解法
【解析】【解答】解：解不等式，可得，即集合，
解不等式，可得或，又因为，所以集合，
则.
故答案为：C.
【分析】分别解一元二次不等式和绝对值不等式求得集合A，B，再根据集合的交集运算求解即可.
2．【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；一元二次不等式及其解法；其他不等式的解法
【解析】【解答】解：不等式，即，解得，
由，
因为是的真子集，
所以是成立的充分不必要条件.
故答案为：A.
【分析】分别解一元二次不等式和分式不等式，再利用集合之间的包含关系，结合充分、必要条件的定义判断即可.
3．【答案】B
【知识点】复数的模；方程的解与虚数根
【解析】【解答】解：因为方程的判别式，
所以该方程有虚数根，所以，
则.
故答案为：B.
【分析】利用求根公式求方程的虚根，再根据复数模长公式求解即可.
4．【答案】B
【知识点】等差数列的性质
【解析】【解答】解：因为，，
所以，
则，
根据等差数列的性质，可知，
所以.
故答案为：B.
【分析】根据已知条件和等差数列的性质，从而得出的值.
5．【答案】C
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数单调性的性质；函数的最大（小）值；对勾函数的图象与性质
【解析】【解答】解：由对勾函数的单调性可知，函数在区间上单调递减，在上单调递增，因为函数在上为增函数，所以函数在上为增函数，
则，即，
又因为函数在上为增函数，且函数在上为增函数，
则，因，所以，解得，
故实数的取值范围是，即的最小值为.
故答案为：C.
【分析】根据分段函数的单调性，结合对勾函数的单调性以及一次函数单调性，列关于实数的不等式组，求解即可.
6．【答案】C
【知识点】两角和与差的正弦公式；二倍角的正弦公式
【解析】【解答】解：由，
可得.
故答案为：C.
【分析】由题意可得，利用二倍角公式以及和差角公式化简求解即可.
7．【答案】D
【知识点】台体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：设线段，，，的中点分别为，，，，如下图所示：
易知四边形为等腰梯形，
因为线段，的中点分别为，，
所以，
设棱台的高为，体积为，
则棱台的高为，
设其体积为，
则，，
所以，
则该方斗杯可盛水的总体积为.
故答案为：D.
【分析】根据已知条件和中点的性质判断出四边形为等腰梯形，再利用中点的性质和棱台的体积公式，从而得出的值，进而得出该方斗杯可盛水的总体积.
8．【答案】D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：A、函数定义域为，
取，，即，故A可能；
B、定义域为，
取，，即，故B可能；
C、定义域为，
由，
构造函数，，，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，最小值，且当时，，即存在，使得，即，
也即存在，使得，故C可能；
D、定义域为，由得，
取，方程为，
当时，不成立，当时，两边取对数得，
即，因为，显然此方程无解，
综上可知：当时，不存在满足条件，故D不可能.
故答案为：D.
【分析】求函数的定义域，分别其和代入求解即可判断AB；求函数的定义域，由可得，构造函数，求导，利用导数判断函数的单调性，求最值，确定方程有解即可判断C；求函数的单调性，由得，取，通过和分析方程无解，即可判断D.
9．【答案】A,B,D
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；离散型随机变量的期望与方差；二项分布；正态密度曲线的特点；离散型随机变量的方差
【解析】【解答】解：A、先证必要性：若相互独立，则，
所以，
再证充分性：若，则，
所以，即，说明与相互独立，
所以随机事件A，B相互独立的充要条件是，故A正确；
B、由于，则，
即，即，故B正确；
C、由，则，，故C错误；
D、因为，记函数，，
所以对任意，有，
由正态分布的对称性：，
因此，
即的图象关于点对称，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】根据随机事件的独立性，结合充分、必要条件的定义即可判断A；根据随机变量的方差与期望的关系即可判断B；根据二项分布的期望与方差公式求解即可判断C；根据正态分布的对称性求解即可判断D.
10．【答案】A,C,D
【知识点】异面直线的判定；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定
【解析】【解答】解：A、取的中点D，连接，，
在中，因为P，D分别为，中点，所以，且，
在直三棱柱中，，，
又因为Q为棱的中点，所以，且，
所以，，四边形为平行四边形，从而，
又因为平面，平面，所以平面，故A正确；
B、因为为的中点，若，则，
连接，为的中点，则，又平面，
所以平面，平面，
所以，设，，
则，，
所以，，与矛盾，所以不成立，故B错误；
C、在直三棱柱中，平面，
又平面，，，D为中点，，
由选项A的推理知，，，
又，平面，平面，
所以平面，故C正确；
D、因为为的中点，四边形为矩形，
所以点为的中点，又为的中点，所以，且，
又分别为的中点，所以，，所以，，
所以四边形为平行四边形，故与相交，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】取的中点D，连接，，利用中位线的性质证明，结合线面平行判定定理证明平面，即可判断A；若，则，连接，为的中点，证明，设，，求，推出矛盾即可判断B；结合选项A的推理，根据线面垂直判定定理证明平面 即可判断C；证明，，由此即可判断D.
11．【答案】A,C,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：当时，曲线C：，即，
当时，，即，
当时，曲线C：，
当时，，即，这是一个顶点为和的直线段，
在区间内，由于，，
则当时的图象比时更靠近坐标轴，，故A正确；
当时，曲线C：，即，其面积为，
当时，曲线C：，
当时，，即，
在区间内，由于，，进而有，
故时其图像在单位圆的外部， 故，故B错误；
当时，曲线C：，易知，
由对称性可设，，则，，
当时，，即，代入上式得，对称轴为，则的最大值为，故C正确；
当时，曲线C：，即，
当时，，即，
令，则，
，
设，则，
易知，令，解得，
故在上单调递增，在上单调递减，
故当时，，，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】分别令和，求得曲线围成的面积，即可判断A；分别令和，求得曲线围成的面积，即可判断B；当时，曲线C：，易知，由对称性可设，，利用向量的数量积运算，结合二次函数的性质求解即可判断C；当时，曲线C：，当时，利用换元法，结合向量的数量积运算可得，求导，利用导数判断函数的单调性，求最值，得的范围即可判断D.
12．【答案】
【知识点】数量积表示两个向量的夹角；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【解答】解：，
又，为单位向量，故，解得，
又因为，所以.
故答案为：.
【分析】根据向量垂直数量积为零，结合向量的夹角公式求解即可.
13．【答案】36
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等比中项
【解析】【解答】解：设等差数列公差为，
由成等比数列，可得，
因为，所以，所以。
由。
则的前项和取得最大值，且.
故答案为：.
【分析】设等差数列公差为，根据等比中项，结合等差数列的通项求得公差，确定数列的通项公式，再根据确定最大时的值，最后利用等差数列的求和公式求即可.
14．【答案】
【知识点】双曲线的定义；双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：因为以为直径的圆与在第一象限的交点为，所以，
由直线与的一条渐近线平行可得，，
由双曲线定义可得，，得，所以，
由，可得，
则，整理得，
，，则离心率.
故答案为：.
【分析】由题意可得，根据直线与的一条渐近线平行，结合渐近线斜率得到焦半径比例可得，即，再利用双曲线定义和勾股定理联立求解得到关系，根据双曲线的离心率公式求解即可.
15．【答案】（1）解：函数的定义域为，因为函数为奇函数，所以，所以，解得，
经检验，是奇函数，所以；
（2）解：当时，函数，
令，则，即或，
解得或，
令，，
，，
又因为，，
所以，
所以．
【知识点】函数的奇偶性；等差数列的性质；数列与函数的综合；二倍角的正弦公式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【分析】（1）求函数的的定义域，根据函数为奇函数，可得，求得的取值，再利用奇函数的定义检验即可；
（2）当时，函数，令，得，可得出或， 解出的表达式，令，，可得出，再利用等差数列的求和公式求解即可.
（1）解法一：因为为奇函数，所以，
即恒成立．
得恒成立，
所以恒成立，
所以恒成立，所以，解得．
解法二：因为为上的奇函数，所以，
所以，解得，
经检验，是奇函数，所以．
（2）解法一：因为，所以，
令，则，
所以或，
解得或，
令，，
所以，，
又因为，故，
所以，
所以．
解法二：因为，所以，
令，则，
所以，所以或，
所以或，
解得或，
令，，
所以，，
又因为，故，
所以，
所以．
解法三：因为，所以，
因为，所以是的一个周期，
当时，令，则，
所以，所以或，
当时，解得，
所以在区间的零点之和为，
令，
，
所以，
且，
则是以为首项，为公差的等差数列，
所以．
16．【答案】（1）解：函数的定义域为，，
当时，，，，
则曲线在点处的切线方程为，即；
（2）解：当时，，在单调递增，此时存在，使，
不符合题意，舍去；
当时，显然成立；
当时，令，得，令，得；
所以在单调递减，在单调递增，
所以，解得，
综上所述，的取值范围为．
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）求函数的定义域，求导，利用导数的几何意义，结合点斜式求切线方程即可；
（2）分、和，利用导数判断函数的单调性，求最值，即可得实数的取值范围.
17．【答案】（1）证明：因为菱形，，，
由棱柱得平面平面，所以，
因为是 中点，所以，
在 中，由余弦定理，
可得，解得，
则，即 ，即
因为侧面是矩形，
由，都在平面内，可得平面，
因为，平面，所以平面 ，
因为平面，所以平面 平面；
（2）解：取的中点，连接，
因为分别为的中点，，且，
所以四边形为平行四边形，所以
因为侧面是矩形，所以，
则平面与平面所成二面角的平面角为，过点作，
因为平面平面，平面平面，
由，所以平面，
因为，则，，
以为坐标原点，为轴，为轴，过作的平行线为轴建立空间直角坐标系，如图所示：
所以，，，，
所以，
，，
设平面MAB的一个法向量为，
则，取，可得，
设与平面MAB所成角为，则，
即直线与平面MAB所成角的正弦值为.
【知识点】平面与平面垂直的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）由四边形菱形为菱形，在 中，利用余弦定理求得，根据边长关系可得，结合线面垂直的判定定理证明平面，最后利用面面垂直的判定定理证明即可；
（2）取的中点，连接，可得平面与平面ABCD所成二面角的平面角为，过点作，可得平面，以为坐标原点，为轴，为轴，过作的平行线为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解即可.
（1）因为菱形，，
由棱柱得平面平面，
所以。
因为是 中点，所以，
由于在 中：，
所以，解得：，
则
所以 ，即
因为侧面是矩形，
由，都在平面内，
平面，
因为，平面，
平面
因为平面，
平面 平面.
（2）取的中点，连接
因为分别为的中点，，且，
所以四边形为平行四边形，
所以
因为侧面是矩形，所以，
则平面与平面所成二面角的平面角为，
过点作，
因为平面平面，平面平面，
由，所以平面，
因为，则，，
以为坐标原点，为轴，为轴，过作的平行线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
所以，，，，
所以，
，，
设平面MAB的一个法向量为，
则，取，则，
设与平面MAB所成角为，
则
18．【答案】（1）解：由题可知，， 化简可得 ，
当时，，则，
即顾客一次性购买文创盲盒数量的平均值为；
（2）解：（i）设事件“一次性购买个文创盲盒”，事件“顾客为幸运客户”，
则，，，，
依题意，得，，
因为每个盲盒是否为封面款相互独立，
所以，，
又由题意知，，且、、、两两互斥，
所以，
由（1）得，，代入化简可得，则，；
（ii）设事件“一次性购买的文创盲盒全部是封面款”，
依题意，得，且，、、两两互斥，
所以，
由（i）得，，
所以幸运客户中，一次性购买的文创盲盒全部是封面款的概率为，
由题意，可得，解得，
又因为，所以．
【知识点】离散型随机变量的期望与方差；全概率公式；条件概率
【解析】【分析】（1）根据概率的性质可得，化简求得，再利用期望公式求解即可；
（2）（i）设事件“一次性购买个文创盲盒”，事件“顾客为幸运客户”，求出、利用条件概率求，最后利用全概率公式可得的表达式及的取值范围；
（ii）设事件“一次性购买的文创盲盒全部是封面款”， 求得，利用全概率公式求出的值，利用条件概率公式结合可得出关于的不等式，结合可得出的取值范围.
（1）由题可知，， 化简可得 ，
当时，，则，
即顾客一次性购买文创盲盒数量的平均值为．
（2）（i）设事件“一次性购买个文创盲盒”，事件“顾客为幸运客户”，
则，，，．
依题意，得，，
因为每个盲盒是否为封面款相互独立，
所以，，
又由题意知，，且、、、两两互斥，
所以，
由（1）得，，代入化简可得，
所以，；
（ii）设事件“一次性购买的文创盲盒全部是封面款”，
依题意，得，且，、、两两互斥，
所以，
由（i）得，，
所以幸运客户中，一次性购买的文创盲盒全部是封面款的概率为
，
由题意，可得，解得，
又因为，所以．
19．【答案】（1）解：设椭圆的半焦距为c，
因为长半轴、短半轴、半焦距成等差数列，所以，
又因为，所以，
则，
两边同时除以，得，
解得（舍去），
所以“等差椭圆”的离心率为.
（2）（i）解：若椭圆是“等差椭圆”，且，
由，得，
则，，
解得，
所以，椭圆，抛物线，
易知与椭圆和抛物线都相切的直线斜率存在且不为0，
设直线方程为：，
联立
消去y，得，
则，
得，①
联立
消去，得，
则，
得，②
联立①②，解得或
则与椭圆和抛物线都相切的直线方程为或.
（ii）证明：设直线l与椭圆相交于，，
线段CD的中点，
则，，
两式相减，得，
所以，
则，
由，，所以，
则，所以，
联立得，
因为，所以，
则
所以，中点的坐标为，
可得，
则，为定值.
【知识点】椭圆的简单性质；抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据等差椭圆的定义和等差中项公式以及，则构造齐次式，再利用等差椭圆的离心率公式得出“等差椭圆”的离心率.
（2）（ⅰ）设出切线方程，分别联立椭圆方程和抛物线方程，再利用判别式法得出与椭圆和抛物线都相切的直线的方程.
（ⅱ）联立直线l方程和椭圆方程和中点的性质，再利用两点求斜率公式结合点差法，从而求出的值，联立直线l方程和抛物线方程结合韦达定理、中点坐标公式，从而求出点坐标，再利用两点求斜率公式证出直线OM，ON（O为原点）的斜率之积为定值.
（1）设椭圆的半焦距为c，
因为长半轴、短半轴、半焦距成等差数列，所以，
又，所以，则，
两边同时除以，得，解得（舍去）.
所以“等差椭圆”的离心率为.
（2）（ⅰ）解：若是“等差椭圆”，且，
则由，得，则，，解得.
故，.
易知与和都相切的直线斜率存在且不为0，设方程为：.
联立消去y得，
则，得；①
联立消去得，
则，得，②
联立①②，解得或
故和都相切的直线方程为或.
（ⅱ）证明：设l与相交于，，
线段CD的中点，则，，
两式相减，得，
所以，即，
由已知，，所以，
即，则
联立得，
又，则，
故，
所以中点的坐标为，可得，
所以，为N定值.
1 / 1重庆市礼嘉中学校2025-2026学年高三下学期适应性考试一数学试题
1．已知集合，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】交集及其运算；一元二次不等式及其解法；其他不等式的解法
【解析】【解答】解：解不等式，可得，即集合，
解不等式，可得或，又因为，所以集合，
则.
故答案为：C.
【分析】分别解一元二次不等式和绝对值不等式求得集合A，B，再根据集合的交集运算求解即可.
2．“”是“”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；一元二次不等式及其解法；其他不等式的解法
【解析】【解答】解：不等式，即，解得，
由，
因为是的真子集，
所以是成立的充分不必要条件.
故答案为：A.
【分析】分别解一元二次不等式和分式不等式，再利用集合之间的包含关系，结合充分、必要条件的定义判断即可.
3．已知复数z是方程的根，则（　　）
A． B． C．2 D．3
【答案】B
【知识点】复数的模；方程的解与虚数根
【解析】【解答】解：因为方程的判别式，
所以该方程有虚数根，所以，
则.
故答案为：B.
【分析】利用求根公式求方程的虚根，再根据复数模长公式求解即可.
4．已知数列与均为等差数列，且，，则（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【知识点】等差数列的性质
【解析】【解答】解：因为，，
所以，
则，
根据等差数列的性质，可知，
所以.
故答案为：B.
【分析】根据已知条件和等差数列的性质，从而得出的值.
5．已知函数为增函数，则的最小值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数单调性的性质；函数的最大（小）值；对勾函数的图象与性质
【解析】【解答】解：由对勾函数的单调性可知，函数在区间上单调递减，在上单调递增，因为函数在上为增函数，所以函数在上为增函数，
则，即，
又因为函数在上为增函数，且函数在上为增函数，
则，因，所以，解得，
故实数的取值范围是，即的最小值为.
故答案为：C.
【分析】根据分段函数的单调性，结合对勾函数的单调性以及一次函数单调性，列关于实数的不等式组，求解即可.
6．已知，则（　　）
A．1 B． C． D．2
【答案】C
【知识点】两角和与差的正弦公式；二倍角的正弦公式
【解析】【解答】解：由，
可得.
故答案为：C.
【分析】由题意可得，利用二倍角公式以及和差角公式化简求解即可.
7．如图1的“方斗”古时候常作为一种容器，有如图2的方斗杯，其形状是一个上大下小的正四棱台，，，现往该方斗杯里加水，当水的高度是方斗杯高度的一半时，水的体积为74，则该方斗杯可盛水的总体积为（　　）
A．148 B． C． D．196
【答案】D
【知识点】台体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：设线段，，，的中点分别为，，，，如下图所示：
易知四边形为等腰梯形，
因为线段，的中点分别为，，
所以，
设棱台的高为，体积为，
则棱台的高为，
设其体积为，
则，，
所以，
则该方斗杯可盛水的总体积为.
故答案为：D.
【分析】根据已知条件和中点的性质判断出四边形为等腰梯形，再利用中点的性质和棱台的体积公式，从而得出的值，进而得出该方斗杯可盛水的总体积.
8．已知函数的定义域为，任意给定，都存在，使得，则不可能为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：A、函数定义域为，
取，，即，故A可能；
B、定义域为，
取，，即，故B可能；
C、定义域为，
由，
构造函数，，，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，最小值，且当时，，即存在，使得，即，
也即存在，使得，故C可能；
D、定义域为，由得，
取，方程为，
当时，不成立，当时，两边取对数得，
即，因为，显然此方程无解，
综上可知：当时，不存在满足条件，故D不可能.
故答案为：D.
【分析】求函数的定义域，分别其和代入求解即可判断AB；求函数的定义域，由可得，构造函数，求导，利用导数判断函数的单调性，求最值，确定方程有解即可判断C；求函数的单调性，由得，取，通过和分析方程无解，即可判断D.
9．下列说法正确的是（　　）
A．随机事件A，B相互独立的充要条件是
B．设X为随机变量，则
C．，则，
D．若，记函数，，则的图象关于点对称
【答案】A,B,D
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；离散型随机变量的期望与方差；二项分布；正态密度曲线的特点；离散型随机变量的方差
【解析】【解答】解：A、先证必要性：若相互独立，则，
所以，
再证充分性：若，则，
所以，即，说明与相互独立，
所以随机事件A，B相互独立的充要条件是，故A正确；
B、由于，则，
即，即，故B正确；
C、由，则，，故C错误；
D、因为，记函数，，
所以对任意，有，
由正态分布的对称性：，
因此，
即的图象关于点对称，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】根据随机事件的独立性，结合充分、必要条件的定义即可判断A；根据随机变量的方差与期望的关系即可判断B；根据二项分布的期望与方差公式求解即可判断C；根据正态分布的对称性求解即可判断D.
10．如图，在正三棱柱中，点P，Q，M，N分别是，，，BC的中点，则下列说法中正确的有（　　）
A．平面ABC B．
C．平面 D．PQ与MN相交
【答案】A,C,D
【知识点】异面直线的判定；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定
【解析】【解答】解：A、取的中点D，连接，，
在中，因为P，D分别为，中点，所以，且，
在直三棱柱中，，，
又因为Q为棱的中点，所以，且，
所以，，四边形为平行四边形，从而，
又因为平面，平面，所以平面，故A正确；
B、因为为的中点，若，则，
连接，为的中点，则，又平面，
所以平面，平面，
所以，设，，
则，，
所以，，与矛盾，所以不成立，故B错误；
C、在直三棱柱中，平面，
又平面，，，D为中点，，
由选项A的推理知，，，
又，平面，平面，
所以平面，故C正确；
D、因为为的中点，四边形为矩形，
所以点为的中点，又为的中点，所以，且，
又分别为的中点，所以，，所以，，
所以四边形为平行四边形，故与相交，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】取的中点D，连接，，利用中位线的性质证明，结合线面平行判定定理证明平面，即可判断A；若，则，连接，为的中点，证明，设，，求，推出矛盾即可判断B；结合选项A的推理，根据线面垂直判定定理证明平面 即可判断C；证明，，由此即可判断D.
11．曲线C：（）是优美的封闭曲线，其围成的面积记为，M是C与y轴正半轴的交点，过原点O的直线交C于点A，B，则（　　）
A．
B．
C．当时，的最大值是
D．当时，
【答案】A,C,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：当时，曲线C：，即，
当时，，即，
当时，曲线C：，
当时，，即，这是一个顶点为和的直线段，
在区间内，由于，，
则当时的图象比时更靠近坐标轴，，故A正确；
当时，曲线C：，即，其面积为，
当时，曲线C：，
当时，，即，
在区间内，由于，，进而有，
故时其图像在单位圆的外部， 故，故B错误；
当时，曲线C：，易知，
由对称性可设，，则，，
当时，，即，代入上式得，对称轴为，则的最大值为，故C正确；
当时，曲线C：，即，
当时，，即，
令，则，
，
设，则，
易知，令，解得，
故在上单调递增，在上单调递减，
故当时，，，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】分别令和，求得曲线围成的面积，即可判断A；分别令和，求得曲线围成的面积，即可判断B；当时，曲线C：，易知，由对称性可设，，利用向量的数量积运算，结合二次函数的性质求解即可判断C；当时，曲线C：，当时，利用换元法，结合向量的数量积运算可得，求导，利用导数判断函数的单调性，求最值，得的范围即可判断D.
12．已知单位向量，满足，则　 　.
【答案】
【知识点】数量积表示两个向量的夹角；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【解答】解：，
又，为单位向量，故，解得，
又因为，所以.
故答案为：.
【分析】根据向量垂直数量积为零，结合向量的夹角公式求解即可.
13．已知等差数列的公差不为0，，且成等比数列，则的前项和的最大值为　 　．
【答案】36
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等比中项
【解析】【解答】解：设等差数列公差为，
由成等比数列，可得，
因为，所以，所以。
由。
则的前项和取得最大值，且.
故答案为：.
【分析】设等差数列公差为，根据等比中项，结合等差数列的通项求得公差，确定数列的通项公式，再根据确定最大时的值，最后利用等差数列的求和公式求即可.
14．双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，以为直径的圆与在第一象限的交点为，若直线与的一条渐近线平行，则的离心率为　 　.
【答案】
【知识点】双曲线的定义；双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：因为以为直径的圆与在第一象限的交点为，所以，
由直线与的一条渐近线平行可得，，
由双曲线定义可得，，得，所以，
由，可得，
则，整理得，
，，则离心率.
故答案为：.
【分析】由题意可得，根据直线与的一条渐近线平行，结合渐近线斜率得到焦半径比例可得，即，再利用双曲线定义和勾股定理联立求解得到关系，根据双曲线的离心率公式求解即可.
15．已知函数．
（1）若是奇函数，求；
（2）当时，的所有正零点从小到大排列构成数列，求的前项和．
【答案】（1）解：函数的定义域为，因为函数为奇函数，所以，所以，解得，
经检验，是奇函数，所以；
（2）解：当时，函数，
令，则，即或，
解得或，
令，，
，，
又因为，，
所以，
所以．
【知识点】函数的奇偶性；等差数列的性质；数列与函数的综合；二倍角的正弦公式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【分析】（1）求函数的的定义域，根据函数为奇函数，可得，求得的取值，再利用奇函数的定义检验即可；
（2）当时，函数，令，得，可得出或， 解出的表达式，令，，可得出，再利用等差数列的求和公式求解即可.
（1）解法一：因为为奇函数，所以，
即恒成立．
得恒成立，
所以恒成立，
所以恒成立，所以，解得．
解法二：因为为上的奇函数，所以，
所以，解得，
经检验，是奇函数，所以．
（2）解法一：因为，所以，
令，则，
所以或，
解得或，
令，，
所以，，
又因为，故，
所以，
所以．
解法二：因为，所以，
令，则，
所以，所以或，
所以或，
解得或，
令，，
所以，，
又因为，故，
所以，
所以．
解法三：因为，所以，
因为，所以是的一个周期，
当时，令，则，
所以，所以或，
当时，解得，
所以在区间的零点之和为，
令，
，
所以，
且，
则是以为首项，为公差的等差数列，
所以．
16．已知函数．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若，求的取值范围．
【答案】（1）解：函数的定义域为，，
当时，，，，
则曲线在点处的切线方程为，即；
（2）解：当时，，在单调递增，此时存在，使，
不符合题意，舍去；
当时，显然成立；
当时，令，得，令，得；
所以在单调递减，在单调递增，
所以，解得，
综上所述，的取值范围为．
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）求函数的定义域，求导，利用导数的几何意义，结合点斜式求切线方程即可；
（2）分、和，利用导数判断函数的单调性，求最值，即可得实数的取值范围.
17．四棱柱的底面ABCD是菱形，且，，侧面是矩形，且M是的中点.
（1）求证：平面平面；
（2）若平面与平面ABCD所成二面角的平面角为，，求直线与平面MAB所成角的正弦值.
【答案】（1）证明：因为菱形，，，
由棱柱得平面平面，所以，
因为是 中点，所以，
在 中，由余弦定理，
可得，解得，
则，即 ，即
因为侧面是矩形，
由，都在平面内，可得平面，
因为，平面，所以平面 ，
因为平面，所以平面 平面；
（2）解：取的中点，连接，
因为分别为的中点，，且，
所以四边形为平行四边形，所以
因为侧面是矩形，所以，
则平面与平面所成二面角的平面角为，过点作，
因为平面平面，平面平面，
由，所以平面，
因为，则，，
以为坐标原点，为轴，为轴，过作的平行线为轴建立空间直角坐标系，如图所示：
所以，，，，
所以，
，，
设平面MAB的一个法向量为，
则，取，可得，
设与平面MAB所成角为，则，
即直线与平面MAB所成角的正弦值为.
【知识点】平面与平面垂直的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）由四边形菱形为菱形，在 中，利用余弦定理求得，根据边长关系可得，结合线面垂直的判定定理证明平面，最后利用面面垂直的判定定理证明即可；
（2）取的中点，连接，可得平面与平面ABCD所成二面角的平面角为，过点作，可得平面，以为坐标原点，为轴，为轴，过作的平行线为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解即可.
（1）因为菱形，，
由棱柱得平面平面，
所以。
因为是 中点，所以，
由于在 中：，
所以，解得：，
则
所以 ，即
因为侧面是矩形，
由，都在平面内，
平面，
因为，平面，
平面
因为平面，
平面 平面.
（2）取的中点，连接
因为分别为的中点，，且，
所以四边形为平行四边形，
所以
因为侧面是矩形，所以，
则平面与平面所成二面角的平面角为，
过点作，
因为平面平面，平面平面，
由，所以平面，
因为，则，，
以为坐标原点，为轴，为轴，过作的平行线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
所以，，，，
所以，
，，
设平面MAB的一个法向量为，
则，取，则，
设与平面MAB所成角为，
则
18．某盲盒商店调查数据显示，顾客一次性购买某种文创盲盒数量的分布列为
其中，．
（1）当时，求顾客一次性购买该种文创盲盒数量的平均值；
（2）已知该种文创盲盒分为封面款与非封面款两类，且每个盲盒为封面款的概率为，每个盲盒是否为封面款相互独立．若顾客一次性购买的盲盒中，封面款的数量大于非封面款的数量，则称此顾客为幸运客户．现从顾客中随机选取一人．
（i）求该顾客为幸运客户的概率；
（ii）若该顾客是幸运客户，他购买的盲盒全部是封面款的概率不超过，求的取值范围．
【答案】（1）解：由题可知，， 化简可得 ，
当时，，则，
即顾客一次性购买文创盲盒数量的平均值为；
（2）解：（i）设事件“一次性购买个文创盲盒”，事件“顾客为幸运客户”，
则，，，，
依题意，得，，
因为每个盲盒是否为封面款相互独立，
所以，，
又由题意知，，且、、、两两互斥，
所以，
由（1）得，，代入化简可得，则，；
（ii）设事件“一次性购买的文创盲盒全部是封面款”，
依题意，得，且，、、两两互斥，
所以，
由（i）得，，
所以幸运客户中，一次性购买的文创盲盒全部是封面款的概率为，
由题意，可得，解得，
又因为，所以．
【知识点】离散型随机变量的期望与方差；全概率公式；条件概率
【解析】【分析】（1）根据概率的性质可得，化简求得，再利用期望公式求解即可；
（2）（i）设事件“一次性购买个文创盲盒”，事件“顾客为幸运客户”，求出、利用条件概率求，最后利用全概率公式可得的表达式及的取值范围；
（ii）设事件“一次性购买的文创盲盒全部是封面款”， 求得，利用全概率公式求出的值，利用条件概率公式结合可得出关于的不等式，结合可得出的取值范围.
（1）由题可知，， 化简可得 ，
当时，，则，
即顾客一次性购买文创盲盒数量的平均值为．
（2）（i）设事件“一次性购买个文创盲盒”，事件“顾客为幸运客户”，
则，，，．
依题意，得，，
因为每个盲盒是否为封面款相互独立，
所以，，
又由题意知，，且、、、两两互斥，
所以，
由（1）得，，代入化简可得，
所以，；
（ii）设事件“一次性购买的文创盲盒全部是封面款”，
依题意，得，且，、、两两互斥，
所以，
由（i）得，，
所以幸运客户中，一次性购买的文创盲盒全部是封面款的概率为
，
由题意，可得，解得，
又因为，所以．
19．如图所示，由椭圆（）和抛物线（）组合成曲线，若与存在共同焦点，由图形特点，它们的形状像收回四条腿的七星瓢虫，这里称曲线为“七星瓢虫曲线”.特别地，若椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距成等差数列，则称其为“等差椭圆”.
（1）求“等差椭圆”的离心率；
（2）在“七星瓢虫曲线”中，若是“等差椭圆”，且.
（ⅰ）求与和都相切的直线的方程；
（ⅱ）直线（），且l与相交所得弦的中点为M，与相交所得弦的中点为N，证明：直线OM，ON（O为原点）的斜率之积为定值.
【答案】（1）解：设椭圆的半焦距为c，
因为长半轴、短半轴、半焦距成等差数列，所以，
又因为，所以，
则，
两边同时除以，得，
解得（舍去），
所以“等差椭圆”的离心率为.
（2）（i）解：若椭圆是“等差椭圆”，且，
由，得，
则，，
解得，
所以，椭圆，抛物线，
易知与椭圆和抛物线都相切的直线斜率存在且不为0，
设直线方程为：，
联立
消去y，得，
则，
得，①
联立
消去，得，
则，
得，②
联立①②，解得或
则与椭圆和抛物线都相切的直线方程为或.
（ii）证明：设直线l与椭圆相交于，，
线段CD的中点，
则，，
两式相减，得，
所以，
则，
由，，所以，
则，所以，
联立得，
因为，所以，
则
所以，中点的坐标为，
可得，
则，为定值.
【知识点】椭圆的简单性质；抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据等差椭圆的定义和等差中项公式以及，则构造齐次式，再利用等差椭圆的离心率公式得出“等差椭圆”的离心率.
（2）（ⅰ）设出切线方程，分别联立椭圆方程和抛物线方程，再利用判别式法得出与椭圆和抛物线都相切的直线的方程.
（ⅱ）联立直线l方程和椭圆方程和中点的性质，再利用两点求斜率公式结合点差法，从而求出的值，联立直线l方程和抛物线方程结合韦达定理、中点坐标公式，从而求出点坐标，再利用两点求斜率公式证出直线OM，ON（O为原点）的斜率之积为定值.
（1）设椭圆的半焦距为c，
因为长半轴、短半轴、半焦距成等差数列，所以，
又，所以，则，
两边同时除以，得，解得（舍去）.
所以“等差椭圆”的离心率为.
（2）（ⅰ）解：若是“等差椭圆”，且，
则由，得，则，，解得.
故，.
易知与和都相切的直线斜率存在且不为0，设方程为：.
联立消去y得，
则，得；①
联立消去得，
则，得，②
联立①②，解得或
故和都相切的直线方程为或.
（ⅱ）证明：设l与相交于，，
线段CD的中点，则，，
两式相减，得，
所以，即，
由已知，，所以，
即，则
联立得，
又，则，
故，
所以中点的坐标为，可得，
所以，为N定值.
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