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第3讲 二次函数y＝ax +bx+c的图象和性质(1)
【暑假预习讲义】2026-2027新沪教版数学九年级上册
思维导图 · 课程内容总览
课程目标 · 精准把握学习方向
理解 二次函数一般式 的图象特征，掌握配方法将其化为顶点式 。
掌握 二次函数对称轴公式 及顶点坐标公式，能熟练判断开口方向、增减区间和最值。
理解 二次函数图象与系数 、、 的关系，能根据图象判断系数符号及特殊代数式的正负。
掌握 二次函数图象上点的坐标特征，能利用对称性快速比较函数值大小、求参数范围。
体会 数形结合、转化与化归、分类讨论在二次函数综合问题中的运用。
核心思想：以“配方”为桥梁，沟通一般式与顶点式；以“对称轴”为分界，理解图象的代数与几何统一。
知识梳理 · 核心知识点
☆ 课程导入
以 为例。
由配方，可得
由配方的结果，可知抛物线 的对称轴是直线 ，
顶点是 。根据二次函数图像的对称性列表，描点，并画出它的图像。
… 1 2 3 …
… 0 -1 0 …
对称轴为直线 （虚线）；
顶点坐标为 ；
与 轴交于点 和 ；
开口向上，经过点 和 。
从图可以看出，在对称轴左侧，二次函数 的图像下降；在对称轴右侧，图像上升。也就是说，
当 时， 随着 的增大而 减小；
当 时， 随着 的增大而 增大；
当 时， 取到 最小值，最小值为 。
一般地，通过配方，二次函数 可以化为 的形式，进而得到其图像与性质。实际上，
将上述与 比较，可得
你能归纳出抛物线 的性质吗？
☆ 1. 一般式与顶点式的互化
一般式： （）。
顶点式（配方法）： ，其中 ，。
步骤： 提公因式 （注意 为负时提负号）→ 配方（加一次项系数一半的平方）→ 整理成平方形式。
☆ 2. 二次函数 y = ax + bx + c 的图象特征
开口方向： 由 决定， 开口向上， 开口向下。
开口大小： 由 决定， 越大开口越窄。
对称轴： 直线 。
顶点坐标： 。
与 轴交点： 。
与 轴交点： 令 ，即解 ，判别式 决定交点个数。
☆ 3. 二次函数 y = ax + bx + c 的性质
增减性：
时，在对称轴左侧 ， 随 增大而减小；右侧增大而增大。
时，在对称轴左侧 ， 随 增大而增大；右侧增大而减小。
最值：
时，在顶点处取最小值 。
时，在顶点处取最大值 。
对称性： 若 与 在抛物线上，则对称轴 。
☆ 4. 图象与系数 a、b、c 的关系
决定开口方向与大小（）。
与 共同决定对称轴位置：、 同号，对称轴在 轴左侧；、 异号，对称轴在 轴右侧（“左同右异”）。
决定抛物线与 轴的交点纵坐标， 交于正半轴， 交于负半轴。
特殊代数式符号判断： 令 ，得 ；令 ，得 ；令 ，得 ，结合图象对应点的位置判断正负。
☆ 5. 知识总结表
表达式 对称轴 顶点坐标 开口 最值
向上 向下 ，y最小 ，y最大
向上 向下 ，y最小 ，y最大
系数特征 图象表现 示例结论
开口向上，有最低点 函数有最小值
开口向下，有最高点 函数有最大值
、 同号 对称轴在 轴左侧 “左同”
、 异号 对称轴在 轴右侧 “右异”
与 轴交于正半轴 截距为正
与 轴交于负半轴 截距为负
时 点 在轴上方
时 点 在轴下方
核心考点 ·经典题型方法精讲
【考点1】二次函数的图象（第1–7题）
图象识别 利用 判开口， 判与 轴交点，、 判对称轴位置（左同右异）。
一次函数共存 联立消元判断无交点（），再匹配系数符号。
对称性补点 纵坐标相同的两点关于对称轴对称，利用中点公式求对称轴。
方程根与图象 方程 有根 直线 与抛物线有交点。
开口大小 越大开口越窄。
1．（2024秋 浦东新区校级期中）已知一次函数的图象如下，则函数y＝ax2+bx+c的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】依据题意，由一次函数的图象判断出，再判断二次函数的图象特征，进而求解．
【解答】解：由一次函数的图象可得：，
∴函数y＝ax2+bx+c的图象与y轴的交点在y轴的负半轴，
∴排除A、C选项；
函数y＝ax2+bx+c的图象的对称轴，
∴函数y＝ax2+bx+c的图象的对称轴与x轴的交点在x轴的负半轴，
∴只有B选项符合题意．
故选：B．
【点评】本题主要考查了二次函数图象与一次函数的图象，解题时要熟练掌握二次函数的性质是关键．
2．（2026 安徽模拟）函数y＝kx+b和抛物线y＝kx2+bx+c在同一直角坐标系内的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据一次函数y＝kx+b的图象判断k，b的符号，再验证二次函数y＝kx2+bx+c的开口方向、对称轴是否与k、b的符号一致．
【解答】解：一次函数图象斜率为负，得k＜0，
但二次函数开口向上，要求k＞0，矛盾，A错误，
一次函数图象斜率为正，得k＞0，
二次函数开口向上，符合k＞0，
一次函数与y轴交于正半轴，得b＞0，
二次函数对称轴x，由k＞0，b＞0得对称轴在y轴左侧，与图象中对称轴在右侧矛盾，B错误；
一次函数图象斜率为正，得k＞0，
二次函数开口向上，符合k＞0，
一次函数与y轴交于负半轴，得b＜0，
二次函数对称轴x，由k＞0，b＜0得对称轴在y轴右侧，与图象一致，故C正确，
一次函数图象斜率为正，得k＞0，
但二次函数开口向下，要求k＜0，矛盾，故D错误，
故选：C．
【点评】本题考查了一次函数与二次函数的图象性质及参数符号判断．熟练掌握一次函数的斜率、截距与二次函数的开口方向、对称轴和参数的关系，是解决本题的关键．
3．（2025秋 虹口区期末）小丽为了画二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象，列出了如表（信息不全），那么m的值是　1　 ．
x … ﹣5 ﹣4 ﹣2 0 m …
y … 10 5 1 5 10 …
【分析】根据二次函数的对称性，由点（﹣4，5）和（0，5）确定对称轴，再利用点（﹣5，10）和（m，10）关于对称轴对称求解m即可．
【解答】解：由点（﹣4，5）和（0，5）纵坐标相同，对称轴为．
所以，点（﹣5，10）和（m，10）也关于对称轴对称，
因此，
﹣5+m＝﹣4，
解得m＝1．
故答案为：1．
【点评】本题主要考查二次函数的图象与性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
4．（2024秋 凉州区校级期末）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0，a，b，c为常数）的图象如图，若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝m有实数根，则m的取值范围是 m≥﹣2　 ．
【分析】方程ax2+bx+c＝m有实数相当于y＝ax2+bx+c（a≠0）与直线y＝m有交点，结合图象可得出m的范围．
【解答】解：方程ax2+bx+c+m＝0有实数根，相当于y＝ax2+bx+c（a≠0）与直线y＝m有交点，
又图象最低点y＝﹣2，
∴m≥﹣2，
故答案为：m≥﹣2．
【点评】本题主要考查二次函数图象与一元二次方程的关系，掌握二次函数图象与x轴交点的个数与一元二次方程根的个数的关系是解题的关键．
5．（2025秋 广安校级月考）如图所示，在同一坐标系中，作出①y＝﹣3x2；②yx2；③y＝﹣x2的图象，则图象L1，L2，L3对应的函数解析式依次是 　①③②　 .（填序号）
【分析】抛物线的形状与|a|有关，根据|a|的大小即可确定抛物线的开口的宽窄．
【解答】解：①y＝﹣3x2，
②yx2，
③y＝﹣x2中，二次项系数a分别为﹣3、、﹣1，
∵|﹣3|＞|﹣1|＞||，
∴抛物线②yx2的开口最宽，抛物线①y＝﹣3x2的开口最窄．
∴图象L1，L2，L3对应的函数解析式依次是①③②．
故答案为：①③②．
【点评】本题考查了二次函数的图象，抛物线的开口大小由|a|决定，|a|越大，抛物线的开口越窄；|a|越小，抛物线的开口越宽．
6．（2026 榆树市一模）如图，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴相交于A（﹣1，0），B两点，对称轴是直线x＝1，顶点为C，对称轴与x轴交于点D，则CD的长为 　4　 ．
【分析】根据图象与x轴相交于A（﹣1，0），B两点，对称轴是直线x＝1，求出b＝2，c＝3，所以y＝﹣x2+2x+3，再求出顶点C的坐标为（1，4），即可得出答案．
【解答】解：∵图象与x轴相交于A（﹣1，0），B两点，对称轴是直线x＝1，
∴﹣1﹣b+c＝0，b＝2，
∴b＝2，c＝3，
∴y＝﹣x2+2x+3，
∴当x＝1时，y＝4，
∴顶点C的坐标为（1，4），
∴CD的长为4．
故答案为：4．
【点评】本题考查二次函数图象，解题的关键是掌握二次函数图象的性质，数形结合解决问题．
7．（2025秋 松江区期末）在画二次函数y＝x2+bx+c的图象时，列表如下：
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 …
y … 0 m n ﹣3 0 …
（1）直接写出b、c、m、n的值：
b＝　2　 ；c＝　﹣3　 ；m＝　﹣3　 ；n＝　﹣4　 ；
（2）在所给的平面直角坐标系xOy中，画出这个二次函数的大致图象，并描述图象的变化趋势．
【分析】（1）利用交点式写出解析式，变形后即可得到b、c，化成顶点式即可求得n，利用对称性可以求得m；
（2）描点、连线得到二次函数的图象，根据图象得出结论．
【解答】解：（1）当x＝﹣3和x＝1时，y＝0，
∴y＝（x+3）（x﹣1）＝x2+2x﹣3，
∴b＝2，c＝﹣3，
∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，
∴对称轴为直线x＝﹣1，顶点为（﹣1，﹣4），
∴n＝﹣4，
∴当x＝﹣2和x＝0时的函数值相同，为﹣3，
∴m＝﹣3；
故答案为：2，﹣3，﹣3，﹣4；
（2）描点、连线得到二次函数的图象如下：
观察图象可知，当x＞﹣1时，y随x的增大而增大，当x＜﹣1时，y随x的增大而减小，
【点评】本题考查了画二次函数的图象，二次函数的性质，解题的关键是数形结合．
【考点2】二次函数的性质（第8–17题）
对称轴公式 ；顶点坐标代入公式或配方法。
增减性 以对称轴为界，结合 的正负判断。
比较函数值 开口向上时，距对称轴越近值越小；开口向下时，距对称轴越近值越大。
区间最值 比较顶点处与区间端点处函数值，注意开口方向。
顶点在 轴上 判别式 。
8．（2026 成都模拟）二次函数y＝x2﹣bx+c的图象如图所示，对称轴为直线x＝2，下列说法正确的是（　　）
A．b＝2
B．当x＜3时，y随x的增大而增大
C．c＜﹣5
D．当c＝﹣4时，抛物线的顶点坐标为（2，﹣8）
【分析】由二次函数对称轴公式即可判断A选项，由二次函数的性质即可判断B选项，由图象可得当x＝﹣1时，y＞0，即可判断C选项，当c＝﹣4时，y＝x2﹣4x﹣4，结合二次函数的性质即可判断D选项．
【解答】解：由题意可得：，
∴b＝4，故A选项错误；
∵二次函数y＝x2﹣bx+c的图象开口向上，且对称轴为直线x＝2，
∴当x＞2时，y随x的增大而增大，故B选项错误；
由图象可得当x＝﹣1时，y＝（﹣1）2﹣4×（﹣1）+c＞0，
∴c＞﹣5，故C选项错误；
当c＝﹣4时，y＝x2﹣4x﹣4＝（x﹣2）2﹣8，此时抛物线的顶点坐标为（2，﹣8），故D选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查二次函数的性质，正确进行计算是解题关键．
9．（2026 南岗区四模）二次函数y＝（x﹣1）2+2图象的对称轴是（　　）
A．x＝1 B．x＝﹣1 C．x＝2 D．x＝﹣2
【分析】依据题意，由二次函数为y＝（x﹣1）2+2，从而结合二次函数的性质可以得解．
【解答】解：由题意，∵二次函数为y＝（x﹣1）2+2，
∴其对称轴是直线x＝1．
故选：A．
【点评】本题主要考查了二次函数的性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．
10．（2026 商洛二模）在平面直角坐标系中，点B（1﹣2a，y1），C（﹣1，y2）是抛物线y＝ax2﹣2ax（a≠0）上的两点，且y1＞y2，若在点B，C之间（含点B，C）的抛物线上存在两点M（x1，m），N（x2，n）（点M，N不重合），使得m＝n，则a的取值范围为（　　）
A．﹣1≤a＜0 B．﹣1＜a＜0 C．1≤a＜3 D．1＜a＜3
【分析】求出抛物线的对称轴，分a＞0和a＜0两种情况进行讨论求解即可．
【解答】解：平面直角坐标系中，点B（1﹣2a，y1），C（﹣1，y2）是抛物线y＝ax2﹣2ax（a≠0）上的两点，且y1＞y2
∵y＝ax2﹣2ax（a≠0），
∴对称轴为直线x＝1；
（ⅰ）当a＞0时，1﹣2a＜1，
∴点B（1﹣2a，y1）在对称轴左侧，抛物线开口向上，
∴当x＜1时，y随x的增大而减小，
∵﹣1＜1，
∴点C（﹣1，y2）也在对称轴左侧，如图答图①，
∵y1＞y2，
∴1﹣2a＜﹣1，
∴a＞1，
此时，在点B，C之间（含点B，C）的抛物线上不存在两点M（x1，m），N（x2，n），使得m＝n；（在对称轴同侧的两点不可能存在纵坐标相等的情况）
（ⅱ）当a＜0时，1﹣2a＞1，
∴点B（1﹣2a，y1）在对称轴右侧，抛物线开口向下，
∴当x＜1时，y随x的增大而增大，当x＞1时，y随x的增大而减小，
∵﹣1＜1，点C（﹣1，y2）在对称轴左侧，点C的对称点C′（3，y2）在对称轴右侧，如答图②，（关于抛物线对称轴对称的两点到对称轴的距离相等，且纵坐标相等）
∵y1＞y2，
∴1＜1﹣2a＜3，
∴﹣1＜a＜0，
此时，在点B，C之间的抛物线上存在关于对称轴对称的两点M（x1，m），N（x2，n），使得m＝n；
综上所述，a的取值范围为﹣1＜a＜0．（当点B，C位于对称轴异侧时，在抛物线上点B，C之间的部分关于对称轴对称的部分上的对应点均满足m＝n）
故选：B．
【点评】本题考查二次函数的性质，正确进行计算是解题关键．
11．（2026 兴庆区校级一模）关于抛物线y＝2x2﹣4x+1，下列说法中错误的是（　　）
A．抛物线开口向上
B．抛物线的对称轴是直线x＝1
C．抛物线的顶点坐标为（1，﹣1）
D．当x＞1时，y随x的增大而减小
【分析】依据题意，将一般式配方化为顶点式，再根据二次函数的性质逐一判断即可．
【解答】解：由题意得，y＝2x2﹣4x+1＝2（x2﹣2x）+1＝2（x﹣1）2﹣1，
∴抛物线开口向上，故A正确，不符合题意；
对称轴是直线x＝1，顶点坐标为（1，﹣1），故B，C正确，不符合题意，
∵抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，
∴当x＞1时，y随x的增大而增大，故D错误，符合题意，
故选：D．
【点评】本题考查二次函数的图象与性质，正确理解二次函数的性质是解题的关键．
12．（2026 白云区二模）二次函数y＝ax2+bx的图象如图所示，则一次函数y＝x﹣b的图象一定不经过（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】根据二次函数图象的开口方向、对称轴判断出a、b的正负情况，再由一次函数的性质解答．
【解答】解：由图象开口向下可知a＜0，b＞0，
∴﹣b＜0，
∴一次函数y＝x﹣b的图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限．
故选：B．
【点评】本题考查二次函数图象和一次函数图象的性质，解答本题的关键是求出a、b的正负情况，要掌握它们的性质才能灵活解题，此题难度不大．
13．（2026 灞桥区校级模拟）已知二次函数y＝mx2﹣4mx+3（m＜0），当﹣1≤x≤3时，2≤y≤n，则n的值为（　　）
A． B．3 C． D．
【分析】先确定二次函数的开口方向和对称轴，再根据二次函数性质判断给定区间内最小值和最大值的位置，利用最小值为2求出参数m，再计算最大值n即可
【解答】解：二次函数配方得：y＝mx2﹣4mx+3＝m（x﹣2）2+3﹣4m，
∵m＜0，
∴抛物线开口向下，
∵对称轴x＝2在区间﹣1≤x≤3内，开口向下的抛物线，离对称轴越远函数值越小，|3﹣2|＝1，|﹣1﹣2|＝3，
∴x＝﹣1处函数取得最小值，
∵﹣1≤x≤3时2≤y≤n，
∴x＝﹣1时，y＝2代入得 y＝m （﹣1）2﹣4m （﹣1）+3＝5m+3＝2，
解得 ，
∵开口向下的抛物线，顶点处取得最大值，即n为顶点的函数值，
∴顶点横坐标为x＝2，代入得：，
综上，当﹣1≤x≤3时，2≤y≤n，则n的值为．
故选：C．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
14．（2026 洛阳二模）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的图象如图所示，则一次函数y＝﹣bx+c的图象不经过（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】利用抛物线对称轴判断即可．
【解答】解：抛物线对称轴为直线x0，
∴﹣b＞0，c＞0，
∴一次函数y＝﹣bx+c的图象经过第一、二、三象限，
故不经过第四象限，
故选：D．
【点评】此题主要考查了二次函数的图象以及一次函数的图象，正确掌握相关图形的性质是解题关键．
15．（2026 上海校级模拟）沿着x轴正方向看，抛物线y＝﹣x2+2x在其对称轴右侧的部分是 　下降　 的．（填“上升”或“下降”）
【分析】根据二次函数的性质解答即可．
【解答】解：因为a＝﹣1＜0，
所以抛物线y＝﹣x2+2x在对称轴右侧部分是下降的，
故答案为：下降．
【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．
16．（2026 武汉二模）已知二次函数y＝x2+bx+c经过（m，1），（n，1），m＞n＞0．下列五个结论：
①b＜0；
②c＞1；
③若关于x的方程x2+bx+c＝0有两个相等的实数根，则m﹣n＝2；
④若（1，y1），（2，y2），（3，y3）在该函数图象上，y1＜y2＜y3，则m+n≥2；
⑤若关于x的方程|x2+bx+c|＝nx+m至少有三个实数根，且c的值是3，则m的最小值是6．
其中正确的是　①②③⑤　 （填写序号）．
【分析】①利用二次函数对称性，由两点（m，1）、（n，1）的对称轴，推出b＝﹣（m+n），结合m＞n＞0判断b的正负；②利用开口向上抛物线的增减性，由0＜n且均在对称轴左侧，可判断c的取值范围；③代入点坐标求出c＝mn+1，结合判别式Δ＝0化简得（m﹣n）2＝4，由m＞n得m﹣n＝2；④根据开口向上抛物线的增减性，y1＜y2＜y3可推出，进而求出m+n的取值范围；⑤根据题意可推出y＝﹣x2﹣bx﹣c与y＝nx+m的图象至少有一个公共点，将c＝3代入，通过判别式，解得m的最小值．
【解答】解：抛物线的对称轴为直线，
则b＝﹣（m+n），
由m＞n＞0，
可得b＜0，故①正确，符合题意；
抛物线与y轴交于点（0，c），二次函数的图象开口向上，且（0，c），（n，1）均在对称轴左侧，
由增减性可得c＞1，故②正确，符合题意；
由①得b＝﹣（m+n），
则二次函数y＝x2﹣（m+n）x+c，
由条件可得c＝mn+1，
由方程x2+bx+c＝0有两个相等的实数根，可得Δ＝[﹣（m+n）]2﹣4（mn+1）＝（m﹣n）2﹣4＝0，（m﹣n）2＝4，m﹣n＝±2，
又m﹣n＞0，则m﹣n＝2，故③正确，符合题意；
y＝x2+bx+c的图象开口向上，在对称轴右侧y随x的增大而增大，
若要y1＜y2＜y3，可分两种情况讨论：
当三点全在对称轴右侧，可得，解得m+n＜2，
当对称轴在（1，y1），（2，y2）之间且距离（1，y1）更近，可得，解得2≤m+n＜3，
综上，m+n＜3，故④错误，不符合题意；
若关于x的方程|x2+bx+c|＝nx+m 至少有三个实数根，
则x2+bx+c＝﹣（nx+m）必有实数根，
由①得b＝﹣（m+n）且c＝3，
可得x2﹣（m+n）x+3＝﹣（nx+m），即x2﹣mx+m+3＝0必有实数根，
则Δ＝（﹣m）2﹣4（m+3）≥0，解得m≤﹣2或m≥6，
由m＞n＞0，可得m≥6，m的最小值是6，故⑤正确，符合题意；
故答案为：①②③⑤．
【点评】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握该知识点是关键．
17．（2025秋 鼓楼区校级期末）二次函数y＝2x2﹣4x+3m的图象的顶点在x轴上，则m的值为 　　 ．
【分析】求出顶点（1，3m﹣2），再由题意可得3m﹣2＝0，即可求m的值．
【解答】解：∵y＝2x2﹣4x+3m＝2（x﹣1）2﹣2+3m，
∴顶点（1，3m﹣2），
∵顶点在x轴上，
∴3m﹣2＝0，
∴m，
故答案为：．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．
【考点3】图象与系数的关系（第18–24题）
符号判断 定开口， 与 定左右， 定上下。
特殊点法 令 、、 等，结合图象对应点位置判断 、、 的符号。
对称轴与系数 可建立 、 的数量关系（如 ）。
开口方向条件 若抛物线在对称轴右侧下降，则 。
18．（2026 凉山州）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是（　　）
A．abc＞0 B．b+4a＝0
C．5a+c＞0 D．当x＜﹣5或x＞1时，y＞0
【分析】观察图象可得a＞0，b＞0，c＜0，则可判断A选项；由图象可得对称轴为直线x＝﹣2，可判断B选项；由对称性质可得抛物线与x轴的右交点的横坐标为1，此时a+b+c＝0，可判断C选项；观察图象可知当x＜﹣5或x＞1时，y＞0，可判断D选项．
【解答】解：观察图象可得a＞0，b＞0，c＜0，
故abc＜0，则A选项错误；
由图象可得对称轴为直线x2，
故b＝4a，则B选项错误；
由对称性质可得抛物线与x轴的右交点的横坐标为2×（﹣2）﹣（﹣5）＝1，
此时a+b+c＝0，即a+4a+c＝0，
即5a+c＝0，则C选项错误；
观察图象可知当x＜﹣5或x＞1时，y＞0，则D选项正确，
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数的对称性质，增减性质，掌握二次函数与系数的关系并准确从图象中获取信息是解题关键．
19．（2026 西安模拟）如图，是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象，则下列由该二次函数的图象得出的结论：
①a+c＞1；
②2a＞b；
③a＝b；
④a﹣2b+c＜0．
其中正确的是（　　）
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
【分析】由二次函数的图象开口向上，与y轴交于正半轴而且在点（0，1）上方，可得a＞0，c＞1，进而可得a+c＞1，抛物线对称轴位置可得，从而判断②错误；进而可得③也错误，当x＝﹣1时，y＜0，即a﹣b+c＜0，即可判断④．
【解答】解：根据二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可得：
∵二次函数的图象开口向上，与y轴交于正半轴而且在点（0，1）上方，
∴a＞0，c＞1，
∴a+c＞1，故结论①正确；
根据抛物线对称轴位置可知：，
∴b＞2a，故结论②错误；
∵a＞0，
∴b＞2a＞a，故结论③错误；
由图象可得，当x＝﹣1时，y＜0，即a﹣b+c＜0，
∴a﹣b+c﹣b＜﹣b，即a﹣2b+c＜﹣b
又∵﹣b＜0，
∴故a﹣2b+c＜0，故结论④正确；
故选：D．
【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，正确进行计算是解题关键．
20．（2025秋 松江区期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示．那么下列结论正确的是（　　）
A．abc＜0 B．2a+b＝0 C．a﹣b+c＞0 D．a+b+c＞0
【分析】由抛物线开口方向得到a＞0，由抛物线与y轴的交点在x轴下方得到c＜0，由抛物线的对称轴在y轴的右侧，得到ab＜0，于是可对A进行判断；利用可对B进行判断；根据自变量为﹣1时函数值为正数可对C进行判断；根据自变量为1时函数值为负数可对D进行判断．
【解答】解：∵抛物线开口向上，与y轴的交点在x轴下方
∴a＞0，c＜0，
∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，
∴ab＜0，
∴abc＞0，故A错误；
∵，
∴2a+b≠0，故B错误；
∵x＝﹣1时，y＞0，
∴a﹣b+c＞0，故C正确；
∵x＝1时，y＜0，
∴a+b+c＜0，故D错误．
故选：C．
【点评】本题主要考查二次函数的图象和性质，掌握其性质是解题的关键．
21．（2026 沛县模拟）如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为直线x＝﹣1，且过点（﹣3，0），下列说法：①abc＜0；②2a﹣b＝0；③4a+2b+c＜0；④若（﹣5，y1），（2.5，y2）是抛物线上两点，则y1＞y2，其中说法正确的是（　　）
A．①②③ B．②③ C．①②④ D．①②③④
【分析】根据图象分别求出a、b、c的符号，即可判断①，根据对称轴求出b＝2a，代入2a﹣b即可判断②，把x＝2代入二次函数的解析式，再根据图象即可判断③，求出点（﹣5，y1）关于直线x＝﹣1的对称点的坐标，根据对称轴即可判断y1和y2的大小．
【解答】解：∵二次函数的图象开口向上，
∴a＞0，
∵二次函数的图象交y轴的负半轴于一点，
∴c＜0，
∵对称轴是直线x＝﹣1，
∴1，∴b＝2a＞0，
∴abc＜0，∴①正确；
∵b＝2a，
∴2a﹣b＝0，∴②正确；
把x＝2代入y＝ax2+bx+c得：y＝4a+2b+c，
从图象可知，当x＝2时y＞0，
即4a+2b+c＞0，∴③错误；
∵（﹣5，y1）关于直线x＝﹣1的对称点的坐标是（3，y1），
又∵当x＞﹣1时，y随x的增大而增大，3＜5，
∴y1＞y2，∴④正确；
即正确的有3个①②④．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的图象和系数的关系的应用，关键是注意：当a＞0时，二次函数的图象开口向上，当a＜0时，二次函数的图象开口向下．
22．（2025秋 石峰区期末）若抛物线y＝（m﹣3）x2﹣2的开口向上，则m的取值范围是m＞3　 ．
【分析】根据二次函数的性质，当二次项系数大于零时，抛物线开口向上．
【解答】解：由题意可得：m﹣3＞0，
∴m＞3．
故答案为：m＞3．
【点评】本题考查的是二次函数的性质，正确进行计算是解题关键．
23．（2025秋 桓台县期末）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，现有以下结论：
①abc＞0；
②a+b+c＞0；
③a﹣b+c＜0；
④3a+c＞0．
其中正确的结论有　②③④　 （填序号）．
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解答】解：①∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
又∵对称轴，
∴b＝2a＞0，
∵抛物线与y轴交于负半轴，
∴c＜0，
∴abc＜0，故①错误，不符合题意；
②根据图示知，当x＝1时，y＞0，即a+b+c＞0，故②正确，符合题意；
③根据图示知，当x＝﹣1时，y＜0，即a﹣b+c＜0，故③正确，符合题意；
④∵a+b+c＞0，b＝2a，
∴a+2a+c＝3a+c＞0，故④正确，符合题意；
故答案为：②③④．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴求2a与b的关系，以及数形结合思想的运用．
24．（2025秋 包河区期末）抛物线y＝（2k﹣1）x2+3在对称轴的右侧下降，那么k的取值范围是k　 ．
【分析】根据抛物线y＝（2k﹣1）x2+3在对称轴的右侧下降，可知二次函数的开口向下，据此列出关于k的不等式，求出k的取值范围即可．
【解答】解：∵抛物线y＝（2k﹣1）x2+3在对称轴的右侧下降，
∴抛物线开口向下，
∴2k﹣1＜0，
解得k．
故答案为：k．
【点评】本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），当a＜0时，抛物线的开口向下，在对称轴的右侧y随x的增大而减小是解答此题的关键．
【考点4】点的坐标特征（第25–35题）
代入法 将点坐标代入解析式求参数或比较函数值。
对称性 若 ，则对称轴 。
距离比较法 计算点到对称轴的水平距离，结合开口方向判断纵坐标大小。
参数范围 利用不等式组确定 或 的取值范围。
新定义（如“偶点”） 根据定义列方程组，变形消元转化为直线与抛物线的交点问题。
25．（2026春 长宁区校级月考）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＝0）过点A（2，1）、B（3，1）和C（4，2），那么a+b+c的值是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】点A（2，1）和B（3，1）纵坐标相同，因此抛物线的对称轴是这两点横坐标的中点，用顶点式设抛物线方程，代入点A和C求出参数，再展开为一般式计算a+b+c．
【解答】解：∵抛物线过点A（2，1）、B（3，1），两点纵坐标相等，
∴对称轴为：x，
设抛物线的顶点式为：y＝ak（a≠0）．
将点A（2，1），场（4，2）代入，得方程组：
，
化简：
，
两式相减，得：
2a＝1，a，
将a代入a+k＝1，得：
k＝1，
k，
将顶点式展开：
y，
（x2﹣5x）
x2x
x2x+4
∴a，b，c＝4，
∴a+b+c4＝2．
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数的对称性和顶点式的应用．熟练利用对称性确定对称轴，再用顶点式求解，是简化计算的关键．
26．（2025秋 静安区期末）已知点A（﹣1，y1），B（4，y2），C（6，y3）在抛物线y＝﹣3x2+12x﹣m（其中，m为常数）上，那么y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y1＜y2 C．y2＜y1＜y3 D．y3＜y2＜y1
【分析】判断抛物线上点的纵坐标大小，核心是先确定抛物线的开口方向和对称轴，再根据点到对称轴的水平距离判断．
【解答】解：已知抛物线y＝﹣3x2+12x﹣m，
二次项系数﹣3＜0，抛物线开口向下，对称轴处取最大值，
点到对称轴距离越近，y值越大，二次函数对称轴公式x，
其中a＝﹣3，b＝12，对称轴为直线x＝2，
各个点到对称轴的距离：
点A：|﹣1﹣2|＝3，
点B：|4﹣2|＝2，
点C：|6﹣2|＝4，
又开口向下，距离越小，y越大，
∵2＜3＜4，
故y2＞y1＞y3，
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质，能熟记二次函数的性质是解此题的关键．
27．（2026 钱塘区三模）已知抛物线y＝ax2﹣2ax+1（a＞0）经过点（p+1，m），（p﹣1，n）．若0＜p＜1，则下列判断正确的是（　　）
A．m＜1＜n B．n＜1＜m C．m＜n＜1 D．n＜m＜1
【分析】根据题意得出抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，根据点到对称轴的距离的远近即可判断m＜1＜n．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2﹣2ax+1（a＞0），
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x1，
∵x＝0时，y＝1，
∴抛物线y＝ax2﹣2ax+1（a＞0）经过点（0，1），
∵抛物线y＝ax2﹣2ax+1（a＞0）经过点（p+1，m），（p﹣1，n），且0＜p＜1，
∴﹣1＜p﹣1＜0，
∴﹣2＜p﹣2＜﹣1，
∴点（p﹣1，n）到对称轴的距离最远，点（p+1，m）到对称轴的距离最近，
∴m＜1＜n，
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，能够理解题意，得出抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1是解题的关键．
28．（2026 石狮市模拟）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的图象过点（1，m），（2，c），（3，n），则下列判断正确的是（　　）
A．若c＞m，则n＞m B．若c＞m，则n＜m
C．若c＜m，则n＞m D．若c＜m，则c＜n
【分析】根据题意和二次函数的性质，可以判断各个选项中的结论是正确，然后即可判断哪个选项符合题意．
【解答】解：∵当x＝0时，y＝c；二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的图象过点（2，c），
∴该函数图象的对称轴为直线x1，
当c＞m时，该函数图象开口向上，n＞m，故选项A正确，选项B错误；
当c＜m时，该函数图象开口向下，n＜m，故选项C错误；
当c＜m时，2﹣1＝1，3﹣1＝2，则c＞n，故选项D错误；
故选：A．
【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
29．（2026春 浦东新区校级期中）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分对应值如表：
x … ﹣3 ﹣2 0 1 3 5 …
y … 7 0 ﹣8 ﹣9 ﹣5 7 …
则当x＝2时对应的函数值y＝　﹣8　 ．
【分析】根据表格中的数据可以得到该函数图象的对称轴，再根据二次函数具有对称性，即可得到x＝2对应的函数值．
【解答】解：由表格可得，
当x＝﹣3时，y＝7，当x＝5时，y＝7，
∴该函数图象的对称轴为直线x1，
∴当x＝2和x＝0对应的函数值相等，
∵x＝0时，y＝﹣8，
∴x＝2时，y＝﹣8，
故答案为：﹣8．
【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
30．（2025秋 静安区期末）二次函数y＝（x﹣2）2+2的图象与y轴交点坐标是　（0，6）　 ．
【分析】根据所给的表达式可得出抛物线的交点坐标，据此可解决问题．
【解答】解：∵二次函数y＝（x﹣2）2+2，
当x＝0时，y＝6，
∴函数图象与y轴交点坐标为（0，6），
故答案为：（0，6）．
【点评】本题考查二次函数的性质，能根据所给表达式得出交点坐标是解题的关键．
31．（2025秋 崇明区期末）已知点A（﹣1，y1）、B（﹣3，y2）为二次函数y＝﹣（x﹣1）2+k图象上的两点，那么y1　＞　 y2（填“＞”、“＝”或“＜”）．
【分析】利用开口方向和对称轴判断函数值的大小关系．
【解答】解：二次函数的开口向下，对称轴为直线x＝1，开口向下时，点离对称轴越近，函数值越大，
点A（﹣1，y1）到对称轴的距离为|﹣1﹣1|＝2，点B（﹣3，y2）到对称轴的距离为|﹣3﹣1|＝4．
∵且2＜4，
∴y1＞y2．
故答案为：＞．
【点评】本题考查二次函数的性质，关键是利用开口方向和对称轴判断函数值的大小关系．
32．（2026 长宁区二模）在直角坐标平面内，如果存在正整数n和常数k，使得点A（x，y）满足x2＝﹣ny+k，y2＝nx+k，其中x+y≠0，那么称点A为“n﹣优点”．比如当n＝2，k＝12时，点B（2，4）为“2﹣优点”（这是因为满足22＝﹣2×4+12，42＝2×2+12，2+4≠0）．已知点C在抛物线y＝﹣x2﹣3x+2038上，且它还是“2026﹣优点”，那么点C的坐标是　（2，2028）或（﹣6，2020）　 ．
【分析】先根据“2026﹣优点”的定义，将两式相减求出x+y＝2026，再结合抛物线方程联立求解点C的坐标．
【解答】解：已知点C（x，y）是“2026﹣优点”，满足：
，
两式相减得：
x2﹣y2＝﹣2026y+2026x，
（x﹣y）（x+y）＝﹣2026（x+y），
∵x+y≠0，两边同除以x+y得：
x﹣y＝﹣2026，
∴y＝x+2026，
又点C在抛物线y＝﹣x2﹣3x+2038上，代入得：
x+2026﹣x＝﹣x2﹣3x+2038，
整理得：
x2+4x﹣12＝0，
解得：
（x+6）（x﹣2）＝0，
解得x1＝2，x2＝﹣6
对应y值：
当x＝2时，y＝2+2026＝2028，此时x+y＝2023≠0，符合条件；
当x＝﹣6时，y＝﹣6+2026＝2020，此时x+y＝2014≠0，符合条件．
故答案为：（2，2028）或（﹣6，2020）．
【点评】本题考查自定义概念与二次函数的综合应用，熟练掌握定义式的变形化简、解一元二次方程的方法是解题的关键．
33．（2026 金牛区校级模拟）新定义：若存在常数k，使得点P（x，y）满足x2＝﹣2y+k，y2＝2x+k（x+y≠0），则称点P为“偶点”．若A（a，16）是“偶点”，则a＝ 　14　 ；若抛物线（﹣1≤x≤4）上至少存在一个“偶点”，则c的取值范围为 　﹣1≤c　 ．
【分析】根据A（a，16）是“偶点”，根据“偶点”定义，点P（x，y）满足x2＝﹣2y+k，y2＝2x+k（x+y≠0），将x＝a，y＝16代入解方程组得到a＝14．由x2＝﹣2y+k，y2＝2x+k，两式相减得：x2﹣y2＝﹣2y﹣2x，求得y＝x+2，得到“偶点”P（x，y）在直线y＝x+2上，求得抛物线上至少存在一个“偶点”，即直线y＝x+2与抛物线y＝﹣3x2+4x+c（﹣1≤x≤4）在﹣1≤x≤内有交点，将y＝x+2代入抛物线方程得得到，设，﹣1≤x≤4，这是一个函数，对称轴为，当x＝2时，当x＝﹣1时，当x＝4时，求得f（x）在﹣1≤x≤4的最小值为﹣1，最大值为，于是得到结论．
【解答】解：已知A（a，16）是“偶点”，根据“偶点”定义，点P（x，y）满足x2＝﹣2y+k，y2＝2x+k（x+y≠0），
将x＝a，y＝16代入可得：，
解得a＝14或a＝﹣16，
∵x+y≠0，当a＝﹣16时，x+y＝﹣16+16＝0，不符合条件，舍去，
∴a＝14．
由x2＝﹣2y+k，y2＝2x+k，两式相减得：x2﹣y2＝﹣2y﹣2x，
∴（x﹣y）（x+y）+2（x+y）＝0，
即（x+y）（x﹣y+2）＝0，
∵x+y≠0，
∴x﹣y+2＝0，即y＝x+2，
∴“偶点”P（x，y）在直线y＝x+2上，
∴抛物线上至少存在一个“偶点”，
即直线y＝x+2与抛物线y＝﹣3x2+4x+c（﹣1≤x≤4）在﹣1≤x≤4内有交点，
将y＝x+2代入抛物线方程得：，
整理得，
设，﹣1≤x≤4，这是一个函数，对称轴为，
当x＝2时，；
当x＝﹣1时，f（﹣1）（﹣1）2﹣3×（﹣1）+2，
当x＝4时，f（4）42﹣3×4+2＝2．
∴f（x）在﹣1≤x≤4的最小值为﹣1，最大值为，
∵x+y≠0，
∴x≠﹣1，
∴c的取值范围是﹣1≤c．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，正确地理解题意是解题的关键．
34．（2026春 五华区校级期中）琪琪根据学习函数的经验，对函数y＝x|x﹣2|﹣3的图象与性质进行了探究．
下面是琪琪的探究过程，请补充完整：
（1）下表是x与y的几组对应值．请直接写出：m＝　﹣6　 ，n＝　5　 ；
x … ﹣1 0 1 2 3 4 …
y … m ﹣3 ﹣2 ﹣3 0 n …
（2）如图所示，在平面直角坐标系中，描出上表中的点，然后用平滑的曲线连接起来，画出函数的图象；
（3）由图象可知，当y＝﹣2.7时，对应的自变量有　3　 个值．
【分析】（1）依据题意，由函数为y＝x|x﹣2|﹣3，则当x＝﹣1时，y＝m＝﹣1×3﹣3＝﹣6；当x＝4时，y＝n＝4×2﹣3＝5，进而可以判断得解；
（2）依据题意，根据表格数据可以作图得解；
（3）依据题意，结合图象，令y＝﹣2.7，从而直线y＝﹣2.7与函数图象有三个交点，进而可以判断得解．
【解答】解：（1）由题意，∵函数为y＝x|x﹣2|﹣3，
∴当x＝﹣1时，y＝m＝﹣1×3﹣3＝﹣6；当x＝4时，y＝n＝4×2﹣3＝5．
故答案为：﹣6；5．
（2）由题意，作出函数的图象如下．
（3）由题意，结合图象，令y＝﹣2.7，
∴直线y＝﹣2.7与函数图象有三个交点．
∴当y＝﹣2.7时，对应的自变量有3个值．
故答案为：3．
【点评】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．
35．（2025秋 山东月考）抛物线：y＝bx2+6x+d经过点（0，3），（﹣2，﹣1）．
（1）求b，d的值；
（2）点A（n，y1），B（n﹣3，y2）均在抛物线y＝bx2+6x+d上．
①若y1＝y2，求n的值；
②若n≤﹣1，写出y1与y2的大小关系，并说明理由．
【分析】（1）将点（0，3），（﹣2，﹣1）代入y＝bx2+6x+d计算即可求出b，d的值；
（2）①将点代入二次函数解析式，根据等式关系，求解即可；②先算出二次函数的对称轴，再求出点A，B到对称轴的距离，最后根据二次函数的增减性求解即可．
【解答】解：（1）由条件可得，
把d＝3代入4b﹣12+d＝﹣1，
得：4b﹣12+3＝﹣1，
∴4b﹣9＝﹣1，
∴4b＝8，
∴b＝2．
把b＝2代入4b﹣12+d＝﹣1中，
∴d＝3．
故b＝2，d＝3．
（2）①由（1）得抛物线为y＝2x2+6x+3
∵y1＝y2，
∴2n2+6n+3＝2（n﹣3）2+6（n﹣3）+3，
2n2+6n+3＝2（n2﹣6n+9）+6n﹣18+3，
2n2+6n+3＝2n2﹣12n+18+6n﹣18+3，
2n2+6n+3＝2n2﹣6n+3，
6n＝﹣6n，
12n＝0，
n＝0．
②∵抛物线y＝2x2+6x+3，
∴对称轴为．
∵n≤﹣1，
∴n﹣3≤﹣4，
∴点A（n，y1）在B（n﹣3，y2）的右边．
当时，；
当x＝﹣1时，y＝﹣1；
当x＝﹣4时，y＝11；
∵抛物线y＝2x2+6x+3开口向上，
∴在对称轴的左边，y随x的增大而减小，在对称轴的右边，y随x的增大而增大．
①当时，
，y2≥11，
∴y1＜y2．
②当时，
已知抛物线开口向上，在对称轴的左边，y随x的增大而减小，
又∵n＞n﹣3，
∴y1＜y2．
∴综上所述：y1＜y2．
【点评】本题主要考查了二次函数的待定系数法、二次函数图象与性质，熟练掌握二次函数图象与性质是解题的关键．
【创新及压轴题】（第36–38题）
绝对值函数 分段讨论，去绝对值符号，画出分段图象，利用图象交点解决根个数问题。
“可控变点” 根据定义分段表示解析式，转化为分段函数与水平线的交点问题，注意取值范围。
对称性与取值范围 利用对称轴和开口方向，将条件转化为不等式，求解参数范围。
36．（2026 西湖区二模）在平面直角坐标系中，设二次函数y＝（x﹣m）（x﹣m﹣4）（m为常数），已知函数图象的对称轴为直线x＝1，点P（x1，y1），Q（x2，y2）都在函数图象上x1＜x2．
（1）求二次函数的解析式及顶点坐标．
（2）当x1≤0，始终有y2＜y1，直接写出x2的取值范围．
（3）若点M（x3，y3）在一次函数y＝﹣x﹣1的图象上，过点M的直线l平行于x轴，且与二次函数的图象交于点P，Q，若x1＜x3＜x2，求x1+x2+x3的取值范围．
【分析】（1）依据题意，可得y＝（x﹣m）（x﹣m﹣4）＝x2﹣（2m+4）x+（m2+4m），从而对称轴为直线，结合对称轴为直线x＝1，则m+2＝1，故m＝﹣1，从而y＝（x+1）（x﹣3）＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，即可得解；
（2）依据题意，由函数为y＝（x﹣1）2﹣4，则开口向上，对称轴为直线x＝1，结合当x1≤0时，要使得对任意x1≤0都有y2＜y1，故y2小于y1的最小值，又当x≤1时，y随x的增大而减小，且x1≤0，则当x1＝0时，y1取最小值，最小值为﹣3，可得y2＜﹣3，从而2x2﹣3＜﹣3，即x2（x2﹣2）＜0，进而可以得解；
（3）依据题意，设直线l：y＝y3与抛物线交于P（x1，y3）、Q（x2，y3），由对称性可得，x1+x2＝2，由点M（x3，y3）在y＝﹣x﹣1上，可得y3＝﹣x3﹣1，结合，从而，则，又x1＜x3＜x2且x1＜x2，由x2＝2﹣x1，进而列出关系式计算可以得解．
【解答】解：（1）y＝（x﹣m）（x﹣m﹣4）＝x2﹣（2m+4）x+（m2+4m），
∴对称轴为直线，
又∵对称轴为直线x＝1，
∴m+2＝1，得m＝﹣1．
∴y＝（x+1）（x﹣3）＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴顶点为（1，﹣4）；
（2）由题意，∵函数为y＝（x﹣1）2﹣4，
∴开口向上，对称轴为直线x＝1．
当x1≤0时，要使得对任意x1≤0都有y2＜y1，
∴y2小于y1的最小值，
∵当x≤1时，y随x的增大而减小，且x1≤0，
∴当x1＝0时，y1取最小值，最小值为﹣3．
∴y2＜﹣3，
∴2x2﹣3＜﹣3，即x2（x2﹣2）＜0．
∴0＜x2＜2；
（3）根据题意，直线l的方程为y＝y3，
∵P（x1，y1），Q（x2，y2）在直线l上，
∴y1＝y2＝y3，
∴点P、Q关于直线x＝1对称，
∴x1+x2＝2，
∵M（x3，y3）在一次函数y＝﹣x﹣1的图象上，
∴y3＝﹣x3﹣1，
又∵，
∴，
则，
∵x1+x2＝2，
∴x2＝2﹣x1，
∵x1＜x2，
∴x1＜2﹣x1，
∴x1＜1，
∵x1＜x3＜x2，
∴x3＞x1，x3＜x2，
∴，即，
解得：﹣1＜x1＜2，
∵x3＜x2，
∴，
即，
解得：x1＜0或x1＞3，
∴﹣1＜x1＜0，
∵，
∴﹣1＜x3＜2，
∵x1+x2＝2，
∴x1+x2+x3＝2+x3，
∵﹣1＜xy＜2，
∴1＜2+x3＜4，
即1＜x1+x2+x3＜4．
【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．
37．（2026 玄武区一模）初三年级某班成立了数学学习兴趣小组，该小组对函数y＝|x2﹣1|的图象和性质进行探究，过程如下，请你补充完整．
（1）①列表：下表是x，y的几组对应值，其中m＝　　 ，n＝　　 ；
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 …
y … 3 0 m 1 n 0 3 …
②描点：根据表中的数值描点（x，y），请补充描出点（，m），（，n）；
③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，请把图象补充完整．
（2）请你观察图象，直接写出当x在什么范围内时，y随x的增大而增大？　﹣1＜x＜0或x＞1　 ．
（3）除了上述增减性，请你再写出两条该函数的图象特征或性质：①　函数图象是轴对称图形　 ；②　函数值y都是非负数　 ．
（4）点（m，a）与（n，b）在函数图象上，且|n|＜|m|＜1，则a与b的大小关系是a＜b ．
【分析】（1）①把代入解析式可得m的值，同理可得n的值；②根据m，n的值描点即可；③用平滑的曲线顺次连接各点即可画出图象；
（2）由函数的图象即可得出答案；
（3）观察函数图象，即可得到两条该函数的图象特征或性质；
（4）由|n|＜|m|＜1可得1＞|n2﹣1|＞|m2﹣1|＞0，即可得出答案．
【解答】解：（1）①∵y＝|x2﹣1|，
∴当时，；
当时，；
故答案为：，；
②补充点如图：
③用平滑的曲线顺次连接各点，把图象补充完整如图：
（2）由图象可知：当﹣1＜x＜0或x＞1时，y随x的增大而增大．
故答案为：﹣1＜x＜0或x＞1．
（3）由函数图象可知：①函数图象是轴对称图形；②函数值y都是非负数．
故答案为：①函数图象是轴对称图形；②函数值y都是非负数．
（4）∵|n|＜|m|＜1，
∴0＜n2＜m2＜1，
∴﹣1＜n2﹣1＜m2﹣1＜0，
∴1＞|n2﹣1|＞|m2﹣1|＞0，
∵点（m，a）与（n，b）在函数图象上，
∴a＝|m2﹣1|，b＝|n2﹣1|，
∴a＜b．
故答案为：a＜b．
【点评】本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是掌握描点法画出函数的图象，利用数形结合解决问题．
38．（2024秋 门头沟区校级期中）在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y）和Q（x，y'），给出如下定义：若y'，则称点Q为点P的“可控变点”．
例如：点（1，2）的“可控变点”为点（1，2），点（﹣1，3）的“可控变点”为点（﹣1，﹣3）．
（1）点（﹣5，﹣2）的“可控变点”坐标为　　 　（﹣5，2）　 ；
（2）若点P在函数y＝﹣x2+16的图象上，其“可控变点”Q的纵坐标y′是7，求“可控变点”Q的横坐标；
（3）若点P在函数y＝﹣x2+16（﹣5≤x≤a）的图象上，其“可控变点”Q的纵坐标y′的取值范围是﹣16＜y′≤16，求实数a的取值范围．
【分析】（1）根据定义直接解答即可；
（2）根据定义，可得函数解析式，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案；
（3）根据定义，可得函数解析式，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案．
【解答】解：（1）∵﹣5＜0，
∴y'＝﹣y＝2，
∴点（﹣5，﹣2）的“可控变点”坐标为（﹣5，2），
故答案为：（﹣5，2）；
（2）依题意，y＝﹣x2+16图象上的点P的“可控变点”必在函数的图象上．
∵“可控变点”Q的纵坐标y′是7，
∴当﹣x2+16＝7时，解得x＝3；
当x2﹣16＝7，解得x；
综上所述“可控变点”Q的横坐标为或3；
（3）依题意，y＝﹣x2+16图象上的点P的“可控变点”必在函数的图象上，
∵﹣16＜y'≤16，x＝a时y＝﹣16
∴﹣a2+16＝﹣16，a，a≥0
∴0≤a，
当x＝﹣5时，x2﹣16＝9，x＜0
∴a的取值范围是：．
【点评】本题考查的是新定义题型，根据可控变点的定义，可得函数解析式，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案．
随堂检测 · 精选练习
练习1 — 比较二次项系数 的大小与开口宽窄的关系（ 越大开口越窄）。
练习2 — 新定义“和谐”与“美好”函数，结合 、 判断对称轴 。
练习3 — 由二次函数不等式确定对称轴，利用距离比较法求参数 的范围。
练习4 — 根据对称轴和开口方向，判断 、、 等代数式的符号。
练习5 — 利用对称轴 及待定系数法，求 的值。
检测重点：熟练运用对称轴公式，掌握系数与图象位置的对应关系，灵活应用数形结合思想。
【练习1】（2025秋 安阳月考）已知三个二次函数的图象如图所示，那么a1，a2，a3的大小关系是 a2＞a3＞a1 ．（请用“＞”连接）
【分析】画出直线x＝1与三条抛物线的交点，再结合图形即可解决问题．
【解答】解：作直线x＝1，与三条抛物线分别交于点A，B，C，
则点A坐标为（1，a2），点B坐标为（1，a3），点C坐标为（1，a1）．
由图象可知，
点A在点B的上方，点B在点C的上方，
所以a2＞a3＞a1．
故答案为：a2＞a3＞a1．
【点评】本题主要考查了二次函数的图象，熟知二次函数的图象与性质是解题的关键．
【练习2】（2026 闵行区三模）定义：如果二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）满足a+b+c＝0，那么我们称这个函数为“和谐”函数；如果二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）满足a﹣b+c＝0，那么我们称这个函数为“美好”函数；如果一个二次函数既是“和谐”函数又是“美好”函数，那么这个二次函数图象的对称轴为　直线x＝0　 ．
【分析】根据题意可得，然后即可得到a+c＝0，b＝0，再求出二次函数的对称轴即可．
【解答】解：由题意可得，
，
由上可得a+c＝0，b＝0，
∴二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x0，
故答案为：直线x＝0．
【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数的图象、新定义，解答本题的关键是明确二次函数图象的对称轴公式．
【练习3】（2026 常州模拟）已知抛物线y＝ax2+bx+c，对任意的自变量x都有ax2+bx≥4a+2b，若该抛物线过点A（4﹣m，y1），B（m+1，y2），且y1＜y2，则m的取值范围是 m　 ．
【分析】根据题意可判断出抛物线的对称轴，开口方向，再由y1＜y2，可得|4﹣m﹣2|＜|m+1﹣2|，化简即可解答．
【解答】解：∵ax2+bx＞4a+2b，
可知当x＝2时，ax2+bx＝4a+2b，
ax2+bx+c＞4a+2b+c，
∴当x＝2时，抛物线函数值最小，
∴x＝2是对称轴，a＞0，开口向上，
∵y1＜y2，
∴|4﹣m﹣2|＜|m+1﹣2|，
∴|2﹣m|＜|m﹣1|
∴（2﹣m）2＜（m﹣1）2，
∴m2﹣4m+4＜m2﹣2m+1，
∴﹣2m＜﹣3，
∴．
故答案为：m．
【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是判断出抛物线的对称轴及开口方向．
【练习4】（2025秋 冷水滩区期末）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数）的图象关于直线x＝﹣1对称，则下列五个结论：①abc＞0；②2a﹣b＝0；③9a﹣3b+c＞0；④a（m2﹣1）+b（m+1）≤0（m为任意实数）．其中正确的有　①②④　 .（请填写所有正确的序号）
【分析】根据所给二次函数的图象，结合二次函数的性质对所给结论依次进行判断即可．
【解答】解：由所给函数图象可知，
a＜0，b＜0，c＞0，
所以abc＞0．
故①正确；
因为抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
所以，
即2a﹣b＝0．
故②正确；
因为抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
所以x＝1时的函数值与x＝﹣3时的函数值相等，
则当x＝﹣3时函数值小于零，
所以9a﹣3b+c＜0．
故③错误；
因为抛物线的对称轴为直线x＝﹣1且开口向下，
所以当x＝﹣1时，函数的最大值为a﹣b+c，
则对于任意实数m，
总有am2+bm+c≤a﹣b+c，
即a（m2﹣1）+b（m+1）≤0．
故④正确．
故答案为：①②④．
【点评】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系及二次函数的性质，熟知二次函数的图象与性质是解题的关键．
【练习5】（2026 广宁县二模）若二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（1，2c）和点（2，2c），则的值为　　 ．
【分析】根据对称轴可知a，b的关系式，进而即可求解．
【解答】解：由条件可知抛物线的对称轴为直线，
即，
解得b＝﹣3a，
将点（1，2c）代入二次函数得a+b+c＝a﹣3a+c＝2c，
∴．
故答案为：．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握该知识点是关键．
课后巩固 · 针对性练习
作业1 — 一次函数与二次函数图象共存（联立无交点，系数符号匹配）。
作业2–3 — 配方法求顶点、对称轴，判断增减区间（， 递减）。
作业4–6 — 根据图象判断 、、 的符号（特殊点法）。
作业7–8 — 利用对称性比较函数值大小，求参数范围（如 的可能值）。
作业9–11 — 方程 的根与图象交点关系，判别式应用。
作业12 — 新定义“偶点”综合：消元转化为直线与抛物线交点，求 的范围。
作业13 — 利用中点比较法，由函数值大小关系求参数 的取值范围。
作业14 — 根据表格数据求解析式，判断增减区间。
作业15 — 待定系数法求 ，利用距离比较法比较 、 大小。
作业16 — 二次函数与一次函数上下关系，利用最值差求参数 的范围。
复习建议：重点掌握配方法化顶点式，熟记对称轴与顶点公式，理解 、、 对图象位置的影响，强化数形结合解决综合问题的能力。
【作业1】（2026 芜湖模拟）在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx与一次函数y＝bx﹣a的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】先确定一次函数与二次函数图象无交点，且二次函数过原点，即可判断B，D选项，进而根据图形中给出的一次函数图象确定a、b的符号，进而运用二次函数的性质判断图形中给出的二次函数的图象是否符合题意，根据选项逐一讨论即可解决问题．
【解答】解：联立二次函数y＝ax2+bx与一次函数y＝bx﹣a，
消去y得，ax2+a＝0，
∴Δ＝﹣4a2＜0，即一次函数与二次函数图象无交点，故B不正确；
令ax2+bx＝0，
解得：x1＝0，，
∴二次函数y＝ax2+bx与x轴的交点坐标为（0，0）或，故D不正确，不符合题意；
A．抛物线开口向上，对称轴在y轴的右侧，则a＞0，b＜0，一次函数图象经过一、三、四象限，则b＞0，﹣a＜0，即a＞0，b＞0，矛盾，故不正确，不符合题意；
C．抛物线开口向上，对称轴在y轴的右侧，则a＞0，b＜0，一次函数图象经过二、三、四象限，则b＜0，﹣a＜0，即a＞0，b＜0，故正确，符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查二次函数的图象，一次函数的图象，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
【作业2】（2025秋 湖南校级期末）已知二次函数y＝2x2﹣12x+19，下列说法正确的有（　　）
A．其图象的开口向下
B．其图象的对称轴为直线x＝﹣3
C．其图象顶点坐标为（3，﹣1）
D．当x＜3时，y随x的增大而减小
【分析】利用二次函数一般式y＝ax2+bx+c（a≠0）的性质，判断开口方向、对称轴、顶点坐标及增减性即可．
【解答】解：∵二次函数y＝2x2﹣12x+19中，a＝2，b＝﹣12，c＝19，
∵a＝2＞0，
∴图象开口向上，故A错误，不符合题意；
∵对称轴公式为直线，
∴代入得，故B错误，不符合题意；
将x＝3代入函数解析式，
∴y＝2×32﹣12×3+19＝18﹣36+19＝1，即顶点坐标为（3，1），故C错误，不符合题意；
∵a＞0，开口向上，对称轴为直线x＝3，
∴当x＜3时，y随x的增大而减小，故D正确，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查二次函数的性质，熟练掌握该知识点是关键．
【作业3】（2026 从化区二模）抛物线y＝x2﹣2x+3的顶点坐标是（　　）
A．（1，2） B．（1，﹣2） C．（﹣1，2） D．（﹣1，﹣2）
【分析】已知抛物线的解析式是一般式，用配方法转化为顶点式，根据顶点式的坐标特点，直接写出顶点坐标．
【解答】解：∵y＝x2﹣2x+3＝x2﹣2x+1﹣1+3＝（x﹣1）2+2，
∴抛物线y＝x2﹣2x+3的顶点坐标是（1，2）．
故选：A．
【点评】此题考查了二次函数的性质，二次函数y＝a（x﹣h）2+k的顶点坐标为（h，k），对称轴为x＝h，此题还考查了配方法求顶点式．
【作业4】（2026 监利市二模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论中，正确的是（　　）
A． B．3a+b＞0 C．2a+b＜0 D．a﹣b+c＜0
【分析】根据所给图象结合二次函数的图象及性质进行判断即可．
【解答】解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵与y轴交点在x轴下方，
∴c＜0，
∴，A错误；
∵对称轴在y轴右侧，抛物线与x轴的交点一个在y轴左侧，一个在y轴右侧，
∴，
∴2a+b＞0，C错误；
∵a＞0，
∴3a+b＞0，B正确；
当x＝﹣1时，y＞0，
∴a﹣b+c＞0，D错误；
故选：B．
【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
【作业5】（2026 邹城市二模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①2a+b＝0；②a﹣b+c＜0；③4a+2b+c＞0；④am2+bm＞a+b（m≠1），其中正确的是（　　）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
【分析】根据二次函数的图象与性质，结合对称轴、特殊点的函数值及最值性质逐项判断即可．
【解答】解：已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，
由图象可知，抛物线开口向下，则a＜0；
∵对称轴为直线x＝1，
∴，即2a+b＝0，故①正确；
∵当x＝﹣1时，图象在x轴下方，
∴y＝a﹣b+c＜0，故②正确；
∵对称轴为直线x＝1，
∴x＝2与x＝0时的函数值相等，
∵当x＝0时，y＝c＞0，
∴当x＝2时，y＝4a+2b+c＞0，故③正确；
∵抛物线开口向下，
∴当x＝1时，函数取得最大值y＝a+b+c，
∴当m≠1时，am2+bm+c＜a+b+c，即am2+bm＜a+b，故④错误．
故选：A．
【点评】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数图象开口方向、对称轴、特殊点坐标与系数关系是解答的关键．
【作业6】（2026 雁塔区校级模拟）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c图象的对称轴为直线x＝1，有下列结论：①abc＞0；②当x＜2时，y的值随x值的增大而增大；③对于任意实数m，都有am2+bm﹣a﹣b≤0；④8a+c＞0．其中正确的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】由抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与y轴交点位置可判断①；利用二次函数的性质可判断②；由x＝1时y取最大值可判断③；由x＝﹣2时y＞0可判断④．
【解答】解：∵抛物线开口向下，与y轴交点在x轴上方，
∴a＜0，c＞0，
∵抛物线对称轴为直线x1，
∴b＝﹣2a＞0，
∴abc＜0，①错误．
∵抛物线开口向下，对称轴为直线x＝1，
∴当x＜1时，y的值随x值的增大而增大，故②错误；
∵抛物线对称轴为直线x＝1，抛物线开口向下，
∴am2+bm+c≤a+b+c，
∴am2+bm﹣a﹣b≤0，③正确；
由图象可知x＝﹣2时，y＞0，
∴4a﹣2b+c＞0，
∵b＝﹣2a，
∴4a+4a+c＞0，即8a+c＞0，④正确．
故选：B．
【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
【作业7】（2026 定州市模拟）抛物线L：y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点（﹣1，﹣t），（0，﹣k），（1，t），（2，﹣t），则下列选项中，值不变的是（　　）
A．t﹣k B． C．k﹣2t D．tk
【分析】根据抛物线对称性计算对称轴，分析即可．
【解答】解：由题意可得：
抛物线L的对称轴为直线，
∵点（0，﹣k），（1，t）到对称轴的距离相等，
∴﹣k＝t，
∴，
其他选项的值都不确定．
故选：B．
【点评】本题考查二次函数的图象上点的坐标特征，正确进行计算是解题关键．
【作业8】（2026春 南京月考）二次函数y＝ax2﹣（2a+1）x+c（a＞1）的图象过点（0，y1），（m，y2），若y1＞y2，则m的值可能为（　　）
A．﹣1 B．2 C．3 D．4
【分析】将两点坐标代入二次函数得到y1，y2，结合y1＞y2得到关于m的不等式，根据a＞1确定m的取值范围，即可判断选项．
【解答】解：∵二次函数的图象过点（0，y1），（m，y2），
∴y1＝c，，
∵y1＞y2，
∴c＞am2﹣（2a+1）m+c，
整理得am2﹣（2a+1）m＜0，
∴m（am﹣2a﹣1）＜0，
方程m（am﹣2a﹣1）＝0的两根为m＝0和，
∵a＞1，
∴，即，
∴m（am﹣2a﹣1）＜0的解集为，
结合，可知只有m＝2满足条件，m＝﹣1，3，4均不满足条件．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握该知识点是关键．
【作业9】（2025秋 金凤区校级期末）如图是二次函数y＝ax2+bx+c的图象，则关于x的方程ax2+bx+c﹣4＝0根的情况是　没有实数根　 ．
【分析】根据二次函数的性质进行分析即可．
【解答】解：如图是二次函数y＝ax2+bx+c的图象，
由图象可知，二次函数y＝ax2+bx+c的最大值是y＝3，
∴方程ax2+bx+c﹣4＝0没有实数根．
故答案为：没有实数根．
【点评】本题考查二次函数的图象，正确记忆相关知识点是解题关键．
【作业10】（2026 拱墅区一模）二次函数y＝x2﹣6x的图象的对称轴是直线x＝　3　 ．
【分析】根据二次函数对称轴的公式即可解决问题．
【解答】解：由题知，
因为二次函数解析式为y＝x2﹣6x，
所以该二次函数图象的对称轴为直线x．
故答案为：3．
【点评】本题主要考查了二次函数的性质及二次函数的图象，熟知二次函数对称轴的公式是解题的关键．
【作业11】（2025秋 公主岭市期末）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线．给出下列四个结论：①a＞0；②a﹣b+c＞0；③2a+3b＜0；④（m）．上述结论中，正确结论的序号有　①②④　 ．
【分析】根据二次函数的图象得出a＞0，b＜0，c＜0，再结合抛物线的对称性及增减性对所给结论依次进行判断即可．
【解答】解：因为抛物线的开口向上，
所以a＞0，
故①正确；
因为当x＝﹣1时，函数值大于零，
所以a﹣b+c＞0，
故②正确；
因为抛物线的对称轴为直线，
所以，
则2a＝﹣3b，
所以2a+3b＝0，
故③错误；
因为抛物线的对称轴为直线，且开口向上，
所以当x时，函数取得最小值为，
则当m时，，
所以，
故④正确；
故答案为：①②④．
【点评】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，熟知二次函数的图象与性质是解题的关键．
【作业12】（2026 鼓楼区校级三模）新定义：若存在常数k，使得点P（x，y）满足x2＝﹣2y+k，y2＝2x+k（x+y≠0），则称点P为“偶点”．若抛物线（﹣1≤x≤4）上至少存在一个“偶点”，则c的取值范围为　﹣1≤c　 ．
【分析】由x2＝﹣2y+k，y2＝2x+k，两式相减得：x2﹣y2＝﹣2y﹣2x，求得y＝x+2，得到“偶点”P（x，y）在直线y＝x+2上，求得抛物线（﹣1≤x≤4）上至少存在一个“偶点”，即直线y＝x+2与抛物线yx2+4x+c（﹣1≤x≤4）在﹣1≤x≤4内有交点，将y＝x+2代入抛物线方程得得到cx2﹣3x+2，设f（x）x2﹣3x+2，﹣1≤x≤4，这是一个函数，对称轴为直线x2，当x＝2时，当x＝﹣1时，当x＝4时，求得f（x）在﹣1≤x≤4的最小值为﹣1，，最大值为，于是得到结论．
【解答】解：由x2＝﹣2y+k，y2＝2x+k，两式相减得：x2﹣y2＝﹣2y﹣2x，
∴（x﹣y）（x+y）+2（x+y）＝0，
即（x+y）（x﹣y+2）＝0，
∵x+y≠0，
∴x﹣y+2＝0，即y＝x+2，
∴“偶点”P（x，y）在直线y＝x+2上，
∴抛物线（﹣1≤x≤4）上至少存在一个“偶点”，
即直线y＝x+2与抛物线yx2+4x+c（﹣1≤x≤4）在﹣1≤x≤4内有交点，
将y＝x+2代入抛物线方程得：x+2x2+4x+c，
整理得cx2﹣3x+2，
设f（x）x2﹣3x+2，﹣1≤x≤4，这是一个函数，对称轴为直线x2，
当x＝2时，f（2）22﹣3×2+2＝﹣1，
当x＝﹣1时，f（﹣1）（﹣1）2﹣3×（﹣1）+2，
当x＝4时，f（4）42﹣3×4+2＝2．
∴f（x）在﹣1≤x≤4的最小值为﹣1，最大值为，
∵x+y≠0，
∴x≠﹣1，
∴c的取值范围是﹣1≤c．
故答案为：﹣1≤c．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，正确地理解题意是解题的关键．
【作业13】（2026 青羊区校级模拟）已知点A（x1，y1）、B（x2，y2）为抛物线y＝ax2﹣2ax+1（a＞0）上的两点，当t﹣1＜x1＜t+1，t+2＜x2＜t+4时，都有y1＞y2，t的范围为　　 ．
【分析】根据已知条件判断出点A（x1，y1）、B（x2，y2）在对称轴同侧或在对称轴异侧，即点A（x1，y1）、B（x2，y2）的中点在对称轴左侧，利用中点比较法即可求得答案．
【解答】解：∵t﹣1＜x1＜t+1，t+2＜x2＜t+4，
∴x1＜x2，
∴，
由抛物线表达式可得对称轴为直线x＝1，开口向上，
∵对于x1＜x2，都有y1＞y2，
∴点A（x1，y1）、B（x2，y2）在对称轴同侧或在对称轴异侧，
即点A（x1，y1）、B（x2，y2）的中点在对称轴左边即可，
故只需使成立即可，
解得，
故答案为：．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．
【作业14】（2025秋 界首市期末）已知，二次函数x＝ax2+bx+c中的x，y满足如表．
x … ﹣1 0 1 2 …
y … 2 ﹣1 ﹣2 ﹣1 …
（1）求a，b，c的值；
（2）结合表格，直接写出x满足什么条件时，y随x的增大而减小．
【分析】（1）先由表格数据得到二次函数图象的对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，﹣2），故设顶点式求解函数表达式，进而可求解；
（2）根据表格数据和二次函数的图象与性质求解即可．
【解答】解：（1）由条件可知二次函数图象的对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，﹣2），
设函数的表达式为y＝a（x﹣1）2﹣2，把（﹣1，2）代入y＝a（x﹣1）2﹣2，
得2＝4a﹣2，解得a＝1，
∴y＝（x﹣1）2﹣2＝x2﹣2x﹣1．
∴a＝1，b＝﹣2，c＝﹣1；
（2）由表格可知，二次函数图象的对称轴为直线x＝1，又a＝1＞0，
∴当x＜1时，y随x的增大而减小．
【点评】本题考查待定系数法求二次函数表达式、二次函数的图象与性质，正确求出函数表达式是解答的关键．
【作业15】（2025秋 怀仁市月考）已知抛物线y＝ax2﹣2x+1（a≠0）经过点A（2，1）．
（1）求a的值；
（2）若点（﹣2，y1）和点（2，y2）均在该抛物线上，请你比较y1，y2的大小．
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）先根据（1）所求得到抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，则离对称轴越远函数值越大，据此求解即可．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2﹣2x+1（a≠0）经过点A（2，1）．
∴1＝4a﹣4+1，
解得：a＝1；
（2）∵a＝1，
∴y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，
∴离对称轴越远函数值越大，
∵|﹣2﹣1|＝3，|2﹣1|＝1，3＞1，点（﹣2，y1）和点（2，y2）均在该抛物线上，
∴y1＞y2．
【点评】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，正确求出a＝1是解题的关键．
【作业16】（2026春 萧山区月考）已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣4（a为常数，且a≠0）．
（1）求该抛物线的对称轴．
（2）若a＞0，当0≤x≤3时，函数有最大值﹣1．
①求a的值．
②设点（s，t）在该函数图象上，且位于直线y＝x+b（b为常数）的下方，若t的最大值与最小值的差为m，且m＞6，求b的取值范围．
【分析】（1）利用抛物线的对称轴方程解答即可；
（2）①抛物线y＝ax2﹣2ax﹣4对称轴为直线x＝1，若a＞0，当0≤x≤3时，函数有最大值﹣1．且1﹣0＝1，3﹣1＝2，2＞1，得当x＝3时，函数有最大值﹣1，代入解析式，解得a＝1；②可得抛物线为y＝x2﹣2x﹣4，由点（s，t）在该函数图象上，且位于直线y＝x+b（b为常数）的下方，得t＝s2﹣2s﹣4＝（s﹣1）2﹣5，得t的最小值为﹣5，由t的最大值与最小值的差为6，得m＝t﹣（﹣5）＝t+5＞6，得s2﹣2s﹣4＞1，解得或，得，，或，，即得b的取值范围为．
【解答】解：（1）抛物线的对称轴为直线；
（2）①由（1）知，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣4对称轴为直线x＝1，
∴1﹣0＝1，3﹣1＝2，且2＞1，
∴当x＝3时，函数有最大值﹣1．
代入解析式得9a﹣6a﹣4＝﹣1，
解得a＝1；
②由①知，a＝1，
∴抛物线为y＝x2﹣2x﹣4，
∴t＝s2﹣2s﹣4，
∵t＝s2﹣2s﹣4＝（s﹣1）2﹣5，
∴当s＝1时，t有最小值﹣5，
∵t的最大值与最小值的差为m，
∴m＝t﹣（﹣5）＝t+5，
∵m＞6，
∴t+5＞6，
∴t＞1，
∴s2﹣2s﹣4＞1，
∴s2﹣2s﹣5＞0，
当s2﹣2s﹣5＝0时，，
∴或，
∴，，
或，，
故b的取值范围为．
【点评】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握该知识点是关键．
第1页（共1页）第3讲 二次函数y＝ax +bx+c的图象和性质(1)
【暑假预习讲义】2026-2027新沪教版数学九年级上册
思维导图 · 课程内容总览
课程目标 · 精准把握学习方向
理解 二次函数一般式 的图象特征，掌握配方法将其化为顶点式 。
掌握 二次函数对称轴公式 及顶点坐标公式，能熟练判断开口方向、增减区间和最值。
理解 二次函数图象与系数 、、 的关系，能根据图象判断系数符号及特殊代数式的正负。
掌握 二次函数图象上点的坐标特征，能利用对称性快速比较函数值大小、求参数范围。
体会 数形结合、转化与化归、分类讨论在二次函数综合问题中的运用。
核心思想：以“配方”为桥梁，沟通一般式与顶点式；以“对称轴”为分界，理解图象的代数与几何统一。
知识梳理 · 核心知识点
☆ 课程导入
以 为例。
由配方，可得
由配方的结果，可知抛物线 的对称轴是直线 ，
顶点是 。根据二次函数图像的对称性列表，描点，并画出它的图像。
… 1 2 3 …
… 0 -1 0 …
对称轴为直线 （虚线）；
顶点坐标为 ；
与 轴交于点 和 ；
开口向上，经过点 和 。
从图可以看出，在对称轴左侧，二次函数 的图像下降；在对称轴右侧，图像上升。也就是说，
当 时， 随着 的增大而 减小；
当 时， 随着 的增大而 增大；
当 时， 取到 最小值，最小值为 。
一般地，通过配方，二次函数 可以化为 的形式，进而得到其图像与性质。实际上，
将上述与 比较，可得
你能归纳出抛物线 的性质吗？
☆ 1. 一般式与顶点式的互化
一般式： （）。
顶点式（配方法）： ，其中 ，。
步骤： 提公因式 （注意 为负时提负号）→ 配方（加一次项系数一半的平方）→ 整理成平方形式。
☆ 2. 二次函数 y = ax + bx + c 的图象特征
开口方向： 由 决定， 开口向上， 开口向下。
开口大小： 由 决定， 越大开口越窄。
对称轴： 直线 。
顶点坐标： 。
与 轴交点： 。
与 轴交点： 令 ，即解 ，判别式 决定交点个数。
☆ 3. 二次函数 y = ax + bx + c 的性质
增减性：
时，在对称轴左侧 ， 随 增大而减小；右侧增大而增大。
时，在对称轴左侧 ， 随 增大而增大；右侧增大而减小。
最值：
时，在顶点处取最小值 。
时，在顶点处取最大值 。
对称性： 若 与 在抛物线上，则对称轴 。
☆ 4. 图象与系数 a、b、c 的关系
决定开口方向与大小（）。
与 共同决定对称轴位置：、 同号，对称轴在 轴左侧；、 异号，对称轴在 轴右侧（“左同右异”）。
决定抛物线与 轴的交点纵坐标， 交于正半轴， 交于负半轴。
特殊代数式符号判断： 令 ，得 ；令 ，得 ；令 ，得 ，结合图象对应点的位置判断正负。
☆ 5. 知识总结表
表达式 对称轴 顶点坐标 开口 最值
向上 向下 ，y最小 ，y最大
向上 向下 ，y最小 ，y最大
系数特征 图象表现 示例结论
开口向上，有最低点 函数有最小值
开口向下，有最高点 函数有最大值
、 同号 对称轴在 轴左侧 “左同”
、 异号 对称轴在 轴右侧 “右异”
与 轴交于正半轴 截距为正
与 轴交于负半轴 截距为负
时 点 在轴上方
时 点 在轴下方
核心考点 ·经典题型方法精讲
【考点1】二次函数的图象（第1–7题）
图象识别 利用 判开口， 判与 轴交点，、 判对称轴位置（左同右异）。
一次函数共存 联立消元判断无交点（），再匹配系数符号。
对称性补点 纵坐标相同的两点关于对称轴对称，利用中点公式求对称轴。
方程根与图象 方程 有根 直线 与抛物线有交点。
开口大小 越大开口越窄。
1．（2024秋 浦东新区校级期中）已知一次函数的图象如下，则函数y＝ax2+bx+c的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2026 安徽模拟）函数y＝kx+b和抛物线y＝kx2+bx+c在同一直角坐标系内的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025秋 虹口区期末）小丽为了画二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象，列出了如表（信息不全），那么m的值是　 　 ．
x … ﹣5 ﹣4 ﹣2 0 m …
y … 10 5 1 5 10 …
4．（2024秋 凉州区校级期末）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0，a，b，c为常数）的图象如图，若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝m有实数根，则m的取值范围是 　 　 ．
5．（2025秋 广安校级月考）如图所示，在同一坐标系中，作出①y＝﹣3x2；②yx2；③y＝﹣x2的图象，则图象L1，L2，L3对应的函数解析式依次是 　 　 .（填序号）
6．（2026 榆树市一模）如图，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴相交于A（﹣1，0），B两点，对称轴是直线x＝1，顶点为C，对称轴与x轴交于点D，则CD的长为 　 　 ．
7．（2025秋 松江区期末）在画二次函数y＝x2+bx+c的图象时，列表如下：
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 …
y … 0 m n ﹣3 0 …
（1）直接写出b、c、m、n的值：
b＝　 　 ；c＝　 　 ；m＝　 　 ；n＝　 　 ；
（2）在所给的平面直角坐标系xOy中，画出这个二次函数的大致图象，并描述图象的变化趋势．
【考点2】二次函数的性质（第8–17题）
对称轴公式 ；顶点坐标代入公式或配方法。
增减性 以对称轴为界，结合 的正负判断。
比较函数值 开口向上时，距对称轴越近值越小；开口向下时，距对称轴越近值越大。
区间最值 比较顶点处与区间端点处函数值，注意开口方向。
顶点在 轴上 判别式 。
8．（2026 成都模拟）二次函数y＝x2﹣bx+c的图象如图所示，对称轴为直线x＝2，下列说法正确的是（　　）
A．b＝2
B．当x＜3时，y随x的增大而增大
C．c＜﹣5
D．当c＝﹣4时，抛物线的顶点坐标为（2，﹣8）
9．（2026 南岗区四模）二次函数y＝（x﹣1）2+2图象的对称轴是（　　）
A．x＝1 B．x＝﹣1 C．x＝2 D．x＝﹣2
10．（2026 商洛二模）在平面直角坐标系中，点B（1﹣2a，y1），C（﹣1，y2）是抛物线y＝ax2﹣2ax（a≠0）上的两点，且y1＞y2，若在点B，C之间（含点B，C）的抛物线上存在两点M（x1，m），N（x2，n）（点M，N不重合），使得m＝n，则a的取值范围为（　　）
A．﹣1≤a＜0 B．﹣1＜a＜0 C．1≤a＜3 D．1＜a＜3
11．（2026 兴庆区校级一模）关于抛物线y＝2x2﹣4x+1，下列说法中错误的是（　　）
A．抛物线开口向上
B．抛物线的对称轴是直线x＝1
C．抛物线的顶点坐标为（1，﹣1）
D．当x＞1时，y随x的增大而减小
12．（2026 白云区二模）二次函数y＝ax2+bx的图象如图所示，则一次函数y＝x﹣b的图象一定不经过（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
13．（2026 灞桥区校级模拟）已知二次函数y＝mx2﹣4mx+3（m＜0），当﹣1≤x≤3时，2≤y≤n，则n的值为（　　）
A． B．3 C． D．
14．（2026 洛阳二模）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的图象如图所示，则一次函数y＝﹣bx+c的图象不经过（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
15．（2026 上海校级模拟）沿着x轴正方向看，抛物线y＝﹣x2+2x在其对称轴右侧的部分是 　 　 的．（填“上升”或“下降”）
16．（2026 武汉二模）已知二次函数y＝x2+bx+c经过（m，1），（n，1），m＞n＞0．下列五个结论：
①b＜0；
②c＞1；
③若关于x的方程x2+bx+c＝0有两个相等的实数根，则m﹣n＝2；
④若（1，y1），（2，y2），（3，y3）在该函数图象上，y1＜y2＜y3，则m+n≥2；
⑤若关于x的方程|x2+bx+c|＝nx+m至少有三个实数根，且c的值是3，则m的最小值是6．
其中正确的是　 　 （填写序号）．
17．（2025秋 鼓楼区校级期末）二次函数y＝2x2﹣4x+3m的图象的顶点在x轴上，则m的值为 　 　 ．
【考点3】图象与系数的关系（第18–24题）
符号判断 定开口， 与 定左右， 定上下。
特殊点法 令 、、 等，结合图象对应点位置判断 、、 的符号。
对称轴与系数 可建立 、 的数量关系（如 ）。
开口方向条件 若抛物线在对称轴右侧下降，则 。
18．（2026 凉山州）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是（　　）
A．abc＞0 B．b+4a＝0
C．5a+c＞0 D．当x＜﹣5或x＞1时，y＞0
19．（2026 西安模拟）如图，是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象，则下列由该二次函数的图象得出的结论：
①a+c＞1；
②2a＞b；
③a＝b；
④a﹣2b+c＜0．
其中正确的是（　　）
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
20．（2025秋 松江区期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示．那么下列结论正确的是（　　）
A．abc＜0 B．2a+b＝0 C．a﹣b+c＞0 D．a+b+c＞0
21．（2026 沛县模拟）如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为直线x＝﹣1，且过点（﹣3，0），下列说法：①abc＜0；②2a﹣b＝0；③4a+2b+c＜0；④若（﹣5，y1），（2.5，y2）是抛物线上两点，则y1＞y2，其中说法正确的是（　　）
A．①②③ B．②③ C．①②④ D．①②③④
22．（2025秋 石峰区期末）若抛物线y＝（m﹣3）x2﹣2的开口向上，则m的取值范围是　 　 ．
23．（2025秋 桓台县期末）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，现有以下结论：
①abc＞0；
②a+b+c＞0；
③a﹣b+c＜0；
④3a+c＞0．
其中正确的结论有　 　 （填序号）．
24．（2025秋 包河区期末）抛物线y＝（2k﹣1）x2+3在对称轴的右侧下降，那么k的取值范围是　 　 ．
【考点4】点的坐标特征（第25–35题）
代入法 将点坐标代入解析式求参数或比较函数值。
对称性 若 ，则对称轴 。
距离比较法 计算点到对称轴的水平距离，结合开口方向判断纵坐标大小。
参数范围 利用不等式组确定 或 的取值范围。
新定义（如“偶点”） 根据定义列方程组，变形消元转化为直线与抛物线的交点问题。
25．（2026春 长宁区校级月考）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＝0）过点A（2，1）、B（3，1）和C（4，2），那么a+b+c的值是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
26．（2025秋 静安区期末）已知点A（﹣1，y1），B（4，y2），C（6，y3）在抛物线y＝﹣3x2+12x﹣m（其中，m为常数）上，那么y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y1＜y2 C．y2＜y1＜y3 D．y3＜y2＜y1
27．（2026 钱塘区三模）已知抛物线y＝ax2﹣2ax+1（a＞0）经过点（p+1，m），（p﹣1，n）．若0＜p＜1，则下列判断正确的是（　　）
A．m＜1＜n B．n＜1＜m C．m＜n＜1 D．n＜m＜1
28．（2026 石狮市模拟）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的图象过点（1，m），（2，c），（3，n），则下列判断正确的是（　　）
A．若c＞m，则n＞m B．若c＞m，则n＜m
C．若c＜m，则n＞m D．若c＜m，则c＜n
29．（2026春 浦东新区校级期中）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分对应值如表：
x … ﹣3 ﹣2 0 1 3 5 …
y … 7 0 ﹣8 ﹣9 ﹣5 7 …
则当x＝2时对应的函数值y＝　 　 ．
30．（2025秋 静安区期末）二次函数y＝（x﹣2）2+2的图象与y轴交点坐标是　 　 ．
31．（2025秋 崇明区期末）已知点A（﹣1，y1）、B（﹣3，y2）为二次函数y＝﹣（x﹣1）2+k图象上的两点，那么y1　 　 y2（填“＞”、“＝”或“＜”）．
32．（2026 长宁区二模）在直角坐标平面内，如果存在正整数n和常数k，使得点A（x，y）满足x2＝﹣ny+k，y2＝nx+k，其中x+y≠0，那么称点A为“n﹣优点”．比如当n＝2，k＝12时，点B（2，4）为“2﹣优点”（这是因为满足22＝﹣2×4+12，42＝2×2+12，2+4≠0）．已知点C在抛物线y＝﹣x2﹣3x+2038上，且它还是“2026﹣优点”，那么点C的坐标是　 　 ．
33．（2026 金牛区校级模拟）新定义：若存在常数k，使得点P（x，y）满足x2＝﹣2y+k，y2＝2x+k（x+y≠0），则称点P为“偶点”．若A（a，16）是“偶点”，则a＝ 　 　 ；若抛物线（﹣1≤x≤4）上至少存在一个“偶点”，则c的取值范围为 　 　 ．
34．（2026春 五华区校级期中）琪琪根据学习函数的经验，对函数y＝x|x﹣2|﹣3的图象与性质进行了探究．
下面是琪琪的探究过程，请补充完整：
（1）下表是x与y的几组对应值．请直接写出：m＝　 　 ，n＝　 　 ；
x … ﹣1 0 1 2 3 4 …
y … m ﹣3 ﹣2 ﹣3 0 n …
（2）如图所示，在平面直角坐标系中，描出上表中的点，然后用平滑的曲线连接起来，画出函数的图象；
（3）由图象可知，当y＝﹣2.7时，对应的自变量有　 　 个值．
35．（2025秋 山东月考）抛物线：y＝bx2+6x+d经过点（0，3），（﹣2，﹣1）．
（1）求b，d的值；
（2）点A（n，y1），B（n﹣3，y2）均在抛物线y＝bx2+6x+d上．
①若y1＝y2，求n的值；
②若n≤﹣1，写出y1与y2的大小关系，并说明理由．
【创新及压轴题】（第36–38题）
绝对值函数 分段讨论，去绝对值符号，画出分段图象，利用图象交点解决根个数问题。
“可控变点” 根据定义分段表示解析式，转化为分段函数与水平线的交点问题，注意取值范围。
对称性与取值范围 利用对称轴和开口方向，将条件转化为不等式，求解参数范围。
36．（2026 西湖区二模）在平面直角坐标系中，设二次函数y＝（x﹣m）（x﹣m﹣4）（m为常数），已知函数图象的对称轴为直线x＝1，点P（x1，y1），Q（x2，y2）都在函数图象上x1＜x2．
（1）求二次函数的解析式及顶点坐标．
（2）当x1≤0，始终有y2＜y1，直接写出x2的取值范围．
（3）若点M（x3，y3）在一次函数y＝﹣x﹣1的图象上，过点M的直线l平行于x轴，且与二次函数的图象交于点P，Q，若x1＜x3＜x2，求x1+x2+x3的取值范围．
37．（2026 玄武区一模）初三年级某班成立了数学学习兴趣小组，该小组对函数y＝|x2﹣1|的图象和性质进行探究，过程如下，请你补充完整．
（1）①列表：下表是x，y的几组对应值，其中m＝　 　 ，n＝　 　 ；
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 …
y … 3 0 m 1 n 0 3 …
②描点：根据表中的数值描点（x，y），请补充描出点（，m），（，n）；
③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，请把图象补充完整．
（2）请你观察图象，直接写出当x在什么范围内时，y随x的增大而增大？　 　 ．
（3）除了上述增减性，请你再写出两条该函数的图象特征或性质：①　 　 ；②　 　 ．
（4）点（m，a）与（n，b）在函数图象上，且|n|＜|m|＜1，则a与b的大小关系是　 　 ．
38．（2024秋 门头沟区校级期中）在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y）和Q（x，y'），给出如下定义：若y'，则称点Q为点P的“可控变点”．
例如：点（1，2）的“可控变点”为点（1，2），点（﹣1，3）的“可控变点”为点（﹣1，﹣3）．
（1）点（﹣5，﹣2）的“可控变点”坐标为　　 　 　 ；
（2）若点P在函数y＝﹣x2+16的图象上，其“可控变点”Q的纵坐标y′是7，求“可控变点”Q的横坐标；
（3）若点P在函数y＝﹣x2+16（﹣5≤x≤a）的图象上，其“可控变点”Q的纵坐标y′的取值范围是﹣16＜y′≤16，求实数a的取值范围．
随堂检测 · 精选练习
练习1 — 比较二次项系数 的大小与开口宽窄的关系（ 越大开口越窄）。
练习2 — 新定义“和谐”与“美好”函数，结合 、 判断对称轴 。
练习3 — 由二次函数不等式确定对称轴，利用距离比较法求参数 的范围。
练习4 — 根据对称轴和开口方向，判断 、、 等代数式的符号。
练习5 — 利用对称轴 及待定系数法，求 的值。
检测重点：熟练运用对称轴公式，掌握系数与图象位置的对应关系，灵活应用数形结合思想。
【练习1】（2025秋 安阳月考）已知三个二次函数的图象如图所示，那么a1，a2，a3的大小关系是 　 　 ．（请用“＞”连接）
【练习2】（2026 闵行区三模）定义：如果二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）满足a+b+c＝0，那么我们称这个函数为“和谐”函数；如果二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）满足a﹣b+c＝0，那么我们称这个函数为“美好”函数；如果一个二次函数既是“和谐”函数又是“美好”函数，那么这个二次函数图象的对称轴为　 　 ．
【练习3】（2026 常州模拟）已知抛物线y＝ax2+bx+c，对任意的自变量x都有ax2+bx≥4a+2b，若该抛物线过点A（4﹣m，y1），B（m+1，y2），且y1＜y2，则m的取值范围是 　 　 ．
【练习4】（2025秋 冷水滩区期末）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数）的图象关于直线x＝﹣1对称，则下列五个结论：①abc＞0；②2a﹣b＝0；③9a﹣3b+c＞0；④a（m2﹣1）+b（m+1）≤0（m为任意实数）．其中正确的有　 　 .（请填写所有正确的序号）
【练习5】（2026 广宁县二模）若二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（1，2c）和点（2，2c），则的值为　 　 ．
课后巩固 · 针对性练习
作业1 — 一次函数与二次函数图象共存（联立无交点，系数符号匹配）。
作业2–3 — 配方法求顶点、对称轴，判断增减区间（， 递减）。
作业4–6 — 根据图象判断 、、 的符号（特殊点法）。
作业7–8 — 利用对称性比较函数值大小，求参数范围（如 的可能值）。
作业9–11 — 方程 的根与图象交点关系，判别式应用。
作业12 — 新定义“偶点”综合：消元转化为直线与抛物线交点，求 的范围。
作业13 — 利用中点比较法，由函数值大小关系求参数 的取值范围。
作业14 — 根据表格数据求解析式，判断增减区间。
作业15 — 待定系数法求 ，利用距离比较法比较 、 大小。
作业16 — 二次函数与一次函数上下关系，利用最值差求参数 的范围。
复习建议：重点掌握配方法化顶点式，熟记对称轴与顶点公式，理解 、、 对图象位置的影响，强化数形结合解决综合问题的能力。
【作业1】（2026 芜湖模拟）在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx与一次函数y＝bx﹣a的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【作业2】（2025秋 湖南校级期末）已知二次函数y＝2x2﹣12x+19，下列说法正确的有（　　）
A．其图象的开口向下
B．其图象的对称轴为直线x＝﹣3
C．其图象顶点坐标为（3，﹣1）
D．当x＜3时，y随x的增大而减小
【作业3】（2026 从化区二模）抛物线y＝x2﹣2x+3的顶点坐标是（　　）
A．（1，2） B．（1，﹣2） C．（﹣1，2） D．（﹣1，﹣2）
【作业4】（2026 监利市二模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论中，正确的是（　　）
A． B．3a+b＞0 C．2a+b＜0 D．a﹣b+c＜0
【作业5】（2026 邹城市二模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①2a+b＝0；②a﹣b+c＜0；③4a+2b+c＞0；④am2+bm＞a+b（m≠1），其中正确的是（　　）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
【作业6】（2026 雁塔区校级模拟）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c图象的对称轴为直线x＝1，有下列结论：①abc＞0；②当x＜2时，y的值随x值的增大而增大；③对于任意实数m，都有am2+bm﹣a﹣b≤0；④8a+c＞0．其中正确的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【作业7】（2026 定州市模拟）抛物线L：y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点（﹣1，﹣t），（0，﹣k），（1，t），（2，﹣t），则下列选项中，值不变的是（　　）
A．t﹣k B． C．k﹣2t D．tk
【作业8】（2026春 南京月考）二次函数y＝ax2﹣（2a+1）x+c（a＞1）的图象过点（0，y1），（m，y2），若y1＞y2，则m的值可能为（　　）
A．﹣1 B．2 C．3 D．4
【作业9】（2025秋 金凤区校级期末）如图是二次函数y＝ax2+bx+c的图象，则关于x的方程ax2+bx+c﹣4＝0根的情况是　 　 ．
【作业10】（2026 拱墅区一模）二次函数y＝x2﹣6x的图象的对称轴是直线x＝　 　 ．
【作业11】（2025秋 公主岭市期末）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线．给出下列四个结论：①a＞0；②a﹣b+c＞0；③2a+3b＜0；④（m）．上述结论中，正确结论的序号有　 　 ．
【作业12】（2026 鼓楼区校级三模）新定义：若存在常数k，使得点P（x，y）满足x2＝﹣2y+k，y2＝2x+k（x+y≠0），则称点P为“偶点”．若抛物线（﹣1≤x≤4）上至少存在一个“偶点”，则c的取值范围为　 　 ．
【作业13】（2026 青羊区校级模拟）已知点A（x1，y1）、B（x2，y2）为抛物线y＝ax2﹣2ax+1（a＞0）上的两点，当t﹣1＜x1＜t+1，t+2＜x2＜t+4时，都有y1＞y2，t的范围为　 　 ．
【作业14】（2025秋 界首市期末）已知，二次函数x＝ax2+bx+c中的x，y满足如表．
x … ﹣1 0 1 2 …
y … 2 ﹣1 ﹣2 ﹣1 …
（1）求a，b，c的值；
（2）结合表格，直接写出x满足什么条件时，y随x的增大而减小．
【作业15】（2025秋 怀仁市月考）已知抛物线y＝ax2﹣2x+1（a≠0）经过点A（2，1）．
（1）求a的值；
（2）若点（﹣2，y1）和点（2，y2）均在该抛物线上，请你比较y1，y2的大小．
【作业16】（2026春 萧山区月考）已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣4（a为常数，且a≠0）．
（1）求该抛物线的对称轴．
（2）若a＞0，当0≤x≤3时，函数有最大值﹣1．
①求a的值．
②设点（s，t）在该函数图象上，且位于直线y＝x+b（b为常数）的下方，若t的最大值与最小值的差为m，且m＞6，求b的取值范围．
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