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吉林省松原市前郭县四校2024-2025学年八年级下学期期末数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．与结果不相同的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式的乘除混合运算；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：先计算题目给出的原式：
，题目要求选出计算结果和原式结果不相等的选项，raou 逐个计算每个选项：
A选项：，计算结果和原式结果相等，不符合题目要求；
B选项：，计算结果和原式结果相等，不符合题目要求；
C选项：，计算结果和原式结果相等，不符合题目要求；
D选项：，计算结果和原式结果不相等，符合题目要求；
故选；D。
【分析】本题的解题思路是先运用二次根式的运算法则，计算出题干算式的最终结果，再依次计算每个选项的结果，最后将选项的计算结果和题干的计算结果进行对比，就能得到正确答案
2．近年来，我国棉花产量规模保持相对稳定的发展态势，如表是年我国棉花产量的统计结果：
年份（年）
产量（万吨）
则年我国棉花产量的中位数为（　　）
A．万吨 B．万吨 C．万吨 D．万吨
【答案】A
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：年我国棉花产量按从少到多的顺序排列为：、、、、、、、，
所以这组数据的中位数是．
故答案为：A．
【分析】将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数，据此解答即可.
3．对于正比例函数，下列说法正确的是（　　）
A．函数的图象从左到右呈上升趋势
B．函数的图象经过第一、三象限
C．函数的图象与y轴正半轴的夹角为
D．图象向上平移2个单位后的表达式为
【答案】D
【知识点】正比例函数的性质
【解析】【解答】解：对于正比例函数，比例系数，
该函数的图象经过第二、四象限，随的增大而减小，函数图象从左到右呈下降趋势，因此选项、的说法错误；
当正比例函数解析式为时，它的图象和轴正半轴的夹角才是，
的图象与轴正半轴的夹角不等于，因此选项的说法错误；
把函数的图象向上平移2个单位，根据平移规律可得新函数解析式为，因此选项的说法正确。
故选：D．
【分析】根据一次函数的性质与平移的规律，对每个选项逐一验证判断。
4．如图，在长方形ABCD中无重叠放入面积分别为27和12的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（　　）
A． B．6 C． D．4
【答案】B
【知识点】二次根式的混合运算；二次根式的实际应用
【解析】【解答】解：根据题意，先计算两个正方形的边长：
面积为27的正方形边长为，面积为12的正方形边长为；
图中空白部分的面积为：.
故答案为：B.
【分析】先根据正方形面积求出对应边长，再结合图形可得，空白部分面积为长方形面积，长为小正方形边长，宽为大小正方形边长的差，进而根据长方形面积公式列式计算即可.
5．下列四个三角形都在正方形网格中，且三角形的顶点都在格点上，其中是直角三角形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】[解答】先设每个小正方形的边长为1，接下来结合勾股定理的逆定理，逐一验证每个选项中的三角形是否为直角三角形：
选项A：计算得三角形的三边长分别为，，边长的平方满足，不满足勾股定理的逆定理，因此该三角形不是直角三角形，不符合题意。
选项B：计算得三角形的三边长分别为，，，边长的平方满足，不满足勾股定理的逆定理，因此该三角形不是直角三角形，不符合题意。
选项C：计算得三角形的三边长分别为，，，边长的平方满足，不满足勾股定理的逆定理，因此该三角形不是直角三角形，不符合题意。
选项D：计算得三角形的三边长分别为，，，边长的平方满足，满足勾股定理的逆定理，因此该三角形是直角三角形，符合题意。
故选：D。
【分析】根据勾股定理的逆定理的应用，解题方法为：设每个小正方形的边长为1，先根据勾股定理求出三角形各边的平方，再验证是否满足两条较短边的平方和等于最长边的平方，即可判断三角形是否为直角三角形。
6．如图，某校准备在一个矩形场地中修建两条甬道，一条是矩形甬道，一条是平行四边形甬道，其余部分为草坪，若，，，则草坪面积是（　　）．
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】多项式乘多项式；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：如图：
∵，
∴，
∴
．
故选A．
【分析】由题意可得，根据图形的构成即可求解．
7．某中学举行“青春风采杯”校园学科节活动，星期一至星期五都安排了丰富多彩的学科活动，学校教务处还招聘了部分同学担任学科节的志愿者，如图是每天安排的学生志愿者人数，但统计数据后，教务处发现星期三实际上有21位志愿者，那么下面关于平均数与中位数变化情况的叙述中，正确的是（　　）
A．平均数增加了1，中位数未变
B．平均数增加了1，中位数增加了1
C．平均数增加了1，中位数增加了5
D．平均数增加了5，中位数增加了1
【答案】B
【知识点】条形统计图；平均数及其计算；中位数
【解析】【解答】解：当星期三志愿者为16时，这五天志愿者人数从小到大排列分别为16、16、20、22、26，平均数为，中位数为20；
当星期三志愿者为21人时，这五天志愿者人数从小到大排列分别为16、20、21、22、26，平均数为，中位数为21；
此时平均数增加了1，中位数增加了
故选：B．
【分析】分别求出原数据和实际数据的中位数，平均数，比较解答即可．
8．如图，直线分别交坐标轴于点C、D，x轴上一点A关于直线的对称点坐标为，则k的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】菱形的判定与性质；坐标与图形变化﹣对称；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：连接，交于点，连接、、，
直线分别交坐标轴于点、，
，
点坐标为，
∵，
，，，
由题意可知，，，垂直平分，
，
，
，
，
四边形是菱形，
，
，
，
，
直线分别交坐标轴于点、，
，
解得．
故选：C．
【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征，连接，交于点，连接、、，与、的坐标可知，即可得到，，，再根据轴对称的性质得到，，垂直平分，证得，再证四边形是菱形，可得，利用勾股定理求得，即可求得点的坐标（6，0），利用待定系数法可得，解之即可。
9．如图，在平面直角坐标系中放置一菱形，已知，点B在y轴上，，将菱形沿x轴的正方向无滑动翻转，每次翻转，连续翻转2024次，点B的落点依次为，……，则的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质；坐标与图形变化﹣旋转；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：连接，
∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
画出第5次，第6次，第7次翻折后的图形，如图所示，
由图可知，每翻转6次，图形向右平移4个单位，
∵，
∴点向右平移个单位到点，落在x轴上，
∴的坐标为，
故选：C．
【分析】根据菱形的性质可知，再根据是等边三角形的性质可知，观察发现每翻转6次，图形向右平移4个单位，可得即点向右平移个单位到点，落在x轴上，可得的坐标为．
10．如图①，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．连接四条线段得到如图②的新的图案，如果图①中的直角三角形的长直角边为，短直角边为，则图中的阴影部分的周长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次根式的混合运算；勾股定理；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：如图，
∵直角三角形的长直角边为，短直角边为，
∴，，
∴，
∴，
∴图中的阴影部分的周长为.
故答案为：B．
【分析】如图，对图形作标注，由题意易得AB=CD=6，BC=10，由线段和差可得BD=4，然后在Rt△ABD中，利用勾股定理算出AD的长，最后根据图形周长计算方法及图形特点可得阴影部分的周长为4(AD+AB)，从而代值计算即可.
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分．
11．边长为a，b的长方形如图所示，若它的周长为，面积为，则的值为 　 　．
【答案】
【知识点】二次根式的混合运算；求代数式的值-整体代入求值；因式分解的应用-简便运算
【解析】【解答】解：∵边长为a，b的长方形周长为，面积为，
∴，，
∴
．
故答案为：．
【分析】根据题意，由长方形周长及面积计算公式可得，，然后将待求式子利用提取公因式法分解因式后整体代入计算即可.
12．如图，四边形中，，则的长为　 　．
【答案】
【知识点】三角形外角的概念及性质；等边三角形的判定与性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图所示，取的中点E，连接，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据已知条件判断等边三角形，再根据等边三角形的性质，结合勾股定理及三角形外角的性质，取的中点E，连接，证明是等边三角形，得到，根据三角形外角的性质得到，可得，根据勾股定理得到；再证明是等边三角形，得到，则，可得．
13．某芭蕾舞团新进一批女演员，她们的身高及其对应人数情况如表所示，那么，这批女演员身高的方差为　 　．
身高 163 164 165 166 168
人数 1 2 3 1 1
【答案】
【知识点】方差
【解析】【解答】解：这组数据的平均数为，
∴方差为，
故答案为：．
【分析】方差就是一组数据的各个数据与其平均数差的平方和的算术平均数，据此先算出这组数据的平均数，进而再计算出方差即可.
14．如图所示，正方形ABCD和正方形OEFG的边长均为5，O为正方形ABCD的中心，则图中重叠部分的面积是 　 　．
【答案】
【知识点】正方形的性质；几何图形的面积计算-割补法；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：如图，连接OB、OC．
∵ 正方形ABCD和正方形OEFG的边长均为5，O为正方形ABCD的中心，
∴OB＝OC，∠OBG＝∠OCB＝45°，∠COB=∠EOG=90°，
∴∠COH+∠BOH＝90°，∠BOG+∠BOH＝90°，
∴∠COH＝∠BOG．
在△OBG与△OCH中，
∵，
∴△OBG≌△OCH（ASA），
∴S△OBG＝S△OCH，
∴重叠部分的面积＝△OBC的面积S正方形ABCD．
∵S正方形ABCD＝52＝25，
∴重叠部分的面积是．
故答案为：．
【分析】如图，连接OB、OC，根据正方形的对角线相等、互相垂直平分且每一条对角线平分一组对角可得OB＝OC，∠OBG＝∠OCB＝45°，∠COB=∠EOG=90°，由角的构成及同角的余角相等推出∠COH＝∠BOG，从而利用““ASA””证明△OBG≌△OCH，由全等三角形的面积相等及割补法可求出重叠部分的面积等于△OBC的面积，且等于正方形的面积的，据此即可求出答案.
15．如图，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，C在y轴的正半轴上，D在直线上，且，．若点P为线段上的一个动点，且P关于x轴的对称点Q总在内（不包括边界），则点P的横坐标m的取值范围为　 　．
【答案】
【知识点】解一元一次不等式组；待定系数法求一次函数解析式；关于坐标轴对称的点的坐标特征；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：在中，
当时，，
当时，，解得：，
∴，
∴OB=6，
∵C在y轴的正半轴上，，
∴，
∵，
∴点D在线段的垂直平分线上，
即点D在直线上，
在中，
当时，，
∴；
设直线解析式为，
把点和代入得：
，
解得：，
∴直线解析式为，
同理可得直线的解析式为，
∵点P为线段上的一个动点，且其横坐标为m，
∴，
∵P、Q关于x轴对称，
∴，
∵点Q总在内(不包括边界)，
∴
解得：．
故答案为：.
【分析】根据直线与坐标轴交点坐标特点，分别令直线y=2x-6中的x=0与y=0，算出对应的y与x的值，可求出点A、B的坐标；然后根据OC=BC-OB算出OC的长得到点D的坐标；由到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上得出点D在线段OC的垂直平分线上，由点的坐标与图形性质可得点D的纵坐标为2，然后将y=2代入直线y=2x-6算出对应的x的值，即可求出点C的坐标；分别利用待定系数法求出直线OD与CD的解析式；由点的坐标与图形性质得P(m，2m-6)，根据关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数得Q(m，6-2m)，进而根据点Q总在△OCD内(不包括边界)，可列出关于字母m的不等式组，求解即可得出m的取值范围.
三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16．计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）先利用乘法分配律展开括号，同时根据二次根式性质化简减数，进而计算二次根式的乘法，最后合并同类二次根式即可；
（2）先利用乘法分配律展开括号，同时根据二次根式性质化简减数的分子，进而计算二次根式的乘法和除法，最后计算有理数的加减法运算即可.
（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
17．阅读下列内容：设a，b，c是一个三角形的三条边的长，且a是最长边，我们可以利用a，b，c三边长之间的关系来判断这个三角形的形状：①若，则该三角形是直角三角形；②若，则该三角形是钝角三角形；③若，则该三角形是锐角三角形．例如：若一个三角形的三边长分别是4，5，6，则最长边是6，由于，故由上面的③可知该三角形是锐角三角形．请解答以下问题：
（1）若一个三角形的三边的长分别是6，7，8，则该三角形的形状是 三角形．
（2）若一个三角形的三边的长分别是5，12，x，且这个三角形是直角三角形，求x的值．
（3）若一个三角形的三条边的长分别是，，，请判断这个三角形的形状，并写出你的判断过程．
【答案】（1）锐角
（2）∵这个三角形的三条边的长分别是5，12，x，且这个三角形是直角三角形，∴或，
解得或（负值均舍去），
∴x的值为13或．
（3）这个三角形是直角三角形．过程如下：∵
，
∴这个三条边的长分别是，，的三角形是直角三角形．
【知识点】勾股定理的逆定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】
解：（1）∵，
∴该三角形是锐角三角形，
故答案为：锐角；
【分析】
本题考查了三角形形状的判定方法、勾股定理、勾股定理的逆定理.
（1）先确定最长边，再比较最长边的平方与另两边平方和的大小，据此判断三角形为锐角三角形；
（2）针对直角三角形，分“x为最长边”和“12为最长边”两种情况，用勾股定理求解x的所有可能值.
（3）先确定三边中的最长边，再通过代数运算验证最长边的平方等于另两边的平方和，用勾股定理的逆定理证明三角形为直角三角形.
（1）∵，
∴该三角形是锐角三角形，
故答案为：锐角；
（2）∵这个三角形的三条边的长分别是5，12，x，且这个三角形是直角三角形，
∴或，
解得或（负值均舍去），
∴x的值为13或．
（3）这个三角形是直角三角形．过程如下：
∵
，
∴这个三条边的长分别是，，的三角形是直角三角形．
18．某校为了解学生的身体素质情况，对全校学生进行体能测试，现从七、八两个年级各随机抽取10名学生的成绩（满分为100分）进行调查分析，过程如下：
（1）收集数据
七年级：90，85.80，95，80，90，80，85，95，100
八年级：90，85，90，80，95，100，90，85，95，100
（2）整理数据
分数 80 85 90 95 100
七年级人数 3 2 2 2 1
八年级人数 1 2 3 2 a
（3）分析数据
　 平均数 中位数 众数 方差
七年级 88 c d e
八年级 b 90 90 39
根据以上信息回答问题：
（1）直接写出表格中的值：_________，_________，_________，__________，_________．
（2）该校七、八年级各有学生800人，本次竞赛成绒不低于90分的为“优秀”，估计这两个年级共有多少名学生达到“优秀”？
【答案】（1）2，91，87.5，80，46
解：（2）（人），
答：这两个年级共有960名学生达到“优秀”．
【知识点】加权平均数及其计算；中位数；方差；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）a=10-1-2-3-2=2；
；
；
d=80；
；
故答案为：2，91，87.5，80，46；
【分析】（1）用总人数10减去其他得分的人数即可得到a的值；平均数是指一组数据之和，除以这组数的个数；众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做众数，(众数可能有多个)；中位数：将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数；方差就是一组数据的各个数据与其平均数差的平方和的算术平均数，据此分别计算后即可判断得出答案；
（2）用每个年级的总人数乘以样本中成绩“优秀”的人数所占比例，两者相加即可得到答案．
19．【阅读理解】在平面直角坐标系中，设计了点的两种移动方式：从点移动到点称为一次甲方式；从点移动到点称为一次乙方式．例点从原点出发连续移动2次：都按甲方式，最终移动到点；若都按乙方式，最终移动到点；若按1次甲方式和1次乙方式，最终移动到点．
【应用】点从原点出发连续移动次，每次移动按甲方式或乙方式，最终移动到点．其中，按甲方式移动了次．
（1）当时，若点恰好落在直线上，求的值；
（2）无论怎样变化，点都在自变量的系数为定值的直线上，，，
①若点、点位于直线的两侧，求的取值范围；
②若点关于直线的对称点落在轴上，直接写出的值．
【答案】（1）解：已知，其中，按甲方式移动了次，则按乙方式移动了次，
根据平移方式，点的坐标为，
由题意得，
解得；
（2）解：①设这条直线的解析式为，点按甲方式移动了次，又点从原点出发连续移动次，则点按乙方式移动了次，∴点按甲方式移动了次后得到的点的坐标为，点按乙方式移动了次，得到点的坐标为，
由题意得，即，
∵无论怎样变化，点都在自变量的系数为定值的直线上，
∴，
解得，，
∴直线的解析式为，
若点、点位于直线的两侧，
情况一：直线恰好经过，代入得，即，
情况一：直线恰好经过，代入得，即，
∴若点、点位于直线的两侧，的取值范围是；
②．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；等腰三角形的判定与性质；坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】（2）②点关于直线的对称点落在轴上，
记直线与轴、轴的交点为，
过点作轴于点，连接，与直线交于点，如图，
根据题意得，，
∴，
∴，
根据轴对称的性质得，，
∴，且，
∴是等腰直角三角形，，
∴，
∴，
∵是的中点，
∴且，
∴点与点重合，
∴，
∴．
【分析]（1）根据平移方式，求得点的坐标为，可得，解之n=7；
（2）①根据平移方式，求得点的坐标为，代入求得，令，求得直线的解析式为，根据点P、点Q位于直线的两侧，分别经过点、点可求得的取值范围；
②画出图形根据等腰三角形的性质及轴对称的性质可得且，再由中点得出 点与点重合 ，列出方程，解答即可．
20．数学活动课上，数学兴趣小组的几名同学探究用n个面积为的小正方形纸片剪拼成一个面积为的大正方形．下面是他们探究的部分结果：
（1）如图1，当时，拼成的大正方形的边长为
如图2，当时，拼成的大正方形的边长为
如图3，当时，拼成的大正方形的边长为
（2）小李想沿着正方形纸片边的方向能否裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长宽之比为？他能裁出吗？请说明理由．
（3）小周想沿着正方形纸片边的方向能否裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长宽之比为，且要求长方形的四周至少留出的边框？若能，请给出一种合适的裁剪方案；若不能，请说明理由．
【答案】（1）；；
（2）能裁出这样的长方形，理由如下：设长方形的长为，则宽为
∴
解得：
∴
∴能裁出这样的长方形．
（3）解：不能裁出这样的长方形，理由如下：设长方形的长为，则宽为
∴
解得：
∴
又∵要求长方形的四周至少留出的边框
因此加边框后的长至少要
∵
∴不能裁出这样的长方形．
【知识点】利用开平方求未知数；算术平方根的实际应用
【解析】【解答】（1）解：当时，则正方形的面积为，边长为；
当时，则正方形的面积为，边长为；
当时，则正方形的面积为，边长为．
【分析】（1）①先得出时图形的面积是2，再根据正方形的性质，求得边长是；②先得出时图形的面积是5，再根据正方形的性质，求得边长；③先得出时图形的面积是10，然后根据正方形的性质，求得边长是；
（2）先假设可行，设长方形的长宽分别为和，根据面积，可得的值，发现的值比正方形的边长小，故可能；
（3）先假设可行，设长方形的长宽分别为和，根据面积，可得的值，，发现加边框后的长至少要，比正方形的边长大，故不可能．
（1）解：当时，则正方形的面积为，边长为；
当时，则正方形的面积为，边长为；
当时，则正方形的面积为，边长为．
（2）能裁出这样的长方形，理由如下：
设长方形的长为，则宽为
∴
解得：
∴
∴能裁出这样的长方形．
（3）不能裁出这样的长方形，理由如下：
设长方形的长为，则宽为
∴
解得：
∴
又∵要求长方形的四周至少留出的边框
因此加边框后的长至少要
∵
∴不能裁出这样的长方形．
21．如图，在正方形中，E是线段上的动点，连接，过点D作点F在直线的下方，且，连接
（1）【动手操作】
在图中画出线段，则与的数量关系是______；
（2）【问题解决】
利用（1）题画出的图形，证明B，C，F三点在一条直线上；
（3）【问题探究】
取的中点P，连接，求的值．
【答案】（1）解：根据题意画出图形如图1所示：
∠ADE=∠CDF
（2）证明：连接，如图2所示：
四边形为正方形，
，，
在和中，
，
∴，
，
，
，C，F三点在一条直线上；
（3）解：连接，过点P作于H，如图3所示：
，，
和均为直角三角形，
点P为的中点，
，，
，
在和中，
，
，
，
，
为等腰直角三角形，
设，
由勾股定理得：，
，，
，
又点P为的中点，
为的中位线，
，
．
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-SSS；三角形全等的判定-SAS；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】（1）解：，理由如下：
四边形为正方形，
，
，
，
，
；
故答案为：∠ADE=∠CDF；
【分析】（1）根据题意画出图形，由垂直定义、正方形性质、角的构成及同角的余角相等可推出∠ADE=∠CDF；
（2）连接CF，利用“SAS”证明△ADE≌△CDF，由全等三角形的对应角相等得∠A=∠DCF=90°，然后根据角的构成及平角的定义可得结论；
（3）连接PD、PB，过点P作PH⊥BC于点H，由直角三角形斜边上的中线性质得，，则，从而由“SSS”证△PDC≌△PBC，由全等三角形的对应角相等则，进而得△PCH为等腰直角三角形，设，由勾股定理得；由过三角形一边中点且平行于三角形一边的直线一定平分第三边得出PH为△BEF的中位线，由三角形中位线定理得BE=2PH=2a，据此可得的值．
（1）解：，理由如下：
根据题意画出图形如图1所示：
四边形为正方形，
，
，
，
，
；
（2）证明：连接，如图2所示：
四边形为正方形，
，，
在和中，
，
∴，
，
，
，C，F三点在一条直线上；
（3）解：连接，过点P作于H，如图3所示：
，，
和均为直角三角形，
点P为的中点，
，，
，
在和中，
，
，
，
，
为等腰直角三角形，
设，
由勾股定理得：，
，，
，
又点P为的中点，
为的中位线，
，
．
22．如图1，在等腰三角形中，是边上的高线，．点是射线上的一点，作于点，连接．
（1）求 ， ．
（2）①当点在线段上时，若是以为腰的等腰三角形，请求出所有符合条件的的长度．
②如图2，设交直线于点，连接，若，则长为 （直接写出结果）．
【答案】（1）5；
（2）解：解：①分两种情况：
Ⅰ．当时，则，
∵，
∴，
，
，
，
Ⅱ．当时，
在和中，
，
，
，
，
综上，或；
②或
【知识点】余角、补角及其性质；三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：（1），
又∵，
根据勾股定理的：，
；
故答案为：5，
（2）②分两种情况：
Ⅰ．当在线段上，连接，
，
，
∵，
∴，
，
，，
，
，
，
，
，
是等腰三角形，
，，
；
Ⅱ．当在射线上，连接，
同理可得，
，
，
综上，的长为或．
故答案为：或．
【分析】（1）由题意得，可求得，根据勾股定理求出的长，进而计算出的长；
（2）①分两种情况讨论Ⅰ当时，则；Ⅱ当时，根据全等三角形的判定定理ASA，证明，分别进行求解即可；
②分两种情况讨论：当在线段上；当在线段延长线上，根据三角形面积、勾股定理分别进行求解即可．
（1）解：，
又∵，
，
；
（2）解：①分两种情况：
Ⅰ．当时，则，
∵，
∴，
，
，
，
Ⅱ．当时，
在和中，
，
，
，
，
综上，或；
②分两种情况：
Ⅰ．当在线段上，连接，
，
，
∵，
∴，
，
，，
，
，
，
，
，
是等腰三角形，
，，
；
Ⅱ．当在射线上，连接，
同理可得，
，
，
综上，的长为或．
23．【新考法】定义：关于的方程称为”双绝对值方程”；所有满足“双绝对值方程”的坐标的点组成的图形称为“双绝对值图形”，如图是“双绝对值方程”所对应的“双绝对值图形”．求：
（1）画出“双绝对值方程”所对应的“双绝对值图形”；提示：根据和的正负分类讨论去绝对值得到函数解析式
（2）点，，，组成平行四边形，写出对角线所在直线的函数解析式，并写出“双绝对值图形”所对应的“双绝对值方程”：（提示，待定系数法求直线解析式，再分别把平行四边形四条边的关系式表达出来）
（3）类似地，对于方程我们可以定义“三绝对值方程”，请画出其对应的“三绝对值图形”．
【答案】（1）解：由，当，时，，即；
当，时，，即；
当，时，，即；
当，时，，即；
“双绝对值方程”所对应的”双绝对值图形”如图所示：
（2）解：，
（3）解：由方程得当，时，，即，当，时，，即，
当，，且时，，即，
当，，且时，，即，
当，，且时，即，
当，，且时，，即，
方程对应的“三绝对值图形”如图所示．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；平行四边形的性质；绝对值的概念与意义；一次函数图象上点的坐标特征；分类讨论
【解析】【解答】（2）解：如图所示，
设对角线所在直线的函数解析式为，将点，代入，
得，
解得，
对角线所在直线的函数解析式为，
同理，由点的坐标可得直线的解析式为，即，
线段上的点的方程为，
的解析式为，则线段上的点的方程为，
直线的解析式为，则线段上的点的方程为，
直线的解析式为，线段上的点的方程为，
线段在上方，而线段上的点在x轴上方，，，则，，
线段上的点在x轴下方，，，则，，
线段上的点可用；
同理，线段上的点可用，
综上可知，”双绝对值图形“所对应的“双绝对值方程”为；
【分析】（1）分当x＞0，y＞0时，当x＞0，y＜0时，当x＜0，y＞0时，当x＜0，y＜0时四种情况去绝对值得到函数解析式，再画出图形即可；
（2）用待定系数法求直线BD、AB、BC、CD、AD的解析式，从而得出线段AB、BC、CD、AD上的点的方程，根据x和y的正负分类讨论去绝对值得到函数解析式，最后求解即可；
（3）分当x＞0，y＞0时，当x＞0，y＜0，x+y＞0时，当x＞0，y＜0，x+y＜0时，当x＜0，y＞0，x+y＞0时，当x＜0，y＞0，x+y＜0时，当x＜0，y＜0时六种情况去绝对值得到函数解析式，再画出图形即可.
（1）解：由，
当，时，，即；
当，时，，即；
当，时，，即；
当，时，，即；
“双绝对值方程”所对应的”双绝对值图形”如图所示：
（2）解：如图所示，
设对角线所在直线的函数解析式为，将点，代入，
得，
解得，
对角线所在直线的函数解析式为，
同理，由点的坐标可得直线的解析式为，即，
线段上的点的方程为，
的解析式为，则线段上的点的方程为，
直线的解析式为，则线段上的点的方程为，
直线的解析式为，线段上的点的方程为，
线段在上方，而线段上的点在x轴上方，，，则，，
线段上的点在x轴下方，，，则，，
线段上的点可用；
同理，线段上的点可用，
综上可知，”双绝对值图形“所对应的“双绝对值方程”为；
（3）解：由方程得当，时，，即，
当，时，，即，
当，，且时，，即，
当，，且时，，即，
当，，且时，即，
当，，且时，，即，
方程对应的“三绝对值图形”如图所示．
1 / 1吉林省松原市前郭县四校2024-2025学年八年级下学期期末数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．与结果不相同的是（　　）
A． B． C． D．
2．近年来，我国棉花产量规模保持相对稳定的发展态势，如表是年我国棉花产量的统计结果：
年份（年）
产量（万吨）
则年我国棉花产量的中位数为（　　）
A．万吨 B．万吨 C．万吨 D．万吨
3．对于正比例函数，下列说法正确的是（　　）
A．函数的图象从左到右呈上升趋势
B．函数的图象经过第一、三象限
C．函数的图象与y轴正半轴的夹角为
D．图象向上平移2个单位后的表达式为
4．如图，在长方形ABCD中无重叠放入面积分别为27和12的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（　　）
A． B．6 C． D．4
5．下列四个三角形都在正方形网格中，且三角形的顶点都在格点上，其中是直角三角形的是（　　）
A． B．
C． D．
6．如图，某校准备在一个矩形场地中修建两条甬道，一条是矩形甬道，一条是平行四边形甬道，其余部分为草坪，若，，，则草坪面积是（　　）．
A． B．
C． D．
7．某中学举行“青春风采杯”校园学科节活动，星期一至星期五都安排了丰富多彩的学科活动，学校教务处还招聘了部分同学担任学科节的志愿者，如图是每天安排的学生志愿者人数，但统计数据后，教务处发现星期三实际上有21位志愿者，那么下面关于平均数与中位数变化情况的叙述中，正确的是（　　）
A．平均数增加了1，中位数未变
B．平均数增加了1，中位数增加了1
C．平均数增加了1，中位数增加了5
D．平均数增加了5，中位数增加了1
8．如图，直线分别交坐标轴于点C、D，x轴上一点A关于直线的对称点坐标为，则k的值为（　　）
A． B． C． D．
9．如图，在平面直角坐标系中放置一菱形，已知，点B在y轴上，，将菱形沿x轴的正方向无滑动翻转，每次翻转，连续翻转2024次，点B的落点依次为，……，则的坐标为（　　）
A． B． C． D．
10．如图①，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．连接四条线段得到如图②的新的图案，如果图①中的直角三角形的长直角边为，短直角边为，则图中的阴影部分的周长为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分．
11．边长为a，b的长方形如图所示，若它的周长为，面积为，则的值为 　 　．
12．如图，四边形中，，则的长为　 　．
13．某芭蕾舞团新进一批女演员，她们的身高及其对应人数情况如表所示，那么，这批女演员身高的方差为　 　．
身高 163 164 165 166 168
人数 1 2 3 1 1
14．如图所示，正方形ABCD和正方形OEFG的边长均为5，O为正方形ABCD的中心，则图中重叠部分的面积是 　 　．
15．如图，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，C在y轴的正半轴上，D在直线上，且，．若点P为线段上的一个动点，且P关于x轴的对称点Q总在内（不包括边界），则点P的横坐标m的取值范围为　 　．
三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16．计算：
（1）；
（2）．
17．阅读下列内容：设a，b，c是一个三角形的三条边的长，且a是最长边，我们可以利用a，b，c三边长之间的关系来判断这个三角形的形状：①若，则该三角形是直角三角形；②若，则该三角形是钝角三角形；③若，则该三角形是锐角三角形．例如：若一个三角形的三边长分别是4，5，6，则最长边是6，由于，故由上面的③可知该三角形是锐角三角形．请解答以下问题：
（1）若一个三角形的三边的长分别是6，7，8，则该三角形的形状是 三角形．
（2）若一个三角形的三边的长分别是5，12，x，且这个三角形是直角三角形，求x的值．
（3）若一个三角形的三条边的长分别是，，，请判断这个三角形的形状，并写出你的判断过程．
18．某校为了解学生的身体素质情况，对全校学生进行体能测试，现从七、八两个年级各随机抽取10名学生的成绩（满分为100分）进行调查分析，过程如下：
（1）收集数据
七年级：90，85.80，95，80，90，80，85，95，100
八年级：90，85，90，80，95，100，90，85，95，100
（2）整理数据
分数 80 85 90 95 100
七年级人数 3 2 2 2 1
八年级人数 1 2 3 2 a
（3）分析数据
　 平均数 中位数 众数 方差
七年级 88 c d e
八年级 b 90 90 39
根据以上信息回答问题：
（1）直接写出表格中的值：_________，_________，_________，__________，_________．
（2）该校七、八年级各有学生800人，本次竞赛成绒不低于90分的为“优秀”，估计这两个年级共有多少名学生达到“优秀”？
19．【阅读理解】在平面直角坐标系中，设计了点的两种移动方式：从点移动到点称为一次甲方式；从点移动到点称为一次乙方式．例点从原点出发连续移动2次：都按甲方式，最终移动到点；若都按乙方式，最终移动到点；若按1次甲方式和1次乙方式，最终移动到点．
【应用】点从原点出发连续移动次，每次移动按甲方式或乙方式，最终移动到点．其中，按甲方式移动了次．
（1）当时，若点恰好落在直线上，求的值；
（2）无论怎样变化，点都在自变量的系数为定值的直线上，，，
①若点、点位于直线的两侧，求的取值范围；
②若点关于直线的对称点落在轴上，直接写出的值．
20．数学活动课上，数学兴趣小组的几名同学探究用n个面积为的小正方形纸片剪拼成一个面积为的大正方形．下面是他们探究的部分结果：
（1）如图1，当时，拼成的大正方形的边长为
如图2，当时，拼成的大正方形的边长为
如图3，当时，拼成的大正方形的边长为
（2）小李想沿着正方形纸片边的方向能否裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长宽之比为？他能裁出吗？请说明理由．
（3）小周想沿着正方形纸片边的方向能否裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长宽之比为，且要求长方形的四周至少留出的边框？若能，请给出一种合适的裁剪方案；若不能，请说明理由．
21．如图，在正方形中，E是线段上的动点，连接，过点D作点F在直线的下方，且，连接
（1）【动手操作】
在图中画出线段，则与的数量关系是______；
（2）【问题解决】
利用（1）题画出的图形，证明B，C，F三点在一条直线上；
（3）【问题探究】
取的中点P，连接，求的值．
22．如图1，在等腰三角形中，是边上的高线，．点是射线上的一点，作于点，连接．
（1）求 ， ．
（2）①当点在线段上时，若是以为腰的等腰三角形，请求出所有符合条件的的长度．
②如图2，设交直线于点，连接，若，则长为 （直接写出结果）．
23．【新考法】定义：关于的方程称为”双绝对值方程”；所有满足“双绝对值方程”的坐标的点组成的图形称为“双绝对值图形”，如图是“双绝对值方程”所对应的“双绝对值图形”．求：
（1）画出“双绝对值方程”所对应的“双绝对值图形”；提示：根据和的正负分类讨论去绝对值得到函数解析式
（2）点，，，组成平行四边形，写出对角线所在直线的函数解析式，并写出“双绝对值图形”所对应的“双绝对值方程”：（提示，待定系数法求直线解析式，再分别把平行四边形四条边的关系式表达出来）
（3）类似地，对于方程我们可以定义“三绝对值方程”，请画出其对应的“三绝对值图形”．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】二次根式的乘除混合运算；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：先计算题目给出的原式：
，题目要求选出计算结果和原式结果不相等的选项，raou 逐个计算每个选项：
A选项：，计算结果和原式结果相等，不符合题目要求；
B选项：，计算结果和原式结果相等，不符合题目要求；
C选项：，计算结果和原式结果相等，不符合题目要求；
D选项：，计算结果和原式结果不相等，符合题目要求；
故选；D。
【分析】本题的解题思路是先运用二次根式的运算法则，计算出题干算式的最终结果，再依次计算每个选项的结果，最后将选项的计算结果和题干的计算结果进行对比，就能得到正确答案
2．【答案】A
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：年我国棉花产量按从少到多的顺序排列为：、、、、、、、，
所以这组数据的中位数是．
故答案为：A．
【分析】将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数，据此解答即可.
3．【答案】D
【知识点】正比例函数的性质
【解析】【解答】解：对于正比例函数，比例系数，
该函数的图象经过第二、四象限，随的增大而减小，函数图象从左到右呈下降趋势，因此选项、的说法错误；
当正比例函数解析式为时，它的图象和轴正半轴的夹角才是，
的图象与轴正半轴的夹角不等于，因此选项的说法错误；
把函数的图象向上平移2个单位，根据平移规律可得新函数解析式为，因此选项的说法正确。
故选：D．
【分析】根据一次函数的性质与平移的规律，对每个选项逐一验证判断。
4．【答案】B
【知识点】二次根式的混合运算；二次根式的实际应用
【解析】【解答】解：根据题意，先计算两个正方形的边长：
面积为27的正方形边长为，面积为12的正方形边长为；
图中空白部分的面积为：.
故答案为：B.
【分析】先根据正方形面积求出对应边长，再结合图形可得，空白部分面积为长方形面积，长为小正方形边长，宽为大小正方形边长的差，进而根据长方形面积公式列式计算即可.
5．【答案】D
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】[解答】先设每个小正方形的边长为1，接下来结合勾股定理的逆定理，逐一验证每个选项中的三角形是否为直角三角形：
选项A：计算得三角形的三边长分别为，，边长的平方满足，不满足勾股定理的逆定理，因此该三角形不是直角三角形，不符合题意。
选项B：计算得三角形的三边长分别为，，，边长的平方满足，不满足勾股定理的逆定理，因此该三角形不是直角三角形，不符合题意。
选项C：计算得三角形的三边长分别为，，，边长的平方满足，不满足勾股定理的逆定理，因此该三角形不是直角三角形，不符合题意。
选项D：计算得三角形的三边长分别为，，，边长的平方满足，满足勾股定理的逆定理，因此该三角形是直角三角形，符合题意。
故选：D。
【分析】根据勾股定理的逆定理的应用，解题方法为：设每个小正方形的边长为1，先根据勾股定理求出三角形各边的平方，再验证是否满足两条较短边的平方和等于最长边的平方，即可判断三角形是否为直角三角形。
6．【答案】A
【知识点】多项式乘多项式；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：如图：
∵，
∴，
∴
．
故选A．
【分析】由题意可得，根据图形的构成即可求解．
7．【答案】B
【知识点】条形统计图；平均数及其计算；中位数
【解析】【解答】解：当星期三志愿者为16时，这五天志愿者人数从小到大排列分别为16、16、20、22、26，平均数为，中位数为20；
当星期三志愿者为21人时，这五天志愿者人数从小到大排列分别为16、20、21、22、26，平均数为，中位数为21；
此时平均数增加了1，中位数增加了
故选：B．
【分析】分别求出原数据和实际数据的中位数，平均数，比较解答即可．
8．【答案】C
【知识点】菱形的判定与性质；坐标与图形变化﹣对称；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：连接，交于点，连接、、，
直线分别交坐标轴于点、，
，
点坐标为，
∵，
，，，
由题意可知，，，垂直平分，
，
，
，
，
四边形是菱形，
，
，
，
，
直线分别交坐标轴于点、，
，
解得．
故选：C．
【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征，连接，交于点，连接、、，与、的坐标可知，即可得到，，，再根据轴对称的性质得到，，垂直平分，证得，再证四边形是菱形，可得，利用勾股定理求得，即可求得点的坐标（6，0），利用待定系数法可得，解之即可。
9．【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质；坐标与图形变化﹣旋转；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：连接，
∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
画出第5次，第6次，第7次翻折后的图形，如图所示，
由图可知，每翻转6次，图形向右平移4个单位，
∵，
∴点向右平移个单位到点，落在x轴上，
∴的坐标为，
故选：C．
【分析】根据菱形的性质可知，再根据是等边三角形的性质可知，观察发现每翻转6次，图形向右平移4个单位，可得即点向右平移个单位到点，落在x轴上，可得的坐标为．
10．【答案】B
【知识点】二次根式的混合运算；勾股定理；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：如图，
∵直角三角形的长直角边为，短直角边为，
∴，，
∴，
∴，
∴图中的阴影部分的周长为.
故答案为：B．
【分析】如图，对图形作标注，由题意易得AB=CD=6，BC=10，由线段和差可得BD=4，然后在Rt△ABD中，利用勾股定理算出AD的长，最后根据图形周长计算方法及图形特点可得阴影部分的周长为4(AD+AB)，从而代值计算即可.
11．【答案】
【知识点】二次根式的混合运算；求代数式的值-整体代入求值；因式分解的应用-简便运算
【解析】【解答】解：∵边长为a，b的长方形周长为，面积为，
∴，，
∴
．
故答案为：．
【分析】根据题意，由长方形周长及面积计算公式可得，，然后将待求式子利用提取公因式法分解因式后整体代入计算即可.
12．【答案】
【知识点】三角形外角的概念及性质；等边三角形的判定与性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图所示，取的中点E，连接，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据已知条件判断等边三角形，再根据等边三角形的性质，结合勾股定理及三角形外角的性质，取的中点E，连接，证明是等边三角形，得到，根据三角形外角的性质得到，可得，根据勾股定理得到；再证明是等边三角形，得到，则，可得．
13．【答案】
【知识点】方差
【解析】【解答】解：这组数据的平均数为，
∴方差为，
故答案为：．
【分析】方差就是一组数据的各个数据与其平均数差的平方和的算术平均数，据此先算出这组数据的平均数，进而再计算出方差即可.
14．【答案】
【知识点】正方形的性质；几何图形的面积计算-割补法；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：如图，连接OB、OC．
∵ 正方形ABCD和正方形OEFG的边长均为5，O为正方形ABCD的中心，
∴OB＝OC，∠OBG＝∠OCB＝45°，∠COB=∠EOG=90°，
∴∠COH+∠BOH＝90°，∠BOG+∠BOH＝90°，
∴∠COH＝∠BOG．
在△OBG与△OCH中，
∵，
∴△OBG≌△OCH（ASA），
∴S△OBG＝S△OCH，
∴重叠部分的面积＝△OBC的面积S正方形ABCD．
∵S正方形ABCD＝52＝25，
∴重叠部分的面积是．
故答案为：．
【分析】如图，连接OB、OC，根据正方形的对角线相等、互相垂直平分且每一条对角线平分一组对角可得OB＝OC，∠OBG＝∠OCB＝45°，∠COB=∠EOG=90°，由角的构成及同角的余角相等推出∠COH＝∠BOG，从而利用““ASA””证明△OBG≌△OCH，由全等三角形的面积相等及割补法可求出重叠部分的面积等于△OBC的面积，且等于正方形的面积的，据此即可求出答案.
15．【答案】
【知识点】解一元一次不等式组；待定系数法求一次函数解析式；关于坐标轴对称的点的坐标特征；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：在中，
当时，，
当时，，解得：，
∴，
∴OB=6，
∵C在y轴的正半轴上，，
∴，
∵，
∴点D在线段的垂直平分线上，
即点D在直线上，
在中，
当时，，
∴；
设直线解析式为，
把点和代入得：
，
解得：，
∴直线解析式为，
同理可得直线的解析式为，
∵点P为线段上的一个动点，且其横坐标为m，
∴，
∵P、Q关于x轴对称，
∴，
∵点Q总在内(不包括边界)，
∴
解得：．
故答案为：.
【分析】根据直线与坐标轴交点坐标特点，分别令直线y=2x-6中的x=0与y=0，算出对应的y与x的值，可求出点A、B的坐标；然后根据OC=BC-OB算出OC的长得到点D的坐标；由到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上得出点D在线段OC的垂直平分线上，由点的坐标与图形性质可得点D的纵坐标为2，然后将y=2代入直线y=2x-6算出对应的x的值，即可求出点C的坐标；分别利用待定系数法求出直线OD与CD的解析式；由点的坐标与图形性质得P(m，2m-6)，根据关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数得Q(m，6-2m)，进而根据点Q总在△OCD内(不包括边界)，可列出关于字母m的不等式组，求解即可得出m的取值范围.
16．【答案】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）先利用乘法分配律展开括号，同时根据二次根式性质化简减数，进而计算二次根式的乘法，最后合并同类二次根式即可；
（2）先利用乘法分配律展开括号，同时根据二次根式性质化简减数的分子，进而计算二次根式的乘法和除法，最后计算有理数的加减法运算即可.
（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
17．【答案】（1）锐角
（2）∵这个三角形的三条边的长分别是5，12，x，且这个三角形是直角三角形，∴或，
解得或（负值均舍去），
∴x的值为13或．
（3）这个三角形是直角三角形．过程如下：∵
，
∴这个三条边的长分别是，，的三角形是直角三角形．
【知识点】勾股定理的逆定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】
解：（1）∵，
∴该三角形是锐角三角形，
故答案为：锐角；
【分析】
本题考查了三角形形状的判定方法、勾股定理、勾股定理的逆定理.
（1）先确定最长边，再比较最长边的平方与另两边平方和的大小，据此判断三角形为锐角三角形；
（2）针对直角三角形，分“x为最长边”和“12为最长边”两种情况，用勾股定理求解x的所有可能值.
（3）先确定三边中的最长边，再通过代数运算验证最长边的平方等于另两边的平方和，用勾股定理的逆定理证明三角形为直角三角形.
（1）∵，
∴该三角形是锐角三角形，
故答案为：锐角；
（2）∵这个三角形的三条边的长分别是5，12，x，且这个三角形是直角三角形，
∴或，
解得或（负值均舍去），
∴x的值为13或．
（3）这个三角形是直角三角形．过程如下：
∵
，
∴这个三条边的长分别是，，的三角形是直角三角形．
18．【答案】（1）2，91，87.5，80，46
解：（2）（人），
答：这两个年级共有960名学生达到“优秀”．
【知识点】加权平均数及其计算；中位数；方差；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）a=10-1-2-3-2=2；
；
；
d=80；
；
故答案为：2，91，87.5，80，46；
【分析】（1）用总人数10减去其他得分的人数即可得到a的值；平均数是指一组数据之和，除以这组数的个数；众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做众数，(众数可能有多个)；中位数：将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数；方差就是一组数据的各个数据与其平均数差的平方和的算术平均数，据此分别计算后即可判断得出答案；
（2）用每个年级的总人数乘以样本中成绩“优秀”的人数所占比例，两者相加即可得到答案．
19．【答案】（1）解：已知，其中，按甲方式移动了次，则按乙方式移动了次，
根据平移方式，点的坐标为，
由题意得，
解得；
（2）解：①设这条直线的解析式为，点按甲方式移动了次，又点从原点出发连续移动次，则点按乙方式移动了次，∴点按甲方式移动了次后得到的点的坐标为，点按乙方式移动了次，得到点的坐标为，
由题意得，即，
∵无论怎样变化，点都在自变量的系数为定值的直线上，
∴，
解得，，
∴直线的解析式为，
若点、点位于直线的两侧，
情况一：直线恰好经过，代入得，即，
情况一：直线恰好经过，代入得，即，
∴若点、点位于直线的两侧，的取值范围是；
②．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；等腰三角形的判定与性质；坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】（2）②点关于直线的对称点落在轴上，
记直线与轴、轴的交点为，
过点作轴于点，连接，与直线交于点，如图，
根据题意得，，
∴，
∴，
根据轴对称的性质得，，
∴，且，
∴是等腰直角三角形，，
∴，
∴，
∵是的中点，
∴且，
∴点与点重合，
∴，
∴．
【分析]（1）根据平移方式，求得点的坐标为，可得，解之n=7；
（2）①根据平移方式，求得点的坐标为，代入求得，令，求得直线的解析式为，根据点P、点Q位于直线的两侧，分别经过点、点可求得的取值范围；
②画出图形根据等腰三角形的性质及轴对称的性质可得且，再由中点得出 点与点重合 ，列出方程，解答即可．
20．【答案】（1）；；
（2）能裁出这样的长方形，理由如下：设长方形的长为，则宽为
∴
解得：
∴
∴能裁出这样的长方形．
（3）解：不能裁出这样的长方形，理由如下：设长方形的长为，则宽为
∴
解得：
∴
又∵要求长方形的四周至少留出的边框
因此加边框后的长至少要
∵
∴不能裁出这样的长方形．
【知识点】利用开平方求未知数；算术平方根的实际应用
【解析】【解答】（1）解：当时，则正方形的面积为，边长为；
当时，则正方形的面积为，边长为；
当时，则正方形的面积为，边长为．
【分析】（1）①先得出时图形的面积是2，再根据正方形的性质，求得边长是；②先得出时图形的面积是5，再根据正方形的性质，求得边长；③先得出时图形的面积是10，然后根据正方形的性质，求得边长是；
（2）先假设可行，设长方形的长宽分别为和，根据面积，可得的值，发现的值比正方形的边长小，故可能；
（3）先假设可行，设长方形的长宽分别为和，根据面积，可得的值，，发现加边框后的长至少要，比正方形的边长大，故不可能．
（1）解：当时，则正方形的面积为，边长为；
当时，则正方形的面积为，边长为；
当时，则正方形的面积为，边长为．
（2）能裁出这样的长方形，理由如下：
设长方形的长为，则宽为
∴
解得：
∴
∴能裁出这样的长方形．
（3）不能裁出这样的长方形，理由如下：
设长方形的长为，则宽为
∴
解得：
∴
又∵要求长方形的四周至少留出的边框
因此加边框后的长至少要
∵
∴不能裁出这样的长方形．
21．【答案】（1）解：根据题意画出图形如图1所示：
∠ADE=∠CDF
（2）证明：连接，如图2所示：
四边形为正方形，
，，
在和中，
，
∴，
，
，
，C，F三点在一条直线上；
（3）解：连接，过点P作于H，如图3所示：
，，
和均为直角三角形，
点P为的中点，
，，
，
在和中，
，
，
，
，
为等腰直角三角形，
设，
由勾股定理得：，
，，
，
又点P为的中点，
为的中位线，
，
．
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-SSS；三角形全等的判定-SAS；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】（1）解：，理由如下：
四边形为正方形，
，
，
，
，
；
故答案为：∠ADE=∠CDF；
【分析】（1）根据题意画出图形，由垂直定义、正方形性质、角的构成及同角的余角相等可推出∠ADE=∠CDF；
（2）连接CF，利用“SAS”证明△ADE≌△CDF，由全等三角形的对应角相等得∠A=∠DCF=90°，然后根据角的构成及平角的定义可得结论；
（3）连接PD、PB，过点P作PH⊥BC于点H，由直角三角形斜边上的中线性质得，，则，从而由“SSS”证△PDC≌△PBC，由全等三角形的对应角相等则，进而得△PCH为等腰直角三角形，设，由勾股定理得；由过三角形一边中点且平行于三角形一边的直线一定平分第三边得出PH为△BEF的中位线，由三角形中位线定理得BE=2PH=2a，据此可得的值．
（1）解：，理由如下：
根据题意画出图形如图1所示：
四边形为正方形，
，
，
，
，
；
（2）证明：连接，如图2所示：
四边形为正方形，
，，
在和中，
，
∴，
，
，
，C，F三点在一条直线上；
（3）解：连接，过点P作于H，如图3所示：
，，
和均为直角三角形，
点P为的中点，
，，
，
在和中，
，
，
，
，
为等腰直角三角形，
设，
由勾股定理得：，
，，
，
又点P为的中点，
为的中位线，
，
．
22．【答案】（1）5；
（2）解：解：①分两种情况：
Ⅰ．当时，则，
∵，
∴，
，
，
，
Ⅱ．当时，
在和中，
，
，
，
，
综上，或；
②或
【知识点】余角、补角及其性质；三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：（1），
又∵，
根据勾股定理的：，
；
故答案为：5，
（2）②分两种情况：
Ⅰ．当在线段上，连接，
，
，
∵，
∴，
，
，，
，
，
，
，
，
是等腰三角形，
，，
；
Ⅱ．当在射线上，连接，
同理可得，
，
，
综上，的长为或．
故答案为：或．
【分析】（1）由题意得，可求得，根据勾股定理求出的长，进而计算出的长；
（2）①分两种情况讨论Ⅰ当时，则；Ⅱ当时，根据全等三角形的判定定理ASA，证明，分别进行求解即可；
②分两种情况讨论：当在线段上；当在线段延长线上，根据三角形面积、勾股定理分别进行求解即可．
（1）解：，
又∵，
，
；
（2）解：①分两种情况：
Ⅰ．当时，则，
∵，
∴，
，
，
，
Ⅱ．当时，
在和中，
，
，
，
，
综上，或；
②分两种情况：
Ⅰ．当在线段上，连接，
，
，
∵，
∴，
，
，，
，
，
，
，
，
是等腰三角形，
，，
；
Ⅱ．当在射线上，连接，
同理可得，
，
，
综上，的长为或．
23．【答案】（1）解：由，当，时，，即；
当，时，，即；
当，时，，即；
当，时，，即；
“双绝对值方程”所对应的”双绝对值图形”如图所示：
（2）解：，
（3）解：由方程得当，时，，即，当，时，，即，
当，，且时，，即，
当，，且时，，即，
当，，且时，即，
当，，且时，，即，
方程对应的“三绝对值图形”如图所示．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；平行四边形的性质；绝对值的概念与意义；一次函数图象上点的坐标特征；分类讨论
【解析】【解答】（2）解：如图所示，
设对角线所在直线的函数解析式为，将点，代入，
得，
解得，
对角线所在直线的函数解析式为，
同理，由点的坐标可得直线的解析式为，即，
线段上的点的方程为，
的解析式为，则线段上的点的方程为，
直线的解析式为，则线段上的点的方程为，
直线的解析式为，线段上的点的方程为，
线段在上方，而线段上的点在x轴上方，，，则，，
线段上的点在x轴下方，，，则，，
线段上的点可用；
同理，线段上的点可用，
综上可知，”双绝对值图形“所对应的“双绝对值方程”为；
【分析】（1）分当x＞0，y＞0时，当x＞0，y＜0时，当x＜0，y＞0时，当x＜0，y＜0时四种情况去绝对值得到函数解析式，再画出图形即可；
（2）用待定系数法求直线BD、AB、BC、CD、AD的解析式，从而得出线段AB、BC、CD、AD上的点的方程，根据x和y的正负分类讨论去绝对值得到函数解析式，最后求解即可；
（3）分当x＞0，y＞0时，当x＞0，y＜0，x+y＞0时，当x＞0，y＜0，x+y＜0时，当x＜0，y＞0，x+y＞0时，当x＜0，y＞0，x+y＜0时，当x＜0，y＜0时六种情况去绝对值得到函数解析式，再画出图形即可.
（1）解：由，
当，时，，即；
当，时，，即；
当，时，，即；
当，时，，即；
“双绝对值方程”所对应的”双绝对值图形”如图所示：
（2）解：如图所示，
设对角线所在直线的函数解析式为，将点，代入，
得，
解得，
对角线所在直线的函数解析式为，
同理，由点的坐标可得直线的解析式为，即，
线段上的点的方程为，
的解析式为，则线段上的点的方程为，
直线的解析式为，则线段上的点的方程为，
直线的解析式为，线段上的点的方程为，
线段在上方，而线段上的点在x轴上方，，，则，，
线段上的点在x轴下方，，，则，，
线段上的点可用；
同理，线段上的点可用，
综上可知，”双绝对值图形“所对应的“双绝对值方程”为；
（3）解：由方程得当，时，，即，
当，时，，即，
当，，且时，，即，
当，，且时，，即，
当，，且时，即，
当，，且时，，即，
方程对应的“三绝对值图形”如图所示．
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