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广东广州市铁一中学2026届高三考下学期5月适应性考试数学试题
1．在复平面内，对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：，对应的点的位于第四象限.
故答案为：D.
【分析】根据复数代数形式的乘法运算，结合复数在复平面内的表示求解即可.
2．已知集合，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】并集及其运算；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：由题意可得：
，且，
所以.
故答案为：C.
【分析】利用已知条件和对数函数的单调性，从而得出集合A，再结合并集的运算法则得出集合.
3．2024年6月，国家卫健委等16部门联合发布《“体重管理年”活动实施方案》，旨在通过三年行动提升全民体重管理意识，推广健康生活方式.体重指数（体重公斤数除以身高米数平方）是常用的衡量人体胖瘦程度的一个标准，中国成人参考标准如下表.某中学在高三年级学生中随机抽取10人并计算出他们的体重指数分别为：16，18，18，19，19.7，20.3，21，22，26，30，则下列结论不正确的是（　　）
偏瘦 <18.5
正常 18.5~23.9
偏胖 24~27.9
肥胖 ≥28
A．这组数据的中位数为20
B．该组数据的极差为14
C．这十个人的平均体重正常
D．从该校学生中随机抽取一人，体重偏胖概率为20%
【答案】D
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差；古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：A、这组数据的中位数为，故A正确；
B、这组数据的极差为，故B正确；
C、10人体重指数的平均数为，故C正确；
D、10人中体重指数在的1人，从该校学生中随机抽取一人，体重偏胖概率为10%，故D错误.
故答案为：D
【分析】利用给定的数据，利用中位数、极差、平均数、概率的定义即可求解.
4．若非零向量满足，且向量与向量的夹角，则的值为（　　）
A． B．0 C． D．6
【答案】B
【知识点】平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】解：由，得，
所以
，
所以.
故答案为：B.
【分析】利用已知条件和数量积求向量夹角公式以及数量积的运算律，从而得出的值.
5．已知函数有两个零点，则m的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】函数与方程的综合运用；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：由函数有两个零点，
得直线与函数的图象有两个交点，
在同一坐标系内作出直线与函数的图象，如图，
观察图象，当时，即当时，
直线与函数的图象有两个交点，
所以m的取值范围是.
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合函数零点与两函数交点的横坐标的等价关系，则将问题转化为直线与函数的图象有两个交点问题，再利用数形结合得出实数m的取值范围.
6．在正四棱台中，，侧棱和底面所成角为，则该正四棱台的侧面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】棱柱/棱锥/棱台的侧面积、表面积及应用
【解析】【解答】如图，连接，
则，
过作于，则，
由正四棱台的性质，可得平面，
则为侧棱和底面所成角，所以，
在中，可得，
过作于，连接，
因为平面，所以，
又因为平面，
所以平面，
因为平面，所以，
又因为，所以，
则该正四棱台的侧面积为.
故答案为：B．
【分析】过作于，利用已知条件得出的长，先得出为侧棱和底面所成角，并求出的值，过作于，连接，再利用线线垂直和线面垂直的推导关系和正四棱台的侧面积公式，从而得出该正四棱台的侧面积.
7．古希腊数学家在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线经过椭圆上的点反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，且在点处的切线垂直于法线（即的角平分线）.已知椭圆上点处的法线交轴于点，且，入射角，则的离心率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：由，可得：，
由角平分线的性质，可得：，所以，
设，由题意，因为，所以，
由余弦定理，可得：，
解得：，
又因为，所以，
得：.
故答案为：D.
【分析】由向量共线定理和角平分线性质，从而得到，设，由得出的值， 再结合余弦定理和椭圆定义，从而得出a，c的关系式，再利用椭圆的离心率公式得出椭圆的离心率.
8．已知函数是定义在上的偶函数，函数的图象关于点中心对称，若，则（　　）
A． B． C．0 D．1
【答案】B
【知识点】奇偶函数图象的对称性；函数的值
【解析】【解答】由函数的图象关于点中心对称可知，，
则，
可得，
因此，函数具有对称轴，
由，
可得，
由为上的偶函数且具有对称轴，
可得．
故答案为：B．
【分析】由函数的奇偶性和函数图象的对称性结合已知条件，从而赋值得出的值.
9．下列关于函数的说法正确的是（　　）
A．要得到函数的图象，只需将函数的图象向右平移个单位
B．函数的图象关于对称
C．函数在区间上单调递减
D．若，且，则
【答案】B,D
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；含三角函数的复合函数的单调性；含三角函数的复合函数的值域与最值；含三角函数的复合函数的对称性
【解析】【解答】解：对于A，因为函数图象平移遵循“左加右减”原则，
将右移个单位，变为，得到，
与选项描述不符，故A错误；
对于B，若函数图象关于对称，则取最值，
所以，则，
所以是函数最大值，则函数图象关于对称，故B正确；
对于C，因为，所以，
又因为正弦函数在包含的区间不单调，此区间含，
所以函数在该区间不单调，故C错误；
对于D，因为正弦函数周期，
又因为中，所以，
因为，则函数取最小值，
又因为相邻最小值间距离是一个周期，
所以，故D正确.
故答案为：BD.
【分析】根据已知条件和三角型函数的图象变换、正弦型函数的对称性、单调性和正弦型函数的周期，从而逐项判断找出说法正确的选项.
10．设抛物线的焦点为，准线为，经过点的直线交于两点，为坐标原点，则下列说法正确的是（　　）
A．若，则直线的倾斜角为
B．以线段为直径的圆与相切
C．存在直线，使得
D．若直线交于点，则
【答案】B,D
【知识点】抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：对于A，因为抛物线的焦点，准线，
设直线AB的方程为，，，
联立，消去，得，
则，，
由抛物线的定义，知，，
因为，所以，则，
又因为，联立，得，
则直线AB的斜率，所以，直线的倾斜角为或，故选项A错误；
对于B，设AB的中点为，过，，分别作准线的垂线，垂足分别为，
根据抛物线的定义，得，，
则，
所以，以线段AB为直径的圆与相切，故选项B正确；
对于C，因为，，
若，则，
由，，可得，
则，所以，不存在直线AB使得，故选项C错误；
对于D，因为直线AO的方程为，令，得，
因为，所以，
又因为，所以，
则点的纵坐标与点的纵坐标相同，
所以，故选项D正确.
故答案为：BD.
【分析】先设直线方程，再将直线方程与抛物线方程联立，再根据韦达定理结合求出的值，从而得到直线斜率和直线的倾斜角，则判断出选项A；利用抛物线定义得出AB中点到准线距离与的关系，再利用直线与圆相切位置关系判断方法，则判断出选项B； 通过向量垂直性质，计算，看是否能满足，则判断出选项C；先求出直线AO与准线交点的纵坐标，再结合判断两点与的纵坐标是否相同，从而判断出BD与准线的位置关系，则判断出选项D，从而找出说法正确的选项.
11．已知曲线，则下列结论正确的是（　　）
A．曲线关于轴对称
B．曲线上的点到轴的距离的最大值为1
C．若，且点在上，则
D．若曲线与圆只有2个公共点，则的取值范围为
【答案】A,B,C
【知识点】平面内点到直线的距离公式；曲线与方程；圆与圆锥曲线的综合；图形的对称性
【解析】【解答】解：把点关于轴对称的点代入轨迹方程成立，故A正确；
因为，所以，
则曲线上的点到轴的距离的最大值为1，故正确；
因为，所以，
当时，因为点在上，所以
又因为，所以，
则，
当时，因为点在上，
所以，
又因为，所以，则1，故C正确；
联立得，
当时，；当时，，
则是曲线与圆的2个公共点，
因为曲线与圆只有2个公共点，所以方程除外没有其他解，
又因为，所以4，则，故D错误．
故答案为：ABC.
【分析】根据图形的对称性判断方法，则判断出选项A；利用点到直线的距离公式和几何法求最值的方法，则判断出选项B；根据点与曲线的位置关系判断方法判断出1，则判断出选项C；联立曲线C的方程和圆M的方程得出公共点个数，再利用已知条件得出实数m的取值范围，则判断出选项D，从而找出结论正确的选项.
12．已知数列的前项和为，且满足，则　 　
【答案】
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的通项公式；通项与前n项和的关系
【解析】【解答】解：由题意，数列是首项、公差均为1的等差数列，
则，
所以，
当，则，显然满足上式，
所以.
故答案为：.
【分析】根据等差数列的定义判断数列是首项、公差均为1的等差数列，再利用等差数列的通项公式和分类讨论的方法以及的关系式，从而得出数列的通项公式.
13．已知，若，，则　 　．
【答案】
【知识点】两角和与差的正弦公式；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】解：由，，，
则，
所以，，
则
由，得.
故答案为：.
【分析】先根据已知条件和同角三角函数基本关系式结合两角差的余弦公式，则由得出的值.
14．如图，一点从正方形的顶点处出发在各顶点间移动，每次移动要么以的概率沿平行于方向（正、反方向均可）移动一步；要么以的概率沿平行于方向（正、反方向均可）移动一步．设移动（）步后回到点的概率为，到达点的概率为，=　 　．
【答案】
【知识点】等比数列的通项公式；数列的递推公式；互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解：依题意，则，，
因为，
，
所以，
又因为，
所以是以为首项，为公比的等比数列，
则.
故答案为：.
【分析】先求出，，再由、和等比数列的定义，则判断出数列是以为首项、公比的等比数列，根据等比数列的通项公式得出数列的通项公式.
15．如图，在中，，点是边上的两点，点在之间，．
（1）求的值；
（2）若，，求的值．
【答案】（1）解：因为，且，
所以，
可得，
则，
所以．

（2）解：因为，，，
所以，
又因为，所以，
因为，
所以，所以，
又因为，
所以，
则．
【知识点】正弦定理的应用；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）根据题意和三角形的面积公式，从而得到，进而得出，则得出的值.
（2）由已知条件和余弦定理，从而得出的值，再利用三角形中角的取值范围，从而得到的值，再由得出的值，利用余弦定理、正弦定理和诱导公式，从而得出的值．
（1）解：因为，且，
所以，可得，
即，所以．
（2）解：因为，，，
所以，
又因为，所以，
因为，所以，所以，
又因为，所以，
所以．
16．已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若，求的取值范围.
【答案】（1）解：因为，
当时，恒成立，在上单调递增，
当时，令，得，
则在上，单调递增；
在上，单调递减，
综上所述，当时，在上单调递增，
当时，在上单调递增，在上单调递减.
（2）解：因为，所以，
则，所以，
则，
令，则，
所以在上单调递增，则，
令，则，
令，得，
则在上，单调递减；
在上，单调递增，
所以，则.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）利用已知条件分和两种情况分类讨论，再利用导数的正负判断函数的单调性，从而讨论出函数的单调性.
（2）利用已知条件化简，构造函数，令，再根据导数的正负判断函数的单调性，从而得出函数的最值，进而得出实数a的取值范围.
（1），
当时，恒成立，在上单调递增，
当时，令，得，
所以在上，单调递增，
在上，单调递减，
综上所述，当时，在上单调递增，
当时，在上单调递增，在上单调递减.
（2）因为，所以，
所以，所以，所以，
令，
，
所以在上单调递增，即，
令，，
令，得，所以在上，单调递减，
在上，单调递增，所以，
所以.
17．斜三棱柱各棱长为4，，D为棱上的一点．
（1）求证：；
（2）若平面平面ABC，且二面角的余弦值为，求BD的长．
【答案】（1）证明：取AB中点O，在中，，O为AB中点，
所以，
在中，，，，
由余弦定理，可得，
所以，则，所以，
因为，平面，平面，平面，
又因为平面，所以.
（2）解：由（1）知，且平面平面，
平面平面，平面，
所以平面，
则，
如图以OA，OC，两两垂直，以O为坐标原点，以OA，OC，方向为x轴，y轴，z轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，
设，则，
所以，，
设平面法向量为，
则，所以，
可取，
则平面的法向量为，
所以，
化简得，
则（舍）或者，
所以．
【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）取中点，连接，利用等腰三角形三线合一得出，再利用余弦定理和勾股定理，从而得出，根据线面垂直的定义证出.
（2）建立空间直角坐标系，则得出点的坐标，设，从而得出点D的坐标和向量的坐标，求出平面的法向量和平面的法向量，再利用数量积求向量夹角公式和已知条件，从而得出的值，进而得出BD的长.
（1）取AB中点O，在中，，O为AB中点，所以，在中，，，，由余弦定理可得，
所以有，即，所以，
又因为，平面，平面，
平面，又因为平面，所以；
（2）由（1）知且平面平面，平面平面，平面，所以平面，
则，如图以OA，OC，两两垂直，以O为坐标原点，以OA，OC，方向为x轴，y轴，z轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系．
，，，，
设，，
，，
设平面法向量为，
，，
可取，
平面的法向量为，
所以有，化简得，
所以有（舍）或者，所以．
18．体育是培养学生高尚人格的重要途径之一．足球作为一项团队运动项目，深受学生喜爱，为了解学生喜爱足球运动是否与性别有关，随机抽取了100名学生作为样本，统计得到如下的列联表：
　 喜爱足球运动 不喜爱足球运动 合计
男生 40 　
女生 25 　
合计 　 　 100
已知从这100名学生样本中随机抽取1个，抽到喜爱足球运动的学生的概率为．
（1）求；
（2）根据小概率值的独立性检验，判断学生喜爱足球运动是否与性别有关？
（3）用样本分布的频率估计总体分布的概率，现在从喜爱足球运动的学生中随机抽取30名，记其中男生的人数为，求使事件“”概率最大的的值．
附：，
【答案】（1）因为从这100名学生样本中随机抽取1个，抽到喜爱足球运动的学生的概率为，
所以；
（2）零假设：喜爱足球运动与性别无关．
作出列联表如下：
喜爱足球运动 不喜爱足球运动 合计
男生 40 15 55
女生 20 25 45
合计 60 40 100
由题，
根据小概率值的独立性检验，我们推断成立，
也就是说没有的把握认为喜爱足球运动与性别有关．
（3）现在从喜爱足球运动的学生中随机抽取1名学生，该学生是男生的概率是，从而从喜爱足球运动的学生中随机抽取30名时，记其中男生的人数为，则，
所以，
令，解得，
故使事件“”概率最大的的值为20．
【知识点】独立性检验的应用
【解析】【分析】（1）根据抽样的概率反算出a，b的值；
（2）先假设出零假设，接着画出列联表，进而计算卡方值即可得到结果；
（3）根据题意，男生的人数为，且，进而利用二项分布求出概率公式，接着列出不等式化简即可得到结果。
（1）因为从这100名学生样本中随机抽取1个，抽到喜爱足球运动的学生的概率为，
所以；
（2）零假设：喜爱足球运动与性别无关．
作出列联表如下：
喜爱足球运动 不喜爱足球运动 合计
男生 40 15 55
女生 20 25 45
合计 60 40 100
由题，
根据小概率值的独立性检验，我们推断成立，
也就是说没有的把握认为喜爱足球运动与性别有关．
（3）现在从喜爱足球运动的学生中随机抽取1名学生，该学生是男生的概率是，
从而从喜爱足球运动的学生中随机抽取30名时，记其中男生的人数为，则，
所以，
令，解得，
故使事件“”概率最大的的值为20．
19．已知双曲线的右焦点为，且点到双曲线的渐近线的距离为．过点作两条互相垂直的直线和，交双曲线于、两点，交双曲线于、两点，、分别是、的中点，直线过定点；再过点作两条互相垂直的直线和，交双曲线于、两点，交双曲线于、两点，、分别是、的中点，直线过定点，以这样的方式构造下去，可以得到一列定点、、、、．
（1）求双曲线的方程；
（2）求点的坐标；
（3）若、，记的面积为，证明：．
【答案】（1）解：双曲线的渐近线方程为，即，
则点到渐近线的距离为，
又因为，所以，
因此，双曲线的方程为.
（2）解：当轴，必然与轴重合，由曲线的对称性知的中点在轴上，
的中点也在轴，故经过的定点也在轴上，
设点，设直线的方程为，设点、，
联立得，
所以，，，
由韦达定理可得，，
故线段的中点，
同理可知，直线的方程为，的中点为，即点，
当时，
由、、三点共线可得，得，
解得，因此，.
当时，，此时过，
故.
（3）解：由（2）可知，当时，定点，同理可知，也一定在轴上，
考虑一般情况，假设点，设点，
设直线的方程为，设点、，
联立得，
所以，，，
由韦达定理可得，，
故线段的中点为，
同理，直线的方程为，
线段的中点为，即点，
当时，
由、、三点共线可知，，即，
整理可得，即当点时，，
当时，，此时过，
综上，.
故当点时，、、、，
由题意可知，的面积为，
所以，
所以.
【知识点】双曲线的简单性质；双曲线的应用；直线与圆锥曲线的综合问题；反证法与放缩法
【解析】【分析】(1) 已知右焦点，得（ ），然后双曲线渐近线方程为，点到渐近线距离为，根据点到直线距离公式，结合（ ），联立求解得、，从而确定双曲线方程，核心是双曲线关系及点到直线距离公式的应用.
(2)设斜率为（ ），则斜率为，分别设，，然后将与双曲线方程联立，利用韦达定理求中点坐标；同理求与双曲线方程联立后中点坐标，最后根据坐标，求出直线的方程，分析其过定点，即坐标，关键是韦达定理求中点、直线方程整理找定点.
(3) 通过的推导，归纳的坐标规律（可能为定点 ），然后根据、、坐标，求的面积（利用三角形面积公式，底为长度，高为横坐标与的距离 ），最后对进行放缩（如裂项相消 ），证明其前项和小于.
（1）双曲线的渐近线方程为，即，
则点到渐近线的距离为，
又因为，所以，
因此，双曲线的方程为.
（2）当轴，必然与轴重合，由曲线的对称性知的中点在轴上，
的中点也在轴，故经过的定点也在轴上，
设点，设直线的方程为，设点、，
联立得，
所以，，，
由韦达定理可得，，
故线段的中点，
同理可知，直线的方程为，的中点为，即点，
当时，
由、、三点共线可得，得，
解得，因此，.
当时，，此时过，
故.
（3）由（2）可知，当时，定点，同理可知，也一定在轴上，
考虑一般情况，假设点，设点，
设直线的方程为，设点、，
联立得，
所以，，，
由韦达定理可得，，
故线段的中点为，
同理，直线的方程为，
线段的中点为，即点，
当时，
由、、三点共线可知，，即，
整理可得，即当点时，，
当时，，此时过，
综上，.
故当点时，、、、，
由题意可知，的面积为，
所以，
所以.
1 / 1广东广州市铁一中学2026届高三考下学期5月适应性考试数学试题
1．在复平面内，对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．已知集合，则（　　）
A． B． C． D．
3．2024年6月，国家卫健委等16部门联合发布《“体重管理年”活动实施方案》，旨在通过三年行动提升全民体重管理意识，推广健康生活方式.体重指数（体重公斤数除以身高米数平方）是常用的衡量人体胖瘦程度的一个标准，中国成人参考标准如下表.某中学在高三年级学生中随机抽取10人并计算出他们的体重指数分别为：16，18，18，19，19.7，20.3，21，22，26，30，则下列结论不正确的是（　　）
偏瘦 <18.5
正常 18.5~23.9
偏胖 24~27.9
肥胖 ≥28
A．这组数据的中位数为20
B．该组数据的极差为14
C．这十个人的平均体重正常
D．从该校学生中随机抽取一人，体重偏胖概率为20%
4．若非零向量满足，且向量与向量的夹角，则的值为（　　）
A． B．0 C． D．6
5．已知函数有两个零点，则m的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
6．在正四棱台中，，侧棱和底面所成角为，则该正四棱台的侧面积为（　　）
A． B． C． D．
7．古希腊数学家在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线经过椭圆上的点反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，且在点处的切线垂直于法线（即的角平分线）.已知椭圆上点处的法线交轴于点，且，入射角，则的离心率为（　　）
A． B． C． D．
8．已知函数是定义在上的偶函数，函数的图象关于点中心对称，若，则（　　）
A． B． C．0 D．1
9．下列关于函数的说法正确的是（　　）
A．要得到函数的图象，只需将函数的图象向右平移个单位
B．函数的图象关于对称
C．函数在区间上单调递减
D．若，且，则
10．设抛物线的焦点为，准线为，经过点的直线交于两点，为坐标原点，则下列说法正确的是（　　）
A．若，则直线的倾斜角为
B．以线段为直径的圆与相切
C．存在直线，使得
D．若直线交于点，则
11．已知曲线，则下列结论正确的是（　　）
A．曲线关于轴对称
B．曲线上的点到轴的距离的最大值为1
C．若，且点在上，则
D．若曲线与圆只有2个公共点，则的取值范围为
12．已知数列的前项和为，且满足，则　 　
13．已知，若，，则　 　．
14．如图，一点从正方形的顶点处出发在各顶点间移动，每次移动要么以的概率沿平行于方向（正、反方向均可）移动一步；要么以的概率沿平行于方向（正、反方向均可）移动一步．设移动（）步后回到点的概率为，到达点的概率为，=　 　．
15．如图，在中，，点是边上的两点，点在之间，．
（1）求的值；
（2）若，，求的值．
16．已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若，求的取值范围.
17．斜三棱柱各棱长为4，，D为棱上的一点．
（1）求证：；
（2）若平面平面ABC，且二面角的余弦值为，求BD的长．
18．体育是培养学生高尚人格的重要途径之一．足球作为一项团队运动项目，深受学生喜爱，为了解学生喜爱足球运动是否与性别有关，随机抽取了100名学生作为样本，统计得到如下的列联表：
　 喜爱足球运动 不喜爱足球运动 合计
男生 40 　
女生 25 　
合计 　 　 100
已知从这100名学生样本中随机抽取1个，抽到喜爱足球运动的学生的概率为．
（1）求；
（2）根据小概率值的独立性检验，判断学生喜爱足球运动是否与性别有关？
（3）用样本分布的频率估计总体分布的概率，现在从喜爱足球运动的学生中随机抽取30名，记其中男生的人数为，求使事件“”概率最大的的值．
附：，
19．已知双曲线的右焦点为，且点到双曲线的渐近线的距离为．过点作两条互相垂直的直线和，交双曲线于、两点，交双曲线于、两点，、分别是、的中点，直线过定点；再过点作两条互相垂直的直线和，交双曲线于、两点，交双曲线于、两点，、分别是、的中点，直线过定点，以这样的方式构造下去，可以得到一列定点、、、、．
（1）求双曲线的方程；
（2）求点的坐标；
（3）若、，记的面积为，证明：．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：，对应的点的位于第四象限.
故答案为：D.
【分析】根据复数代数形式的乘法运算，结合复数在复平面内的表示求解即可.
2．【答案】C
【知识点】并集及其运算；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：由题意可得：
，且，
所以.
故答案为：C.
【分析】利用已知条件和对数函数的单调性，从而得出集合A，再结合并集的运算法则得出集合.
3．【答案】D
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差；古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：A、这组数据的中位数为，故A正确；
B、这组数据的极差为，故B正确；
C、10人体重指数的平均数为，故C正确；
D、10人中体重指数在的1人，从该校学生中随机抽取一人，体重偏胖概率为10%，故D错误.
故答案为：D
【分析】利用给定的数据，利用中位数、极差、平均数、概率的定义即可求解.
4．【答案】B
【知识点】平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】解：由，得，
所以
，
所以.
故答案为：B.
【分析】利用已知条件和数量积求向量夹角公式以及数量积的运算律，从而得出的值.
5．【答案】A
【知识点】函数与方程的综合运用；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：由函数有两个零点，
得直线与函数的图象有两个交点，
在同一坐标系内作出直线与函数的图象，如图，
观察图象，当时，即当时，
直线与函数的图象有两个交点，
所以m的取值范围是.
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合函数零点与两函数交点的横坐标的等价关系，则将问题转化为直线与函数的图象有两个交点问题，再利用数形结合得出实数m的取值范围.
6．【答案】B
【知识点】棱柱/棱锥/棱台的侧面积、表面积及应用
【解析】【解答】如图，连接，
则，
过作于，则，
由正四棱台的性质，可得平面，
则为侧棱和底面所成角，所以，
在中，可得，
过作于，连接，
因为平面，所以，
又因为平面，
所以平面，
因为平面，所以，
又因为，所以，
则该正四棱台的侧面积为.
故答案为：B．
【分析】过作于，利用已知条件得出的长，先得出为侧棱和底面所成角，并求出的值，过作于，连接，再利用线线垂直和线面垂直的推导关系和正四棱台的侧面积公式，从而得出该正四棱台的侧面积.
7．【答案】D
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：由，可得：，
由角平分线的性质，可得：，所以，
设，由题意，因为，所以，
由余弦定理，可得：，
解得：，
又因为，所以，
得：.
故答案为：D.
【分析】由向量共线定理和角平分线性质，从而得到，设，由得出的值， 再结合余弦定理和椭圆定义，从而得出a，c的关系式，再利用椭圆的离心率公式得出椭圆的离心率.
8．【答案】B
【知识点】奇偶函数图象的对称性；函数的值
【解析】【解答】由函数的图象关于点中心对称可知，，
则，
可得，
因此，函数具有对称轴，
由，
可得，
由为上的偶函数且具有对称轴，
可得．
故答案为：B．
【分析】由函数的奇偶性和函数图象的对称性结合已知条件，从而赋值得出的值.
9．【答案】B,D
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；含三角函数的复合函数的单调性；含三角函数的复合函数的值域与最值；含三角函数的复合函数的对称性
【解析】【解答】解：对于A，因为函数图象平移遵循“左加右减”原则，
将右移个单位，变为，得到，
与选项描述不符，故A错误；
对于B，若函数图象关于对称，则取最值，
所以，则，
所以是函数最大值，则函数图象关于对称，故B正确；
对于C，因为，所以，
又因为正弦函数在包含的区间不单调，此区间含，
所以函数在该区间不单调，故C错误；
对于D，因为正弦函数周期，
又因为中，所以，
因为，则函数取最小值，
又因为相邻最小值间距离是一个周期，
所以，故D正确.
故答案为：BD.
【分析】根据已知条件和三角型函数的图象变换、正弦型函数的对称性、单调性和正弦型函数的周期，从而逐项判断找出说法正确的选项.
10．【答案】B,D
【知识点】抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：对于A，因为抛物线的焦点，准线，
设直线AB的方程为，，，
联立，消去，得，
则，，
由抛物线的定义，知，，
因为，所以，则，
又因为，联立，得，
则直线AB的斜率，所以，直线的倾斜角为或，故选项A错误；
对于B，设AB的中点为，过，，分别作准线的垂线，垂足分别为，
根据抛物线的定义，得，，
则，
所以，以线段AB为直径的圆与相切，故选项B正确；
对于C，因为，，
若，则，
由，，可得，
则，所以，不存在直线AB使得，故选项C错误；
对于D，因为直线AO的方程为，令，得，
因为，所以，
又因为，所以，
则点的纵坐标与点的纵坐标相同，
所以，故选项D正确.
故答案为：BD.
【分析】先设直线方程，再将直线方程与抛物线方程联立，再根据韦达定理结合求出的值，从而得到直线斜率和直线的倾斜角，则判断出选项A；利用抛物线定义得出AB中点到准线距离与的关系，再利用直线与圆相切位置关系判断方法，则判断出选项B； 通过向量垂直性质，计算，看是否能满足，则判断出选项C；先求出直线AO与准线交点的纵坐标，再结合判断两点与的纵坐标是否相同，从而判断出BD与准线的位置关系，则判断出选项D，从而找出说法正确的选项.
11．【答案】A,B,C
【知识点】平面内点到直线的距离公式；曲线与方程；圆与圆锥曲线的综合；图形的对称性
【解析】【解答】解：把点关于轴对称的点代入轨迹方程成立，故A正确；
因为，所以，
则曲线上的点到轴的距离的最大值为1，故正确；
因为，所以，
当时，因为点在上，所以
又因为，所以，
则，
当时，因为点在上，
所以，
又因为，所以，则1，故C正确；
联立得，
当时，；当时，，
则是曲线与圆的2个公共点，
因为曲线与圆只有2个公共点，所以方程除外没有其他解，
又因为，所以4，则，故D错误．
故答案为：ABC.
【分析】根据图形的对称性判断方法，则判断出选项A；利用点到直线的距离公式和几何法求最值的方法，则判断出选项B；根据点与曲线的位置关系判断方法判断出1，则判断出选项C；联立曲线C的方程和圆M的方程得出公共点个数，再利用已知条件得出实数m的取值范围，则判断出选项D，从而找出结论正确的选项.
12．【答案】
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的通项公式；通项与前n项和的关系
【解析】【解答】解：由题意，数列是首项、公差均为1的等差数列，
则，
所以，
当，则，显然满足上式，
所以.
故答案为：.
【分析】根据等差数列的定义判断数列是首项、公差均为1的等差数列，再利用等差数列的通项公式和分类讨论的方法以及的关系式，从而得出数列的通项公式.
13．【答案】
【知识点】两角和与差的正弦公式；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】解：由，，，
则，
所以，，
则
由，得.
故答案为：.
【分析】先根据已知条件和同角三角函数基本关系式结合两角差的余弦公式，则由得出的值.
14．【答案】
【知识点】等比数列的通项公式；数列的递推公式；互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解：依题意，则，，
因为，
，
所以，
又因为，
所以是以为首项，为公比的等比数列，
则.
故答案为：.
【分析】先求出，，再由、和等比数列的定义，则判断出数列是以为首项、公比的等比数列，根据等比数列的通项公式得出数列的通项公式.
15．【答案】（1）解：因为，且，
所以，
可得，
则，
所以．

（2）解：因为，，，
所以，
又因为，所以，
因为，
所以，所以，
又因为，
所以，
则．
【知识点】正弦定理的应用；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）根据题意和三角形的面积公式，从而得到，进而得出，则得出的值.
（2）由已知条件和余弦定理，从而得出的值，再利用三角形中角的取值范围，从而得到的值，再由得出的值，利用余弦定理、正弦定理和诱导公式，从而得出的值．
（1）解：因为，且，
所以，可得，
即，所以．
（2）解：因为，，，
所以，
又因为，所以，
因为，所以，所以，
又因为，所以，
所以．
16．【答案】（1）解：因为，
当时，恒成立，在上单调递增，
当时，令，得，
则在上，单调递增；
在上，单调递减，
综上所述，当时，在上单调递增，
当时，在上单调递增，在上单调递减.
（2）解：因为，所以，
则，所以，
则，
令，则，
所以在上单调递增，则，
令，则，
令，得，
则在上，单调递减；
在上，单调递增，
所以，则.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）利用已知条件分和两种情况分类讨论，再利用导数的正负判断函数的单调性，从而讨论出函数的单调性.
（2）利用已知条件化简，构造函数，令，再根据导数的正负判断函数的单调性，从而得出函数的最值，进而得出实数a的取值范围.
（1），
当时，恒成立，在上单调递增，
当时，令，得，
所以在上，单调递增，
在上，单调递减，
综上所述，当时，在上单调递增，
当时，在上单调递增，在上单调递减.
（2）因为，所以，
所以，所以，所以，
令，
，
所以在上单调递增，即，
令，，
令，得，所以在上，单调递减，
在上，单调递增，所以，
所以.
17．【答案】（1）证明：取AB中点O，在中，，O为AB中点，
所以，
在中，，，，
由余弦定理，可得，
所以，则，所以，
因为，平面，平面，平面，
又因为平面，所以.
（2）解：由（1）知，且平面平面，
平面平面，平面，
所以平面，
则，
如图以OA，OC，两两垂直，以O为坐标原点，以OA，OC，方向为x轴，y轴，z轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，
设，则，
所以，，
设平面法向量为，
则，所以，
可取，
则平面的法向量为，
所以，
化简得，
则（舍）或者，
所以．
【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）取中点，连接，利用等腰三角形三线合一得出，再利用余弦定理和勾股定理，从而得出，根据线面垂直的定义证出.
（2）建立空间直角坐标系，则得出点的坐标，设，从而得出点D的坐标和向量的坐标，求出平面的法向量和平面的法向量，再利用数量积求向量夹角公式和已知条件，从而得出的值，进而得出BD的长.
（1）取AB中点O，在中，，O为AB中点，所以，在中，，，，由余弦定理可得，
所以有，即，所以，
又因为，平面，平面，
平面，又因为平面，所以；
（2）由（1）知且平面平面，平面平面，平面，所以平面，
则，如图以OA，OC，两两垂直，以O为坐标原点，以OA，OC，方向为x轴，y轴，z轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系．
，，，，
设，，
，，
设平面法向量为，
，，
可取，
平面的法向量为，
所以有，化简得，
所以有（舍）或者，所以．
18．【答案】（1）因为从这100名学生样本中随机抽取1个，抽到喜爱足球运动的学生的概率为，
所以；
（2）零假设：喜爱足球运动与性别无关．
作出列联表如下：
喜爱足球运动 不喜爱足球运动 合计
男生 40 15 55
女生 20 25 45
合计 60 40 100
由题，
根据小概率值的独立性检验，我们推断成立，
也就是说没有的把握认为喜爱足球运动与性别有关．
（3）现在从喜爱足球运动的学生中随机抽取1名学生，该学生是男生的概率是，从而从喜爱足球运动的学生中随机抽取30名时，记其中男生的人数为，则，
所以，
令，解得，
故使事件“”概率最大的的值为20．
【知识点】独立性检验的应用
【解析】【分析】（1）根据抽样的概率反算出a，b的值；
（2）先假设出零假设，接着画出列联表，进而计算卡方值即可得到结果；
（3）根据题意，男生的人数为，且，进而利用二项分布求出概率公式，接着列出不等式化简即可得到结果。
（1）因为从这100名学生样本中随机抽取1个，抽到喜爱足球运动的学生的概率为，
所以；
（2）零假设：喜爱足球运动与性别无关．
作出列联表如下：
喜爱足球运动 不喜爱足球运动 合计
男生 40 15 55
女生 20 25 45
合计 60 40 100
由题，
根据小概率值的独立性检验，我们推断成立，
也就是说没有的把握认为喜爱足球运动与性别有关．
（3）现在从喜爱足球运动的学生中随机抽取1名学生，该学生是男生的概率是，
从而从喜爱足球运动的学生中随机抽取30名时，记其中男生的人数为，则，
所以，
令，解得，
故使事件“”概率最大的的值为20．
19．【答案】（1）解：双曲线的渐近线方程为，即，
则点到渐近线的距离为，
又因为，所以，
因此，双曲线的方程为.
（2）解：当轴，必然与轴重合，由曲线的对称性知的中点在轴上，
的中点也在轴，故经过的定点也在轴上，
设点，设直线的方程为，设点、，
联立得，
所以，，，
由韦达定理可得，，
故线段的中点，
同理可知，直线的方程为，的中点为，即点，
当时，
由、、三点共线可得，得，
解得，因此，.
当时，，此时过，
故.
（3）解：由（2）可知，当时，定点，同理可知，也一定在轴上，
考虑一般情况，假设点，设点，
设直线的方程为，设点、，
联立得，
所以，，，
由韦达定理可得，，
故线段的中点为，
同理，直线的方程为，
线段的中点为，即点，
当时，
由、、三点共线可知，，即，
整理可得，即当点时，，
当时，，此时过，
综上，.
故当点时，、、、，
由题意可知，的面积为，
所以，
所以.
【知识点】双曲线的简单性质；双曲线的应用；直线与圆锥曲线的综合问题；反证法与放缩法
【解析】【分析】(1) 已知右焦点，得（ ），然后双曲线渐近线方程为，点到渐近线距离为，根据点到直线距离公式，结合（ ），联立求解得、，从而确定双曲线方程，核心是双曲线关系及点到直线距离公式的应用.
(2)设斜率为（ ），则斜率为，分别设，，然后将与双曲线方程联立，利用韦达定理求中点坐标；同理求与双曲线方程联立后中点坐标，最后根据坐标，求出直线的方程，分析其过定点，即坐标，关键是韦达定理求中点、直线方程整理找定点.
(3) 通过的推导，归纳的坐标规律（可能为定点 ），然后根据、、坐标，求的面积（利用三角形面积公式，底为长度，高为横坐标与的距离 ），最后对进行放缩（如裂项相消 ），证明其前项和小于.
（1）双曲线的渐近线方程为，即，
则点到渐近线的距离为，
又因为，所以，
因此，双曲线的方程为.
（2）当轴，必然与轴重合，由曲线的对称性知的中点在轴上，
的中点也在轴，故经过的定点也在轴上，
设点，设直线的方程为，设点、，
联立得，
所以，，，
由韦达定理可得，，
故线段的中点，
同理可知，直线的方程为，的中点为，即点，
当时，
由、、三点共线可得，得，
解得，因此，.
当时，，此时过，
故.
（3）由（2）可知，当时，定点，同理可知，也一定在轴上，
考虑一般情况，假设点，设点，
设直线的方程为，设点、，
联立得，
所以，，，
由韦达定理可得，，
故线段的中点为，
同理，直线的方程为，
线段的中点为，即点，
当时，
由、、三点共线可知，，即，
整理可得，即当点时，，
当时，，此时过，
综上，.
故当点时，、、、，
由题意可知，的面积为，
所以，
所以.
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