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广东惠州市第一中学2025-2026学年高二下学期期中阶段考试数学试题
1．下列求导运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】导数的四则运算；基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：A、，故A错误；
B、，故B错误；
C、，故C错误；
D、，故D正确．
故答案为：D.
【分析】根据基本初等函数的导数公式求解即可判断ABD；利用导数的运算法则求解即可判断C．
2．和的等差中项与等比中项分别为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】等比中项；等差中项
【解析】【解答】解：和的等差中项为，
和的等比中项为．
故答案为：B.
【分析】由题意，分别利用等差中项和等比中项求解即可．
3．4名同学分别报名参加学校的足球队、篮球队、乒乓球队，每人限报其中的一个运动队，不同报法的种数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】分步乘法计数原理
【解析】【解答】解：由题可知，不同报法的种数是．
故答案为：D.
【分析】易知4名同学可以在同一运动队，根据分步乘法计数原理求解即可．
4．与圆都相切的直线有（　　）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【答案】C
【知识点】圆与圆的位置关系及其判定；两圆的公切线条数及方程的确定
【解析】【解答】解：易知圆的圆心坐标为，半径为；
圆化为标准方程为，
圆心坐标为，半径为，
圆心距，则两圆相外切，即两圆的公切线有3条.
故答案为：C.
【分析】化圆的方程为标准方程，分别求两圆的圆心和半径，再求圆心距，判定两圆的位置外切时，有3条公切线.
5．根据历年气象统计资料，某地四月份吹东风的概率为 ，下雨的概率为 ，既吹东风又下雨的概率为 ，则在吹东风的条件下下雨的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】条件概率与独立事件
【解析】【解答】设事件A表示“该地区四月份下雨”，B表示“四月份吹东风”，则P(A)＝ ，P(B)＝ ，P(AB)＝ ，从而吹东风的条件下下雨的概率为P(A|B)＝ .
故答案为：D.
【分析】利用条件概率的计算公式即可得出．
6．已知双曲线焦距为，顶点到渐近线的距离为，则离心率为（　　）
A． B． C． D．2
【答案】A
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：设双曲线的渐近线为，顶点坐标为，
则顶点到渐近线的距离，
所以离心率．
故答案为：A.
【分析】设双曲线的渐近线为，顶点坐标为，利用点到直线的距离公式，结合顶点到渐近线的距离为，求得，再利用双曲线的离心率公式求解即可．
7．云南民族村自建成以来，以生动鲜活的形态，展示了云南各民族的建筑艺术 歌舞服饰 文化风情 宗教信仰和生活习惯.在即将到来的五一假期，预计需要安排6名工作人员去三个不同的民族景点辅助宣传民俗文化，每个景点至少安排1人，则不同的安排方法种数是（　　）
A．360 B．450 C．540 D．1020
【答案】C
【知识点】分类加法计数原理；排列、组合的实际应用；简单计数与排列组合
【解析】【解答】解：由题意可得，
按照人数比为分组再分配，则有种；
按照人数比为分组再分配，则有种；
按照人数比为分组再分配，则有种；
故共有.
故答案为：C.
【分析】利用分组分配结合分类加法计数原理求解.
8．设，，，则下列关系正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】令，则，
在上单调递增，，即，则；
令，则，
在上单调递减，，即，则；
，即；
令，则，
在上的单调递增，，即，
则，即；
综上所述：.
故答案为：D.
【分析】构造函数、、，求导，利用导数判断函数的单调性，将问题转化为函数值的大小关系的比较问题，通过导数求得函数的单调性后，即可得到函数值的大小.
9．已知随机变量X的分布列为
X 0 1
P
下列结论正确的（　　）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．的最小值为
【答案】B,C
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：A、由题意得，若，则，故A错误；
B、若，则，，故B正确；
C、若，则，又，所以，故C正确；
D、由，得，
，
因为，，所以取不到，故D错误.
故答案为：BC.
【分析】根据随机变量X的分布列概率的性质逐项求解判断即可.
10．设函数，则（　　）
A．是的极小值点
B．当时，
C．当时，
D．当时，
【答案】A,C,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件
【解析】【解答】解：A，因为函数的定义域为R，而，
易知当时，，当或时，
函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，故是函数的极小值点，A正确；
B，当时，，所以，而由上可知，函数在上单调递增，所以，B错误；
C，当时，，而由上可知，函数在上单调递减，所以，即，C正确；
D，当时，，所以，D正确；
故答案为：ACD.
【分析】先通过求导确定函数的单调性与极值，再结合函数的单调性、值域及作差法，逐一分析各选项。
11．已知椭圆的右焦点为，过作两条互相垂直的直线和和分别与交于和，则（　　）
A．的离心率为
B．存在直线，使得
C．为定值
D．若上每个点的横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍，则变为圆
【答案】A,B,C
【知识点】椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：由椭圆，
可得，所以，
则椭圆的离心率为，故A正确；
所以，可得椭圆的右焦点为，
当直线的斜率为0时，直线的方程为，此时，；
当直线的斜率不为0时，设直线的方程为，，
联立，消去，可得，
整理得，
所以，
则
，
同理可得，
，
当时，，且，
所以的最小值为，最大值为，故B正确；
当直线的斜率为0时，直线斜率不存在，此时，；
当直线的斜率为0时，直线斜率不存在，同理可得，
当直线，的斜率不为0时，
为定值，故C正确；
若上每个点的横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍，
则方程为，所以，曲线E不是圆，故D错误.
故答案为：ABC.
【分析】利用椭圆的标准方程得出a，b的值，再利用椭圆中a，b，c三者的关系式，从而得出c的值，进而得出椭圆的离心率，则可判断选项A；设直线的方程为，，再将直线方程和椭圆方程联立，利用弦长公式得出，再根据函数求最值的方法，从而得出的最大值和最小值，则可判断选项B；利用直线的斜率分类讨论，再利用两点距离公式得出为定值，则可判断选项C；利用图象变换得出曲线E不是圆，则判断出选项D，从而找出正确的选项.
12．已知双曲线C： （m>0）的一条渐近线为 +my=0，则C的焦距为　 　.
【答案】4
【知识点】双曲线的定义；双曲线的简单性质
【解析】【解答】因为又曲线方程C：，一条渐近线是，
所以双曲线方程是，
故答案为：4
【分析】由双曲线渐近线的斜率可得到m的值，再进一步求得焦距的值。
13． 的展开式中 的系数为 　 　 (用数字作答).
【答案】-28
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【解答】解：(x+y)8的通项公式为，
①当8-r=2，即r=6时， 展开式中 项为，
②当8-r=3，即r=5时， 展开式中 项为，
则展开式中 项为，
故答案为：-28
【分析】由二项式定理，分类讨论求解即可.
14．在n维空间中（，），以单位长度为边长的“立方体”的顶点坐标可表示为n维坐标，其中.则5维“立方体”的顶点个数是　 　；定义：在n维空间中两点与的曼哈顿距离为.在5维“立方体”的顶点中任取两个不同的顶点，记随机变量X为所取两点间的曼哈顿距离，则　 　.
【答案】32；
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；分步乘法计数原理
【解析】【解答】解：（1）的可能值为0，1（，）.故五维立方体的顶点有个.
（2）依题意，样本空间的样本点记为，M，N为五维立方体的顶点
样本点总数：
当时，有k个第i维坐标值不同，有个第i维坐标值相同.
满足的样本点个数为.
所以.
故分布列为：
X 1 2 3 4 5
P
.
故答案为：32；.
【分析】第一空由题意结合分步乘法计数原理，从而求解得出5维“立方体”的顶点个数；第二空先确定样本点总数，再得到随机变量的可能取值，从而利用得出随机变量X的分布列，最后根据随机变量的分布列求数学期望的公式，则得出的值.
15．已知的展开式中只有第5项的二项式系数最大.
（1）求的值；
（2）设，求的值.
【答案】（1）解：由的展开式中只有第5项的二项式系数最大，得的展开式共有9项，即；
（2）解：由（1）知，，
取，得；
取时，，
则.
【知识点】二项式系数的性质；二项式定理的应用
【解析】【分析】（1）由题意，利用二项式系数的性质易知值；
（2）由（1）的结论可得，取和，利用赋值法求解即可.
（1）由的展开式中只有第5项的二项式系数最大，得的展开式共有9项，
所以.
（2）由（1）知，，
取，得，取时，，
所以.
16．甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立．
（1）求甲学校获得冠军的概率；
（2）用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望．
【答案】（1） 解：设甲在三个项目中获胜的事件依次记为A，B，C，所以甲学校获得冠军的概率为
P=
=0.5x0.4x0.8+0.5x0.4x0.8+0.5x0.6x0.8+0.5x0.4x0.2
=0.16+0.16+ 0.24+0.04
=0.6.
（2）解：依题可知，X的可能取值为 ，所以，
，
，
，
.
即X的分布列为
X 0 10 20 30
P 0.16 0.44 0.34 0.06
期望
【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）设甲在三个项目中获胜的事件依次记为A，B，C，再根据甲获得冠军则至少获胜两个项目，利用互斥事件的概率加法公式以及相互独立事件的乘法公式即可求出；
（2）依题可知，X的可能取值为 ，再分别计算出对应的概率，列出分布列，即可求出期望．
17．设数列{an}满足a1=3，．
（1）计算a2，a3，猜想{an}的通项公式并加以证明；
（2）求数列{2nan}的前n项和Sn．
【答案】（1）解：［方法一］【最优解】：通性通法
由题意，可得，，
由数列的前三项可猜想数列是以为首项，2为公差的等差数列，
则．
证明如下：
当时，成立；
假设时，成立，
那么时，
也成立.
则对任意的，都有成立.
［方法二］：构造法
由题意，可得，，
由，得．，
则，
两式相减，得，
令，且，所以，
两边同时减去2，得，且，
所以，则，
因为，所以是首项为3，公差为2的等差数列，
则．
［方法三］：累加法
由题意，可得，．
由，得，
则，，……，
以上各式等号两边相加，
得，
所以，则，当时，也符合上式，
综上所述，．
［方法四］：构造法
因为，
猜想，
又因为，
可设，其中为常数，
整理得，
则，解得，
所以，
因为，所以是各项均为0的常数列，
则，所以，
则，，.
(2)证明：由（1）可知，.
［方法一］：错位相减法
因为，①
所以，②
由①②得：
，
则.
［方法二］【最优解】：裂项相消法
因为，
所以．
［方法三］：构造法
当时，，
设，
则，
所以，解得，
所以，
则为常数列，
又因为，所以，
则．
［方法四］：
因为，
令，
则，
所以，
则，
所以 ．
【知识点】数列的求和；数列的递推公式；数学归纳法的应用
【解析】【分析】（1）利用四种方法求解.
方法一：利用已知的数列递推公式求出a2，a3，从而归纳得出数列的通项公式，再根据数学归纳法证明出数列{an}的通项公式.
方法二：根据已知的数列递推公式求出a2，a3，再由数列递推公式代换得，两式相减得，设，再根据构造法求出数列的通项公式，从而得出数列的通项公式.
方法三：利用已知的数列递推公式求出a2，a3，由化简得，再根据累加法求出数列的通项公式.
方法四：利用已知的数列递推公式求出a2，a3，归纳得出数列的通项公式，再根据待定系数法将数列递推公式变形成，从而求出的值，进而可得构造数列为常数列，再利用等差数列的通项公式得出数列的通项公式．
（2）利用四种方法证明.
方法一：由（1）可知数列{2nan}的通项公式，再利用错位相减法得出数列{2nan}的前n项和Sn．
方法二：由（1）可知数列{2nan}的通项公式，再由裂项相消法求出数列{2nan}的前n项和Sn．
方法三：当时，，再利用构造法和常数列的定义，从而判断出数列为常数列，再利用等差数列的通项公式得出数列{2nan}的前n项和Sn．
方法四：将数列{2nan}的通项公式分解成，再利用分组求和法分别求出数列的前项和，其中数列的前项和借助函数的导数，再利用赋值法求出数列{2nan}的前n项和Sn．
18．已知圆心在y轴右侧的动圆P与y轴及圆 都相切，记点P的轨迹为C.
（1）求C的方程；
（2）已知不重合的两点A，B均在C上.
①若线段AB的中点在直线 上，且 ， 求直线AB的方程；
②若直线AB与x轴正半轴相交，且与圆D相切，求 面积的最小值.
【答案】（1）解：设，动圆的半径为，
圆的圆心为，半径为1，
因为动圆与圆外切，所以，
整理可得，
则点的轨迹的方程为：；
（2）解：①若直线的斜率不存在时，因为线段AB的中点在直线 上，所以，
联立，解得坐标分别为，
所以，不合题意；
若直线的斜率存在时，设直线的方程为，，
联立，化为，
，解得，
由韦达定理可得，，
因为若线段AB的中点在直线上，且，
可得，
解得或，
所以直线的方程为：或；
②设直线：，，
联立，
，
由韦达定理可得，，
因为直线AB与圆D相切，即，所以，
直线与x轴的交点为，
则的面积，
设，，故，
即在上单调递增，在处取得最小值，即，
故面积的最小值为.

【知识点】利用导数研究函数最大（小）值；圆与圆的位置关系及其判定；抛物线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）设，动圆的半径为，易知圆D的圆心和半径，根据两圆外切，直线和圆相切的条件，列方程化简求点的轨迹的方程即可；
（2）①分直线的斜率不存在和存在讨论，当直线的斜率不存在时，由线段AB的中点在直线 ，联立直线易抛物线方程求得A，B坐标，再求，不合题意；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，联立直线与抛物线方程，求出韦达定理，根据中点及，代入计算即可；
②设直线：，，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理，结合直线与圆相切，利用点到直线的距离公式得出，再表示出的面积，求导，利用导数判断函数的单调性，求出面积的最小值即可.
（1）设，动圆的半径为，
圆的圆心为，半径为1，
因为动圆与圆外切，
可得，
化为，
所以点的轨迹的方程为：．
（2）①若直线的斜率不存在时，因为线段AB的中点在直线 上，
所以，联立，
解得坐标分别为，所以，不合题意；
若直线的斜率存在时，设直线的方程为，
设，
联立，化为，
，解得．
所以，，
因为若线段AB的中点在直线上，且，
可得，
所以或，
所以直线的方程为：或；
②设直线：，，
联立，
，
，，
因为直线AB与圆D相切，即，所以，
直线与x轴的交点为，
则的面积
，
设，，故，
即在上单调递增，
所以在处取得最小值，即，
故面积的最小值为.
19．已知函数.
（1）当时，求函数的最小值；
（2）试讨论函数的单调性；
（3）当时，不等式恒成立，求整数的最大值.
【答案】（1）解：当时，则，
可知的定义域为，且，
令，解得；令，解得，
可知的单调递减区间是，单调递增区间是，
所以，函数的最小值为.
（2）解：由题意，可知的定义域为，且，
当时，恒成立，
所以的单调递减区间是，无单调递增区间；
当时，令，解得，
令，解得；令，解得，
所以的单调递减区间是，单调递增区间是，
综上所述：当时，的单调递减区间是，无单调递增区间；
当时，的单调递减区间是，单调递增区间是.
（3）解：当时，不等式恒成立，
则，
整理可得，
原题意等价于对任意恒成立，
令，
则，
令，则，
所以在区间上单调递增，
因为，，
所以在区间内存在唯一零点，
则，所以，
当时，，则；
当时，，则；
可知在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以
因为，所以，则，且为整数，
所以，则整数的最大值是.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）利用a的值得出函数的解析式，再利用导数的正负判断函数的单调性，从而得出函数的最小值.
（2）先求出导函数，再对进行分类讨论结合导数的正负判断函数的单调性，从而讨论出函数的单调性.
（3）当时，不等式恒成立，则等价于对任意恒成立，令，利用导数得出函数g(x)的最值，再利用不等式恒成立问题求解方法，从而得出整数的最大值.
（1）当时，则，
可知的定义域为，且，
令，解得；令，解得；
可知的单调递减区间是，单调递增区间是；
所以函数的最小值为.
（2）由题意可知的定义域为，且，
当时，恒成立，
所以的单调递减区间是，无单调递增区间；
当时，令解得，
令，解得；令，解得；
所以的单调递减区间是，单调递增区间是；
综上所述：当时，的单调递减区间是，无单调递增区间；
当时，的单调递减区间是，单调递增区间是.
（3）当时，不等式恒成立，
即，整理可得，
原题意等价于对任意恒成立，
令，
则，
令，则，
所以在区间上单调递增，
因为，，
所以在区间内存在唯一零点，
即，所以，
当时，，即；
当时，，即；
可知在区间上单调递减，在区间上单调递增；
所以，
因为，则，即，
且为整数，则，所以整数的最大值是.
1 / 1广东惠州市第一中学2025-2026学年高二下学期期中阶段考试数学试题
1．下列求导运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
2．和的等差中项与等比中项分别为（　　）
A． B． C． D．
3．4名同学分别报名参加学校的足球队、篮球队、乒乓球队，每人限报其中的一个运动队，不同报法的种数是（　　）
A． B． C． D．
4．与圆都相切的直线有（　　）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
5．根据历年气象统计资料，某地四月份吹东风的概率为 ，下雨的概率为 ，既吹东风又下雨的概率为 ，则在吹东风的条件下下雨的概率为（　　）
A． B． C． D．
6．已知双曲线焦距为，顶点到渐近线的距离为，则离心率为（　　）
A． B． C． D．2
7．云南民族村自建成以来，以生动鲜活的形态，展示了云南各民族的建筑艺术 歌舞服饰 文化风情 宗教信仰和生活习惯.在即将到来的五一假期，预计需要安排6名工作人员去三个不同的民族景点辅助宣传民俗文化，每个景点至少安排1人，则不同的安排方法种数是（　　）
A．360 B．450 C．540 D．1020
8．设，，，则下列关系正确的是（　　）
A． B． C． D．
9．已知随机变量X的分布列为
X 0 1
P
下列结论正确的（　　）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．的最小值为
10．设函数，则（　　）
A．是的极小值点
B．当时，
C．当时，
D．当时，
11．已知椭圆的右焦点为，过作两条互相垂直的直线和和分别与交于和，则（　　）
A．的离心率为
B．存在直线，使得
C．为定值
D．若上每个点的横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍，则变为圆
12．已知双曲线C： （m>0）的一条渐近线为 +my=0，则C的焦距为　 　.
13． 的展开式中 的系数为 　 　 (用数字作答).
14．在n维空间中（，），以单位长度为边长的“立方体”的顶点坐标可表示为n维坐标，其中.则5维“立方体”的顶点个数是　 　；定义：在n维空间中两点与的曼哈顿距离为.在5维“立方体”的顶点中任取两个不同的顶点，记随机变量X为所取两点间的曼哈顿距离，则　 　.
15．已知的展开式中只有第5项的二项式系数最大.
（1）求的值；
（2）设，求的值.
16．甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立．
（1）求甲学校获得冠军的概率；
（2）用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望．
17．设数列{an}满足a1=3，．
（1）计算a2，a3，猜想{an}的通项公式并加以证明；
（2）求数列{2nan}的前n项和Sn．
18．已知圆心在y轴右侧的动圆P与y轴及圆 都相切，记点P的轨迹为C.
（1）求C的方程；
（2）已知不重合的两点A，B均在C上.
①若线段AB的中点在直线 上，且 ， 求直线AB的方程；
②若直线AB与x轴正半轴相交，且与圆D相切，求 面积的最小值.
19．已知函数.
（1）当时，求函数的最小值；
（2）试讨论函数的单调性；
（3）当时，不等式恒成立，求整数的最大值.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】导数的四则运算；基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：A、，故A错误；
B、，故B错误；
C、，故C错误；
D、，故D正确．
故答案为：D.
【分析】根据基本初等函数的导数公式求解即可判断ABD；利用导数的运算法则求解即可判断C．
2．【答案】B
【知识点】等比中项；等差中项
【解析】【解答】解：和的等差中项为，
和的等比中项为．
故答案为：B.
【分析】由题意，分别利用等差中项和等比中项求解即可．
3．【答案】D
【知识点】分步乘法计数原理
【解析】【解答】解：由题可知，不同报法的种数是．
故答案为：D.
【分析】易知4名同学可以在同一运动队，根据分步乘法计数原理求解即可．
4．【答案】C
【知识点】圆与圆的位置关系及其判定；两圆的公切线条数及方程的确定
【解析】【解答】解：易知圆的圆心坐标为，半径为；
圆化为标准方程为，
圆心坐标为，半径为，
圆心距，则两圆相外切，即两圆的公切线有3条.
故答案为：C.
【分析】化圆的方程为标准方程，分别求两圆的圆心和半径，再求圆心距，判定两圆的位置外切时，有3条公切线.
5．【答案】D
【知识点】条件概率与独立事件
【解析】【解答】设事件A表示“该地区四月份下雨”，B表示“四月份吹东风”，则P(A)＝ ，P(B)＝ ，P(AB)＝ ，从而吹东风的条件下下雨的概率为P(A|B)＝ .
故答案为：D.
【分析】利用条件概率的计算公式即可得出．
6．【答案】A
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：设双曲线的渐近线为，顶点坐标为，
则顶点到渐近线的距离，
所以离心率．
故答案为：A.
【分析】设双曲线的渐近线为，顶点坐标为，利用点到直线的距离公式，结合顶点到渐近线的距离为，求得，再利用双曲线的离心率公式求解即可．
7．【答案】C
【知识点】分类加法计数原理；排列、组合的实际应用；简单计数与排列组合
【解析】【解答】解：由题意可得，
按照人数比为分组再分配，则有种；
按照人数比为分组再分配，则有种；
按照人数比为分组再分配，则有种；
故共有.
故答案为：C.
【分析】利用分组分配结合分类加法计数原理求解.
8．【答案】D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】令，则，
在上单调递增，，即，则；
令，则，
在上单调递减，，即，则；
，即；
令，则，
在上的单调递增，，即，
则，即；
综上所述：.
故答案为：D.
【分析】构造函数、、，求导，利用导数判断函数的单调性，将问题转化为函数值的大小关系的比较问题，通过导数求得函数的单调性后，即可得到函数值的大小.
9．【答案】B,C
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：A、由题意得，若，则，故A错误；
B、若，则，，故B正确；
C、若，则，又，所以，故C正确；
D、由，得，
，
因为，，所以取不到，故D错误.
故答案为：BC.
【分析】根据随机变量X的分布列概率的性质逐项求解判断即可.
10．【答案】A,C,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件
【解析】【解答】解：A，因为函数的定义域为R，而，
易知当时，，当或时，
函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，故是函数的极小值点，A正确；
B，当时，，所以，而由上可知，函数在上单调递增，所以，B错误；
C，当时，，而由上可知，函数在上单调递减，所以，即，C正确；
D，当时，，所以，D正确；
故答案为：ACD.
【分析】先通过求导确定函数的单调性与极值，再结合函数的单调性、值域及作差法，逐一分析各选项。
11．【答案】A,B,C
【知识点】椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：由椭圆，
可得，所以，
则椭圆的离心率为，故A正确；
所以，可得椭圆的右焦点为，
当直线的斜率为0时，直线的方程为，此时，；
当直线的斜率不为0时，设直线的方程为，，
联立，消去，可得，
整理得，
所以，
则
，
同理可得，
，
当时，，且，
所以的最小值为，最大值为，故B正确；
当直线的斜率为0时，直线斜率不存在，此时，；
当直线的斜率为0时，直线斜率不存在，同理可得，
当直线，的斜率不为0时，
为定值，故C正确；
若上每个点的横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍，
则方程为，所以，曲线E不是圆，故D错误.
故答案为：ABC.
【分析】利用椭圆的标准方程得出a，b的值，再利用椭圆中a，b，c三者的关系式，从而得出c的值，进而得出椭圆的离心率，则可判断选项A；设直线的方程为，，再将直线方程和椭圆方程联立，利用弦长公式得出，再根据函数求最值的方法，从而得出的最大值和最小值，则可判断选项B；利用直线的斜率分类讨论，再利用两点距离公式得出为定值，则可判断选项C；利用图象变换得出曲线E不是圆，则判断出选项D，从而找出正确的选项.
12．【答案】4
【知识点】双曲线的定义；双曲线的简单性质
【解析】【解答】因为又曲线方程C：，一条渐近线是，
所以双曲线方程是，
故答案为：4
【分析】由双曲线渐近线的斜率可得到m的值，再进一步求得焦距的值。
13．【答案】-28
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【解答】解：(x+y)8的通项公式为，
①当8-r=2，即r=6时， 展开式中 项为，
②当8-r=3，即r=5时， 展开式中 项为，
则展开式中 项为，
故答案为：-28
【分析】由二项式定理，分类讨论求解即可.
14．【答案】32；
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；分步乘法计数原理
【解析】【解答】解：（1）的可能值为0，1（，）.故五维立方体的顶点有个.
（2）依题意，样本空间的样本点记为，M，N为五维立方体的顶点
样本点总数：
当时，有k个第i维坐标值不同，有个第i维坐标值相同.
满足的样本点个数为.
所以.
故分布列为：
X 1 2 3 4 5
P
.
故答案为：32；.
【分析】第一空由题意结合分步乘法计数原理，从而求解得出5维“立方体”的顶点个数；第二空先确定样本点总数，再得到随机变量的可能取值，从而利用得出随机变量X的分布列，最后根据随机变量的分布列求数学期望的公式，则得出的值.
15．【答案】（1）解：由的展开式中只有第5项的二项式系数最大，得的展开式共有9项，即；
（2）解：由（1）知，，
取，得；
取时，，
则.
【知识点】二项式系数的性质；二项式定理的应用
【解析】【分析】（1）由题意，利用二项式系数的性质易知值；
（2）由（1）的结论可得，取和，利用赋值法求解即可.
（1）由的展开式中只有第5项的二项式系数最大，得的展开式共有9项，
所以.
（2）由（1）知，，
取，得，取时，，
所以.
16．【答案】（1） 解：设甲在三个项目中获胜的事件依次记为A，B，C，所以甲学校获得冠军的概率为
P=
=0.5x0.4x0.8+0.5x0.4x0.8+0.5x0.6x0.8+0.5x0.4x0.2
=0.16+0.16+ 0.24+0.04
=0.6.
（2）解：依题可知，X的可能取值为 ，所以，
，
，
，
.
即X的分布列为
X 0 10 20 30
P 0.16 0.44 0.34 0.06
期望
【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）设甲在三个项目中获胜的事件依次记为A，B，C，再根据甲获得冠军则至少获胜两个项目，利用互斥事件的概率加法公式以及相互独立事件的乘法公式即可求出；
（2）依题可知，X的可能取值为 ，再分别计算出对应的概率，列出分布列，即可求出期望．
17．【答案】（1）解：［方法一］【最优解】：通性通法
由题意，可得，，
由数列的前三项可猜想数列是以为首项，2为公差的等差数列，
则．
证明如下：
当时，成立；
假设时，成立，
那么时，
也成立.
则对任意的，都有成立.
［方法二］：构造法
由题意，可得，，
由，得．，
则，
两式相减，得，
令，且，所以，
两边同时减去2，得，且，
所以，则，
因为，所以是首项为3，公差为2的等差数列，
则．
［方法三］：累加法
由题意，可得，．
由，得，
则，，……，
以上各式等号两边相加，
得，
所以，则，当时，也符合上式，
综上所述，．
［方法四］：构造法
因为，
猜想，
又因为，
可设，其中为常数，
整理得，
则，解得，
所以，
因为，所以是各项均为0的常数列，
则，所以，
则，，.
(2)证明：由（1）可知，.
［方法一］：错位相减法
因为，①
所以，②
由①②得：
，
则.
［方法二］【最优解】：裂项相消法
因为，
所以．
［方法三］：构造法
当时，，
设，
则，
所以，解得，
所以，
则为常数列，
又因为，所以，
则．
［方法四］：
因为，
令，
则，
所以，
则，
所以 ．
【知识点】数列的求和；数列的递推公式；数学归纳法的应用
【解析】【分析】（1）利用四种方法求解.
方法一：利用已知的数列递推公式求出a2，a3，从而归纳得出数列的通项公式，再根据数学归纳法证明出数列{an}的通项公式.
方法二：根据已知的数列递推公式求出a2，a3，再由数列递推公式代换得，两式相减得，设，再根据构造法求出数列的通项公式，从而得出数列的通项公式.
方法三：利用已知的数列递推公式求出a2，a3，由化简得，再根据累加法求出数列的通项公式.
方法四：利用已知的数列递推公式求出a2，a3，归纳得出数列的通项公式，再根据待定系数法将数列递推公式变形成，从而求出的值，进而可得构造数列为常数列，再利用等差数列的通项公式得出数列的通项公式．
（2）利用四种方法证明.
方法一：由（1）可知数列{2nan}的通项公式，再利用错位相减法得出数列{2nan}的前n项和Sn．
方法二：由（1）可知数列{2nan}的通项公式，再由裂项相消法求出数列{2nan}的前n项和Sn．
方法三：当时，，再利用构造法和常数列的定义，从而判断出数列为常数列，再利用等差数列的通项公式得出数列{2nan}的前n项和Sn．
方法四：将数列{2nan}的通项公式分解成，再利用分组求和法分别求出数列的前项和，其中数列的前项和借助函数的导数，再利用赋值法求出数列{2nan}的前n项和Sn．
18．【答案】（1）解：设，动圆的半径为，
圆的圆心为，半径为1，
因为动圆与圆外切，所以，
整理可得，
则点的轨迹的方程为：；
（2）解：①若直线的斜率不存在时，因为线段AB的中点在直线 上，所以，
联立，解得坐标分别为，
所以，不合题意；
若直线的斜率存在时，设直线的方程为，，
联立，化为，
，解得，
由韦达定理可得，，
因为若线段AB的中点在直线上，且，
可得，
解得或，
所以直线的方程为：或；
②设直线：，，
联立，
，
由韦达定理可得，，
因为直线AB与圆D相切，即，所以，
直线与x轴的交点为，
则的面积，
设，，故，
即在上单调递增，在处取得最小值，即，
故面积的最小值为.

【知识点】利用导数研究函数最大（小）值；圆与圆的位置关系及其判定；抛物线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）设，动圆的半径为，易知圆D的圆心和半径，根据两圆外切，直线和圆相切的条件，列方程化简求点的轨迹的方程即可；
（2）①分直线的斜率不存在和存在讨论，当直线的斜率不存在时，由线段AB的中点在直线 ，联立直线易抛物线方程求得A，B坐标，再求，不合题意；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，联立直线与抛物线方程，求出韦达定理，根据中点及，代入计算即可；
②设直线：，，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理，结合直线与圆相切，利用点到直线的距离公式得出，再表示出的面积，求导，利用导数判断函数的单调性，求出面积的最小值即可.
（1）设，动圆的半径为，
圆的圆心为，半径为1，
因为动圆与圆外切，
可得，
化为，
所以点的轨迹的方程为：．
（2）①若直线的斜率不存在时，因为线段AB的中点在直线 上，
所以，联立，
解得坐标分别为，所以，不合题意；
若直线的斜率存在时，设直线的方程为，
设，
联立，化为，
，解得．
所以，，
因为若线段AB的中点在直线上，且，
可得，
所以或，
所以直线的方程为：或；
②设直线：，，
联立，
，
，，
因为直线AB与圆D相切，即，所以，
直线与x轴的交点为，
则的面积
，
设，，故，
即在上单调递增，
所以在处取得最小值，即，
故面积的最小值为.
19．【答案】（1）解：当时，则，
可知的定义域为，且，
令，解得；令，解得，
可知的单调递减区间是，单调递增区间是，
所以，函数的最小值为.
（2）解：由题意，可知的定义域为，且，
当时，恒成立，
所以的单调递减区间是，无单调递增区间；
当时，令，解得，
令，解得；令，解得，
所以的单调递减区间是，单调递增区间是，
综上所述：当时，的单调递减区间是，无单调递增区间；
当时，的单调递减区间是，单调递增区间是.
（3）解：当时，不等式恒成立，
则，
整理可得，
原题意等价于对任意恒成立，
令，
则，
令，则，
所以在区间上单调递增，
因为，，
所以在区间内存在唯一零点，
则，所以，
当时，，则；
当时，，则；
可知在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以
因为，所以，则，且为整数，
所以，则整数的最大值是.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）利用a的值得出函数的解析式，再利用导数的正负判断函数的单调性，从而得出函数的最小值.
（2）先求出导函数，再对进行分类讨论结合导数的正负判断函数的单调性，从而讨论出函数的单调性.
（3）当时，不等式恒成立，则等价于对任意恒成立，令，利用导数得出函数g(x)的最值，再利用不等式恒成立问题求解方法，从而得出整数的最大值.
（1）当时，则，
可知的定义域为，且，
令，解得；令，解得；
可知的单调递减区间是，单调递增区间是；
所以函数的最小值为.
（2）由题意可知的定义域为，且，
当时，恒成立，
所以的单调递减区间是，无单调递增区间；
当时，令解得，
令，解得；令，解得；
所以的单调递减区间是，单调递增区间是；
综上所述：当时，的单调递减区间是，无单调递增区间；
当时，的单调递减区间是，单调递增区间是.
（3）当时，不等式恒成立，
即，整理可得，
原题意等价于对任意恒成立，
令，
则，
令，则，
所以在区间上单调递增，
因为，，
所以在区间内存在唯一零点，
即，所以，
当时，，即；
当时，，即；
可知在区间上单调递减，在区间上单调递增；
所以，
因为，则，即，
且为整数，则，所以整数的最大值是.
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