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广东中山市2026届高三模拟测试（二）数学试卷
1．若集合，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：要使有意义，则，
所以，则，
所以.
故答案为：D.
【分析】先根据对数型函数的定义域，从而求出集合，再由已知条件和交集的运算法则，从而得出集合.
2．若复数，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【解答】解：因为，
所以.
故答案为：B.
【分析】利用复数的乘法运算法则化简复数z，再利用复数求模公式，从而得出复数z的模.
3．已知向量，，若，则（　　）
A． B． C． D．3
【答案】D
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：若，则，
可得，解得.
故答案为：D.
【分析】利用已知条件和两向量垂直数量积为0的等价关系以及数量积的坐标表示，从而得出实数的值.
4．已知函数且 ），若，则（　　）
A．3 B．2 C．4 D．
【答案】C
【知识点】函数的值；指数式与对数式的互化
【解析】【解答】解：由题意知，
，
所以，解得
则.
故答案为：C.
【分析】根据指数式与对数式的互化公式计算即可.
5．由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（　　）
A．48个 B．52个 C．60个 D．120个
【答案】B
【知识点】分类加法计数原理；分步乘法计数原理
【解析】【解答】解：由题意可知，分为两种情况：
情况一：个位是0，则有不同的结果个；
情况二：个位不是0，则有不同结果个，
则共有个.
故答案为：B.
【分析】根据已知条件和分类加法计数原理和分步乘法计数原理，从而得出其中偶数共有的个数.
6．以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时，椭圆长轴的最小值为（　　）
A． B． C．2 D．2
【答案】D
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】由题意知bc=1．∴
故选D．
【分析】由题设条件可知bc=1．∴，由此可以求出椭圆长轴的最小值。
7．抽样得一组数据如下表，利用最小二乘法得到回归直线方程，据此模型预测当时，的估计值为（　　）
2 4 5 6 8
20 45 60 75 80
A．100 B．106 C．110 D．116
【答案】B
【知识点】线性回归方程；回归分析的初步应用
【解析】【解答】解：由题意可知，，，
代入回归直线方程，则，
当时，.
故答案为：B.
【分析】利用平均数公式和代入法，从而得出的值，进而得出回归直线方程，再利用赋值法得出的估计值.
8．设，为异面直线，为平面，已知，，，动点.若到直线，的距离相等，则的轨迹为（　　）
A．直线 B．圆 C．双曲线 D．抛物线
【答案】C
【知识点】圆锥曲线的轨迹问题
【解析】【解答】解：如图：
不妨设在平面内投影为，则，
设直线与平面的距离为，
则在平面内，以为轴，为轴建立平面直角坐标系，设，
则到直线的距离为，到直线的距离为，
所以到直线的距离为，
则，所以，
则点M的轨迹为双曲线．
故答案为：C.
【分析】利用已知条件和投影的定义建系，再利用点到直线的距离公式和勾股定理以及双曲线的定义，从而得出点M的轨迹.
9．已知直线l与平面相交于点P，则（　　）
A．内不存在直线与l平行
B．内有无数条直线与l垂直
C．内所有直线与l是异面直线
D．至少存在一个过l且与垂直的平面
【答案】A,B,D
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面垂直的判定
【解析】【解答】解：已知直线与平面相交于点，
若α内存在直线n与l平行，则直线n与l确定一个平面，
由，，且，，
得与重合，则，与矛盾，故选项A正确.；
设直线在平面内的射影为PO，
根据三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直，所以平面内与射影PO垂直的直线，与直线垂直，
因为在平面内与直线平行的直线都与直线垂直，
又因为在平面内与一条直线平行的直线有无数条，
所以平面内有无数条直线与垂直，故选项B正确；
在平面内过点的直线，因为直线与直线都过点，
根据相交直线的定义：两条直线有且只有一个公共点，
则这两条直线相交，
所以直线与直线相交，并非异面直线，故选项C错误.；
如图，取直线上除斜足外一点，过该点作平面的垂线，
因为，且平面，平面，
根据平面与平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，
那么这两个平面互相垂直，所以平面垂直于平面，
则至少存在一个过且与垂直的平面，故选项D正确.
故答案为：ABD.
【分析】利用已知条件和直线与直线的位置关系、直线与平面的位置关系，从而逐项判断找出正确的选项.
10．已知随机事件，满足，，，则下列说法正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A,C
【知识点】互斥事件与对立事件；互斥事件的概率加法公式；条件概率；条件概率乘法公式
【解析】【解答】解：由题意，
得，且，
，
，
所以选项A、选项C对；选项B、选项D错.
故答案为：AC.
【分析】利用对立事件求概率公式、全概率公式和条件概率公式，则判断出选项A、选项B和选项D；由概率的性质判断出选项C，从而找出说法正确的选项.
11．已知函数，的定义域为，且，，若的图象关于直线对称，则（　　）
A． B．
C．是奇函数 D．
【答案】A,B,D
【知识点】函数的奇偶性；奇偶函数图象的对称性；函数的周期性；函数的值
【解析】【解答】解：由关于对称，得，
因为 ，将第二个式子换元，
代入化简得，
又因为，所以，
将用替换，可得，
将用替换，可得，
则，
所以，函数周期为.
又因为，所以，
则函数是偶函数，
由和，
得，且，
则是偶函数.
对于选项A，因为，
又因为，
由，得，故A正确；
对于选项B，对任意，，
则，故B正确；
对于选项C，推导得，则是偶函数不是奇函数，故C错误；
对于选项D，由分组求和，则为一组，为下一组，
以此类推，直至，每组和为，共组，
总和为，
则，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】利用函数的图象的对称性和换元法，从而得出函数的周期，再判断出函数为偶函数，代入法判断出选项A和选项B；利用函数的奇偶性定义判断出选项C；利用分组求和的方法，则判断出选项D，从而找出正确的选项.
12．函数是奇函数，则实数　 　.
【答案】1
【知识点】函数的奇偶性
【解析】【解答】解：因为函数是奇函数，
所以，
则，
又因为分母，化简得，
解得.
故答案为：.
【分析】根据奇函数的定义结合分母不为0，从而得出实数a的值.
13．已知角终边经过点，则　 　．
【答案】2
【知识点】二倍角的正切公式；任意角三角函数的定义
【解析】【解答】解：因为的终边经过点，
所以，
又因为，
所以或，
因为，
所以，则，
所以，则.
故答案为：2.
【分析】根据三角函数的定义和二倍角的正切公式以及角的取值范围，从而得出，进而得出的值.
14．已知抛物线：，按如下方法依次构造点列：设点，过抛物线上点作斜率为4的直线与抛物线交于另一点，为关于轴的对称点.记的坐标为，数列的前项和为，则　 　.
【答案】
【知识点】数列的求和；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：设直线：，
因为与关于轴对称，所以
由在直线上，得：，
又因为点，在抛物线上，
所以
则（常数），所以，数列是等差数列.
因为，所以，则，
所以，
则.
故答案为：.
【分析】设直线：，利用点与点关于直线对称的求解方法，从而得出点的坐标，再根据代入法和等差数列的定义，则判断出数列是等差数列，结合等差数列前n项和公式和裂项相消法，从而得出.
15．已知函数．
（1）若，求的极小值；
（2）讨论导函数的单调性．
【答案】（1）解：当时，，
因为的定义域为，
所以，
当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
则当时，取得极小值．
（2）解：因为的定义域为，
又因为，
令，
则，
当时，恒成立，所以在上单调递增，
则在上单调递增．
当时，由，得；由，得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
则在上单调递减，在上单调递增.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】（1）先利用a的值得出函数的解析式，从而求出函数的定义域，再利用导数的正负判断函数的单调性，从而得出函数的极小值.
（2）先求出函数的定义域，再对函数求导，令，利用导数的正负判断函数的单调性，从而讨论出导函数的单调性.
（1）当时，，的定义域为，
则，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，取得极小值．
（2）的定义域为，
，
令，则，
当时，恒成立，所以即在上单调递增．
当时，由，得，由，得，
所以即在上单调递减，在上单调递增.
16．已知，，分别为三个内角，，的对边，且.
（1）求证：；
（2）若，的面积为，求.
【答案】（1）证明：因为，
所以，
则，
又因为，
所以，
则，所以.
（2）解：因为，，
所以，则，
所以，，
则，
又因为，
所以，
因为，
所以，
则，.
【知识点】三角函数中的恒等变换应用；正弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用已知条件和正弦定理将边化角，再利用二倍角的正弦公式和三角形中角A的取值范围和角B的取值范围，从而证出.
（2）先得出角B的取值范围，再利用二倍角的余弦公式和同角三角函数的基本关系式、三角形内角和定理、诱导公式和两角和的正弦公式，从而得出角C的正弦值，根据三角形面积公式得出ab的值从而得出a的值.
（1）因为，所以，
所以，
因为，所以，
所以，即；
（2）因为，，
所以，，，，
所以，
又，所以，
又，所以，
所以，.
17．如图，在四棱锥中，底面，，，.以为直径的球面分别交，于，两点（，异于所在棱端点）.
（1）证明：平面；
（2）求异面直线与的夹角；
（3）求三棱锥的体积.
【答案】（1）证明：由底面，底面，得；
因为，，所以，，
因此平面，
又因为平面，所以，
因为点在以为直径的球面上，直径所对的圆周角是直角，
得，则，
又因为，平面，
所以平面.
（2）解：以为原点，为轴，为轴，为轴建立坐标系，
由题意，得，
由（1）可知，
所以.
因为所以为的中点，得，
又因为，
所以，，
则，
解得，则，
得，，
所以，
则，
因此异面直线与的夹角为.

（3）解：由（2）可知，，
设平面的法向量为，
则， 化简得，
令，得，则平面的一个法向量为，
因为，
所以点到平面的距离，
又因为，，
所以 ，
则，
所以，
则三棱锥体积.
【知识点】直线与平面垂直的判定；空间向量的夹角与距离求解公式；用空间向量求直线间的夹角、距离；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】（1）利用线面垂直和线线垂直的推导关系得出，再利用点在以为直径的球面上得出，根据线线垂直证出线面垂直，即证出平面.
（2）利用已知条件建立空间直角坐标系，从而得出点的坐标，再得出点M、点N的坐标，利用两向量垂直数量积得出异面直线与的夹角.
（3）利用（2）得出向量的坐标，得出平面的一个法向量，根据点到平面的距离公式和数量积求向量夹角公式以及同角三角函数基本关系式，从而得出的值，再利用三角形面积公式和三棱锥体积公式，从而得三棱锥的体积.
（1）由底面，底面，得； 又，，
故，，因此平面.
平面，故.
在以为直径的球面上，直径所对的圆周角是直角，得，即.
又，平面，因此平面，得证.
（2）以为原点，为轴，为轴，为轴建立坐标系，
由题意得各点坐标.
由（1）可知，所以.
因为所以为的中点，得.
，
则，，
所以，解得，即.
得，.
，
故，因此异面直线与的夹角为.
（3）由（2）可知，，
设平面的法向量为，则， 化简得
令，得，因此平面的一个法向量为.
，点到平面的距离，
又，， ，
.
故，
三棱锥体积.
18．已知双曲线：的离心率为，左右焦点分别为，，，为双曲线左支上的两点，直线交轴于点.
（1）求双曲线的方程；
（2）若，求直线的方程；
（3）设线段的中点为，直线交轴于点，点为关于原点的对称点，以为圆心作与轴相切的圆，过作该圆的两条切线，切点分别为，，求的取值范围.
【答案】（1）解：由双曲线，得，则，
因为双曲线的离心率为 ，得，
由双曲线关系，得，
则双曲线的方程为.
（2）解：由，得，
设，，
则向量，，
由 ，得，
解得 ，
代入双曲线方程，得 或，
则直线的斜率，
所以，直线PQ方程为 或.
（3）解：设直线，，
则，圆与轴相切，
所以，圆的半径，
联立直线方程与双曲线方程，
整理得，
由两点在双曲线左支，得，
设，中点，
由韦达定理，得，
则，
所以，
则，
，，
设，
由切线性质，则，
令，代入得，
由，得，
设，
代入上式，得，
可知二次函数在内单调递增，
所以，则，
由切线性质，可知是直角三角形，
所以是锐角，则，
所以 ，
则的取值范围.
【知识点】双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题；圆与圆锥曲线的综合
【解析】【分析】（1）利用双曲线的标准方程确定焦点的位置，从而得出a的值，再利用双曲线的离心率公式得出c的值，根据双曲线中a，b，c三者的关系式，从而得出b的值，进而得出双曲线C的方程.
（2）根据c的值得出焦点坐标，从而得出向量的坐标，再利用向量共线的坐标表示，从而得出直线PQ的斜率，进而得出直线PQ的方程.
（3）联立直线方程与双曲线方程，再结合韦达定理和两点距离公式，从而得出，再利用换元法和二次函数的单调性求值域的方法以及切线的性质，从而得出的取值范围.
（1）由双曲线，得，即.
已知离心率 ，得. 由双曲线关系，得.
因此双曲线的方程为.
（2）由得，设，.
向量，，
由 得，解得 ，
代入双曲线方程得 ，或，
故直线的斜率，
所以直线PQ方程为 或.
（3）设直线，，则，圆与轴相切，故半径.
联立直线与双曲线方程，整理得，
由在左支，得，设，中点，
由韦达定理得，
则，即.
故，，，
设，由切线性质，
令，代入得，由，所以，
设，代入上式得，
可知二次函数在内单调递增，所以，
因此，
由切线性质可知是直角三角形，所以是锐角，即.
则 ，即的取值范围.
19．袋中共装有个小球，分别标有编号1，2，3，…，.现采用“先试验后锁定”的策略进行次操作：前次（试验期）每次从袋中无放回地随机摸一个球，并记录摸到球的编号；之后的次（锁定期）操作，不再继续摸球，而是每次都记录试验期摸到球的最大编号.记为这次操作中记录的全部编号之和，为的数学期望.
（1）当，，时，求在试验期至少摸到一个编号不小于8的球的概率；
（2）若，，…，是定义在同一个随机试验样本空间上的任意个离散型随机变量，则.基于此，求解下列问题：
①求试验期所摸小球编号之和的数学期望；
②当时，求的最大值以及此时的值.
【答案】（1）解：设事件＂试验期至少摸到一个编号不小于8的球＂，
则.
（2）解：①方法1：设试验期第次摸到的球的编号为，
记这个编号的和为，则，
先求第次摸到的球的编号为的数学期望，
则的所有可能的取值为：，
根据无放回随机抽样的特点，则，
所以，
则.
方法2：从1，2，中选个数共有种组合，
考虑所有元子集，
它们的和的平均值为试验期所摸小球编号之和的数学期望，
对每个数，它在所有元子集中出现的次数为，
所有元子集的总和为，
则所求期望为：.
②记前次（试验期）记录的编号之和为，编号最大的数为，
则，
所以所有可能的取值为：，则
则，
因为，
所以，
则
当时，
，
当且仅当时，即当时取等号，
所以的最大值为，此时.
【知识点】互斥事件与对立事件；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）根据已知条件和正难则反的原则以及古典概率公式，从而得出在试验期至少摸到一个编号不小于8的球的概率.
（2）①利用两种方法求解.
方法一：利用已知条件得出，从而得出随机变量的所有可能的取值，再利用古典概率公式得出随机变量的分布列，根据随机变量的分布列求数学期望公式，从而求出.
方法二：利用组合公式和k元子集的定义，从而得出它们的和的平均值为试验期所摸小球编号之和的数学期望，对每个数，它在所有元子集中出现的次数为，则所有元子集的总和为，再利用排列数公式和组合数公式的关系，从而得出试验期所摸小球编号之和的数学期望.
②记前次（试验期）记录的编号之和为，编号最大的数为，则，从而得出随机变量所有可能的取值，再利用数学期望公式和数学期望的性质，从而求出，结合基本不等式得出的最大值以及此时的值.
（1）设事件＂试验期至少摸到一个编号不小于8的球＂，
则.
（2）①方法1：设试验期第次摸到的球的编号为，记这个编号的和为，
则，
先求第次摸到的球的编号为的数学期望，
的所有可能的取值为：，
根据无放回随机抽样的特点，，
所以，
所以，
方法2：从1，2，中选个数共有种组合，
考虑所有元子集，它们的和的平均值即为试验期所摸小球编号之和的数学期望，
对每个数，它在所有元子集中出现的次数为，
所有元子集的总和为，
所以所求期望为：.
②记前次（试验期）记录的编号之和为，编号最大的数即为，则，
所有可能的取值为：，
则，
所以，
因为，
所以，
所以，
当时，
，当且仅当，即时取等号，
所以的最大值为，此时.
1 / 1广东中山市2026届高三模拟测试（二）数学试卷
1．若集合，则（　　）
A． B． C． D．
2．若复数，则（　　）
A． B． C． D．
3．已知向量，，若，则（　　）
A． B． C． D．3
4．已知函数且 ），若，则（　　）
A．3 B．2 C．4 D．
5．由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（　　）
A．48个 B．52个 C．60个 D．120个
6．以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时，椭圆长轴的最小值为（　　）
A． B． C．2 D．2
7．抽样得一组数据如下表，利用最小二乘法得到回归直线方程，据此模型预测当时，的估计值为（　　）
2 4 5 6 8
20 45 60 75 80
A．100 B．106 C．110 D．116
8．设，为异面直线，为平面，已知，，，动点.若到直线，的距离相等，则的轨迹为（　　）
A．直线 B．圆 C．双曲线 D．抛物线
9．已知直线l与平面相交于点P，则（　　）
A．内不存在直线与l平行
B．内有无数条直线与l垂直
C．内所有直线与l是异面直线
D．至少存在一个过l且与垂直的平面
10．已知随机事件，满足，，，则下列说法正确的是（　　）
A． B． C． D．
11．已知函数，的定义域为，且，，若的图象关于直线对称，则（　　）
A． B．
C．是奇函数 D．
12．函数是奇函数，则实数　 　.
13．已知角终边经过点，则　 　．
14．已知抛物线：，按如下方法依次构造点列：设点，过抛物线上点作斜率为4的直线与抛物线交于另一点，为关于轴的对称点.记的坐标为，数列的前项和为，则　 　.
15．已知函数．
（1）若，求的极小值；
（2）讨论导函数的单调性．
16．已知，，分别为三个内角，，的对边，且.
（1）求证：；
（2）若，的面积为，求.
17．如图，在四棱锥中，底面，，，.以为直径的球面分别交，于，两点（，异于所在棱端点）.
（1）证明：平面；
（2）求异面直线与的夹角；
（3）求三棱锥的体积.
18．已知双曲线：的离心率为，左右焦点分别为，，，为双曲线左支上的两点，直线交轴于点.
（1）求双曲线的方程；
（2）若，求直线的方程；
（3）设线段的中点为，直线交轴于点，点为关于原点的对称点，以为圆心作与轴相切的圆，过作该圆的两条切线，切点分别为，，求的取值范围.
19．袋中共装有个小球，分别标有编号1，2，3，…，.现采用“先试验后锁定”的策略进行次操作：前次（试验期）每次从袋中无放回地随机摸一个球，并记录摸到球的编号；之后的次（锁定期）操作，不再继续摸球，而是每次都记录试验期摸到球的最大编号.记为这次操作中记录的全部编号之和，为的数学期望.
（1）当，，时，求在试验期至少摸到一个编号不小于8的球的概率；
（2）若，，…，是定义在同一个随机试验样本空间上的任意个离散型随机变量，则.基于此，求解下列问题：
①求试验期所摸小球编号之和的数学期望；
②当时，求的最大值以及此时的值.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：要使有意义，则，
所以，则，
所以.
故答案为：D.
【分析】先根据对数型函数的定义域，从而求出集合，再由已知条件和交集的运算法则，从而得出集合.
2．【答案】B
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【解答】解：因为，
所以.
故答案为：B.
【分析】利用复数的乘法运算法则化简复数z，再利用复数求模公式，从而得出复数z的模.
3．【答案】D
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：若，则，
可得，解得.
故答案为：D.
【分析】利用已知条件和两向量垂直数量积为0的等价关系以及数量积的坐标表示，从而得出实数的值.
4．【答案】C
【知识点】函数的值；指数式与对数式的互化
【解析】【解答】解：由题意知，
，
所以，解得
则.
故答案为：C.
【分析】根据指数式与对数式的互化公式计算即可.
5．【答案】B
【知识点】分类加法计数原理；分步乘法计数原理
【解析】【解答】解：由题意可知，分为两种情况：
情况一：个位是0，则有不同的结果个；
情况二：个位不是0，则有不同结果个，
则共有个.
故答案为：B.
【分析】根据已知条件和分类加法计数原理和分步乘法计数原理，从而得出其中偶数共有的个数.
6．【答案】D
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】由题意知bc=1．∴
故选D．
【分析】由题设条件可知bc=1．∴，由此可以求出椭圆长轴的最小值。
7．【答案】B
【知识点】线性回归方程；回归分析的初步应用
【解析】【解答】解：由题意可知，，，
代入回归直线方程，则，
当时，.
故答案为：B.
【分析】利用平均数公式和代入法，从而得出的值，进而得出回归直线方程，再利用赋值法得出的估计值.
8．【答案】C
【知识点】圆锥曲线的轨迹问题
【解析】【解答】解：如图：
不妨设在平面内投影为，则，
设直线与平面的距离为，
则在平面内，以为轴，为轴建立平面直角坐标系，设，
则到直线的距离为，到直线的距离为，
所以到直线的距离为，
则，所以，
则点M的轨迹为双曲线．
故答案为：C.
【分析】利用已知条件和投影的定义建系，再利用点到直线的距离公式和勾股定理以及双曲线的定义，从而得出点M的轨迹.
9．【答案】A,B,D
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面垂直的判定
【解析】【解答】解：已知直线与平面相交于点，
若α内存在直线n与l平行，则直线n与l确定一个平面，
由，，且，，
得与重合，则，与矛盾，故选项A正确.；
设直线在平面内的射影为PO，
根据三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直，所以平面内与射影PO垂直的直线，与直线垂直，
因为在平面内与直线平行的直线都与直线垂直，
又因为在平面内与一条直线平行的直线有无数条，
所以平面内有无数条直线与垂直，故选项B正确；
在平面内过点的直线，因为直线与直线都过点，
根据相交直线的定义：两条直线有且只有一个公共点，
则这两条直线相交，
所以直线与直线相交，并非异面直线，故选项C错误.；
如图，取直线上除斜足外一点，过该点作平面的垂线，
因为，且平面，平面，
根据平面与平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，
那么这两个平面互相垂直，所以平面垂直于平面，
则至少存在一个过且与垂直的平面，故选项D正确.
故答案为：ABD.
【分析】利用已知条件和直线与直线的位置关系、直线与平面的位置关系，从而逐项判断找出正确的选项.
10．【答案】A,C
【知识点】互斥事件与对立事件；互斥事件的概率加法公式；条件概率；条件概率乘法公式
【解析】【解答】解：由题意，
得，且，
，
，
所以选项A、选项C对；选项B、选项D错.
故答案为：AC.
【分析】利用对立事件求概率公式、全概率公式和条件概率公式，则判断出选项A、选项B和选项D；由概率的性质判断出选项C，从而找出说法正确的选项.
11．【答案】A,B,D
【知识点】函数的奇偶性；奇偶函数图象的对称性；函数的周期性；函数的值
【解析】【解答】解：由关于对称，得，
因为 ，将第二个式子换元，
代入化简得，
又因为，所以，
将用替换，可得，
将用替换，可得，
则，
所以，函数周期为.
又因为，所以，
则函数是偶函数，
由和，
得，且，
则是偶函数.
对于选项A，因为，
又因为，
由，得，故A正确；
对于选项B，对任意，，
则，故B正确；
对于选项C，推导得，则是偶函数不是奇函数，故C错误；
对于选项D，由分组求和，则为一组，为下一组，
以此类推，直至，每组和为，共组，
总和为，
则，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】利用函数的图象的对称性和换元法，从而得出函数的周期，再判断出函数为偶函数，代入法判断出选项A和选项B；利用函数的奇偶性定义判断出选项C；利用分组求和的方法，则判断出选项D，从而找出正确的选项.
12．【答案】1
【知识点】函数的奇偶性
【解析】【解答】解：因为函数是奇函数，
所以，
则，
又因为分母，化简得，
解得.
故答案为：.
【分析】根据奇函数的定义结合分母不为0，从而得出实数a的值.
13．【答案】2
【知识点】二倍角的正切公式；任意角三角函数的定义
【解析】【解答】解：因为的终边经过点，
所以，
又因为，
所以或，
因为，
所以，则，
所以，则.
故答案为：2.
【分析】根据三角函数的定义和二倍角的正切公式以及角的取值范围，从而得出，进而得出的值.
14．【答案】
【知识点】数列的求和；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：设直线：，
因为与关于轴对称，所以
由在直线上，得：，
又因为点，在抛物线上，
所以
则（常数），所以，数列是等差数列.
因为，所以，则，
所以，
则.
故答案为：.
【分析】设直线：，利用点与点关于直线对称的求解方法，从而得出点的坐标，再根据代入法和等差数列的定义，则判断出数列是等差数列，结合等差数列前n项和公式和裂项相消法，从而得出.
15．【答案】（1）解：当时，，
因为的定义域为，
所以，
当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
则当时，取得极小值．
（2）解：因为的定义域为，
又因为，
令，
则，
当时，恒成立，所以在上单调递增，
则在上单调递增．
当时，由，得；由，得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
则在上单调递减，在上单调递增.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】（1）先利用a的值得出函数的解析式，从而求出函数的定义域，再利用导数的正负判断函数的单调性，从而得出函数的极小值.
（2）先求出函数的定义域，再对函数求导，令，利用导数的正负判断函数的单调性，从而讨论出导函数的单调性.
（1）当时，，的定义域为，
则，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，取得极小值．
（2）的定义域为，
，
令，则，
当时，恒成立，所以即在上单调递增．
当时，由，得，由，得，
所以即在上单调递减，在上单调递增.
16．【答案】（1）证明：因为，
所以，
则，
又因为，
所以，
则，所以.
（2）解：因为，，
所以，则，
所以，，
则，
又因为，
所以，
因为，
所以，
则，.
【知识点】三角函数中的恒等变换应用；正弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用已知条件和正弦定理将边化角，再利用二倍角的正弦公式和三角形中角A的取值范围和角B的取值范围，从而证出.
（2）先得出角B的取值范围，再利用二倍角的余弦公式和同角三角函数的基本关系式、三角形内角和定理、诱导公式和两角和的正弦公式，从而得出角C的正弦值，根据三角形面积公式得出ab的值从而得出a的值.
（1）因为，所以，
所以，
因为，所以，
所以，即；
（2）因为，，
所以，，，，
所以，
又，所以，
又，所以，
所以，.
17．【答案】（1）证明：由底面，底面，得；
因为，，所以，，
因此平面，
又因为平面，所以，
因为点在以为直径的球面上，直径所对的圆周角是直角，
得，则，
又因为，平面，
所以平面.
（2）解：以为原点，为轴，为轴，为轴建立坐标系，
由题意，得，
由（1）可知，
所以.
因为所以为的中点，得，
又因为，
所以，，
则，
解得，则，
得，，
所以，
则，
因此异面直线与的夹角为.

（3）解：由（2）可知，，
设平面的法向量为，
则， 化简得，
令，得，则平面的一个法向量为，
因为，
所以点到平面的距离，
又因为，，
所以 ，
则，
所以，
则三棱锥体积.
【知识点】直线与平面垂直的判定；空间向量的夹角与距离求解公式；用空间向量求直线间的夹角、距离；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】（1）利用线面垂直和线线垂直的推导关系得出，再利用点在以为直径的球面上得出，根据线线垂直证出线面垂直，即证出平面.
（2）利用已知条件建立空间直角坐标系，从而得出点的坐标，再得出点M、点N的坐标，利用两向量垂直数量积得出异面直线与的夹角.
（3）利用（2）得出向量的坐标，得出平面的一个法向量，根据点到平面的距离公式和数量积求向量夹角公式以及同角三角函数基本关系式，从而得出的值，再利用三角形面积公式和三棱锥体积公式，从而得三棱锥的体积.
（1）由底面，底面，得； 又，，
故，，因此平面.
平面，故.
在以为直径的球面上，直径所对的圆周角是直角，得，即.
又，平面，因此平面，得证.
（2）以为原点，为轴，为轴，为轴建立坐标系，
由题意得各点坐标.
由（1）可知，所以.
因为所以为的中点，得.
，
则，，
所以，解得，即.
得，.
，
故，因此异面直线与的夹角为.
（3）由（2）可知，，
设平面的法向量为，则， 化简得
令，得，因此平面的一个法向量为.
，点到平面的距离，
又，， ，
.
故，
三棱锥体积.
18．【答案】（1）解：由双曲线，得，则，
因为双曲线的离心率为 ，得，
由双曲线关系，得，
则双曲线的方程为.
（2）解：由，得，
设，，
则向量，，
由 ，得，
解得 ，
代入双曲线方程，得 或，
则直线的斜率，
所以，直线PQ方程为 或.
（3）解：设直线，，
则，圆与轴相切，
所以，圆的半径，
联立直线方程与双曲线方程，
整理得，
由两点在双曲线左支，得，
设，中点，
由韦达定理，得，
则，
所以，
则，
，，
设，
由切线性质，则，
令，代入得，
由，得，
设，
代入上式，得，
可知二次函数在内单调递增，
所以，则，
由切线性质，可知是直角三角形，
所以是锐角，则，
所以 ，
则的取值范围.
【知识点】双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题；圆与圆锥曲线的综合
【解析】【分析】（1）利用双曲线的标准方程确定焦点的位置，从而得出a的值，再利用双曲线的离心率公式得出c的值，根据双曲线中a，b，c三者的关系式，从而得出b的值，进而得出双曲线C的方程.
（2）根据c的值得出焦点坐标，从而得出向量的坐标，再利用向量共线的坐标表示，从而得出直线PQ的斜率，进而得出直线PQ的方程.
（3）联立直线方程与双曲线方程，再结合韦达定理和两点距离公式，从而得出，再利用换元法和二次函数的单调性求值域的方法以及切线的性质，从而得出的取值范围.
（1）由双曲线，得，即.
已知离心率 ，得. 由双曲线关系，得.
因此双曲线的方程为.
（2）由得，设，.
向量，，
由 得，解得 ，
代入双曲线方程得 ，或，
故直线的斜率，
所以直线PQ方程为 或.
（3）设直线，，则，圆与轴相切，故半径.
联立直线与双曲线方程，整理得，
由在左支，得，设，中点，
由韦达定理得，
则，即.
故，，，
设，由切线性质，
令，代入得，由，所以，
设，代入上式得，
可知二次函数在内单调递增，所以，
因此，
由切线性质可知是直角三角形，所以是锐角，即.
则 ，即的取值范围.
19．【答案】（1）解：设事件＂试验期至少摸到一个编号不小于8的球＂，
则.
（2）解：①方法1：设试验期第次摸到的球的编号为，
记这个编号的和为，则，
先求第次摸到的球的编号为的数学期望，
则的所有可能的取值为：，
根据无放回随机抽样的特点，则，
所以，
则.
方法2：从1，2，中选个数共有种组合，
考虑所有元子集，
它们的和的平均值为试验期所摸小球编号之和的数学期望，
对每个数，它在所有元子集中出现的次数为，
所有元子集的总和为，
则所求期望为：.
②记前次（试验期）记录的编号之和为，编号最大的数为，
则，
所以所有可能的取值为：，则
则，
因为，
所以，
则
当时，
，
当且仅当时，即当时取等号，
所以的最大值为，此时.
【知识点】互斥事件与对立事件；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）根据已知条件和正难则反的原则以及古典概率公式，从而得出在试验期至少摸到一个编号不小于8的球的概率.
（2）①利用两种方法求解.
方法一：利用已知条件得出，从而得出随机变量的所有可能的取值，再利用古典概率公式得出随机变量的分布列，根据随机变量的分布列求数学期望公式，从而求出.
方法二：利用组合公式和k元子集的定义，从而得出它们的和的平均值为试验期所摸小球编号之和的数学期望，对每个数，它在所有元子集中出现的次数为，则所有元子集的总和为，再利用排列数公式和组合数公式的关系，从而得出试验期所摸小球编号之和的数学期望.
②记前次（试验期）记录的编号之和为，编号最大的数为，则，从而得出随机变量所有可能的取值，再利用数学期望公式和数学期望的性质，从而求出，结合基本不等式得出的最大值以及此时的值.
（1）设事件＂试验期至少摸到一个编号不小于8的球＂，
则.
（2）①方法1：设试验期第次摸到的球的编号为，记这个编号的和为，
则，
先求第次摸到的球的编号为的数学期望，
的所有可能的取值为：，
根据无放回随机抽样的特点，，
所以，
所以，
方法2：从1，2，中选个数共有种组合，
考虑所有元子集，它们的和的平均值即为试验期所摸小球编号之和的数学期望，
对每个数，它在所有元子集中出现的次数为，
所有元子集的总和为，
所以所求期望为：.
②记前次（试验期）记录的编号之和为，编号最大的数即为，则，
所有可能的取值为：，
则，
所以，
因为，
所以，
所以，
当时，
，当且仅当，即时取等号，
所以的最大值为，此时.
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