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吉林省敦化市2024-2025学年八年级下学期7月期末数学试题
一、选择题（每小题3分，共18分）
1．要使式子 有意义，则x的值可以是（　　）
A．2 B．0 C．1 D．9
2．下列二次根式中，最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
3．如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，已知DE＝3，则BC的长为（　　）
A．3 B．4 C．6 D．5
4．下列各组数中，能构成直角三角形的是(　　)
A．1，1， B．4，5，6 C．5，12，23 D．6，8，11
5．下列说法中正确的是 （　　）
A．四边相等的四边形是正方形
B．一组对边相等且另一组对边平行的四边形是平行四边形
C．对角线互相垂直的四边形是菱形
D．对角线相等的平行四边形是矩形
6．如图，一次函数与的图象相交于点，则关于的方程的解是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（每小题3分，共15分）
7．计算：　 　．
8．对于函数y＝（m﹣2）x+1，若y随x的增大而增大，则m的取值范围　 　.
9．如表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差：
　 甲 乙 丙 丁
平均数（cm） 185 180 185 180
方差 3.6 3.6 7.4 8.1
根据表中数据，若要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，则应该选择　 　．
10．如图，两条笔直的公路、相交于点O，村庄C的村民分别在两条公路的旁边各建一个加工厂B，D．已知四边形是菱形，村庄C到公路的距离为，则村庄C到公路的距离是　 　
11．如图，这是一个可近似看作等腰三角形的衣架，其腰长为，底边上的高为，则底边　 　．
三、解答题（共11小题，共87分）
12．化简：．
13．计算
14．已知，，求的值．
15．已知某一次函数的图象经过点，且与正比例函数的图象相交于点．求这个一次函数的解析式．
16．如图，是的高，是的中线．若，，求的长．
17．如图，连接A，B两城市的是一条东西走向的公路，C，D为两座工厂，且工厂C位于工厂D的北边，B市和工厂C之间有一大型水库．从工厂C修建了两条公路通往A市和工厂D，已知，，．
（1）试通过计算说明长是工厂C到公路的最短距离；
（2）若，求工厂C到B市的距离．
18．如图，在边长为1的小正方形网格中，的顶点均在格点上．
（1）求证∶ 为直角三角形．
（2）画出边上的高，并说明理由．
19．如图，在平行四边形中，于点，延长至点，使，连接，与交于点．
（1）求证：四边形为矩形．
（2）若，，，求的长．
20．为弘扬向善、为善优秀品质，助力爱心公益事业，我校组织“人间自有真情在，爱心助力暖人心”慈善捐款活动，八年级全体同学参加了此次活动.随机抽查了部分同学捐款的情况，统计结果如图①和图②所示.
（1）本次共抽查了________人；并补全上面条形统计图；
（2）本次抽查学生捐款的中位数为________；众数为________；
（3）全校有八年级学生1100人，估计捐款金额超过15元（不含15元）的有多少人？
21．五一假期，小明一家人驾驶私家车外出游玩，在某段高速路上经过一段长度为20千米的区间测速路段（区间测速是指在某一路段前后设置两个监控点，根据车辆通过两个监控点的时间来计算车辆在该路段上的平均行驶速度），从该路段起点开始，他们先匀速行驶5分钟，再立即减速以另一速度匀速行驶（减速时间忽略不计），当他们到达该路段终点时，测速装置测得该辆汽车在整个路段行驶的平均速度为100千米/时．汽车在区间测速路段行驶的路程（千米）与在此路段行驶的时间（分）之间的函数图象如图所示．
（1）的值为________；
（2）当时，求与之间的函数关系式；
（3）通过计算说明在此区间测速路段内，该辆汽车减速前是否超速（此路段要求小型汽车行驶速度不得超过120千米/时）．
22．如图，在中，，过点C的直线，D为边上一点，过点D作，垂足为F，交直线于E，连接，．
（1）求证：；
（2）当D为中点时，四边形是什么特殊四边形？说明你的理由；
（3）在满足（2）的条件下，当满足什么条件时，四边形是正方形？说明你的理由．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】∵式子 有意义，
∴x-5 0，
∴x 5，
观察个选项，可以发现x的值可以是9.
故答案为：D.
【分析】式子 为二次根式，根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，可得x-5 0，解不等式就可得到答案.
2．【答案】C
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、 中被开方数是分数，故不是最简二次根式；
B、 中被开方数是分数，故不是最简二次根式；
C、 中被开方数不含分母，不含能开得尽方的因数，故是最简二次根式；
D、 中含能开得尽方的因数，故不是最简二次根式；
故选：C
【分析】最简二次根式满足：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
3．【答案】C
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵D、E分别是AB、AC边的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
由三角形中位线的性质可知：，
又已知DE＝3，
代入计算可得BC＝2×3＝6．
故选：C．
【分析】根据三角形的中位线长度等于第三边长度的一半，得到中位线DE和第三边BC的关系，代入DE的长度即可计算出的长度.
4．【答案】A
【知识点】三角形三边关系；勾股定理的逆定理；直角三角形的判定
【解析】【解答】A选项，12+12=()2，能构造直角三角形；
B选项，42+52>62，故不能构造直角三角形；
C选项，52+122=132<232，故不能构成直角三角形；
D选项，62+82=102>112，故不能构造直角三角形；
答案：A.
【分析】直接计算两较小边的平方和与最长边的平方对照即可判断能否构成直角三角形.
5．【答案】D
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】解：A、四边相等的四边形是菱形，不能证明是正方形，故此选项错误；
B、一组对边相等且另一组对边平行的四边形可能是等腰梯形，不能证明一定是平行四边形，故此选项错误；
C、对角线互相垂直平行四边形才是菱形，故对角线互相垂直的四边形不能证明一定是四边形，故此选项错误；
D、 对角线相等的平行四边形是矩形 ，故此选项正确.
故答案为：D.
【分析】菱形的判定方法：①四边相等的四边形是菱形，②对角线互相垂直的平行四边形是菱形；正方形的判定方法：①有一个内角为直角的菱形是正方形，②对角线相等的菱形是正方形；平行四边形的判定方法：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形，②两组对边分别相等的四边形是平行四边形，③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，④对角线互相平分的四边形是平行四边形，⑤两组对角分别相等的四边形是平行四边形，据此逐一判断得出答案.
6．【答案】A
【知识点】一次函数与一元一次方程的关系；一次函数图象上点的坐标特征；数形结合
【解析】【解答】解：将点代入一次函数得：，解得，
∴点的坐标为，
∵点在一次函数的图象上，
∴，
∴关于的方程的解是，
故答案为：A．
【分析】根据一次函数图象上点的坐标特点，将P(m，2)代入一次函数y=x+1可得m=1，从而得到点p(1，2)，求关于x的方程kx+b=2的解，就是求一次函数y=kx+b的函数值等于2时，对应的自变量的值，从而结合点P的坐标即可得出答案.
7．【答案】
【知识点】无理数的估值；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：.
【分析】由二次函数的性质“”先化简，再根据绝对值性质化简即可.
8．【答案】m＞2
【知识点】一次函数的性质
【解析】【解答】解：∵一次函数y＝（m﹣2）x+1，若y随x的增大而增大，
∴m﹣2＞0，
解得，m＞2.
故答案是：m＞2.
【分析】根据图象的增减性来确定（m﹣2）的取值范围，从而求解.
9．【答案】甲
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：∵，
∴从甲和丙中选择一人参加比赛，
∵，
∴选择甲参赛，
故答案为：甲．
【分析】首先比较平均数，平均数越大，成绩越好；在平均数相同时，根据方差越小，成绩越稳定即可确定参赛运动员.
10．【答案】4
【知识点】角平分线的性质；菱形的性质
【解析】【解答】解：连接，过点C作于E，作于F，
∵村庄C到公路的距离为，
∴
∵四边形是菱形
∴平分，
∴，
即C到公路的距离是．
故答案为：4．
【分析】首先连接AC，过点C作CE⊥l2于E，作CF⊥l1于F，由菱形的每一条对角线平分一组对角得出AC平分∠BAD，然后根据角平分线上的点到角两边的距离相等得出CF=CE=4km，从而得出答案.
11．【答案】48
【知识点】勾股定理；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：，是的高，
∴AD⊥BC，BC=2CD，
在中，，
，
故答案为：48.
【分析】利用等腰三角形“三线合一”可得BC=2CD，然后在Rt△ACD中，利用勾股定理算出CD，从而即可得出BC的长.
12．【答案】解：原式=
=
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【分析】先根据二次根式性质将各个二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可．
13．【答案】解：原式=
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】 先根据乘法分配律和二次根式的性质进行化简，然后再合并同类二次根式，即可得出答案.
14．【答案】解：
，．
【知识点】完全平方公式及运用；分母有理化；二次根式的混合运算；分式的化简求值-整体代入
【解析】【分析】先根据分母有理数分别化简a、b的值，然后根据二次根式乘法法则及平方差公式求出ab的值，再根据二次根式加法法则求出a+b的值，进而将待求式子通分计算后，分子利用完全平方公式变形为(a+b)2-2ab，最后整体代入计算即可.
15．【答案】解：把代入，可得，
即一次函数的图象与正比例函数图象的交点坐标为，
设该一次函数的解析式为，
把点，代入，
得，
解得，
∴这个一次函数的解析式为．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【分析】首先根据正比例函数图象上点的坐标特点，将点(2，a)代入算出a=1，确定出两函数交点坐标，然后利用待定系数法求出一次函数的解析式即可.
16．【答案】解：，
，
，，
，
是中线，
∴E是的中点，
是斜边上的中线，
．
【知识点】勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】由高线定义得出∠ADB=90°，在Rt△ADB中，利用勾股定理算出AB的长，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出DE=AB，从而即可得出答案.
17．【答案】（1）解：∵，，．且，
∴，
∴，
根据垂线段最短，
∴长是工厂C到公路的最短距离．
（2）解：设，则，
根据勾股定理，得，
解得，
答：工厂C到B市的距离为．
【知识点】垂线段最短及其应用；勾股定理的实际应用-其他问题；勾股定理逆定理的实际应用
【解析】【分析】（1）根据勾股定理的逆定理：一个三角形的三边如果满足较小两边的平方和等于最大边长的平方，则该三角形就是直角三角形，可得∠ADC=90°，然后根据垂线段最短即可得出结论；
（2）设，则，在Rt三小件BDC中，利用勾股定理建立方程，求解得出x的值即可.
（1）解：∵，，．
且，
∴，
∴，
根据垂线段最短，
∴长是工厂C到公路的最短距离．
（2）解：设，则，
根据勾股定理，得，
解得，
答：工厂C到B市的距离为．
18．【答案】（1）证明：，
，
∴为直角三角形.
（2）解：如图连为所求，
∵，为的中点，
∴．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理的逆定理；矩形的判定；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【分析】（1）先求出，再利用勾股定理的逆定理证出为直角三角形；
（2）利用三角形高的定义和“三线合一”的性质作出图形即可.
（1）证明：，
，
∴为直角三角形；
（2）解：如图连为所求，
∵，为的中点，
∴．
19．【答案】（1）证明：∵，∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴四边形为矩形；
（2）解：由（）得：四边形为矩形，∴，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】三角形的面积；勾股定理的逆定理；平行四边形的判定与性质；矩形的判定与性质
【解析】【分析】（1）首先根据线段的和差关系，可以推出；再结合平行四边形的性质，可得，且，由此进一步得到、，即可证明四边形是平行四边形；最后结合已知条件，即可证得最终结论。
（2）根据矩形的性质，可知对角线相等，即，由此可判定是直角三角形，利用面积法即可求出的长度，进而得到所求答案。
（1）证明：∵，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴四边形为矩形；
（2）解：由（）得：四边形为矩形，
∴，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
20．【答案】（1）50，
补全条形统计图如下：
（2）15，15
（3）解：捐款金额超过15元（不含15元）的人数（人），
∴全校八年级学生为1100名，捐款金额超过15元（不含15元）的人数为220人，
【知识点】中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：（人，
“捐款为15元”的学生有（人，补全条形统计图如下：
（2）学生捐款金额出现次数最多的是15元，共出现18次，因此捐款金额的众数是15元，
将这50名学生捐款金额从小到大排列处在中间位置的两个数都是15元，因此中位数是15元，
故答案为：15，15.
【分析】（1）利用“A”的人数除以对应的百分比可得总人数，再求出“C”的人数并作出条形统计图即可；
（2）利用众数和中位数的定义及计算方法分析求解即可；
（3）先求出“不含15元”的百分比，再乘以1100可得答案.
21．【答案】（1）12
（2）解：由题意可知：与成一次函数，设，
依图象可知：当时，；当时，；
∴，
解得：，，
∴与之间的函数关系式，
（3）解：把x=5代入得；
∵5分钟小时，
∴减速前的速度：
∵
∴该辆汽车减速前没有超速．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】（1）解：行驶所需的时间为小时分钟，
故答案为：12；
【分析】（1）根据题意可知，轿车进入区间测速路段后，以100千米/时的平均时速行驶20千米，然后根据时间等于路程除以速度计算即可；
（2）根据点(10，17)与(12，20)利用待定系数法求出y关于x的函数解析式；
（3）将x=5代入（2）所求函数解析式算出对应的函数值为，即轿车进入区间测速路段后前5分钟行驶了km，根据速度等于路程除以时间算出轿车在这段行驶的速度，将该速度与120kn/h比较就可得出结论.
（1）解：用时为小时分钟，
故答案为：；
（2）由题意可知：与成一次函数，
设，
依图象可知：当时，；当时，；
∴，
解得：，，
∴与之间的函数关系式，
当分时，；
（3）解：∵5分钟小时
∴减速前的速度：小时
∵
∴该辆汽车减速前没有超速．
22．【答案】（1）证明：∵，
，
，
，
，
，即，
四边形是平行四边形，
；
（2）解：四边形是菱形，理由如下：∵为中点，
，
，
，
，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形；
（3）解：当或时，四边形是正方形，理由：∵，，
，
由（2）可知，四边形是菱形，
，
，
∴四边形是正方形．
或：当时，∵，
∴，
由（2）可知，四边形是菱形，
，
，
∴四边形是正方形．
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定；正方形的判定；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）根据两组对边分别平行可证得四边形是平行四边形，再根据平行四边形的对边相等即可得出CE=AD；
（2）首先根据一组对边平行且线等可证明四边形是平行四边形，再根据对角线互相垂直即可得出四边形是菱形；
（3） 满足 的条件应该能使四边形的一个角是直角，或者能使四边形的对角线相等。当时，∠ABC=45°，进而得出∠DBE=2∠ABC=90°；当时，AC=ED，故而BC=DE，由（2）知四边形是菱形，即可得出当或时，四边形是正方形。
（1）证明：∵，
，
，
，
，
，即，
四边形是平行四边形，
；
（2）解：四边形是菱形，
理由如下：∵为中点，
，
，
，
，
∴四边形是平行四边形，
为中点，
，
∴四边形是菱形；
（3）解：当或时，四边形是正方形，
理由：∵，，
，
由（2）可知，四边形是菱形，
，
，
∴四边形是正方形．
或：当时，∵，
∴，
由（2）可知，四边形是菱形，
，
，
∴四边形是正方形．
1 / 1吉林省敦化市2024-2025学年八年级下学期7月期末数学试题
一、选择题（每小题3分，共18分）
1．要使式子 有意义，则x的值可以是（　　）
A．2 B．0 C．1 D．9
【答案】D
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】∵式子 有意义，
∴x-5 0，
∴x 5，
观察个选项，可以发现x的值可以是9.
故答案为：D.
【分析】式子 为二次根式，根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，可得x-5 0，解不等式就可得到答案.
2．下列二次根式中，最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、 中被开方数是分数，故不是最简二次根式；
B、 中被开方数是分数，故不是最简二次根式；
C、 中被开方数不含分母，不含能开得尽方的因数，故是最简二次根式；
D、 中含能开得尽方的因数，故不是最简二次根式；
故选：C
【分析】最简二次根式满足：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
3．如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，已知DE＝3，则BC的长为（　　）
A．3 B．4 C．6 D．5
【答案】C
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵D、E分别是AB、AC边的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
由三角形中位线的性质可知：，
又已知DE＝3，
代入计算可得BC＝2×3＝6．
故选：C．
【分析】根据三角形的中位线长度等于第三边长度的一半，得到中位线DE和第三边BC的关系，代入DE的长度即可计算出的长度.
4．下列各组数中，能构成直角三角形的是(　　)
A．1，1， B．4，5，6 C．5，12，23 D．6，8，11
【答案】A
【知识点】三角形三边关系；勾股定理的逆定理；直角三角形的判定
【解析】【解答】A选项，12+12=()2，能构造直角三角形；
B选项，42+52>62，故不能构造直角三角形；
C选项，52+122=132<232，故不能构成直角三角形；
D选项，62+82=102>112，故不能构造直角三角形；
答案：A.
【分析】直接计算两较小边的平方和与最长边的平方对照即可判断能否构成直角三角形.
5．下列说法中正确的是 （　　）
A．四边相等的四边形是正方形
B．一组对边相等且另一组对边平行的四边形是平行四边形
C．对角线互相垂直的四边形是菱形
D．对角线相等的平行四边形是矩形
【答案】D
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】解：A、四边相等的四边形是菱形，不能证明是正方形，故此选项错误；
B、一组对边相等且另一组对边平行的四边形可能是等腰梯形，不能证明一定是平行四边形，故此选项错误；
C、对角线互相垂直平行四边形才是菱形，故对角线互相垂直的四边形不能证明一定是四边形，故此选项错误；
D、 对角线相等的平行四边形是矩形 ，故此选项正确.
故答案为：D.
【分析】菱形的判定方法：①四边相等的四边形是菱形，②对角线互相垂直的平行四边形是菱形；正方形的判定方法：①有一个内角为直角的菱形是正方形，②对角线相等的菱形是正方形；平行四边形的判定方法：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形，②两组对边分别相等的四边形是平行四边形，③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，④对角线互相平分的四边形是平行四边形，⑤两组对角分别相等的四边形是平行四边形，据此逐一判断得出答案.
6．如图，一次函数与的图象相交于点，则关于的方程的解是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一次函数与一元一次方程的关系；一次函数图象上点的坐标特征；数形结合
【解析】【解答】解：将点代入一次函数得：，解得，
∴点的坐标为，
∵点在一次函数的图象上，
∴，
∴关于的方程的解是，
故答案为：A．
【分析】根据一次函数图象上点的坐标特点，将P(m，2)代入一次函数y=x+1可得m=1，从而得到点p(1，2)，求关于x的方程kx+b=2的解，就是求一次函数y=kx+b的函数值等于2时，对应的自变量的值，从而结合点P的坐标即可得出答案.
二、填空题（每小题3分，共15分）
7．计算：　 　．
【答案】
【知识点】无理数的估值；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：.
【分析】由二次函数的性质“”先化简，再根据绝对值性质化简即可.
8．对于函数y＝（m﹣2）x+1，若y随x的增大而增大，则m的取值范围　 　.
【答案】m＞2
【知识点】一次函数的性质
【解析】【解答】解：∵一次函数y＝（m﹣2）x+1，若y随x的增大而增大，
∴m﹣2＞0，
解得，m＞2.
故答案是：m＞2.
【分析】根据图象的增减性来确定（m﹣2）的取值范围，从而求解.
9．如表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差：
　 甲 乙 丙 丁
平均数（cm） 185 180 185 180
方差 3.6 3.6 7.4 8.1
根据表中数据，若要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，则应该选择　 　．
【答案】甲
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：∵，
∴从甲和丙中选择一人参加比赛，
∵，
∴选择甲参赛，
故答案为：甲．
【分析】首先比较平均数，平均数越大，成绩越好；在平均数相同时，根据方差越小，成绩越稳定即可确定参赛运动员.
10．如图，两条笔直的公路、相交于点O，村庄C的村民分别在两条公路的旁边各建一个加工厂B，D．已知四边形是菱形，村庄C到公路的距离为，则村庄C到公路的距离是　 　
【答案】4
【知识点】角平分线的性质；菱形的性质
【解析】【解答】解：连接，过点C作于E，作于F，
∵村庄C到公路的距离为，
∴
∵四边形是菱形
∴平分，
∴，
即C到公路的距离是．
故答案为：4．
【分析】首先连接AC，过点C作CE⊥l2于E，作CF⊥l1于F，由菱形的每一条对角线平分一组对角得出AC平分∠BAD，然后根据角平分线上的点到角两边的距离相等得出CF=CE=4km，从而得出答案.
11．如图，这是一个可近似看作等腰三角形的衣架，其腰长为，底边上的高为，则底边　 　．
【答案】48
【知识点】勾股定理；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：，是的高，
∴AD⊥BC，BC=2CD，
在中，，
，
故答案为：48.
【分析】利用等腰三角形“三线合一”可得BC=2CD，然后在Rt△ACD中，利用勾股定理算出CD，从而即可得出BC的长.
三、解答题（共11小题，共87分）
12．化简：．
【答案】解：原式=
=
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【分析】先根据二次根式性质将各个二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可．
13．计算
【答案】解：原式=
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】 先根据乘法分配律和二次根式的性质进行化简，然后再合并同类二次根式，即可得出答案.
14．已知，，求的值．
【答案】解：
，．
【知识点】完全平方公式及运用；分母有理化；二次根式的混合运算；分式的化简求值-整体代入
【解析】【分析】先根据分母有理数分别化简a、b的值，然后根据二次根式乘法法则及平方差公式求出ab的值，再根据二次根式加法法则求出a+b的值，进而将待求式子通分计算后，分子利用完全平方公式变形为(a+b)2-2ab，最后整体代入计算即可.
15．已知某一次函数的图象经过点，且与正比例函数的图象相交于点．求这个一次函数的解析式．
【答案】解：把代入，可得，
即一次函数的图象与正比例函数图象的交点坐标为，
设该一次函数的解析式为，
把点，代入，
得，
解得，
∴这个一次函数的解析式为．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【分析】首先根据正比例函数图象上点的坐标特点，将点(2，a)代入算出a=1，确定出两函数交点坐标，然后利用待定系数法求出一次函数的解析式即可.
16．如图，是的高，是的中线．若，，求的长．
【答案】解：，
，
，，
，
是中线，
∴E是的中点，
是斜边上的中线，
．
【知识点】勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】由高线定义得出∠ADB=90°，在Rt△ADB中，利用勾股定理算出AB的长，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出DE=AB，从而即可得出答案.
17．如图，连接A，B两城市的是一条东西走向的公路，C，D为两座工厂，且工厂C位于工厂D的北边，B市和工厂C之间有一大型水库．从工厂C修建了两条公路通往A市和工厂D，已知，，．
（1）试通过计算说明长是工厂C到公路的最短距离；
（2）若，求工厂C到B市的距离．
【答案】（1）解：∵，，．且，
∴，
∴，
根据垂线段最短，
∴长是工厂C到公路的最短距离．
（2）解：设，则，
根据勾股定理，得，
解得，
答：工厂C到B市的距离为．
【知识点】垂线段最短及其应用；勾股定理的实际应用-其他问题；勾股定理逆定理的实际应用
【解析】【分析】（1）根据勾股定理的逆定理：一个三角形的三边如果满足较小两边的平方和等于最大边长的平方，则该三角形就是直角三角形，可得∠ADC=90°，然后根据垂线段最短即可得出结论；
（2）设，则，在Rt三小件BDC中，利用勾股定理建立方程，求解得出x的值即可.
（1）解：∵，，．
且，
∴，
∴，
根据垂线段最短，
∴长是工厂C到公路的最短距离．
（2）解：设，则，
根据勾股定理，得，
解得，
答：工厂C到B市的距离为．
18．如图，在边长为1的小正方形网格中，的顶点均在格点上．
（1）求证∶ 为直角三角形．
（2）画出边上的高，并说明理由．
【答案】（1）证明：，
，
∴为直角三角形.
（2）解：如图连为所求，
∵，为的中点，
∴．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理的逆定理；矩形的判定；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【分析】（1）先求出，再利用勾股定理的逆定理证出为直角三角形；
（2）利用三角形高的定义和“三线合一”的性质作出图形即可.
（1）证明：，
，
∴为直角三角形；
（2）解：如图连为所求，
∵，为的中点，
∴．
19．如图，在平行四边形中，于点，延长至点，使，连接，与交于点．
（1）求证：四边形为矩形．
（2）若，，，求的长．
【答案】（1）证明：∵，∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴四边形为矩形；
（2）解：由（）得：四边形为矩形，∴，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】三角形的面积；勾股定理的逆定理；平行四边形的判定与性质；矩形的判定与性质
【解析】【分析】（1）首先根据线段的和差关系，可以推出；再结合平行四边形的性质，可得，且，由此进一步得到、，即可证明四边形是平行四边形；最后结合已知条件，即可证得最终结论。
（2）根据矩形的性质，可知对角线相等，即，由此可判定是直角三角形，利用面积法即可求出的长度，进而得到所求答案。
（1）证明：∵，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴四边形为矩形；
（2）解：由（）得：四边形为矩形，
∴，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
20．为弘扬向善、为善优秀品质，助力爱心公益事业，我校组织“人间自有真情在，爱心助力暖人心”慈善捐款活动，八年级全体同学参加了此次活动.随机抽查了部分同学捐款的情况，统计结果如图①和图②所示.
（1）本次共抽查了________人；并补全上面条形统计图；
（2）本次抽查学生捐款的中位数为________；众数为________；
（3）全校有八年级学生1100人，估计捐款金额超过15元（不含15元）的有多少人？
【答案】（1）50，
补全条形统计图如下：
（2）15，15
（3）解：捐款金额超过15元（不含15元）的人数（人），
∴全校八年级学生为1100名，捐款金额超过15元（不含15元）的人数为220人，
【知识点】中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：（人，
“捐款为15元”的学生有（人，补全条形统计图如下：
（2）学生捐款金额出现次数最多的是15元，共出现18次，因此捐款金额的众数是15元，
将这50名学生捐款金额从小到大排列处在中间位置的两个数都是15元，因此中位数是15元，
故答案为：15，15.
【分析】（1）利用“A”的人数除以对应的百分比可得总人数，再求出“C”的人数并作出条形统计图即可；
（2）利用众数和中位数的定义及计算方法分析求解即可；
（3）先求出“不含15元”的百分比，再乘以1100可得答案.
21．五一假期，小明一家人驾驶私家车外出游玩，在某段高速路上经过一段长度为20千米的区间测速路段（区间测速是指在某一路段前后设置两个监控点，根据车辆通过两个监控点的时间来计算车辆在该路段上的平均行驶速度），从该路段起点开始，他们先匀速行驶5分钟，再立即减速以另一速度匀速行驶（减速时间忽略不计），当他们到达该路段终点时，测速装置测得该辆汽车在整个路段行驶的平均速度为100千米/时．汽车在区间测速路段行驶的路程（千米）与在此路段行驶的时间（分）之间的函数图象如图所示．
（1）的值为________；
（2）当时，求与之间的函数关系式；
（3）通过计算说明在此区间测速路段内，该辆汽车减速前是否超速（此路段要求小型汽车行驶速度不得超过120千米/时）．
【答案】（1）12
（2）解：由题意可知：与成一次函数，设，
依图象可知：当时，；当时，；
∴，
解得：，，
∴与之间的函数关系式，
（3）解：把x=5代入得；
∵5分钟小时，
∴减速前的速度：
∵
∴该辆汽车减速前没有超速．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】（1）解：行驶所需的时间为小时分钟，
故答案为：12；
【分析】（1）根据题意可知，轿车进入区间测速路段后，以100千米/时的平均时速行驶20千米，然后根据时间等于路程除以速度计算即可；
（2）根据点(10，17)与(12，20)利用待定系数法求出y关于x的函数解析式；
（3）将x=5代入（2）所求函数解析式算出对应的函数值为，即轿车进入区间测速路段后前5分钟行驶了km，根据速度等于路程除以时间算出轿车在这段行驶的速度，将该速度与120kn/h比较就可得出结论.
（1）解：用时为小时分钟，
故答案为：；
（2）由题意可知：与成一次函数，
设，
依图象可知：当时，；当时，；
∴，
解得：，，
∴与之间的函数关系式，
当分时，；
（3）解：∵5分钟小时
∴减速前的速度：小时
∵
∴该辆汽车减速前没有超速．
22．如图，在中，，过点C的直线，D为边上一点，过点D作，垂足为F，交直线于E，连接，．
（1）求证：；
（2）当D为中点时，四边形是什么特殊四边形？说明你的理由；
（3）在满足（2）的条件下，当满足什么条件时，四边形是正方形？说明你的理由．
【答案】（1）证明：∵，
，
，
，
，
，即，
四边形是平行四边形，
；
（2）解：四边形是菱形，理由如下：∵为中点，
，
，
，
，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形；
（3）解：当或时，四边形是正方形，理由：∵，，
，
由（2）可知，四边形是菱形，
，
，
∴四边形是正方形．
或：当时，∵，
∴，
由（2）可知，四边形是菱形，
，
，
∴四边形是正方形．
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定；正方形的判定；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）根据两组对边分别平行可证得四边形是平行四边形，再根据平行四边形的对边相等即可得出CE=AD；
（2）首先根据一组对边平行且线等可证明四边形是平行四边形，再根据对角线互相垂直即可得出四边形是菱形；
（3） 满足 的条件应该能使四边形的一个角是直角，或者能使四边形的对角线相等。当时，∠ABC=45°，进而得出∠DBE=2∠ABC=90°；当时，AC=ED，故而BC=DE，由（2）知四边形是菱形，即可得出当或时，四边形是正方形。
（1）证明：∵，
，
，
，
，
，即，
四边形是平行四边形，
；
（2）解：四边形是菱形，
理由如下：∵为中点，
，
，
，
，
∴四边形是平行四边形，
为中点，
，
∴四边形是菱形；
（3）解：当或时，四边形是正方形，
理由：∵，，
，
由（2）可知，四边形是菱形，
，
，
∴四边形是正方形．
或：当时，∵，
∴，
由（2）可知，四边形是菱形，
，
，
∴四边形是正方形．
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