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广东省揭阳市惠来县中考2026年二模数学试题
1． 在-2，0，2，5这四个数中，最小的数是（　　）
A．-2 B．0 C．2 D．5
2．武术是我国传统的体育项目．下列武术动作图形中，是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3． 如图，已知直线与直线，都相交.若，，则（　　）
A．53° B．52° C．51° D．50°
4． 在下列事件中，不可能事件是（　　）
A．投掷一枚硬币，正面向上
B．从只有红球的袋子中摸出黄球
C．任意画一个圆，它是轴对称图形
D．射击运动员射击一次，命中靶心
5．已知，则下列不等式一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
6．将分式方程去分母后得到的整式方程为（　　）
A．x+1＝2x B．x+2＝1 C．1＝2x D．x＝2（x+1）
7． 小明随机抽查爱民小区6户家庭月均用水情况，分别是：3，4，5，7，6，5（单位：）.关于这组数据，下列说法正确的是（　　）
A．众数是5 B．中位数是6 C．平均数是6 D．极差是3
8． 当自变量时，下列函数随的增大而增大的是（　　）
A． B．
C． D．
9． 阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球.”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物.这一原理在生活中随处可见.如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头.如图乙所示，动力臂，阻力臂，，则的长度是（　　）
A．80cm B．60cm C．50cm D．40cm
10． 如图，在菱形中，，，动点从点出发沿边匀速运动，运动到点时停止，过点作的垂线，在点运动过程中，垂线扫过菱形（即阴影部分）的面积为，点运动的路程为.下列图象能反映与之间函数关系的是（　　）
A． B．
C． D．
11． 如图，，，则　 　.
12．实数，在数轴上对应点的位置如图所示，则　 　（填“”，“”或“”）．
13． 不等式组的解集是　 　.
14．将直线向上平移个单位长度，若平移后的直线经过第三、第二、第一象限，则的值可以是　 　（写出一个即可）．
15． 跳远运动员李阳对训练效果进行了5次测试，成绩如下：7.9，7.6，7.8，7.7，8.0（单位：m），这五次成绩的平均数为7.8m，方差为0.02；如果李阳再跳一次，成绩为7.8m.则李阳这6次跳远成绩的方差　 　（填“变大”、“不变”或“变小”）.
16．（1）计算：；
（2）已知一次函数的图象经过点与点，求该一次函数的表达式.
17．某文创店推出，两款主题纪念钥匙扣.已知款钥匙扣的单价是款钥匙扣单价的1.25倍，且用105元购买款钥匙扣的数量，比用120元购买款钥匙扣的数量少3个.求这两款钥匙扣的单价.
18．桑梯是我国古代劳动人民发明的一种采桑工具.图①是明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘的桑梯，其示意图如图②所示，已知米，米.在安全使用的前提下，当时，桑梯顶端达到最大高度，求此时到地面的距离.（参考数据：，，，精确到0.1米）
19．如图，在中，，已知为的中点.
（1）求作：过点作直线的垂线；
（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）延长交于点，连接，请判断四边形的形状，并说明理由.
20．张老师早上开车到学校上班有两条路线，路线一经城市高架，路线二经市区道路.为了解上班路上所用时间，张老师记录了20个工作日的上班路上用时，其中10个工作日走路线一，另外10个工作日走路线二.根据记录数据绘制成如下统计图：
（1）根据以上数据把表格补充完整：
平均数 中位数 众数 方差
路线一 　 18 　 2.4
路线二 15.6 　 11 18.04
（2）请你帮助张老师选择其中一种上班路线，并说明理由.
21．综合与实践：
当下快递行业高速发展.某校数学兴趣小组决定开展快递包装盒设计的综合与实践活动课，探索设计包装盒的各种操作技能技巧.
【探索过程】
步骤一：准备长方形纸板，三角尺，剪刀，记号笔；
步骤二：在长方形纸板四个角用记号笔分别画出需要裁剪的小正方形和长方形；兴趣小组将长40cm，宽30cm的长方形纸板按如下方式进行裁剪设计，剪掉阴影部分后，再将四周沿虚线折叠90°，这样便可以制作完成一个长方体盒子.如图，设剪去的小正方形的边长为，长方体的长、宽、高的和为，长方体包装盒的下底面积为.
【操作目标】按要求制作经济实惠的长方体包装盒.
【解决问题】请按要求完成下列任务：
（1）分别求关于，关于的函数解析式；
（2）若设计的长方体包装盒的下底面积为，求的值；
（3）经过考查，当设计的长方体包装盒的长、宽、高的和不低于20cm且不高于44cm时，长方体包装盒最为经济实惠，求此时长方体包装盒的下底面积的最大值及剪去的小正方形的边长.
22．如图，为的直径，和相交于点，平分，点在上，且，交于点.
（1）求证：；
（2）求证：是的切线；
（3）已知：，，求的值.
23．如图1，矩形的顶点，分别在轴和轴上，反比例函数的图象与矩形的边，分别交于点与点.
（1）若点坐标为，求该反比例函数的表达式；
（2）如图2，在（1）的条件下，连接交反比例函数的图象于点，若，求点的坐标；
（3）如图3，连接和，过点作轴的平行线交于点，连接，若，猜想与的数量关系，并证明.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】有理数的大小比较-直接比较法
【解析】【解答】解：∵-2＜0＜2＜5，
∴最小的数是-2.
故答案为：A .
【分析】利用有理数的大小比较可得答案.
2．【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C、是轴对称图形，故此选项符合题意；
D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意．
故选：C．
【分析】
根据轴对称图形的定义为：若一个平面图形沿着某一条直线折叠后，直线两侧的部分能够完全重合，那么这个图形就叫做轴对称图形，逐个判断选项即可得到答案.
3．【答案】D
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：已知 a∥b，直线c截两条平行线，∠1与∠2是内错角，∠1=50 .
根据两直线平行，内错角相等，得 ∠2=∠1=50 .
故答案为：D .
【分析】由两直线平行的条件，识别∠1、∠2为内错角，再由平行线内错角相等的性质，直接推出∠2度数.
4．【答案】B
【知识点】事件的分类；事件发生的可能性
【解析】【解答】解：A为随机事件，不符合题意；
B为不可能事件，符合题意；
C为必然事件，不符合题意；
D为随机事件忙不符合题意.
故答案为：B
【分析】根据事件的分类逐项进行判断即可求出答案.
5．【答案】D
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A：因为a＞b，所以a-1＞b-1，所以A不成立；
B：因为a＞b，所以，所以B不成立；
C：因为a＞b，所以-a＜-b，所以C不成立；
D：因为a＞b，所以2a＞a+b，所以D一定成立。
故答案为：D.
【分析】根据不等式的基本性质，逐项进行推导，即可得出答案。
6．【答案】A
【知识点】去分母法解分式方程
【解析】【解答】解：给方程两边都乘以得：
故答案为：A .
【分析】给方程两边同时乘以各分母的最简公分母即可化分式方程为整式方程.
7．【答案】A
【知识点】平均数及其计算；中位数；众数；极差
【解析】【解答】解：选项 A（众数）：出现次数最多的数是5（出现 2 次），众数为5，A 正确；
选项 B（中位数）：共 6 个数据，中位数为第 3、4 个数的平均数，=5，不是 6，B 错误；
选项 C（平均数）：总和3+4+5+5+6+7=30，平均数30÷6=5，不是 6，C 错误；
选项 D（极差）：最大值7，最小值3，极差7 3=4，不是 3，D 错误。
故答案为：A .
【分析】由原始数据先从小到大排序，再分别依据定义计算众数、中位数、平均数、极差，逐一核对四个选项对错。众数：由出现次数最多的数据定义，直接统计数字频次；中位数：由偶数个数据取中间两数平均值规则计算；平均数：由总和除以数据个数公式计算；
极差：由最大值减去最小值求得.
8．【答案】C
【知识点】反比例函数的性质；一次函数的性质；二次函数y=ax²的性质
【解析】【解答】解：A：y= 3x，一次函数k= 3<0，y随x增大而减小，不符合；
B：y=3x，反比例函数k=3>0，在x>0时y随x增大而减小，不符合；
C：y=3x+1，一次函数k=3>0，全体实数范围内y随x增大而增大，x>1时同样递增，符合；
D：y= (x 1)2 3，二次函数开口向下，对称轴x=1，x>1时y随x增大而减小，不符合。
故答案为：C .
【分析】由一次函数、反比例函数、二次函数的增减性判定规则，分别判断每个选项在x>1区间内y随x的变化趋势，筛选出递增的函数。一次函数：由y=kx+b中k正负判断增减；反比例函数：由k>0时，每个分支内y随x增大而减小判断；二次函数：由开口方向与对称轴划分增减区间，判断x>1部分单调性.
9．【答案】B
【知识点】相似三角形的实际应用
【解析】【解答】解：由图可知：∠A=∠B=90 ，∠AOC=∠BOD（对顶角相等），
∴△ACO∽△BDO。
根据相似三角形对应边成比例：
已知OA=150cm，OB=50cm，BD=20cm，
代入：，
，
AC=60cm .
故答案为：B .
【分析】由两个直角、一组对顶角相等，判定两个直角三角形相似；由相似三角形对应边成比例列等式，代入已知线段长度解方程求出AC，由直角 + 对顶角相等，证△ACO∽△BDO；由相似三角形边长比例关系建立方程；代入数值计算得到AC长度.
10．【答案】A
【知识点】菱形的性质；动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：菱形ABCD，AB=4，∠A=60 ，总路程x范围：0第一段：0过E作EH⊥AD于H，AE=x，∠A=60 AH=x，EH=x
阴影面积（直角三角形）： y= x x=
这是开口向上的二次函数，曲线向上弯曲； 当x=4时，y=16=；
第二段：4BE=x 4，水平向AD延伸的底固定为AH=2，高恒为菱形高，
新增矩形面积： y=S△ABH+ (x 4)=+(x 4)=x
这是一次函数，直线匀速上升；
x=8时，y=×8 =，
只看形态： 第一段曲线二次递增（上凸），第二段直线线性递增，对应图像A。
故答案为：A .
【分析】由E运动路径分为AB、BC两段，由∠A=60 直角三角形面积公式得到011．【答案】136°
【知识点】角的运算
【解析】【解答】解：已知∠BOD=90 ，∠COD=44 .
∴∠BOC=∠BOD ∠COD=90 44 =46 .
又∠AOC=90 .
∴∠AOB=∠AOC+∠BOC=90 +46 =136 .
故答案为：136° .
【分析】由∠BOD=90 减去公共角∠COD，先求出∠BOC；再由∠AOC=90 ，两角相加得到完整的∠AOB。由直角∠BOD与∠COD，求出∠BOC；由∠AOC+∠BOC合并得到∠AOB.
12．【答案】
【知识点】绝对值的概念与意义；判断数轴上未知数的数量关系；数形结合
【解析】【解答】
解：观察数轴可知：
∴|a||b|，
故答案为：；
【分析】根据绝对值的定义：|a|绝对值表示的是数a到原点的距离，即可观察数轴得出答案，解答即可.
13．【答案】
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：不等式组：
1.解不等式②：2x 3<5
2x<5+3
2x<8
x<4
2.结合①x≥ 2，取两个解集公共部分：
解集为 2≤x<4
故答案为： .
【分析】由不等式组解法，分别求解两个一元一次不等式，再取两个解集的公共部分得到不等式组解集。由移项、系数化为 1 解第二个不等式，得到x<4；由 “同大取大、同小取小、大小小大中间找” 的解集规则，结合x≥ 2，合并得 2≤x<4.
14．【答案】2
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系；一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：将直线向上平移个单位长度可得：y=3x-1+m
∵平移后的直线经过第三、第二、第一象限
∴-1+m>0，解得m>1
故答案为：2（答案不唯一，满足即可）
【分析】根据函数图象的平移规律可得平移后的直线为y=3x-1+m，再根据一次函数图象与系数的关系建立不等式，解不等式即可求出答案.
15．【答案】变小
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：已知 5 次成绩平均数x=7.8，方差=0.02，
数据个数n=5 把数值代入公式变形： 所有差的平方相加 = 方差 × 数据个数，
总和 = 0.02×5=0.1，
第 6 次成绩正好等于平均数 7.8， 这个数与平均数的差：7.8 7.8=0，平方后还是0 新的平方总和 = 原来总和 + 0 = 0.1+0=0.1，
现在一共有 6 个数据， 新方差 = 0.1 ÷ 6 ≈ 0.0167，
原来方差0.02，新方差约0.0167，
0.0167<0.02，
所以方差变小，
故答案为：变小 .
【分析】由方差计算公式，先求出 5 组数据的偏差平方总和；新增成绩等于平均数，不会增加平方和，但数据总数变多，分母变大，算出的方差数值更小。由方差公式反向求出所有数据与平均数差值的平方总和；新增数据等于平均数，差值为 0，不会增加平方总和；分子不变，分母变大，最终方差变小.
16．【答案】（1）解：原式.
（2）解：将点（4，5）与点（2，1）代入得，
，
解得，
所以一次函数的表达式为.
【知识点】零指数幂；待定系数法求一次函数解析式；求算术平方根；求正弦值
【解析】【分析】(1)由零指数幂、二次根式、特殊锐角三角函数三个基础定义，分别化简每一项，再进行加减混合运算；
(2)由一次函数图象上的点坐标满足解析式，代入得到二元一次方程组，用加减消元法求出k、b，回代写出函数式。
17．【答案】解：设B款钥匙扣单价是x元，则A款钥匙扣的单价是元，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴，
答：A款钥匙扣单价是15元，B款钥匙扣的单价是12元.
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】由总价、单价、数量关系，先设低价 B 款单价为x，表示出 A 款单价；由 “A 购买数量 = B 购买数量 3” 的等量关系列出分式方程；解出后检验分母不为 0 且符合实际意义，最后求出两款单价。由单价倍数关系设未知数；由数量=，结合数量差建立分式方程；去分母化为一元一次方程求解，分式方程必须检验；回代求出另一款价格，规范作答.
18．【答案】解：过点作于点，如图，
∵，，∴.
∵米，米，∴（米）
在中，
∵，∴，
∴（米）.
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】由等腰三角形内角和求出底角∠C=75 ，由线段相加得到CD总长；由直角三角形正弦定义建立等式，代入参考三角函数值计算垂直高度，最后按要求精确到 0.1 米。由等腰三角形性质，结合三角形内角和算出底角；由线段和求出直角三角形斜边CD；由锐角正弦定义，列出等式求解垂直高度DE.
19．【答案】（1）解：根据要求作出图形，如图即为所求；
（2）解：四边形是矩形.
理由：由条件可知，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，∴四边形是平行四边形，
∵，四边形是矩形.
【知识点】矩形的判定；尺规作图-垂线；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】(1)由尺规作直线垂线的标准作图方法，以C为顶点构造垂直，由画弧取交点、连线两步完成，全程保留作图痕迹.
(2) 由垂直条件推出AB∥CE，得到一组内错角相等；由D为AC中点得AD=CD，搭配对顶角相等，证△ABD与△CED全等；由全等得到BD=DE，结合AD=CD，由对角线互相平分判定四边形是平行四边形；由已知∠ABC=90 ，依据 “有一个直角的平行四边形是矩形” 完成最终判定.
20．【答案】（1）解：18；18；15；
（2）解：选路线二，理由如下：
路线二的平均数小于路线一，路线二的中位数小于路线一，路线二的众数小于路线一，则选路线二.
【知识点】平均数及其计算；方差；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】路线一10 组数据：15，16，20，18，18，19，18，20，17，19.
1.平均数：(15+16+20+18+18+19+18+20+17+19)÷10=18，
2.众数：出现次数最多的是 18，
路线二 10 组数据：11，11，14，16，17，22，21，11，21，12
从小到大排序：11，11，11，12，14，16，17，21，21，22
中位数：第 5、6 个数平均值=15，
填空依次：18、18、15，
故答案为：18、18、15.
【分析】(1)由折线统计图提取两条路线全部用时数据，分别计算对应统计量：由折线图读出 10 组路线一数据，利用平均数 = 所有数据总和 ÷ 数据个数算出路线一平均数；由众数定义（出现次数最多的数）找出路线一众数；由中位数定义，将路线二数据从小到大排序，取中间两个数的平均数得到中位数.
(2)由平均数、中位数、众数反映一组数据平均水平，方差反映数据波动大小，分两类需求判断：追求更少通勤时长：对比平均数、中位数、众数，路线二整体用时更低，选路线二；追求通勤时间稳定：对比方差，路线一方差更小，用时波动小，选路线一.
21．【答案】（1）解：设剪去的小正方形的边长为xcm，长方体的长、宽、高的和为ycm，长方体包装盒的底面积为，
依题意得：，
；
（2）解：∵设计的长方体包装盒的底面积为，
∴，
解得：，（不合题意，舍去），
∴的值为4；
（3）解：由题知，，
解不等式：50 2x≥20 x≤15，
50 2x≤44 x≥3，
得自变量范围：3≤x≤15.
二次函数S=2x2 70x+600，
∵a=2>0，
∴抛物线开口向上，
对称轴：x= ==17.5，
对称轴x=17.5，区间3≤x≤15在对称轴左侧，S随x增大而减小.
最大值在区间最小x=3处：
Smax=2×32 70×3+600 =408.
所以底面积最大值408cm2，对应剪去小正方形边长x=3cm.
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）由裁去小正方形边长，确定折叠后长方体长、宽、高；由三边相加列式化简，得到y与x的一次函数；由底面积 = 长 × 宽，多项式展开整理得到S关于x的二次函数.
(2)将S=352代入函数建立一元二次方程，整理为一元二次标准方程，因式分解求解得到两个根；结合纸板实际尺寸舍去超出范围的根，得到符合题意的x.
(3)由20≤y≤44代入一次函数，解不等式组得到x取值范围；分析由二次函数a符号判断开口方向、对称轴，区间增减性；在区间左端点取到最大值，计算最大底面积与对应边长.
22．【答案】（1）证明：∵为的直径，∴，
∵，∴，∴.
∵，∴，
∴，∴.
（2）证明：连接OC，如图，
∵，∴，
∵平分，∴，∴，∴，
∵，∴，
∵为的半径，是的切线；
（3）解：连接OC，设OC交BF于点E，如图，
∵AB为的直径，∴，
∵，，∴，，
∵AB为的直径，∴，∴，
∵，，∴四边形CDFE为矩形，
∴，∴.
设，则，
∵，，
∴，∴.∴，
∴.∴.
∴.
【知识点】勾股定理；圆周角定理；切线的判定；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）找等角：直径得直角、垂直得直角，得到第一组相等角；利用圆周角定理 + 角平分线，推导出第二组相等角；两组角对应相等，判定两个直角三角形相似；把相似的比例式交叉变形，得到题目要求的乘积等式.
（2）辅助线：连接圆心与切点C，得到半径OC；利用等腰三角形等边对等角、角平分线，推导出AD∥OC；已知CD⊥AD，平行则同位角相等，推出OC⊥CD；套用切线判定定理完成证明.
（3）先利用直径直角△ACB，勾股算出斜边AB长度；结合前一问切线平行结论、直径圆周角，推出OC⊥BF，使用垂径定理，OC平分BF；设OE为未知数，分别在两个共直角边BE的直角三角形中表示BE2，列方程解出OE；回代求出半弦BE，得到完整弦长BF；在Rt△ABF中，根据正弦函数定义，sinα=，代入数值化简得到结果.
23．【答案】（1）解：把代入得：，
解得：，∴；
（2）解：过点F作交OA于G，如图，
则，
∴，
∵，，
∵矩形，，
∴点B的纵坐标为9，即，
∴，即点F的纵坐标为3，
当时，则，
∴，
∴，
∴，∴，
当时，则，
∴；
（3）解：，证明如下：
∵反比例函数的图象与矩形的边，BC分别交于点D与点E，
∴可设，，，
则，，
设直线的解析式为，
把代入，得，
直线的解析式为，
∵轴，
∴点G的纵坐标与点D的纵坐标相同，即点G的纵坐标为，，
把代入得，
∴，
∵，∴轴，∴，
∵轴，，∴，
∵为矩形，，∴四边形为矩形，
连接，如图，
∴，，∴，
∴，
∵，∴，∴，
∴，∴.
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；矩形的判定与性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）由反比例函数定义，图像上点横纵坐标乘积等于k；直接将已知点坐标代入解析式，求出k，写出函数式.
（2）由OB=3OF得到线段比例，构造平行线得到相似三角形；利用相似三角形对应边成比例，求出F点纵坐标；把纵坐标代入反比例求出F横坐标，再反推矩形长OA；D在AB上（横坐标等于OA长度），代入反比例求纵坐标，得到D坐标.
（3）设矩形顶点通用参数坐标，写出E、D坐标；求出对角线OB解析式，结合DG∥x轴求出G点坐标；观察E、G横坐标相等，判定EG垂直横轴，得到矩形BEGD；利用角度倍数关系∠AOE=3∠AOB，拆分角证明等腰三角形，得到线段等量关系；等量代换推导出BG=2OE.
1 / 1广东省揭阳市惠来县中考2026年二模数学试题
1． 在-2，0，2，5这四个数中，最小的数是（　　）
A．-2 B．0 C．2 D．5
【答案】A
【知识点】有理数的大小比较-直接比较法
【解析】【解答】解：∵-2＜0＜2＜5，
∴最小的数是-2.
故答案为：A .
【分析】利用有理数的大小比较可得答案.
2．武术是我国传统的体育项目．下列武术动作图形中，是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C、是轴对称图形，故此选项符合题意；
D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意．
故选：C．
【分析】
根据轴对称图形的定义为：若一个平面图形沿着某一条直线折叠后，直线两侧的部分能够完全重合，那么这个图形就叫做轴对称图形，逐个判断选项即可得到答案.
3． 如图，已知直线与直线，都相交.若，，则（　　）
A．53° B．52° C．51° D．50°
【答案】D
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：已知 a∥b，直线c截两条平行线，∠1与∠2是内错角，∠1=50 .
根据两直线平行，内错角相等，得 ∠2=∠1=50 .
故答案为：D .
【分析】由两直线平行的条件，识别∠1、∠2为内错角，再由平行线内错角相等的性质，直接推出∠2度数.
4． 在下列事件中，不可能事件是（　　）
A．投掷一枚硬币，正面向上
B．从只有红球的袋子中摸出黄球
C．任意画一个圆，它是轴对称图形
D．射击运动员射击一次，命中靶心
【答案】B
【知识点】事件的分类；事件发生的可能性
【解析】【解答】解：A为随机事件，不符合题意；
B为不可能事件，符合题意；
C为必然事件，不符合题意；
D为随机事件忙不符合题意.
故答案为：B
【分析】根据事件的分类逐项进行判断即可求出答案.
5．已知，则下列不等式一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A：因为a＞b，所以a-1＞b-1，所以A不成立；
B：因为a＞b，所以，所以B不成立；
C：因为a＞b，所以-a＜-b，所以C不成立；
D：因为a＞b，所以2a＞a+b，所以D一定成立。
故答案为：D.
【分析】根据不等式的基本性质，逐项进行推导，即可得出答案。
6．将分式方程去分母后得到的整式方程为（　　）
A．x+1＝2x B．x+2＝1 C．1＝2x D．x＝2（x+1）
【答案】A
【知识点】去分母法解分式方程
【解析】【解答】解：给方程两边都乘以得：
故答案为：A .
【分析】给方程两边同时乘以各分母的最简公分母即可化分式方程为整式方程.
7． 小明随机抽查爱民小区6户家庭月均用水情况，分别是：3，4，5，7，6，5（单位：）.关于这组数据，下列说法正确的是（　　）
A．众数是5 B．中位数是6 C．平均数是6 D．极差是3
【答案】A
【知识点】平均数及其计算；中位数；众数；极差
【解析】【解答】解：选项 A（众数）：出现次数最多的数是5（出现 2 次），众数为5，A 正确；
选项 B（中位数）：共 6 个数据，中位数为第 3、4 个数的平均数，=5，不是 6，B 错误；
选项 C（平均数）：总和3+4+5+5+6+7=30，平均数30÷6=5，不是 6，C 错误；
选项 D（极差）：最大值7，最小值3，极差7 3=4，不是 3，D 错误。
故答案为：A .
【分析】由原始数据先从小到大排序，再分别依据定义计算众数、中位数、平均数、极差，逐一核对四个选项对错。众数：由出现次数最多的数据定义，直接统计数字频次；中位数：由偶数个数据取中间两数平均值规则计算；平均数：由总和除以数据个数公式计算；
极差：由最大值减去最小值求得.
8． 当自变量时，下列函数随的增大而增大的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】反比例函数的性质；一次函数的性质；二次函数y=ax²的性质
【解析】【解答】解：A：y= 3x，一次函数k= 3<0，y随x增大而减小，不符合；
B：y=3x，反比例函数k=3>0，在x>0时y随x增大而减小，不符合；
C：y=3x+1，一次函数k=3>0，全体实数范围内y随x增大而增大，x>1时同样递增，符合；
D：y= (x 1)2 3，二次函数开口向下，对称轴x=1，x>1时y随x增大而减小，不符合。
故答案为：C .
【分析】由一次函数、反比例函数、二次函数的增减性判定规则，分别判断每个选项在x>1区间内y随x的变化趋势，筛选出递增的函数。一次函数：由y=kx+b中k正负判断增减；反比例函数：由k>0时，每个分支内y随x增大而减小判断；二次函数：由开口方向与对称轴划分增减区间，判断x>1部分单调性.
9． 阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球.”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物.这一原理在生活中随处可见.如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头.如图乙所示，动力臂，阻力臂，，则的长度是（　　）
A．80cm B．60cm C．50cm D．40cm
【答案】B
【知识点】相似三角形的实际应用
【解析】【解答】解：由图可知：∠A=∠B=90 ，∠AOC=∠BOD（对顶角相等），
∴△ACO∽△BDO。
根据相似三角形对应边成比例：
已知OA=150cm，OB=50cm，BD=20cm，
代入：，
，
AC=60cm .
故答案为：B .
【分析】由两个直角、一组对顶角相等，判定两个直角三角形相似；由相似三角形对应边成比例列等式，代入已知线段长度解方程求出AC，由直角 + 对顶角相等，证△ACO∽△BDO；由相似三角形边长比例关系建立方程；代入数值计算得到AC长度.
10． 如图，在菱形中，，，动点从点出发沿边匀速运动，运动到点时停止，过点作的垂线，在点运动过程中，垂线扫过菱形（即阴影部分）的面积为，点运动的路程为.下列图象能反映与之间函数关系的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】菱形的性质；动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：菱形ABCD，AB=4，∠A=60 ，总路程x范围：0第一段：0过E作EH⊥AD于H，AE=x，∠A=60 AH=x，EH=x
阴影面积（直角三角形）： y= x x=
这是开口向上的二次函数，曲线向上弯曲； 当x=4时，y=16=；
第二段：4BE=x 4，水平向AD延伸的底固定为AH=2，高恒为菱形高，
新增矩形面积： y=S△ABH+ (x 4)=+(x 4)=x
这是一次函数，直线匀速上升；
x=8时，y=×8 =，
只看形态： 第一段曲线二次递增（上凸），第二段直线线性递增，对应图像A。
故答案为：A .
【分析】由E运动路径分为AB、BC两段，由∠A=60 直角三角形面积公式得到011． 如图，，，则　 　.
【答案】136°
【知识点】角的运算
【解析】【解答】解：已知∠BOD=90 ，∠COD=44 .
∴∠BOC=∠BOD ∠COD=90 44 =46 .
又∠AOC=90 .
∴∠AOB=∠AOC+∠BOC=90 +46 =136 .
故答案为：136° .
【分析】由∠BOD=90 减去公共角∠COD，先求出∠BOC；再由∠AOC=90 ，两角相加得到完整的∠AOB。由直角∠BOD与∠COD，求出∠BOC；由∠AOC+∠BOC合并得到∠AOB.
12．实数，在数轴上对应点的位置如图所示，则　 　（填“”，“”或“”）．
【答案】
【知识点】绝对值的概念与意义；判断数轴上未知数的数量关系；数形结合
【解析】【解答】
解：观察数轴可知：
∴|a||b|，
故答案为：；
【分析】根据绝对值的定义：|a|绝对值表示的是数a到原点的距离，即可观察数轴得出答案，解答即可.
13． 不等式组的解集是　 　.
【答案】
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：不等式组：
1.解不等式②：2x 3<5
2x<5+3
2x<8
x<4
2.结合①x≥ 2，取两个解集公共部分：
解集为 2≤x<4
故答案为： .
【分析】由不等式组解法，分别求解两个一元一次不等式，再取两个解集的公共部分得到不等式组解集。由移项、系数化为 1 解第二个不等式，得到x<4；由 “同大取大、同小取小、大小小大中间找” 的解集规则，结合x≥ 2，合并得 2≤x<4.
14．将直线向上平移个单位长度，若平移后的直线经过第三、第二、第一象限，则的值可以是　 　（写出一个即可）．
【答案】2
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系；一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：将直线向上平移个单位长度可得：y=3x-1+m
∵平移后的直线经过第三、第二、第一象限
∴-1+m>0，解得m>1
故答案为：2（答案不唯一，满足即可）
【分析】根据函数图象的平移规律可得平移后的直线为y=3x-1+m，再根据一次函数图象与系数的关系建立不等式，解不等式即可求出答案.
15． 跳远运动员李阳对训练效果进行了5次测试，成绩如下：7.9，7.6，7.8，7.7，8.0（单位：m），这五次成绩的平均数为7.8m，方差为0.02；如果李阳再跳一次，成绩为7.8m.则李阳这6次跳远成绩的方差　 　（填“变大”、“不变”或“变小”）.
【答案】变小
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：已知 5 次成绩平均数x=7.8，方差=0.02，
数据个数n=5 把数值代入公式变形： 所有差的平方相加 = 方差 × 数据个数，
总和 = 0.02×5=0.1，
第 6 次成绩正好等于平均数 7.8， 这个数与平均数的差：7.8 7.8=0，平方后还是0 新的平方总和 = 原来总和 + 0 = 0.1+0=0.1，
现在一共有 6 个数据， 新方差 = 0.1 ÷ 6 ≈ 0.0167，
原来方差0.02，新方差约0.0167，
0.0167<0.02，
所以方差变小，
故答案为：变小 .
【分析】由方差计算公式，先求出 5 组数据的偏差平方总和；新增成绩等于平均数，不会增加平方和，但数据总数变多，分母变大，算出的方差数值更小。由方差公式反向求出所有数据与平均数差值的平方总和；新增数据等于平均数，差值为 0，不会增加平方总和；分子不变，分母变大，最终方差变小.
16．（1）计算：；
（2）已知一次函数的图象经过点与点，求该一次函数的表达式.
【答案】（1）解：原式.
（2）解：将点（4，5）与点（2，1）代入得，
，
解得，
所以一次函数的表达式为.
【知识点】零指数幂；待定系数法求一次函数解析式；求算术平方根；求正弦值
【解析】【分析】(1)由零指数幂、二次根式、特殊锐角三角函数三个基础定义，分别化简每一项，再进行加减混合运算；
(2)由一次函数图象上的点坐标满足解析式，代入得到二元一次方程组，用加减消元法求出k、b，回代写出函数式。
17．某文创店推出，两款主题纪念钥匙扣.已知款钥匙扣的单价是款钥匙扣单价的1.25倍，且用105元购买款钥匙扣的数量，比用120元购买款钥匙扣的数量少3个.求这两款钥匙扣的单价.
【答案】解：设B款钥匙扣单价是x元，则A款钥匙扣的单价是元，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴，
答：A款钥匙扣单价是15元，B款钥匙扣的单价是12元.
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】由总价、单价、数量关系，先设低价 B 款单价为x，表示出 A 款单价；由 “A 购买数量 = B 购买数量 3” 的等量关系列出分式方程；解出后检验分母不为 0 且符合实际意义，最后求出两款单价。由单价倍数关系设未知数；由数量=，结合数量差建立分式方程；去分母化为一元一次方程求解，分式方程必须检验；回代求出另一款价格，规范作答.
18．桑梯是我国古代劳动人民发明的一种采桑工具.图①是明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘的桑梯，其示意图如图②所示，已知米，米.在安全使用的前提下，当时，桑梯顶端达到最大高度，求此时到地面的距离.（参考数据：，，，精确到0.1米）
【答案】解：过点作于点，如图，
∵，，∴.
∵米，米，∴（米）
在中，
∵，∴，
∴（米）.
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】由等腰三角形内角和求出底角∠C=75 ，由线段相加得到CD总长；由直角三角形正弦定义建立等式，代入参考三角函数值计算垂直高度，最后按要求精确到 0.1 米。由等腰三角形性质，结合三角形内角和算出底角；由线段和求出直角三角形斜边CD；由锐角正弦定义，列出等式求解垂直高度DE.
19．如图，在中，，已知为的中点.
（1）求作：过点作直线的垂线；
（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）延长交于点，连接，请判断四边形的形状，并说明理由.
【答案】（1）解：根据要求作出图形，如图即为所求；
（2）解：四边形是矩形.
理由：由条件可知，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，∴四边形是平行四边形，
∵，四边形是矩形.
【知识点】矩形的判定；尺规作图-垂线；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】(1)由尺规作直线垂线的标准作图方法，以C为顶点构造垂直，由画弧取交点、连线两步完成，全程保留作图痕迹.
(2) 由垂直条件推出AB∥CE，得到一组内错角相等；由D为AC中点得AD=CD，搭配对顶角相等，证△ABD与△CED全等；由全等得到BD=DE，结合AD=CD，由对角线互相平分判定四边形是平行四边形；由已知∠ABC=90 ，依据 “有一个直角的平行四边形是矩形” 完成最终判定.
20．张老师早上开车到学校上班有两条路线，路线一经城市高架，路线二经市区道路.为了解上班路上所用时间，张老师记录了20个工作日的上班路上用时，其中10个工作日走路线一，另外10个工作日走路线二.根据记录数据绘制成如下统计图：
（1）根据以上数据把表格补充完整：
平均数 中位数 众数 方差
路线一 　 18 　 2.4
路线二 15.6 　 11 18.04
（2）请你帮助张老师选择其中一种上班路线，并说明理由.
【答案】（1）解：18；18；15；
（2）解：选路线二，理由如下：
路线二的平均数小于路线一，路线二的中位数小于路线一，路线二的众数小于路线一，则选路线二.
【知识点】平均数及其计算；方差；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】路线一10 组数据：15，16，20，18，18，19，18，20，17，19.
1.平均数：(15+16+20+18+18+19+18+20+17+19)÷10=18，
2.众数：出现次数最多的是 18，
路线二 10 组数据：11，11，14，16，17，22，21，11，21，12
从小到大排序：11，11，11，12，14，16，17，21，21，22
中位数：第 5、6 个数平均值=15，
填空依次：18、18、15，
故答案为：18、18、15.
【分析】(1)由折线统计图提取两条路线全部用时数据，分别计算对应统计量：由折线图读出 10 组路线一数据，利用平均数 = 所有数据总和 ÷ 数据个数算出路线一平均数；由众数定义（出现次数最多的数）找出路线一众数；由中位数定义，将路线二数据从小到大排序，取中间两个数的平均数得到中位数.
(2)由平均数、中位数、众数反映一组数据平均水平，方差反映数据波动大小，分两类需求判断：追求更少通勤时长：对比平均数、中位数、众数，路线二整体用时更低，选路线二；追求通勤时间稳定：对比方差，路线一方差更小，用时波动小，选路线一.
21．综合与实践：
当下快递行业高速发展.某校数学兴趣小组决定开展快递包装盒设计的综合与实践活动课，探索设计包装盒的各种操作技能技巧.
【探索过程】
步骤一：准备长方形纸板，三角尺，剪刀，记号笔；
步骤二：在长方形纸板四个角用记号笔分别画出需要裁剪的小正方形和长方形；兴趣小组将长40cm，宽30cm的长方形纸板按如下方式进行裁剪设计，剪掉阴影部分后，再将四周沿虚线折叠90°，这样便可以制作完成一个长方体盒子.如图，设剪去的小正方形的边长为，长方体的长、宽、高的和为，长方体包装盒的下底面积为.
【操作目标】按要求制作经济实惠的长方体包装盒.
【解决问题】请按要求完成下列任务：
（1）分别求关于，关于的函数解析式；
（2）若设计的长方体包装盒的下底面积为，求的值；
（3）经过考查，当设计的长方体包装盒的长、宽、高的和不低于20cm且不高于44cm时，长方体包装盒最为经济实惠，求此时长方体包装盒的下底面积的最大值及剪去的小正方形的边长.
【答案】（1）解：设剪去的小正方形的边长为xcm，长方体的长、宽、高的和为ycm，长方体包装盒的底面积为，
依题意得：，
；
（2）解：∵设计的长方体包装盒的底面积为，
∴，
解得：，（不合题意，舍去），
∴的值为4；
（3）解：由题知，，
解不等式：50 2x≥20 x≤15，
50 2x≤44 x≥3，
得自变量范围：3≤x≤15.
二次函数S=2x2 70x+600，
∵a=2>0，
∴抛物线开口向上，
对称轴：x= ==17.5，
对称轴x=17.5，区间3≤x≤15在对称轴左侧，S随x增大而减小.
最大值在区间最小x=3处：
Smax=2×32 70×3+600 =408.
所以底面积最大值408cm2，对应剪去小正方形边长x=3cm.
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）由裁去小正方形边长，确定折叠后长方体长、宽、高；由三边相加列式化简，得到y与x的一次函数；由底面积 = 长 × 宽，多项式展开整理得到S关于x的二次函数.
(2)将S=352代入函数建立一元二次方程，整理为一元二次标准方程，因式分解求解得到两个根；结合纸板实际尺寸舍去超出范围的根，得到符合题意的x.
(3)由20≤y≤44代入一次函数，解不等式组得到x取值范围；分析由二次函数a符号判断开口方向、对称轴，区间增减性；在区间左端点取到最大值，计算最大底面积与对应边长.
22．如图，为的直径，和相交于点，平分，点在上，且，交于点.
（1）求证：；
（2）求证：是的切线；
（3）已知：，，求的值.
【答案】（1）证明：∵为的直径，∴，
∵，∴，∴.
∵，∴，
∴，∴.
（2）证明：连接OC，如图，
∵，∴，
∵平分，∴，∴，∴，
∵，∴，
∵为的半径，是的切线；
（3）解：连接OC，设OC交BF于点E，如图，
∵AB为的直径，∴，
∵，，∴，，
∵AB为的直径，∴，∴，
∵，，∴四边形CDFE为矩形，
∴，∴.
设，则，
∵，，
∴，∴.∴，
∴.∴.
∴.
【知识点】勾股定理；圆周角定理；切线的判定；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）找等角：直径得直角、垂直得直角，得到第一组相等角；利用圆周角定理 + 角平分线，推导出第二组相等角；两组角对应相等，判定两个直角三角形相似；把相似的比例式交叉变形，得到题目要求的乘积等式.
（2）辅助线：连接圆心与切点C，得到半径OC；利用等腰三角形等边对等角、角平分线，推导出AD∥OC；已知CD⊥AD，平行则同位角相等，推出OC⊥CD；套用切线判定定理完成证明.
（3）先利用直径直角△ACB，勾股算出斜边AB长度；结合前一问切线平行结论、直径圆周角，推出OC⊥BF，使用垂径定理，OC平分BF；设OE为未知数，分别在两个共直角边BE的直角三角形中表示BE2，列方程解出OE；回代求出半弦BE，得到完整弦长BF；在Rt△ABF中，根据正弦函数定义，sinα=，代入数值化简得到结果.
23．如图1，矩形的顶点，分别在轴和轴上，反比例函数的图象与矩形的边，分别交于点与点.
（1）若点坐标为，求该反比例函数的表达式；
（2）如图2，在（1）的条件下，连接交反比例函数的图象于点，若，求点的坐标；
（3）如图3，连接和，过点作轴的平行线交于点，连接，若，猜想与的数量关系，并证明.
【答案】（1）解：把代入得：，
解得：，∴；
（2）解：过点F作交OA于G，如图，
则，
∴，
∵，，
∵矩形，，
∴点B的纵坐标为9，即，
∴，即点F的纵坐标为3，
当时，则，
∴，
∴，
∴，∴，
当时，则，
∴；
（3）解：，证明如下：
∵反比例函数的图象与矩形的边，BC分别交于点D与点E，
∴可设，，，
则，，
设直线的解析式为，
把代入，得，
直线的解析式为，
∵轴，
∴点G的纵坐标与点D的纵坐标相同，即点G的纵坐标为，，
把代入得，
∴，
∵，∴轴，∴，
∵轴，，∴，
∵为矩形，，∴四边形为矩形，
连接，如图，
∴，，∴，
∴，
∵，∴，∴，
∴，∴.
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；矩形的判定与性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）由反比例函数定义，图像上点横纵坐标乘积等于k；直接将已知点坐标代入解析式，求出k，写出函数式.
（2）由OB=3OF得到线段比例，构造平行线得到相似三角形；利用相似三角形对应边成比例，求出F点纵坐标；把纵坐标代入反比例求出F横坐标，再反推矩形长OA；D在AB上（横坐标等于OA长度），代入反比例求纵坐标，得到D坐标.
（3）设矩形顶点通用参数坐标，写出E、D坐标；求出对角线OB解析式，结合DG∥x轴求出G点坐标；观察E、G横坐标相等，判定EG垂直横轴，得到矩形BEGD；利用角度倍数关系∠AOE=3∠AOB，拆分角证明等腰三角形，得到线段等量关系；等量代换推导出BG=2OE.
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