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第5讲 二次函数与一元二次方程 暑假预习讲义
【知识精讲+典例+针对练习】 新沪教版数学九年级五四制上册
思维导图 · 课程内容总览
课程目标 · 精准把握学习方向
理解 二次函数的三种表达式（一般式、顶点式、交点式）及其相互转化，能根据条件灵活选择合适的形式。
掌握 二次函数与一元二次方程的关系，能利用判别式判断抛物线与 x 轴的交点个数，并利用交点坐标解决相关问题。
理解 图象法求一元二次方程近似根的原理（零点存在性定理），能利用二分法思想逐步逼近精确解。
熟练运用 二次函数的对称性、顶点坐标、交点坐标等解决综合问题（含参讨论、新定义等）。
体会 数形结合、分类讨论、方程与函数相互转化的数学思想。
核心思想：函数与方程紧密联系，通过图象直观理解方程的解。
知识梳理 · 核心知识点
☆知识点1 确定二次函数的表达式
1．二次函数表达式的三种形式
（1）一般式：为常数，且a≠0)
（2）顶点式：为常数，且a≠0)·,
（3）交点式：是抛物线与x轴的交点的横坐标）.
求二次函数表达式的方法：待定系数法.
2．三点式求法
如图1，已知二次函数图像上三个点的坐标，可设二次函数表达式为 (a≠0)，其中a、b、c是待定系数.由图像上三点的坐标，得到关于a、b、c的三元一次方程组，并通过求解方程组得到a、b、c的值.
3．顶点式求法
如图2，已知二次函数图像的顶点坐标（或对称轴、最值），可设二次函数表达式为.此情况下，通常需要补充适当的条件，得到关于待定系数的方程（组），以此确定未知系数的值.
4．交点式求法
（1）如图3，已知抛物线与x轴的两个交点坐标及经过一点，可设二次函数表达式为，再列方程求解确定a的值；
（2）已知抛物线与x轴的一个交点坐标、对称轴及另一个点，选利用抛物线的对称性求出抛物线与x轴的另一个交点坐标，再设二次函数表达式为，最后列方程求解确定a的值.
例 已知抛物线与x轴的交点是A(-2,0)、B(1,0)，且抛物线经过点C(2,8)，求该抛物线的表达式.
解：方法一：设抛物线的表达式为
·抛物线过点A(-2,0）、B(1,0）、C(2,8)，解得
抛物线的表达式为
方法二：设抛物线的表达式为y=a(x+2)(x-1)(a≠0)，将点C(2,8)的坐标代入上式，解得a=2
抛物线的表达式为
方法三：设抛物线的表达式为
点A(-2,0）、B(1,0）关于直线对称，
.对称轴为直线
将A(-2,0）、C(2,8）的坐标代入，得
解得，即
☆知识点2 二次函数与一元二次方程的关系
1．二次函数的图像与x轴交点的横坐标与相应一元二次方程根的关系
二次函数的图像与x轴（直线y=0)交点的横坐标是相应的一元二方程的实数根，反之亦然.
提醒 二次函数的图像与直线y=m的交点的横坐标就是一元二次方程的实数根，反之亦然.
2．二次函数的图像与x轴交点的情况和相应一元二次方程根的情况的关系
的取值
二次函数的图像与x 轴的交点 有两个交点 有一个交点 无交点
有两个交点 有一个交点 无交点
一元二次方程的实数根 有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根
提醒 抛物线与x轴的交点为和
)
A、B两点间的距离 .抛物线的对称轴为直线，，对称轴与x轴的交点恰为线段AB的中点。
例1 如图，若二次函数的图像与x轴的交点为A、B（点A在点B的左侧），与y轴的交点为C.
（1）求A、B两点的坐标；
（2）若P(m,-2)为二次函数图像上一点，求m的值.
解：(1）当y=0时解得
．点A的坐标为（-1,0)，点B的坐标为（2,0)．
(2))∵P(m,-2为二次函数图像上一点，
解得
．m的值为0或1．
例1 如图，若二次函数的图像与x轴的交点为A、B（点A在点B的左侧），与y轴的交点为C.
（1）求A、B两点的坐标；
（2）若P(m,-2)为二次函数图像上一点，求m的值.
解：(1）当y=0时解得
．点A的坐标为（-1,0)，点B的坐标为（2,0)．
(2))∵P(m,-2为二次函数图像上一点，
解得
．m的值为0或1．
3．用图像法求解一元二次方程
通过观察抛物线与直线交点情况确定一元二次方程的根的情况.
例2 已知二次函数的图像如图所示，请判断下列关于x的方程的根的情况：
(1)、
(2)。
(3)
解：(1）把原方程变形为
由图像可知抛物线顶点的纵坐标为2，
所以此方程有两个相等的实数根.
（2）把原方程变形为
如图1，由图像可知抛物线上的点的纵坐标不可能等于5，所以此方程没有实数根．
（3）把原方程变形为
如图2，由图像可知抛物线上有两个纵坐标为-1的点，所以此方程有两个不相等的实数根.
☆知识点3 借助二次函数的图像求解一元二次方程的近似根
1．利用二次函数的图像求一元二次方程的近似根的一般步骤
（1）画出二次函数的图像.
（2）确定抛物线与x轴交点的个数，看交点的横坐标在哪两个数之间．
（3）列表，在两个数之间取值估计，并用计算器估算近似根，近似根在对应y值的正负（或负正）过渡的地方。
当x由取到时，若对应的y值出现或，则中必有一个是方程的近似根，
再比较和.若，则是方程的近似根；若，则是方程的近似根.一般需要我们求近似根的方程的根往往是无理数，所以列表时不可能取到实数根的精确值.
2．利用二次函数的图像求一元二次方程的近似根的常用方法
方法 结论
直接作出二次函数的图像 图像与x轴的交点的横坐标就是一元二次方程的根
先将一元二次方程变为，再在同一平面直角坐标系中画出抛物线和直线 两图像交点的横坐标就是一元二次方程的根
先将一元二次方程变形为，再在同一平面直角坐标系中画出抛物线和直线 两图像交点的横坐标就是一元二次方程的根
例3 利用函数图像求一元二次方程的根的近似值．（结果精确到0.1）
解：方法一：将原方程变形为
画出函数的图像，如图所示.
由图像可知，抛物线与x轴公共点的横坐标分别在-2与-1之间，3与4之间，大约为-1.4,3.4，
即方程的两实数根分别为
方法二：用取平均数的方法不断缩小根所在的范围，从而确定方程的根的近似值.
将原方程可变形为
如：由的图像可知，当x=3时,y>0；当x=4时,y<0.
取3和4的平均数3.5．当x=3.5时,y=-0.25，与x=3时的函数值异号，所以方程的这个根在3和3.5之间．取3和3.5的平均数3.25．当x=3.25时，y=0.9375,，与x=3.5时的函数值异号.
所以方程的这个根在3.25和3.5之间．取3.25和3.5的平均数3.375．当x=3.375时,y=0.359375，与x=3.5时的函数值异号，所以方程的这个根在3.375和3.5之间．
由此方法可得到原方程的一个根的近似值为3.4．
用同样的方法可得到原方程的另一个根的近似值为-1.4．
所以方程的实数根为
总结
用图像法求一元二次方程根的近似值
1．直接求解法：画出函数和y=-8的图像，它们公共点的横坐标的近似值即该方程根的近似值.
2．间接求解法：将方程适当整理为，可以像方法一那样画函数
的图像，图像与x轴公共点的横坐标的近似值即一元二次方程根的近似值；也可以像方法二那样通过画出图像并用取平均数的方法不断缩小横坐标的取值范围，进而算出方程根的近似值.
☆知识点4 二次函数与一元二次不等式之间的关系（拓展）
抛物线在x轴上方的点对应的x的所有值是不等式的解集；抛物线在x轴下方的点对应的x的所有值是不等式的解集。
二次函数与不等式及的关系如下表：
的 取值
抛物线
不等式的解集 或 全体实数
不等式的解集 无解 无解
的 取值
抛物线
不等式 的解集 无解 无解
不等式 的解集 或 全体实数
例4 已知二次函数
（1）当x取什么值时y=0？
（2）当x取什么值时，y>0？
（3）当x取什么值时,y<0？
解析：先画出二次函数的图像，找出图像与x轴的交点，再根据交点横坐标及二次函数图像写出x的取值或取值范围.
解：如图，画出二次函数的图像.
根据图像可知：
（1）当x=1或x=3时,y=0
（2）当x<1或x>3时,y>0;
（3）当1点拨：利用二次函数图像解一元二次不等式，关键是画出二次函数图像的示意图［常用“五点”法，如此题可选择（1,0）、（3,0）、（2,-1）、（0,3）、（4,3）五点］，确定二次函数的图像与x轴的交点的横坐标.
知识总结表
类别 表达式 关键信息 与方程的关系
一般式 轴交点 (0,)，对称轴 令 得一元二次方程
顶点式 顶点 ，对称轴 最值即 ，方程解与 有关
交点式 与 轴交点 ， 直接给出方程的两个根
判别式 Δ>0 两个交点；Δ=0 一个交点；Δ<0 无交点 判断方程根的情况
韦达定理 ， 用于求对称轴、两根之和/积 已知根求系数或对称轴
图象法求根 二分法逼近 零点存在性定理 求近似根，精度可控
核心考点 ·4大典型考点精讲
【考点1】二次函数的三种形式（第1-10题）
※ 方法总结
配方法： 将一般式化为顶点式，关键是提取二次项系数，然后配方。
公式：。
因式分解法： 若 ，可因式分解为交点式，直接读出 轴交点。
三种形式互化： 根据题目条件选择最简形式，如已知顶点用顶点式，已知交点用交点式。
注意： 顶点式可直接读出顶点、对称轴和最值；交点式可直接读出方程的两个根。
1．（2025秋 沭阳县校级月考）用配方法将y＝2x2﹣4x﹣6化成y＝a（x﹣h）2+k的形式；并写出对称轴和顶点坐标．
【分析】先利用配方法把二次函数化为顶点式的形式，进而可得出结论．
【解答】解：y＝2x2﹣4x﹣6
＝2（x2﹣2x）﹣6
＝2（x2﹣2x+1﹣1）﹣6
＝2（x2﹣2x+1）﹣8
＝2（x﹣1）2﹣8．
故此函数的对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，﹣8）．
【点评】本题考查的是二次函数的三种形式，二次函数的性质，熟知二次函数的顶点式是解题的关键．
2．（2025秋 山阳县期中）将二次函数y＝（x﹣3）2﹣2x（x+1）化为一般形式，并指出其二次项系数、一次项系数和常数项．
【分析】把y＝（x﹣3）2﹣2x（x+1）化为一般形式，即可得到答案．
【解答】解：y＝（x﹣3）2﹣2x（x+1）＝x2﹣6x+9﹣2x2﹣2x＝﹣x2﹣8x+9，
即y＝﹣x2﹣8x+9，
则二次项系数是﹣1，一次项系数是﹣8，常数项是9．
【点评】此题考查了二次函数的一般形式，熟练掌握二次函数的一般形式是解题的关键．
3．（2025 泸县一模）已知二次函数y＝﹣x2+2x+3．
（1）用配方法化为y＝a（x﹣h）2+k的形式；
（2）请你在所给的平面直角坐标系中，画出二次函数的图象；
（3）根据图象，求当﹣2＜x＜2时，y的取值范围．
【分析】（1）利用配方法把一般式配成顶点式即可；
（2）先求出抛物线与坐标轴的交点坐标，然后用描点法画出二次函数图象；
（3）分别计算出自变量为﹣2和2对应的函数值，由于x＝1时，y有最大值4，从而可确定当﹣2＜x＜2时y的取值范围为﹣5＜x≤4．
【解答】解；（1）y＝﹣x2+2x+3
＝﹣（x2﹣2x+1﹣1）+3
＝﹣（x﹣1）2+4；
（2）当y＝0时，﹣x2+2x+3＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝3，
∴抛物线与x轴的交点坐标为（﹣1，0），（3，0），
当x＝0时，y＝﹣x2+2x+3＝3，
∴抛物线与y轴的交点坐标为（0，3），
如图，
（3）∵当x＝﹣2时，y＝﹣x2+2x+3＝﹣5，
当x＝2时，y＝﹣x2+2x+3＝3，
而x＝1时，y有最大值，最大值为4，
∴当﹣2＜x＜2时，y的取值范围为﹣5＜x≤4．
【点评】本题考查了二次函数的三种形式：熟练掌握用一般式、顶点式或交点式表示二次函数是解决问题的关键．也考查了二次函数的图象与性质．
4．（2023秋 城厢区校级期中）设二次函数（b，c是常数）的图象与x轴交于A，B两点．
（1）若A，B两点的坐标分别为（1，0），（2，0），求函数y1的表达式及其图象的对称轴．
（2）若函数y1的表达式可以写成（h是常数）的形式，求b+c的最小值．
【分析】（1）根据A、B两点的坐标特征，可设函数y1的表达式为y1＝2（x﹣x1）（x﹣x2），其中x1，x2是抛物线与x轴交点的横坐标；
（2）把函数化成一般式，求出对应的b、c的值，再根据b+c式子的特点求出其最小值．
【解答】解：（1）∵二次函数y＝2x2+bx+c过点A（1，0）、B（2，0），
∴y＝2（x﹣1）（x﹣2），
即y＝2x2﹣6x+4．
∴抛物线的对称轴为直线．
（2）把化成一般式得，
．
∴b＝﹣4h，c＝2h2﹣2．
∴b+c＝2h2﹣4h﹣2，
＝2（h﹣1）2﹣4．
∵2＞0，
∴该二次函数开口向上，
∴把b+c的值看作是h的二次函数，有最小值，
∴当h＝1时，b+c的最小值是﹣4．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质以及二次函数的三种形式，熟知二次函数的性质是解题的关键．
5．（2026 大同模拟）将二次函数化为y＝a（x﹣h）2+k的形式为（　　）
A． B．
C． D．
【分析】把含x的项提取二次项的系数，再整理成完全平方式，进而整理成和原来的式子相等的式子即可．
【解答】解：yx2﹣6x+21
（x2﹣12x+36）﹣18+21
（x﹣6）2+3．
故选：D．
【点评】本题考查和二次函数的三种形式相关的问题．用到的知识点为：把二次函数的一般形式整理成顶点式，应先把含x的项提取二次项的系数；整理成完全平方形式的时候，常数应该是一次项系数一半的平方．要注意得到的式子应该和原来的式子相等．
6．（2025秋 阿克陶县月考）二次函数解析式通常有三种形式：①一般式 y＝ax2+bx+c（a≠0）　 ；②顶点式 y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）　 ；③双根式 y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a≠0）　 ．
【分析】根据二次函数的三种形式：一般式，形如y＝ax2+bx+c（a≠0）；顶点式，形如y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）；双根式，形如y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a≠0），进行求解即可．
【解答】解：根据二次函数的三种形式：一般式，形如y＝ax2+bx+c（a≠0）；顶点式，形如y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）；双根式，形如y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a≠0），
二次函数的一般式是形如y＝ax2+bx+c（a≠0）的形式可得；
二次函数的顶点式是形如y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）；
若x1、x2是二次函数与x轴的两个交点的横坐标，则二次函数解析式可以设为形如y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a≠0）的形式，这叫做双根式，
故答案为：y＝ax2+bx+c（a≠0），y＝a（x﹣h）2+k（a≠0），y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a≠0）．
【点评】本题主要考查了二次函数解析式的三种形式，解题的关键在于能够熟练掌握三种形式的定义．
7．（2025秋 安定区期末）把y＝x2﹣6x+4配方成y＝a（x﹣h）2+k的形式是y＝（x﹣3）2﹣5　 ．
【分析】加上一次项系数的一半的平方，凑成完全平方公式，然后整理即可．
【解答】解：y＝x2﹣6x+4
＝x2﹣6x+9﹣9+4，
＝（x﹣3）2﹣5．
故答案为：y＝（x﹣3）2﹣5．
【点评】本题主要考查了二次函数的三种形式的相互转化，本题加上一次项系数的一半的平方式配成完全平方式是关键，属于基础题，细心运算即可．
8．二次函数的交点式：y＝（x﹣x1）（x﹣x2），则对称轴为：　直线x　 ，最值为：　　 ．
【分析】对于二次函数的两点式，可以直接得到图象与x轴的交点，对称轴是图象与x轴的交点构成的线段的中垂线．
【解答】解：二次函数y＝（x﹣x1）（x﹣x2）的对称轴为：x，最值为：，
故答案为：直线x，；
【点评】考查了二次函数的性质及二次函数的最值，解题的关键是了解二次函数的交点式及二次函数的三种形式，难度不大．
9．（2025秋 拱墅区期末）二次函数y＝﹣x2+bx+c可以写成y＝﹣（x﹣x1）（x﹣1）的形式，也可以写成y＝﹣（x﹣2）2+k的形式，其中b，c，x1，k为常数．
（1）分别求b，c，x1，k的值；
（2）该函数图象上有三个点A（﹣1，y1），B（4，y2），C（5，y3），比较y1，y2，y3的大小．
【分析】（1）利用二次函数的三种形式，把顶点式和交点式展开后，即可得到b＝﹣（x1+1）＝4，c＝x1＝﹣4+k，解得b＝4，c＝﹣3，x1＝3，k＝1；
（2）求得抛物线的开口方向和对称轴，然后利用二次函数的对称性和增减性判断即可．
【解答】解：（1）∵二次函数y＝﹣x2+bx+c可以写成y＝﹣（x﹣x1）（x﹣1）的形式，也可以写成y＝﹣（x﹣2）2+k的形式，
∵y＝﹣x2+bx+c＝﹣x2+（x1+1）x﹣x1＝﹣x2+4x﹣4+k，
∴b＝x1+1＝4，c＝﹣x1＝﹣4+k，
∴b＝4，c＝﹣3，x1＝3，k＝1；
（2）∵b＝4，c＝﹣3，
∴y＝﹣x2+4x﹣3，
∵y＝﹣x2+4x﹣3＝﹣（x﹣2）2+1，
∴图象开口向下，对称轴为直线x＝2，
∴当x＞2时，y随x的增大而减小，
∵点A（﹣1，y1），B（4，y2），C（5，y3）在函数y＝﹣x2+4x﹣3的图象上，
∴点A（﹣1，y1），C（5，y3）关于直线x＝2对称，
∴y2＞y1＝y3．
【点评】本题考查了二次函数的三种形式，二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数的性质是解题的关键．
10．（2025秋 右玉县月考）如图，抛物线y＝﹣x2+2x+4与y轴交于点A，点B（m，1）在抛物线上．
（1）将y＝﹣x2+2x+4化成顶点式．
（2）直接写出△OAB的面积．
【分析】（1）二次函数的顶点形式为y＝a（x﹣h）2+k（a≠0），据此即可获得答案；
（2）首先确定点A坐标，易得OA＝4，再确定点B的坐标为（﹣1，1）或（3，1），然后根据，分情况计算，即可获得答案．
【解答】解：（1）将y＝﹣x2+2x+4化成顶点式为y＝﹣（x﹣1）2+5；
（2）对于抛物线y＝﹣x2+2x+4，
∴OA＝4，
将点B（m，1）代入y＝﹣x2+2x+4，
可得﹣m2+2m+4＝1，解得m1＝3，m2＝﹣1，
∴点B的坐标为（3，1），
可有，
综上所述，△OAB的面积为6．
【点评】本题主要考查了二次函数顶点式、二次函数与三角形的综合应用等知识，解题关键是运用数形结合的思想分析问题．
【考点2】抛物线与 x 轴交点（第11-27题）
※ 方法总结
利用判别式： 判断交点个数，进而确定方程根的个数。
利用韦达定理： 求两根之和、积，用于求对称轴、参数范围等。
图象法： 根据图象直接读出交点横坐标（近似值），或判断根的范围。
对称性： 抛物线与 轴的两个交点关于对称轴对称，可求对称轴或其中一个交点坐标。
常见题型： 求与 轴交点坐标、求参数范围、判断根的情况、利用根与系数关系求值。
11．（2025春 虹口区校级期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c在x＝﹣1时，y有最小值﹣4，它的图象与x轴交点的横坐标分别为x1和x2，且10，求该二次函数的解析式．
【分析】先设此抛物线的解析式y＝a（x+1）2﹣4＝ax2+2ax+a﹣4，然后由根与系数关系，x1+x22，x1 x2，然后根据10，求出a的值即可．
【解答】解：设此抛物线的解析式y＝a（x+1）2﹣4＝ax2+2ax+a﹣4，
由根与系数关系：x1+x22，x1 x2，
∴xx（x1+x2）2﹣2x1 x2＝（﹣2）2﹣2，
依题意得：10，
解得a＝1，
∴抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣3．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，抛物线与x轴的交点，熟练运用根与系数关系是解题的关键．
12．（2026 新城区校级四模）关于抛物线y＝﹣x2+mx+m+1，下列说法错误的是（　　）
A．该抛物线一定经过点（﹣1，0）
B．该抛物线顶点纵坐标的最小值为1
C．若点（﹣2，n）、（5，n）在该抛物线上，则m的值为3
D．当m＝2时，该抛物线与x轴的两个交点之间的距离为4
【分析】依据题意，对于A，将x＝﹣1代入解析式：y＝﹣（﹣1）2+m×（﹣1）+m+1＝0，则抛物线必过（﹣1，0），故可以判断A；
对于B，抛物线y＝﹣x2+mx+m+1，可得顶点纵坐标：，平方数最小值为0，即顶点纵坐标最小值是0，故可判断B；
对于C，由点（﹣2，n），（5，n）纵坐标相等，则对称轴是直线，结合对称轴是直线，从而，则m＝3，故可判断C；
对于D，当m＝2时，解析式为y＝﹣x2+2x+3，可令y＝﹣x2+2x+3＝0，则x1＝﹣1，x2＝3，从而两交点距离为|3﹣（﹣1）|＝4，故可判断D．
【解答】解：由题意，对于A，将x＝﹣1代入解析式：y＝﹣（﹣1）2+m×（﹣1）+m+1＝0，
∴抛物线必过（﹣1，0），故A正确，不合题意；
对于B，抛物线y＝﹣x2+mx+m+1，
∴a＝﹣1，b＝m，c＝m+1，
∴顶点横坐标：，则顶点纵坐标：，平方数最小值为0，即顶点纵坐标最小值是0，故B错误，符合题意；
对于C，∵点（﹣2，n），（5，n）纵坐标相等，
∴对称轴是直线，
又∵对称轴是直线，
∴，则m＝3，故C正确，不合题意；
对于D，当m＝2时，解析式为y＝﹣x2+2x+3，
∴令y＝﹣x2+2x+3＝0，则x1＝﹣1，x2＝3，
∴两交点距离为|3﹣（﹣1）|＝4，故D正确，不合题意．
故选：B．
【点评】本题主要考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的最值，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．
13．（2026 柳江区模拟）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，A（2.18，﹣0.51），B（2.68，0.54）为图象上的两点，则方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个解可能是（　　）
A．2.75 B．2.68 C．2.45 D．2.18
【分析】根据自变量两个取值所对应的函数值是﹣0.51和0.54，可得当函数值为0时，x的取值应在所给的自变量两个值之间．
【解答】解：当x＝2.18时，y＝﹣0.51；当x＝2.68时，y＝0.54，
当y＝0时，2.18＜x＜2.68，只有选项C符合，
故选：C．
【点评】本题考查了图象法求一元二次方程的近似值，用到的知识点为：点在函数解析式上，点的横纵坐标适合这个函数解析式；二次函数值为0，就是函数图象与x轴的交点，跟所给的接近的函数值对应的自变量相关．
14．（2026春 鼓楼区校级期中）将抛物线y＝x2+2向下平移3个单位长度后与x轴的两个交点之间的距离为　2　 ．
【分析】根据二次函数图象的平移规律得到平移后的抛物线解析式，令y＝0求出抛物线与x轴的交点坐标，再计算两个交点之间的距离即可．
【解答】解：根据平移规律“上加下减”，可得平移后的解析式为y＝x2+2﹣3＝x2﹣1，
当抛物线与x轴相交时，函数值为0，令x2﹣1＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝1，
因此平移后抛物线与x轴的交点为（﹣1，0），（1，0），
∴两个交点之间的距离为|1﹣（﹣1）|＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点，正确进行计算是解题关键．
15．（2026 苏州校级二模）已知二次函数y＝﹣x2+bx的图象的对称轴为x＝2．若关于x的一元二次方程﹣x2+bx+t＝0（b，t为实数），在1＜x＜4的范围内有解，则t的取值范围是 　﹣4≤t＜0　 ．
【分析】根据对称轴求出b的值，然后求y＝﹣x2+bx与y＝﹣t在x的范围内有交点问题即
【解答】解：∵对称轴为直线
解得b＝4，
∴二次函数解析式为y＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4，
∴在1＜x＜4时，0＜y≤4，
则﹣x2+bx+t＝0的解相当于y＝﹣x2+bx与直线y＝﹣t的交点，
∴当﹣4≤t＜0时，在1＜x＜4的范围内有解，
故答案为：﹣4≤t＜0．
【点评】本题考查了二次函数的性质，抛物线与x轴的交点，把方程的解转化为两个函数图象的交点的问题求解是解题的关键．
16．（2026 鲁山县二模）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0，a，b，c为常数）的图象如图所示，若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝m有实数根，则m的取值范围是 m≤9　 ．
【分析】把方程ax2+bx+c＝m的解的情况，看成抛物线y＝ax2+bx+c和直线y＝m的交点问题，根据方程有实数根，得到两个图象有交点，进行求解即可．
【解答】解：由图象可知，抛物线的顶点坐标为（﹣4，9），
当x＝﹣4时，函数有最小值为：y＝9，
由题意可得：
∴抛物线y＝ax2+bx+c和直线y＝m有交点，
∴m≤9；
故答案为：m≤9．
【点评】本题考查利用图象法确定一元二次方程根的情况，正确记忆相关知识点是解题关键．
17．（2026 常州校级模拟）如图，是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为直线x＝1，若与x轴的其中一个交点为A（3，0），则由图象可知，与x轴的另一个交点坐标是 　（﹣1，0）　 ．
【分析】利用抛物线的对称性即可求得抛物线与x轴的另一个交点坐标．
【解答】解：∵点（﹣1，0）与（3，0）关于直线x＝1对称，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣1，0）．
故答案为：（﹣1，0）．
【点评】本题主要考查的是抛物线与x轴的交点，利用抛物线的对称性求解是解题的关键．
18．（2026 本溪二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+2ax+3与x轴相交于点A，B，与y轴交于点C，若点D（m，3）在第二象限的抛物线上，则△ACD的面积为　3　 ．
【分析】先求出C（0，3），对称轴为直线x＝﹣1，从而可得点D和点C关于对称轴对称，CD∥x轴，求出m＝﹣2，即可得出D（﹣2，3），最后由三角形面积公式计算即可得出结果．
【解答】解：在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+2ax+3与x轴相交于点A，B，与y轴交于点C，
在y＝ax2+2ax+3中，当x＝0时，y＝3，即C（0，3），
∵抛物线解析式为y＝ax2+2ax+3，
∴对称轴为直线，
∵点D（m，3）在第二象限的抛物线上，C（0，3），
∴点D和点C关于对称轴对称，CD∥x轴，
∴，
∴m＝﹣2，
∴D（﹣2，3），
∴CD＝2，
∴△ACD的面积为．
故答案为：3．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点，正确进行计算是解题关键．
19．（2026 工业园区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+4x+m与x轴交于点C、D，与y轴交于点A，过点A作AB∥x轴交抛物线于点B．若AB+CD＝6，则四边形ABCD的面积为 　9　 ．
【分析】由抛物线解析式可得抛物线对称轴，从而可得AB长度，由抛物线的对称性可得点D，C的坐标，从而可得m的值，由四边形ABCD的面积为（AB+CD） OA求解．
【解答】解：∵y＝﹣x2+4x+m，
∴抛物线对称轴为直线x2，
∴AB＝4，
∵AB+CD＝6，
∴CD＝6﹣4＝2，
∴由抛物线的对称性可得点D坐标为（1，0），点C坐标为（3，0），
将（1，0）代入y＝﹣x2+4x+m得0＝﹣1+4+m，
解得m＝﹣3，
∴OA＝3，
∴四边形ABCD的面积为（AB+CD） OA6×3＝9，
故答案为：9．
【点评】本题考查二次函数与x轴的交点，解题关键是掌握二次函数与方程的关系，二次函数图象与系数的关系．
20．（2026 徐州二模）如图为二次函数y＝ax2+2ax+c的图象，该图象与x轴的两个交点分别为A（﹣4，0），B．下列说法正确的是　①③④　 （写出所有正确结果的序号）．
①对称轴为直线x＝﹣1；
②当x＜0时，y随x的增大而增大；
③4a2﹣4ac＞0；
④8a+c＝0．
【分析】根据二次函数对称轴公式以及二次函数增减性可以判断说法①、②；根据二次函数与x轴交点个数，结合二次函数与一元二次方程的关系可以判断说法③；根据点A，点B关于对称轴对称，结合点A坐标，求出点B坐标，最后将点B坐标代入二次函数解析式中，即可判断说法④．
【解答】解：对于说法①：∵二次函数y＝ax2+2ax+c，
∴对称轴为直线，
∴①正确，符合题意；
对于说法②：∵二次函数y＝ax2+2ax+c开口向下，对称轴为直线x＝﹣1，
∴当x＞﹣1时，y随x的增大而减小；当x＜﹣1时，y随x的增大而增大，
∴②错误，不符合题意；
对于说法③：∵二次函数的图象与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，
∵二次函数y＝ax2+2ax+c，
∴b＝2a，
∴b2﹣4ac＞0即4a2﹣4ac＞0，
∴③正确，符合题意；
对于说法④：∵该二次函数图象与x轴的两个交点分别为A（﹣4，0），B，
∴点A（﹣4，0）与点B关于对称轴对称，
∵该二次函数的对称轴为直线x＝﹣1，
∴点B（2，0），
将点B（2，0）代入二次函数y＝ax2+2ax+c中，得：y＝22a+2×2a+c＝8a+c＝0，
即8a+c＝0，
∴④正确，符合题意．
综上，说法正确的是：①③④，
故答案为：①③④．
【点评】本题主要考查了二次函数图象的性质，二次函数图象与系数之间的关系，掌握其相关知识点是解题的关键．
21．（2026 江汉区三模）已知二次函数y＝ax2+（a﹣2）x+2﹣2a（a为常数，且a＞0），下列五个结论：
①该函数图象经过点（1，0）；②该函数图象与x轴有两个不同的公共点；③若a＞2，则当x＞0时，y随x的增大而增大；④若a为整数，且关于x的方程ax2+（a﹣2）x+2﹣2a＝0有两个整数解，则a＝1或2；⑤若关于x的方程|ax2+（a﹣2）x+2﹣2a|＝2有三个实数根，则a＝2．其中正确的是　①③④　 ．（填序号）
【分析】代入验证①，计算判别式判断②，求对称轴结合增减性判断③，求方程的根分析判断④，结合绝对值方程与抛物线交点情况分析判断⑤即可．
【解答】解：已知二次函数y＝ax2+（a﹣2）x+2﹣2a，a＞0，a为常数，
①将x＝1代入函数解析式，得：
y＝a 12+（a﹣2） 1+2﹣2a＝a+a﹣2+2﹣2a＝0，
所以该函数图象经过点（1，0），故①正确；
②Δ＝（a﹣2）2﹣4a（2﹣2a）＝a2﹣4a+4﹣8a+8a2＝9a2﹣12a+4＝（3a﹣2）2≥0，
当时，Δ＝0，函数图象与x轴只有一个公共点，故②错误；
③因为a＞0，
故二次函数开口向上，
对称轴为直线，
当a＞2时，2﹣a＜0，
所以对称轴在y轴的左侧x＜0，
∵二次函数开口向上，
∴在对称轴右侧，y随x增大而增大，
∵x＞0在对称轴的右侧，因此当x＞0时，y随x增大而增大，故③正确；
④由①可知x＝1是方程ax2+（a﹣2）x+2﹣2a＝0的一个整数根，设另一根为x2，由根与系数的关系得：
，
因为a为正整数，方程有两个整数解，所以x2为整数，即为整数，
所以正整数a是2的正约数，得a＝1或a＝2，
当a＝1时，x2＝0，为整数，符合题意，当a＝2时，x2＝﹣1，为整数，符合题意，故④正确；
⑤方程|ax2+（a﹣2）x+2﹣2a|＝2等价于ax2+（a﹣2）x+2﹣2a＝2或ax2+（a﹣2）x+2﹣2a＝﹣2，
因为抛物线开口向上，顶点的纵坐标为，
若方程有三个实数根，则y＝﹣2与抛物线只有一个交点，即顶点纵坐标为﹣2，
∴，
整理得9a2﹣20a+4＝0，
解得a＝2或，均满足a＞0，因此a的值为2或，故⑤错误；
综上，正确的有①③④，
故答案为：①③④．
【点评】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，根的判别式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，掌握其相关知识点是解题的关键．
22．（2025秋 拱墅区校级月考）在直角坐标系中，设函数y1＝（x﹣a）（x﹣b），，其中a≠b．
（1）若函数y1的图象过点（0，3），函数y2的图象过点（1，5），求a2+b2的值．
（2）若0＜a＜b＜3，判断函数y2与x轴的交点个数，说明理由．
（3）若函数y1和函数y2与x轴的交点均相同，求a，b的值．
【分析】（1）利用待定系数法求出ab＝3，a+b＝4，则a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝10再结合完全平方公式计算即可；
（2）表示出判别式Δ＝a2﹣4b，再根据题意得到a2＜4b，判断出Δ＝a2﹣4b＜0，即可求出结果；
（3）先求出函数y1与x轴的交点为（a，0）和（b，0），再利用根与系数的关系列出方程，求出a，b的值．
【解答】解：（1）把（0，3），（1，5）分别代入中，
得ab＝3，a+b＝4，
∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝42﹣2×3＝10；
（2）由题意得Δ＝a2﹣4b，
∵0＜a＜b＜3，
∴a2＜b2＜32，b2＜3b，
∴b2＜4b，
∴a2＜4b，
即Δ＝a2﹣4b＜0，
∴y2的图象与x轴没有交点；
（3）∵y1＝（x﹣a）（x﹣b），
∴函数y1与x轴的交点为（a，0）和（b，0），
∴a+b＝﹣a，ab＝b，
∴a＝1，b＝﹣2或a＝0，b＝0（舍去），
∴a的值是1，b的值是﹣2．
【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数与一元二次方程，抛物线与x轴的交点等，掌握二次函数的综合知识是解题的关键．
23．（2026 平邑县二模）已知抛物线y＝ax（x﹣1）+3（a≠0）．
（1）求出抛物线的对称轴和顶点坐标（用含字母a的式子表示）；
（2）若该抛物线与x轴交于点A（x1，0），B（x2，0）（点B在点A的右侧），且x2﹣x1＝2，求a的值；
（3）当a＜0时，该抛物线上的任意两点P（x3，y3），Q（x4，y4），若满足x3＝﹣1，y3＞y4，求x4的取值范围．
【分析】（1）先把解析式化为一般式，然后根据公式即可解答；
（2）先把函数化为一般式，然后得到方程ax2﹣ax+3＝0，再运用根的判别式确定a的取值范围以及公式法求出根即可解答；
（3）由题意可得该抛物线的对称轴为x，开口向下，即当x时，y随x的增大而增大，当x时，y随x的增大而减小，然后分x4，和x4两种情况，分别利用二次函数的性质即可求解．
【解答】解：（1）∵y＝ax（x﹣1）+3＝ax2﹣ax+3＝a（x）2a+3，
∴该抛物线的对称轴为x，顶点坐标为（，）；
（2）令y＝ax2﹣ax+3＝0，则方程ax2﹣ax+3＝0有两个实数根，
∴Δ＝a2﹣12a＞0，则a＞12或a＜0，
当a＞12时，
∴，，
∵x2﹣x1＝2，
∴2，解得a＝﹣4（舍去），a＝0（舍去），
当a＜0时，
∴，，
∵x2﹣x1＝2，
∴2，解得a＝﹣4．
（3）∵y＝a（x）2a+3，a＜0，
∴该抛物线的对称轴为x，开口向下，
∴当x时，y随x的增大而增大，当x时，y随x的增大而减小，
当x4时，由y3＞y4，得x4＜﹣1，
当x4时，由抛物线的对称性可得x＝2和x3＝﹣1的函数值相同，又y3＞y4，则x4＞2，
综上，x4的取值范围为x4＜﹣1或x4＞2．
【点评】本题主要考查二次函数的性质，把二次函数化成顶点式，二次函数与一元二次方程的关系等知识，熟练掌握以上性质是解题关键．
24．（2026 思明区校级二模）已知二次函数y＝（x﹣x1）（x﹣x2）（x1，x2是实数）．
（1）求二次函数的图象与x轴交点的坐标并直接写出二次函数图象的对称轴（用含x1，x2的代数式表示）；
（2）若该函数的最小值为﹣1，求x1﹣x2的值；
（3）已知二次函数的图象经过（0，m）和（1，n）两点（m，n是实数），当0＜x1＜x2＜1时，求证：．
【分析】（1）令y＝0，则（x﹣x1）（x﹣x2）＝0，求解即可得出二次函数的图象与x轴交点坐标，将二次函数的解析式化为一般式，再结合二次函数的对称轴公式计算即可得解；
（2）将二次函数的解析式化为顶点式，即可得出当时，y有最小值，结合题意可得，求解即可；
（3）由题意可得x1x2＝m，n＝（1﹣x1）（1﹣x2），表示出，由题意并结合二次函数的性质可得，，由此即可得出结果．
【解答】解：（1）已知二次函数y＝（x﹣x1）（x﹣x2）（x1，x2是实数）．
令y＝0，则（x﹣x1）（x﹣x2）＝0，
解得x＝x1或x＝x2，
∴二次函数的图象与x轴交点坐标为（x1，0），（x2，0），
∵，
∴对称轴为直线；
（2）∵，a＝1＞0，
∴当时，y有最小值，
∵该函数的最小值为﹣1，
∴，
解得x1﹣x2＝2或x1﹣x2＝﹣2；
即x1﹣x2的值为2或﹣2；
（3）证明：已知二次函数的图象经过（0，m）和（1，n）两点（m，n是实数），
∵二次函数的图象经过（0，m）和（1，n）两点，
∴x1x2＝m，n＝（1﹣x1）（1﹣x2），
∴mn＝x1x2（1﹣x1）（1﹣x2）
，
∵0＜x1＜x2＜1，
∴，，
∴，
当时，且，
解得，
这与x1＜x2矛盾，
∴，
∴．
【点评】本题考查抛物线与x轴的关系，正确进行计算是解题关键．
25．（2026 沛县模拟）已知如图，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线解析式及顶点坐标；
（2）已知点P是抛物线对称轴上一点，若S△PCA＝5，求P点的坐标．
【分析】（1）将点A（﹣1，0），B（3，0）代入抛物线解析式计算即可；
（2）设点P（1，m），直线PA与y轴交于点D，根据S△PCA＝S△ACD+S△PCD解题．
【解答】解：（1）将点A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝ax2+bx+3，
得，
解得，
∴y＝﹣x2+2x+3；
顶点横坐标为，此时y＝﹣1+2+3＝4，
∴顶点坐标为（1，4）；
（2）当x＝0时，y＝3，即C（0，3），
设点P（1，m），直线PA与y轴交于点D，如图，
设直线PA的解析式为y＝kx+n，则D（0，n），
代入P（1，m），A（﹣1，0），有
，
解得，
∴，
∴，
∵S△PCA＝S△ACD+S△PCD
，
∴点P是抛物线对称轴上一点，则，
解得m＝﹣4或m＝16，
∴若S△PCA＝5，则P（1，﹣4）或P（1，16）．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
26．（2026春 索县校级月考）如图，抛物线y＝﹣x2+mx+2与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点A的坐标为（1，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上找一点P，求PA+PC的值最小；
（3）在第二象限内的抛物线上，是否存在点M，使△MBC的面积是△ABC面积的一半？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）把点A坐标代入抛物线的解析式求出m即可解决问题；
（2）依据题意，由A、B关于对称轴对称，连接BC交对称轴于P，连接PA，此时PA+PC的值最小．求出直线BC的解析式，即可解决问题；
（3）依据题意，连接OM．设M（m，﹣m2﹣m+2）．由S△MBC S△ABC，可得S△OBM+S△OCM﹣S△ABC S△ABC，由此列出方程即可解决问题；
【解答】解：（1）∵y＝﹣x2+mx+2经过点A（1，0），
∴0＝﹣1+m+2，
∴m＝﹣1，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣x+2．
（2）如图，由A、B关于对称轴对称，连接BC交对称轴于P，连接PA，此时PA+PC的值最小．
∵B（﹣2，0），C（0，2），设直线BC的解析式为y＝kx+b，则有，
∴．
∴直线BC的解析式为y＝x+2．
∵抛物线的对称轴为直线x，
∴P（，）．
（3）不存在．
理由：如图，连接OM．设M（m，﹣m2﹣m+2）．
∵S△MBC S△ABC，
∴S△OBM+S△OCM﹣S△ABC S△ABC，
∴2×（﹣m2﹣m+2）2×（﹣m）2×22×3，
整理得，2m2+4m+3＝0，
∵Δ＝42﹣4×2×3＜0，
∴方程无解，不存在．
【点评】本题考查二次函数综合题、待定系数法、轴对称最短问题、三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用对称解决最短问题，学会用方程的思想思考问题，属于中考压轴题．
27．（2025秋 魏县期末）如图，嘉嘉用判别式Δ判断二次函数与x轴交点情况，墨迹不小心覆盖了一部分过程．老师说：“依据你所写的判别式Δ，是可以知道原函数的．”
（1）该二次函数的一次项系数b＝　﹣4　 ，常数项c＝　﹣1　 ；
（2）该二次函数图象与x轴有　2　 个交点；
（3）当x＝2时，求y的值．
【分析】（1）根据根的判别式即可得出b＝﹣4，c＝﹣1．
（2）根据根的判别式即可得出答案．
（3）先得出二次函数解析式，再把x＝2代入二次函数解析式即可求出y．
【解答】解：（1）根据Δ＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣1）＝20＞0，
可知b＝﹣4，c＝﹣1．
∴该二次函数的一次项系数b＝﹣4，c＝﹣1．
故答案为：﹣4；﹣1；
（2）∵Δ＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣1）＝20＞0，
∴该二次函数图象与x轴的有2个交点．
故答案为：2；
（3）∵a＝1，b＝﹣4，c＝﹣1．
∴y＝x2﹣4x﹣1，
当x＝2时，y＝22﹣4×2﹣1＝4﹣8﹣1＝﹣5．
【点评】本题主要考查了二次函数的定义，二次函数与x轴的交点问题等知识，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
【考点3】图象法求一元二次方程的近似根（第28-36题）
※ 方法总结
核心原理： 连续函数在异号区间内必有零点。
操作步骤： ① 画函数图象或利用表格找出异号区间；② 取中点并计算函数值；③ 缩小区间直至达到精度。
精度控制： 每次缩小区间一半，区间长度即为最大误差。
注意： 图象法只能得到近似解，但可任意控制精度；常用于无法因式分解或求根公式计算繁杂的情况。
28．（2025秋 海沧区校级期中）在实际问题中往往需要求得方程的近似解，这个时候，我们通常利用函数的图象来完成．如，求方程x2﹣2x﹣2＝0的实数根的近似解，观察函数y＝x2﹣2x﹣2的图象，发现，当自变量为2时，函数值小于0（点（2，﹣2）在x轴下方），当自变量为3时，函数值大于0（点（3，1）在x轴上方）．因为抛物线y＝x2﹣2x﹣2是一条连续不断的曲线，所以抛物线
y＝x2﹣2x﹣2在2＜x＜3这一段经过x轴，也就是说，当x取2、3之间的某个值时，函数值为0，即方程x2﹣2x﹣2＝0在2、3之间有根．
进一步，我们取2和3的平均数2.5，计算可知，对应的数值为﹣0.75，与自变量为3的函数值异号，所以这个根在2.5与3之间任意一个数作为近似解，该近似解与真实值的差都不会大于3﹣2.5＝0.5．
重复以上操作，随着操作次数增加，根的近似值越来越接近真实值．
用以上方法求得方程x2﹣2x﹣2＝0的小于0的解，并且使得所求的近似解与真实值的差不超过0.3，该近似解为　﹣0.75　
【分析】观察函数y＝x2﹣2x﹣2的图象，发现，当自变量为0时，函数值小于0，当自变量为﹣1时，函数值大于0，求得﹣1和0的平均数﹣0.5，对应的数值为﹣0.75，与自变量为﹣1的函数值异号，再求﹣1和﹣0.5的平均数﹣0.75，对应的数值为0.0625，即可求得这个根在﹣0.75与﹣0.5之间任意一个数作为近似解，由﹣0.5﹣（﹣0.75）＝0.25＜0.3，即可求得近似值．
【解答】解：观察函数y＝x2﹣2x﹣2的图象，发现，当自变量为0时，函数值小于0，当自变量为﹣1时，函数值大于0，因为抛物线y＝x2﹣2x﹣2是一条连续不断的曲线，所以抛物线y＝x2﹣2x﹣2在﹣1＜x＜0这一段经过x轴，也就是说，当x取﹣1、0之间的某个值时，函数值为0，即方程x2﹣2x﹣2＝0在﹣1、0之间有根．
我们取﹣1和0的平均数﹣0.5，计算可知，对应的数值为﹣0.75，与自变量为﹣1的函数值异号，所以这个根在﹣1与﹣0.5之间，取﹣1和﹣0.5的平均数﹣0.75，计算可知，对应的数值为0.0625，与自变量为﹣0.5的函数值异号，所以这个根在﹣0.75与﹣0.5之间任意一个数作为近似解，该近似解与真实值的差都不会大于﹣0.5﹣（﹣0.75）＝0.25＜0.3，该近似解为﹣0.75，
故答案为﹣0.75．
【点评】本题考查的是根据图象求一元二次方程的解，读懂函数图象，从中获取正确的信息是解题的关键．
29．（2024秋 广东校级月考）用图象法求方程的解．
【分析】根据题意，作出抛物线的图形，结合图象与x轴的交点即可得到一元二次方程的解．
【解答】解：图象如下，
∴由图象可知抛物线与x轴的交点为 ，
∴原方程的解为．
【点评】本题主要考查二次函数图象的性质，掌握二次函数图象的性质是解题的关键．
30．（2024春 同步）利用二次函数的图象估计一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的实数根（精确到0.1）．
【分析】方程x2﹣2x﹣1＝0的根是函数y＝x2﹣2x﹣1与x轴交点的横坐标．先作出二次函数y＝x2﹣2x﹣1的图象，观察图象可知方程有两个根，一个在0和﹣1之间，另一个在1和2之间，再根据精确度求出方程的解即可．
【解答】解：方程x2﹣2x﹣1＝0的根是函数y＝x2﹣2x﹣1与x轴交点的横坐标．
作出二次函数y＝x2﹣2x﹣1的图象，如图所示，
由图象可知，方程有两个根，一个在0和﹣1之间，另一个在2和3之间．
先求0和﹣1之间的根，
当x＝﹣0.5时，y＝0.25；当x＝﹣0.4时，y＝﹣0.04；而|0.25|＞|﹣0.04|，
因此，x＝﹣0.4是方程的一个近似根，
同理，x＝2.4是方程的另一个近似根．
所以方程x2﹣2x﹣1＝0的两个近似根是﹣0.4或2.4．
【点评】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根，解答此题的关键是准确画出函数的图象，体现了数形结合的思想方法．
31．（2024秋 同步）（1）请在坐标系中画出二次函数y＝x2﹣2x﹣1的大致图象．
（2）根据方程的根与函数图象之间的关系．将方程x2﹣2x﹣1＝0的根在图上近似的表示出来；（描点）
（3）观察图象，直接写出方程x2﹣2x﹣1＝0的根．（精确到0.1）
【分析】（1）确定顶点坐标和与x轴y轴交点，作出图形；
（2）方程x2﹣2x﹣1＝0的根就是二次函数y＝x2﹣2x﹣1的函数值为0时的横坐标x的值；
（3）观察图象可知图象与x轴交点的横坐标即为方程的根．
【解答】解：（1）如图，
y＝x2﹣2x﹣1＝（x﹣1）2﹣2，
作出顶点，作出与x轴的交点，图象光滑．
（2）正确作出点M，N；
（3）写出方程的根为﹣0.4，2.4．
【点评】本题考查了图象法求一元二次方程的近似值，二次函数与一元二次方程的关系，解答此题的关键是求出对称轴，然后由图象解答，锻炼了学生数形结合思想的运用．
32．（2026 项城市校级模拟）下列表格中是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的自变量x与函数y的一些对应值，可以判断一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个近似根是（　　）
x 6.7 6.8 6.9 7.0
y＝ax2+bx+c ﹣0.3 ﹣0.1 0.2 0.6
A．6.7 B．6.8 C．6.9 D．7.0
【分析】一元二次方程ax2+bx+c＝0的根对应二次函数y＝ax2+bx+c与x轴交点的横坐标，先观察表格中函数值的正负变化，找到函数值由负变正的区间6.8＜x＜6.9，再结合区间内函数值与0的接近程度，判断近似根更靠近6.8．
【解答】解：观察表格：
当x＝6.8时，y＝﹣0.1，最接近0；
当x＝6.9 时，y＝0.2，距离0比﹣0.1更远；
又∵y在x＝6.8到x＝6.9之间由负变正，说明y＝0的根在6.8和6.9之间，
∴x＝6.8对应的函数值更接近0，
∴一元二次方程的一个近似根是6.8．
故选：B．
【点评】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根，熟练掌握该知识点是关键．
33．（2025秋 高平市期末）设二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），下表列出了x与y的6对对应值：
x ﹣1 0 1 2 3 4
y ﹣7 ﹣5 ﹣1 5 13 23
根据表格中的内容，能够判断一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个解的大致范围是（　　）
A．﹣7＜x＜﹣5 B．1＜x＜2 C．﹣5＜x＜﹣1 D．﹣1＜x＜0
【分析】根据二次函数图象的连续性，当两个x值对应的函数值异号时，这两个x值之间的区间内存在一元二次方程的解，通过表格数据找出y异号的x区间即可．
【解答】解：根据二次函数图象的连续性可知当x＝1时，y＝﹣1＜0；当x＝2时，y＝5＞0；
又∵二次函数的图象是连续的抛物线；
∴在1＜x＜2的区间内，存在x使得y＝0，即一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个解的大致范围是1＜x＜2．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数与一元二次方程的解的关系，解本题的关键在找出当函数值y为0时，对应的一元二次方程的一个解的取值范围．
34．（2026 江西）如图，观察函数y＝x2+3x﹣3的图象，可以发现方程x2+3x﹣3＝0在0，1之间有根．取0，1的平均数0.5，当x＝0.5时，y＜0，进一步可知这个根在0.5和1之间，则与方程x2+3x﹣3＝0另一根更接近的是（　　）
A．﹣4.5 B．﹣4 C．﹣3.5 D．﹣3
【分析】求出函数y＝x2+3x﹣3的图象的对称轴，再结合已知的根的范围可得答案．
【解答】解：∵抛物线y＝x2+3x﹣3的对称轴为x1.5，已知根0.5＜x1＜1，由对称性得另一根﹣1.5×2﹣1＜x2＜﹣1.5×2﹣0.5，即﹣4＜x2＜﹣3.5，
∴另一根更接近的是﹣4．
故选：B．
【点评】本题考查的是根据图象求一元二次方程的解，读懂函数图象，从中获取正确的信息是解题的关键．
35．（2026春 深圳月考）下表给出了二次函数y＝ax2+bx+c中x，y的部分对应值：
x … 0.25 0.5 0.75 1 …
y … ﹣1.69 ﹣0.25 1.31 3 …
估计方程ax2+bx+c＝0的一个解x的取值范围是　0.5＜x＜0.75　 ．
【分析】通过观察表格中函数值的变化，确定方程根所在区间．
【解答】解：方程ax2+bx+c＝0的解即为函数y＝ax2+bx+c的零点．
由表格数据可知，当x＝0.75时，y＝1.31＞0，当x＝0.5时，y＝﹣0.25＜0，
由于函数连续，故在x＝0.5与x＝0.75之间必然存在一点使y＝0，
因此0.5＜x＜0.75．
故答案为：0.5＜x＜0.75．
【点评】本题考查二次函数与一元二次方程，掌握知识点是解题的关键．
36．（2025秋 岑溪市期末）如图是函数y＝x2﹣4x+3的图象，则方程x2+4x+3＝0的近似解是x1＝﹣1，x2＝﹣3　 ．
【分析】根据函数图象与x轴交点的横坐标是方程的解，可得答案．
【解答】解：函数y＝x2﹣4x+3的图象与函数y＝x2+4x+3的图象关于y轴对称，
观察函数y＝x2﹣4x+3的图象，得图象与x轴的交点分别是（1，0），（3，0），
∴函数y＝x2+4x+3的图象与x轴的交点分别是（﹣1，0），（﹣3，0），
∴方程x2+4x+3＝0的解是x1＝﹣1，x2＝﹣3．
故答案为：x1＝﹣1，x2＝﹣3．
【点评】本题考查了图象法求方程的近似解，函数图象与x轴交点的横坐标是方程的解．
【考点4】创新及压轴题（第37-39题）
※ 方法总结
含参讨论： 根据判别式、顶点位置、对称轴等分类讨论参数取值范围。
新定义问题： 如“倍值点”等，转化为方程或不等式求解。
图象变换与组合： 折叠后新函数图象的最值问题，注意对称性和分段函数。
综合策略： ① 求出基础函数解析式；② 利用数形结合分析临界状态；③ 列出方程或不等式求解参数。
37．（2026 海淀区校级竞赛）已知二次函数y＝x2+2mx+m﹣1．
（1）若该二次函数图象经过原点（0，0），求该二次函数的顶点坐标；
（2）求证：不论m取何值，该二次函数图象与x轴总有两个公共点；
（3）若m＜0时，点A（n﹣4，p），B（2，q），C（n，p）都在这个二次函数图象上，且m﹣1＞q＞p，求n的取值范围．
【分析】（1）已知函数图象过原点，将原点坐标代入函数解析式，求出m的值，再把函数化为顶点式，就能得到顶点坐标．
（2）要证明函数图象与x轴总有两个公共点，只需计算判别式Δ，通过对Δ变形，利用平方数的非负性证明Δ＞0；
（3）先根据抛物线上纵坐标相同的两点关于对称轴对称，求出对称轴，进而得到m与n的关系，结合m＜0得到n的初步范围；再依据抛物线开口方向以及m﹣1＞q＞p，分析点B和点C到对称轴的距离关系，进一步确定n的取值范围．
【解答】解：（1）∵y＝x2+2mx+m﹣1过原点（0，0），
∴代入得0＝m﹣1，解得m＝1．
∴y＝x2+2x＝（x+1）2﹣1，
∴顶点坐标为（﹣1，﹣1）．
（2）∵y＝x2+2mx+m﹣1，
∴Δ＝（2m）2﹣4（m﹣1）＝4m2﹣4m+4＝（2m﹣1）2+3．
∵（2m﹣1）2≥0，
∴Δ＝（2m﹣1）2+3＞0，
故函数图象与x轴总有两个公共点．
（3）若m＜0时，点A（n﹣4，p），B（2，q），C（n，p）都在这个二次函数图象上，且m﹣1＞q＞p，
二次函数对称轴为x＝﹣m，点A（n﹣4，p）、C（n，p）纵坐标相同，
∴对称轴为x＝n﹣2，即﹣m＝n﹣2，得m＝2﹣n．
由m＜0，得2﹣n＜0，n＞2．
∵a＝1＞0，抛物线开口向上，且m﹣1＞q＞p，
∴点B（2，q）到对称轴x＝n﹣2的距离|2﹣（n﹣2）|＝n﹣4，
点C（n，p）到对称轴距离为2．
由n﹣4＞2，得n＞6．
【点评】本题考查二次函数的综合应用，涉及二次函数的顶点式、二次函数与x轴的交点（判别式的应用）、二次函数的对称性等知识点．运用了方程思想（求m的值）、转化思想（将函数与x轴交点问题转化为判别式的计算）、数形结合思想（借助抛物线的对称性和开口方向分析点的位置关系）．解题关键是熟练掌握二次函数的性质，易错点是在利用二次函数对称性分析点到对称轴距离时，易忽略n的取值范围对距离计算的影响．
38．（2026 西湖区校级三模）【阅读理解】
同学们，我们来学计算二次方程解的方法．例如，求2x2+2x﹣7＝0的解．
思路：在二次函数y＝2x2+2x﹣7中，若取x的值为x1，x2，x1＜x2，使得相应的函数值y1 y2＜0，则抛物线与x轴的交点中至少有一个在（x1，0）与（x2，0）之间，也就是说，方程2x2+2x﹣7＝0至少有一个解在x1与x2之间．
（1）【尝试探究】
小明按照上述方法求方程2x2+2x﹣7＝0的一个解，过程如表：
x的值 0 1 2 3
y＝2x2+2x﹣7 ﹣7 a b c
请利用表格信息，求出方程的解在哪两个相邻的整数之间．
（2）【迁移应用】
若关于x的方程x2+4x+m＝0有两个不同的解，恰有一个解落在﹣4与﹣5之间，求m的取值范围．
【分析】（1）将点的横坐标代入解析式得到纵坐标，根据两点纵坐标之积小于零，判断解的范围；
（2）将x＝﹣4和x＝﹣5分别代入y＝x2+4x+m得到y1、y2，根据y1y2＜0，结合判别式大于0求出m的取值范围．
【解答】解：（1）将x1＝1代入得，y1＝﹣3；当x2＝2时，y2＝5，
所以y1 y2＜0，所以方程的解落在1和2之间．
（2）∵方程x2+4x+m＝0有两个不同的解，
∴Δ＝42﹣4m＞0，
∴m＜4，
将x1＝﹣4，x2＝﹣5分别代入得y1＝m，y2＝m+5，
∵恰有一个解落在﹣4与﹣5之间，
∴y1y2＝m（m+5）＜0，所以﹣5＜m＜0．
【点评】本题主要考查了图象法求一元二次方程的近似根，掌握其相关知识点是解题的关键．
39．（2026 湖北模拟）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+2x+3与x轴相交于点A（﹣1，0）和点B．
（1）求a的值；
（2）定义：在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标等于其横坐标的2倍，我们称这个点为“倍值点”，求抛物线y＝ax2+2x+3上的“倍值点”的坐标；
（3）如图1，将此抛物线在x轴下方的部分沿x轴折叠到x轴上方，这部分图象与原抛物线剩余的部分组成新函数的图象（如图2）记为M．
①直接写出新函数图象M对应的函数解析式；
②当0≤x≤m时，图象M上函数的最小值是，最大值是，求m的取值范围．
【分析】（1）把A（﹣1，0）代入y＝ax2+2x+3，即可求解；
（2）设这个“倍值点”的坐标为（m，2m），将（m，2m）代入y＝﹣x2+2x+3，求出m的值，即可求解；
（3）①根据折叠的性质，即可求解；②根据二次函数的图象和性质解答即可．
【解答】解：（1）把A（﹣1，0）代入y＝ax2+2x+3，得：a﹣2+3＝0，
∴a＝﹣1．
（2）由（1）得该抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3，
设这个“倍值点”的坐标为（m，2m），
将（m，2m）代入y＝﹣x2+2x+3，得﹣m2+2m+3＝2m．
解得．
∴“倍值点”的坐标是和．
（3）①对于y＝﹣x2+2x+3，
当y＝0时，﹣x2+2x+3＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝3，
∴点B（3，0），
∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴原函数图象的顶点坐标为（1，4），
∴折叠后的抛物线的顶点坐标为（1，﹣4），
∵将此抛物线在x轴下方的部分沿x轴折叠到x轴上方，
∴当x＜﹣1或x＞3时，该部分函数解析式为y＝（x﹣1）2﹣4＝x2﹣2x﹣3，
当﹣1≤x≤3时，该部分函数解析式为y＝﹣x2+2x+3，
综上所述，新函数图象M对应的函数解析式为；
②当0≤x≤m时，图象M上函数的最小值是，最大值是，
由①得B（3，0），，
如图所示，
当0≤x≤1时，y随x的增大而增大；
当1＜x＜3时，y随x的增大而减小；
当x≥3时，y随x的增大而增大，且当x＝3时，y取得最小值为0．
∵当0≤x≤m时，图象M上函数的最小值是，
∴，
∴，
此时，图象M上函数的最大值是，
在y＝x2﹣2x﹣3中，令y＝4，得x2﹣2x﹣3＝4，
解得，，（舍去）．
∴m的取值范围是．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点，正确进行计算是解题关键．
随堂检测 · 精选练习
第40题： 求二次函数表达式（待定系数法）；利用抛物线上两点纵坐标差与横坐标差的关系（斜率意义）；给定区间上的最值问题（含参数分类讨论）。
第41题： 抛物线与 轴交点间的距离（），利用韦达定理或求根公式。
第42题： 抛物线平移后与 轴有1个公共点（即顶点在 轴上，Δ=0），求平移距离。
第43题： 已知抛物线与 轴两个交点间距离为6，求顶点的纵坐标（利用对称性及顶点纵坐标公式）。
【练习1】（2026 萧县二模）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2+bx﹣3（a≠0）的图象与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）已知（x1，y1）和（x2，y2）两点均在该抛物线上，且x1≠x2，x1+x2＝﹣1，求的值；
（3）当0≤x≤t时，设该二次函数的最大值和最小值分别为m和n，且m+n＝1，求t的值．
【分析】（1）把A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝ax2+bx﹣3，得出关于a、b的二元一次方程组，解方程组求出a、b的值即可得答案；
（2）求出，，即可得出y1﹣y2＝（x1﹣x2）（x1+x2﹣2），进而代入所求代数式化简即可；
（3）根据二次函数解析式得出抛物线的对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，﹣4），当x＝0时，y＝﹣3，当x＝2时，y＝﹣3，分0≤t＜1，1≤t＜2和t≥2三种情况，分别得出最大值和最小值，根据m+n＝1分别求解即可．
【解答】解：（1）由题意可得：
∴，
解得：，
∴该二次函数的表达式为y＝x2﹣2x﹣3．
（2）由题意可得：
∴，，
∴y1﹣y2
＝（x1+x2）（x1﹣x2）﹣2（x1﹣x2）
＝（x1﹣x2）（x1+x2﹣2），
∵x1≠x2，x1+x2＝﹣1，
∴．
（3）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线的开口向上，对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，﹣4），当x＝0时，y＝﹣3，
∴x＝2时与x＝0时的函数值相等，即当x＝2时，y＝﹣3，
∵0≤x≤t时，该二次函数的最大值和最小值分别为m和n，且m+n＝1，
∴当0≤t＜1时，最大值m＝﹣3，最小值为n＝（t﹣1）2﹣4，
∴（t﹣1）2﹣4+（﹣3）＝1，
解得：（舍去），（舍去），
当1≤t＜2时，最小值n＝﹣4，最大值m＝﹣3，
∴m+n＝﹣7，（不符合题意，舍去）
当t≥2时，最小值n＝﹣4，最大值m＝（t﹣1）2﹣4，
∴（t﹣1）2﹣4+（﹣4）＝1，
∴t1＝4，t2＝﹣2（舍去），
综上所述：t的值为4．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点，正确进行计算是解题关键．
【练习2】（2026 南充）抛物线y＝x2+mx+m﹣2与x轴交于A，B两点，且AB，则m的值为　1或3　 ．
【分析】利用二次函数与x轴的交点坐标关系，当y＝0时，利用根与系数的关系解答．
【解答】解：当y＝0时，x2+mx+m﹣2＝0，
∴x1+x2＝﹣m，x1 x2＝m﹣2．
∵AB，
∴|x1﹣x2|．
∴m2﹣4m+3＝0，
∴m＝1或3．
故答案为：1或3．
【点评】此题考查了一元二次方程的解法，要注意选择适宜的解题方法．
【练习3】（2026 赣榆区二模）将抛物线y＝x2﹣6x+12向下平移m个单位长度．若平移后得到的抛物线与x轴有1个公共点，则m的值是　3　 ．
【分析】先根据平移的规律写出抛物线y＝x2﹣6x+12向下平移m个单位长度后的抛物线的表达式，再根据平移后得到的抛物线与x轴有1个公共点可得Δ＝0，由此列出关于m的方程，解方程即可求出m的值．
【解答】解：将抛物线y＝x2﹣6x+12向下平移m个单位长度得y＝x2﹣6x+12﹣m，
∵平移后得到的抛物线与x轴有1个公共点，
∴Δ＝0，
即（﹣6）2﹣4（12﹣m）＝0，
解得m＝3．，
故答案为：3．
【点评】此题考查了二次函数图象的平移与几何变换，以及抛物线与x轴的交点问题，利用抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减是解题关键．
【练习4】（2026 鼓楼区二模）已知二次函数y＝﹣2x2+bx+c的图象与x轴的两个交点的距离为6，则该函数图象的顶点的纵坐标为　18　 ．
【分析】设x1、x2是二次函数y＝﹣2x2+bx+c的图象与x轴的两个交点的横坐标，根据根与系数的关系得到x1+x2b，x1x2c，由两个交点的距离为6，即可得出（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝36，即（2﹣4×（36，得出b2+2c＝36，利用顶点公式即可求得抛物线y＝﹣2x2+bx+c顶点的纵坐标为：cb2（b2+2c）18．
【解答】解：设x1、x2是二次函数y＝﹣2x2+bx+c的图象与x轴的两个交点的横坐标，
∴x1+x2b，x1x2c，
∵两个交点的距离为6，
∴|x1﹣x2|＝6，
∴（x1﹣x2）2＝36，
∵（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2，
∴（2﹣4×（36，
∴b2+2c＝36，
∴抛物线y＝﹣2x2+bx+c顶点的纵坐标为：cb2（b2+2c）18．
故答案为：18．
【点评】此题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，注意函数与x轴的交点的横坐标就是方程的根．
课后巩固 · 针对性练习
作业1： 抛物线 与坐标轴的交点个数（注意与 轴也相交）。
作业2： 判断二次函数图象不经过第三象限时的相关性质（开口方向、增减性、与 轴交点位置等）。
作业3： 已知图象与 轴交点的横坐标范围，利用对称性判断函数值大小。
作业4： 二次函数 的性质判断（顶点、对称轴、与 轴交点、增减性）。
作业5： 根据表格中 值异号，判断方程根的近似范围。
作业6： 根据二次函数图象经过三点，判断图象性质及方程根的情况。
作业7： 求二次函数 与坐标轴的交点个数。
作业8： 已知二次函数与 轴一个交点，求方程的另一个根（利用对称性或韦达定理）。
作业9： 已知抛物线与 轴两交点距离和对称轴，求解析式（利用对称轴求顶点横坐标，结合距离求根）。
作业10： 根据图象信息（与 轴交点、与 轴交点范围、对称轴）判断多个结论的正确性。
作业11： 求抛物线与 轴两交点及与 轴交点围成的三角形面积。
作业12： 已知抛物线与 轴交点及 轴交点，求解析式并计算三角形面积。
作业13： 证明二次函数图象与 轴总有公共点（利用判别式≥0）。
作业14： 已知抛物线过点，求解析式；结合自变量的范围求最值；利用平行弦（纵坐标相等的两点）求参数范围。
作业15： 二分法求方程的近似根（与考点3类似，但针对性练习）；迁移应用：求含参方程恰有一个解落在给定区间内时的参数范围。
作业16： 含参二次函数：① 求对称轴；② 顶点在 轴上求参数；③ 与 轴两个交点，证明两根平方和大于2；④ 给定区间上的最值差最小值（利用对称轴与区间位置分类讨论）。
复习建议
本讲核心是“二次函数与一元二次方程的关系”，重点掌握：
三种表达式的互化（配方法、因式分解）；
判别式与交点个数的对应关系；
韦达定理在求对称轴、参数范围中的应用；
图象法求近似根的原理与步骤；
数形结合思想，通过图象直观理解方程的解。
【作业1】（2026 南岗区校级四模）抛物线y＝x2﹣2x+1与坐标轴的交点个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】根据Δ＝（﹣2）2﹣4×1×1＝4﹣4＝0，可知抛物线y＝x2﹣2x+1与x轴有1个交点，再根据抛物线y＝x2﹣2x+1与y轴有1个交点，可知抛物线y＝x2﹣2x+1与坐标轴的交点个数为2个．
【解答】解：∵Δ＝（﹣2）2﹣4×1×1＝4﹣4＝0，
∴抛物线y＝x2﹣2x+1与x轴有1个交点．
∵抛物线y＝x2﹣2x+1与y轴有1个交点，
∴抛物线y＝x2﹣2x+1与坐标轴的交点个数为1+1＝2（个）．
故选：C．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
【作业2】（2026 蓝田县模拟）已知二次函数y＝﹣ax2+2ax+5（a≠0）的图象不经过第三象限，则下列关于该函数的说法正确的是（　　）
A．图象开口向下
B．x＞0时，y随x的增大而减小
C．图象与x轴的交点分别位于原点的两侧
D．当x＝3时，y＞0
【分析】由抛物线的位置即可判定抛物线开口向上，﹣a＞0；然后结合开口方向、对称轴，与y轴的交点及x＝3时的y的值分析选项即可．
【解答】解：∵二次函数y＝﹣ax2+2ax+5（a≠0）的图象不经过第三象限，
∴抛物线开口向上，故A不正确，不符合题意；
∵抛物线的对称轴为直线x1，
∴x＞1时，y随x的增大而增大，故B不正确，不符合题意；
∵抛物线y＝﹣ax2+2ax+5与y轴的交点为（0，5），
∴图象与x轴的交点位于原点的右侧，故C不正确，不符合题意；
∵抛物线开口向上，
∴﹣a＞0，
∴x＝3时，y＝﹣9a+6a+5＝﹣3a+5＞0，故D正确，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查的是二次函数的图象与性质，掌握其性质是解题的关键．
【作业3】（2026 花都区二模）已知二次函数y＝ax2﹣2ax+2（a＞0）的图象如图所示，图象与x轴交点的横坐标从左到右依次为x1，x2，如果x＝m时，y＜0，则当x＝m﹣2时，函数值（　　）
A．y＝2 B．y＜2 C．y＞2 D．0＜y＜2
【分析】依据题意，把x＝m代入二次函数关系式中，进而求得m，m﹣2，0的关系，进而利用二次函数的增减性判断即可．
【解答】解：∵y＝ax2﹣2ax+2（a＞0），
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x1，与y轴的交点为（0，2），
把x＝m代入y＝ax2﹣2ax+2（a＞0）中，得，y＝am2﹣2am+2＝am（m﹣2）+2，
∵x＝m时，y＜0，
∴am（m﹣2）+2＜0．
∴am（m﹣2）＜0，
∵a＞0，
∴m（m﹣2）＜0．
∴m＞0且m﹣2＜0．
又由图象可知，x＜1时，y随x增大而减少，
∵x＝0时，y＝2，
∴x＝m﹣2时，y＞2．
故选：C．
【点评】本题主要考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用数形结合是关键．
【作业4】（2026 高要区二模）已知二次函数y＝x2﹣2x+1，下列说法错误的是（　　）
A．顶点坐标为（1，0）
B．对称轴为直线x＝1
C．函数图象与x轴有2个交点
D．当x＜1时，y随x的增大而减小
【分析】通过将二次函数化为顶点式，确定对称轴和顶点坐标；由二次项系数为负，判断抛物线开口方向，从而分析函数值增减性；计算判别式，判断与x轴的交点情况，据此进行逐项分析，即可作答．
【解答】解：y＝x2﹣2x+1
＝（x﹣1）2，
∴对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，0），故选项A和B正确；
∵a＝1＞0，抛物线开口向上，
∴当x＜1时，y随x的增大而减小，故选项D正确；
令y＝0，得（x﹣1）2＝0，
∴x1＝x2＝1，
∴图象与x轴有1个交点，故选项C错误，
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的图象性质，与x轴的交点问题，掌握其相关知识点是解题的关键．
【作业5】（2026 宁夏模拟）根据表中二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的y与x的几组对应值，可以判断关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的其中一个解x1的取值范围是（　　）
x 6.17 6.18 6.19 6.20
y ﹣0.03 ﹣0.03 0.02 0.12
A．6.17＜x1＜6.18 B．6.18＜x1＜6.19
C．6.19＜x1＜6.20 D．x1＞6.20
【分析】依据题意，利用二次函数和一元二次方程的关系，结合当x＝6.18时，y＝﹣0.03；当x＝6.19时，y＝0.02，从而可以得解．
【解答】解：观察表格可知：当x＝6.18时，y＝﹣0.03；当x＝6.19时，y＝0.02，
∴方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是6.18＜x＜6.19．
故选：B．
【点评】本题考查了用图象法求一元二次方程的近似根，解题的关键是找到y由正变为负时，自变量的取值即可．
【作业6】（2026 枣庄二模）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过（﹣1，0），（3，0），（0，﹣2）三点，下列结论：
①c＝﹣2；
②当x＜1时，函数值y随自变量x的增大而增大；
③当y＜0时，x的取值范围是﹣1＜x＜3；
④方程3ax2+3bx+3c+8＝0有两个相等的实数解．
其中正确的有（　　）
A．①② B．①③ C．②④ D．①③④
【分析】先由题意求出二次函数的解析式为，然后根据二次函数的图象与性质依次排除选项即可．
【解答】解：由题意可得：
，
解得：，
∴二次函数的解析式为，故①正确；
∴对称轴为直线，开口向上，当x＝1时，函数有最小值，最小值为，
∴当x＜1时，函数值y随自变量x的增大而减小，故②错误；
由图象可知：当y＜0时，x的取值范围是﹣1＜x＜3，故③正确；
由3ax2+3bx+3c+8＝0可变形为，所以该方程有两个相等的实数根为x1＝x2＝1，故④正确．
故选：D．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点，正确进行计算是解题关键．
【作业7】（2026 宁夏模拟）二次函数y＝x2+4x﹣5的图象与坐标轴有　3　 个交点．
【分析】分别求出二次函数图象与x轴和y轴的交点坐标即可判断．
【解答】解：将x＝0代入y＝x2+4x﹣5，
得y＝﹣5，
∴二次函数y＝x2+4x﹣5与y轴的交点坐标为（0，﹣5）．
令x2+4x﹣5＝0，
∴x1＝﹣5，x2＝1，
∴二次函数y＝x2+4x﹣5与x轴的交点坐标为（﹣5，0），（1，0），
∴二次函数图象与坐标轴交点有3个．
故答案为：3．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
【作业8】（2026 吉林校级模拟）已知二次函数y＝x2﹣4x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（1，0），则关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0的两个实数根是x1＝1，x2＝3　 ．
【分析】先确定抛物线的解析式为直线x＝2，则利用抛物线的对称性可确定抛物线与x轴的另一个交点坐标为（3，0），然后根据抛物线与x轴的交点问题可判断一元二次方程x2﹣4x+m＝0的两个实数根．
【解答】解：抛物线y＝x2﹣4x+m（m为常数）的对称轴为直线，x2，
而抛物线与x轴的一个交点坐标为（1，0），
所以抛物线与x轴的另一个交点坐标为（3，0），
所以关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0的两个实数根是x1＝1，x2＝3．
故答案为：x1＝1，x2＝3．
【点评】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，掌握其相关知识点是解题的关键．
【作业9】（2026春 郸城县月考）若抛物线y＝x2+dx+e与x轴两交点距离为4，对称轴为x＝2，则抛物线解析式为y＝x2﹣4x ．
【分析】本题利用抛物线对称轴公式求出参数d，再结合抛物线与x轴两交点的距离，根据根与系数的关系求出参数e，即可得到抛物线解析式．
【解答】解：对于抛物线y＝x2+dx+e，可得二次项系数a＝1，一次项系数b＝d，常数项c＝e．
已知抛物线对称轴为x＝2，由抛物线对称轴公式，得：，
解得d＝﹣4．
设抛物线与x轴两交点的横坐标分别为x1，x2，由题意得两交点距离为4，即：|x1﹣x2|＝4，
等式两边同时平方，得：（x1﹣x2）2＝16，
由完全平方公式变形得：，
根据根与系数的关系，可得，，
将d＝﹣4代入得x1+x2＝4，代入上式得：42﹣4e＝16，
整理得：16﹣4e＝16，
解得e＝0．
将d＝﹣4，e＝0代入原抛物线方程，得抛物线解析式为y＝x2﹣4x，
故答案为：y＝x2﹣4x．
【点评】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，掌握其相关知识点是解题的关键．
【作业10】（2026春 蔡甸区月考）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，2）和（0，1）之间（不包括这两点），对称轴为直x＝1．判断下列结论是否正确：
①abc＜0；
②4ac﹣b2＜4a；
③；
④关于x的方程ax2+bx+c﹣2＝0一定有两个不相等的实数根．
正确结论：　①②③　 ．
【分析】先求出与x轴的另一个交点，再用交点式写出解析式，得到b＝﹣2a，c＝﹣3a，根据“与y轴的交点B在（0，2）和（0，1）之间（不包括这两点）”得出a的取值范围，从而确定③正确，用a表示出abc可知abc＝a （﹣2a） （﹣3a）＝6a3＜0，从而确定①正确；用a表示4ac﹣b2﹣4a，再根据二次函数的增减性得出，从而确定②正确；将b＝﹣2a，c＝﹣3a代入方程ax2+bx+c﹣2＝0，用配方法得，再确定的取值范围的，的值可为正数、负数或零，从而确定④错误．
【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），对称轴为直线x＝1，
∴与x轴的另一个交点为点（3，0），
∴二次函数解析式为：y＝a（x+1）（x﹣3）（a≠0），即y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0），
∴b＝﹣2a，c＝﹣3a，
∵与y轴的交点B在（0，2）和（0，1）之间（不包括这两点），
∴1＜c＝﹣3a＜2，
解得：，故③正确；
∴a＜0，abc＝a （﹣2a） （﹣3a）＝6a3＜0，即①正确；
∵，
又∵，，
∴4ac﹣b2﹣4a随着a的增大而增大，
∴，
即，
∴4ac﹣b2＜4a，即②正确；
方程ax2+bx+c﹣2＝0，可化为ax2﹣2ax﹣3a﹣2＝0，
配方得：a（x﹣1）2＝4a+2，即，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的值可为正数、负数或零，
∴ax2+bx+c﹣2＝0不一定有两个不相等的实数根．即④错误；
正确的是①②③，
故答案为：①②③．
【点评】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，根的判别式，抛物线与x轴的交点，掌握其相关知识点是解题的关键．
【作业11】（2026 蓬江区模拟）抛物线y＝x2﹣2x+c与y轴交于点C（0，﹣3），与x轴交于点A，B，则△ABC的面积为　6　
【分析】先代入点C的坐标，求出抛物线的解析式，再令y＝0，求出抛物线与x轴的交点坐标，通过计算得到AB的长度，结合点C的坐标得到AB边上的高，最后利用三角形面积公式计算即可．
【解答】解：把C（0，﹣3）代入y＝x2﹣2x+c，得c＝﹣3，
因此抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，
令y＝0，得x2﹣2x﹣3＝0，
解得x1＝3，x2＝﹣1，
所以A，B两点间的距离AB＝|3﹣（﹣1）|＝4．
又∵点C的坐标为（0，﹣3），
∴AB边上的高为点C到x轴的距离，即|﹣3|＝3，
∴，
故答案为：6．
【点评】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征，掌握其相关知识点是解题的关键．
【作业12】（2026 鲤城区校级模拟）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（3，0）、点B，与y轴交于点C（0，3）．
（1）求抛物线解析式．
（2）若点P的横坐标为，连PA，PC，求△PCA的面积．
【分析】（1）由待定系数法求解即可；
（2）先求出，过点P作PT∥y轴交AC于点T，求出直线AC：y＝﹣x+3，则，再利用S△PCA＝S△PCT+S△PAT求解即可．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（3，0）、点B，与y轴交于点C（0，3），
∴，
解得，
∴y＝﹣x2+2x+3；
（2）∵点P的横坐标为，
∴将代入y＝﹣x2+2x+3，则，
∴，
过点P作PT∥y轴交AC于点T，
设直线AC：y＝mx+n，
则代入C（0，3），A（3，0），得，，
解得，
∴直线AC：y＝﹣x+3，
当时，，
∴，
∴，
∴若点P的横坐标为，连PA，PC，则．
【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
【作业13】（2026 市南区校级模拟）已知二次函数y＝ax2+（1﹣2a）x﹣2（a为常数，且a≠0）．求证：该函数的图象与x轴总有公共点．
【分析】令y＝0，得ax2+（1﹣2a）x﹣2＝0，由根的判别式可判断一元二次方程ax2+（1﹣2a）x﹣2＝0有实数解，即该函数的图象与x轴总有公共点；
【解答】证明：令y＝0，得ax2+（1﹣2a）x﹣2＝0，
此时Δ＝（1﹣2a）2﹣4a×（﹣2）
＝1﹣4a+4a2+8a
＝4a2+4a+1
＝（2a+1）2，
∵（2a+1）2≥0，
∴△≥0，
即一元二次方程ax2+（1﹣2a）x﹣2＝0有实数解，
∴二次函数y＝ax2+（1﹣2a）x﹣2的图象与x轴总有公共点．
【点评】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，掌握其相关知识点是解题的关键．
【作业14】（2026 温州一模）已知抛物线y＝x2+bx﹣3（b为常数）经过点A（2，﹣3），B（x1，t）．
（1）求抛物线的函数表达式．
（2）当0≤x1≤k时，﹣4≤t≤﹣3，求k的最大值．
（3）过点B与x轴平行的直线交抛物线于点C（x2，t），若4≤x2﹣x1≤6，求t的取值范围．
【分析】（1）利用待定系数法求二次函数解析式即可．
（2）结合二次函数的图象和性质求解即可．
（3）利用二次函数的对称性以及图象和性质求解即可．
【解答】解：（1）由题意，∵知抛物线y＝x2+bx﹣3（b为常数）经过点A（2，﹣3），
∴4+2b﹣3＝﹣3，则b＝﹣2，
∴y＝x2﹣2x﹣3．
（2）∵y＝x2﹣2x﹣3，a＝1＞0，
∴对称轴为直线，
又∵抛物线开口向上，
∴当x＝1时，y最小值＝﹣4；而当x＝0或2时，y＝﹣3，
∴由图象可得，当0≤x1≤2时，﹣4≤t≤﹣3，
∴k的最大值为2．
（3）∵点B（x1，t）和点C（x2，t）关于对称轴为直线x＝1对称，
∴，
∴x2＝2﹣x1，
∵4≤x2﹣x1≤6，
即4≤2﹣2x1≤6，
∴﹣2≤x1≤﹣1．
∵a＝1＞0，且当x＜1时，y随x的增大而减小，
∴当x＝﹣2时，t＝5；x＝﹣1时，t＝0．
∴t的取值范围是0≤t≤5．
【点评】本题主要考查了抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求二次函数解析式，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．
【作业15】（2026 温州模拟）【阅读理解】
同学们，我们来学计算二次方程解的方法．
例如，求2x2+2x﹣7＝0的解．
思路：在二次函数y＝2x2+2x﹣7中，若取x的值为x1，x2，x1＜x2，使得相应的函数值y1 y2＜0，则抛物线与x轴的交点中至少有一个在（x1，0）与（x2，0）之间，也就是说，方程2x2+2x﹣7＝0至少有一个解在x1与x2之间．
（1）【尝试探究】
小明按照上述方法求方程2x2+2x﹣7＝0的一个解，过程如表：
x的值 0 1 2 3
y＝2x2+2x﹣7 ﹣7 a b c
请利用表格信息，求出方程的解在哪两个相邻的整数之间．
（2）【迁移应用】
若关于x的方程x2+4x+m＝0有两个不同的解，恰有一个解落在﹣4与﹣3之间，求m的取值范围．
【分析】（1）将点的横坐标代入解析式得到纵坐标，根据两点纵坐标之积小于零，判断解的范围；
（2）将x＝﹣4和x＝﹣3分别代入y＝x2+4x+m得到y1、y2，根据y1y2＜0，结合判别式大于0求出m的取值范围．
【解答】解：（1）将x1＝1代入得，y1＝﹣3；当x2＝2时，y2＝5，
所以y1 y2＜0，所以方程的解落在1和2之间．
（2）∵方程x2+4x+m＝0有两个不同的解，
∴Δ＝42﹣4m＞0，
∴m＜4，
将x1＝﹣4，x2＝﹣3分别代入得y1＝m，y2＝m﹣3，
∵恰有一个解落在﹣4与﹣3之间，
∴y1y2＝m（m﹣3）＜0，所以0＜m＜3．
【点评】本题主要考查了，掌握其相关知识点是解题的关键．
【作业16】（2026 鄞州区二模）已知二次函数y＝x2﹣2ax+1．
（1）①用含有a的代数式表示函数图象的对称轴；
②若函数图象顶点落在x轴上，求a的值；
（2）若该函数图象与x轴有两个不同交点，设这两个交点的横坐标分别为x1，x2，求证：；
（3）当m≤x≤n时，请直接用含有m，n的代数式表示函数最大值与最小值的差的最小值．
【分析】（1）①把函数解析式化成顶点式即可求得对称轴和顶点坐标；
②函数顶点坐标为（a，1﹣a2），函数图象顶点落在x轴上，即可得出1﹣a2＝0，解得即可；
（2）由函数图象与x轴有两个不同交点，设这两个交点的横坐标分别为x1，x2，得出，，即可得出2ax1﹣1，2ax2﹣1，进而求得2ax1﹣1+2ax2﹣1＝2a（x1+x2）﹣2，由题意x1+x2＝2a，且1﹣a2＜0，则a2＞1，即可得出2a（x1+x2）﹣2＝4a2﹣2＞4﹣2＝2；
（3）由题意可知当二次函数图象关于直线对称时，函数最大值与最小值的差的最小，据此求得最大值和最小值，进而求得最大值与最小值的差的最小值．
【解答】（1）解：①∵y＝x2﹣2ax+1＝（x﹣a）2+1﹣a2，
∴函数图象对称轴为直线x＝a；
②∵函数顶点坐标为（a，1﹣a2），函数图象顶点落在x轴上，
∴1﹣a2＝0，
解得a＝±1；
（2）证明：∵函数图象与x轴有两个不同交点，设这两个交点的横坐标分别为x1，x2，
∴，，
∴2ax1﹣1，2ax2﹣1，
∴2ax1﹣1+2ax2﹣1＝2a（x1+x2）﹣2，
由题意可得x1+x2＝2a，且1﹣a2＜0，
∴a2＞1，
∴2a（x1+x2）﹣2＝4a2﹣2＞4﹣2＝2；
（3）解：由题意可知，当二次函数图象关于直线对称时，函数最大值与最小值的差的最小，
∵函数图象对称轴为直线x＝a，顶点坐标为（a，1﹣a2），函数的最小值为1﹣a2，
∴a，
∴y＝x2﹣（n+m）x+1，
∴x＝m时，函数有最大值y＝m2﹣（n+m）m+1＝1﹣mn，x时，函数有最小值1﹣a2＝1﹣（）2，
∴函数最大值与最小值的差的最小值为：1﹣mn﹣[1﹣（）2]．
【点评】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的最值，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．
第1页（共1页）第5讲 二次函数与一元二次方程 暑假预习讲义
【知识精讲+典例+针对练习】 新沪教版数学九年级五四制上册
思维导图 · 课程内容总览
课程目标 · 精准把握学习方向
理解 二次函数的三种表达式（一般式、顶点式、交点式）及其相互转化，能根据条件灵活选择合适的形式。
掌握 二次函数与一元二次方程的关系，能利用判别式判断抛物线与 x 轴的交点个数，并利用交点坐标解决相关问题。
理解 图象法求一元二次方程近似根的原理（零点存在性定理），能利用二分法思想逐步逼近精确解。
熟练运用 二次函数的对称性、顶点坐标、交点坐标等解决综合问题（含参讨论、新定义等）。
体会 数形结合、分类讨论、方程与函数相互转化的数学思想。
核心思想：函数与方程紧密联系，通过图象直观理解方程的解。
知识梳理 · 核心知识点
☆知识点1 确定二次函数的表达式
1．二次函数表达式的三种形式
（1）一般式：为常数，且a≠0)
（2）顶点式：为常数，且a≠0)·,
（3）交点式：是抛物线与x轴的交点的横坐标）.
求二次函数表达式的方法：待定系数法.
2．三点式求法
如图1，已知二次函数图像上三个点的坐标，可设二次函数表达式为 (a≠0)，其中a、b、c是待定系数.由图像上三点的坐标，得到关于a、b、c的三元一次方程组，并通过求解方程组得到a、b、c的值.
3．顶点式求法
如图2，已知二次函数图像的顶点坐标（或对称轴、最值），可设二次函数表达式为.此情况下，通常需要补充适当的条件，得到关于待定系数的方程（组），以此确定未知系数的值.
4．交点式求法
（1）如图3，已知抛物线与x轴的两个交点坐标及经过一点，可设二次函数表达式为，再列方程求解确定a的值；
（2）已知抛物线与x轴的一个交点坐标、对称轴及另一个点，选利用抛物线的对称性求出抛物线与x轴的另一个交点坐标，再设二次函数表达式为，最后列方程求解确定a的值.
例 已知抛物线与x轴的交点是A(-2,0)、B(1,0)，且抛物线经过点C(2,8)，求该抛物线的表达式.
解：方法一：设抛物线的表达式为
·抛物线过点A(-2,0）、B(1,0）、C(2,8)，解得
抛物线的表达式为
方法二：设抛物线的表达式为y=a(x+2)(x-1)(a≠0)，将点C(2,8)的坐标代入上式，解得a=2
抛物线的表达式为
方法三：设抛物线的表达式为
点A(-2,0）、B(1,0）关于直线对称，
.对称轴为直线
将A(-2,0）、C(2,8）的坐标代入，得
解得，即
☆知识点2 二次函数与一元二次方程的关系
1．二次函数的图像与x轴交点的横坐标与相应一元二次方程根的关系
二次函数的图像与x轴（直线y=0)交点的横坐标是相应的一元二方程的实数根，反之亦然.
提醒 二次函数的图像与直线y=m的交点的横坐标就是一元二次方程的实数根，反之亦然.
2．二次函数的图像与x轴交点的情况和相应一元二次方程根的情况的关系
的取值
二次函数的图像与x 轴的交点 有两个交点 有一个交点 无交点
有两个交点 有一个交点 无交点
一元二次方程的实数根 有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根
提醒 抛物线与x轴的交点为和
)
A、B两点间的距离 .抛物线的对称轴为直线，，对称轴与x轴的交点恰为线段AB的中点。
例1 如图，若二次函数的图像与x轴的交点为A、B（点A在点B的左侧），与y轴的交点为C.
（1）求A、B两点的坐标；
（2）若P(m,-2)为二次函数图像上一点，求m的值.
解：(1）当y=0时解得
．点A的坐标为（-1,0)，点B的坐标为（2,0)．
(2))∵P(m,-2为二次函数图像上一点，
解得
．m的值为0或1．
例1 如图，若二次函数的图像与x轴的交点为A、B（点A在点B的左侧），与y轴的交点为C.
（1）求A、B两点的坐标；
（2）若P(m,-2)为二次函数图像上一点，求m的值.
解：(1）当y=0时解得
．点A的坐标为（-1,0)，点B的坐标为（2,0)．
(2))∵P(m,-2为二次函数图像上一点，
解得
．m的值为0或1．
3．用图像法求解一元二次方程
通过观察抛物线与直线交点情况确定一元二次方程的根的情况.
例2 已知二次函数的图像如图所示，请判断下列关于x的方程的根的情况：
(1)、
(2)。
(3)
解：(1）把原方程变形为
由图像可知抛物线顶点的纵坐标为2，
所以此方程有两个相等的实数根.
（2）把原方程变形为
如图1，由图像可知抛物线上的点的纵坐标不可能等于5，所以此方程没有实数根．
（3）把原方程变形为
如图2，由图像可知抛物线上有两个纵坐标为-1的点，所以此方程有两个不相等的实数根.
☆知识点3 借助二次函数的图像求解一元二次方程的近似根
1．利用二次函数的图像求一元二次方程的近似根的一般步骤
（1）画出二次函数的图像.
（2）确定抛物线与x轴交点的个数，看交点的横坐标在哪两个数之间．
（3）列表，在两个数之间取值估计，并用计算器估算近似根，近似根在对应y值的正负（或负正）过渡的地方。
当x由取到时，若对应的y值出现或，则中必有一个是方程的近似根，
再比较和.若，则是方程的近似根；若，则是方程的近似根.一般需要我们求近似根的方程的根往往是无理数，所以列表时不可能取到实数根的精确值.
2．利用二次函数的图像求一元二次方程的近似根的常用方法
方法 结论
直接作出二次函数的图像 图像与x轴的交点的横坐标就是一元二次方程的根
先将一元二次方程变为，再在同一平面直角坐标系中画出抛物线和直线 两图像交点的横坐标就是一元二次方程的根
先将一元二次方程变形为，再在同一平面直角坐标系中画出抛物线和直线 两图像交点的横坐标就是一元二次方程的根
例3 利用函数图像求一元二次方程的根的近似值．（结果精确到0.1）
解：方法一：将原方程变形为
画出函数的图像，如图所示.
由图像可知，抛物线与x轴公共点的横坐标分别在-2与-1之间，3与4之间，大约为-1.4,3.4，
即方程的两实数根分别为
方法二：用取平均数的方法不断缩小根所在的范围，从而确定方程的根的近似值.
将原方程可变形为
如：由的图像可知，当x=3时,y>0；当x=4时,y<0.
取3和4的平均数3.5．当x=3.5时,y=-0.25，与x=3时的函数值异号，所以方程的这个根在3和3.5之间．取3和3.5的平均数3.25．当x=3.25时，y=0.9375,，与x=3.5时的函数值异号.
所以方程的这个根在3.25和3.5之间．取3.25和3.5的平均数3.375．当x=3.375时,y=0.359375，与x=3.5时的函数值异号，所以方程的这个根在3.375和3.5之间．
由此方法可得到原方程的一个根的近似值为3.4．
用同样的方法可得到原方程的另一个根的近似值为-1.4．
所以方程的实数根为
总结
用图像法求一元二次方程根的近似值
1．直接求解法：画出函数和y=-8的图像，它们公共点的横坐标的近似值即该方程根的近似值.
2．间接求解法：将方程适当整理为，可以像方法一那样画函数
的图像，图像与x轴公共点的横坐标的近似值即一元二次方程根的近似值；也可以像方法二那样通过画出图像并用取平均数的方法不断缩小横坐标的取值范围，进而算出方程根的近似值.
☆知识点4 二次函数与一元二次不等式之间的关系（拓展）
抛物线在x轴上方的点对应的x的所有值是不等式的解集；抛物线在x轴下方的点对应的x的所有值是不等式的解集。
二次函数与不等式及的关系如下表：
的 取值
抛物线
不等式的解集 或 全体实数
不等式的解集 无解 无解
的 取值
抛物线
不等式 的解集 无解 无解
不等式 的解集 或 全体实数
例4 已知二次函数
（1）当x取什么值时y=0？
（2）当x取什么值时，y>0？
（3）当x取什么值时,y<0？
解析：先画出二次函数的图像，找出图像与x轴的交点，再根据交点横坐标及二次函数图像写出x的取值或取值范围.
解：如图，画出二次函数的图像.
根据图像可知：
（1）当x=1或x=3时,y=0
（2）当x<1或x>3时,y>0;
（3）当1点拨：利用二次函数图像解一元二次不等式，关键是画出二次函数图像的示意图［常用“五点”法，如此题可选择（1,0）、（3,0）、（2,-1）、（0,3）、（4,3）五点］，确定二次函数的图像与x轴的交点的横坐标.
知识总结表
类别 表达式 关键信息 与方程的关系
一般式 轴交点 (0,)，对称轴 令 得一元二次方程
顶点式 顶点 ，对称轴 最值即 ，方程解与 有关
交点式 与 轴交点 ， 直接给出方程的两个根
判别式 Δ>0 两个交点；Δ=0 一个交点；Δ<0 无交点 判断方程根的情况
韦达定理 ， 用于求对称轴、两根之和/积 已知根求系数或对称轴
图象法求根 二分法逼近 零点存在性定理 求近似根，精度可控
核心考点 ·4大典型考点精讲
【考点1】二次函数的三种形式（第1-10题）
※ 方法总结
配方法： 将一般式化为顶点式，关键是提取二次项系数，然后配方。
公式：。
因式分解法： 若 ，可因式分解为交点式，直接读出 轴交点。
三种形式互化： 根据题目条件选择最简形式，如已知顶点用顶点式，已知交点用交点式。
注意： 顶点式可直接读出顶点、对称轴和最值；交点式可直接读出方程的两个根。
1．（2025秋 沭阳县校级月考）用配方法将y＝2x2﹣4x﹣6化成y＝a（x﹣h）2+k的形式；并写出对称轴和顶点坐标．
2．（2025秋 山阳县期中）将二次函数y＝（x﹣3）2﹣2x（x+1）化为一般形式，并指出其二次项系数、一次项系数和常数项．
3．（2025 泸县一模）已知二次函数y＝﹣x2+2x+3．
（1）用配方法化为y＝a（x﹣h）2+k的形式；
（2）请你在所给的平面直角坐标系中，画出二次函数的图象；
（3）根据图象，求当﹣2＜x＜2时，y的取值范围．
4．（2023秋 城厢区校级期中）设二次函数（b，c是常数）的图象与x轴交于A，B两点．
（1）若A，B两点的坐标分别为（1，0），（2，0），求函数y1的表达式及其图象的对称轴．
（2）若函数y1的表达式可以写成（h是常数）的形式，求b+c的最小值．
5．（2026 大同模拟）将二次函数化为y＝a（x﹣h）2+k的形式为（　　）
A． B．
C． D．
6．（2025秋 阿克陶县月考）二次函数解析式通常有三种形式：①一般式 　 　 ；②顶点式 　 　 ；③双根式 　 　 ．
7．（2025秋 安定区期末）把y＝x2﹣6x+4配方成y＝a（x﹣h）2+k的形式是　 　 ．
8．二次函数的交点式：y＝（x﹣x1）（x﹣x2），则对称轴为：　 　 ，最值为：　 　 ．
9．（2025秋 拱墅区期末）二次函数y＝﹣x2+bx+c可以写成y＝﹣（x﹣x1）（x﹣1）的形式，也可以写成y＝﹣（x﹣2）2+k的形式，其中b，c，x1，k为常数．
（1）分别求b，c，x1，k的值；
（2）该函数图象上有三个点A（﹣1，y1），B（4，y2），C（5，y3），比较y1，y2，y3的大小．
10．（2025秋 右玉县月考）如图，抛物线y＝﹣x2+2x+4与y轴交于点A，点B（m，1）在抛物线上．
（1）将y＝﹣x2+2x+4化成顶点式．
（2）直接写出△OAB的面积．
【考点2】抛物线与 x 轴交点（第11-27题）
※ 方法总结
利用判别式： 判断交点个数，进而确定方程根的个数。
利用韦达定理： 求两根之和、积，用于求对称轴、参数范围等。
图象法： 根据图象直接读出交点横坐标（近似值），或判断根的范围。
对称性： 抛物线与 轴的两个交点关于对称轴对称，可求对称轴或其中一个交点坐标。
常见题型： 求与 轴交点坐标、求参数范围、判断根的情况、利用根与系数关系求值。
11．（2025春 虹口区校级期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c在x＝﹣1时，y有最小值﹣4，它的图象与x轴交点的横坐标分别为x1和x2，且10，求该二次函数的解析式．
12．（2026 新城区校级四模）关于抛物线y＝﹣x2+mx+m+1，下列说法错误的是（　　）
A．该抛物线一定经过点（﹣1，0）
B．该抛物线顶点纵坐标的最小值为1
C．若点（﹣2，n）、（5，n）在该抛物线上，则m的值为3
D．当m＝2时，该抛物线与x轴的两个交点之间的距离为4
13．（2026 柳江区模拟）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，A（2.18，﹣0.51），B（2.68，0.54）为图象上的两点，则方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个解可能是（　　）
A．2.75 B．2.68 C．2.45 D．2.18
14．（2026春 鼓楼区校级期中）将抛物线y＝x2+2向下平移3个单位长度后与x轴的两个交点之间的距离为　 　 ．
15．（2026 苏州校级二模）已知二次函数y＝﹣x2+bx的图象的对称轴为x＝2．若关于x的一元二次方程﹣x2+bx+t＝0（b，t为实数），在1＜x＜4的范围内有解，则t的取值范围是 　 　 ．
16．（2026 鲁山县二模）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0，a，b，c为常数）的图象如图所示，若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝m有实数根，则m的取值范围是 　 　 ．
17．（2026 常州校级模拟）如图，是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为直线x＝1，若与x轴的其中一个交点为A（3，0），则由图象可知，与x轴的另一个交点坐标是 　 　 ．
18．（2026 本溪二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+2ax+3与x轴相交于点A，B，与y轴交于点C，若点D（m，3）在第二象限的抛物线上，则△ACD的面积为　 　 ．
19．（2026 工业园区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+4x+m与x轴交于点C、D，与y轴交于点A，过点A作AB∥x轴交抛物线于点B．若AB+CD＝6，则四边形ABCD的面积为 　 　 ．
20．（2026 徐州二模）如图为二次函数y＝ax2+2ax+c的图象，该图象与x轴的两个交点分别为A（﹣4，0），B．下列说法正确的是　 　 （写出所有正确结果的序号）．
①对称轴为直线x＝﹣1；
②当x＜0时，y随x的增大而增大；
③4a2﹣4ac＞0；
④8a+c＝0．
21．（2026 江汉区三模）已知二次函数y＝ax2+（a﹣2）x+2﹣2a（a为常数，且a＞0），下列五个结论：
①该函数图象经过点（1，0）；②该函数图象与x轴有两个不同的公共点；③若a＞2，则当x＞0时，y随x的增大而增大；④若a为整数，且关于x的方程ax2+（a﹣2）x+2﹣2a＝0有两个整数解，则a＝1或2；⑤若关于x的方程|ax2+（a﹣2）x+2﹣2a|＝2有三个实数根，则a＝2．其中正确的是　 　 ．（填序号）
22．（2025秋 拱墅区校级月考）在直角坐标系中，设函数y1＝（x﹣a）（x﹣b），，其中a≠b．
（1）若函数y1的图象过点（0，3），函数y2的图象过点（1，5），求a2+b2的值．
（2）若0＜a＜b＜3，判断函数y2与x轴的交点个数，说明理由．
（3）若函数y1和函数y2与x轴的交点均相同，求a，b的值．
23．（2026 平邑县二模）已知抛物线y＝ax（x﹣1）+3（a≠0）．
（1）求出抛物线的对称轴和顶点坐标（用含字母a的式子表示）；
（2）若该抛物线与x轴交于点A（x1，0），B（x2，0）（点B在点A的右侧），且x2﹣x1＝2，求a的值；
（3）当a＜0时，该抛物线上的任意两点P（x3，y3），Q（x4，y4），若满足x3＝﹣1，y3＞y4，求x4的取值范围．
24．（2026 思明区校级二模）已知二次函数y＝（x﹣x1）（x﹣x2）（x1，x2是实数）．
（1）求二次函数的图象与x轴交点的坐标并直接写出二次函数图象的对称轴（用含x1，x2的代数式表示）；
（2）若该函数的最小值为﹣1，求x1﹣x2的值；
（3）已知二次函数的图象经过（0，m）和（1，n）两点（m，n是实数），当0＜x1＜x2＜1时，求证：．
25．（2026 沛县模拟）已知如图，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线解析式及顶点坐标；
（2）已知点P是抛物线对称轴上一点，若S△PCA＝5，求P点的坐标．
26．（2026春 索县校级月考）如图，抛物线y＝﹣x2+mx+2与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点A的坐标为（1，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上找一点P，求PA+PC的值最小；
（3）在第二象限内的抛物线上，是否存在点M，使△MBC的面积是△ABC面积的一半？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
27．（2025秋 魏县期末）如图，嘉嘉用判别式Δ判断二次函数与x轴交点情况，墨迹不小心覆盖了一部分过程．老师说：“依据你所写的判别式Δ，是可以知道原函数的．”
（1）该二次函数的一次项系数b＝　 　 ，常数项c＝　 　 ；
（2）该二次函数图象与x轴有　 　 个交点；
（3）当x＝2时，求y的值．
【考点3】图象法求一元二次方程的近似根（第28-36题）
※ 方法总结
核心原理： 连续函数在异号区间内必有零点。
操作步骤： ① 画函数图象或利用表格找出异号区间；② 取中点并计算函数值；③ 缩小区间直至达到精度。
精度控制： 每次缩小区间一半，区间长度即为最大误差。
注意： 图象法只能得到近似解，但可任意控制精度；常用于无法因式分解或求根公式计算繁杂的情况。
28．（2025秋 海沧区校级期中）在实际问题中往往需要求得方程的近似解，这个时候，我们通常利用函数的图象来完成．如，求方程x2﹣2x﹣2＝0的实数根的近似解，观察函数y＝x2﹣2x﹣2的图象，发现，当自变量为2时，函数值小于0（点（2，﹣2）在x轴下方），当自变量为3时，函数值大于0（点（3，1）在x轴上方）．因为抛物线y＝x2﹣2x﹣2是一条连续不断的曲线，所以抛物线
y＝x2﹣2x﹣2在2＜x＜3这一段经过x轴，也就是说，当x取2、3之间的某个值时，函数值为0，即方程x2﹣2x﹣2＝0在2、3之间有根．
进一步，我们取2和3的平均数2.5，计算可知，对应的数值为﹣0.75，与自变量为3的函数值异号，所以这个根在2.5与3之间任意一个数作为近似解，该近似解与真实值的差都不会大于3﹣2.5＝0.5．
重复以上操作，随着操作次数增加，根的近似值越来越接近真实值．
用以上方法求得方程x2﹣2x﹣2＝0的小于0的解，并且使得所求的近似解与真实值的差不超过0.3，该近似解为　 　
29．（2024秋 广东校级月考）用图象法求方程的解．
30．（2024春 同步）利用二次函数的图象估计一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的实数根（精确到0.1）．
31．（2024秋 同步）（1）请在坐标系中画出二次函数y＝x2﹣2x﹣1的大致图象．
（2）根据方程的根与函数图象之间的关系．将方程x2﹣2x﹣1＝0的根在图上近似的表示出来；（描点）
（3）观察图象，直接写出方程x2﹣2x﹣1＝0的根．（精确到0.1）
32．（2026 项城市校级模拟）下列表格中是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的自变量x与函数y的一些对应值，可以判断一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个近似根是（　　）
x 6.7 6.8 6.9 7.0
y＝ax2+bx+c ﹣0.3 ﹣0.1 0.2 0.6
A．6.7 B．6.8 C．6.9 D．7.0
33．（2025秋 高平市期末）设二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），下表列出了x与y的6对对应值：
x ﹣1 0 1 2 3 4
y ﹣7 ﹣5 ﹣1 5 13 23
根据表格中的内容，能够判断一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个解的大致范围是（　　）
A．﹣7＜x＜﹣5 B．1＜x＜2 C．﹣5＜x＜﹣1 D．﹣1＜x＜0
34．（2026 江西）如图，观察函数y＝x2+3x﹣3的图象，可以发现方程x2+3x﹣3＝0在0，1之间有根．取0，1的平均数0.5，当x＝0.5时，y＜0，进一步可知这个根在0.5和1之间，则与方程x2+3x﹣3＝0另一根更接近的是（　　）
A．﹣4.5 B．﹣4 C．﹣3.5 D．﹣3
35．（2026春 深圳月考）下表给出了二次函数y＝ax2+bx+c中x，y的部分对应值：
x … 0.25 0.5 0.75 1 …
y … ﹣1.69 ﹣0.25 1.31 3 …
估计方程ax2+bx+c＝0的一个解x的取值范围是　 　 ．
36．（2025秋 岑溪市期末）如图是函数y＝x2﹣4x+3的图象，则方程x2+4x+3＝0的近似解是　 　 ．
【考点4】创新及压轴题（第37-39题）
※ 方法总结
含参讨论： 根据判别式、顶点位置、对称轴等分类讨论参数取值范围。
新定义问题： 如“倍值点”等，转化为方程或不等式求解。
图象变换与组合： 折叠后新函数图象的最值问题，注意对称性和分段函数。
综合策略： ① 求出基础函数解析式；② 利用数形结合分析临界状态；③ 列出方程或不等式求解参数。
37．（2026 海淀区校级竞赛）已知二次函数y＝x2+2mx+m﹣1．
（1）若该二次函数图象经过原点（0，0），求该二次函数的顶点坐标；
（2）求证：不论m取何值，该二次函数图象与x轴总有两个公共点；
（3）若m＜0时，点A（n﹣4，p），B（2，q），C（n，p）都在这个二次函数图象上，且m﹣1＞q＞p，求n的取值范围．
38．（2026 西湖区校级三模）【阅读理解】
同学们，我们来学计算二次方程解的方法．例如，求2x2+2x﹣7＝0的解．
思路：在二次函数y＝2x2+2x﹣7中，若取x的值为x1，x2，x1＜x2，使得相应的函数值y1 y2＜0，则抛物线与x轴的交点中至少有一个在（x1，0）与（x2，0）之间，也就是说，方程2x2+2x﹣7＝0至少有一个解在x1与x2之间．
（1）【尝试探究】
小明按照上述方法求方程2x2+2x﹣7＝0的一个解，过程如表：
x的值 0 1 2 3
y＝2x2+2x﹣7 ﹣7 a b c
请利用表格信息，求出方程的解在哪两个相邻的整数之间．
（2）【迁移应用】
若关于x的方程x2+4x+m＝0有两个不同的解，恰有一个解落在﹣4与﹣5之间，求m的取值范围．
39．（2026 湖北模拟）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+2x+3与x轴相交于点A（﹣1，0）和点B．
（1）求a的值；
（2）定义：在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标等于其横坐标的2倍，我们称这个点为“倍值点”，求抛物线y＝ax2+2x+3上的“倍值点”的坐标；
（3）如图1，将此抛物线在x轴下方的部分沿x轴折叠到x轴上方，这部分图象与原抛物线剩余的部分组成新函数的图象（如图2）记为M．
①直接写出新函数图象M对应的函数解析式；
②当0≤x≤m时，图象M上函数的最小值是，最大值是，求m的取值范围．
随堂检测 · 精选练习
第40题： 求二次函数表达式（待定系数法）；利用抛物线上两点纵坐标差与横坐标差的关系（斜率意义）；给定区间上的最值问题（含参数分类讨论）。
第41题： 抛物线与 轴交点间的距离（），利用韦达定理或求根公式。
第42题： 抛物线平移后与 轴有1个公共点（即顶点在 轴上，Δ=0），求平移距离。
第43题： 已知抛物线与 轴两个交点间距离为6，求顶点的纵坐标（利用对称性及顶点纵坐标公式）。
【练习1】（2026 萧县二模）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2+bx﹣3（a≠0）的图象与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）已知（x1，y1）和（x2，y2）两点均在该抛物线上，且x1≠x2，x1+x2＝﹣1，求的值；
（3）当0≤x≤t时，设该二次函数的最大值和最小值分别为m和n，且m+n＝1，求t的值．
【练习2】（2026 南充）抛物线y＝x2+mx+m﹣2与x轴交于A，B两点，且AB，则m的值为　 　 ．
【练习3】（2026 赣榆区二模）将抛物线y＝x2﹣6x+12向下平移m个单位长度．若平移后得到的抛物线与x轴有1个公共点，则m的值是　 　 ．
【练习4】（2026 鼓楼区二模）已知二次函数y＝﹣2x2+bx+c的图象与x轴的两个交点的距离为6，则该函数图象的顶点的纵坐标为　 　 ．
课后巩固 · 针对性练习
作业1： 抛物线 与坐标轴的交点个数（注意与 轴也相交）。
作业2： 判断二次函数图象不经过第三象限时的相关性质（开口方向、增减性、与 轴交点位置等）。
作业3： 已知图象与 轴交点的横坐标范围，利用对称性判断函数值大小。
作业4： 二次函数 的性质判断（顶点、对称轴、与 轴交点、增减性）。
作业5： 根据表格中 值异号，判断方程根的近似范围。
作业6： 根据二次函数图象经过三点，判断图象性质及方程根的情况。
作业7： 求二次函数 与坐标轴的交点个数。
作业8： 已知二次函数与 轴一个交点，求方程的另一个根（利用对称性或韦达定理）。
作业9： 已知抛物线与 轴两交点距离和对称轴，求解析式（利用对称轴求顶点横坐标，结合距离求根）。
作业10： 根据图象信息（与 轴交点、与 轴交点范围、对称轴）判断多个结论的正确性。
作业11： 求抛物线与 轴两交点及与 轴交点围成的三角形面积。
作业12： 已知抛物线与 轴交点及 轴交点，求解析式并计算三角形面积。
作业13： 证明二次函数图象与 轴总有公共点（利用判别式≥0）。
作业14： 已知抛物线过点，求解析式；结合自变量的范围求最值；利用平行弦（纵坐标相等的两点）求参数范围。
作业15： 二分法求方程的近似根（与考点3类似，但针对性练习）；迁移应用：求含参方程恰有一个解落在给定区间内时的参数范围。
作业16： 含参二次函数：① 求对称轴；② 顶点在 轴上求参数；③ 与 轴两个交点，证明两根平方和大于2；④ 给定区间上的最值差最小值（利用对称轴与区间位置分类讨论）。
复习建议
本讲核心是“二次函数与一元二次方程的关系”，重点掌握：
三种表达式的互化（配方法、因式分解）；
判别式与交点个数的对应关系；
韦达定理在求对称轴、参数范围中的应用；
图象法求近似根的原理与步骤；
数形结合思想，通过图象直观理解方程的解。
【作业1】（2026 南岗区校级四模）抛物线y＝x2﹣2x+1与坐标轴的交点个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【作业2】（2026 蓝田县模拟）已知二次函数y＝﹣ax2+2ax+5（a≠0）的图象不经过第三象限，则下列关于该函数的说法正确的是（　　）
A．图象开口向下
B．x＞0时，y随x的增大而减小
C．图象与x轴的交点分别位于原点的两侧
D．当x＝3时，y＞0
【作业3】（2026 花都区二模）已知二次函数y＝ax2﹣2ax+2（a＞0）的图象如图所示，图象与x轴交点的横坐标从左到右依次为x1，x2，如果x＝m时，y＜0，则当x＝m﹣2时，函数值（　　）
A．y＝2 B．y＜2 C．y＞2 D．0＜y＜2
【作业4】（2026 高要区二模）已知二次函数y＝x2﹣2x+1，下列说法错误的是（　　）
A．顶点坐标为（1，0）
B．对称轴为直线x＝1
C．函数图象与x轴有2个交点
D．当x＜1时，y随x的增大而减小
【作业5】（2026 宁夏模拟）根据表中二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的y与x的几组对应值，可以判断关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的其中一个解x1的取值范围是（　　）
x 6.17 6.18 6.19 6.20
y ﹣0.03 ﹣0.03 0.02 0.12
A．6.17＜x1＜6.18 B．6.18＜x1＜6.19
C．6.19＜x1＜6.20 D．x1＞6.20
【作业6】（2026 枣庄二模）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过（﹣1，0），（3，0），（0，﹣2）三点，下列结论：
①c＝﹣2；
②当x＜1时，函数值y随自变量x的增大而增大；
③当y＜0时，x的取值范围是﹣1＜x＜3；
④方程3ax2+3bx+3c+8＝0有两个相等的实数解．
其中正确的有（　　）
A．①② B．①③ C．②④ D．①③④
【作业7】（2026 宁夏模拟）二次函数y＝x2+4x﹣5的图象与坐标轴有　 　 个交点．
【作业8】（2026 吉林校级模拟）已知二次函数y＝x2﹣4x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（1，0），则关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0的两个实数根是　 　 ．
【作业9】（2026春 郸城县月考）若抛物线y＝x2+dx+e与x轴两交点距离为4，对称轴为x＝2，则抛物线解析式为　 　 ．
【作业10】（2026春 蔡甸区月考）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，2）和（0，1）之间（不包括这两点），对称轴为直x＝1．判断下列结论是否正确：
①abc＜0；
②4ac﹣b2＜4a；
③；
④关于x的方程ax2+bx+c﹣2＝0一定有两个不相等的实数根．
正确结论：　 　 ．
【作业11】（2026 蓬江区模拟）抛物线y＝x2﹣2x+c与y轴交于点C（0，﹣3），与x轴交于点A，B，则△ABC的面积为　 　
【作业12】（2026 鲤城区校级模拟）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（3，0）、点B，与y轴交于点C（0，3）．
（1）求抛物线解析式．
（2）若点P的横坐标为，连PA，PC，求△PCA的面积．
【作业13】（2026 市南区校级模拟）已知二次函数y＝ax2+（1﹣2a）x﹣2（a为常数，且a≠0）．求证：该函数的图象与x轴总有公共点．
【作业14】（2026 温州一模）已知抛物线y＝x2+bx﹣3（b为常数）经过点A（2，﹣3），B（x1，t）．
（1）求抛物线的函数表达式．
（2）当0≤x1≤k时，﹣4≤t≤﹣3，求k的最大值．
（3）过点B与x轴平行的直线交抛物线于点C（x2，t），若4≤x2﹣x1≤6，求t的取值范围．
【作业15】（2026 温州模拟）【阅读理解】
同学们，我们来学计算二次方程解的方法．
例如，求2x2+2x﹣7＝0的解．
思路：在二次函数y＝2x2+2x﹣7中，若取x的值为x1，x2，x1＜x2，使得相应的函数值y1 y2＜0，则抛物线与x轴的交点中至少有一个在（x1，0）与（x2，0）之间，也就是说，方程2x2+2x﹣7＝0至少有一个解在x1与x2之间．
（1）【尝试探究】
小明按照上述方法求方程2x2+2x﹣7＝0的一个解，过程如表：
x的值 0 1 2 3
y＝2x2+2x﹣7 ﹣7 a b c
请利用表格信息，求出方程的解在哪两个相邻的整数之间．
（2）【迁移应用】
若关于x的方程x2+4x+m＝0有两个不同的解，恰有一个解落在﹣4与﹣3之间，求m的取值范围．
【作业16】（2026 鄞州区二模）已知二次函数y＝x2﹣2ax+1．
（1）①用含有a的代数式表示函数图象的对称轴；
②若函数图象顶点落在x轴上，求a的值；
（2）若该函数图象与x轴有两个不同交点，设这两个交点的横坐标分别为x1，x2，求证：；
（3）当m≤x≤n时，请直接用含有m，n的代数式表示函数最大值与最小值的差的最小值．
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