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四川南充市南部县第二中学2025-2026 学年度下八年级期中学情诊断数学试题
1．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列各组数中，是勾股数的是（　　）
A．0.3，0.4，0.5 B．1，，
C．8，15，17 D．5，10，13
3．在中，，如果，，那么的长是（　　）．
A．10 B． C．10或 D．7
4．若顺次连接某四边形的各边中点得到一个平行四边形，那么这个四边形一定是（ ）
A．平行四边形 B．矩形
C．对角线相等的四边形 D．任意四边形
5．下列关于变量x与y关系的图形中，能够表示“y是x的函数”的是（　　）
A． B．
C． D．
6．小美同学按如下步骤作四边形：①画；②以点为圆心，个单位长为半径画弧，分别交，于点，；③分别以点，为圆心，个单位长为半径画弧，两弧交于点；④连接，，．若，则的大小是（　　）
A． B． C． D．
7．函数的自变量取值范围是（　　）
A． B． C． D．且
8．如图所示，在中，的平分线交于点D，E为线段上一动点，F为边上一动点，若，，，则的最小值为（　　）
A．4 B． C．5 D．
9．如图，已知长方形中，，，点E为AD的中点，若点P在线段AB上以的速度由点A向点B运动．同时，点Q在线段BC上由点C向点B运动，若与全等，则点Q的运动速度是（　　）
A．6或 B．2或6 C．2或 D．2或
10．若，则的值为　 　．
11．若点在函数的函数图象上，则　 　．
12．在菱形中，，则菱形的周长为　 　．
13．如图，已知△ABC 中，∠ABC＝90°，以△ABC的各边为边，在△ABC外作三个正方形，S1，S2，S3分别表示这三个正方形的面积，若S1＝81，S2＝225，则BC＝　 　．
14．若，则的值为　 　．
15．如图，在等腰中，，，以为直角边作等腰，以为直角边作等腰，，则的长度为　 　．
16．计算：
（1）
（2）
17．如图，在四边形中，，，，．
（1）求的度数；
（2）求四边形的面积．
18．已知某正多边形的一个内角比与它相邻外角的4倍还多．
（1）求这个正多边形一个内角的度数；
（2）求这个正多边形的内角和．
19．如图，甲、乙两人于某日下午从P地前往Q地，图中的折线和线段分别表示甲与乙所行驶的路程s和时间t的关系.根据图象回答下列问题：
（1）两地相距______千米；
（2）甲出发______小时后，乙才开始出发；
（3）甲在段路程中的平均速度是______千米/小时；乙的平均速度是______千米/小时；
（4）根据图象上的数据，乙出发后经过多少小时追上甲．
20．如图，在中，对角线与相交于点，．
（1）求证：；
（2）若，求的面积．
21．在解决问题“已知，求的值”时，小明是这样分析与解答的：
，
，
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
（1）化简：；
（2）若，求的值．
22．图1是浙江某高科技公司生产的一款高清球机，它能进行全方位监控与拍摄，夜间的监控距离为．图2中，射线，是两条相交的公路，，将图1的球机安装在公路上的A处，．
（1）求该球机夜间在公路上所能监控到的部分的长度；
（2）将该球机安装到A处右侧多少距离外，夜间将监控不到公路上的事物？
23．如图，在四边形中，，，，，若动点从点出发，以的速度沿线段向终点运动；同时动点从点出发以的速度沿向终点运动．当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动设运动时间为回答下列问题：
（1） ，
（2）当 时，四边形为平行四边形；
（3）如图，若四边形变为平行四边形，，动点从点出发，以的速度沿线段向终点运动；同时动点从点出发以的速度在边上做往返运动，当点到达点时停止运动（同时点也停止运动）．设运动时间为．当为何值时，以，，，四点为顶点的四边形是平行四边形？
24．如图1，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别是和，连接，以线段为边向右侧作菱形，且，点在轴上．
（1）填空：点的坐标为 ， 度．
（2）连接，点是线段上一动点，点在轴上，且．过点作的平行线，过点作的平行线，两线相交于点．
①如图2，当时，求的长度；
②求证：四边形是菱形．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】最简二次根式；二次根式的加减法；算术平方根的概念与表示
【解析】【解答】A．和不是同类二次根式，不能合并，故本选项错误，不符合题意；
B.负数没有算术平方根，故本选项错误，不符合题意；
C.5和不是同类二次根式，不能合并，故本选项错误，不符合题意；
D．，故本选项正确，符合题意．
故选：D．
【分析】根据合并同类二次根式的法则、算术平方根的定义、二次根式的化简，逐项进行判断，即可得出答案.
2．【答案】C
【知识点】勾股数
【解析】【解答】A 、0.3，0.4，0.5 均不为整数，所以不可组成勾股定理，不符合题意；
B、 1，， 不是整数，所以不可组成勾股定理，不符合题意；
C、 8，15，17 ，82+152=172符合勾股数，符合题意；
D、 5，10，13 ，52+102≠132，不符合勾股数，不符合题意。
故答案为：C.
【分析】根据勾股定理逆定理，判断是否符合勾股数两小边的平方和等于第三边的平方，即可得出答案。
3．【答案】B
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：，，，
，
故选：B
【分析】直接利用勾股定理进行计算，即可得出答案．
4．【答案】D
【知识点】三角形的中位线定理；中点四边形模型
【解析】【解答】解：如图，四边形为，各边中点依次为、、、，
∴是的中位线，
故且；
同理：且；
∴且，
∴四边形为平行四边形，
故答案为：D．
【分析】本题核心考查三角形中位线定理与中点四边形的性质。关键在于理解无论原四边形是凸、凹、不规则，甚至非凸，只要它是四边形，顺次连接各边中点所形成的图形，必可通过构造三角形中位线，证明其对边平行且相等，从而判定为平行四边形。选项A、B、C都限定了特定条件（如平行、矩形、对角线相等），而题干中“一定”二字指向的是普遍成立的情形，因此只有“任意四边形”满足逻辑。解题突破口在于“中位线定理+对角线辅助线”的标准构造法。
5．【答案】D
【知识点】函数的概念
【解析】【解答】解：A、对于自变量x的每一个值，因变量y不是都有唯一的值与它对应，所以不能表示y是x的函数，故A不符合题意；
B、对于自变量x的每一个值，因变量y不是都有唯一的值与它对应，所以不能表示y是x的函数，故B不符合题意；
C、对于自变量x的每一个值，因变量y不是都有唯一的值与它对应，所以不能表示y是x的函数，故C不符合题意；
D、对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，所以能表示y是x的函数，故D符合题意；
故选：D．
【分析】根据函数的定义即可求出答案.
6．【答案】C
【知识点】菱形的判定与性质；尺规作图-直线、射线、线段
【解析】【解答】解：作图可得
∴四边形是菱形，
∴
∵，
∴，
∴，
故答案为：C．
【分析】根据作图过程得AB=AD=BC=CD，由四边相等的四边形是菱形得出四边形ABCD是菱形，由菱形对边平行得AD∥BC，由二直线平行，同旁内角互补得出∠ABC=136°，最后根据菱形的每一条对角线平分一组对角得出∠CBD的度数.
7．【答案】D
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有无意义的条件；函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：由题意得，x-1≥0，且x-2≠0，
解得：且，
故答案为：D．
【分析】利用分式有意义的条件（分母不为0）和二次根式有意义的条件（被开方数大于等于0）列出不等式组求解即可.
8．【答案】B
【知识点】垂线段最短及其应用；三角形全等及其性质；勾股定理的逆定理；三角形全等的判定-SAS；等积变换
【解析】【解答】解：如图，在边上取点G使，连接，过点A作于点H，
∵的平分线交于点D，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
当点A，E，G三点共线时，取得最小值，最小值为的长，
在中，，，，
∴，
∴为直角三角形，且，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：B．
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理、面积法、最短路径模型，是几何综合能力的典型考查．核心是利用轴对称（或全等转化）将折线AE + EF转化为直线段AG，再结合“两点之间线段最短”确定最小值路径。在BC上构造点G使BG = BF，利用角平分线+全等（△EBF ≌ △EBG），将EF转化为EG；得到AE + EF = AE + EG，当A-E-G共线时取最小值，即垂线段AH；利用勾股定理逆定理证△ABD为直角三角形，进而证△ABD ≌ △CBD，得出BC = AB = 5；最后通过面积法建立等式求出AH = 。
9．【答案】A
【知识点】正方形的性质；二元一次方程组的应用-几何问题；四边形-动点问题；分类讨论
【解析】【解答】解：∵ABCD是长方形，
∴∠A=∠B=90°，
∵点E为AD的中点，AD=8cm，
∴AE=4cm，
设点Q的运动速度为x cm/s，
分两种情况讨论：
①经过y秒后，△AEP≌△BQP，则AP=BP，AE=BQ，
∴，
解得，，
即点Q的运动速度cm/s时能使两三角形全等；
②经过y秒后，△AEP≌△BPQ，则AP=BQ，AE=BP，
，
解得：，
即点Q的运动速度6cm/s时能使两三角形全等，
综上所述，点Q的运动速度或6cm/s时能使两三角形全等．
故选：A．
【分析】设Q运动的速度为x cm/s，分两种情况讨论：△AEP≌△BQP，AP=BP、AE=BQ或△AEP≌△BPQ，AP=BQ，AE=BP，分别列出方程组，解方程组求出y的值，即可得出答案．
10．【答案】
【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵，，，
∴，
解得：，
∴，
故填：．
【分析】利用非负数的性质得出，求出a，b的值，再代入进行计算，即可得出答案．
11．【答案】3
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：点在函数的图象上，
，
∴，
故填：3.
【分析】将点代入解析式，得出，求出k的值，即可得出答案.
12．【答案】20
【知识点】勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵在菱形中，，
∴，，，
，
∴菱形的周长为．
故答案为：20．
【分析】本题核心考查菱形的性质与勾股定理的综合应用。菱形的两条对角线互相垂直且平分；对角线交点将菱形分割为四个全等的直角三角形，可借助直角三角形求边长；求出一边长后，乘以4即得周长。
13．【答案】12
【知识点】勾股定理；求算术平方根；勾股树模型
【解析】【解答】解：∵∠ABC=90°，
∴由勾股定理得，AC2+BC2＝AB2，
∵，，，
∴，
∴，
∴BC=12
故答案为：12．
【分析】本题核心考查勾股定理及其在几何图形中的实际应用。关键是理解“以三角形三边为边作正方形”时，正方形面积等于对应边长的平方，从而将面积关系转化为边长平方关系。题中∠ABC = 90°，说明 AB 与 BC 为直角边，AC 为斜边，因此满足 AB2 + BC2 = AC2，即 S1 + S3 = S2。通过代入已知面积可反推 BC2，再开方得边长。同时注意：求边长时必须取算术平方根（正值），避免误选负值。
14．【答案】2025
【知识点】二次根式有无意义的条件；二次根式的性质与化简；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵有意义，
∴，
∴，
，
，
，
，
故答案为：2025．
【分析】
根据二次根式有意义的条件：被开方数≥0，可得：，即得到m的取值范围m≥2025，即可得：2021-m＜0，再根据绝对值的性质可知：，再结合，可得：，两边平方可得：，然后整体代入计算即可得到答案．
15．【答案】
【知识点】等腰直角三角形；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；探索规律-数列中的规律
【解析】【解答】解：在等腰中，，，
，，
以为直角边作等腰，
，，
以为直角边作等腰，
，，
以为直角边作等腰，
，，
以为直角边作等腰，
，，
以为直角边作等腰，
，
，
…
的长度为：，
故答案为：.
【分析】本题属于图形递推+规律探索型几何题，核心考查等腰直角三角形的定义、勾股定理和图形类规律探索：等腰直角三角形的性质：两直角边相等，斜边 = 直角边 ×；递推关系建立：每一新三角形都以前一段斜边作为新直角边，因此每步长度乘以；指数规律归纳：从 OA1 =开始，公比为 的等比数列，通项为。
16．【答案】（1）解：原式；
（2）解：原式.
【知识点】完全平方公式及运用；负整数指数幂；二次根式的加减法；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）先将所有二次根式化简为最简二次根式，然后再合并同类二次根式，即可得出答案；
（2）先根据二次根式的除法法则，完全平方公式，负整数指数幂的运算法则进行计算，然后再合并同类项，即可得出答案.
（1）解：原式
（2）解：原式
.
17．【答案】（1）解：∵，，∴为等腰直角三角形，
由勾股定理：，
∵，，
∴，
∴为直角三角形，；
（2）解：．
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理及其逆定理，证明是直角三角形是解答本题的关键．
(1)通过连接对角线AC，将四边形拆分为两个三角形，先在△ABC中利用已知直角和等边求出AC长，再在△ACD中验证三边关系，发现满足“两短边平方和等于最长边平方”，从而判定△ACD为直角三角形，且直角在A点，即得∠DAC = 90°。
(2)利用“分割法”求面积——将四边形拆成两个直角三角形，分别计算面积后相加。
（1）解：∵，，
∴为等腰直角三角形，
由勾股定理：，
∵，，
∴，
∴为直角三角形，；
（2）解：．
18．【答案】（1）解：设这个正多边形的一个内角的度数为，
∵内角与相邻外角之和为，
∴相邻外角为，
根据题意，得，
解得：，
∴这个正多边形一个内角的度数为；
（2）解：∵正多边形一个内角的度数为，
∴每个外角为，
∵正多边形的外角和为，
∴边数，
∴内角和为，
∴这个正多边形的内角和为．
【知识点】多边形内角与外角；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）设这个正多边形的一个内角的度数为，得出相邻外角为，根据题意列出方程，解方程求出x的值，即可得出答案；
（2）根据正多边形的性质求出每个外角的度数，再求出正多边形的边数，然后利用多边形内角和公式进行计算，即可得出答案．
（1）解：设这个正多边形的一个内角的度数为，
∵内角与相邻外角之和为，
∴相邻外角为，
根据题意，，
解得：，
∴这个正多边形一个内角的度数为；
（2）解：每个外角为，
∵正多边形的外角和为，
∴边数，
内角和为，
∴这个正多边形的内角和为．
19．【答案】（1）50
（2）1
（3）10，50
（4）解：设乙出发后经过t小时追上甲，依题意得，，
解得，
∴乙出发后经过0.5小时追上甲．
【知识点】函数的图象；通过函数图象获取信息；列一元一次方程
【解析】【解答】解：（1）乙2时出发，3时行驶50千米到达了Q地，所以两地相距50千米．
故答案为：50；
（2）甲1时出发，乙2时出发，所以甲出发1小时后，乙才开始出发．
故答案为：1；
（3）甲2时走到了20千米，4时走了40千米，
所以段路程中的平均速度是（千米/小时）；
乙的平均速度是（千米/小时）．
故答案为：10，50；
【分析】本题考查的是路程-时间图像（s-t 图像）的实际应用，本质是函数图象和一元一次方程。
（1）图像终点纵坐标，即全程距离，直接读取为 50 千米。
（2）比较甲（从 t=0 出发）与乙（从 t=1 出发）的出发时间差，得出“甲早出发 1 小时”。
（3）BC 段为甲的匀速阶段，取两点坐标计算速度；EF 段为乙的全程，起点 s=0，终点 s=50，时间跨度 1 小时，速度为 50 km/h。
（4）追及问题，核心等量关系：相遇时两人路程相等。乙出发时，甲已在前方 20 km，之后甲以 10 km/h 行驶，乙以 50 km/h 行驶，列方程即可求解。
（1）乙2时出发，3时行驶50千米到达了Q地，所以两地相距50千米．
故答案为：50；
（2）甲1时出发，乙2时出发，所以甲出发1小时后，乙才开始出发．
故答案为：1；
（3）甲2时走到了20千米，4时走了40千米，
所以段路程中的平均速度是（千米/小时）；
乙的平均速度是（千米/小时）．
故答案为：10，50；
（4）解：设乙出发后经过t小时追上甲，依题意得，
，
解得，
∴乙出发后经过0.5小时追上甲．
20．【答案】（1）证明：，
，
四边形是平行四边形，
平行四边形是菱形，
；
（2）解：∵四边形是菱形，，
，，
，
在中，，
，
，
．
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；菱形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据等角对等边得出，再根据菱形的判定定理证出平行四边形是菱形，然后根据菱形的性质，即可证出；
（2）根据菱形的性质得出，，利用勾股定理求出=6，得出BD=12，然后根据菱形的面积公式进行计算，即可得出答案．
（1）证明：，
，
四边形是平行四边形，
平行四边形是菱形，
；
（2）解：由（1）可知，是菱形，，
，
，
在中，，
，
，
，
．
21．【答案】（1）解：；
（2）解：∵，∴，
∴，则，
∴，
∴．
【知识点】完全平方公式及运用；分母有理化；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）利用平方差公式把分母有理化即可；
（2）把a分母有理化化简，整理得到，即可得到，然后整体代入计算解题．
（1）解：；
（2）解：∵，
∴，
∴，则，
∴，
∴．
22．【答案】（1）解：过A作于点H，在上取点P，使，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴该球机夜间在公路上所能监控到的部分的长度为；

（2）解：设该球机安装到A处右侧处，如图，作于点，
由题意知，当时，夜间将监控不到公路上的事物．
∵，，
，
，
答：将该球机安装到A处右侧外，夜间将监控不到公路上的事物.
【知识点】垂线段最短及其应用；等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理
【解析】【分析】（1）作于点H，在上取点P，使，得出为能监控到的长度，根据含30度角的直角三角形的性质得出AH的长，根据勾股定理得出PH的长，从而得出的长，即可得出答案；
（2）根据垂线段最短可知，当点A到的距离等于时，夜间将监控不到公路上的事物，设该球机安装到A处右侧处，作于点，根据含30度角的直角三角形的性质得出的长，从而得出的长，即可得出答案．
．
（1）解：作于点H，在上取点P，使．
∵，，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴该球机夜间在公路上所能监控到的部分的长度为．
（2）解：设该球机安装到A处右侧处，如图，作于点，
由题意知，当时，夜间将监控不到公路上的事物．
∵，，
，
．
答：将该球机安装到A处右侧外，夜间将监控不到公路上的事物．
23．【答案】（1）；；
（2）；
（3）解：∵四边形是平行四边形，
∴，即，
若以，，，四点组成的四边形是平行四边形，则，
当时，，，
∴，
解得（不合题意，舍去）；
当时，，，
∴，
解得；
当，，，
∴，
解得；
当时，，，
∴，
解得；
综上可得：的值为或或时，以，，，四点为顶点的四边形是平行四边形．
【知识点】二次根式有无意义的条件；平行四边形的性质；一元一次方程的实际应用-几何问题；四边形-动点问题；分类讨论
【解析】【解答】解：（1）∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
故填：6；8；
（2）根据题意，得，，则．
∵，即，
∴当时，四边形为平行四边形，
即，
解得．
故当时，四边形为平行四边形，
故填：2.4；
【分析】（）利用二次根式有意义的条件得出a的值，再代入求出b的值，即可得出答案；
（）根据题意得出，，，由于，得出当时，四边形为平行四边形，根据列出关于的方程，解方程求出x的值，即可得出答案；
（）根据平行四边形的性质得出当时以，，，四点组成的四边形是平行四边形，分四种情况讨论：，，，，分别列出方程，解方程求出t的值，即可得出答案．
（1）解：由，
∵，
∴，
∴，
∴，；
（2）解：根据题意，得，，则．
∵，即，
∴当时，四边形为平行四边形，
即，
解得．
故当时，四边形为平行四边形；
（3）解：∵四边形是平行四边形，
∴，即，
若以，，，四点组成的四边形是平行四边形，则，
当时，，，
∴，
解得（不合题意，舍去）；
当时，，，
∴，
解得；
当，，，
∴，
解得；
当时，，，
∴，
解得；
综上可得：的值为或或时，以，，，四点为顶点的四边形是平行四边形．
24．【答案】（1）；；
（2）解：①解：当时，点在上时，作交于，如图，
∵，，，CE=CF，
∴，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
②证明：连接，设交于点，如图所示，
∵四边形是菱形，，，，
∵四边形是菱形，，
∴，，
∴，，
∴．
∵，
，
∴，
∴．
在和中，
，
∴，
∴，．
∵，，
∴四边形是平行四边形，．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形．
【知识点】坐标与图形性质；含30°角的直角三角形；平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：（1）∵点，的坐标分别是和，
∴，．
∵°，
∴，
∵以线段为边向右侧作菱形，
∴，，
∴，．
∴．
故填：；；
【分析】（1）根据点A，B的坐标，得出OA和OB的长，利用勾股定理，求出的长，利用菱形的性质，得出AD的长，，即可求得点的坐标，再根据三角形的内角和定理，即可求的度数；
（2）①作交于，先证出是等腰直角三角形，得出，利用直角三角形所对的直角边等于斜边的一半得出，根据勾股定理得出AM的长，利用，即可得出答案；
②连接，设交于点，先利用菱形的性质，得出，利用外角性质得出，从而得出，证明，得出，，证明出，得出，从而得出，，根据，，得出四边形是平行四边形，再根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，即可得出答案．
（1）解：∵点，的坐标分别是和，
∴，．
∵°，
∴，
∵以线段为边向右侧作菱形，
∴，，
∴，．
∴．
故答案为：，．
（2）①解：当时，点在上时，作交于，如图，
由（1）可知，，，，
∴，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴．
②证明：连接，设交于点，如图所示，
由（1）可知，四边形是菱形，，，，
∵四边形是菱形，，
∴，，
∴，，
∴．
∵，
，
∴，
∴．
在和中，
，
∴，
∴，．
∵，，
∴四边形是平行四边形，．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形．
1 / 1四川南充市南部县第二中学2025-2026 学年度下八年级期中学情诊断数学试题
1．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】最简二次根式；二次根式的加减法；算术平方根的概念与表示
【解析】【解答】A．和不是同类二次根式，不能合并，故本选项错误，不符合题意；
B.负数没有算术平方根，故本选项错误，不符合题意；
C.5和不是同类二次根式，不能合并，故本选项错误，不符合题意；
D．，故本选项正确，符合题意．
故选：D．
【分析】根据合并同类二次根式的法则、算术平方根的定义、二次根式的化简，逐项进行判断，即可得出答案.
2．下列各组数中，是勾股数的是（　　）
A．0.3，0.4，0.5 B．1，，
C．8，15，17 D．5，10，13
【答案】C
【知识点】勾股数
【解析】【解答】A 、0.3，0.4，0.5 均不为整数，所以不可组成勾股定理，不符合题意；
B、 1，， 不是整数，所以不可组成勾股定理，不符合题意；
C、 8，15，17 ，82+152=172符合勾股数，符合题意；
D、 5，10，13 ，52+102≠132，不符合勾股数，不符合题意。
故答案为：C.
【分析】根据勾股定理逆定理，判断是否符合勾股数两小边的平方和等于第三边的平方，即可得出答案。
3．在中，，如果，，那么的长是（　　）．
A．10 B． C．10或 D．7
【答案】B
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：，，，
，
故选：B
【分析】直接利用勾股定理进行计算，即可得出答案．
4．若顺次连接某四边形的各边中点得到一个平行四边形，那么这个四边形一定是（ ）
A．平行四边形 B．矩形
C．对角线相等的四边形 D．任意四边形
【答案】D
【知识点】三角形的中位线定理；中点四边形模型
【解析】【解答】解：如图，四边形为，各边中点依次为、、、，
∴是的中位线，
故且；
同理：且；
∴且，
∴四边形为平行四边形，
故答案为：D．
【分析】本题核心考查三角形中位线定理与中点四边形的性质。关键在于理解无论原四边形是凸、凹、不规则，甚至非凸，只要它是四边形，顺次连接各边中点所形成的图形，必可通过构造三角形中位线，证明其对边平行且相等，从而判定为平行四边形。选项A、B、C都限定了特定条件（如平行、矩形、对角线相等），而题干中“一定”二字指向的是普遍成立的情形，因此只有“任意四边形”满足逻辑。解题突破口在于“中位线定理+对角线辅助线”的标准构造法。
5．下列关于变量x与y关系的图形中，能够表示“y是x的函数”的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】函数的概念
【解析】【解答】解：A、对于自变量x的每一个值，因变量y不是都有唯一的值与它对应，所以不能表示y是x的函数，故A不符合题意；
B、对于自变量x的每一个值，因变量y不是都有唯一的值与它对应，所以不能表示y是x的函数，故B不符合题意；
C、对于自变量x的每一个值，因变量y不是都有唯一的值与它对应，所以不能表示y是x的函数，故C不符合题意；
D、对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，所以能表示y是x的函数，故D符合题意；
故选：D．
【分析】根据函数的定义即可求出答案.
6．小美同学按如下步骤作四边形：①画；②以点为圆心，个单位长为半径画弧，分别交，于点，；③分别以点，为圆心，个单位长为半径画弧，两弧交于点；④连接，，．若，则的大小是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】菱形的判定与性质；尺规作图-直线、射线、线段
【解析】【解答】解：作图可得
∴四边形是菱形，
∴
∵，
∴，
∴，
故答案为：C．
【分析】根据作图过程得AB=AD=BC=CD，由四边相等的四边形是菱形得出四边形ABCD是菱形，由菱形对边平行得AD∥BC，由二直线平行，同旁内角互补得出∠ABC=136°，最后根据菱形的每一条对角线平分一组对角得出∠CBD的度数.
7．函数的自变量取值范围是（　　）
A． B． C． D．且
【答案】D
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有无意义的条件；函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：由题意得，x-1≥0，且x-2≠0，
解得：且，
故答案为：D．
【分析】利用分式有意义的条件（分母不为0）和二次根式有意义的条件（被开方数大于等于0）列出不等式组求解即可.
8．如图所示，在中，的平分线交于点D，E为线段上一动点，F为边上一动点，若，，，则的最小值为（　　）
A．4 B． C．5 D．
【答案】B
【知识点】垂线段最短及其应用；三角形全等及其性质；勾股定理的逆定理；三角形全等的判定-SAS；等积变换
【解析】【解答】解：如图，在边上取点G使，连接，过点A作于点H，
∵的平分线交于点D，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
当点A，E，G三点共线时，取得最小值，最小值为的长，
在中，，，，
∴，
∴为直角三角形，且，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：B．
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理、面积法、最短路径模型，是几何综合能力的典型考查．核心是利用轴对称（或全等转化）将折线AE + EF转化为直线段AG，再结合“两点之间线段最短”确定最小值路径。在BC上构造点G使BG = BF，利用角平分线+全等（△EBF ≌ △EBG），将EF转化为EG；得到AE + EF = AE + EG，当A-E-G共线时取最小值，即垂线段AH；利用勾股定理逆定理证△ABD为直角三角形，进而证△ABD ≌ △CBD，得出BC = AB = 5；最后通过面积法建立等式求出AH = 。
9．如图，已知长方形中，，，点E为AD的中点，若点P在线段AB上以的速度由点A向点B运动．同时，点Q在线段BC上由点C向点B运动，若与全等，则点Q的运动速度是（　　）
A．6或 B．2或6 C．2或 D．2或
【答案】A
【知识点】正方形的性质；二元一次方程组的应用-几何问题；四边形-动点问题；分类讨论
【解析】【解答】解：∵ABCD是长方形，
∴∠A=∠B=90°，
∵点E为AD的中点，AD=8cm，
∴AE=4cm，
设点Q的运动速度为x cm/s，
分两种情况讨论：
①经过y秒后，△AEP≌△BQP，则AP=BP，AE=BQ，
∴，
解得，，
即点Q的运动速度cm/s时能使两三角形全等；
②经过y秒后，△AEP≌△BPQ，则AP=BQ，AE=BP，
，
解得：，
即点Q的运动速度6cm/s时能使两三角形全等，
综上所述，点Q的运动速度或6cm/s时能使两三角形全等．
故选：A．
【分析】设Q运动的速度为x cm/s，分两种情况讨论：△AEP≌△BQP，AP=BP、AE=BQ或△AEP≌△BPQ，AP=BQ，AE=BP，分别列出方程组，解方程组求出y的值，即可得出答案．
10．若，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵，，，
∴，
解得：，
∴，
故填：．
【分析】利用非负数的性质得出，求出a，b的值，再代入进行计算，即可得出答案．
11．若点在函数的函数图象上，则　 　．
【答案】3
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：点在函数的图象上，
，
∴，
故填：3.
【分析】将点代入解析式，得出，求出k的值，即可得出答案.
12．在菱形中，，则菱形的周长为　 　．
【答案】20
【知识点】勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵在菱形中，，
∴，，，
，
∴菱形的周长为．
故答案为：20．
【分析】本题核心考查菱形的性质与勾股定理的综合应用。菱形的两条对角线互相垂直且平分；对角线交点将菱形分割为四个全等的直角三角形，可借助直角三角形求边长；求出一边长后，乘以4即得周长。
13．如图，已知△ABC 中，∠ABC＝90°，以△ABC的各边为边，在△ABC外作三个正方形，S1，S2，S3分别表示这三个正方形的面积，若S1＝81，S2＝225，则BC＝　 　．
【答案】12
【知识点】勾股定理；求算术平方根；勾股树模型
【解析】【解答】解：∵∠ABC=90°，
∴由勾股定理得，AC2+BC2＝AB2，
∵，，，
∴，
∴，
∴BC=12
故答案为：12．
【分析】本题核心考查勾股定理及其在几何图形中的实际应用。关键是理解“以三角形三边为边作正方形”时，正方形面积等于对应边长的平方，从而将面积关系转化为边长平方关系。题中∠ABC = 90°，说明 AB 与 BC 为直角边，AC 为斜边，因此满足 AB2 + BC2 = AC2，即 S1 + S3 = S2。通过代入已知面积可反推 BC2，再开方得边长。同时注意：求边长时必须取算术平方根（正值），避免误选负值。
14．若，则的值为　 　．
【答案】2025
【知识点】二次根式有无意义的条件；二次根式的性质与化简；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵有意义，
∴，
∴，
，
，
，
，
故答案为：2025．
【分析】
根据二次根式有意义的条件：被开方数≥0，可得：，即得到m的取值范围m≥2025，即可得：2021-m＜0，再根据绝对值的性质可知：，再结合，可得：，两边平方可得：，然后整体代入计算即可得到答案．
15．如图，在等腰中，，，以为直角边作等腰，以为直角边作等腰，，则的长度为　 　．
【答案】
【知识点】等腰直角三角形；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；探索规律-数列中的规律
【解析】【解答】解：在等腰中，，，
，，
以为直角边作等腰，
，，
以为直角边作等腰，
，，
以为直角边作等腰，
，，
以为直角边作等腰，
，，
以为直角边作等腰，
，
，
…
的长度为：，
故答案为：.
【分析】本题属于图形递推+规律探索型几何题，核心考查等腰直角三角形的定义、勾股定理和图形类规律探索：等腰直角三角形的性质：两直角边相等，斜边 = 直角边 ×；递推关系建立：每一新三角形都以前一段斜边作为新直角边，因此每步长度乘以；指数规律归纳：从 OA1 =开始，公比为 的等比数列，通项为。
16．计算：
（1）
（2）
【答案】（1）解：原式；
（2）解：原式.
【知识点】完全平方公式及运用；负整数指数幂；二次根式的加减法；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）先将所有二次根式化简为最简二次根式，然后再合并同类二次根式，即可得出答案；
（2）先根据二次根式的除法法则，完全平方公式，负整数指数幂的运算法则进行计算，然后再合并同类项，即可得出答案.
（1）解：原式
（2）解：原式
.
17．如图，在四边形中，，，，．
（1）求的度数；
（2）求四边形的面积．
【答案】（1）解：∵，，∴为等腰直角三角形，
由勾股定理：，
∵，，
∴，
∴为直角三角形，；
（2）解：．
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理及其逆定理，证明是直角三角形是解答本题的关键．
(1)通过连接对角线AC，将四边形拆分为两个三角形，先在△ABC中利用已知直角和等边求出AC长，再在△ACD中验证三边关系，发现满足“两短边平方和等于最长边平方”，从而判定△ACD为直角三角形，且直角在A点，即得∠DAC = 90°。
(2)利用“分割法”求面积——将四边形拆成两个直角三角形，分别计算面积后相加。
（1）解：∵，，
∴为等腰直角三角形，
由勾股定理：，
∵，，
∴，
∴为直角三角形，；
（2）解：．
18．已知某正多边形的一个内角比与它相邻外角的4倍还多．
（1）求这个正多边形一个内角的度数；
（2）求这个正多边形的内角和．
【答案】（1）解：设这个正多边形的一个内角的度数为，
∵内角与相邻外角之和为，
∴相邻外角为，
根据题意，得，
解得：，
∴这个正多边形一个内角的度数为；
（2）解：∵正多边形一个内角的度数为，
∴每个外角为，
∵正多边形的外角和为，
∴边数，
∴内角和为，
∴这个正多边形的内角和为．
【知识点】多边形内角与外角；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）设这个正多边形的一个内角的度数为，得出相邻外角为，根据题意列出方程，解方程求出x的值，即可得出答案；
（2）根据正多边形的性质求出每个外角的度数，再求出正多边形的边数，然后利用多边形内角和公式进行计算，即可得出答案．
（1）解：设这个正多边形的一个内角的度数为，
∵内角与相邻外角之和为，
∴相邻外角为，
根据题意，，
解得：，
∴这个正多边形一个内角的度数为；
（2）解：每个外角为，
∵正多边形的外角和为，
∴边数，
内角和为，
∴这个正多边形的内角和为．
19．如图，甲、乙两人于某日下午从P地前往Q地，图中的折线和线段分别表示甲与乙所行驶的路程s和时间t的关系.根据图象回答下列问题：
（1）两地相距______千米；
（2）甲出发______小时后，乙才开始出发；
（3）甲在段路程中的平均速度是______千米/小时；乙的平均速度是______千米/小时；
（4）根据图象上的数据，乙出发后经过多少小时追上甲．
【答案】（1）50
（2）1
（3）10，50
（4）解：设乙出发后经过t小时追上甲，依题意得，，
解得，
∴乙出发后经过0.5小时追上甲．
【知识点】函数的图象；通过函数图象获取信息；列一元一次方程
【解析】【解答】解：（1）乙2时出发，3时行驶50千米到达了Q地，所以两地相距50千米．
故答案为：50；
（2）甲1时出发，乙2时出发，所以甲出发1小时后，乙才开始出发．
故答案为：1；
（3）甲2时走到了20千米，4时走了40千米，
所以段路程中的平均速度是（千米/小时）；
乙的平均速度是（千米/小时）．
故答案为：10，50；
【分析】本题考查的是路程-时间图像（s-t 图像）的实际应用，本质是函数图象和一元一次方程。
（1）图像终点纵坐标，即全程距离，直接读取为 50 千米。
（2）比较甲（从 t=0 出发）与乙（从 t=1 出发）的出发时间差，得出“甲早出发 1 小时”。
（3）BC 段为甲的匀速阶段，取两点坐标计算速度；EF 段为乙的全程，起点 s=0，终点 s=50，时间跨度 1 小时，速度为 50 km/h。
（4）追及问题，核心等量关系：相遇时两人路程相等。乙出发时，甲已在前方 20 km，之后甲以 10 km/h 行驶，乙以 50 km/h 行驶，列方程即可求解。
（1）乙2时出发，3时行驶50千米到达了Q地，所以两地相距50千米．
故答案为：50；
（2）甲1时出发，乙2时出发，所以甲出发1小时后，乙才开始出发．
故答案为：1；
（3）甲2时走到了20千米，4时走了40千米，
所以段路程中的平均速度是（千米/小时）；
乙的平均速度是（千米/小时）．
故答案为：10，50；
（4）解：设乙出发后经过t小时追上甲，依题意得，
，
解得，
∴乙出发后经过0.5小时追上甲．
20．如图，在中，对角线与相交于点，．
（1）求证：；
（2）若，求的面积．
【答案】（1）证明：，
，
四边形是平行四边形，
平行四边形是菱形，
；
（2）解：∵四边形是菱形，，
，，
，
在中，，
，
，
．
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；菱形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据等角对等边得出，再根据菱形的判定定理证出平行四边形是菱形，然后根据菱形的性质，即可证出；
（2）根据菱形的性质得出，，利用勾股定理求出=6，得出BD=12，然后根据菱形的面积公式进行计算，即可得出答案．
（1）证明：，
，
四边形是平行四边形，
平行四边形是菱形，
；
（2）解：由（1）可知，是菱形，，
，
，
在中，，
，
，
，
．
21．在解决问题“已知，求的值”时，小明是这样分析与解答的：
，
，
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
（1）化简：；
（2）若，求的值．
【答案】（1）解：；
（2）解：∵，∴，
∴，则，
∴，
∴．
【知识点】完全平方公式及运用；分母有理化；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）利用平方差公式把分母有理化即可；
（2）把a分母有理化化简，整理得到，即可得到，然后整体代入计算解题．
（1）解：；
（2）解：∵，
∴，
∴，则，
∴，
∴．
22．图1是浙江某高科技公司生产的一款高清球机，它能进行全方位监控与拍摄，夜间的监控距离为．图2中，射线，是两条相交的公路，，将图1的球机安装在公路上的A处，．
（1）求该球机夜间在公路上所能监控到的部分的长度；
（2）将该球机安装到A处右侧多少距离外，夜间将监控不到公路上的事物？
【答案】（1）解：过A作于点H，在上取点P，使，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴该球机夜间在公路上所能监控到的部分的长度为；

（2）解：设该球机安装到A处右侧处，如图，作于点，
由题意知，当时，夜间将监控不到公路上的事物．
∵，，
，
，
答：将该球机安装到A处右侧外，夜间将监控不到公路上的事物.
【知识点】垂线段最短及其应用；等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理
【解析】【分析】（1）作于点H，在上取点P，使，得出为能监控到的长度，根据含30度角的直角三角形的性质得出AH的长，根据勾股定理得出PH的长，从而得出的长，即可得出答案；
（2）根据垂线段最短可知，当点A到的距离等于时，夜间将监控不到公路上的事物，设该球机安装到A处右侧处，作于点，根据含30度角的直角三角形的性质得出的长，从而得出的长，即可得出答案．
．
（1）解：作于点H，在上取点P，使．
∵，，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴该球机夜间在公路上所能监控到的部分的长度为．
（2）解：设该球机安装到A处右侧处，如图，作于点，
由题意知，当时，夜间将监控不到公路上的事物．
∵，，
，
．
答：将该球机安装到A处右侧外，夜间将监控不到公路上的事物．
23．如图，在四边形中，，，，，若动点从点出发，以的速度沿线段向终点运动；同时动点从点出发以的速度沿向终点运动．当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动设运动时间为回答下列问题：
（1） ，
（2）当 时，四边形为平行四边形；
（3）如图，若四边形变为平行四边形，，动点从点出发，以的速度沿线段向终点运动；同时动点从点出发以的速度在边上做往返运动，当点到达点时停止运动（同时点也停止运动）．设运动时间为．当为何值时，以，，，四点为顶点的四边形是平行四边形？
【答案】（1）；；
（2）；
（3）解：∵四边形是平行四边形，
∴，即，
若以，，，四点组成的四边形是平行四边形，则，
当时，，，
∴，
解得（不合题意，舍去）；
当时，，，
∴，
解得；
当，，，
∴，
解得；
当时，，，
∴，
解得；
综上可得：的值为或或时，以，，，四点为顶点的四边形是平行四边形．
【知识点】二次根式有无意义的条件；平行四边形的性质；一元一次方程的实际应用-几何问题；四边形-动点问题；分类讨论
【解析】【解答】解：（1）∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
故填：6；8；
（2）根据题意，得，，则．
∵，即，
∴当时，四边形为平行四边形，
即，
解得．
故当时，四边形为平行四边形，
故填：2.4；
【分析】（）利用二次根式有意义的条件得出a的值，再代入求出b的值，即可得出答案；
（）根据题意得出，，，由于，得出当时，四边形为平行四边形，根据列出关于的方程，解方程求出x的值，即可得出答案；
（）根据平行四边形的性质得出当时以，，，四点组成的四边形是平行四边形，分四种情况讨论：，，，，分别列出方程，解方程求出t的值，即可得出答案．
（1）解：由，
∵，
∴，
∴，
∴，；
（2）解：根据题意，得，，则．
∵，即，
∴当时，四边形为平行四边形，
即，
解得．
故当时，四边形为平行四边形；
（3）解：∵四边形是平行四边形，
∴，即，
若以，，，四点组成的四边形是平行四边形，则，
当时，，，
∴，
解得（不合题意，舍去）；
当时，，，
∴，
解得；
当，，，
∴，
解得；
当时，，，
∴，
解得；
综上可得：的值为或或时，以，，，四点为顶点的四边形是平行四边形．
24．如图1，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别是和，连接，以线段为边向右侧作菱形，且，点在轴上．
（1）填空：点的坐标为 ， 度．
（2）连接，点是线段上一动点，点在轴上，且．过点作的平行线，过点作的平行线，两线相交于点．
①如图2，当时，求的长度；
②求证：四边形是菱形．
【答案】（1）；；
（2）解：①解：当时，点在上时，作交于，如图，
∵，，，CE=CF，
∴，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
②证明：连接，设交于点，如图所示，
∵四边形是菱形，，，，
∵四边形是菱形，，
∴，，
∴，，
∴．
∵，
，
∴，
∴．
在和中，
，
∴，
∴，．
∵，，
∴四边形是平行四边形，．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形．
【知识点】坐标与图形性质；含30°角的直角三角形；平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：（1）∵点，的坐标分别是和，
∴，．
∵°，
∴，
∵以线段为边向右侧作菱形，
∴，，
∴，．
∴．
故填：；；
【分析】（1）根据点A，B的坐标，得出OA和OB的长，利用勾股定理，求出的长，利用菱形的性质，得出AD的长，，即可求得点的坐标，再根据三角形的内角和定理，即可求的度数；
（2）①作交于，先证出是等腰直角三角形，得出，利用直角三角形所对的直角边等于斜边的一半得出，根据勾股定理得出AM的长，利用，即可得出答案；
②连接，设交于点，先利用菱形的性质，得出，利用外角性质得出，从而得出，证明，得出，，证明出，得出，从而得出，，根据，，得出四边形是平行四边形，再根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，即可得出答案．
（1）解：∵点，的坐标分别是和，
∴，．
∵°，
∴，
∵以线段为边向右侧作菱形，
∴，，
∴，．
∴．
故答案为：，．
（2）①解：当时，点在上时，作交于，如图，
由（1）可知，，，，
∴，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴．
②证明：连接，设交于点，如图所示，
由（1）可知，四边形是菱形，，，，
∵四边形是菱形，，
∴，，
∴，，
∴．
∵，
，
∴，
∴．
在和中，
，
∴，
∴，．
∵，，
∴四边形是平行四边形，．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形．
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