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【高考真题】2026年华侨、港澳、台联考高考数学试卷
1．设集合，，则(　　)
A． B．
C． D．
2．(　　)
A． B． C． D．
3．已知是函数的极值点，则(　　)
A．有极大值 B．有极小值
C．有极大值 D．有极小值
4．记为等比数列的前项和，若，，则(　　)
A． B． C． D．
5．下列函数中，既是奇函数又是增函数的为(　　)
A． B． C． D．
6．若直线与圆相切，则(　　)
A． B． C． D．
7．已知向量，则的最大值是(　　)
A． B． C． D．
8．甲、乙等名选手随机分为两组参加比赛，每组名，则甲、乙在同一组的概率为(　　)
A． B． C． D．
9．已知，则的取值范围是(　　)
A． B． C． D．
10．若双曲线：的焦点到其渐近线的距离为，则的方程为(　　)
A． B． C． D．
11．设函数，曲线在点处的切线与直线平行，则　 　 ．
12．若抛物线上纵坐标为的点到其焦点的距离为，则　 　 ．
13．函数的最小值是　 　 ．
14．已知随机变量的所有可能的取值为，，，且，，则　 　 ．
15．已知正三棱柱的底面边长和高都是，点在射线上，且二面角为，则平面截该棱柱所得截面的面积为　 　 ．
16．记为等差数列的前项和，已知，，求．
17．记的内角，，的对边分别为，，，已知．
（1）求；
（2）设，的最长边的边长为，求其最短边的边长．
18．已知椭圆：的离心率为，右顶点为．
（1）求的方程；
（2）设，为上两点，直线的斜率为，，求的面积．
19．已知，函数，．
（1）求的极值；
（2）若过点可作曲线的三条切线，求的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】交集及其运算；其他不等式的解法
【解析】【解答】解：解不等式，可得或，即集合，
集合，则.
故答案为：A.
【分析】先解不等式求得集合N，再根据集合交集运算求解即可.
2．【答案】B
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【解答】解：.
故答案为：B.
【分析】根据复数模公式求解即可.
3．【答案】D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：函数定义域为，，
由题意可得，解得，
当时，，
令，解得，
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减，是导函数的极小值点，
极小值为.
故答案为：D.
【分析】求函数的定义域，再求导，由题意可得，求得a的值，代入导函数中，利用导数判断函数的单调性，求极值即可.
4．【答案】D
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和
【解析】【解答】解：设等比数列的公比为，
由，，可得，，
则.
故答案为：D.
【分析】设等比数列的公比为，由题意，利用等比数列的通项求得基本量，再根据等比数列的求解公式求解即可.
5．【答案】C
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性
【解析】【解答】解：A、函数单调递增，但不是奇函数，故A不符合；
B、函数时奇函数，但不单调，故B不符合；
C、函数时奇函数，且为增函数，故C 符合；
D、函数是奇函数，但不具有单调性，故D不符合.
故答案为：C.
【分析】根据函数的奇偶性和单调性逐项判断即可.
6．【答案】C
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：易知圆的圆心为，半径为，
由题意可得，解得.
故答案为：C.
【分析】易知圆心和半径，由题意可得圆心到直线的距离半径，据此列式求解即可.
7．【答案】B
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；简单的三角恒等变换；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：向量，则
，则的最大值为3.
故答案为：B.
【分析】根据向量模的坐标表示，结合三角函数的恒等变化以及正弦型函数的性质化简求解即可.
8．【答案】A
【知识点】古典概型及其概率计算公式；组合数公式
【解析】【解答】解：10名选手平均分成两组有中不同的分法；
其中甲、乙在同一组的分法有种，则 甲、乙在同一组的概率为.
故答案为：A.
【分析】根据平均分组问题，结合组合数公式求解即可.
9．【答案】B
【知识点】对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：当时，由，可得，不符；
当时，由，可得，则.
故答案为：B.
【分析】分和，利用对数函数的单调性，解对数不等式即可得a的取值范围.
10．【答案】C
【知识点】平面内点到直线的距离公式；双曲线的标准方程；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：易知双曲线：的渐近线方程为，
且，
不妨取，即，
由题意可得，即，解得，，
则双曲线的方程为.
故答案为：C.
【分析】易知渐近线方程为，且，利用点到直线的距离公式求得b，再根据求得a的值，即可得双曲线的方程.
11．【答案】3
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究曲线上某点切线方程；用斜率判定两直线平行
【解析】【解答】解：函数定义域为，求导可得，
因为曲线在点处的切线与直线平行，
所以，解得.
故答案为：.
【分析】求函数的定义域，再求导，利用导数的几何意义，结合直线平行斜率相等求解即可.
12．【答案】4
【知识点】抛物线的定义
【解析】【解答】解：由抛物线的定义可得，解得.
故答案为：.
【分析】根据抛物线的定义求解即可.
13．【答案】
【知识点】二倍角的余弦公式；含三角函数的复合函数的值域与最值；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：
，
当时，函数取得最小值.
故答案为：.
【分析】利用同角三角函数基本关系以及余弦的二倍角公式化简函数，结合二次函数以及正弦函数的性质求解即可.
14．【答案】1
【知识点】概率的基本性质；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：设，由题意可得，
由，可得，解得，
则.
故答案为：.
【分析】设，根据概率的性质，结合期望公式求得，再根据方差计算公式求解即可.
15．【答案】
【知识点】棱柱的结构特征；直线与平面垂直的判定；二面角及二面角的平面角
【解析】【解答】解：如图所示：
取的中点，连接，
因为为正三角形，所以，
又因为三棱柱为正三棱柱，所以平面，所以，
又因为，所以平面，所以，
则 二面角 的平面角为，即，
易知，，，
由，可得，同理，则，且，
则截面为为梯形，且为等腰的高，，
由线段比例关系可得，则梯形的高为，
则截面面积为.
故答案为：.
【分析】取的中点，连接，推出二面角 的平面角为，即，解三角形求得，作出截面，推出截面为梯形，根据相似关系求得梯形的高，再根据梯形面积公式求解即可.
16．【答案】解：设等差数列的公差为，
所以，，
解得或，
当时，，
当时，
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【分析】设等差数列的公差为，由题意利用等差数列的通项列式求得基本量，再根据等差数列的求和公式求解即可.
17．【答案】（1）解：由，可得，
由余弦定理，解得，
因为是三角形内角，，所以，
则；
（2）解：由三角形内角和，得，
，
则是钝角，为三角形最大角，对应最长边，
又，可知是最小锐角，对应最短边，
由，得，
由，得，
代入正弦定理，可得
【知识点】两角和与差的正切公式；同角三角函数间的基本关系；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）利用余弦定理，结合同角三角函数基本关系化简求解即可；
（2）根据三角形内角和定理以及两角和的正切公式化简求得，判断角A 为钝角，是最小锐角，对应最短边，最后利用正弦定理求解即可.
18．【答案】（1）解：由已知，因为，所以，所以，
则椭圆方程为
（2）解：因为直线的斜率为，且过点，所以直线的方程为，即，
联立直线与椭圆方程，解得或，
所以，
因为，所以直线的斜率为，
所以直线的方程为，即，
联立直线与椭圆方程，解得或，
所以，所以，
，因为，
所以的面积为
【知识点】平面内两点间的距离公式；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）易知，由离心率求得，再根据椭圆中的关系求，即可得椭圆方程；
（2）利用点斜式求得直线的方程为，联立直线与椭圆方程，求得点M的坐标，再根据，可得直线的斜率为，求得直线的方程，联立直线与椭圆方程，求得点N的坐标，利用两点间距离公式，结合三角形面积公式求解即可.
19．【答案】（1）解：因为，，
所以，又，
所以当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
时，，单调递增；
所以的极大值为，极小值为；
（2）解：因为，所以，
设过点的切线与切于，
则切线方程为，又其过点，
所以，
所以，所以，
又过点可作曲线的三条切线，
所以与有三个交点，
设，，
则，，
所以当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
又当，且时，；当，且时，；
当时，；
所以的极小值为，
所以要使与有三个交点，
则需．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）先求函数的定义域，再求导，利用导数判断函数的单调性，求极值即可；
（2）求导，利用导数的几何意义，结合点斜式求切线方程，问题转化为与有三个交点，构造函数，利用导数判断函数的单调性，求极值，即可得a的取值范围.
1 / 1【高考真题】2026年华侨、港澳、台联考高考数学试卷
1．设集合，，则(　　)
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】交集及其运算；其他不等式的解法
【解析】【解答】解：解不等式，可得或，即集合，
集合，则.
故答案为：A.
【分析】先解不等式求得集合N，再根据集合交集运算求解即可.
2．(　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【解答】解：.
故答案为：B.
【分析】根据复数模公式求解即可.
3．已知是函数的极值点，则(　　)
A．有极大值 B．有极小值
C．有极大值 D．有极小值
【答案】D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：函数定义域为，，
由题意可得，解得，
当时，，
令，解得，
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减，是导函数的极小值点，
极小值为.
故答案为：D.
【分析】求函数的定义域，再求导，由题意可得，求得a的值，代入导函数中，利用导数判断函数的单调性，求极值即可.
4．记为等比数列的前项和，若，，则(　　)
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和
【解析】【解答】解：设等比数列的公比为，
由，，可得，，
则.
故答案为：D.
【分析】设等比数列的公比为，由题意，利用等比数列的通项求得基本量，再根据等比数列的求解公式求解即可.
5．下列函数中，既是奇函数又是增函数的为(　　)
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性
【解析】【解答】解：A、函数单调递增，但不是奇函数，故A不符合；
B、函数时奇函数，但不单调，故B不符合；
C、函数时奇函数，且为增函数，故C 符合；
D、函数是奇函数，但不具有单调性，故D不符合.
故答案为：C.
【分析】根据函数的奇偶性和单调性逐项判断即可.
6．若直线与圆相切，则(　　)
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：易知圆的圆心为，半径为，
由题意可得，解得.
故答案为：C.
【分析】易知圆心和半径，由题意可得圆心到直线的距离半径，据此列式求解即可.
7．已知向量，则的最大值是(　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；简单的三角恒等变换；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：向量，则
，则的最大值为3.
故答案为：B.
【分析】根据向量模的坐标表示，结合三角函数的恒等变化以及正弦型函数的性质化简求解即可.
8．甲、乙等名选手随机分为两组参加比赛，每组名，则甲、乙在同一组的概率为(　　)
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】古典概型及其概率计算公式；组合数公式
【解析】【解答】解：10名选手平均分成两组有中不同的分法；
其中甲、乙在同一组的分法有种，则 甲、乙在同一组的概率为.
故答案为：A.
【分析】根据平均分组问题，结合组合数公式求解即可.
9．已知，则的取值范围是(　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：当时，由，可得，不符；
当时，由，可得，则.
故答案为：B.
【分析】分和，利用对数函数的单调性，解对数不等式即可得a的取值范围.
10．若双曲线：的焦点到其渐近线的距离为，则的方程为(　　)
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平面内点到直线的距离公式；双曲线的标准方程；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：易知双曲线：的渐近线方程为，
且，
不妨取，即，
由题意可得，即，解得，，
则双曲线的方程为.
故答案为：C.
【分析】易知渐近线方程为，且，利用点到直线的距离公式求得b，再根据求得a的值，即可得双曲线的方程.
11．设函数，曲线在点处的切线与直线平行，则　 　 ．
【答案】3
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究曲线上某点切线方程；用斜率判定两直线平行
【解析】【解答】解：函数定义域为，求导可得，
因为曲线在点处的切线与直线平行，
所以，解得.
故答案为：.
【分析】求函数的定义域，再求导，利用导数的几何意义，结合直线平行斜率相等求解即可.
12．若抛物线上纵坐标为的点到其焦点的距离为，则　 　 ．
【答案】4
【知识点】抛物线的定义
【解析】【解答】解：由抛物线的定义可得，解得.
故答案为：.
【分析】根据抛物线的定义求解即可.
13．函数的最小值是　 　 ．
【答案】
【知识点】二倍角的余弦公式；含三角函数的复合函数的值域与最值；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：
，
当时，函数取得最小值.
故答案为：.
【分析】利用同角三角函数基本关系以及余弦的二倍角公式化简函数，结合二次函数以及正弦函数的性质求解即可.
14．已知随机变量的所有可能的取值为，，，且，，则　 　 ．
【答案】1
【知识点】概率的基本性质；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：设，由题意可得，
由，可得，解得，
则.
故答案为：.
【分析】设，根据概率的性质，结合期望公式求得，再根据方差计算公式求解即可.
15．已知正三棱柱的底面边长和高都是，点在射线上，且二面角为，则平面截该棱柱所得截面的面积为　 　 ．
【答案】
【知识点】棱柱的结构特征；直线与平面垂直的判定；二面角及二面角的平面角
【解析】【解答】解：如图所示：
取的中点，连接，
因为为正三角形，所以，
又因为三棱柱为正三棱柱，所以平面，所以，
又因为，所以平面，所以，
则 二面角 的平面角为，即，
易知，，，
由，可得，同理，则，且，
则截面为为梯形，且为等腰的高，，
由线段比例关系可得，则梯形的高为，
则截面面积为.
故答案为：.
【分析】取的中点，连接，推出二面角 的平面角为，即，解三角形求得，作出截面，推出截面为梯形，根据相似关系求得梯形的高，再根据梯形面积公式求解即可.
16．记为等差数列的前项和，已知，，求．
【答案】解：设等差数列的公差为，
所以，，
解得或，
当时，，
当时，
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【分析】设等差数列的公差为，由题意利用等差数列的通项列式求得基本量，再根据等差数列的求和公式求解即可.
17．记的内角，，的对边分别为，，，已知．
（1）求；
（2）设，的最长边的边长为，求其最短边的边长．
【答案】（1）解：由，可得，
由余弦定理，解得，
因为是三角形内角，，所以，
则；
（2）解：由三角形内角和，得，
，
则是钝角，为三角形最大角，对应最长边，
又，可知是最小锐角，对应最短边，
由，得，
由，得，
代入正弦定理，可得
【知识点】两角和与差的正切公式；同角三角函数间的基本关系；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）利用余弦定理，结合同角三角函数基本关系化简求解即可；
（2）根据三角形内角和定理以及两角和的正切公式化简求得，判断角A 为钝角，是最小锐角，对应最短边，最后利用正弦定理求解即可.
18．已知椭圆：的离心率为，右顶点为．
（1）求的方程；
（2）设，为上两点，直线的斜率为，，求的面积．
【答案】（1）解：由已知，因为，所以，所以，
则椭圆方程为
（2）解：因为直线的斜率为，且过点，所以直线的方程为，即，
联立直线与椭圆方程，解得或，
所以，
因为，所以直线的斜率为，
所以直线的方程为，即，
联立直线与椭圆方程，解得或，
所以，所以，
，因为，
所以的面积为
【知识点】平面内两点间的距离公式；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）易知，由离心率求得，再根据椭圆中的关系求，即可得椭圆方程；
（2）利用点斜式求得直线的方程为，联立直线与椭圆方程，求得点M的坐标，再根据，可得直线的斜率为，求得直线的方程，联立直线与椭圆方程，求得点N的坐标，利用两点间距离公式，结合三角形面积公式求解即可.
19．已知，函数，．
（1）求的极值；
（2）若过点可作曲线的三条切线，求的取值范围．
【答案】（1）解：因为，，
所以，又，
所以当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
时，，单调递增；
所以的极大值为，极小值为；
（2）解：因为，所以，
设过点的切线与切于，
则切线方程为，又其过点，
所以，
所以，所以，
又过点可作曲线的三条切线，
所以与有三个交点，
设，，
则，，
所以当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
又当，且时，；当，且时，；
当时，；
所以的极小值为，
所以要使与有三个交点，
则需．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）先求函数的定义域，再求导，利用导数判断函数的单调性，求极值即可；
（2）求导，利用导数的几何意义，结合点斜式求切线方程，问题转化为与有三个交点，构造函数，利用导数判断函数的单调性，求极值，即可得a的取值范围.
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