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第4讲二次函数y＝ax +bx+c的图象和性质(2)
【暑假预习讲义】2026-2027新沪教版数学九年级上册
思维导图 · 课程内容总览
课程目标 · 精准把握学习方向
理解 二次函数 y = ax + bx + c（a≠0）的三种表达式（一般式、顶点式、交点式）及其相互转化。
掌握 二次函数的图象特征：开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性、最值，能熟练运用配方法求顶点。
理解 二次函数图象的几何变换（平移、旋转）规律，掌握“左加右减、上加下减”的口诀。
熟练运用 待定系数法，根据已知条件（三点、顶点、与 x 轴交点等）求二次函数解析式。
掌握 二次函数在给定区间上的最值问题，能结合图象分析参数对最值的影响。
体会 数形结合、分类讨论、方程思想在二次函数综合题中的应用。
核心思想：以“图象”为抓手，贯通“式”与“形”，灵活运用变换与待定系数法。
知识梳理 · 核心知识点
☆ 二次函数的三种表达式
一般式：（），适用于已知图象上任意三点的坐标。
顶点式：，顶点坐标为 ，对称轴为 ，适用于已知顶点坐标。
交点式（两根式）：，其中 为抛物线与 轴交点的横坐标，适用于已知与 轴交点。
☆ 二次函数的图象与性质
开口方向：由 决定。当 时，开口向上；当 时，开口向下。 越大，开口越窄。
对称轴：直线 （一般式）；（顶点式）。
顶点坐标：
一般式：；
顶点式：。
最值：
当 时，抛物线开口向上，顶点为最低点，函数有最小值 （顶点式）或 ；
当 时，开口向下，顶点为最高点，函数有最大值。
增减性：
当 时，在对称轴左侧 随 增大而减小，右侧 随 增大而增大；
当 时相反。
图形示意（文字描述）：
开口向上（a>0）：抛物线形状如“U”，顶点在最低处，对称轴垂直通过顶点。
开口向下（a<0）：抛物线形状如“∩”，顶点在最高处，对称轴垂直通过顶点。
☆ 二次函数图象的几何变换
平移变换：
左右平移：，口诀“左加右减”（ 变化）。
上下平移：，口诀“上加下减”（ 变化）。
总口诀：“左加右减，上加下减”，即向左平移 个单位， 变为 ；向下平移 个单位， 变为 。
旋转变换（绕原点旋转180°）：
开口方向相反，顶点 变为 ，解析式变为 （顶点式）。
对称变换：
关于 轴对称： 变为 ；
关于 轴对称： 变为 。
平移示意图（文字说明）：
原函数 顶点 (0,0)。
向左平移2个单位 → ，顶点 (-2,0)；
向右平移2个单位 → ，顶点 (2,0)；
向上平移2个单位 → ，顶点 (0,2)。
☆ 待定系数法求二次函数解析式
【例】已知一个二次函数的图像经过点 A(4,5)、 B(2,-3) 、 C(1,-4) 。
（1）求这个二次函数的表达式。
（2）写出这个二次函数图像的开口方向、对称轴和顶点以及图像的变化规律。判断该图像有最高点还是最低点，并求出其坐标。
1. 求二次函数表达式
设所求二次函数的表达式为：
将三点坐标代入，得方程组：
① ②，得：
② ③，得：
由 ④ 和 ⑤ 联立：
解得：
将 ( a = 1 )，( b = -2 ) 代入 ③ 中：
因此，这个二次函数的表达式为：
2. 图像性质分析
将解析式配方为顶点式：
由此可得：
开口方向：向上（因为 ( a = 1 > 0 )）
对称轴：直线 ( x = 1 )
顶点坐标：(1, -4)
变化规律：
在对称轴左侧（( x < 1 )），图像下降；
在对称轴右侧（( x > 1 )），图像上升。
最值：该图像有 最低点，坐标为(1, -4)。
3. 知识点总结
一般步骤：① 设出合适的函数表达式（一般式、顶点式、交点式）；② 将已知点的坐标代入，列出方程（组）；③ 解方程（组）求出待定系数；④ 写出解析式。
选用策略：
已知三点坐标 → 设一般式 ；
已知顶点坐标 → 设顶点式 ；
已知与 轴交点 → 设交点式 。
注意：待定系数法体现了“方程思想”，是初中数学的重要方法。
☆ 二次函数的最值问题
无区间限制：直接利用顶点坐标求最值。
时，最小值 ； 时，最大值 。
给定区间 ：
若对称轴在区间内，则顶点处取一个最值（开口向上取最小值，开口向下取最大值），区间端点处取另一个最值；
若对称轴在区间外，则函数在区间上单调，最值在区间端点处取得。
方法：配方法 → 确定对称轴 → 比较区间端点与对称轴的位置 → 求最值。
知识总结表
类别 核心内容 方法/公式
一般式 （） 对称轴 ， 顶点
顶点式 顶点 ，对称轴
交点式 与 轴交点为 ，
开口方向 由 决定： 向上， 向下 越大，开口越窄
最值 顶点处取得（ 最小值， 最大值）
平移变换 左加右减（），上加下减（）
旋转180° 开口反向，顶点关于原点对称
待定系数法 设式 → 代入 → 解方程 → 得解析式 根据条件选一般式、顶点式或交点式
核心考点 ·典型例题方法精讲
【考点1】二次函数图象与几何变换（第1-14题）
※ 方法总结
平移规律：“左加右减，上加下减”。向左平移 个单位， 变为 ；向下平移 个单位， 变为 。
旋转180°：开口方向相反，顶点 变为 ，解析式 。
对称变换：关于 轴对称， 变为 ；关于 轴对称， 变为 。
平移距离：顶点平移的距离即为图象平移的距离，可用两点间距离公式计算。
“平衡点”问题：同时满足平移前后两个函数解析式的点，联立方程求解。
1．（2026 雨花区校级三模）将抛物线y＝x2+1向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得的抛物线解析式是（　　）
A．y＝（x+2）2﹣2 B．y＝（x+2）2+3
C．y＝（x﹣2）2﹣2 D．y＝（x﹣1）2+3
【分析】利用二次函数平移“左加右减，上加下减”的规律，逐步推导即可得到结果．
【解答】解：原抛物线解析式为y＝x2+1，根据二次函数平移“左加右减，上加下减”的规律可知：
向左平移2个单位后，解析式变为y＝（x+2）2+1，再向下平移3个单位，解析式整理得y＝（x+2）2+1﹣3＝（x+2）2﹣2，
∴所得抛物线解析式为y＝（x+2）2﹣2．
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，熟练掌握平移法则是关键．
2．（2026 崇川区校级模拟）将抛物线y＝x2+2x﹣1向左平移3个单位后得到新抛物线的顶点坐标为（　　）
A．（﹣2，1） B．（2，﹣2） C．（﹣4，﹣2） D．（﹣4，1）
【分析】先将原抛物线配方为顶点式，再根据“左加右减”的平移规则得到新抛物线顶点坐标即可．
【解答】解：将原抛物线配方为顶点式可得y＝x2+2x﹣1＝（x+1）2﹣2，
∴顶点坐标为（﹣1，﹣2），
由二次函数图象的平移法则可知抛物线向左平移3个单位，顶点横坐标减3，纵坐标不变，
∴新抛物线顶点横坐标为﹣1﹣3＝﹣4，纵坐标仍为﹣2，
即新抛物线的顶点坐标为（﹣4，﹣2）．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，熟练掌握该知识点是关键．
3．（2026 碑林区校级三模）把二次函数y＝（x+2）2+m的图象先向右平移3个单位再向上平移1个单位，如果平移后所得抛物线上的点到x轴的距离为2的点有且只有2个，则m应满足的条件为（　　）
A．﹣2＜m＜2 B．m＜1 C．﹣3＜m＜1 D．﹣3＜m
【分析】平移后的抛物线解析式为y＝（x﹣1）2+m+1，根据题意可得﹣2＜m+1＜2，即可求解．
【解答】解：平移后的抛物线解析式为y＝（x+2﹣3）2+m+1，即y＝（x﹣1）2+m+1，
∴﹣2＜m+1＜2，
解得：﹣3＜m＜1，
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的平移，解题的关键是掌握相关知识．
4．（2026 碑林区校级模拟）将抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）向下平移2个单位长度后，得到的新抛物线恰好和抛物线关于y轴对称，则b、c的值为（　　）
A．b＝﹣1，c＝6 B．b＝﹣1，c＝﹣2 C．b＝1，c＝﹣2 D．b＝1，c＝6
【分析】先求出抛物线关于y轴对称的抛物线解析式，再根据抛物线平移规律得到原抛物线向下平移2个单位后的解析式，对比对应系数即可求出b和c的值．
【解答】解：抛物线关于y轴对称的抛物线为：
，
∵抛物线y＝ax2+bx+c向下平移2个单位，
∴平移后解析式为y＝ax2+bx+c﹣2，
又∵平移后抛物线与上述关于y轴对称的抛物线是同一个，对应系数相等，
∴b＝﹣1，c﹣2＝﹣4，
解得b＝﹣1，c＝﹣2，
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，熟练掌握该知识点是关键．
5．（2026 亭湖区三模）将二次函数y＝2x2+1的图象向下平移3个单位长度，则平移后的函数表达式为y＝2x2﹣2　 ．
【分析】根据抛物线平移规律“左加右减，上加下减”求解即可．
【解答】解：根据抛物线平移规律“左加右减，上加下减”可知：
平移后的函数表达式为y＝2x2+1﹣3＝2x2﹣2．
故答案为：y＝2x2﹣2．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，熟练掌握平移法则是关键．
6．（2026 鼓楼区校级二模）将函数y＝﹣（x+1）2+2的图象绕着原点旋转180°，得到的新图象的函数表达式为 y＝（x﹣1）2﹣2　 ．
【分析】把函数解析式整理成顶点式形式并写出顶点坐标，再根据中心对称写出旋转后的抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式解析式写出即可．
【解答】解：∵二次函数y＝﹣（x+1）2+2的顶点坐标为（﹣1，2），
∴绕原点旋转180°后的抛物线顶点坐标为（1，﹣2），
∴所得函数解析式为y＝（x﹣1）2﹣2．
故答案为：y＝（x﹣1）2﹣2．
【点评】本题考查了二次函数变换的知识点，应根据开口方向，开口度，对称轴，与y轴交点3方面进行考虑．
7．（2026 长春校级模拟）将抛物线y＝x2﹣6x+9平移到抛物线y＝（x﹣6）2+4的位置，则抛物线顶点平移的最短距离为　5　 ．
【分析】本题先将原抛物线整理为顶点式，得到原抛物线顶点坐标，再得到平移后抛物线的顶点坐标，利用两点间距离公式即可求出顶点平移的最短距离．
【解答】解：∵y＝x2﹣6x+9＝（x﹣3）2，
∴抛物线的顶点坐标为（3，0），
∵平移后抛物线y＝（x﹣6）2+4的顶点坐标为：（6，4），
∴抛物线顶点平移的最短距离：．
故答案为：5．
【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，二次函数的性质，熟知函数图象平移的法则是解题的关键．
8．（2026 银川校级二模）若将抛物线平移，有一个点既在平移前的抛物线上，又在平移后的抛物线上，则称这个点为“平衡点”．现将抛物线C1：y＝（x﹣2）2﹣4向右平移m（m＞0）个单位长度后得到新的抛物线C2，若（4，n）为“平衡点”．则m的值为　4　 ．
【分析】将（4，n）代入平移前抛物线解析式求得n的值；然后将（4，n）代入平移后抛物线解析式求得m的值．
【解答】解：根据题意，将（4，n）代入抛物线C1：y＝（x﹣2）2﹣4，
得到：n＝（4﹣2）2﹣4＝0，
所以“平衡点”为（4，0）．
将抛物线C1：y＝（x﹣2）2﹣4向右平移m（m＞0）个单位得到新抛物线C2：y＝（x﹣2﹣m）2﹣4．
将（4，0）代入新抛物线C2：y＝（x﹣2﹣m）2﹣4，得0＝（4﹣2﹣m）2﹣4．
解得m＝4．
故答案为：4．
【点评】本题主要考查了二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是理解“平衡点”的含义．
9．（2026 宿城区校级二模）已知抛物线y＝ax2﹣bx+b﹣a（a＜0），当﹣5≤x≤0时，y的取值范围是0≤y≤6．若将该抛物线向右平移6个单位后经过点（1，0），则b的值是　　 ．
【分析】先因式分解抛物线解析式，利用平移规律得平移后解析式，代入已知点建立a与b关系；根据开口方向和取值范围，结合单调性求a，进而得b．
【解答】解：平移后解析式为y＝a（x﹣6）2﹣b（x﹣6）+b﹣a．
由条件可得25a+5b+b﹣a＝0，即24a+6b＝0，化简得b＝﹣4a．
将b＝﹣4a代入y＝ax2﹣bx+b﹣a＝（x﹣1）（ax+a﹣b）得：
y＝（x﹣1） a（x+5）＝a（x﹣1）（x+5）．
∴a＜0，开口向下，对称轴直线x＝﹣2，
∵﹣5≤x≤0时0≤y≤6，对称轴在区间内，顶点为最大值点．
顶点（最大值点）坐标为：
x＝﹣2，y＝a（﹣2﹣1）（﹣2+5）＝a （﹣3） （3）＝﹣9a，
给定取值范围 0≤y≤6，且最小值为 0，最大值为6．
由于开口向下，顶点为最大值：﹣9a＝6（因为a＜0，所以﹣9a＞0）：
∴，
∴．
故答案为：．
【点评】本题考查了二次函数的性质、抛物线平移规律及因式分解，解题的关键是因式分解简化解析式，结合平移和取值范围求参数．
10．（2026春 郸城县月考）如图，一段抛物线y＝﹣x（x﹣4）（0≤x≤4）记为C1，绕（4，0）旋转180°得C2，再绕（8，0）旋转得C3…若点P（2025，m）在某段抛物线上，则m＝　3　 ．
【分析】先分析题中抛物线的周期性规律，用除法求余数的方法，将较大的横坐标转化成已知范围内的横坐标，代入函数求出纵坐标．
【解答】解：由题得，抛物线 C1：y＝﹣x（x﹣4）（0≤x≤4），与x轴交点为（0，0）、（4，0），开口向下，
由条件可知抛物线C2与x轴交点为（4，0）、（8，0），开口向上，
∴抛物线C2表达式为：y＝（x﹣4）（x﹣8）（4≤x≤8），
由条件可知抛物线C3与x轴交点为（8，0）、（12，0），开口向下，
∴抛物线C3表达式为：y＝﹣（x﹣8）（x﹣12）（8≤x≤12），
∴每段抛物线与x轴的两个交点之间的长度为4，每两段（即x轴上8个单位长度）构成一个周期，
∵2025÷8＝253余1，
∴点P（2025，m）的纵坐标m与x＝1时的纵坐标相同，
当x＝1时，点在抛物线C1上，
∴y＝﹣1×（1﹣4）＝3，
∴m＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，熟练掌握该知识点是关键．
11．（2026 松江区二模）联结抛物线上任意两点的线段叫做抛物线的弦．如果抛物线的一条弦AB与抛物线的对称轴垂直，垂足为点C，抛物线的顶点为D，当AB＝4CD时，AB的长称为这条抛物线的特征值．我们知道，平移不改变抛物线的特征值，那么抛物线y＝3x2﹣2x+1的特征值是　　 ．
【分析】由于平移不改变抛物线的特征值，抛物线y＝3x2﹣2x+1的特征值是即为抛物线y＝3x2的特征值，据此画出图象结合新定义求解即可．
【解答】解：∵平移不改变抛物线的特征值，
∴y＝3x2﹣2x+1的特征值即为y＝3x2的特征值，如图：
∴此时y＝3x2的对称轴为y轴，
∵AB＝4CD，AB⊥y轴
∴AB＝2BC＝4CD，即BC＝2CD
设BC＝m，
∴，
∴，
∴，
∴或m＝0（舍去）
∴．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了二次函数图象与几何变换、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．
12．（2026 鹿城区校级三模）已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点（2，3），对称轴为直线x＝1．
（1）求该二次函数的表达式，并写出顶点坐标．
（2）若将该二次函数的图象沿x轴平移，问平移几个单位能使图象经过原点．
（3）当m+2≤x≤2m+1时，二次函数y＝﹣x2+bx+c的最大值与最小值的差为1，求m的值．
【分析】（1）依据题意，由二次函数为y＝﹣x2+bx+c，则对称轴为直线1，从而b＝2，将点（2，3）和b＝2 代入函数表达式，可得﹣22+2×2+c＝3，进而求出c，可得y＝﹣x2+2x+3，再将x＝1代入表达式，进而可得顶点坐标，故可得解；
（2）依据题意，由y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣3）（x+1），则抛物线与x轴的交点为（3，0）和 （﹣1，0），设沿x轴平移k个单位后函数过原点，从而将（0，0）代入平移后的函数表达式y＝﹣（x﹣k）2+2（x﹣k）+3，则﹣k2﹣2k+3＝0，求出k后即可得解；
（3）依据题意，由m+2≤2m+1，则m≥1，从而二次函数为y＝﹣（x﹣1）2+4，则开口向下，对称轴为直线x＝1，故当m≥1时，当m+2≤x≤2m+1时都满足x≥3＞1，函数y随x的增大而减小，可得最大值为x＝m+2处的函数值，最小值为x＝2m+1处的函数值，结合最大值与最小值的差为1，则[﹣（m+2﹣1）2+4]﹣[﹣（2m+1﹣1）2+4]＝1，进而可以得解．
【解答】解：（1）由题意，∵二次函数为y＝﹣x2+bx+c，
∴对称轴为直线1，
∴b＝2．
将点（2，3）和b＝2 代入函数表达式，
∴﹣22+2×2+c＝3，
∴c＝3．
∴二次函数表达式为y＝﹣x2+2x+3．
将x＝1代入表达式，
∴顶点纵坐标：y＝﹣12+2×1+3＝4，则顶点坐标为（1，4）；
（2）由题意，∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣3）（x+1），
∴抛物线与x轴的交点为（3，0）和 （﹣1，0），
设沿x轴平移k个单位后函数过原点，
∴将（0，0）代入平移后的函数表达式y＝﹣（x﹣k）2+2（x﹣k）+3，则﹣k2﹣2k+3＝0，
∴k1＝1，k2＝﹣3，即向右平移1个单位，或向左平移3个单位，
∴平移1个单位或3个单位可使图象经过原点；
（3）由题意，∵m+2≤2m+1，
∴m≥1．
二次函数为y＝﹣（x﹣1）2+4，
∴开口向下，对称轴为直线x＝1，
当m≥1时，当m+2≤x≤2m+1时都满足x≥3＞1，函数y随x的增大而减小，
∴最大值为x＝m+2处的函数值，最小值为x＝2m+1处的函数值，
∵最大值与最小值的差为1，
∴[﹣（m+2﹣1）2+4]﹣[﹣（2m+1﹣1）2+4]＝1，
∴（1，不合题意，舍去）．
【点评】本题主要考查了二次函数图象与几何变换、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的最值、待定系数法求二次函数解析式，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．
13．（2026春 绿园区校级期末）已知抛物线y＝ax2过点A（﹣4，8）．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）抛物线上与点A关于y轴对称的点B的坐标是 　（4，8）　 ；△AOB的面积是 　32　 ；
（3）点C在抛物线上，且满足S△ABC，求点C的坐标．
【分析】（1）把点A的坐标代入抛物线解析式求解即可得到a的值，从而得解；
（2）根据关于y轴对称的点的坐标，横坐标互为相反数，纵坐标相同解答；根据点A、B的坐标求出AB的长度，以及点O到AB的距离，然后利用三角形的面积公式列式进行计算即可求解；
（3）根据三角形的面积公式求出点C到AB的距离，再分①点C在AB下面，②点C在AB的上面两种情况求出点C的纵坐标，然后代入抛物线解析式求出横坐标，即可得到点C的坐标．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2过点A（﹣4，8）．
∴16a＝8，
解得a，
∴这个函数的解析式为yx2；
（2）∵点A（﹣4，8），
∴点A关于y轴的对称点B的坐标为（4，8）；
∴AB＝4﹣（﹣4）＝8，
∴S△OAB8×8＝32；
故答案为：（4，8），32；
（3）设点C到AB的距离为h，
则S△ABC AB h8h，
S△ABC，
∴8h，
解得h＝4，
①当点C在AB下面时，点C的纵坐标为8﹣4＝4，
此时，x2＝4，
解得x1＝2，x2＝﹣2，
点C的坐标为（2，4）或（﹣2，4），
②点C在AB的上面时，点C的纵坐标为8+4＝12，
此时x2＝12，
解得x1＝2，x2＝﹣2，
点C的坐标为（2，12）或（﹣2，12），
综上所述，点C为（2，4）或（﹣2，4）或（2，12）或（﹣2，12）．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，关于y轴对称点的坐标特点，三角形的面积，以及二次函数的对称性，（3）要注意分点C在AB的上面与下面两种情况讨论求解．
14．（2026 天长市二模）已知抛物线C1：y1＝ax2﹣2x过点（2，0），抛物线C2：y2＝﹣（x﹣t）2+t2﹣2t（其中t为常数）．
（1）求a的值和C1的顶点坐标．
（2）已知无论t为何值，C1与C2总交于一个定点，这个定点的坐标为　（1，﹣1）　 ；
（3）当t＝3时，平移抛物线C1，使其顶点在抛物线C2上．平移后的抛物线与y轴交点记为A，顶点为P（m，n），点O为坐标原点．当0＜m＜1时，求△POA面积的最大值．
【分析】（1）利用待定系数法即可求得a＝1，然后把解析式化成顶点式，即可求得顶点坐标；
（2）x＝1时，y2＝﹣（1﹣t）2+t2﹣2t＝﹣1，则抛物线C2：y2＝﹣（x﹣t）2+t2﹣2t经过定点（1，﹣1），而C1的顶点坐标为（1，﹣1），即可得到定点为（1，﹣1）；
（3）当t＝3时，抛物线C2：y2＝﹣（x﹣3）2+3，把P（m，n）代入得n＝﹣m2+6m﹣6，则平移后的抛物线为y＝（x﹣m）2﹣m2+6m﹣6＝x2﹣2mx+6m﹣6，令x＝0，求得y的值即可求得A的坐标，然后利用三角形面积公式得到△POA面积S3m2+3m＝﹣3（m）2，根据二次函数的性质即可求得△POA面积的最大值为．
【解答】解：（1）∵抛物线C1：y1＝ax2﹣2x过点（2，0），
∴4a﹣4＝0，
∴a＝1，
∴抛物线C1：y1＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，
∴C1的顶点坐标为（1，﹣1）；
（2）∵x＝1时，y2＝﹣（1﹣t）2+t2﹣2t＝﹣1，
∴抛物线C2：y2＝﹣（x﹣t）2+t2﹣2t经过定点（1，﹣1），
由（1）可知C1的顶点坐标为（1，﹣1），
∴无论t为何值，C1与C2总交于一个定点，这个定点的坐标为（1，﹣1）．
故答案为：（1，﹣1）；
（3）当t＝3时，则抛物线C2：y2＝﹣（x﹣3）2+3，
∵平移抛物线C1，使其顶点在抛物线C2上，顶点为P（m，n），
∴n＝﹣（m﹣3）2+3＝﹣m2+6m﹣6，
∴平移后的抛物线为y＝（x﹣m）2﹣m2+6m﹣6＝x2﹣2mx+6m﹣6，
令x＝0，则y＝6m﹣6，
∴A（0，6m﹣6），
∵0＜m＜1，
∴OA＝﹣6m+6，
∴△POA面积S3m2+3m＝﹣3（m）2．
∴当m时，S有最大值，为．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，二次函数图象与几何变换，二次函数的最值，求得A点的坐标是解题的关键．
【考点2】二次函数的最值（第15-23题）
※ 方法总结
配方法：将一般式化为顶点式 ，直接读出最值 。
区间最值：先求对称轴，判断对称轴与给定区间的位置关系：
对称轴在区间内 → 顶点处取一个最值，端点处取另一个；
对称轴在区间外 → 区间端点为最值点。
最大值与最小值之差：利用对称性，结合开口方向，比较端点与顶点的函数值。
含参最值：分类讨论对称轴与区间的位置关系，建立方程求参数。
15．（2024秋 同步）已知y＝（m﹣1）是关于x的二次函数．求：
（1）满足条件的m的值；
（2）m为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点，此时当x为何值时，y随x的增大而增大？
（3）当m为何值时，函数有最大值？最大值是多少？此时当x为何值时，y与x的增加而减小？
【分析】（1）根据二次函数的定义求出m的值即可解决问题．
（2）运用当二次项系数大于0时，抛物线开口向上，图象有最低点；在对称轴的右侧y随x的增大而增大．
（3）运用当二次项系数小于0时，抛物线开口向下，图象有最高点；在对称轴的右侧y随x的增大而减小．
【解答】解：（1）∵函数y＝（m﹣1）是关于x的二次函数，
∴m2+m﹣4＝2，m﹣1≠0，
解得：m＝﹣3或m＝2．
（2）∵m＝2，
∴m﹣1＝1，
当m﹣1＝1时，抛物线有最低点，该点坐标为（0，0）；
当x＞0时，y随x的增大而增大．
（3）∵m＝﹣3，
∴m﹣1＝﹣4，
当m﹣1＝﹣4时，函数有最大值，最大值是0；
当x＞0时，y随x的增大而减小．
【点评】该题主要考查了二次函数的定义及其性质的应用问题；牢固掌握定义及其性质是解题的关键．
16．（2024秋 同步）求下列二次函数的最大值或最小值．
（1）y＝﹣x2+2x；
（2）y＝2x2﹣2x+1．
【分析】分别把二次函数化为顶点式可得到二次函数的最值．
【解答】解：（1）∵y＝﹣x2+2x＝﹣（x﹣1）2+1，
∴二次函数开口向下有最大值，最大值为1；
（2）∵y＝2x2﹣2x+1＝2（x）2，
∴二次函数开口向上有最小值，最小值为；
【点评】本题主要考查二次函数的最值，掌握二次函数顶点式y＝a（x﹣h）2+k的最值为k是解题的关键
17．（2026 鼓楼区校级模拟）若函数y＝x2+ax+b在0≤x≤1的最大值是M，最小值是m，则M﹣m（　　）
A．与a有关，且与b有关 B．与a有关，但与b无关
C．与a无关，且与b无关 D．与a无关，但与b有关
【分析】将二次函数配方后，分情况讨论对称轴与0≤x≤1的位置关系，计算M﹣m即可判断结果．
【解答】解：对配方得，开口向上，对称轴为直线，
当，即a≥0 时，函数在0≤x≤1，y随着x的增大而增大，
∴当x＝0时，y有最小值，x＝1时，y有最大值，
∴M＝1+a+b，m＝b，
∴M﹣m＝1+a，结果不含b；
当，即a≤﹣2 时，函数在0≤x≤1，y随着x的增大而减小，
当x＝0时，y有最大值，x＝1时，y有最小值，
∴M＝b，m＝1+a+b，
∴M﹣m＝﹣1﹣a，结果不含b；
当﹣1≤a＜0 时，函数最小值为顶点纵坐标，最大值在x＝1处取得，
∴，
∴，结果不含b；
当﹣2＜a＜﹣1 时，函数最小值为顶点纵坐标，最大值在x＝0处取得，
∴，
∴，结果不含b，
综上，所有情况的M﹣m都只与a有关，不含b，因此M﹣m与a有关，与b无关．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数的最值，熟练掌握该知识点是关键．
18．（2025秋 富顺县期末）若函数y＝x2﹣2x+1在a≤x≤a+2上的最小值为4，则实数a的值为（　　）
A．﹣3或3 B．﹣1或1 C．0或2 D．2或4
【分析】求出函数值为4时的自变量值，再根据开口方向，得到关于a的方程，解之即可．
【解答】解：∵函数y＝x2﹣2x+1在a≤x≤a+2上的最小值为4，
∴令y＝4，
解得：x＝﹣1或x＝3，
∵1＞0，
∴函数图象开口向上，
∴a+2＝﹣1或a＝3，
∴a＝﹣3或a＝3．
故选：A．
【点评】本题考查的知识点是二次函数的最值，熟练掌握二次函数的图象和性质是解答的关键．
19．（2026 沛县三模）二次函数y＝﹣x2+6x﹣7的最大值为　2　 ．
【分析】将解析式配方，进而求得函数的最大值．
【解答】解：将解析式配方可得：
二次函数y＝﹣x2+6x﹣7＝﹣（x﹣3）2+2，
∴当x＝3时，取得最大值，最大值为2，
故答案为：2．
【点评】本题考查二次函数的最值，熟练掌握该知识点是关键．
20．（2026 大连二模）当0≤x≤3时，二次函数y＝x2﹣4x+3的最大值为m，最小值为n，则m﹣n＝　4　 ．
【分析】先确定二次函数的开口方向与对称轴，再根据x的取值范围，结合二次函数的性质，求出最大值m和最小值n，最后计算m﹣n即可．
【解答】解：∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
∴该二次函数二次项系数为1＞0，则开口向上，对称轴为直线x＝2，
∵0≤x≤3，即对称轴在给定区间内，二次函数y＝x2﹣4x+3的最大值为m，最小值为n，
∴当x＝2时，二次函数取得最小值n＝﹣1，
当x＝0时，y＝02﹣4×0+3＝3；
当x＝3时，y＝32﹣4×3+3＝0；
比较得，二次函数的最大值m＝3，
因此m﹣n＝3﹣（﹣1）＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查二次函数的最值，正确进行计算是解题关键．
21．（2026春 西安校级月考）已知有理数x、y满足﹣x2+6x+y﹣17＝0，求y﹣x的最小值为　　 ．
【分析】根据题意可得y﹣x＝x2﹣5x+10﹣x＝（x﹣3）2+1，再根据二次函数的性质解答即可．
【解答】解：由条件可知y＝x2﹣6x+17，
∴y﹣x＝x2﹣6x+17﹣x＝x2﹣7x+17＝（x）2，
∵1＞0，
∴当x时，y﹣x的值最小，最小值是．
故答案为：．
【点评】本题考查了二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
22．（2026 上城区二模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）的图象与y轴交于点（0，﹣1），且过点（2，﹣1）．
（1）求a与b的关系式．
（2）若a＜0，当﹣1≤x≤4时，函数y的最大值与最小值之差为9，求a的值．
（3）在（2）的条件下，若点M（t，m），点N（t+1，n）两点在该函数图象上，且﹣9＜n≤m，求t的取值范围．
【分析】（1）利用抛物线的对称性求解即可；
（2）利用二次函数的性质求解即可；
（3）利用二次函数图象上点的坐标特征求解即可．
【解答】≤解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）的图象与y轴交于点（0，﹣1），且过点（2，﹣1），
∴1，
∴b＝﹣2a；
（2）由（1）可知y＝ax2﹣2ax﹣1，
∵a＜0，对称轴为直线x＝1，
∴当﹣1≤x≤4时，x＝1时，函数y有最大值为a﹣2a﹣1＝﹣a﹣1，x＝4时，y有最小值为16a﹣8a﹣1＝8a﹣1，
∵最大值与最小值之差为9，
∴﹣a﹣1﹣（8a﹣1）＝9，
∴a＝﹣1；
（3）由（2）知y＝﹣x2+2x﹣1，对称轴x＝1
x＜1，n＞m，x≥1，n≤m，x＝1，y＝0
∵点M（t，m），点N（t+1，n）两点在该函数图象上，
∴m＝﹣t2+2t﹣1，n＝﹣（t+1）2+2（t+1）﹣1＝﹣t2，
∵﹣9＜n≤m，
∴﹣9＜n≤m≤0
∴﹣9＜﹣t2≤﹣t2+2t﹣1≤0，
，
解得t＜3．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
23．（2026春 聊城期中）某学习小组在学习了函数及函数图象的知识后，想利用此知识来探究周长一定的矩形，其边长分别为多少时面积最大，请将他们的探究过程补充完整．
（1）若矩形的周长为8，设矩形的一边长为x，面积为y，列出y与x的函数表达式；
（2）求上述函数表达式中，自变量x的取值范围；
（3）列表：
x … 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 …
y … 1.75 3 3.75 4 3.75 3 m …
求m的值；
（4）画图：在平面直角坐标系中已描出了上表中部分各对应值为坐标的点，请你画出该函数的图象；
（5）结合图象可得，当x＝　2　 时，矩形的面积最大．
【分析】（1）根据矩形的周长＝2（长+宽），矩形的面积＝长×宽，即可列出函数表达式；
（2）根据矩形的边长为正数，列出不等式，即可得出答案；
（3）把x＝3.5代入解析式计算即可；
（4）根据表格中的坐标描点画图即可；
（5）结合图象可得x＝2时，y有最大值．
【解答】解：（1）根据矩形的周长＝2（长+宽），矩形的面积＝长×宽可得：
y＝x（4﹣x）＝﹣x2+4x；
（2）根据题意，x＞0且4﹣x＞0，
∴x＞0且x＜4，
∴自变量x的取值范围是0＜x＜4；
（3）把x＝3.5代入y＝﹣x2+4x得：
y＝﹣3.52+4×3.5＝1.75，
∴m＝1.75；
（4）函数图象如图所示：
（5）当x＝2时，y有最大值，即x＝2时，矩形的面积最大．
故答案为：2．
【点评】本题考查了二次函数的最值，熟练掌握该知识点是关键．
【考点3】待定系数法求二次函数解析式（第24-37题）
※ 方法总结
一般式法：已知图象上三个点的坐标，设 ，代入三点坐标列三元一次方程组求解。
顶点式法：已知顶点坐标 ，设 ，再代入另一个点求 。
交点式法：已知与 轴交点 ，，设 ，再代入另一个点求 。
利用对称性：若已知两点纵坐标相同，则两点关于对称轴对称，可快速求对称轴。
24．（2026春 拱墅区校级月考）已知二次函数的图象经过点A（0，0），B（2，0），C（1，﹣3）．求该二次函数的表达式．
【分析】利用待定系数法求解即可．
【解答】解：设二次函数解析式为y＝ax（x﹣2），
∵图象经过点C（1，﹣3），
∴﹣a＝﹣3，
∴a＝3，
∴y＝3x（x﹣2），
所以，二次函数解析式为y＝3x2﹣6x．
【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式，抛物线与x轴的交点，熟练掌握待定系数法是解题的关键．．
25．（2026春 沈丘县月考）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（﹣1，0），（1，2），且对称轴为直线x＝1，则该二次函数的解析式为（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据二次函数对称轴的性质，已知条件列方程组求解系数即可得到结果．
【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，
∴由对称轴公式可得 ，即b＝﹣2a，
由条件可得，
解得 ，
∴该二次函数的解析式为．
故选：A．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，熟练掌握该知识点是关键．
26．（2026 鼓楼区二模）已知函数y＝ax2+bx+c的图象过点A（3，2），B（﹣1，﹣2），C（2，n），则下列选项中，对应的a的值最大的是（　　）
A．n＝2 B．n＝1 C．n＝0 D．n＝﹣1
【分析】先把A点和B点坐标分别代入二次函数解析式，则可用a分别表示出b、c，即b＝﹣2a+1，c＝﹣3a﹣1，再把C（2，n）代入y＝ax2+bx+c得4a+2b+c＝n，接着用n表示a得到an，然后通过计算对各选项进行判断．
【解答】解：把A（3，2），B（﹣1，﹣2）分别代入y＝ax2+bx+c得，
∴b＝﹣2a+1，c＝﹣3a﹣1，
把C（2，n）代入y＝ax2+bx+c得4a+2b+c＝n，
∴4a+2（﹣2a+1）﹣3a﹣1＝n，
∴an，
∴当n＝2时，a；当n＝1时，a＝0（不符合题意）；当n＝0时，a；当n＝﹣1时，a，
∴当n＝﹣1时，a的值最大．
故选：D．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数图象上点的坐标特征．
27．（2025秋 建华区期末）如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣2，0），（3，0）．下列结论：①；②c＝2b；③若抛物线上有点，则y2＜y1＜y3；④当﹣2＜x＜3时，；⑤点A（m1，n1），B（m2，n2）在抛物线上，且，当m1+m2＞1时，n1＞n2．其中正确结论的个数为（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】根据二次函数图象可知：a＜0，，c＞0，得出，故①正确；将点（﹣2，0），（3，0）代入，得出：a+b＝0，再求出c＝﹣6b，故②不正确；根据函数图象可得y2＜y1＜y3，故③正确；根据对称轴为直线，求函数最大值，结合函数图象求得最小值即可判断④，根据抛物线开口向下，离对称轴较近的函数值大，即可求解．
【解答】解：根据二次函数图象可知：a＜0，，c＞0，
∴b＞0，
∴，故①正确，符合题意；
由条件可得：，
②﹣①得出：a+b＝0，
∴a＝﹣b，
再代入①得出：c＝6b，故②不正确，不符合题意；
由图象可知：抛物线开口向下，与x轴交点为（﹣2，0），（3，0），
∵，
∴y2＜0，y3＞0，y1＞0，
∵抛物线对称轴为直线，
∵，，
∴y3＞y1＞0，
∴y2＜y1＜y3，故③正确，符合题意；
④∵a＝﹣b，c＝6b，
∴b＝﹣a，c＝﹣6a，
当时，取得最大值，最大为，
当x＝﹣2或x＝3时，取得最小值为0，
∴当﹣2＜x＜3时，，故④错误，不符合题意；
⑤点A（m1，n1），B（m2，n2）在抛物线上，且，
当m1+m2＞1时，
即，
又∵抛物线开口向下，
∴n1＞n2，故⑤正确，符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查二次函数，掌握二次函数的性质是解题的关键．
28．（2025秋 和平区校级期末）下表记录了二次函数y＝ax2+bx+3（a≠0）中两个变量x与y的3组对应值，
x … ﹣5 ﹣1 3 …
y … m m …
根据表中信息，当﹣5＜x＜0时，直线y＝k与该二次函数图象有两个公共点，则k的取值范围是（　　）
A． B． C．﹣5＜k≤3 D．﹣5＜k＜3
【分析】先由表格中x＝﹣5和x＝3时y值相等，可知对称轴为x＝﹣1，结合对称轴公式得出b＝2a，再结合x＝﹣1时，可求出二次函数解析式，根据二次函数的解析式可得其顶点及与y轴的交点，从而得到答案．
【解答】解：∵点（﹣5，m）和（3，m）关于对称轴对称，
∴对称轴，
∴，
∴b＝2a，
∴y＝ax2+bx+3化简为y＝ax2+2ax+3．
当x＝﹣1时，，抛物线经过点，
得：，
，
∴，，
∴，
∵，
∴二次函数开口向上，
当﹣5＜x＜0时，
当x＝0时，y＝3，
当x＝﹣5时，y＝8，
当x＝﹣1时，有最小值，
∵直线y＝k与该二次函数图象有两个公共点，
∴．
故选：B．
【点评】本题主要考查了求二次函数的解析式、二次函数的图象与性质，熟练掌握以上知识点是解此题的关键．
29．（2026 仪征市一模）已知抛物线y1顶点坐标为（﹣1，2），且与的开口方向、形状大小完全相同，则抛物线y1的解析式为（　　）
A．y＝（x﹣1）2+2 B．y＝（x+1）2+2
C．y＝﹣（x+1）2+2 D．y＝﹣（x﹣1）2+2
【分析】根据抛物线开口和形状确定二次项系数，再将顶点坐标代入顶点式，即可得出解析式．
【解答】解：设抛物线y1为y＝a（x﹣h）2+k，
由题意可得：a＝1，
∴将（﹣1，2）代入可得y＝（x+1）2+2．
故选：B．
【点评】本题考查二次函数的图象与系数的关系，正确进行计算是解题关键．
30．（2026 恩平市二模）若二次函数图象的顶点坐标为（1，﹣2），且经过点（2，﹣3），则该二次函数的关系式为y＝﹣（x﹣1）2﹣2（或y＝﹣x2+2x﹣3）　 ．
【分析】设该二次函数的关系式为y＝a（x﹣1）2﹣2，利用待定系数法进行计算即可．
【解答】解：若二次函数图象的顶点坐标为（1，﹣2），且经过点（2，﹣3），则：
设该二次函数的关系式为y＝a（x﹣1）2﹣2，由题意可得：
﹣3＝a（2﹣1）2﹣2，
解得：a＝﹣1，
∴y＝﹣（x﹣1）2﹣2（或y＝﹣x2+2x﹣3），
故答案为：y＝﹣（x﹣1）2﹣2（或y＝﹣x2+2x﹣3）．
【点评】本题考查待定系数法求二次函数的解析式，正确进行计算是解题关键．
31．（2026 河南模拟）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A（1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），则二次函数的解析式是 y＝x2﹣4x+3　 ．
【分析】分别把三个点的坐标代入解析式列方程组求解即可．
【解答】解：根据题意得，
解得．
∴二次函数的解析式是y＝x2﹣4x+3．
【点评】主要考查用待定系数法求二次函数的解析式．当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时，可设解析式为一般形式：y＝ax2+bx+c（a≠0）．把三组值代入列出三元一次方程组求解即可．
32．（2026 滨海新区校级开学）已知二次函数的图象经过A（﹣1，0）、B（1，2）两点，且对称轴为直线x＝2，则该二次函数的表达式为　　 ．
【分析】设二次函数的一般式y＝ax2+bx+c（a≠0），利用待定系数法即可得到二次函数表达式．
【解答】解：∵二次函数的图象经过A（﹣1，0）、B（1，2）两点，且对称轴为直线x＝2，
∴图象过点（5，0），
∴设函数的解析式为y＝a（x+1）（x﹣5），
将B（1，2）代入得2＝﹣8a，
解得a，
∴y（x+1）（x﹣5），
∴该二次函数的表达式为．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
33．（2025秋 泗阳县期末）若抛物线y＝x2﹣6x+c的顶点在x轴，则c＝　9　 ．
【分析】顶点在x轴上，根据顶点的纵坐标是0，列出方程求解．
【解答】解：根据题意，顶点在x轴上，顶点纵坐标为0，
即，解得c＝9．
【点评】本题考查求顶点纵坐标的公式，比较简单．
34．（2025 锡林郭勒盟四模）已知二次函数y＝ax2+bx+c，当﹣1≤x≤1时，总有﹣1≤y≤1，有如下几个结论：
①当b＝c＝0时，0＜a≤1，
②当a＝1时，c的最大值为0：
③当x＝2时，y可以取到的最大值为7；
上述结论中，所有正确结论的序号是 　②③　 ．
【分析】根据题意可得二次函数为y＝ax2（a≠0），由﹣1≤x≤1时，总有﹣1≤y≤1即可得出|a|≤1且a≠0可判断①，把a＝1代入二次函数解析式，分类讨论对称轴位置与直线x＝﹣1及直线x＝1的位置关系可判断②，当抛物线开口向上，顶点为（0，﹣1），且经过（﹣1，1），（1，1）时，x＝2时y取最大值，从而判断③．
【解答】解：①当b＝c＝0时，则二次函数为y＝ax2（a≠0），
当﹣1≤x≤1时，总有﹣1≤y≤1，则|a|≤1且a≠0，
故①错误．
当a＝1时，y＝x2+bx+c，抛物线开口向上，
当x时，y取最小值，
当﹣11时，x＝﹣1或x＝1时y取最大值，
∴或，
∵﹣11，
∴01．
∴由c≥﹣1可得c＝0．
当1时，b＞2，当x＝1时y＝1+b+c为最大值，
∵1+b+c≤1，b＞2，
∴c≤﹣2，
当1时，b＜﹣2，当x＝﹣1时y＝1﹣b+c为最大值，
∵1﹣b+c≤1，b＜﹣2，
∴c≤﹣2，
综上所述，c的最大值为0，②正确．
∵当﹣1≤x≤1时，总有﹣1≤y≤1，
∴当抛物线开口向上，顶点为（0，﹣1），且经过（﹣1，1），（1，1）时，x＝2时y取最大值，
如图，
设y＝ax2﹣1，把（1，1）代入y＝ax2﹣1得1＝a﹣1，
解得a＝2，
∴y＝2x2﹣1，
把x＝2代入y＝2x2﹣1得y＝7，
∴③正确，
故答案为：②③．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
35．（2026 梁园区校级二模）已知二次函数y＝x2+mx+n经过（1，﹣2）和（4，1）两点．
（1）求二次函数的表达式．
（2）求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象．
（3）当x满足t≤x≤5时，y的最大值为a，最小值为b，且a+b＝4，直接写出t的值．
【分析】（1）利用待定系数法计算即可得出结果；
（2）先求出顶点坐标为（2，﹣3），再描点、连线即可画出函数图象；
（3）由（2）可得顶点为（2，﹣3），二次函数的对称轴为直线x＝2，求出当x＝5时，y＝6，分三种情况：当t＞2时；当﹣1≤t≤2时；当t＜﹣1时，分别结合二次函数的性质计算即可得出结果．
【解答】解：（1）已知二次函数y＝x2+mx+n经过（1，﹣2）和（4，1）两点．
由题意可得：，
解得，
∴二次函数的表达式为：y＝x2﹣4x+1；
（2）∵y＝x2﹣4x+1＝（x﹣2）2﹣3，
∴顶点坐标为（2，﹣3）．
作图如下．
（3）∵y＝x2﹣4x+1＝（x﹣2）2﹣3，顶点坐标为（2，﹣3）．二次函数的对称轴为直线x＝2，
当x＝5时，y＝25﹣20+1＝6，
当t＞2时，在t≤x≤5上，y随着x的增大而增大，
∴当x＝t时，二次函数取得最小值为t2﹣4t+1，即b＝t2﹣4t+1，当x＝5时，二次函数取得最大值为6，即a＝6，
∵a+b＝4，
∴6+t2﹣4t+1＝4，
解得：t1＝3，t2＝1（不符合题意，舍去）；
当﹣1≤t≤2时，当x＝2时，二次函数取得最小值为﹣3，即b＝﹣3，当x＝5时，二次函数取得最大值为6，即a＝6，此时a+b＝3，不符合题意；
当t＜﹣1时，当x＝2时，二次函数取得最小值为﹣3，即b＝﹣3，当x＝t时，二次函数取得最大值为t2﹣4t+1，即a＝t2﹣4t+1，
∵a+b＝4，
∴t2﹣4t+1+（﹣3）＝4，
解得：，（不符合题意，舍去）；
综上所述，t＝3或．
【点评】本题考查待定系数法求函数解析式，正确进行计算是解题关键．
36．（2026 兰州模拟）在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+2的图象过点A（2，k），B（﹣1，k）．
（1）求的值；
（2）已知二次函数y＝ax2+bx+2的最大值为．求该二次函数的表达式．
【分析】（1）依据题意，根据二次函数的对称性求解即可；
（2）依据题意，先求出顶点坐标，然后根据最大值为列方程求解即可．
【解答】解：（1）由题意得，二次函数的对称轴为直线，
∵二次函数的对称轴为，
∴，
∴；
（2）由题意，∵，
∴当时，二次函数的最值为，
∴二次函数图象开口向下，即a＜0，
∵二次函数y＝ax2+bx+2的最大值为，
∴，化简得，a3﹣b2﹣2a＝0，
由（1）知，，
∴b＝﹣a，
∴a3﹣a2﹣2a＝0，
∴a（a+1）（a﹣2）＝0，
∴a+1＝0或a﹣2＝0，
∴a＝﹣1或a＝2（舍去），
∴二次函数解析式为y＝﹣x2+x+2．
【点评】本题考查了二次函数．熟练掌握待定系数法求二次函数表达式，二次函数的图象与性质，二次函数的对称性，二次函数的最值，解题时要熟练掌握并能根据题意列出关系式是关键．
37．（2026 思明区模拟）已知抛物线y＝﹣x2+2tx+2t+2．
（1）若抛物线的对称轴为x＝1，求抛物线的函数表达式；
（2）若抛物线上有两个点A（m，﹣m），B（n，﹣n），
①当m＜x＜n时，求证：y＞﹣x；
②若，，求证：y≥n．
【分析】（1）依据题意得，抛物线y＝﹣x2+2tx+2t+2的对称轴为直线，结合对称轴为直线x＝1，从而可得t＝1，进而可以得解；
（2）①依据题意，由A（m，n），B（n，﹣n）为直线y＝﹣x上的两个点，令y'＝y﹣（﹣x）＝﹣x2+2tx+2t+2﹣（﹣x）＝﹣x2+（2t+1）x+2t+2，当y'＝0时，x1＝m，x2＝n，又﹣1＜0，从而结合二次函数的性质即可得解；
②依据题意得，A（m，n），B（n，﹣n）为直线 y＝﹣x上的两个点，联立方程组，从而﹣x2+2tx+2t+2＝﹣x，解得x1＝﹣1，x2＝2t+2，又0＜n，且n＝2t+2，则0＜2t+2，可得﹣1＜t，结合a＝﹣1＜0，对称轴是直线xt，从而当x＞t时，y随x的增大而减小，故当x≤0时，y随x的增大而减小，从而当x＝0时，y有最小值为2t+2＝n，进而可以得解．
【解答】（1）解：由题意得，抛物线y＝﹣x2+2tx+2t+2的对称轴为直线，
∵对称轴为直线x＝1，
∴t＝1，即y＝﹣x2+2x+4；
（2）①证明：由题意得，A（m，n），B（n，﹣n）为直线y＝﹣x上的两个点，
令y'＝y﹣（﹣x）＝﹣x2+2tx+2t+2﹣（﹣x）＝﹣x2+（2t+1）x+2t+2，
当y'＝0时，x1＝m，x2＝n，
又∵﹣1＜0，
∴开口向下，
∴当时，y'随x的增大而增大；当时，y'随x的增大而减小．
∴m＜x＜n，y＞0，即y＞﹣x；
②证明：由题意得，A（m，n），B（n，﹣n）为直线 y＝﹣x上的两个点，
∵，
∴﹣x2+2tx+2t+2＝﹣x，解得x1＝﹣1，x2＝2t+2，
∵0＜n，且n＝2t+2，
∴0＜2t+2．
∴﹣1＜t．
∵a＝﹣1＜0，对称轴是直线xt．
∴当x＞t时，y随x的增大而减小，
∴当x≤0时，y随x的增大而减小．
∴当x＝0时，y有最小值为2t+2＝n，
∴y≥n．
【点评】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．
【考点4】创新及压轴题（第38-42题）
※ 方法总结
新定义问题：理解题目给出的新定义（如“三倍点”“横纵和”“极小和”“特征值”等），将其转化为数学条件，结合二次函数性质求解。
综合应用：将二次函数与面积、最值、存在性等问题结合，通常需要：
建立函数模型（面积、距离等）；
利用二次函数性质求最值或范围；
分类讨论与数形结合。
压轴题策略：① 审清题意，挖掘隐含条件；② 设出关键变量，建立函数关系；③ 利用配方法或顶点式求最值；④ 验证结果是否符合实际。
38．（2026 靖江市校级三模）已知抛物线y＝x2+bx+c（b为常数）是由抛物线y＝x2﹣2x+3先向左平移2个单位，再向下平移3个单位得到的．
（1）求b，c的值；
（2）点P（x1，y1）在抛物线y＝x2﹣2x+3上，点Q（x1+m，y1+2k）在抛物线y＝x2+bx上．
①用含x1与m的式子表示k；
②若x1+2＝m+n（n为常数），且m＞4，k随m的增大而增大，求n的最小值．
【分析】（1）利用二次函数图象平移规律：“左加右减，上加下减”求解即可；
（2）①可将点P和点Q的坐标分别代入对应的抛物线方程，联立方程组消去y1，得到k关于x1和m的关系式；
②再结合①和x1+2＝m+n（n为常数），且m＞4，k随m的增大而增大进行求解．
【解答】解：（1）由y＝x2﹣2x+3，得y＝（x﹣1）2+2．
∴把抛物线y＝x2﹣2x+3先向左平移2个单位，再向下平移3个单位得到y＝（x﹣1+2）2+2﹣3，即y＝（x+1）2﹣1＝x2+2x．
∴b的值为2，c的值为0．
（2）①由条件可知：y12x1+3，y1+2k＝（x1+m）2+2（x1+m），
∴2x1+3+2k2mx1+m2+2x1+2m，
∴2k＝2mx1+m2+4x1+2m﹣3，
∴k（x1+1）m+2x1；
②∵x1+2＝m+n，
∴x1＝m+n﹣2，
∴k（m+n﹣2+1）m+2（m+n﹣2）
（m+n﹣1）m+2m+2n﹣4
m2+mn﹣m+2m+2n
m2+（n+1）m+2n，
∵0，对称轴为直线m，
又∵m＞4，k随m的增大而增大，
∴4，
解得n≥﹣13，
∴n的最小值为﹣13．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，掌握平移的规律以及二次函数的性质是解题的关键．
39．（2026 市中区校级模拟）新定义：若一个点的纵坐标是横坐标3倍，则称这个点为“三倍点”．如：A（2，6），B（﹣1，﹣3），C（0，0）等都是“三倍点”．
（1）已知二次函数y＝x2﹣2tx+t2﹣2t．
①若该函数图象向左平移5个单位，其顶点刚好是三倍点，求该函数表达式；
②点P（x1，y1），Q（x2，y2）在该函数图象上，其中t﹣1＜x1＜t+2，x2＝2t，若y1的最小值是﹣4，求y2的值；
（2）若二次函数y＝x2﹣（2t﹣3）x+t2﹣2t+2的图象上不存在“三倍点”，令w＝t2﹣2t+2，求w的取值范围．
【分析】（1）①依据题意得，y＝x2﹣2tx+t2﹣2t＝（x﹣t）2﹣2t，则顶点为（t，﹣2t），又向左平移5个单位，从而平移后顶点为（t﹣5，﹣2t），结合此顶点是三倍点，
从而﹣2t＝3（t﹣5），则t＝3，可得y＝x2﹣6x+9﹣6，即y＝x2﹣6x+3，即可得解；
②依据题意，由抛物线为y＝（x﹣t）2﹣2t，则开口向上，对称轴是直线x＝t，结合t﹣1＜x1＜t+2，则对称轴x＝t在此区间内，从而最小值在顶点处取得：ymin＝﹣2t，又y1最小值为﹣4，从而﹣2t＝﹣4，则t＝2，进而可以代入计算得解；
（2）依据题意，由三倍点满足y＝3x，则可联立方程组，故x2﹣（2t﹣3）x+t2﹣2t+2＝3x，即x2﹣2tx+t2﹣2t+2＝0，结合函数图象无三倍点，从而Δ＝（﹣2t）2﹣4（t2﹣2t+2）＜0，可得t＜1，又w＝t2﹣2t+2＝（t﹣1）2+1，则其对称轴是直线t＝1，开口向上，进而可以计算得解．
【解答】解：（1）①由题意得，y＝x2﹣2tx+t2﹣2t＝（x﹣t）2﹣2t，
∴顶点为（t，﹣2t）．
∵向左平移5个单位，
∴平移后顶点为（t﹣5，﹣2t），
∵此顶点是三倍点，
∴﹣2t＝3（t﹣5），则t＝3．
∴y＝x2﹣6x+9﹣6，即y＝x2﹣6x+3；
②∵抛物线为y＝（x﹣t）2﹣2t，
∴开口向上，对称轴是直线x＝t，
∵t﹣1＜x1＜t+2，则对称轴x＝t在此区间内，
∴最小值在顶点处取得：ymin＝﹣2t，
∵y1最小值为﹣4，
∴﹣2t＝﹣4，则t＝2，
∴x2＝2t＝4，
∴，即y2＝0；
（2）由题意，∵三倍点满足y＝3x，
∴联立方程组，
∴x2﹣（2t﹣3）x+t2﹣2t+2＝3x，即x2﹣2tx+t2﹣2t+2＝0，
∵函数图象无三倍点，
∴Δ＝（﹣2t）2﹣4（t2﹣2t+2）＜0，
∴t＜1．
又∵w＝t2﹣2t+2＝（t﹣1）2+1，则其对称轴是直线t＝1，开口向上，
∴当t＝1时，w取最小值，最小值为1．
∴当t＜1时，w＞1．
【点评】本题主要考查了二次函数图象与几何变换、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．
40．（2026 扬州三模）定义：在平面直角坐标系中，图形G上的点P（x，y）的横坐标x和纵坐标y的和x+y称为点P的“横纵和”，而图形G上所有点的“横纵和”中最小的值称为图形的“极小和”，并将“极小和”记为S．
（1）抛物线y＝x2﹣2x﹣2的图象上点P（1，﹣3）的“横纵和”是　﹣2　 ；该抛物线的“极小和”是　　 ．
（2）抛物线y＝x2﹣（2m+1）x﹣2，若﹣2021≤S≤﹣2020，求m2的取值范围．
（3）已知二次函数y＝x2+bx+c（c≠0）的图象上的点和点C（0，c）的“横纵和”相等，求该二次函数的“极小和”．这个“极小和”是否有最大值？如果有，请求出这个最大值；如果没有，请说明理由．
【分析】（1）根据题目中的规定得点P（1，﹣3）的“横纵和”为﹣2；根据定义求出x+y是关于x的二次函数，然后利用二次函数的性质求出结论；
（2）根据定义求出x+y＝（x﹣m）2﹣m2﹣2，即可得出﹣2021≤﹣m2﹣2≤﹣2020，即可求解；
（3）先求出“极小和”，即可根据二次函数的性质求得最大值．
【解答】解：（1）由题意，∵点P（1，﹣3），
∴“横纵和”是1+（﹣3）＝﹣2，
∵，
∴抛物线的“极小和”是；
故答案为：﹣2；；
（2）由题意得，x+y＝x2﹣（2m+1）x﹣2+x＝x2﹣2mx﹣2＝（x﹣m）2﹣m2﹣2，
∵记抛物线y＝x2﹣（2m+1）x﹣2的“极小和”为S，
∴S＝﹣m2﹣2，
∵﹣2021≤S≤﹣2020，
∴﹣2021≤﹣m2﹣2≤﹣2020，
∴2018≤m2≤2019；
（3）这个“极小和”有最大值；
∵点和点C（0，c）的“横纵和”相等，
∴ 即：m＝﹣2c，
∴A（﹣c，2c），
∴2c＝c2﹣bc+c，
∵c≠0，
∴b＝c﹣1，
∴y＝x2+（c﹣1）x+c，
∴，
令y＝x2+（c﹣1）x+c的“极小和”为S，
∴，
∴当c＝2时，S有最大值，最大值为1．
【点评】本题主要考查了二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
41．（2026 洛阳模拟）（1）写出下列二次函数的顶点坐标．
①的顶点坐标为　（0，﹣5）　 ；
②y＝﹣4（x﹣3）2的顶点坐标为　（3，0）　 ．
若抛物线的顶点在坐标轴上，则称该抛物线为“数轴函数”，像上面①②的函数均为“数轴函数”．
（2）继续研究发现，对于y＝a（x﹣h）2+k，因为a≠0，当k ＝0时，y＝a（x﹣h）2+k的顶点在x轴上；当h ＝0时，y＝a（x﹣h）2+k的顶点在y轴上．请你写出一个顶点在x轴上的二次函数解析式：y＝（x+1）2（答案不唯一）　 ．
（3）与x轴平行的直线与y＝﹣4（x﹣3）2交于M，N两点（点M在点N的左侧），若MN≤8，请直接写出M点横坐标xM的取值范围．
【分析】（1）根据二次函数顶点表达式直接写顶点坐标即可；
（2）根据坐标轴上点的坐标特征填空即可；
（3）设与x轴平行的直线与y＝﹣4（x﹣3）2交点M，N的横坐标分别为m，n，且m＜n，由y＝﹣4（x﹣3）2可知抛物线的对称轴为直线x＝3，结合MN≤8，即可得出3﹣m≤4，解得m≥﹣1，即可求得﹣1≤xM＜3．
【解答】解：（1）①的顶点坐标为（0，﹣5），
故答案为：（0，﹣5），
②y＝﹣4（x﹣3）2的顶点坐标为（3，0），
故答案为：（3，0）；
（2）继续研究发现，对于y＝a（x﹣h）2+k，因为a≠0，当k＝0时，y＝a（x﹣h）2+k的顶点在x轴上；当h＝0时，y＝a（x﹣h）2+k的顶点在y轴上．写出一个顶点在x轴上的二次函数解析式如y＝（x+1）2（答案不唯一）．
故答案为：k；h；y＝（x+1）2（答案不唯一）．
（3）∵y＝﹣4（x﹣3）2，
∴抛物线的对称轴为直线x＝3，
设与x轴平行的直线与y＝﹣4（x﹣3）2交点M，N的横坐标分别为m，n，且m＜n，
∴3，
∴n＝6﹣m，
∴MN＝|m﹣n|＝|m﹣6+m|＝|2m﹣6|，
∵MN≤8，
∴3﹣m≤4，
解得m≥﹣1，
∴﹣1≤xM＜3．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的性质是解题的关键
42．（2026 白银区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知点C的坐标为（0，4），点A，B在x轴上，且OA＝OC＝4OB，动点P在过A，B，C三点的抛物线上．
（1）求抛物线的函数解析式．
（2）在直线AC上方的抛物线上是否存在点P，使得△PAC的面积最大？若存在，求出点P的坐标及△PAC面积的最大值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据点C的坐标为（0，4），即可求出OA＝4，OB＝1，再求出点A（4，0），B（﹣1，0），利用待定系数法即可求出函数的解析式；
（2）过点P作PD∥y轴，交AC于点D，先求出AC的函数解析式为y＝﹣x+4，然后设P（x，﹣x2+3x+4）（0＜x＜4），则D（x，﹣x+4），即可得到PD＝﹣x2+4x，根据三角形的面积公式即可得出，根据二次函数的性质可得到当x＝2时，S△PAC有最大值．
【解答】解：（1）由条件可知OC＝4，
∵OA＝OC＝4OB，
∴OA＝4，OB＝1，
∴A（4，0），B（﹣1，0），
设抛物线的函数解析式为y＝ax2+bx+c，由条件可知：
，
解得，
∴抛物线的函数解析式为y＝﹣x2+3x+4．
（2）存在，
如图，过点P作PD∥y轴，交AC于点D，
由A（4，0），C（0，4），易得直线AC的函数解析式为y＝﹣x+4，
设P（x，﹣x2+3x+4）（0＜x＜4），则D（x，﹣x+4），
∴PD＝﹣x2+3x+4﹣（﹣x+4）＝﹣x2+4x，
∴，
由条件可知抛物线开口向下，
∴当x＝2时，S△PAC有最大值，最大值为8，此时﹣x2+3x+4＝6，
∴点P的坐标为（2，6），△PAC面积的最大值为8．
【点评】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握待定系数法求二次函数的解析式是关键．
课后巩固 · 针对性练习
作业1：二次函数图象的平移（左加右减，上加下减）→ 求平移后的解析式。
作业2：二次函数图象的平移与交点坐标 → 利用顶点坐标变化判断平移关系。
作业3：待定系数法（顶点式）→ 已知形状和开口方向、顶点坐标求解析式。
作业4：二次函数的最值（区间最值）→ 比较离对称轴远近确定函数值大小。
作业5：二次函数的最值（含参）→ 结合对称轴与区间位置，分类讨论求参数。
作业6：二次函数与不等式恒成立 → 利用判别式法求参数。
作业7：二次函数图象的平移与顶点坐标 → 平移后顶点在 轴上的条件。
作业8：平移与图象上点的坐标 → 代入法求平移距离，结合最值差求区间。
作业9：二次函数的最值（给定区间）→ 利用开口方向和对称轴求最值。
作业10：待定系数法（交点式）→ 利用对称性求与 轴交点，再求解析式。
作业11：待定系数法（一般式）→ 由表格数据求解析式，判断图象性质。
作业12：待定系数法与最值综合 → 由表格数据求解析式，结合区间最值求参数。
作业13：待定系数法与最值综合（含参）→ 分类讨论求参数的值。
作业14：二次函数与最短路径 → 利用对称性将线段和转化为两点间距离，结合抛物线对称轴求点坐标。
复习建议：
本讲核心是“二次函数图象与性质”，重点掌握：三种表达式（一般式、顶点式、交点式）的灵活选择与互化；平移变换“左加右减，上加下减”的准确运用；配方法求顶点与最值，注意区间端点的比较；待定系数法的步骤与策略，根据条件选“式”；数形结合思想，借助图象直观理解性质与变换。
【作业1】（2026 平房区模拟）将抛物线y＝x2向左平移2个单位，再向下平移3个单位，则得到的抛物线解析式是（　　）
A．y＝（x﹣2）2﹣3 B．y＝（x﹣2）2+3
C．y＝（x+2）2﹣3 D．y＝（x+2）2+3
【分析】抛物线y＝x2的顶点坐标为（0，0），向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得的抛物线的顶点坐标为（﹣2，﹣3），根据顶点式可确定所得抛物线解析式．
【解答】解：依题意可知，原抛物线顶点坐标为（0，0），
平移后抛物线顶点坐标为（﹣2，﹣3），
又因为平移不改变二次项系数，
所以所得抛物线解析式为：y＝（x+2）2﹣3．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，属于基础题，解决本题的关键是得到新抛物线的顶点坐标．
【作业2】（2026 新华区二模）如图，抛物线l1：y1＝a（x+1）2+2与抛物线l2：y2＝﹣（x﹣2）2﹣1交于点A（1，﹣2），以下结论：
①无论x取何值，y2总是负数；
②抛物线l可由抛物线l1向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到；
③当﹣3＜x＜1时，随着x的增大，y1﹣y2的值先增大后减小；
④当直线y＝n与抛物线l1，l2有3个交点时，n＝﹣2．
下列说法正确的是（　　）
A．只有①正确 B．只有②④正确
C．只有③④不正确 D．①②③④都正确
【分析】根据题意逐一对序号进行判断分析即可得到本题答案．
【解答】解：∵抛物线的开口向下，顶点为（2，﹣1），
∴y2的最大值为﹣1，
∴无论x取何值，y2总是负数，故①正确；
∵抛物线l1：y1＝a（x+1）2+2过点A（1，﹣2），
∴﹣2＝a（1+1）2+2，
解得：a＝﹣1，
∴，
∴l1的顶点坐标为（﹣1，2），
∵，
∴l2顶点坐标为（2，﹣1），
∴抛物线l2可由抛物线l1向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到的，故②正确；
，
∴当﹣3＜x＜1时，y1﹣y2的值随着x的增大而减小，故③错误；
根据题意得：当直线y＝n与抛物线l1，l2有3个交点时，直线y＝n过l2的顶点或点A，
此时n＝﹣1或n＝﹣2，故④错误．
故选：C．
【点评】本题考查二次函数顶点式的图象及性质，二次函数的平移等，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
【作业3】（2025秋 威县校级期末）如果一条抛物线的形状和开口方向与y＝﹣2x2+2相同，且顶点坐标是（4，2），则它的解析式是（　　）
A．y＝2（x﹣4）2+2 B．y＝﹣2（x﹣4）2﹣2
C．y＝﹣2（x﹣4）2+2 D．y＝﹣2（x+4）2﹣2
【分析】设抛物线的顶点式为y＝﹣2（x﹣h）2+k，再由顶点坐标是（4，2），确定解析式即可．
【解答】解：由条件可知a＝﹣2，
∵顶点坐标是（4，2），
∴它的解析式为y＝﹣2（x﹣4）2+2，
故C满足条件，
故选：C．
【点评】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，熟练掌握该知识点是关键．
【作业4】（2026 雁塔区校级模拟）已知关于x的二次函数y＝2ax2﹣4ax+3，当x＝1时，该二次函数有最大值．若该函数图象经过两点A（t，y1），B（3﹣t，y2），且，则下列关系正确的是（　　）
A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1＝y2 D．y1≥y2
【分析】根据条件得出抛物线开口向下，结合给出的两点距离对称轴的距离得出对应函数值的大小关系．
【解答】解：二次函数y＝2ax2﹣4ax+3，的对称轴为直线x＝1，
∵当x＝1时，该二次函数有最大值，得到抛物线开口向下，
∵0＜t，得到点A离对称轴近，抛物线开口向下，离对称轴近对应的函数值会大，∴y1＞y2，
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，二次函数的性质，能够明确题意，得出抛物线开口向下，对称轴为直线x＝1是解题的关键．
【作业5】（2026 合肥校级一模）已知抛物线y＝ax2﹣5ax+a2+1（a≠0）图象上有两点A（x1，y1）、B（x2，y2），当x1＜x2＜2时，有y1＜y2；当﹣1≤x1≤3时，y1最小值是8．则a的值为（　　）
A．﹣7 B．﹣1 C．1或﹣7 D．﹣1或﹣7
【分析】先确定该抛物线的对称轴为直线，再根据当x1＜x2＜2时，有y1＜y2，得a＜0，再根据当﹣1≤x≤3时，y最小值是8列出关于a的一元二次方程并求解即可．
【解答】解：该抛物线的对称轴为：直线，
∵当x1＜x2＜2时，有y1＜y2，
∴a＜0，
∴抛物线开口向下，
∵在﹣1≤x≤3范围内，且，
∴当时有最大值，x＝﹣1时有最小值，
∴a （﹣1）2﹣5a （﹣1）+a2+1＝8，
解得a1＝﹣7，a2＝1（舍），
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数最值求法，熟练掌握该知识点是关键．
【作业6】（2026 海门区校级模拟）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（﹣2，0），且对于任意x的值，不等式恒成立，则该二次函数的解析式为（　　）
A． B．y＝x2+4x+4
C． D．
【分析】由二次函数经过点（﹣2，0）和不等式恒成立，推导出函数必过点（2，2），从而求得，再结合不等式恒成立条件，利用判别式求得，．
【解答】解：由条件可知4a﹣2b+c＝0．
又∵对于任意x，有，当x＝2时，且x＝2，
∴y＝2，即函数过点（2，2），
∴4a+2b+c＝2，
联立方程，
相减得4b＝2，
∴，
把代入4a﹣2b+c＝0得4a﹣1+c＝0，即4a+c＝1．
设恒成立，
要使g（x）≥0恒成立，须有a＞0，
∴判别式，即，
∴，
设，
代入和c＝1﹣4a得，需h（x）≥0恒成立，
要使h（x）≥0恒成立，须有二次项系数，即，
判别式，
即，化简得，
∴64a2﹣16a+1≤0，
即，
∴，代入4a+c＝1得，
∴．
故答案选：A．
【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质、不等式恒成立问题、一元二次方程与二次函数的关系以及利用配方法求二次函数的顶点式．熟练掌握以上知识点是关键．
【作业7】（2025秋 长宁区期末）若将抛物线y＝2（x+m）2+5沿x轴向左平移2个单位后，所得抛物线的顶点恰好落在y轴上，那么m的值为　﹣2　 ．
【分析】利用平移的性质得出平移后解析式，进而得出其顶点坐标．令其横坐标为0求解．
【解答】解：原抛物线y＝2（x+m）2+5的顶点坐标为（﹣m，5）．
沿x轴向左平移2个单位后，y＝2（x+m+2）2+5，顶点坐标为 （﹣m﹣2，5）．
因为顶点落在y轴上，
所以横坐标﹣m﹣2＝0，
解得m＝﹣2．
得抛物线的顶点恰好落在y轴上，那么m的值为﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】本题主要考查了二次函数图象的平移以及配方法求二次函数顶点坐标等知识，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
【作业8】（2026春 池州月考）已知二次函数y＝x2+x+3，将点B（1，7）向上平移2个单位长度，向左平移m（m＞0）个单位长度后，恰好落在y＝x2+x+3的图象上．
（1）m＝　4　 ；
（2）当﹣2≤x≤n时，二次函数y＝x2+x+3的最大值与最小值的差为，则n的取值范围是　　 ．
【分析】（1）先求出平移后点的坐标，代入求解即可；
（2）根据二次函数解析式得出∴图象开口向上，顶点坐标为，当x＝﹣2时，y＝5，再根增减性对n进行分类讨论，列式计算即可．
【解答】解：（1）由条件可知平移后的点为（1﹣m，9），
∵点（1﹣m，9）在y＝x2+x+3的图象上，
∴（1﹣m）2+（1﹣m）+3＝9，
∴m＝4或m＝﹣1（舍去）．
∴m＝4；
故答案为：4；
（2）由题意得，
∴图象开口向上，顶点坐标为，
当x＝﹣2时，y＝（﹣2）2+（﹣2）+3＝5，
①当时，最大值与最小值的差为，
∴，不符合题意，舍去．
②当时，最大值与最小值的差为，符合题意．
③当n＞1时，最大值与最小值的差为，解得n3＝1或n4＝﹣2，不符合题意．
综上，n的取值范围为．
故答案为：．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，熟练掌握该知识点是关键．
【作业9】（2025春 浦东新区校级月考）已知关于x的二次函数y＝x2﹣4x+m在﹣1≤x≤3的取值范围内最大值为7，则该二次函数的最小值是 　﹣2　 ．
【分析】先将二次函数写成顶点式，得出对称轴及开口方向，根据抛物线开口向上时离对称轴越远函数值越大，可知当x＝﹣1时，y＝7，从而可解得m的值；再根据抛物线的顶点式可得其最小值．
【解答】解：∵y＝x2﹣4x+m＝（x﹣2）2+m﹣4，
∴对称轴为直线x＝2，抛物线开口向上，
∵二次函数在﹣1≤x≤3的取值范围内最大值7，
当x＝﹣1时，y＝7，
∴7＝（﹣1）2﹣4×（﹣1）+m，
解得：m＝2，
∴当x＝2时，该二次函数有最小值，最小值为0+2﹣4＝﹣2．
故答案为﹣2．
【点评】本题考查了二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
【作业10】（2026春 青山区校级月考）已知抛物线的对称轴为直线x＝2，且过点（1，4）和（5，0），则这个二次函数的关系式是yx2+2x　 ．
【分析】根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标是（﹣1，0），可以设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣5），然后把点（1，4）代入函数解析式可以求得a的值．
【解答】解：∵抛物线的对称轴是直线x＝2，过点（5，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标是（﹣1，0），
∴设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣5），
把点（1，4）代入，得
4＝a（1+1）（1﹣5），
解得 a．
∴y（x+1）（x﹣5），
∴则该抛物线的解析式为：yx2+2x．
故答案为：yx2+2x．
【点评】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
【作业11】（2025秋 文登区月考）抛物线y＝ax2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 1 2 …
y … ﹣6 0 4 6 4 …
从上表可知，下列说法中正确的是　②　 ．（填写序号）
①抛物线的对称轴是直线x＝1；
②抛物线一定经过点（3，0）；
③在对称轴左侧，y随x增大而减小；
④若两点在此抛物线上，则y1＞y2．
【分析】先利用待定系数法求出二次函数的解析式为，则其对称轴是直线，说法①错误；再根据对称性可得抛物线一定经过点（3，0），则说法②正确；根据增减性可得在对称轴左侧，y随x增大而增大，则说法③错误；根据对称性可得抛物线经过点，再根据二次函数的增减性可得说法④错误，由此即可得出答案．
【解答】解：将点（2，4），（﹣2，0），（﹣1，4）代入y＝ax2+bx+c
得：，
解得，
∴，
∴抛物线的对称轴是直线，则说法①错误，不符合题意；
设抛物线与x轴的另一个交点坐标为（m，0），
∴，
解得m＝3，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（3，0），则说法②正确，符合题意；
∵抛物线中的a＝﹣1＜0，
∴在对称轴左侧，y随x增大而增大，则说法③错误，不符合题意；
由二次函数的对称性可知，当时的函数值与当时的函数值相等，即为y1，
又∵抛物线的开口向下，对称轴是直线，
∴当时，y随x增大而减小，
∵点，两点在此抛物线上，且，
∴y1＜y2，则说法④错误，不符合题意；
故答案为：②．
【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．
【作业12】（2026 河南模拟）在二次函数y＝ax2+bx﹣3中，x与y的几组对应值如下所示．
x … ﹣1 0 2 …
y … 0 ﹣3 ﹣3 …
（1）求二次函数的表达式．
（2）求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系（如图）中画出二次函数的图象．
（3）当二次函数y＝ax2+bx﹣3的自变量x满足m≤x≤m+3时，此函数的最大值为p，最小值为q，且p﹣q＝3，请直接写出m的值．
【分析】（1）利用待定系数法即可求解；
（2）先由y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，则二次函数的顶点坐标为（1，﹣4），再通过画函数图象的方法即可画出函数图象；
（3）由二次函数y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，则对称轴为直线x＝1，然后分①当m≥1时；②当m+3≤1，即m≤﹣2时；③当，即时；④当，即时，四种情况分析求解即可．
【解答】解：（1）由条件可得：
，
解得：，
∴二次函数的表达式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴顶点坐标为（1，﹣4），
列表：
x … ﹣1 0 1 2 3 …
y … 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 0 …
描点，连线，
∴二次函数的图象如图所示：
（3）由二次函数y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，则对称轴为直线x＝1，
①当m≥1时，x＝m时，q＝m2﹣2m﹣3；x＝m+3时，p＝（m+3）2﹣2（m+3）﹣3＝m2+4m，
∴p﹣q＝m2+4m﹣（m2﹣2m﹣3）＝6m+3＝3，
解得m＝0（舍去）；
②当m+3≤1，即m≤﹣2时，x＝m时，
p＝m2﹣2m﹣3；当x＝m+3时，q＝（m+3）2﹣2（m+3）﹣3＝m2+4m，
∴p﹣q＝m2﹣2m﹣3﹣（m2+4m）＝﹣6m﹣3＝3，
解得m＝﹣1（舍去）；
③当，即时，x＝1时，q＝﹣4，当x＝m+3时，p＝（m+3）2﹣2（m+3）﹣3＝m2+4m，
∴p﹣q＝m2+4m﹣（﹣4）＝（m+2）2＝3，
解得或（舍去）；
④当，即时，x＝1时，q＝﹣4；当x＝m时，p＝m2﹣2m﹣3，
则p﹣q＝（m﹣1）2＝3，
解得或（舍去）；
综上所述：m的值或．
【点评】本题考查了二次函数的性质与图象，熟练掌握该知识点是关键．
【作业13】（2026 宁波模拟）已知二次函数y＝ax2﹣4ax+3（a为常数）的图象过点（1，0）．
（1）求该二次函数的表达式和顶点坐标．
（2）已知P（x1，y1），Q（x2，y2）为二次函数图象上两点，其中1≤x1≤m，2≤x2≤2m．
①当m＝2且y1+y2＝3时，求点P的坐标．
②若y2与y1的差的最大值为9，求m的值．
【分析】（1）用待定系数法，配方法求解即可；
（2）①∵m＝2，当1≤x1≤2时，﹣1≤y1≤0，分类求解．
②分1≤m≤2和m＞2时，求解．
【解答】解：（1）由题意可得：
∴0＝a﹣4a+3，
解得a＝1，
∴该二次函数的表达式为y＝x2﹣4x+3．
∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
∴图象的顶点坐标为（2，﹣1）．
（2）已知P（x1，y1），Q（x2，y2）为二次函数图象上两点，其中1≤x1≤m，2≤x2≤2m．则：
①∵m＝2，
当1≤x1≤2时，﹣1≤y1≤0，
当x1＝1时，y1取得最大值0，
当2≤x2≤4时，﹣1≤y2≤3，
当x2＝4时，y2取得最大值3，
∴y1+y2≤3，
又∵y1+y2＝3，
∴y1与y2同时取得最大值．
∴点P坐标为（1，0）．
②情况一：当1≤m≤2时，
∵1≤x1≤m≤2，
当x＝m时，y1取得最小值为m2﹣4m+3≥﹣1．
∵2≤x2≤2m≤4，
当x＝2m时，y2取得最大值为4m2﹣8m+3≤3．
∴y2﹣y1≤4，
又∵y2﹣y1的最大值为9，
∴该情况不成立．
情况二：当m＞2时，
∵1≤x1≤m，
∴当x1＝2时，y1取得最小值为﹣1．
∵2≤x2≤2m，
∴x2＝2m时，y2取得最大值为4m2﹣8m+3，
∵y2﹣y1的最大值为9．
∴4m2﹣8m+3﹣（﹣1）＝9，
解得（舍）或．
综上所述：．
【点评】本题考查待定系数法求二次函数的解析式，正确进行计算是解题关键．
【作业14】（2026 白银区校级模拟）抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（0，3）．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）如图，点P是抛物线对称轴上一点，连接AP，BP，当AP+BP最小时，求点P的坐标．
【分析】（1）把A点和B点坐标代入y＝﹣x2+bx+c得b、c的方程组，然后解方程组求出b、c，从而得到抛物线解析式；
（2）抛物线与x轴的另一个交点为C，利用配方法得到y＝﹣x﹣1）2+4，则抛物线的对称轴为直线x＝1，再解方程得到﹣x2+2x+3＝0得C（3，0），连接BC交直线x＝1于P点，如图，利用两点之间线段最短可判断此时PA+PB最小，接着利用待定系数法求出直线BC的解析式为y＝﹣x+3，然后利用直线BC的解析式确定P点坐标．
【解答】解：（1）把A（﹣1，0），B（0，3）分别代入y＝﹣x2+bx+c得，
解得，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）抛物线与x轴的另一个交点为C，
∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，
当y＝0时，﹣x2+2x+3＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝3，
∴C（3，0），
连接BC交直线x＝1于P点，如图，
∵PA＝PC，
∴PA+PB＝PB+PC＝BC，
∴此时PA+PB最小，
设直线BC的解析式为y＝mx+n，
把C（3，0），B（0，3）分别代入得，
解得，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，
当x＝1时，y＝﹣x+3＝2，
∴P点坐标为（1，2）．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质和最短路线问题．
第1页（共1页）第4讲二次函数y＝ax +bx+c的图象和性质(2)
【暑假预习讲义】2026-2027新沪教版数学九年级上册
思维导图 · 课程内容总览
课程目标 · 精准把握学习方向
理解 二次函数 y = ax + bx + c（a≠0）的三种表达式（一般式、顶点式、交点式）及其相互转化。
掌握 二次函数的图象特征：开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性、最值，能熟练运用配方法求顶点。
理解 二次函数图象的几何变换（平移、旋转）规律，掌握“左加右减、上加下减”的口诀。
熟练运用 待定系数法，根据已知条件（三点、顶点、与 x 轴交点等）求二次函数解析式。
掌握 二次函数在给定区间上的最值问题，能结合图象分析参数对最值的影响。
体会 数形结合、分类讨论、方程思想在二次函数综合题中的应用。
核心思想：以“图象”为抓手，贯通“式”与“形”，灵活运用变换与待定系数法。
知识梳理 · 核心知识点
☆ 二次函数的三种表达式
一般式：（），适用于已知图象上任意三点的坐标。
顶点式：，顶点坐标为 ，对称轴为 ，适用于已知顶点坐标。
交点式（两根式）：，其中 为抛物线与 轴交点的横坐标，适用于已知与 轴交点。
☆ 二次函数的图象与性质
开口方向：由 决定。当 时，开口向上；当 时，开口向下。 越大，开口越窄。
对称轴：直线 （一般式）；（顶点式）。
顶点坐标：
一般式：；
顶点式：。
最值：
当 时，抛物线开口向上，顶点为最低点，函数有最小值 （顶点式）或 ；
当 时，开口向下，顶点为最高点，函数有最大值。
增减性：
当 时，在对称轴左侧 随 增大而减小，右侧 随 增大而增大；
当 时相反。
图形示意（文字描述）：
开口向上（a>0）：抛物线形状如“U”，顶点在最低处，对称轴垂直通过顶点。
开口向下（a<0）：抛物线形状如“∩”，顶点在最高处，对称轴垂直通过顶点。
☆ 二次函数图象的几何变换
平移变换：
左右平移：，口诀“左加右减”（ 变化）。
上下平移：，口诀“上加下减”（ 变化）。
总口诀：“左加右减，上加下减”，即向左平移 个单位， 变为 ；向下平移 个单位， 变为 。
旋转变换（绕原点旋转180°）：
开口方向相反，顶点 变为 ，解析式变为 （顶点式）。
对称变换：
关于 轴对称： 变为 ；
关于 轴对称： 变为 。
平移示意图（文字说明）：
原函数 顶点 (0,0)。
向左平移2个单位 → ，顶点 (-2,0)；
向右平移2个单位 → ，顶点 (2,0)；
向上平移2个单位 → ，顶点 (0,2)。
☆ 待定系数法求二次函数解析式
【例】已知一个二次函数的图像经过点 A(4,5)、 B(2,-3) 、 C(1,-4) 。
（1）求这个二次函数的表达式。
（2）写出这个二次函数图像的开口方向、对称轴和顶点以及图像的变化规律。判断该图像有最高点还是最低点，并求出其坐标。
1. 求二次函数表达式
设所求二次函数的表达式为：
将三点坐标代入，得方程组：
① ②，得：
② ③，得：
由 ④ 和 ⑤ 联立：
解得：
将 ( a = 1 )，( b = -2 ) 代入 ③ 中：
因此，这个二次函数的表达式为：
2. 图像性质分析
将解析式配方为顶点式：
由此可得：
开口方向：向上（因为 ( a = 1 > 0 )）
对称轴：直线 ( x = 1 )
顶点坐标：(1, -4)
变化规律：
在对称轴左侧（( x < 1 )），图像下降；
在对称轴右侧（( x > 1 )），图像上升。
最值：该图像有 最低点，坐标为(1, -4)。
3. 知识点总结
一般步骤：① 设出合适的函数表达式（一般式、顶点式、交点式）；② 将已知点的坐标代入，列出方程（组）；③ 解方程（组）求出待定系数；④ 写出解析式。
选用策略：
已知三点坐标 → 设一般式 ；
已知顶点坐标 → 设顶点式 ；
已知与 轴交点 → 设交点式 。
注意：待定系数法体现了“方程思想”，是初中数学的重要方法。
☆ 二次函数的最值问题
无区间限制：直接利用顶点坐标求最值。
时，最小值 ； 时，最大值 。
给定区间 ：
若对称轴在区间内，则顶点处取一个最值（开口向上取最小值，开口向下取最大值），区间端点处取另一个最值；
若对称轴在区间外，则函数在区间上单调，最值在区间端点处取得。
方法：配方法 → 确定对称轴 → 比较区间端点与对称轴的位置 → 求最值。
知识总结表
类别 核心内容 方法/公式
一般式 （） 对称轴 ， 顶点
顶点式 顶点 ，对称轴
交点式 与 轴交点为 ，
开口方向 由 决定： 向上， 向下 越大，开口越窄
最值 顶点处取得（ 最小值， 最大值）
平移变换 左加右减（），上加下减（）
旋转180° 开口反向，顶点关于原点对称
待定系数法 设式 → 代入 → 解方程 → 得解析式 根据条件选一般式、顶点式或交点式
核心考点 ·典型例题方法精讲
【考点1】二次函数图象与几何变换（第1-14题）
※ 方法总结
平移规律：“左加右减，上加下减”。向左平移 个单位， 变为 ；向下平移 个单位， 变为 。
旋转180°：开口方向相反，顶点 变为 ，解析式 。
对称变换：关于 轴对称， 变为 ；关于 轴对称， 变为 。
平移距离：顶点平移的距离即为图象平移的距离，可用两点间距离公式计算。
“平衡点”问题：同时满足平移前后两个函数解析式的点，联立方程求解。
1．（2026 雨花区校级三模）将抛物线y＝x2+1向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得的抛物线解析式是（　　）
A．y＝（x+2）2﹣2 B．y＝（x+2）2+3
C．y＝（x﹣2）2﹣2 D．y＝（x﹣1）2+3
2．（2026 崇川区校级模拟）将抛物线y＝x2+2x﹣1向左平移3个单位后得到新抛物线的顶点坐标为（　　）
A．（﹣2，1） B．（2，﹣2） C．（﹣4，﹣2） D．（﹣4，1）
3．（2026 碑林区校级三模）把二次函数y＝（x+2）2+m的图象先向右平移3个单位再向上平移1个单位，如果平移后所得抛物线上的点到x轴的距离为2的点有且只有2个，则m应满足的条件为（　　）
A．﹣2＜m＜2 B．m＜1 C．﹣3＜m＜1 D．﹣3＜m
4．（2026 碑林区校级模拟）将抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）向下平移2个单位长度后，得到的新抛物线恰好和抛物线关于y轴对称，则b、c的值为（　　）
A．b＝﹣1，c＝6 B．b＝﹣1，c＝﹣2 C．b＝1，c＝﹣2 D．b＝1，c＝6
5．（2026 亭湖区三模）将二次函数y＝2x2+1的图象向下平移3个单位长度，则平移后的函数表达式为　 　 ．
6．（2026 鼓楼区校级二模）将函数y＝﹣（x+1）2+2的图象绕着原点旋转180°，得到的新图象的函数表达式为 　 　 ．
7．（2026 长春校级模拟）将抛物线y＝x2﹣6x+9平移到抛物线y＝（x﹣6）2+4的位置，则抛物线顶点平移的最短距离为　 　 ．
8．（2026 银川校级二模）若将抛物线平移，有一个点既在平移前的抛物线上，又在平移后的抛物线上，则称这个点为“平衡点”．现将抛物线C1：y＝（x﹣2）2﹣4向右平移m（m＞0）个单位长度后得到新的抛物线C2，若（4，n）为“平衡点”．则m的值为　 　 ．
9．（2026 宿城区校级二模）已知抛物线y＝ax2﹣bx+b﹣a（a＜0），当﹣5≤x≤0时，y的取值范围是0≤y≤6．若将该抛物线向右平移6个单位后经过点（1，0），则b的值是　 　 ．
10．（2026春 郸城县月考）如图，一段抛物线y＝﹣x（x﹣4）（0≤x≤4）记为C1，绕（4，0）旋转180°得C2，再绕（8，0）旋转得C3…若点P（2025，m）在某段抛物线上，则m＝　 　 ．
11．（2026 松江区二模）联结抛物线上任意两点的线段叫做抛物线的弦．如果抛物线的一条弦AB与抛物线的对称轴垂直，垂足为点C，抛物线的顶点为D，当AB＝4CD时，AB的长称为这条抛物线的特征值．我们知道，平移不改变抛物线的特征值，那么抛物线y＝3x2﹣2x+1的特征值是　 　 ．
12．（2026 鹿城区校级三模）已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点（2，3），对称轴为直线x＝1．
（1）求该二次函数的表达式，并写出顶点坐标．
（2）若将该二次函数的图象沿x轴平移，问平移几个单位能使图象经过原点．
（3）当m+2≤x≤2m+1时，二次函数y＝﹣x2+bx+c的最大值与最小值的差为1，求m的值．
13．（2026春 绿园区校级期末）已知抛物线y＝ax2过点A（﹣4，8）．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）抛物线上与点A关于y轴对称的点B的坐标是 　 　 ；△AOB的面积是 　 　 ；
（3）点C在抛物线上，且满足S△ABC，求点C的坐标．
14．（2026 天长市二模）已知抛物线C1：y1＝ax2﹣2x过点（2，0），抛物线C2：y2＝﹣（x﹣t）2+t2﹣2t（其中t为常数）．
（1）求a的值和C1的顶点坐标．
（2）已知无论t为何值，C1与C2总交于一个定点，这个定点的坐标为　 　 ；
（3）当t＝3时，平移抛物线C1，使其顶点在抛物线C2上．平移后的抛物线与y轴交点记为A，顶点为P（m，n），点O为坐标原点．当0＜m＜1时，求△POA面积的最大值．
【考点2】二次函数的最值（第15-23题）
※ 方法总结
配方法：将一般式化为顶点式 ，直接读出最值 。
区间最值：先求对称轴，判断对称轴与给定区间的位置关系：
对称轴在区间内 → 顶点处取一个最值，端点处取另一个；
对称轴在区间外 → 区间端点为最值点。
最大值与最小值之差：利用对称性，结合开口方向，比较端点与顶点的函数值。
含参最值：分类讨论对称轴与区间的位置关系，建立方程求参数。
15．（2024秋 同步）已知y＝（m﹣1）是关于x的二次函数．求：
（1）满足条件的m的值；
（2）m为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点，此时当x为何值时，y随x的增大而增大？
（3）当m为何值时，函数有最大值？最大值是多少？此时当x为何值时，y与x的增加而减小？
16．（2024秋 同步）求下列二次函数的最大值或最小值．
（1）y＝﹣x2+2x；
（2）y＝2x2﹣2x+1．
17．（2026 鼓楼区校级模拟）若函数y＝x2+ax+b在0≤x≤1的最大值是M，最小值是m，则M﹣m（　　）
A．与a有关，且与b有关 B．与a有关，但与b无关
C．与a无关，且与b无关 D．与a无关，但与b有关
18．（2025秋 富顺县期末）若函数y＝x2﹣2x+1在a≤x≤a+2上的最小值为4，则实数a的值为（　　）
A．﹣3或3 B．﹣1或1 C．0或2 D．2或4
19．（2026 沛县三模）二次函数y＝﹣x2+6x﹣7的最大值为　 　 ．
20．（2026 大连二模）当0≤x≤3时，二次函数y＝x2﹣4x+3的最大值为m，最小值为n，则m﹣n＝　 　 ．
21．（2026春 西安校级月考）已知有理数x、y满足﹣x2+6x+y﹣17＝0，求y﹣x的最小值为　 　 ．
22．（2026 上城区二模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）的图象与y轴交于点（0，﹣1），且过点（2，﹣1）．
（1）求a与b的关系式．
（2）若a＜0，当﹣1≤x≤4时，函数y的最大值与最小值之差为9，求a的值．
（3）在（2）的条件下，若点M（t，m），点N（t+1，n）两点在该函数图象上，且﹣9＜n≤m，求t的取值范围．
23．（2026春 聊城期中）某学习小组在学习了函数及函数图象的知识后，想利用此知识来探究周长一定的矩形，其边长分别为多少时面积最大，请将他们的探究过程补充完整．
（1）若矩形的周长为8，设矩形的一边长为x，面积为y，列出y与x的函数表达式；
（2）求上述函数表达式中，自变量x的取值范围；
（3）列表：
x … 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 …
y … 1.75 3 3.75 4 3.75 3 m …
求m的值；
（4）画图：在平面直角坐标系中已描出了上表中部分各对应值为坐标的点，请你画出该函数的图象；
（5）结合图象可得，当x＝　 　 时，矩形的面积最大．
【考点3】待定系数法求二次函数解析式（第24-37题）
※ 方法总结
一般式法：已知图象上三个点的坐标，设 ，代入三点坐标列三元一次方程组求解。
顶点式法：已知顶点坐标 ，设 ，再代入另一个点求 。
交点式法：已知与 轴交点 ，，设 ，再代入另一个点求 。
利用对称性：若已知两点纵坐标相同，则两点关于对称轴对称，可快速求对称轴。
24．（2026春 拱墅区校级月考）已知二次函数的图象经过点A（0，0），B（2，0），C（1，﹣3）．求该二次函数的表达式．
25．（2026春 沈丘县月考）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（﹣1，0），（1，2），且对称轴为直线x＝1，则该二次函数的解析式为（　　）
A． B．
C． D．
26．（2026 鼓楼区二模）已知函数y＝ax2+bx+c的图象过点A（3，2），B（﹣1，﹣2），C（2，n），则下列选项中，对应的a的值最大的是（　　）
A．n＝2 B．n＝1 C．n＝0 D．n＝﹣1
27．（2025秋 建华区期末）如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣2，0），（3，0）．下列结论：①；②c＝2b；③若抛物线上有点，则y2＜y1＜y3；④当﹣2＜x＜3时，；⑤点A（m1，n1），B（m2，n2）在抛物线上，且，当m1+m2＞1时，n1＞n2．其中正确结论的个数为（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
28．（2025秋 和平区校级期末）下表记录了二次函数y＝ax2+bx+3（a≠0）中两个变量x与y的3组对应值，
x … ﹣5 ﹣1 3 …
y … m m …
根据表中信息，当﹣5＜x＜0时，直线y＝k与该二次函数图象有两个公共点，则k的取值范围是（　　）
A． B． C．﹣5＜k≤3 D．﹣5＜k＜3
29．（2026 仪征市一模）已知抛物线y1顶点坐标为（﹣1，2），且与的开口方向、形状大小完全相同，则抛物线y1的解析式为（　　）
A．y＝（x﹣1）2+2 B．y＝（x+1）2+2
C．y＝﹣（x+1）2+2 D．y＝﹣（x﹣1）2+2
30．（2026 恩平市二模）若二次函数图象的顶点坐标为（1，﹣2），且经过点（2，﹣3），则该二次函数的关系式为　 　 ．
31．（2026 河南模拟）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A（1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），则二次函数的解析式是 　 　 ．
32．（2026 滨海新区校级开学）已知二次函数的图象经过A（﹣1，0）、B（1，2）两点，且对称轴为直线x＝2，则该二次函数的表达式为　 　 ．
33．（2025秋 泗阳县期末）若抛物线y＝x2﹣6x+c的顶点在x轴，则c＝　 　 ．
34．（2025 锡林郭勒盟四模）已知二次函数y＝ax2+bx+c，当﹣1≤x≤1时，总有﹣1≤y≤1，有如下几个结论：
①当b＝c＝0时，0＜a≤1，
②当a＝1时，c的最大值为0：
③当x＝2时，y可以取到的最大值为7；
上述结论中，所有正确结论的序号是 　 　 ．
35．（2026 梁园区校级二模）已知二次函数y＝x2+mx+n经过（1，﹣2）和（4，1）两点．
（1）求二次函数的表达式．
（2）求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象．
（3）当x满足t≤x≤5时，y的最大值为a，最小值为b，且a+b＝4，直接写出t的值．
36．（2026 兰州模拟）在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+2的图象过点A（2，k），B（﹣1，k）．
（1）求的值；
（2）已知二次函数y＝ax2+bx+2的最大值为．求该二次函数的表达式．
37．（2026 思明区模拟）已知抛物线y＝﹣x2+2tx+2t+2．
（1）若抛物线的对称轴为x＝1，求抛物线的函数表达式；
（2）若抛物线上有两个点A（m，﹣m），B（n，﹣n），
①当m＜x＜n时，求证：y＞﹣x；
②若，，求证：y≥n．
【考点4】创新及压轴题（第38-42题）
※ 方法总结
新定义问题：理解题目给出的新定义（如“三倍点”“横纵和”“极小和”“特征值”等），将其转化为数学条件，结合二次函数性质求解。
综合应用：将二次函数与面积、最值、存在性等问题结合，通常需要：
建立函数模型（面积、距离等）；
利用二次函数性质求最值或范围；
分类讨论与数形结合。
压轴题策略：① 审清题意，挖掘隐含条件；② 设出关键变量，建立函数关系；③ 利用配方法或顶点式求最值；④ 验证结果是否符合实际。
38．（2026 靖江市校级三模）已知抛物线y＝x2+bx+c（b为常数）是由抛物线y＝x2﹣2x+3先向左平移2个单位，再向下平移3个单位得到的．
（1）求b，c的值；
（2）点P（x1，y1）在抛物线y＝x2﹣2x+3上，点Q（x1+m，y1+2k）在抛物线y＝x2+bx上．
①用含x1与m的式子表示k；
②若x1+2＝m+n（n为常数），且m＞4，k随m的增大而增大，求n的最小值．
39．（2026 市中区校级模拟）新定义：若一个点的纵坐标是横坐标3倍，则称这个点为“三倍点”．如：A（2，6），B（﹣1，﹣3），C（0，0）等都是“三倍点”．
（1）已知二次函数y＝x2﹣2tx+t2﹣2t．
①若该函数图象向左平移5个单位，其顶点刚好是三倍点，求该函数表达式；
②点P（x1，y1），Q（x2，y2）在该函数图象上，其中t﹣1＜x1＜t+2，x2＝2t，若y1的最小值是﹣4，求y2的值；
（2）若二次函数y＝x2﹣（2t﹣3）x+t2﹣2t+2的图象上不存在“三倍点”，令w＝t2﹣2t+2，求w的取值范围．
40．（2026 扬州三模）定义：在平面直角坐标系中，图形G上的点P（x，y）的横坐标x和纵坐标y的和x+y称为点P的“横纵和”，而图形G上所有点的“横纵和”中最小的值称为图形的“极小和”，并将“极小和”记为S．
（1）抛物线y＝x2﹣2x﹣2的图象上点P（1，﹣3）的“横纵和”是　 　 ；该抛物线的“极小和”是　 　 ．
（2）抛物线y＝x2﹣（2m+1）x﹣2，若﹣2021≤S≤﹣2020，求m2的取值范围．
（3）已知二次函数y＝x2+bx+c（c≠0）的图象上的点和点C（0，c）的“横纵和”相等，求该二次函数的“极小和”．这个“极小和”是否有最大值？如果有，请求出这个最大值；如果没有，请说明理由．
41．（2026 洛阳模拟）（1）写出下列二次函数的顶点坐标．
①的顶点坐标为　 　 ；
②y＝﹣4（x﹣3）2的顶点坐标为　 　 ．
若抛物线的顶点在坐标轴上，则称该抛物线为“数轴函数”，像上面①②的函数均为“数轴函数”．
（2）继续研究发现，对于y＝a（x﹣h）2+k，因为a≠0，当　 　 ＝0时，y＝a（x﹣h）2+k的顶点在x轴上；当　 　 ＝0时，y＝a（x﹣h）2+k的顶点在y轴上．请你写出一个顶点在x轴上的二次函数解析式：　 　 ．
（3）与x轴平行的直线与y＝﹣4（x﹣3）2交于M，N两点（点M在点N的左侧），若MN≤8，请直接写出M点横坐标xM的取值范围．
42．（2026 白银区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知点C的坐标为（0，4），点A，B在x轴上，且OA＝OC＝4OB，动点P在过A，B，C三点的抛物线上．
（1）求抛物线的函数解析式．
（2）在直线AC上方的抛物线上是否存在点P，使得△PAC的面积最大？若存在，求出点P的坐标及△PAC面积的最大值；若不存在，请说明理由．
课后巩固 · 针对性练习
作业1：二次函数图象的平移（左加右减，上加下减）→ 求平移后的解析式。
作业2：二次函数图象的平移与交点坐标 → 利用顶点坐标变化判断平移关系。
作业3：待定系数法（顶点式）→ 已知形状和开口方向、顶点坐标求解析式。
作业4：二次函数的最值（区间最值）→ 比较离对称轴远近确定函数值大小。
作业5：二次函数的最值（含参）→ 结合对称轴与区间位置，分类讨论求参数。
作业6：二次函数与不等式恒成立 → 利用判别式法求参数。
作业7：二次函数图象的平移与顶点坐标 → 平移后顶点在 轴上的条件。
作业8：平移与图象上点的坐标 → 代入法求平移距离，结合最值差求区间。
作业9：二次函数的最值（给定区间）→ 利用开口方向和对称轴求最值。
作业10：待定系数法（交点式）→ 利用对称性求与 轴交点，再求解析式。
作业11：待定系数法（一般式）→ 由表格数据求解析式，判断图象性质。
作业12：待定系数法与最值综合 → 由表格数据求解析式，结合区间最值求参数。
作业13：待定系数法与最值综合（含参）→ 分类讨论求参数的值。
作业14：二次函数与最短路径 → 利用对称性将线段和转化为两点间距离，结合抛物线对称轴求点坐标。
复习建议：
本讲核心是“二次函数图象与性质”，重点掌握：三种表达式（一般式、顶点式、交点式）的灵活选择与互化；平移变换“左加右减，上加下减”的准确运用；配方法求顶点与最值，注意区间端点的比较；待定系数法的步骤与策略，根据条件选“式”；数形结合思想，借助图象直观理解性质与变换。
【作业1】（2026 平房区模拟）将抛物线y＝x2向左平移2个单位，再向下平移3个单位，则得到的抛物线解析式是（　　）
A．y＝（x﹣2）2﹣3 B．y＝（x﹣2）2+3
C．y＝（x+2）2﹣3 D．y＝（x+2）2+3
【作业2】（2026 新华区二模）如图，抛物线l1：y1＝a（x+1）2+2与抛物线l2：y2＝﹣（x﹣2）2﹣1交于点A（1，﹣2），以下结论：
①无论x取何值，y2总是负数；
②抛物线l可由抛物线l1向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到；
③当﹣3＜x＜1时，随着x的增大，y1﹣y2的值先增大后减小；
④当直线y＝n与抛物线l1，l2有3个交点时，n＝﹣2．
下列说法正确的是（　　）
A．只有①正确 B．只有②④正确
C．只有③④不正确 D．①②③④都正确
【作业3】（2025秋 威县校级期末）如果一条抛物线的形状和开口方向与y＝﹣2x2+2相同，且顶点坐标是（4，2），则它的解析式是（　　）
A．y＝2（x﹣4）2+2 B．y＝﹣2（x﹣4）2﹣2
C．y＝﹣2（x﹣4）2+2 D．y＝﹣2（x+4）2﹣2
【作业4】（2026 雁塔区校级模拟）已知关于x的二次函数y＝2ax2﹣4ax+3，当x＝1时，该二次函数有最大值．若该函数图象经过两点A（t，y1），B（3﹣t，y2），且，则下列关系正确的是（　　）
A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1＝y2 D．y1≥y2
【作业5】（2026 合肥校级一模）已知抛物线y＝ax2﹣5ax+a2+1（a≠0）图象上有两点A（x1，y1）、B（x2，y2），当x1＜x2＜2时，有y1＜y2；当﹣1≤x1≤3时，y1最小值是8．则a的值为（　　）
A．﹣7 B．﹣1 C．1或﹣7 D．﹣1或﹣7
【作业6】（2026 海门区校级模拟）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（﹣2，0），且对于任意x的值，不等式恒成立，则该二次函数的解析式为（　　）
A． B．y＝x2+4x+4
C． D．
【作业7】（2025秋 长宁区期末）若将抛物线y＝2（x+m）2+5沿x轴向左平移2个单位后，所得抛物线的顶点恰好落在y轴上，那么m的值为　 　 ．
【作业8】（2026春 池州月考）已知二次函数y＝x2+x+3，将点B（1，7）向上平移2个单位长度，向左平移m（m＞0）个单位长度后，恰好落在y＝x2+x+3的图象上．
（1）m＝　 　 ；
（2）当﹣2≤x≤n时，二次函数y＝x2+x+3的最大值与最小值的差为，则n的取值范围是　 　 ．
【作业9】（2025春 浦东新区校级月考）已知关于x的二次函数y＝x2﹣4x+m在﹣1≤x≤3的取值范围内最大值为7，则该二次函数的最小值是 　 　 ．
【作业10】（2026春 青山区校级月考）已知抛物线的对称轴为直线x＝2，且过点（1，4）和（5，0），则这个二次函数的关系式是　 　 ．
【作业11】（2025秋 文登区月考）抛物线y＝ax2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 1 2 …
y … ﹣6 0 4 6 4 …
从上表可知，下列说法中正确的是　 　 ．（填写序号）
①抛物线的对称轴是直线x＝1；
②抛物线一定经过点（3，0）；
③在对称轴左侧，y随x增大而减小；
④若两点在此抛物线上，则y1＞y2．
【作业12】（2026 河南模拟）在二次函数y＝ax2+bx﹣3中，x与y的几组对应值如下所示．
x … ﹣1 0 2 …
y … 0 ﹣3 ﹣3 …
（1）求二次函数的表达式．
（2）求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系（如图）中画出二次函数的图象．
（3）当二次函数y＝ax2+bx﹣3的自变量x满足m≤x≤m+3时，此函数的最大值为p，最小值为q，且p﹣q＝3，请直接写出m的值．
【作业13】（2026 宁波模拟）已知二次函数y＝ax2﹣4ax+3（a为常数）的图象过点（1，0）．
（1）求该二次函数的表达式和顶点坐标．
（2）已知P（x1，y1），Q（x2，y2）为二次函数图象上两点，其中1≤x1≤m，2≤x2≤2m．
①当m＝2且y1+y2＝3时，求点P的坐标．
②若y2与y1的差的最大值为9，求m的值．
【作业14】（2026 白银区校级模拟）抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（0，3）．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）如图，点P是抛物线对称轴上一点，连接AP，BP，当AP+BP最小时，求点P的坐标．
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