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第1讲 二次函数定义及y＝ax 【暑假预习讲义】
(2026-2027学年沪教版(五四制)数学九年级上册)
思维导图 · 课程内容总览
课程目标 · 精准把握学习方向
理解 二次函数的概念，能准确判断一个函数是否为二次函数，并指出二次项系数、一次项系数和常数项。
掌握 二次函数 （）的图象（抛物线）的画法，理解其开口方向、对称轴、顶点坐标等基本性质。
熟练运用 的增减性和最值，能利用图象分析函数值随自变量变化的规律。
体会 数形结合、分类讨论的思想，能借助图象解决与二次函数相关的简单综合问题。
核心思想：从“形”的角度认识二次函数，掌握 的图象与性质。
知识梳理 · 核心知识点
☆ 1. 二次函数的定义
一般形式： 形如 （、、 为常数，且 ）的函数叫作二次函数；二次函数自变量 的取值范围是一切实数。
要点①： 自变量 的最高次数为 2，且二次项系数 。
要点②： 函数解析式必须是整式，分母中含 或根号下含 均不是二次函数。
要点③： 当 或 时，仍为二次函数（如 、）。
系数识别：
二次项系数：（ 的系数）
一次项系数：（ 的系数）
常数项：
【例】用长为 20 m 的篱笆，一面靠墙（墙的长度超过 20 m），围成一个矩形花圃，如图所示。设 ( AB ) 的长为 ( x ) m，花圃的面积为 ( y ) m ，求 ( y ) 关于 ( x ) 的函数表达式及自变量 ( x ) 的取值范围。
在矩形 ( ABCD ) 中，( AB = x )，则 ( BC = 20 - 2x )，
所以 ( y ) 关于 ( x ) 的函数表达式是即
由边长的实际意义，知
解得；所以，自变量 ( x ) 的取值范围是 ( 0 < x < 10 )。
☆ 2. 二次函数 y=ax 的图象
（）的图象是一条 抛物线，具有以下特征：
顶点： 原点
对称轴： 轴（即直线 ）
开口方向： 由 决定
→ 开口 向上，抛物线有最低点（顶点）
→ 开口 向下，抛物线有最高点（顶点）
开口大小： 由 决定， 越大，开口越 小（越窄）； 越小，开口越 大（越宽）。
※标准抛物线 和 的顶点均在原点，对称轴为 轴。
☆ 3. 最简二次函数y=ax 的性质
系数
开口方向 向上 向下
对称轴 轴（直线 ） 轴（直线 ）
顶点坐标
最值 最小值 （） 最大值 （）
增减性 时 随 增大而减小； 时 随 增大而增大 时 随 增大而增大； 时 随 增大而减小
图象特征 最低点为原点 最高点为原点
☆ 4. 知识总结表
核心概念 要点 注意事项
二次函数定义 ， 整式，最高次为2
系数识别 （二次项），（一次项），（常数项） 注意系数为0的情况
图象形状 抛物线，顶点在原点，对称轴为 轴 开口由 决定
开口方向 向上， 向下 —
开口大小 越大，开口越小 比较 即可
增减性 在对称轴两侧相反 结合图象理解
最值 有最小值0； 有最大值0 在 时取得
核心考点·题型方法精讲
【考点1】二次函数的定义与系数识别（第1-8题）
※方法总结
判断依据： 函数解析式必须为整式，且自变量 的最高次数为2，同时二次项系数 。
常见陷阱： 分母含 （如 ）、根号下含 （如 ）都不是二次函数。
系数确定： 将函数化为一般式 后，对应找出 、、。
隐含条件： 若解析式含参数，需满足 且次数为2。
1．（2026春 浦东新区校级期中）下列函数中，y是关于x的二次函数的是（　　）
A． B．y＝ax2+bx+c
C． D．
【分析】根据二次函数的定义，逐一分析每个选项的函数形式，判断是否符合y＝ax2+bx+c（a≠0，整式函数）的特征．
【解答】解：A、不是整式，故此选项不符合题意；
B、当a＝0时，y＝ax2+bx+c不是二次函数，故此选项不符合题意；
C、y是二次函数，故此选项符合题意；
D、不是整式，故此选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的定义，解题的关键是掌握二次函数的一般形式y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0），并能据此判断函数类型．
2．（2025秋 虹口区期末）已知y＝（m﹣3）x|m﹣1|（m为常数）是二次函数，那么m的值是（　　）
A．3 B．﹣1 C．﹣3 D．3或﹣1
【分析】根据二次函数的定义，x的指数必须为2且二次项系数不为0，得到|m﹣1|＝2且m﹣3≠0，据此即可解答．
【解答】解：由题意得|m﹣1|＝2且m﹣3≠0，
解得m＝3或m＝﹣1且m≠3，
∴m＝﹣1．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题关键，注意二次项的系数不等于零．
3．（2025秋 宝山区校级月考）下列y关于x的函数中，一定是二次函数的是（　　）
A．y＝（a+2）x2+1 B．
C．y＝（x+2）（x+1）﹣x2 D．y＝2x2+3x
【分析】根据二次函数的一般形式：形如y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数且a≠0），逐一判断即可解答．
【解答】解：A、y＝（a+2）x2+1，当a≠﹣2时，是二次函数，不符合题意；
B、y1，不是二次函数，不符合题意；
C、y＝（x+2）（x+1）﹣x2＝3x+2，是一次函数，不符合题意；
D、y＝2x2+3x，是二次函数，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数的定义，掌握二次函数的一般形式是解题的关键．
4．（2026 七星关区校级模拟）如果函数是关于x的二次函数，则k＝　0　 ．
【分析】根据二次函数的定义可得二次项系数不为0，且x的最高次数为2，据此列方程与不等式求解即可得到k的值．
【解答】解：∵函数是关于x的二次函数，
根据二次函数的定义，
得，
解方程k2﹣3k+2＝2，
解得k＝0或k＝3．
由k﹣3≠0得k≠3，
因此k＝0．
故答案为：0．
【点评】本题考查二次函数的定义，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
5．（2026 惠州二模）已知二次函数y＝﹣x2+mx+2，定义新运算：对于任意x，称满足等式3ax﹣b＝cx﹣1的解x为该函数的“特征值”（其中a，b，c为函数的二次项、一次项、常数项系数），若该函数的“特征值”的取值范围是1≤x≤3，则m的最小值是　﹣14　 ．
【分析】由题意得到13，求出﹣14≤m≤﹣4，即可得到m的最小值．
【解答】解：函数y＝﹣x2+mx+2的二次项系数a＝﹣1，一次项系数b＝m，常数项c＝2，
把a＝﹣1，b＝m，c＝2，代入3ax﹣b＝cx﹣1得到：﹣3x﹣m＝2x﹣1，
∴x，
∴13，
∴﹣14≤m≤﹣4，
∴m的最小值是﹣14．
故答案为：﹣14．
【点评】本题考查二次函数的定义，关键是由题意得到关于m的不等式组．
6．（2025秋 北辰区校级月考）指出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项．
函数解析式 二次项系数 一次项系数 常数项
（1）y＝﹣0.9x2+2x﹣3 　﹣0.9　 　2　 　﹣3　
（2）y＝﹣2x2﹣7 　﹣2　 　0　 　﹣7　
（3）y＝﹣x2+x 　﹣1　 　1　 　0　
【分析】根据二次函数的定义，二次函数的解析式解答即可．
【解答】解：y＝﹣0.9x2+2x﹣3的二次项系数为﹣0.9，一次项系数为2，常数项为﹣3；
y＝﹣2x2﹣7的二次项系数为﹣2，一次项系数为0，常数项为﹣7；
y＝﹣x2+x的二次项系数为﹣1，一次项系数为1，常数项为0；
填表如下：
函数解析式 二次项系数 一次项系数 常数项
（1）y＝﹣0.9x2+2x﹣3 ﹣0.9 2 ﹣3
（2）y＝﹣2x2﹣7 ﹣2 0 ﹣7
（3）y＝﹣x2+x ﹣1 1 0
故答案为：（1）﹣0.9，2，﹣3；
（2）﹣2，0，﹣7；
（3）﹣1，1，0．
【点评】本题考查二次函数的定义，理解二次函数的解析式是解题的关键．
7．（2025秋 凉州区期末）已知函数是关于x的二次函数．
（1）求m的值；
（2）写出二次项系数、一次项系数及常数项．
【分析】（1）根据二次函数的定义，即y＝ax2+bx+c（a≠0）列式求解即可；
（2）根据二次函数一般式判定即可．
【解答】解：（1）由条件可得，
∴m＝3．
（2）二次函数解析式为y＝12x2﹣2，
故二次项系数是12，一次项系数是0，常数项为﹣2．
【点评】本题主要考查二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义，二次函数一般式是解决本题的关键．
8．（2025秋 高新区校级月考）已知是y关于x的二次函数，求m的值．
【分析】根据x的指数m2﹣2＝2，且系数2﹣m≠0求解即可．
【解答】解：根据题意得：m2﹣2＝2，2﹣m≠0，
∴m＝﹣2．
【点评】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握一般地，形如y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的函数叫做二次函数是关键．
【考点2】y=ax 的图象（第9-17题）
※方法总结
画图步骤： 列表（取对称点）→ 描点 → 用光滑曲线连接。
开口大小比较： 比较 ， 越大，开口越窄； 越小，开口越宽。
图象位置： 所有 的图象都经过原点，且关于 轴对称。
与一次函数图象的关系： 联立解析式可求交点，注意分类讨论 的正负。
9．（2025秋 福海县月考）请按要求画出函数y＝x2的图象：
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3
y …
（1）表格补充完整；
（2）画出图象；
（3）写出抛物线的增减性．
【分析】（1）将x的数值代入y＝x2即可补全表格；
（2）描出（1）中的点，用光滑的曲线连接即可得到函数图象；
（3）根据图象即可得到抛物线的增减性．
【解答】解：（1）将x的数值代入y＝x2即可补全表格，表格如下：
x ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3
y … 9 4 1 0 1 4 9
（2）描点连线如图：
（3）根据图象可知，
当x＜0时，随着x的增大y减小；当x＞0时，随着x的增大y增大．
【点评】本题考查了二次函数图象的绘制及增减性，熟练掌握以上知识点是关键．
10．（2025秋 宁明县校级月考）在同一坐标系中画出y＝﹣2x2+1和y＝﹣2x2的图象，并说出它们的关系，对称轴和顶点坐标．
【分析】根据描点法，可得函数图象，根据函数的a、b相同，可得函数的图象相同，根据对称轴公式，可得对称轴，根据顶点坐标公式，可得函数图象的顶点坐标．
【解答】解：y＝﹣2x2+1和y＝﹣2x2的图象，如图：
，
y＝﹣2x2的图象向上平移1个单位得y＝﹣2x2+1的函数图象；
y＝﹣2x2的对称轴是y轴，顶点坐标是（0，0）
y＝﹣2x2+1的对称轴是y轴，顶点坐标是（0，1）．
【点评】本题考查了函数图象，利用描点法画函数图象，利用对称轴公式，顶点坐标公式．
11．（2024秋 同步）在同一平面直角坐标系中作出yx2、yx2和yx2的图象．
【分析】根据所给的函数表达式的特征，发现yx2的图象和yx2的图象关于x轴对称，利用列表、描点、连线画图即可．
【解答】解：观察三个函数表达式可知，
三个函数图象都以y轴为对称轴，都以坐标原点为顶点．
函数图象如图所示，
【点评】本题考查二次函数图象，能根据二次函数表达式发现其图象特征是解题的关键．
12．（2025秋 安阳月考）已知三个二次函数的图象如图所示，那么a1，a2，a3的大小关系是 a2＞a3＞a1 ．（请用“＞”连接）
【分析】画出直线x＝1与三条抛物线的交点，再结合图形即可解决问题．
【解答】解：作直线x＝1，与三条抛物线分别交于点A，B，C，
则点A坐标为（1，a2），点B坐标为（1，a3），点C坐标为（1，a1）．
由图象可知，
点A在点B的上方，点B在点C的上方，
所以a2＞a3＞a1．
故答案为：a2＞a3＞a1．
【点评】本题主要考查了二次函数的图象，熟知二次函数的图象与性质是解题的关键．
13．（2025秋 广安校级月考）如图所示，在同一坐标系中，作出①y＝﹣3x2；②yx2；③y＝﹣x2的图象，则图象L1，L2，L3对应的函数解析式依次是 　①③②　 .（填序号）
【分析】抛物线的形状与|a|有关，根据|a|的大小即可确定抛物线的开口的宽窄．
【解答】解：①y＝﹣3x2，
②yx2，
③y＝﹣x2中，二次项系数a分别为﹣3、、﹣1，
∵|﹣3|＞|﹣1|＞||，
∴抛物线②yx2的开口最宽，抛物线①y＝﹣3x2的开口最窄．
∴图象L1，L2，L3对应的函数解析式依次是①③②．
故答案为：①③②．
【点评】本题考查了二次函数的图象，抛物线的开口大小由|a|决定，|a|越大，抛物线的开口越窄；|a|越小，抛物线的开口越宽．
14．（2025秋 临颍县期中）抛物线，，如图所示．若a的值为整数，则a的值为　2或3或4　 ．
【分析】根据二次函数y＝ax2（a≠0）的图象解答即可．
【解答】解：观察图象得：，
∵a的值为整数，
∴a的值为2，3，4．
故答案为：2或3或4．
【点评】本题主要考查了二次函数y＝ax2（a≠0）的图象，掌握其相关知识点是解题的关键．
15．（2026 兴庆区校级一模）在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2与一次函数y＝ax+a的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】解法一：分a＞0和a＜0，根据一次函数的性质和二次函数的性质逐项判断即可；
解法二：根据一次函数的性质和二次函数的性质，由函数图象可以判断a的正负情况，从而可以解答本题．
【解答】解：解法一：当a＞0时，函数y＝ax2的图象开口向上，函数y＝ax+a的图象经过第一、第二、第三象限，所以A、D错误，B正确；
当a＜0时，函数y＝ax2的图象开口向下，函数y＝ax+a的图象经过第二、第三、第四象限，所以C错误．
解法二：A项，由一次函数的增减性，知a＜0，由一次函数图象与y轴的交点，知a＞0，故A不符合题意；
B项，由二次函数的图象，知a＞0，由一次函数的图象，知a＞0，故B符合题意；
C项，由二次函数的图象，知a＜0，由一次函数的图象，知a＞0，故C不符合题意；
D项，由二次函数的图象，知a＞0，由一次函数的图象，知a＜0，故D不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象，解题的关键是明确二次函数与一次函数图象的特点与其系数的关系．
16．（2026 顺城区一模）当ab＞0时，y＝ax2与y＝ax+b的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据题意，ab＞0，即a、b同号，分a＞0与a＜0两种情况讨论，分析选项可得答案．
【解答】解：根据题意，ab＞0，即a、b同号，
当a＞0时，b＞0，y＝ax2开口向上，过原点，y＝ax+b过一、二、三象限；
此时，没有选项符合，
当a＜0时，b＜0，y＝ax2开口向下，过原点，y＝ax+b过二、三、四象限；
此时，D选项符合，
故选：D．
【点评】本题考查二次函数与一次函数的图象的性质，要求学生理解系数与图象的关系．
17．（2025秋 阜平县期末）下列图象可能是函数y＝ax2+a（a≠0）的图象的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】从a＞0和a＜0两种情况进行分析图象的开口方向和顶点坐标，即可选出正确的答案．
【解答】解：当a＞0时，函数y＝ax2+a（a≠0）的图象开口向上，顶点在y轴的正半轴；
当a＜0时，函数y＝ax2+a（a≠0）的图象开口向下，顶点在y轴的负半轴；
故选项B符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查的是二次函数系数与图象的关系，熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标与系数的关系是解题的关键，注意分类讨论思想的运用．
【考点3】y=ax2 的性质（第18-28题）
※方法总结
顶点与对称轴： 顶点恒为 ，对称轴为 轴。
最值： 时最小值为0； 时最大值为0。
增减性： 结合图象记忆“左降右升”（）或“左升右降”（）。
参数 的作用： 决定开口方向、大小，以及函数的最值和增减性。
18．（2025秋 怀仁市期中）已知抛物线y＝ax2经过点A（﹣2，﹣8）．
（1）求此抛物线的解析式．
（2）判断点B（﹣1，﹣4）是否在此抛物线上．
【分析】（1）将点A（﹣2，﹣8）代入y＝ax2待定系数法求解析式，即可求解；
（2）将x＝﹣1代入（1）的解析式即可求解．
【解答】解：（1）由条件可得﹣8＝a×（﹣2）2，
解得a＝﹣2，
∴抛物线的函数解析式为y＝﹣2x2；
（2）当x＝﹣1时，y＝﹣2×（﹣1）2＝﹣2，
∴点B（﹣1，﹣4）不在此抛物线上．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，求得二次函数解析式是解题的关键．
19．（2025秋 夏邑县月考）已知是二次函数，且当x＜0时，y随x的增大而增大．
（1）求k的值；
（2）直接写出抛物线的顶点坐标和对称轴．
【分析】（1）根据二次函数的定义得到k+4≠0且k2+4k﹣3＝2，解得k1＝﹣5，k2＝1，由于当x＜0时，y随x的增大而增大，根据二次函数的性质则有k+4＜0，于是得到k＝﹣5；
（2）根据二次函数的性质即可求解．
【解答】解：（1）由条件可知k+4≠0且k2+4k﹣3＝2，
解得k1＝﹣5，k2＝1，
∵二次函数当x＜0时，y随x的增大而增大，
∴二次函数的图象的开口向下，即k+4＜0，
∴k＜﹣4，
∴k＝﹣5；
（2）由（1）得y＝﹣x2，
∴顶点坐标为（0，0），对称轴为y轴．
【点评】本题考查了二次函数的定义：形如y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）的函数叫二次函数．也考查了二次函数的性质．
20．（2025秋 射阳县期中）二次函数y＝ax2的图象与直线y＝2x﹣1交于点P（1，m）．
（1）求a、m的值；
（2）写出二次函数的解析式，并指出x取何值时，y随x的增大而增大？
（3）指出抛物线的顶点坐标和对称轴．
【分析】（1）把P代入y＝2x﹣1，求得m的值，然后将P（1，1）代入二次函数解析式即可求解；
（2）根据（1）的结论可写出二次函数解析式，根据解析式求得对称轴为x＝0，进而即可求解；
（3）根据函数解析式直接写出顶点坐标与对称轴．
【解答】解：（1）二次函数y＝ax2的图象与直线y＝2x﹣1交于点P（1，m），
把P代入y＝2x﹣1中得：m＝2×1﹣1＝1，
则P（1，1），
把P代入y＝ax2中得：1＝a×1，
∴a＝1；
（2）∵a＝1＞0，对称轴为直线x＝0，
∴当x＞0时，y随x的增大而增大，当x＜0时，y随x的增大而减小；
（3）由y＝x2可得，抛物线的顶点坐标为（0，0），对称轴为直线x＝0（或y轴）．
【点评】本题考查了求二次函数解析式，一次函数的性质，y＝ax2的图象与性质，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
21．（2025秋 南平校级月考）函数为二次函数，若其函数图象有最低点，求函数的解析式．
【分析】由题意易得m2﹣3m﹣2＝2且m﹣2≠0，然后进行求解即可．
【解答】解：由题意得m2﹣3m﹣2＝2且m﹣2≠0，
m1＝﹣1，m2＝4，
由条件可知m﹣2＞0，即m＞2，
∴m＝4，
∴y＝2x2．
【点评】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
22．（2025秋 怒江州月考）在同一坐标系内，抛物线y＝ax2与直线yx+b相交于A，B两点，若点A 的坐标是（2，3）．
（1）求B点的坐标；
（2）连接OA，OB，AB，求△AOB的面积．
【分析】（1）先将点A的坐标分别代入抛物线和直线，求得a、b的值，再将两个函数解析式联立得到一元二次方程，解方程求得B点的坐标；
（2）设直线与y轴的交点为C，根据S△AOB＝S△AOC+S△BOC列式计算即可得解．
【解答】解：（1）抛物线y＝ax2与直线yx+b相交于A，B两点，若点A 的坐标是（2，3），
则将点A的坐标代入y＝ax2，解得a；代入yx+b，解得：b＝2；
将两方程联立得：x2x+2，解方程得：x＝2或，
则B点的坐标为（，）；
（2）设直线yx+2与y轴的交点为C，则点C（0，2），
所以S△AOB＝S△AOC+S△BOC
2×（2）
．
【点评】本题考查了二次函数的性质，利用待定系数法求函数的解析式，抛物线与直线交点的求法，函数图象上点的坐标特征，（2）把△AOB分成两个三角形求面积更简便．
23．（2026 三明模拟）在函数y＝（x﹣m）2中，当x＞1时，y随x的增大而增大，则实数m的值可以是　1（答案不唯一，满足m≤1即可）　 ．（写出一个满足条件的m值）
【分析】根据二次函数的性质得到m的取值范围，任取一个范围内的值即可．
【解答】解：二次函数是开口向上的二次函数，其对称轴为直线x＝m，
∵开口向上的二次函数，在对称轴右侧，y随x的增大而增大，且当x＞1时，y随x的增大而增大，
∴m≤1，
故答案为：1（答案不唯一，满足m≤1即可）．
【点评】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握该知识点是关键．
24．（2026 汕尾一模）写出一条抛物线y＝2x2，y＝﹣2x2，共有的性质：　顶点坐标为（0，0）（答案不唯一）　 ．
【分析】三条抛物线的解析式均为y＝ax2的形式，因此它们都具有相同的对称轴和顶点，即可作答．
【解答】解：∵三条抛物线的解析式均为y＝ax2的形式，
∴二次函数y＝ax2的对称轴为y轴，顶点坐标为（0，0），
故答案为：顶点坐标为（0，0）（答案不唯一）．
【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
25．（2025秋 东明县期末）已知二次函数y＝3（x﹣a）2的图象上，当x＞2时，y随x的增大而增大，则a的取值范围是 a≤2　 ．
【分析】根据二次函数的性质，利用二次函数的对称轴不大于2列式计算即可得解．
【解答】解：二次函数y＝3（x﹣a）2的对称轴为直线x＝a，
∵当x＞a时，y的值随x值的增大而增大，
∴a≤2．
故答案为：a≤2．
【点评】本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的增减性，熟记性质并列出不等式是解题的关键．
26．（2026 玄武区一模）若二次函数的图象开口向下，则m的值为　﹣1　 ．
【分析】根据二次函数的定义，指数必须为2，且二次项系数小于零．
【解答】解：由题意得，m2+1＝2，
∴m＝±1，
又∵图象开口向下，
∴二次项系数为m＜0，
∴m＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题主要考查二次函数的概念和性质，掌握二次函数最高次数为2，当a＞0，函数图象开口向上，当a＜0函数图象开口向下是解题的关键．
27．（2026 长春二模）下列函数中，y的值随x的值增大而减小的是（　　）
A．y＝x+1 B．y＝﹣x+1 C．y＝x2+1 D．y＝﹣x2+1
【分析】根据一次函数和二次函数的增减性逐项分析判断即可．
【解答】解：A、一次函数y＝x+1中，k＝1＞0，y随x的增大而增大，不符合题意；
B、一次函数y＝﹣x+1，k＝﹣1＜0，y随x的增大而减小，符合题意；
C、二次函数y＝x2+1，对称轴为y轴，开口向上，在y轴右侧，y随x的增大而增大，不符合题意；
D、二次函数y＝﹣x2+1，对称轴为y轴，开口向下，在y轴左侧，y随x的增大而增大，不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了一次函数和二次函数的增减性，熟练掌握该知识点是关键．
28．（2025秋 越城区期末）抛物线y＝x2的顶点坐标是（　　）
A．（1，0） B．（0，1） C．（0，0） D．（1，1）
【分析】根据抛物线的表达式直接写出抛物线的顶点坐标即可．
【解答】解：抛物线y＝x2的顶点坐标是（0，0）．
故选：C．
【点评】本题考查的是二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
【考点4】创新及压轴题（第29-31题）
※方法总结
新定义问题： 如“保值区间”，需结合定义建立方程或不等式，利用单调性求解。
几何与函数结合： 如动点问题，利用勾股定理或面积公式建立二次函数模型，求最值。
实际应用（利润问题）： 根据题意列出二次函数关系式，利用配方法求最值，注意自变量的取值范围。
29．（2026 鲤城区校级模拟）若对于实数r，s，满足r＜s，且当r≤x≤s时，对应的函数值y的取值范围也为r≤y≤s，则称区间[r，s]为该函数的一个“保值区间”．
（1）若二次函数y＝x2存在“保值区间”，且当x≥0时的一个“保值区间”为[0，t]，求t的值；
（2）已知[a，b]为二次函数y＝x2﹣4x+5的“保值区间”，且2≤a＜b，求a（a﹣b）+5b+1的值．
【分析】（1）利用y＝x2在x≥0时单调递增的性质，结合“保值区间”定义，得到t2＝t求解t的值；
（2）利用y＝x2﹣4x+5在x≥2时单调递增的性质，得到a，b是方程x2﹣5x+5＝0的根，再用韦达定理求代数式的值．
【解答】解：（1）当x≥0时，y＝x2随x的增大而增大，
∵当x≥0时的一个保值区间”为[0，t]，且t＞0，
∴当x＝t时，t2＝t，
∴t1＝0，t2＝1，
又∵t＞0，
∴t＝1．
（2）∵y＝x2﹣4x+5对称轴为直线x＝2，
∴当x＞2时，y随x的增大而增大，
∵[a，b]为二次函数y＝x2﹣4x+5的“保值区间”，
∴当x＝b时，b2﹣4b+5＝b，
∴当x＝a时，a2﹣4a+5＝a，
整理得a2﹣5a+5＝0，b2﹣5b+5＝0，
∴a，b为关于x的一元二次方程x2﹣4x+5＝0的根，
∴a b＝5，a+b＝5，
∴a（a﹣b）+5b+1＝a2﹣ab+5b+1＝5a﹣5+5b﹣ab+1＝25﹣5﹣4＝16．
【点评】本题考查了二次函数的单调性、新定义“保值区间”及一元二次方程根与系数的关系．熟练掌握二次函数的单调性，并能根据新定义建立方程求解，是解决本题的关键．
30．（2024秋 廉江市校级月考）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm．点P从A点开始沿A边向点B以1cm/秒的速度移动，点Q从C点开始沿CB边向点B以2cm/秒的速度移动（一个点到达终点另一个点即停止运动）．
（1）几秒钟后，P、Q相距6厘米？
（2）经过几秒钟，△PBQ的面积等于是△ABC的三分之一？
（3）经过几秒钟，△PBQ的面积最大，最大面积是多少？
【分析】（1）设运动时间为x秒，根据勾股定理构建方程求解即可；
（2）设运动时间为x秒，根据三角形面积公式构建方程求解即可；
（3）设运动时间为x秒，根据三角形面积公式求出△PBQ的面积，然后根据二次函数的性质求解即可．
【解答】解：（1）设运动时间为x秒，则AP＝xcm，BQ＝2xcm，AB＝6cm，
∴BP＝（6﹣x）cm，
∴（6﹣x）2+（2x）2＝62，
解得，x2＝0（舍去），
∴经过秒钟后，P、Q相距6厘米；
（2）设运动时间为x秒，则，
解得x1＝2，x2＝4，
∴经过2秒或4秒钟，△PBQ的面积等于是△ABC的三分之一；
（3）设运动时间为x秒，则，
∴当x＝3时，S△BPQ有最大值为9，
即经过3秒钟，△PBQ的面积最大，最大面积是9cm2．
【点评】本题主要考查了勾股定理的应用和二次函数及其最值，根据题意，正确表示出线段长度及利用二次函数的性质求出最值，是解答本题的关键．
31．（2024秋 安阳期末）某品牌大米远近闻名，深受广大消费者好评，某超市每天购进一批成本价为6元/kg的该大米，以不低于成本价且不超过12.5元/kg的价格销售．当售价为8元/kg时．每天售出大米1000kg；当售价为9元/kg时，每天售出大米900kg，通过分析销售数据发现：每天销售大米的质量y（kg）与售价x（元/kg）满足一次函数关系．
（1）请写出y与x的函数关系式；
（2）当售价定为多少元/kg时，每天销售该大米的利润可达到3500元；
（3）当售价定为多少元/kg时，每天获利最大？最大利润为多少？
【分析】（1）设y与x的函数关系式为y＝kx+b，将（8，1000），（9，900）代入即可解得k、b，从而得到y与x的函数关系式；
（2）由（售价﹣成本价）×每天销售大米的质量＝利润可得关于x的一元二次方程，求解后根据x的取值范围即可得解；
（3）设利润为w元，由（售价﹣成本价）×每天销售大米的质量＝利润推得w＝（x﹣6）（﹣100x+1800）＝﹣100（x﹣12）2+3600，则根据二次函数的图象和性质可得当x＝12时，w有最大值，每天获利最大，最大利润为3600元．
【解答】解：（1）设y与x的函数关系式为y＝kx+b，
根据题意得，该函数经过点（8，1000），（9，900），
将（8，1000），（9，900）代入，
得，
解得，
∴y与x的函数关系式为y＝﹣100x+1800（6≤x≤12.5）；
（2）根据题意，得（x﹣6）y＝3500，
∴（x﹣6）（﹣100x+1800）＝3500，
解得x1＝11，x2＝13，
∵售价不低于成本单价且不超过12.5元/kg，
∴当售价定为11元/kg时，利润可达到3500元．
（3）设利润为w元，根据题意得：
w＝（x﹣6）（﹣100x+1800）＝﹣100（x﹣12）2+3600，
∵﹣100＜0，6≤x≤12.5，
∴当x＝12时，w有最大值，此时w＝3600，
∴当售价定为12元/kg时，每天获利最大，最大利润为3600元．
【点评】本题考查一元一次不等式组的应用，一次函数的应用，二次函数的最值，解题关键是熟练掌握二次函数的最值求法．
随堂检测 · 精选练习
练习1 — 二次函数 与一次函数 的图象综合判断（开口、对称轴、截距）。
练习2 — 根据二次函数定义求参数（指数为2，系数不为0）。
练习3 — 比较多个 的开口大小（利用 比较）。
练习4 — 由解析式判断开口方向（根据 的符号）。
练习5 — 抛物线 的对称轴（ 轴）。
练习6 — 根据图象经过的象限判断开口方向（第二象限有图象→开口向上）。
【练习1】在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2与一次函数y＝bx+c的图象如图所示，则二次函数y＝ax2+bx+c的图象大致是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据二次函数y＝ax2与一次函数y＝bx+c的图象，即可得出a＜0，b＞0，c＞0，由此即可得出：二次函数y＝a2x+bx+c的图象开口向下，对称轴为直线x0，与y轴的交点在y轴正半轴，再对照四个选项中的图象即可得出结论．
【解答】解：观察函数图象可知：a＜0，b＞0，c＞0，
∴二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向下，对称轴为直线x0，与y轴的交点在y轴正半轴．
故选：C．
【点评】本题考查了一次函数的图象以及二次函数的图象，根据二次函数图象和一次函数图象经过的象限，找出a＜0、b＞0、c＞0是解题的关键．
【练习2】（2026 白银区校级模拟）已知是二次函数，则a＝　﹣1　 ．
【分析】由二次函数的定义，列出方程与不等式解答即可．
【解答】解：根据题意可得a2﹣2a﹣1＝2
解得a＝3或﹣1
又∵a﹣3≠0
∴a≠3，
∴a＝﹣1．
【点评】此题考查二次函数的定义．
【练习3】（2025秋 察右前旗校级月考）已知二次函数y＝ax2，y＝bx2，y＝cx2，y＝dx2的图象如图所示，则a，b，c，d的大小关系为a＞b＞c＞d （用“＞”连接）．
【分析】可根据“当a＞0时，开口向上，当a＜0时，开口向下，|a|越大，开口也就越小”进行求解即可．
【解答】解：根据当a＞0时，开口向上，当a＜0时，开口向下，|a|越大，开口也就越小推理及由图象可知：a＞b＞0＞c＞d；
故答案为：a＞b＞c＞d．
【点评】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
【练习4】（2026 南京一模）二次函数的图象开口向　下　 ．（填“上”或“下”）
【分析】根据二次函数的性质即可得到二次函数图象的开口方向．
【解答】解：根据二次函数的性质即可得：
二次函数中，，
∴二次函数的图象开口向下，
故答案为：下．
【点评】本题考查了二次函数的性质：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中，a＞0，开口向上，a＜0，开口向下．
【练习5】（2025秋 张店区期末）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2的对称轴是y轴　 ．
【分析】根据解析式即可得出答案．
【解答】解：在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2的对称轴是y轴．
故答案为：y轴．
【点评】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握顶点式y＝a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是直线x＝h是关键．
【练习6】（2025秋 松江区期末）已知抛物线y＝ax2经过第二象限，那么这条抛物线的开口方向是　向上　 ．
【分析】根据二次函数的性质判断即可．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2图象过原点，对称轴为y轴，抛物线y＝ax2经过第二象限，
∴抛物线开口向上，
故答案为：向上．
【点评】本题考查二次函数的性质，关键是掌握二次函数的性质．
课后巩固 · 针对性练习
作业1 — 二次函数 与一次函数 的图象共存问题（分类讨论 正负）。
作业2 — 根据图象判断 的大小顺序（开口大小与方向）。
作业3 — 识别二次函数（从多个解析式中选出符合定义的）。
作业4 — 二次函数定义求参数（指数与系数限制）。
作业5 — 利用图象对称性求阴影面积（两抛物线与坐标轴围成）。
作业6 — 比较多个二次函数 的系数大小（取特殊点 ）。
作业7 — 画二次函数 的图象（列表描点）。
作业8 — 在同一坐标系中画一次函数和二次函数的图象（对比）。
作业9 — 已知 是二次函数且当 时 随 增大而增大，求 和顶点对称轴。
作业10 — 实际销售利润问题（一次函数与二次函数结合，求最值）。
复习建议 本讲重点掌握二次函数定义、 的图象与性质，注意 对开口方向、大小及增减性的影响，灵活运用数形结合思想。
【作业1】（2024秋 肇庆期末）函数y＝ax2与y＝﹣x﹣a的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】分两种情况讨论，根据一次函数和二次函数的性质作出判断．
【解答】解：当a＞0时，﹣a＜0，二次函数开口向上，一次函数过二，三，四象限，
当a＜0时，﹣a＞0，二次函数开口向下，一次函数过一，二，四象限，
所以C正确．
故选：C．
【点评】主要考查了一次函数和二次函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．
【作业2】（2025秋 拱墅区校级月考）已知函数y1＝a1x2，y2＝a2x2，y3＝a3x2如图所示，则a1，a2，a3由小到大的顺序为 a2＜a3＜a1 ．
【分析】根据二次函数的性质以及抛物线的开口大小与二次项系数的绝对值的关系即可判断，
【解答】解：∵函数y1＝a1x2的开口向上，
∴a1＞0，
∵y2＝a2x2，y3＝a3x2开口向下，且y2的开口小于y2开口，
∴a1＜0．a2＜0，|a2|＞|a3|，
∴a2＜a3＜a1，
故答案为：a2＜a3＜a1．
【点评】本题考查了二次函数图象与性质，熟知二次项系数的绝对值越大，抛物线开口越小是解题的关键．
【作业3】在下列函数：①y3；②y＝2x2﹣5x+1；③y＝3x（x﹣1）；④y＝x﹣3；⑤v＝t2﹣4t3（t是自变量）中，是二次函数的有 　②③　 ．
【分析】形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数叫做x的二次函数，将所给函数进行化简，结合二次函数的定义判断即可．
【解答】解：①y3，不是整式，所以不是二次函数，不符合题意；
②y＝2x2﹣5x+1，符合二次函数的特点，是二次函数，符合题意；
③y＝3x（x﹣1）＝3x2﹣3x，是二次函数，符合题意；
④y＝x﹣3，是一次函数，不是二次函数，不符合题意；
⑤v＝t2﹣4t3（t是自变量）中，t的最高次数为3，不符合定义，所以不是二次函数．
故答案为：②③．
【点评】本题考查二次函数的定义，正确记忆相关知识点是解题关键．
【作业4】（2026 呼图壁县一模）已知y＝（m﹣1）x|m+1|+3x﹣4是二次函数，则实数m＝　﹣3　 ．
【分析】根据二次函数定义可得|m+1|＝2且m﹣1≠0，再解即可．
【解答】解：∵y＝（m﹣1）x|m+1|+3x﹣4是二次函数，
∴|m+1|＝2，
解得m＝1或﹣3，
∵m﹣1≠0，
∴m≠1，
∴m＝﹣3．
故答案为：﹣3．
【点评】此题主要考查了二次函数定义，关键是掌握形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．
【作业5】（2025秋 栖霞市期中）如图，两抛物线的函数解析式分别为y＝x2和y＝﹣x2+2x，则阴影部分面积为　1　 ．
【分析】设两抛物线的另一个交点为A，抛物线y＝﹣x2+2x与x轴交于另一点B，先求得A、B的坐标，然后根据勾股定理及其逆定理可推出△AOB为等腰直角三角形，接着由抛物线y＝﹣x2+2x的对称轴可推出阴影部分的面积等于△AOB的面积，最后计算三角形面积即可求解．
【解答】解：设两抛物线的另一个交点为A，抛物线y＝﹣x2+2x与x轴交于另一点B，如图，连接OA、AB，
则，
解得或，
∴两抛物线的交点分别为原点和A（1，1），
对于y＝﹣x2+2x，令y＝0，即﹣x2+2x＝0，解得x＝0或2，
∴B（2，0），
∴，，OB＝2，
∴OA＝AB，且OA2+AB2＝OB2，
∴△AOB为等腰直角三角形，∠OAB＝90°，
又∵y＝﹣x2+2x的对称轴为直线，
∴阴影部分的面积等于△AOB的面积，
∴阴影部分的面积．
故答案为：1．
【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，勾股定理及其逆定理，根据二次函数的图象的性质得出阴影部分的面积等于三角形的面积是解题的关键．
【作业6】（2025 贵州模拟）如图所示四个二次函数的图象中，分别对应的是①y＝ax2；②y＝bx2；③y＝cx2；④y＝dx2．则a、b、c、d的大小关系为 a＞b＞d＞c ．
【分析】设x＝1，函数值分别等于二次项系数，根据图象，比较各对应点纵坐标的大小．
【解答】解：因为直线x＝1与四条抛物线的交点从上到下依次为（1，a），（1，b），（1，d），（1，c），
所以，a＞b＞d＞c．
【点评】本题采用了取特殊点的方法，比较字母系数的大小．
【作业7】（2025春 同步）在如图的平面直角坐标系中，画出二次函数的图象．
【分析】利用描点法分别在坐标系中找出符合题意的点的坐标，进而画出图象．
【解答】解：列表：
x … ﹣3 ﹣1 0 1 3 …
y … 3 0 3 …
描点、连线：
【点评】此题主要考查了二次函数的图象，正确得出图象上的点是解题关键．
【作业8】（2024秋 同步）在同一坐标系中画出下列函数的图象：
（1）y＝﹣x；
（2）y＝x+2；
（3）yx2．
【分析】利用列表、描点、连线的方法作出函数的图象即可．
【解答】解：列表：
x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 …
y＝﹣x … 4 3 2 1 0 ﹣1 ﹣2 ﹣3 ﹣4 …
y＝x+2 … ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 5 6 …
yx2 … ﹣8 ﹣4.5 ﹣2 0 ﹣2 ﹣4.5 ﹣8 …
描点、连线
如图所示：
【点评】本题考查了图象的作法，比较简单，属于基础题，熟练掌握二次函数的性质以及函数图象的作法是解题的关键．
【作业9】（2024秋 霍邱县期末）已知y＝（k+2）是二次函数，且当x＜0时，y随x的增大而增大．
（1）求k的值；
（2）直接写出顶点坐标和对称轴．
【分析】（1）根据二次函数的定义得到k+2≠0且k2+k﹣4＝2，解得k1＝﹣3，k2＝2，由于当x＜0时，y随x的增大而增大，根据二次函数的性质则有k+2＜0，于是得到k＝﹣3；
（2）根据二次函数的性质即可求解．
【解答】解：（1）根据题意得k+2≠0且k2+k﹣4＝2，解得k1＝﹣3，k2＝2，
∵二次函数当x＜0时，y随x的增大而增大，
∴二次函数的图象的开口向下，即k+2＜0，
∴k＝﹣3；
（2）由（1）得y＝﹣x2，
∴顶点坐标为（0，0），对称轴为y轴．
【点评】本题考查了二次函数的定义：形如y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）的函数叫二次函数．也考查了二次函数的性质：二次函数的二次项系数a＜0，则抛物线开口向下；函数有最大值，顶点是最高点，利用公式法y＝ax2+bx+c的顶点坐标公式为（，），对称轴是直线x．
【作业10】（2025秋 汕尾期中）正在举行的2025年全运会，其吉祥物“喜洋洋”正火遍全国．某网店售卖一款进价为30元/个的“喜洋洋”，规定单个销售利润不低于10元，且不高于25元．试销期间发现，当销售单价定为40元时，每天可以售出500个，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10个．该网店决定提价销售，设销售单价为x元，每天销售量为y个．
（1）直接写出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围是y＝﹣10x+900（40≤x≤55）　 ；
（2）当销售单价为多少元时，每天销售利润为8000元？
（3）求该网点每天销售吉祥物“喜洋洋”的利润W（元）的最大值．
【分析】（1）根据原销售件数减去减少的件数即为所求；
（2）根据销售利润等于单件利润乘以销售量，从而列方程计算即可求解；
（3）依据题意，可得每天销售利润W＝（﹣10x+900）（x﹣30）＝﹣10（x﹣60）2+9000，再结合﹣10＜0，且40≤x≤55，然后根据二次函数的性质即可计算得解．
【解答】解：（1）由题意得，y＝500﹣10（x﹣40）＝﹣10x+900，
∴y与x之间的函数关系式为：y＝﹣10x+900．
∵单个销售利润不低于10元，且不高于25元，
∴10≤x﹣30≤25．
∴40≤x≤55．
故答案为：y＝﹣10x+900（40≤x≤55）；
（2）由题意，结合（1）y＝﹣10x+900，
∴（﹣10x+900）（x﹣30）＝8000，
∴x1＝50，x2＝70，
∵40≤x≤55，
∴x＝50，
答：当销售单价为50元时，每天销售利润为8000元；
（3）结合（2）可得，每天销售利润W＝（﹣10x+900）（x﹣30）
＝﹣10x2+1200x﹣27000
＝﹣10（x﹣60）2+9000．
∵﹣10＜0，且40≤x≤55，
∴当x＝55时，每天销售利润最大，最大值为8750．
答：该网点每天销售吉祥物“喜洋洋”的利润W（元）的最大值为8750元．
【点评】本题考查了二次函数的应用，最大销售利润的问题常利用函数的增减性来解答．
第1页（共1页）第1讲 二次函数定义及y＝ax 【暑假预习讲义】
(2026-2027学年沪教版(五四制)数学九年级上册)
思维导图 · 课程内容总览
课程目标 · 精准把握学习方向
理解 二次函数的概念，能准确判断一个函数是否为二次函数，并指出二次项系数、一次项系数和常数项。
掌握 二次函数 （）的图象（抛物线）的画法，理解其开口方向、对称轴、顶点坐标等基本性质。
熟练运用 的增减性和最值，能利用图象分析函数值随自变量变化的规律。
体会 数形结合、分类讨论的思想，能借助图象解决与二次函数相关的简单综合问题。
核心思想：从“形”的角度认识二次函数，掌握 的图象与性质。
知识梳理 · 核心知识点
☆ 1. 二次函数的定义
一般形式： 形如 （、、 为常数，且 ）的函数叫作二次函数；二次函数自变量 的取值范围是一切实数。
要点①： 自变量 的最高次数为 2，且二次项系数 。
要点②： 函数解析式必须是整式，分母中含 或根号下含 均不是二次函数。
要点③： 当 或 时，仍为二次函数（如 、）。
系数识别：
二次项系数：（ 的系数）
一次项系数：（ 的系数）
常数项：
【例】用长为 20 m 的篱笆，一面靠墙（墙的长度超过 20 m），围成一个矩形花圃，如图所示。设 ( AB ) 的长为 ( x ) m，花圃的面积为 ( y ) m ，求 ( y ) 关于 ( x ) 的函数表达式及自变量 ( x ) 的取值范围。
在矩形 ( ABCD ) 中，( AB = x )，则 ( BC = 20 - 2x )，
所以 ( y ) 关于 ( x ) 的函数表达式是即
由边长的实际意义，知
解得；所以，自变量 ( x ) 的取值范围是 ( 0 < x < 10 )。
☆ 2. 二次函数 y=ax 的图象
（）的图象是一条 抛物线，具有以下特征：
顶点： 原点
对称轴： 轴（即直线 ）
开口方向： 由 决定
→ 开口 向上，抛物线有最低点（顶点）
→ 开口 向下，抛物线有最高点（顶点）
开口大小： 由 决定， 越大，开口越 小（越窄）； 越小，开口越 大（越宽）。
※标准抛物线 和 的顶点均在原点，对称轴为 轴。
☆ 3. 最简二次函数y=ax 的性质
系数
开口方向 向上 向下
对称轴 轴（直线 ） 轴（直线 ）
顶点坐标
最值 最小值 （） 最大值 （）
增减性 时 随 增大而减小； 时 随 增大而增大 时 随 增大而增大； 时 随 增大而减小
图象特征 最低点为原点 最高点为原点
☆ 4. 知识总结表
核心概念 要点 注意事项
二次函数定义 ， 整式，最高次为2
系数识别 （二次项），（一次项），（常数项） 注意系数为0的情况
图象形状 抛物线，顶点在原点，对称轴为 轴 开口由 决定
开口方向 向上， 向下 —
开口大小 越大，开口越小 比较 即可
增减性 在对称轴两侧相反 结合图象理解
最值 有最小值0； 有最大值0 在 时取得
核心考点·题型方法精讲
【考点1】二次函数的定义与系数识别（第1-8题）
※方法总结
判断依据： 函数解析式必须为整式，且自变量 的最高次数为2，同时二次项系数 。
常见陷阱： 分母含 （如 ）、根号下含 （如 ）都不是二次函数。
系数确定： 将函数化为一般式 后，对应找出 、、。
隐含条件： 若解析式含参数，需满足 且次数为2。
1．（2026春 浦东新区校级期中）下列函数中，y是关于x的二次函数的是（　　）
A． B．y＝ax2+bx+c
C． D．
2．（2025秋 虹口区期末）已知y＝（m﹣3）x|m﹣1|（m为常数）是二次函数，那么m的值是（　　）
A．3 B．﹣1 C．﹣3 D．3或﹣1
3．（2025秋 宝山区校级月考）下列y关于x的函数中，一定是二次函数的是（　　）
A．y＝（a+2）x2+1 B．
C．y＝（x+2）（x+1）﹣x2 D．y＝2x2+3x
4．（2026 七星关区校级模拟）如果函数是关于x的二次函数，则k＝　 　 ．
5．（2026 惠州二模）已知二次函数y＝﹣x2+mx+2，定义新运算：对于任意x，称满足等式3ax﹣b＝cx﹣1的解x为该函数的“特征值”（其中a，b，c为函数的二次项、一次项、常数项系数），若该函数的“特征值”的取值范围是1≤x≤3，则m的最小值是　 　 ．
6．（2025秋 北辰区校级月考）指出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项．
函数解析式 二次项系数 一次项系数 常数项
（1）y＝﹣0.9x2+2x﹣3 　 　 　 　 　 　
（2）y＝﹣2x2﹣7 　 　 　 　 　 　
（3）y＝﹣x2+x 　 　 　 　 　 　
7．（2025秋 凉州区期末）已知函数是关于x的二次函数．
（1）求m的值；
（2）写出二次项系数、一次项系数及常数项．
8．（2025秋 高新区校级月考）已知是y关于x的二次函数，求m的值．
【考点2】y=ax 的图象（第9-17题）
※方法总结
画图步骤： 列表（取对称点）→ 描点 → 用光滑曲线连接。
开口大小比较： 比较 ， 越大，开口越窄； 越小，开口越宽。
图象位置： 所有 的图象都经过原点，且关于 轴对称。
与一次函数图象的关系： 联立解析式可求交点，注意分类讨论 的正负。
9．（2025秋 福海县月考）请按要求画出函数y＝x2的图象：
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3
y …
（1）表格补充完整；
（2）画出图象；
（3）写出抛物线的增减性．
10．（2025秋 宁明县校级月考）在同一坐标系中画出y＝﹣2x2+1和y＝﹣2x2的图象，并说出它们的关系，对称轴和顶点坐标．
11．（2024秋 同步）在同一平面直角坐标系中作出yx2、yx2和yx2的图象．
12．（2025秋 安阳月考）已知三个二次函数的图象如图所示，那么a1，a2，a3的大小关系是 　 　 ．（请用“＞”连接）
13．（2025秋 广安校级月考）如图所示，在同一坐标系中，作出①y＝﹣3x2；②yx2；③y＝﹣x2的图象，则图象L1，L2，L3对应的函数解析式依次是 　 　 .（填序号）
14．（2025秋 临颍县期中）抛物线，，如图所示．若a的值为整数，则a的值为　 　 ．
15．（2026 兴庆区校级一模）在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2与一次函数y＝ax+a的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
16．（2026 顺城区一模）当ab＞0时，y＝ax2与y＝ax+b的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
17．（2025秋 阜平县期末）下列图象可能是函数y＝ax2+a（a≠0）的图象的是（　　）
A． B．
C． D．
【考点3】y=ax2 的性质（第18-28题）
※方法总结
顶点与对称轴： 顶点恒为 ，对称轴为 轴。
最值： 时最小值为0； 时最大值为0。
增减性： 结合图象记忆“左降右升”（）或“左升右降”（）。
参数 的作用： 决定开口方向、大小，以及函数的最值和增减性。
18．（2025秋 怀仁市期中）已知抛物线y＝ax2经过点A（﹣2，﹣8）．
（1）求此抛物线的解析式．
（2）判断点B（﹣1，﹣4）是否在此抛物线上．
19．（2025秋 夏邑县月考）已知是二次函数，且当x＜0时，y随x的增大而增大．
（1）求k的值；
（2）直接写出抛物线的顶点坐标和对称轴．
20．（2025秋 射阳县期中）二次函数y＝ax2的图象与直线y＝2x﹣1交于点P（1，m）．
（1）求a、m的值；
（2）写出二次函数的解析式，并指出x取何值时，y随x的增大而增大？
（3）指出抛物线的顶点坐标和对称轴．
21．（2025秋 南平校级月考）函数为二次函数，若其函数图象有最低点，求函数的解析式．
22．（2025秋 怒江州月考）在同一坐标系内，抛物线y＝ax2与直线yx+b相交于A，B两点，若点A 的坐标是（2，3）．
（1）求B点的坐标；
（2）连接OA，OB，AB，求△AOB的面积．
23．（2026 三明模拟）在函数y＝（x﹣m）2中，当x＞1时，y随x的增大而增大，则实数m的值可以是　 　 ．（写出一个满足条件的m值）
24．（2026 汕尾一模）写出一条抛物线y＝2x2，y＝﹣2x2，共有的性质：　 　 ．
25．（2025秋 东明县期末）已知二次函数y＝3（x﹣a）2的图象上，当x＞2时，y随x的增大而增大，则a的取值范围是 　 　 ．
26．（2026 玄武区一模）若二次函数的图象开口向下，则m的值为　 　 ．
27．（2026 长春二模）下列函数中，y的值随x的值增大而减小的是（　　）
A．y＝x+1 B．y＝﹣x+1 C．y＝x2+1 D．y＝﹣x2+1
28．（2025秋 越城区期末）抛物线y＝x2的顶点坐标是（　　）
A．（1，0） B．（0，1） C．（0，0） D．（1，1）
【考点4】创新及压轴题（第29-31题）
※方法总结
新定义问题： 如“保值区间”，需结合定义建立方程或不等式，利用单调性求解。
几何与函数结合： 如动点问题，利用勾股定理或面积公式建立二次函数模型，求最值。
实际应用（利润问题）： 根据题意列出二次函数关系式，利用配方法求最值，注意自变量的取值范围。
29．（2026 鲤城区校级模拟）若对于实数r，s，满足r＜s，且当r≤x≤s时，对应的函数值y的取值范围也为r≤y≤s，则称区间[r，s]为该函数的一个“保值区间”．
（1）若二次函数y＝x2存在“保值区间”，且当x≥0时的一个“保值区间”为[0，t]，求t的值；
（2）已知[a，b]为二次函数y＝x2﹣4x+5的“保值区间”，且2≤a＜b，求a（a﹣b）+5b+1的值．
30．（2024秋 廉江市校级月考）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm．点P从A点开始沿A边向点B以1cm/秒的速度移动，点Q从C点开始沿CB边向点B以2cm/秒的速度移动（一个点到达终点另一个点即停止运动）．
（1）几秒钟后，P、Q相距6厘米？
（2）经过几秒钟，△PBQ的面积等于是△ABC的三分之一？
（3）经过几秒钟，△PBQ的面积最大，最大面积是多少？
31．（2024秋 安阳期末）某品牌大米远近闻名，深受广大消费者好评，某超市每天购进一批成本价为6元/kg的该大米，以不低于成本价且不超过12.5元/kg的价格销售．当售价为8元/kg时．每天售出大米1000kg；当售价为9元/kg时，每天售出大米900kg，通过分析销售数据发现：每天销售大米的质量y（kg）与售价x（元/kg）满足一次函数关系．
（1）请写出y与x的函数关系式；
（2）当售价定为多少元/kg时，每天销售该大米的利润可达到3500元；
（3）当售价定为多少元/kg时，每天获利最大？最大利润为多少？
随堂检测 · 精选练习
练习1 — 二次函数 与一次函数 的图象综合判断（开口、对称轴、截距）。
练习2 — 根据二次函数定义求参数（指数为2，系数不为0）。
练习3 — 比较多个 的开口大小（利用 比较）。
练习4 — 由解析式判断开口方向（根据 的符号）。
练习5 — 抛物线 的对称轴（ 轴）。
练习6 — 根据图象经过的象限判断开口方向（第二象限有图象→开口向上）。
【练习1】在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2与一次函数y＝bx+c的图象如图所示，则二次函数y＝ax2+bx+c的图象大致是（　　）
A． B． C． D．
【练习2】（2026 白银区校级模拟）已知是二次函数，则a＝　 　 ．
【练习3】（2025秋 察右前旗校级月考）已知二次函数y＝ax2，y＝bx2，y＝cx2，y＝dx2的图象如图所示，则a，b，c，d的大小关系为　 　 （用“＞”连接）．
【练习4】（2026 南京一模）二次函数的图象开口向　 　 ．（填“上”或“下”）
【练习5】（2025秋 张店区期末）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2的对称轴是　 　 ．
【练习6】（2025秋 松江区期末）已知抛物线y＝ax2经过第二象限，那么这条抛物线的开口方向是　 　 ．
课后巩固 · 针对性练习
作业1 — 二次函数 与一次函数 的图象共存问题（分类讨论 正负）。
作业2 — 根据图象判断 的大小顺序（开口大小与方向）。
作业3 — 识别二次函数（从多个解析式中选出符合定义的）。
作业4 — 二次函数定义求参数（指数与系数限制）。
作业5 — 利用图象对称性求阴影面积（两抛物线与坐标轴围成）。
作业6 — 比较多个二次函数 的系数大小（取特殊点 ）。
作业7 — 画二次函数 的图象（列表描点）。
作业8 — 在同一坐标系中画一次函数和二次函数的图象（对比）。
作业9 — 已知 是二次函数且当 时 随 增大而增大，求 和顶点对称轴。
作业10 — 实际销售利润问题（一次函数与二次函数结合，求最值）。
复习建议 本讲重点掌握二次函数定义、 的图象与性质，注意 对开口方向、大小及增减性的影响，灵活运用数形结合思想。
【作业1】（2024秋 肇庆期末）函数y＝ax2与y＝﹣x﹣a的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【作业2】（2025秋 拱墅区校级月考）已知函数y1＝a1x2，y2＝a2x2，y3＝a3x2如图所示，则a1，a2，a3由小到大的顺序为 　 　 ．
【作业3】在下列函数：①y3；②y＝2x2﹣5x+1；③y＝3x（x﹣1）；④y＝x﹣3；⑤v＝t2﹣4t3（t是自变量）中，是二次函数的有 　 　 ．
【作业4】（2026 呼图壁县一模）已知y＝（m﹣1）x|m+1|+3x﹣4是二次函数，则实数m＝　 　 ．
【作业5】（2025秋 栖霞市期中）如图，两抛物线的函数解析式分别为y＝x2和y＝﹣x2+2x，则阴影部分面积为　 　 ．
【作业6】（2025 贵州模拟）如图所示四个二次函数的图象中，分别对应的是①y＝ax2；②y＝bx2；③y＝cx2；④y＝dx2．则a、b、c、d的大小关系为 　 　 ．
【作业7】（2025春 同步）在如图的平面直角坐标系中，画出二次函数的图象．
【作业8】（2024秋 同步）在同一坐标系中画出下列函数的图象：
（1）y＝﹣x；
（2）y＝x+2；
（3）yx2．
【作业9】（2024秋 霍邱县期末）已知y＝（k+2）是二次函数，且当x＜0时，y随x的增大而增大．
（1）求k的值；
（2）直接写出顶点坐标和对称轴．
【作业10】（2025秋 汕尾期中）正在举行的2025年全运会，其吉祥物“喜洋洋”正火遍全国．某网店售卖一款进价为30元/个的“喜洋洋”，规定单个销售利润不低于10元，且不高于25元．试销期间发现，当销售单价定为40元时，每天可以售出500个，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10个．该网店决定提价销售，设销售单价为x元，每天销售量为y个．
（1）直接写出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围是　 　 ；
（2）当销售单价为多少元时，每天销售利润为8000元？
（3）求该网点每天销售吉祥物“喜洋洋”的利润W（元）的最大值．
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