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四川自贡市普通高中2026届第三次诊断性考试数学试题
1．已知复数，则复数的虚部为（　　）
A． B． C． D．
2．设集合，，则为（　　）
A． B． C． D．
3．若是夹角为的单位向量，则与的夹角为（　　）
A． B． C． D．
4．函数的部分图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
5．已知二项式的展开式中所有项的系数和为32，若且，则为（　　）
A．1 B． C．2 D．
6．已知各项为正数的数列的前项和为，且（），则（　　）
A．4052 B．4051 C．2027 D．2026
7．已知函数的定义域为，，，，且，则（　　）
A． B．
C． D．
8．已知双曲线：（，），为的一条渐近线，若双曲线的左焦点关于直线的对称点在圆上，则双曲线的离心率为（　　）
A．3 B．2 C． D．
9．已知等比数列的前项和为且公比，若，，则下列说法正确的是（　　）
A． B．
C．是等差数列 D．是等比数列
10．函数，其导函数为，则下列说法正确的是（　　）
A．若，则为的极值点
B．若，则
C．若，在单调递减，则
D．若，，则无零点
11．已知为坐标原点，动点到点的距离比它到直线的距离小2，记动点的轨迹为曲线，过点的直线交曲线于，两点（点在第一象限），且，则下列说法正确的是（　　）
A．直线的方程为
B．的面积为
C．
D．若曲线（）与在第一象限相交于、且，则
12．已知事件，相互独立，，，则　 　.
13．已知（）的图象关于点中心对称，则　 　.
14．三棱锥的四个顶点在球的表面上，若，，，则球的表面积为　 　.
15．在中，角的对边分别为，已知，．
（1）求角的大小；
（2）若是锐角三角形，边上的高为，求．
16．某植物园种植一种观赏花卉，这种观赏花卉的高度（单位：cm）介于之间，现对植物园部分该种观赏花卉的高度进行测量，所得数据统计如下图所示.
（1）求的值；
（2）以频率估计概率，若从所有花卉中随机抽4株，记高度在内的株数为，求的分布列及数学期望；
17．如图，在四边形中，，，，，点在线段上，且，.将三角形沿翻折至四边形，使得平面与平面所成的二面角的大小为.
（1）证明：；
（2）动点在线段上运动，当到平面的距离为时，求平面与平面的夹角的余弦值.
18．已知椭圆：（）的离心率为，右焦点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）如图，过右焦点斜率为（）的直线与椭圆相交于，两点（点在轴上方），点，是椭圆上异于、的两点，平分，平分.
（ⅰ）求的取值范围；
（ⅱ）动点与两定点、的距离之比（，），是一个常数，那么动点的轨迹称为阿波罗尼斯圆，且圆心在直线上，将点，，看作一个阿波罗尼斯圆上的三点，若外接圆的面积为，求直线的方程.
19．函数．
（1）若，求单调区间；
（2）当时恒成立，求的取值范围；
（3）设，，请比较与大小，并说明理由．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：因为复数，所以，
则复数的虚部为.
故答案为：A.
【分析】利用复数乘除法运算法则和复数的虚部的定义，从而得出复数的虚部.
2．【答案】C
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：因为集合，
，
所以.
故答案为：C.
【分析】利用元素与集合的关系和元素的取值范围，从而得出集合A、集合B，再利用交集的运算法则，从而得出集合.
3．【答案】C
【知识点】单位向量；平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】解：因为是夹角为的单位向量，，，
所以，
，
又因为，所以，
因为，所以，
则，
又因为，解得，
则向量与的夹角为.
故答案为：C.
【分析】利用数量积的运算律求出、、的值，再利用数量积求向量夹角公式求解即可.
4．【答案】A
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】解：当时，，.
故答案为：A.
【分析】将与代入函数解析式，从而找出函数的部分大致图象.
5．【答案】C
【知识点】正态密度曲线的特点；二项式系数的性质；正态分布的期望与方差
【解析】【解答】解：因为二项式的展开式中所有项的系数和为32，
令，可得，
因为且.
故答案为：C.
【分析】利用赋值法结合已知条件得出a的值，再根据正态分布对应的概率密度函数图象对称性求概率公式，从而得出的值.
6．【答案】B
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的通项公式；数列的递推公式
【解析】【解答】解：由题意，设，
则，
因为，所以，则，
又因为，所以是首项为1，公差为2的等差数列，
则，
所以.
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合递推公式，再利用等差数列的定义判断出数列是首项为1，公差为2的等差数列，再根据等差数列的通项公式可得出的值.
7．【答案】D
【知识点】抽象函数及其应用；函数的值
【解析】【解答】解：对于A，令，则，
因为，所以，故A错误；
对于B，令，则，
所以，，故B错误；
对于C，令，得，所以，
令，则，所以，则，
令，则，所以，则，
所以，故C错误；
对于D，因为，所以，
又因为，所以，故D正确.
故答案为：D.
【分析】利用已知条件和赋值法，则判断出选项A、选项B和选项C；利用得出，再利用得出，则判断出选项D，从而找出正确的选项.
8．【答案】B
【知识点】双曲线的简单性质；圆与圆锥曲线的综合
【解析】【解答】解：因为双曲线的渐近线为
且双曲线的焦半径参数满足
不妨取渐近线左焦点为
设点关于直线的对称点为，
已知点关于直线的对称点坐标公式为
把代入，得
再代入可得
所以
因为点在圆上，所以
由，上式化为
则整理得所以
由得因为，所以
则双曲线的离心率
故答案为：B.
【分析】先利用双曲线方程写出双曲线的渐近线方程，再利用图形的对称性得出左焦点关于该直线的对称点坐标，根据“对称点在圆上”建立方程，从而求出与的关系式可得离心率.
9．【答案】A,C
【知识点】等差数列概念与表示；等比数列概念与表示；等比数列的前n项和
【解析】【解答】解：已知，等比数列前3项和为，
整理得：，
解得（，舍去负根），故A正确；
由，
可得，故B错误；
由，取对数，得：，
因为是关于的一次函数，相邻两项差为常数，
所以是等差数列，故C正确；
因为等比数列前项和，
所以，
则，，，
不满足等比数列的定义，故D错误.
故答案为：AC.
【分析】利用已知条件和等比数列前n项和公式，从而得出公比的值，则判断出选项A；利用等比数列前n项和公式和赋值法、比较法，则判断出选项B；利用等差数列的定义判断出选项C；利用等比数列的定义判断出选项D，从而找出说法正确的选项.
10．【答案】B,C,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；基本不等式在最值问题中的应用；函数零点存在定理
【解析】【解答】解：对于A：当时，，，
所以，
当时，恒成立，
所以函数在上单调递增，无极值点，故A错误；
对于B：因为，由.
所以，故B正确；
对于C：当时，，，
则，因为函数在单调递减，
可转化为当时，恒成立，则，
因为时，单调递增，且，
所以，故C正确；
对于D：当时，，，
由，
设，，
则.
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增，
所以，
则当时，方程无解，
所以，函数无零点，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】当时，从而得出函数的解析式，再利用导数的正负判断函数的单调性，从而得出函数的极值点，则判断出选项A；根据可探究的关系式，再根据基本不等式求最值的方法，从而得出的取值范围，则判断出选项B；当时，问题转化成当时，恒成立，再分离参数得出，再结合函数的单调性，从而得出实数的取值范围，则判断出选项C；当时，利用函数零点的定义和已知条件，将问题转化为当时，方程无解，设，，利用导数可判断恒成立，从而判断出选项D，进而找出说法正确的选项.
11．【答案】A,C,D
【知识点】抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：由动点到点的距离比它到直线的距离小2，
可得动点到点的距离与它到直线的距离相等，
则动点的轨迹是焦点为，准线为的抛物线，
所以，曲线是抛物线，设，
因为点在第一象限，所以，
又因为，所以
将代入，得到，所以
对于A，因为直线经过与，其斜率为
所以故A正确；
对于C，因为，所以，
解得，则或，
所以
又因为焦点在线段上，所以故C正确；
对于B，因为点到直线的距离为
又因为
所以的面积不是，故B错误；
对于D，设为曲线与抛物线在第一象限的两个交点，
其中
因为在抛物线上，所以
令则且
又因为点在曲线上，
所以
则
整理得则
因为，所以则
再设则
因为在轴正半轴上，
所以
由倍角公式，得
则整理得
由，得所以
则故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】先根据题意和抛物线定义求出曲线的方程，从而得出点A的坐标，再根据两点求斜率公式和点斜式公式，从而得出直线AB的方程，则判断出选项A；利用点到直线的距离公式和三角形的面积公式，则判断出选项B；联立直线方程和抛物线方程，再结合焦半径公式，从而得出AB的长，则判断出选项C；利用代入法和正切函数公式以及二倍角的正切公式，则得出k的值，从而判断出选项D，进而找出说法正确的选项.
12．【答案】
【知识点】概率的基本性质；相互独立事件的概率乘法公式；并（和）事件与交（积）事件
【解析】【解答】解：由题意，
则.
故答案为：.
【分析】利用已知条件和独立事件乘法求概率公式以及互斥事件加法求概率公式，从而得出的值.
13．【答案】
【知识点】函数的值；含三角函数的复合函数的对称性
【解析】【解答】解：由（）的图象关于点中心对称，
得，
因为，解得，
又因为，所以，
则，
所以.
故答案为：-2.
【分析】利用余弦型函数的图象的对称性和已知条件，从而得出的值，进而得出函数的解析式，再利用代入法得出函数的值.
14．【答案】
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；直线与平面垂直的判定；正弦定理的应用
【解析】【解答】解：如图所示，
在中，因为，
所以，则；
在中，因为，
所以，则，
因为，且平面，
根据线面垂直判定定理，可得：平面，
又因为是边长为的等边三角形，
由正弦定理，其外接圆半径满足：，
解得，则，
因为外接球球心在过外心、且垂直于平面的直线上，该直线平行于，
设球心到平面的距离为，
由，得：，则，
又因为，所以，则，
因为外接球半径满足： ，
由球的表面积公式，
代入得：.
故答案为：.
【分析】 由线面垂直关系证明平面，再根据正弦定理得出三角形外接圆的半径，由外心的性质和点到平面的距离公式，从而得出三棱锥的外接球的半径，再根据球的表面积公式计算可得.
15．【答案】（1）解：由，得，
因为，所以，
又因为，所以，
化简得，所以，
因为，所以．
（2）解：如图，，
在中，，则，
由，得，
解得或，
当时，，
则为钝角，不满足条件；
当时，，，满足条件，
所以．

【知识点】两角和与差的正弦公式；同角三角函数基本关系的运用；正弦定理的应用；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用正弦定理将已知边与角的关系式转化为纯三角函数式，再利用两角和的正弦公式和同角三角函数基本关系式以及三角形中角C的取值范围，从而得出角C的值．
（2）先根据直角三角形中正弦函数的定义，从而得出a的值，再利用余弦定理结合分类讨论的方法和已知条件，从而得出的值．
（1）由，得，
又，所以，
因为，所以，
化简得，所以，
因为，所以．
（2）如图，，在中，，所以，
由，得，解得，，
若时，，即为钝角，不满足条件；
若时，，，满足条件，
所以．
16．【答案】（1）解：依题意，可得，
解得.
（2）解：由（1）可得，高度在的频率为，
则，
所以，，
，
，
则的分布列为：
X 0 1 2 3 4
P
所以.
【知识点】频率分布直方图；离散型随机变量的期望与方差；二项分布
【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图中各小组的面积等于各小组的频率，再利用频率之和为1，从而列方程得出实数a的值.
（2）由（1）可得高度在的频率，从而可得，再根据二项分布求概率公式得出随机变量X的分布列，再利用随机变量分布列求数学期望公式，从而得出随机变量X的数学期望.
（1）依题意可得，解得；
（2）由（1）可得高度在的频率为
，
所以，，
，，
，
所以的分布列为：
X 0 1 2 3 4
P
所以.
17．【答案】（1）证明：由题意，得，，
所以是二面角的平面角，
则，
因为，，平面，
所以平面，
由题意，得，，
由余弦定理，可得，
又因为，所以，
取中点，连接，
因为，且，所以四边形是平行四边形，
则，所以平面，
以为原点，，，分别为，，轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，，，
所以，，
则，
所以.
（2）解：设，
所以，，，
设平面的法向量为，
则，
所以，
令，则，
所以，点到平面的距离，
解得，此时，
设平面的法向量为，
则，
所以，
令，则，
所以，
则平面与平面夹角的余弦值为.
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）先证出平面，进而建立空间直角坐标系，则得出点的坐标和向量的坐标，再根据两向量垂直数量积的坐标表示证出.
（2）先求出平面的法向量，再利用数量积求出点到平面的距离，再结合已知条件得出点M的坐标，再求出平面的法向量，则由数量积求向量夹角公式得出平面与平面夹角的余弦值.
（1）由题意得，，
所以是二面角的平面角，所以，
因为，，平面，所以平面，
由题意得，，由余弦定理可得，
因为，所以，
取中点，连接，
因为，且，
所以四边形是平行四边形，
所以，所以平面，
以为原点，，，分别为，，轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，，，
所以，，
所以，
所以
（2）设，
所以，，，
设平面的法向量为，
则，即，令，则，
所以点到平面的距离，
解得，此时，
设平面的法向量为，
则，即，令，则，
所以，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
18．【答案】（1）解：由右焦点，得，
由，得，
所以，
则椭圆的标准方程为.
（2）解：（ⅰ）因为平分，
所以，
则，
又因为，所以，
令，，则，
设，，所以，
则，
因为，两点在椭圆上，所以，
则，，
整理得.
又因为，所以，则，
因为直线的斜率，点在轴上方，所以，
则，所以，
则的取值范围.
（ⅱ）由（ⅰ）知，，
由阿波罗尼斯圆的定义知，点，，在以为顶点的阿波罗尼斯圆上，
设该圆圆心为，半径为，与直线的另一交点为，
则，所以，
解得，
因为外接圆的面积为，所以，
则，所以.
又因为，
所以
解得，，
则，
所以，直线的方程为.
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据椭圆右焦点坐标得出c的值，再利用椭圆的离心率公式和椭圆中a，b，c三者的关系式，从而得出a，b的值，进而得出椭圆的标准方程.
（2）（ⅰ）根据角平分线的性质和三角形的面积公式，从而得到，设和，再结合向量的数乘求出点的坐标，再代入椭圆方程求出，再结合直线的斜率和点在轴上方，从而判断出的取值范围，进而代入得出的取值范围.
（ⅱ）由（ⅰ）知，，由阿波罗尼斯圆的定义知，点，，在以为顶点的阿波罗尼斯圆上，从而得出对应边成比例，结合阿波罗尼斯圆的定义和几何关系求出，再代入圆的面积公式求出点的坐标，根据两点求斜率公式得出直线的斜率，最后由斜截式方程得出直线的方程.
（1）由右焦点，得，
由，得，所以，
故椭圆的标准方程为.
（2）（ⅰ）因为平分，所以，
则，
又，所以.
令，，则.
设，，所以，则.
因为，两点在椭圆上，所以，
即，，
整理得.
因为，所以，即.
因为直线的斜率，点在轴上方，则，
所以，所以.
所以的取值范围.
（ⅱ）由（ⅰ）知，，
由阿波罗尼斯圆的定义知，点，，在以为顶点的阿波罗尼斯圆上，
设该圆圆心为，半径为，与直线的另一交点为，
则有，即，解得.
又外接圆的面积为，即，所以，
所以.
又，
所以，
解得，，
所以，
所以直线的方程为.
19．【答案】（1）解：当时，，定义域是，
令，所以．
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
则，，所以在单调递减，
则函数的单调递减区间为，无单调递增区间．
（2）当时，，，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
因为，所以，
则在单调递减，所以恒成立；
当时，，，此时不等式不成立，
当时，，
由，得，
由不等式，，得，
则，
此时不等式不成立．
下证不等式，，
令，，则，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
则，，所以不等式成立，
综上所述，的取值范围是．
（3）解：，证明如下：
因为，所以．
要比较与的大小，
只需证明，．
令，则不等式等价于，
所以，
再令，则，
代入得，
所以，
构造函数，则，
所以，则，
所以，则．当时，等号不成立，
因此，所以，原不等式成立，
额．
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）利用a的值得出函数的解析式再利用导数的正负判断函数的单调性，从而得出函数单调区间．
（2）利用已知条件和分类讨论的方法，再利用导数的正负判断函数的单调性，从而得出函数的最值，从而得出实数a的取值范围．
（3）注意到，则只需比较与，即可，利用换元法，令，化简得，把根号看成整体换元，令，化简得，再构造函数，利用导数的方法求出函数的最值，从而比较出与大小．
（1）时，，定义域是．
，．
时，，单调递增；
时，，单调递减．
故，，故在单调递减．
单调递减区间为，无单调递增区间．
（2）1）时，，．
时，，单调递增；
时，，单调递减．
由于，故．
故在单调递减，故恒成立．
2）时，，，此时不等式不成立．
3）时，，
由，得．由不等式，，得．
故，此时不等式不成立．
下证不等式，．
令，．．
时，，单调递减．
时，，单调递增．
故，，故不等式得证．
综上，的取值范围是．
（3），证明如下：
已知，则．
要比较与的大小，
只需证明，．
令，则不等式等价于，
即．
再令，则，代入得
，
即．
构造函数，则，
，，
故，故．
当时，等号不成立，因此，
从而原不等式成立．
故．
1 / 1四川自贡市普通高中2026届第三次诊断性考试数学试题
1．已知复数，则复数的虚部为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：因为复数，所以，
则复数的虚部为.
故答案为：A.
【分析】利用复数乘除法运算法则和复数的虚部的定义，从而得出复数的虚部.
2．设集合，，则为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：因为集合，
，
所以.
故答案为：C.
【分析】利用元素与集合的关系和元素的取值范围，从而得出集合A、集合B，再利用交集的运算法则，从而得出集合.
3．若是夹角为的单位向量，则与的夹角为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】单位向量；平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】解：因为是夹角为的单位向量，，，
所以，
，
又因为，所以，
因为，所以，
则，
又因为，解得，
则向量与的夹角为.
故答案为：C.
【分析】利用数量积的运算律求出、、的值，再利用数量积求向量夹角公式求解即可.
4．函数的部分图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】解：当时，，.
故答案为：A.
【分析】将与代入函数解析式，从而找出函数的部分大致图象.
5．已知二项式的展开式中所有项的系数和为32，若且，则为（　　）
A．1 B． C．2 D．
【答案】C
【知识点】正态密度曲线的特点；二项式系数的性质；正态分布的期望与方差
【解析】【解答】解：因为二项式的展开式中所有项的系数和为32，
令，可得，
因为且.
故答案为：C.
【分析】利用赋值法结合已知条件得出a的值，再根据正态分布对应的概率密度函数图象对称性求概率公式，从而得出的值.
6．已知各项为正数的数列的前项和为，且（），则（　　）
A．4052 B．4051 C．2027 D．2026
【答案】B
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的通项公式；数列的递推公式
【解析】【解答】解：由题意，设，
则，
因为，所以，则，
又因为，所以是首项为1，公差为2的等差数列，
则，
所以.
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合递推公式，再利用等差数列的定义判断出数列是首项为1，公差为2的等差数列，再根据等差数列的通项公式可得出的值.
7．已知函数的定义域为，，，，且，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】抽象函数及其应用；函数的值
【解析】【解答】解：对于A，令，则，
因为，所以，故A错误；
对于B，令，则，
所以，，故B错误；
对于C，令，得，所以，
令，则，所以，则，
令，则，所以，则，
所以，故C错误；
对于D，因为，所以，
又因为，所以，故D正确.
故答案为：D.
【分析】利用已知条件和赋值法，则判断出选项A、选项B和选项C；利用得出，再利用得出，则判断出选项D，从而找出正确的选项.
8．已知双曲线：（，），为的一条渐近线，若双曲线的左焦点关于直线的对称点在圆上，则双曲线的离心率为（　　）
A．3 B．2 C． D．
【答案】B
【知识点】双曲线的简单性质；圆与圆锥曲线的综合
【解析】【解答】解：因为双曲线的渐近线为
且双曲线的焦半径参数满足
不妨取渐近线左焦点为
设点关于直线的对称点为，
已知点关于直线的对称点坐标公式为
把代入，得
再代入可得
所以
因为点在圆上，所以
由，上式化为
则整理得所以
由得因为，所以
则双曲线的离心率
故答案为：B.
【分析】先利用双曲线方程写出双曲线的渐近线方程，再利用图形的对称性得出左焦点关于该直线的对称点坐标，根据“对称点在圆上”建立方程，从而求出与的关系式可得离心率.
9．已知等比数列的前项和为且公比，若，，则下列说法正确的是（　　）
A． B．
C．是等差数列 D．是等比数列
【答案】A,C
【知识点】等差数列概念与表示；等比数列概念与表示；等比数列的前n项和
【解析】【解答】解：已知，等比数列前3项和为，
整理得：，
解得（，舍去负根），故A正确；
由，
可得，故B错误；
由，取对数，得：，
因为是关于的一次函数，相邻两项差为常数，
所以是等差数列，故C正确；
因为等比数列前项和，
所以，
则，，，
不满足等比数列的定义，故D错误.
故答案为：AC.
【分析】利用已知条件和等比数列前n项和公式，从而得出公比的值，则判断出选项A；利用等比数列前n项和公式和赋值法、比较法，则判断出选项B；利用等差数列的定义判断出选项C；利用等比数列的定义判断出选项D，从而找出说法正确的选项.
10．函数，其导函数为，则下列说法正确的是（　　）
A．若，则为的极值点
B．若，则
C．若，在单调递减，则
D．若，，则无零点
【答案】B,C,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；基本不等式在最值问题中的应用；函数零点存在定理
【解析】【解答】解：对于A：当时，，，
所以，
当时，恒成立，
所以函数在上单调递增，无极值点，故A错误；
对于B：因为，由.
所以，故B正确；
对于C：当时，，，
则，因为函数在单调递减，
可转化为当时，恒成立，则，
因为时，单调递增，且，
所以，故C正确；
对于D：当时，，，
由，
设，，
则.
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增，
所以，
则当时，方程无解，
所以，函数无零点，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】当时，从而得出函数的解析式，再利用导数的正负判断函数的单调性，从而得出函数的极值点，则判断出选项A；根据可探究的关系式，再根据基本不等式求最值的方法，从而得出的取值范围，则判断出选项B；当时，问题转化成当时，恒成立，再分离参数得出，再结合函数的单调性，从而得出实数的取值范围，则判断出选项C；当时，利用函数零点的定义和已知条件，将问题转化为当时，方程无解，设，，利用导数可判断恒成立，从而判断出选项D，进而找出说法正确的选项.
11．已知为坐标原点，动点到点的距离比它到直线的距离小2，记动点的轨迹为曲线，过点的直线交曲线于，两点（点在第一象限），且，则下列说法正确的是（　　）
A．直线的方程为
B．的面积为
C．
D．若曲线（）与在第一象限相交于、且，则
【答案】A,C,D
【知识点】抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：由动点到点的距离比它到直线的距离小2，
可得动点到点的距离与它到直线的距离相等，
则动点的轨迹是焦点为，准线为的抛物线，
所以，曲线是抛物线，设，
因为点在第一象限，所以，
又因为，所以
将代入，得到，所以
对于A，因为直线经过与，其斜率为
所以故A正确；
对于C，因为，所以，
解得，则或，
所以
又因为焦点在线段上，所以故C正确；
对于B，因为点到直线的距离为
又因为
所以的面积不是，故B错误；
对于D，设为曲线与抛物线在第一象限的两个交点，
其中
因为在抛物线上，所以
令则且
又因为点在曲线上，
所以
则
整理得则
因为，所以则
再设则
因为在轴正半轴上，
所以
由倍角公式，得
则整理得
由，得所以
则故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】先根据题意和抛物线定义求出曲线的方程，从而得出点A的坐标，再根据两点求斜率公式和点斜式公式，从而得出直线AB的方程，则判断出选项A；利用点到直线的距离公式和三角形的面积公式，则判断出选项B；联立直线方程和抛物线方程，再结合焦半径公式，从而得出AB的长，则判断出选项C；利用代入法和正切函数公式以及二倍角的正切公式，则得出k的值，从而判断出选项D，进而找出说法正确的选项.
12．已知事件，相互独立，，，则　 　.
【答案】
【知识点】概率的基本性质；相互独立事件的概率乘法公式；并（和）事件与交（积）事件
【解析】【解答】解：由题意，
则.
故答案为：.
【分析】利用已知条件和独立事件乘法求概率公式以及互斥事件加法求概率公式，从而得出的值.
13．已知（）的图象关于点中心对称，则　 　.
【答案】
【知识点】函数的值；含三角函数的复合函数的对称性
【解析】【解答】解：由（）的图象关于点中心对称，
得，
因为，解得，
又因为，所以，
则，
所以.
故答案为：-2.
【分析】利用余弦型函数的图象的对称性和已知条件，从而得出的值，进而得出函数的解析式，再利用代入法得出函数的值.
14．三棱锥的四个顶点在球的表面上，若，，，则球的表面积为　 　.
【答案】
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；直线与平面垂直的判定；正弦定理的应用
【解析】【解答】解：如图所示，
在中，因为，
所以，则；
在中，因为，
所以，则，
因为，且平面，
根据线面垂直判定定理，可得：平面，
又因为是边长为的等边三角形，
由正弦定理，其外接圆半径满足：，
解得，则，
因为外接球球心在过外心、且垂直于平面的直线上，该直线平行于，
设球心到平面的距离为，
由，得：，则，
又因为，所以，则，
因为外接球半径满足： ，
由球的表面积公式，
代入得：.
故答案为：.
【分析】 由线面垂直关系证明平面，再根据正弦定理得出三角形外接圆的半径，由外心的性质和点到平面的距离公式，从而得出三棱锥的外接球的半径，再根据球的表面积公式计算可得.
15．在中，角的对边分别为，已知，．
（1）求角的大小；
（2）若是锐角三角形，边上的高为，求．
【答案】（1）解：由，得，
因为，所以，
又因为，所以，
化简得，所以，
因为，所以．
（2）解：如图，，
在中，，则，
由，得，
解得或，
当时，，
则为钝角，不满足条件；
当时，，，满足条件，
所以．

【知识点】两角和与差的正弦公式；同角三角函数基本关系的运用；正弦定理的应用；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用正弦定理将已知边与角的关系式转化为纯三角函数式，再利用两角和的正弦公式和同角三角函数基本关系式以及三角形中角C的取值范围，从而得出角C的值．
（2）先根据直角三角形中正弦函数的定义，从而得出a的值，再利用余弦定理结合分类讨论的方法和已知条件，从而得出的值．
（1）由，得，
又，所以，
因为，所以，
化简得，所以，
因为，所以．
（2）如图，，在中，，所以，
由，得，解得，，
若时，，即为钝角，不满足条件；
若时，，，满足条件，
所以．
16．某植物园种植一种观赏花卉，这种观赏花卉的高度（单位：cm）介于之间，现对植物园部分该种观赏花卉的高度进行测量，所得数据统计如下图所示.
（1）求的值；
（2）以频率估计概率，若从所有花卉中随机抽4株，记高度在内的株数为，求的分布列及数学期望；
【答案】（1）解：依题意，可得，
解得.
（2）解：由（1）可得，高度在的频率为，
则，
所以，，
，
，
则的分布列为：
X 0 1 2 3 4
P
所以.
【知识点】频率分布直方图；离散型随机变量的期望与方差；二项分布
【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图中各小组的面积等于各小组的频率，再利用频率之和为1，从而列方程得出实数a的值.
（2）由（1）可得高度在的频率，从而可得，再根据二项分布求概率公式得出随机变量X的分布列，再利用随机变量分布列求数学期望公式，从而得出随机变量X的数学期望.
（1）依题意可得，解得；
（2）由（1）可得高度在的频率为
，
所以，，
，，
，
所以的分布列为：
X 0 1 2 3 4
P
所以.
17．如图，在四边形中，，，，，点在线段上，且，.将三角形沿翻折至四边形，使得平面与平面所成的二面角的大小为.
（1）证明：；
（2）动点在线段上运动，当到平面的距离为时，求平面与平面的夹角的余弦值.
【答案】（1）证明：由题意，得，，
所以是二面角的平面角，
则，
因为，，平面，
所以平面，
由题意，得，，
由余弦定理，可得，
又因为，所以，
取中点，连接，
因为，且，所以四边形是平行四边形，
则，所以平面，
以为原点，，，分别为，，轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，，，
所以，，
则，
所以.
（2）解：设，
所以，，，
设平面的法向量为，
则，
所以，
令，则，
所以，点到平面的距离，
解得，此时，
设平面的法向量为，
则，
所以，
令，则，
所以，
则平面与平面夹角的余弦值为.
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）先证出平面，进而建立空间直角坐标系，则得出点的坐标和向量的坐标，再根据两向量垂直数量积的坐标表示证出.
（2）先求出平面的法向量，再利用数量积求出点到平面的距离，再结合已知条件得出点M的坐标，再求出平面的法向量，则由数量积求向量夹角公式得出平面与平面夹角的余弦值.
（1）由题意得，，
所以是二面角的平面角，所以，
因为，，平面，所以平面，
由题意得，，由余弦定理可得，
因为，所以，
取中点，连接，
因为，且，
所以四边形是平行四边形，
所以，所以平面，
以为原点，，，分别为，，轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，，，
所以，，
所以，
所以
（2）设，
所以，，，
设平面的法向量为，
则，即，令，则，
所以点到平面的距离，
解得，此时，
设平面的法向量为，
则，即，令，则，
所以，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
18．已知椭圆：（）的离心率为，右焦点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）如图，过右焦点斜率为（）的直线与椭圆相交于，两点（点在轴上方），点，是椭圆上异于、的两点，平分，平分.
（ⅰ）求的取值范围；
（ⅱ）动点与两定点、的距离之比（，），是一个常数，那么动点的轨迹称为阿波罗尼斯圆，且圆心在直线上，将点，，看作一个阿波罗尼斯圆上的三点，若外接圆的面积为，求直线的方程.
【答案】（1）解：由右焦点，得，
由，得，
所以，
则椭圆的标准方程为.
（2）解：（ⅰ）因为平分，
所以，
则，
又因为，所以，
令，，则，
设，，所以，
则，
因为，两点在椭圆上，所以，
则，，
整理得.
又因为，所以，则，
因为直线的斜率，点在轴上方，所以，
则，所以，
则的取值范围.
（ⅱ）由（ⅰ）知，，
由阿波罗尼斯圆的定义知，点，，在以为顶点的阿波罗尼斯圆上，
设该圆圆心为，半径为，与直线的另一交点为，
则，所以，
解得，
因为外接圆的面积为，所以，
则，所以.
又因为，
所以
解得，，
则，
所以，直线的方程为.
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据椭圆右焦点坐标得出c的值，再利用椭圆的离心率公式和椭圆中a，b，c三者的关系式，从而得出a，b的值，进而得出椭圆的标准方程.
（2）（ⅰ）根据角平分线的性质和三角形的面积公式，从而得到，设和，再结合向量的数乘求出点的坐标，再代入椭圆方程求出，再结合直线的斜率和点在轴上方，从而判断出的取值范围，进而代入得出的取值范围.
（ⅱ）由（ⅰ）知，，由阿波罗尼斯圆的定义知，点，，在以为顶点的阿波罗尼斯圆上，从而得出对应边成比例，结合阿波罗尼斯圆的定义和几何关系求出，再代入圆的面积公式求出点的坐标，根据两点求斜率公式得出直线的斜率，最后由斜截式方程得出直线的方程.
（1）由右焦点，得，
由，得，所以，
故椭圆的标准方程为.
（2）（ⅰ）因为平分，所以，
则，
又，所以.
令，，则.
设，，所以，则.
因为，两点在椭圆上，所以，
即，，
整理得.
因为，所以，即.
因为直线的斜率，点在轴上方，则，
所以，所以.
所以的取值范围.
（ⅱ）由（ⅰ）知，，
由阿波罗尼斯圆的定义知，点，，在以为顶点的阿波罗尼斯圆上，
设该圆圆心为，半径为，与直线的另一交点为，
则有，即，解得.
又外接圆的面积为，即，所以，
所以.
又，
所以，
解得，，
所以，
所以直线的方程为.
19．函数．
（1）若，求单调区间；
（2）当时恒成立，求的取值范围；
（3）设，，请比较与大小，并说明理由．
【答案】（1）解：当时，，定义域是，
令，所以．
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
则，，所以在单调递减，
则函数的单调递减区间为，无单调递增区间．
（2）当时，，，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
因为，所以，
则在单调递减，所以恒成立；
当时，，，此时不等式不成立，
当时，，
由，得，
由不等式，，得，
则，
此时不等式不成立．
下证不等式，，
令，，则，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
则，，所以不等式成立，
综上所述，的取值范围是．
（3）解：，证明如下：
因为，所以．
要比较与的大小，
只需证明，．
令，则不等式等价于，
所以，
再令，则，
代入得，
所以，
构造函数，则，
所以，则，
所以，则．当时，等号不成立，
因此，所以，原不等式成立，
额．
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）利用a的值得出函数的解析式再利用导数的正负判断函数的单调性，从而得出函数单调区间．
（2）利用已知条件和分类讨论的方法，再利用导数的正负判断函数的单调性，从而得出函数的最值，从而得出实数a的取值范围．
（3）注意到，则只需比较与，即可，利用换元法，令，化简得，把根号看成整体换元，令，化简得，再构造函数，利用导数的方法求出函数的最值，从而比较出与大小．
（1）时，，定义域是．
，．
时，，单调递增；
时，，单调递减．
故，，故在单调递减．
单调递减区间为，无单调递增区间．
（2）1）时，，．
时，，单调递增；
时，，单调递减．
由于，故．
故在单调递减，故恒成立．
2）时，，，此时不等式不成立．
3）时，，
由，得．由不等式，，得．
故，此时不等式不成立．
下证不等式，．
令，．．
时，，单调递减．
时，，单调递增．
故，，故不等式得证．
综上，的取值范围是．
（3），证明如下：
已知，则．
要比较与的大小，
只需证明，．
令，则不等式等价于，
即．
再令，则，代入得
，
即．
构造函数，则，
，，
故，故．
当时，等号不成立，因此，
从而原不等式成立．
故．
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