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八年级下册复习：（特殊）平行四边形综合
一、解答题：本题共36小题，共288分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
1.本小题分
如图，在网格中，每个小正方形的边长都是，每个顶点称为格点线段的端点都在格点上使用无刻度直尺按下列要求作图，使所画图形的顶点均在格点上．
如图，画出线段绕点逆时针方向旋转后得到的线段；
如图，画一个以为边，且面积为的平行四边形；
如图，画一个以为对角线，且面积为的平行四边形．
【答案】线段绕点逆时针方向旋转后得到的线段，如图即为所求； 以为边，且面积为的平行四边形，如图即为所求； 以为对角线，且面积为的平行四边形，如图即为所求．

【解析】解：线段绕点逆时针方向旋转后得到的线段，如图即为所求；
在与中，
，
≌，
，，
，
，
，
线段为线段绕点逆时针方向旋转后得到的线段；
以为边，且面积为的平行四边形，如图即为所求；
，，
四边形为平行四边形，
且 边上的高为，
的面积为；
以为对角线，且面积为的平行四边形，如图即为所求；
，，
四边形为平行四边形，
且 边上的高为，
的面积为．
利用全等三角形以及直角三角形的性质作图；
根据平行四边形的定义和性质作图；
根据平行四边形的定义和性质作图．
本题主要考查了作图旋转变换，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，解答本题的关键是熟练掌握平行四边形的判定与性质．
2.本小题分
如图，在 中，对角线，交于点，，，垂足分别为点，．
求证：；
若点为的中点，，的周长是，求的长．
【答案】四边形是平行四边形，
，
，，
，
，
≌，

【解析】证明：四边形是平行四边形，
，
，，
，
，
≌，
；
解：点为的中点，
，
，的周长是，
，
设，
，
由勾股定理得到：，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
．
由平行四边形的性质推出，由垂直的定义得到，判定≌，推出；
设，由勾股定理得到，求出，得到，由平行四边形的性质得到．
本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，关键是判定≌，由勾股定理列出关于的方程．
3.本小题分
如图，在中，，平分交于点点为的中点，连接，过点作交的延长线于点．
求证：四边形是平行四边形；
当，时，求的长．
【答案】，平分交于点，
，
点为的中点，
是的中位线，
，
，
四边形是平行四边形
【解析】证明：，平分交于点，
，
点为的中点，
是的中位线，
，
，
四边形是平行四边形；
解：，平分，
，
．
在中，
，，
，
是的中位线．
，
四边形是平行四边形，
．
．
根据等腰三角形的性质得到，根据三角形中位线定理得到，根据平行四边形的判定定理即可得到结论；
根据等腰三角形的性质得到，根据勾股定理得到，根据三角形的中位线定理和平行四边形的性质即可得到结论．
本题考查了平行四边形的判定和性质，三角形中位线定理，等腰三角形的性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质定理是解题的关键．
4.本小题分
如图，四边形是菱形，对角线与相交于点，，，于点，求的长．
【答案】．
【解析】解：四边形是菱形，，，
，
四边形是菱形，
，，，
在直角三角形中，，
．
故答案为：．
首先利用勾股定理求得菱形的边长，然后由菱形的两个面积计算，求得边上的高的长即可．
本题考查了菱形的性质以及勾股定理的应用．注意菱形的面积等于对角线积的一半或底乘以高．
5.本小题分
小丽与小明一起研究一个尺规作图问题：
已知在平行四边形中，以为一边，用直尺和尺规作一个菱形，其中点、分别在边，上．
小丽：如图，以点为圆心，长为半径作弧，交边于点，再以点为圆心，长为半径作弧，交边于点，连接，则四边形是菱形．
小明：如图，以点为圆心，长为半径作弧，交边于点，再以点为圆心，长为半径作弧，交边于点，连接，则四边形是菱形．
小丽：小明，你的作法有问题．
小明：哦我明白了
给出小丽作法中四边形是菱形的证明；
指出小明作法中存在的问题．
【答案】由作图可知，，
，
四边形为平行四边形，
又，
四边形为菱形 小明的作法中以点为圆心，长为半径所作的弧与可能有两个交点，其中一个交点与点连线不与平行，即如下图形．

【解析】解：由作图可知，，
，
四边形为平行四边形，
又，
四边形为菱形．
如图，小明的作法中以点为圆心，长为半径所作的弧与可能有两个交点，其中一个交点与点连线不与平行．
根据作图得出，根据平行四边形的性质可得，即可得出四边形为平行四边形，进而根据邻边相等，即可判断为菱形；
根据小明的作法：以点为圆心，长为半径所作的弧与可能有两个交点，其中一个交点与点连线不与平行．
本题考查作图，掌握菱形的判断是解题的关键．
6.本小题分
如图，在中，点是边上一点，过点分别作交于点，交于点，连接，平分．
求证：四边形是菱形；
连接交于点，若，，求的长．
【答案】，，
四边形是平行四边形，，
平分，
，
，
则，
又四边形是平行四边形，
四边形是菱形
【解析】证明：，，
，四边形是平行四边形，
平分，
，
，
则，
又四边形是平行四边形，
四边形是菱形．
解：由知，四边形是菱形，
，，
又，，
，三角形是等边三角形，
又四边形是菱形，
，
在中，，
．
利用，证明四边形是平行四边形，再利用角平分线和平行线的性质，证得，证得结果；
利用菱形的性质与证得三角形是等边三角形，再利用菱形的对角线互相平分和垂直解出答案．
本题考查菱形的性质与判定，等腰三角形的判定与性质，平行四边形的性质与判定，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
7.本小题分
如图，两条外角平分线交于点，，过点作于点，于点求证：四边形是正方形．
【答案】如图所示，过点作，垂足为点，
，
，，，
四边形是矩形，，
两条外角平分线交于点，
，，
在和中，
，
≌，
，
在和中，
，
≌，
，
，
又四边形是矩形，
四边形是正方形．
【解析】证明：如图所示，过点作，垂足为点，
，
，，，
四边形是矩形，，
两条外角平分线交于点，
，，
在和中，
，
≌，
，
在和中，
，
≌，
，
，
又四边形是矩形，
四边形是正方形．
先根据题意证明四边形是矩形，再利用角平分线得到，，证明≌和≌，从而得到矩形的邻边相等，证出答案．
本题主要考查了正方形的判定，掌握其相关知识点是解题的关键．
8.本小题分
作图题：在中平分用尺规作图法，求作菱形，使得点在上，点在上不写作法，保留作图痕迹．
【答案】如图，四边形即为所求．

【解析】解：如图，四边形即为所求．
作线段的垂直平分线交于点交于点，连接，，四边形即为所求．
本题考查作图复杂作图，菱形的判定，角平分线的定义，解题的关键是掌握相关知识解决问题．
9.本小题分
如图，在四边形中，，，，垂足分别为，，若求证：四边形为平行四边形．
【答案】，
，
即，
，，，
≌，
，
，
四边形为平行四边形．
【解析】证明：，
，
，，，
≌，
，
，
四边形为平行四边形．
证明≌得出，即可证明，结合，即可得证．
本题考查平行四边形，掌握平行四边形的判定是解题的关键．
10.本小题分
如图，在矩形中，点，分别在边，上，连接，恰好经过对角线的中点，连接，．
求证：四边形为平行四边形；
若，，且，求的长．
【答案】解：证明：点是的中点，
，
在矩形中，，
，，
在和中
≌，
，
又，
四边形为平行四边形；
，，
，
在中，
，
，
．
【解析】由可证≌，可得，即可求解；
由线段垂直平分线的性质可得，由勾股定理列出方程，即可求解．
本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定，勾股定理，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
11.本小题分
如图，已知四边形是菱形，延长到点使，延长到点使，连接，，，．
求证：四边形是矩形；
连接，若平分，菱形的边长为，求矩形的面积．
【答案】证明见解答；
矩形的面积为．
【解析】证明：，，
四边形是平行四边形，
四边形是菱形
，
，
，，
，
四边形是矩形．
解：菱形的边长为，
，，
，，
平分
，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，
矩形的面积为．
由，，可证明四边形是平行四边形，由菱形的性质得，而，，则，所以四边形是矩形；
由，，得，，而平分，则，所以，则，由矩形的性质得，则，求得．
此题重点考查菱形的性质、平行四边形的判定、矩形的性质与性质、平行线的性质、等腰三角形的判定、勾股定理等知识，推导出四边形是平行四边形，且是解题的关键．
12.本小题分
如图，在四边形中，，相交于点，，点在上，．
求证四边形是平行四边形；
若，，，，求的长．
【答案】证明见解析；
．
【解析】证明：，
，
在与中，
，
≌，
，
四边形是平行四边形；
解：由可知，四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
，
在中，由勾股定理得：，
即的长为．
证明≌，得，再由平行四边形的判定即可得出结论；
由平行四边形的性质得，，则，，再由等腰三角形的性质得，则，然后由勾股定理求出的长即可．
本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、平行线的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
13.本小题分
如图，在四边形中，是的中点，、交于点，，．
求证：四边形为平行四边形；
若，，，求的长．
【答案】证明：是的中点，，
是的中位线，
，
，
又，
四边形为平行四边形；
解：，
，
由知：是的中位线，
，
，
由知：四边形为平行四边形，

，
在中，
的长为．
【解析】证明：是的中点，，
是的中位线，
，
，
又，
四边形为平行四边形；
解：，
，
由知：是的中位线，
，
，
由知：四边形为平行四边形，

，
在中，
的长为．
根据三角形的中位线定理得到，而，即可求证；
由三角形的中位线定理和平行四边形的性质得到，在中，运用勾股定理即可求解．
本题考查三角形中位线定理，平行四边形的判定和性质，勾股定理等知识点，解题的关键是灵活掌握三角形的中位线定理和平行四边形的性质和判定．
14.本小题分
如图，在菱形中，，垂足为，，垂足为求证：．
【答案】四边形是菱形，
，
，，
．
，
≌，
．
【解析】证明：四边形是菱形，
，
，，
．
，
≌，
．
由菱形的性质可得，再证明≌，即可得证．
本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
15.本小题分
如图，在平行四边形中，过作，过作，交于点．
求证：．
【答案】四边形是平行四边形，
，，
，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
，
．
【解析】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
，
．
由平行四边形的性质得出，，证明≌，由全等三角形的性质得出，则可得出结论．
本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
16.本小题分
如图，在 中，交的延长线于点，．
求证：四边形是矩形；
已知为的中点，，，求的长．
【答案】四边形是平行四边形，
，，
，
，，
四边形是平行四边形，
又，
，
平行四边形是矩形
【解析】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，，
四边形是平行四边形，
又，
，
平行四边形是矩形；
解：由可知，四边形是矩形，
，
，
为的中点，
，
，
，
根据勾股定理得：．
由平行四边形的性质得，，进而得，，再证明四边形是平行四边形，然后由矩形的判定即可得出结论；
由矩形的性质得，则，再由直角三角形斜边上的中线性质得，然后由勾股定理求出的长即可．
本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质以及勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
17.本小题分
如图，在 中，点、分别在、上，，．
求证：四边形是矩形；
连接，若平分，，，则的长为______．
【答案】四边形是平行四边形，
，，，
，
，
在与中，
，
≌，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
四边形是矩形
【解析】证明：四边形是平行四边形，
，，，
，
，
在与中，
，
≌，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
四边形是矩形；
解：如图，
四边形是矩形，
，，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
根据平行四边形的性质得到，，，根据线段的和差得到，根据全等三角形的性质得到，根据矩形的判定定理得到四边形是矩形；
如图，根据矩形的性质得到，，求得，根据角平分线的定义得到，等量代换得到，求得，得到，根据勾股定理得到结论．
本题考查了矩形的判定和性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握各知识点是解题的关键．
18.本小题分
以下关于四边形的形状的命题都是假命题，在所给图形的基础上用尺规作出它们的反例保留作图痕迹，写出必要的文字说明．
若，，则四边形是平行四边形；
若，，被平分，则四边形是矩形．
【答案】解：作，则，
以为圆心，为半径作圆，与射线交于点点为靠近点的交点，
如图所示，

四边形不是平行四边形；
以点为圆心，长为半径作圆，
延长和，在和的延长线上取点，，使得，，
连接与交于如图所示的点即为符合要求的点．

所以四边形不是矩形．
【解析】解：作，则，
以为圆心，为半径作圆，与射线交于点点为靠近点的交点，
如图所示，

四边形不是平行四边形；
以点为圆心，长为半径作圆，
延长和，在和的延长线上取点，，使得，，
连接与交于如图所示的点即为符合要求的点．

所以四边形不是矩形．
根据题意，画出反例即可；
根据题意，画出反例即可．
本题主要考查了命题与定理、平行四边形的判定与性质及矩形的判定，能根据题意画出反例是解题的关键．
19.本小题分
如图，在 中，对角线与相交于点，过点的直线与、的延长线分别交于点、．
求证：；
连接，请再添加一个条件，使四边形是菱形，并说明理由．
【答案】四边形是平行四边形，
，，
，
在和中，
，
≌，
添加时，四边形是菱形，理由如下：
如图：连接、，
四边形是平行四边形，
，
由得：≌，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形
【解析】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
在和中，
，
≌，
；
解：添加时，四边形是菱形，理由如下：
如图：连接、，
四边形是平行四边形，
，
由得：≌，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形．
由平行四边形的性质得出，，推出，再证≌，即可得出结论；
先由平行四边形的性质得出，再由全等三角形的性质得，推出四边形是平行四边形，然后由，即可得出结论．
本题考查了全等三角形的性质与判定、平行四边形的判定与性质以及菱形的判定等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质和菱形的判定是解题的关键．
20.本小题分
如图，在中，，、分别是、的中点，过点作，交延长线于点，连接、．
求证：四边形是菱形；
当 时，四边形是正方形．
【答案】(1)解：∵、分别是、的中点，
∴是的中位线．
∴．
又∵，
∴四边形是平行四边形．
∴．
∵是的中点，
∴．
∴．
又∵，
∴四边形是平行四边形．
∵，D是中点，
∴．
∴．
又∵四边形是平行四边形，
∴四边形是菱形．

(2)
【解析】
利用菱形和平行四边形的判定得出即可；

根据当菱形内角是则是正方形，进而得出答案．
解：四边形是菱形，
若四边形是正方形，则，
又是的中点，，
是等腰直角三角形，
，
综上所述，当时，四边形是正方形．
21.本小题分
如图，在四边形中，为对角线，．
用无刻度直尺和圆规在线段上求作一点，使得，连接；保留作图痕迹，不写作法
若，请证明中得到的四边形是平行四边形．
【答案】见解答．
【解析】解：如图，点为所作；
证明：，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
四边形是平行四边形．
作的垂直平分线交于点，则；
先证明，再证明≌得到，，然后根据平行四边形的判定方法得到四边形是平行四边形．
本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行四边形的判定．
22.本小题分
如图，点，分别为平行四边形的边，上的点，，连接，，，求证：四边形是菱形．
【答案】证明：四边形是平行四边形，
，
在和中，
，
≌，
，
四边形是平行四边形，且，
四边形是菱形．
【解析】详细解答和解析过程见【答案】
23.本小题分
已知正方形，是的中点，请仅用无刻度的直尺按下列要求画图．保留画图痕迹，不写画法
在图中，画，垂足为；
在图中，画，垂足为．
【答案】(1)解：如图，即为所求．
．

(2)解：连接BD，交AP于点F，连接CF并延长交AD于点E，连接BE交AP于一点即为点H，
∵四边形ABCD是正方形，BD为对角线，
∴∠ADB=∠CDB，AD=CD，
∵DF=DF，
∴△ADF≌△CDF，
∴∠DAF=∠DCF，
∵∠ADP=∠CDE=90°，
∴△ADP≌△CDE，
∴DE=DP，
∴AE=DP，
∵AB=AD，∠BAE=∠ADP=90°，
∴△ABE≌△DAP，
∴∠ABE=∠DAP，
∵∠BAH+∠DAP=90°，
∴∠ABE+∠BAH=90°，
∴∠AHB=90°，即
如图，即为所求．
．

【解析】
连接点与正方形的对角线的交点，并延长交于一点，即为点；

连接，交于点，连接并延长交于点，连接交于一点即为点．
24.本小题分
如图，在 中，点为线段的中点，延长交的延长线于点，连接，，
求证：四边形是矩形；
连接若，，求的长．
【答案】证明见解答过程；
．
【解析】证明：为的中点，
，
四边形是平行四边形，
，
，
又，
≌，
，
四边形是平行四边形，
，
，
平行四边形是矩形；
解：如图，过点作于点，

四边形是矩形，
，，，，
，
，
，
为的中位线，
，
四边形是平行四边形，
，
，
在中，由勾股定理得：，
即的长为．
证≌，得，再证四边形是平行四边形，然后证，即可得出结论；
过点作于点，由矩形的性质得，，再由等腰三角形的性质得，则为的中位线，得，然后由平行四边形的性质得，进而由勾股定理即可得出结论．
本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形中位线定理以及勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
25.本小题分
图、图、图均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长为，点、、、均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写画法，保留作图痕迹．
在图中画出以为对角线的矩形．
在图中画出以为对角线的平行四边形，使其面积为．
在图中画出以为一边的菱形使其面积为．
【答案】解：如图中，矩形即为所求；
如图中，平行四边形即为所求；
如图中，菱形即为所求．

【解析】作一个底为，高为的矩形即可；
作一个底为，高为的平行四边形即可；
作一个对角线分别为，的菱形即可．
本题考查作图应用与设计作图，三角形的面积，平行四边形的判定与性质，菱形的判定，矩形的判定与性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
26.本小题分
如图，矩形的对角线、相交于点，，．
求证：四边形是菱形．
若，，则菱形的面积为 ．
【答案】(1)证明：四边形是矩形，，，，
，，，四边形是平行四边形，，四边形是菱形.

(2)
【解析】 略

如图，连接与交于点，
由知四边形是菱形，，，，，四边形是矩形，，，，，是等边三角形，，由勾股定理得，，，故答案为．
27.本小题分
如图，在矩形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动如果，分别从，同时出发，当点运动到点时，两点停止运动设运动时间为秒，．
当为何值时，点在的垂直平分线上？
当为何值时，的长度等于？
连接，是否存在的值，使得的面积等于？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由．
【答案】解：点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动，设运动时间为秒，
，，
，
，
在的垂直平分线上，
，
，
解得，
当时，点在的垂直平分线上；
点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动，设运动时间为秒，
，，
，
，
四边形是矩形，
，
由勾股定理得，
，
解得舍去，，
当时，的长度等于；
由题意得，，
的面积等于，
，
，
或舍去，
当时，使得的面积等于．
【解析】先求出，，再根据线段垂直平分线的性质构造方程求解即可；
先求出，，再利用勾股定理建立方程，解方程即可得到答案；
先求出，再根据三角形面积计算公式得到方程，解方程即可得到答案．
本题考查了一元二次方程的应用，勾股定理及矩形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
28.本小题分
如图，在平行四边形中，平分，已知，，．
求的长；
若，求．
【答案】解：四边形是平行四边形，
，，
，
平分，
，
，
，
；
，，，
，
是直角三角形，且，
，
，
．
【解析】依据，可得，依据平分，可得，再根据，即可得到，进而得出；
依据勾股定理的逆定理即可得出，再根据三角形内角和定理得出的度数，进而得到的度数．
本题主要考查了平行四边形的性质，解题时注意：平行四边形的对边相等，平行四边形的对角相等．
29.本小题分
如图，在中，，，，点从点出发沿方向以秒的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以秒的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点、运动的时间是秒过点作于点，连接，．
四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的值；如果不能，请说明理由；
当为何值时，为直角三角形？请说明理由．
【答案】证明：能．
理由如下：在中，，，，
，，
又，
，
，，
，
又，
四边形为平行四边形，
当时，四边形为菱形，
即，解得．
当秒时，四边形为菱形．
当时，由知四边形为平行四边形，
，
，
，
，
，
又，即，解得；
当时，四边形为矩形，在中，则，
，即，解得．
若，则与重合，与重合，此种情况不存在．
综上所述，当或秒时，为直角三角形．
【解析】能．首先证明四边形为平行四边形，当时，四边形为菱形，即，解方程即可解决问题；
分三种情形讨论即可．
本题考查平行四边形的判定和性质、菱形的判定、直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会构建方程解决问题，属于中考常考题型．
30.本小题分
如图， 中，点、分别在、上，且求证：．
【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，
即：，
，
四边形是平行四边形，
．
【解析】此题主要考查平行四边形的性质及判定定理．
因为四边形是平行四边形，所以，，已知，从而可得到，再根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形推出四边形是平行四边形，从而得出结论．
31.本小题分
已知，如图，，是平行四边形的对角线上的两点，求证：四边形是平行四边形．
【答案】证明：如图，连接，与交于点，
四边形为平行四边形，
，，
，
，
即，
又，
四边形是平行四边形．
【解析】连接，与交于点，由平行四边形的对角线互相平分得到，，进而得到，利用对角线互相平分的四边形是平行四边形即可得证．
此题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握“对角线互相平分的四边形是平行四边形”是解本题的关键．
32.本小题分
如图，在中，，是的中点，点，在射线上，且．
求证：四边形是菱形；
若，，求菱形的面积．
【答案】(1)证明:D是BC的中点,
BD=CD.
DE=DF,
四边形BECF是平行四边形.
AB=AC,D是BC中点,
ADBC.
平行四边形BECF是菱形.
(2) 解:BC=6,D为BC中点,
BD=BC=3.
设DE=x,
AD=6,
AE=AD-DE=6-x.
BE=AE=6-x.
ADBC,
BDE=.
在RtBDE中,+=.
+=.
解得:x=,即DF=DE=.
EF=DF+DE=.
=BCEF=.
【解析】 本题考查的是平行四边形的判定，菱形的判定有关知识，先证明四边形是平行四边形，再结合，是中点得出，最后利用菱形的判定定理解答即可．
本题考查的是勾股定理，菱形的性质有关知识，先利用勾股定理得出，然后再利用菱形的性质解答即可
33.本小题分
已知：如图，四边形是矩形，分别延长，到点，，使，，连接，，，．
求证：四边形是菱形；
连接，如果四边形的周长是，，求的长．
【答案】证明：，，
四边形是平行四边形，
在矩形中，，
四边形是菱形；
解：在菱形中，，
四边形的周长是，
，
，
，
在中，根据勾股定理，得，
，
在矩形中，，，
根据勾股定理，得．
【解析】根据，，可知四边形是平行四边形，根据矩形的性质可得，即可得证；
根据菱形的性质可得，，根据勾股定理，可得的长，进一步可得的长，根据矩形的性质可得，再根据勾股定理可得的长．
本题考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，熟练掌握这些知识是解题的关键．
34.本小题分
如图，在中，，点是的中点，连接，过点作，过点作，、相交于点
求证：四边形是菱形；
过点作于点，交于点，若，，求的长．
【答案】证明：，，
四边形是平行四边形，
在中，，点是的中点，
，
四边形是菱形；
解：，
，
，
，
，
，
四边形是菱形，
，，
，
在与中，
，
≌，
，
，
，
，
故DG的长为．
【解析】根据平行四边形 的判定定理得到四边形是平行四边形，根据直角三角形的性质得到，根据菱形的判定定理得到结论；
解根据勾股定理得到，根据菱形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握菱形的判定和性质定理是解题的关键．
35.本小题分
如图，将四边形绕点旋转，使得点的对应点恰好落在射线上，旋转后的四边形为，连接交于点
如图，若四边形为正方形，则四边形是 填序号
平行四边形矩形菱形
如图，若四边形为矩形，
求证；
若，，交于点，则的长为______；
如图，若与互相平分，求证
【答案】(1)①
(2)证明：连接，，AC，AC与BD相交于点O，
四边形ABCD是矩形，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
；
解：由旋转可知：，
，
，
，
，
，
，
，
，
在中，根据勾股定理得：，
，
，
，
，
故答案为：

(3)证明：连接，，连接AC交BD于点O，
与AD互相平分，
四边形是平行四边形，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
由旋转可得，，进而可以进行判断；

【解析】
解：由旋转可知：，，
四边形是平行四边形，
故答案为：；

连接，，，与相交于点，证明四边形是平行四边形，即可解决问题；
先证明，再利用勾股定理求出，进而根据线段的和差即可解决问题；

连接，，连接交于点，证明，，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理证明，进而可以解决问题．
本题属于四边形综合题，考查了旋转变换的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
36.本小题分
如图，在 中，过点作于点，点在边上，，连接，．
求证：四边形是矩形；
已知，是的平分线，若，求的长度．
【答案】解 ：证明：四边形是平行四边形
，
且
四边形是平行四边形
又
四边形是矩形．
，，
，
四边形是矩形
平分
，且
．
【解析】本题考查了矩形判定和性质，平行四边形的性质，熟练运用这些性质解决问题是本题的关键．
由题意可证是平行四边形，且，可得结论．
根据勾股定理可求的长度，则可得的长度，即可求的长度．
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八年级下册复习：（特殊）平行四边形综合
一、解答题：本题共36小题，共288分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
1.本小题分
如图，在网格中，每个小正方形的边长都是，每个顶点称为格点线段的端点都在格点上使用无刻度直尺按下列要求作图，使所画图形的顶点均在格点上．
如图，画出线段绕点逆时针方向旋转后得到的线段；
如图，画一个以为边，且面积为的平行四边形；
如图，画一个以为对角线，且面积为的平行四边形．
2.本小题分
如图，在 中，对角线，交于点，，，垂足分别为点，．
求证：；
若点为的中点，，的周长是，求的长．
3.本小题分
如图，在中，，平分交于点点为的中点，连接，过点作交的延长线于点．
求证：四边形是平行四边形；
当，时，求的长．
4.本小题分
如图，四边形是菱形，对角线与相交于点，，，于点，求的长．
5.本小题分
小丽与小明一起研究一个尺规作图问题：
已知在平行四边形中，以为一边，用直尺和尺规作一个菱形，其中点、分别在边，上．
小丽：如图，以点为圆心，长为半径作弧，交边于点，再以点为圆心，长为半径作弧，交边于点，连接，则四边形是菱形．
小明：如图，以点为圆心，长为半径作弧，交边于点，再以点为圆心，长为半径作弧，交边于点，连接，则四边形是菱形．
小丽：小明，你的作法有问题．
小明：哦我明白了
给出小丽作法中四边形是菱形的证明；
指出小明作法中存在的问题．
6.本小题分
如图，在中，点是边上一点，过点分别作交于点，交于点，连接，平分．
求证：四边形是菱形；
连接交于点，若，，求的长．
7.本小题分
如图，两条外角平分线交于点，，过点作于点，于点求证：四边形是正方形．
8.本小题分
作图题：在中平分用尺规作图法，求作菱形，使得点在上，点在上不写作法，保留作图痕迹．
9.本小题分
如图，在四边形中，，，，垂足分别为，，若求证：四边形为平行四边形．
10.本小题分
如图，在矩形中，点，分别在边，上，连接，恰好经过对角线的中点，连接，．
求证：四边形为平行四边形；
若，，且，求的长．
11.本小题分
如图，已知四边形是菱形，延长到点使，延长到点使，连接，，，．
求证：四边形是矩形；
连接，若平分，菱形的边长为，求矩形的面积．
12.本小题分
如图，在四边形中，，相交于点，，点在上，．
求证四边形是平行四边形；
若，，，，求的长．
13.本小题分
如图，在四边形中，是的中点，、交于点，，．
求证：四边形为平行四边形；
若，，，求的长．
14.本小题分
如图，在菱形中，，垂足为，，垂足为求证：．
15.本小题分
如图，在平行四边形中，过作，过作，交于点．
求证：．
16.本小题分
如图，在 中，交的延长线于点，．
求证：四边形是矩形；
已知为的中点，，，求的长．
17.本小题分
如图，在 中，点、分别在、上，，．
求证：四边形是矩形；
连接，若平分，，，则的长为______．
18.本小题分
以下关于四边形的形状的命题都是假命题，在所给图形的基础上用尺规作出它们的反例保留作图痕迹，写出必要的文字说明．
若，，则四边形是平行四边形；
若，，被平分，则四边形是矩形．
19.本小题分
如图，在 中，对角线与相交于点，过点的直线与、的延长线分别交于点、．
求证：；
连接，请再添加一个条件，使四边形是菱形，并说明理由．
20.本小题分
如图，在中，，、分别是、的中点，过点作，交延长线于点，连接、．
求证：四边形是菱形；
当 时，四边形是正方形．
21.本小题分
如图，在四边形中，为对角线，．
用无刻度直尺和圆规在线段上求作一点，使得，连接；保留作图痕迹，不写作法
若，请证明中得到的四边形是平行四边形．
22.本小题分
如图，点，分别为平行四边形的边，上的点，，连接，，，求证：四边形是菱形．
23.本小题分
已知正方形，是的中点，请仅用无刻度的直尺按下列要求画图．保留画图痕迹，不写画法
在图中，画，垂足为；
在图中，画，垂足为．
24.本小题分
如图，在 中，点为线段的中点，延长交的延长线于点，连接，，
求证：四边形是矩形；
连接若，，求的长．
25.本小题分
图、图、图均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长为，点、、、均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写画法，保留作图痕迹．
在图中画出以为对角线的矩形．
在图中画出以为对角线的平行四边形，使其面积为．
在图中画出以为一边的菱形使其面积为．
26.本小题分
如图，矩形的对角线、相交于点，，．
求证：四边形是菱形．
若，，则菱形的面积为 ．
27.本小题分
如图，在矩形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动如果，分别从，同时出发，当点运动到点时，两点停止运动设运动时间为秒，．
当为何值时，点在的垂直平分线上？
当为何值时，的长度等于？
连接，是否存在的值，使得的面积等于？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由．
28.本小题分
如图，在平行四边形中，平分，已知，，．
求的长；
若，求．
29.本小题分
如图，在中，，，，点从点出发沿方向以秒的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以秒的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点、运动的时间是秒过点作于点，连接，．
四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的值；如果不能，请说明理由；
当为何值时，为直角三角形？请说明理由．
30.本小题分
如图， 中，点、分别在、上，且求证：．
31.本小题分
已知，如图，，是平行四边形的对角线上的两点，求证：四边形是平行四边形．
32.本小题分
如图，在中，，是的中点，点，在射线上，且．
求证：四边形是菱形；
若，，求菱形的面积．
33.本小题分
已知：如图，四边形是矩形，分别延长，到点，，使，，连接，，，．
求证：四边形是菱形；
连接，如果四边形的周长是，，求的长．
34.本小题分
如图，在中，，点是的中点，连接，过点作，过点作，、相交于点
求证：四边形是菱形；
过点作于点，交于点，若，，求的长．
35.本小题分
如图，将四边形绕点旋转，使得点的对应点恰好落在射线上，旋转后的四边形为，连接交于点
如图，若四边形为正方形，则四边形是 填序号
平行四边形矩形菱形
如图，若四边形为矩形，
求证；
若，，交于点，则的长为______；
如图，若与互相平分，求证
36.本小题分
如图，在 中，过点作于点，点在边上，，连接，．
求证：四边形是矩形；
已知，是的平分线，若，求的长度．
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