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第2讲 二次函数y＝a（x+m） +h的图象和性质
【暑假预习讲义】2026-2027学年沪教版(五四制)数学九年级上册
思维导图 · 课程内容总览
课程目标 · 精准把握学习方向
理解 二次函数 的图象与性质，能准确指出开口方向、对称轴和顶点坐标。
掌握 由 通过平移得到 的规律（左加右减，上加下减）。
熟练运用 顶点式求最值、判断增减性，并能利用对称性比较函数值大小。
理解 抛物线关于坐标轴对称的变换规律，能写出对称后的解析式。
体会 数形结合、化归与转化（配方法）的思想，能应用顶点式解决简单的实际问题。
核心思想：从“顶点”出发，把握抛物线的核心要素，理解平移的本质。
知识梳理 · 核心知识点
☆1. 二次函数 y=a(x+m) +h 的图象
顶点式： （）
·顶点坐标：
·对称轴： 直线
·开口方向： 由 决定
→ 开口向上，顶点为最低点
→ 开口向下，顶点为最高点
·开口大小： 由 决定， 越大开口越窄。
·最值：
若 ，当 时， 取最小值 ；
若 ，当 时， 取最大值 。
·增减性：
当 ，对称轴左侧（）递减，右侧递增；
当 ，对称轴左侧递增，右侧递减。
分析：二次函数 、、 的图像
画图：在同一平面直角坐标系中，分别画出二次函数 、 和 的图像。
通过列表、描点和连线，分别画出函数 、 和 的图像，如图 所示。
图例说明（对应图像中的曲线）：
曲线 1：（顶点在 (0, 2)）
曲线 2：（顶点在原点 (0, 0)）
曲线 3：（顶点在 (0, -2)）
三条抛物线开口方向相同（向上），形状完全相同，只是沿 轴方向进行了上下平移。
☆2. 平移规律（由 y=ax 到顶点式）
左右平移： “左加右减” — 向左平移 个单位， 变为 （ 左移）；向右平移则 变为 。
上下平移： “上加下减” — 向上平移 个单位，整体加 （ 上移）；向下平移则整体减 。
一般规律： 抛物线 的顶点 平移到顶点 ，平移方向由 、 的符号决定。
上图中的三条抛物线的开口方向、对称轴和顶点分别是什么？
抛物线 ， 与抛物线 分别有什么关系？
观察图像可以发现，将抛物线 向上平移 2 个单位长度，就得到抛物线。抛物线 的对称轴仍为 轴，顶点为 。
类似地，抛物线 可由抛物线 向下平移 2 个单位长度得到，对称轴仍为 轴，顶点为 。
观察结论： 的图像可由 的图像向上（）或向下（）平移 个单位得到。
☆3. 关于坐标轴对称的变换
对称方式 变换后解析式 顶点 对称轴 开口方向
关于 轴对称 反向
关于 轴对称 不变
关于原点对称 反向
☆4. 知识总结表
核心概念 表达式 顶点 对称轴 开口方向
顶点式 向上， 向下
平移规律 左加右减，上加下减 顶点从原点平移到 — —
关于x轴对称 反向
关于y轴对称 不变
关于原点对称 反向
核心考点 ·经典题型方法精讲
【考点1】二次函数 的图象（第1-14题）
※ 方法总结
画图步骤： 确定顶点坐标 → 列表（取对称点）→ 描点 → 用平滑曲线连接。
开口方向与大小： 由 决定， 向上， 向下； 越大开口越窄。
顶点与对称轴： 直接由顶点式读出顶点 和对称轴 。
与坐标轴交点： 令 求与 轴交点；令 解方程求与 轴交点。
图象共存问题： 注意一次函数与二次函数中系数符号的一致性，分类讨论。
1．（2025秋 宁明县校级月考）在同一坐标系中画出y＝﹣2x2+1和y＝﹣2x2的图象，并说出它们的关系，对称轴和顶点坐标．
【分析】根据描点法，可得函数图象，根据函数的a、b相同，可得函数的图象相同，根据对称轴公式，可得对称轴，根据顶点坐标公式，可得函数图象的顶点坐标．
【解答】解：y＝﹣2x2+1和y＝﹣2x2的图象，如图：
，
y＝﹣2x2的图象向上平移1个单位得y＝﹣2x2+1的函数图象；
y＝﹣2x2的对称轴是y轴，顶点坐标是（0，0）
y＝﹣2x2+1的对称轴是y轴，顶点坐标是（0，1）．
【点评】本题考查了函数图象，利用描点法画函数图象，利用对称轴公式，顶点坐标公式．
2．（2025秋 厦门校级月考）在平面直角坐标系中画出y＝（x﹣1）2﹣3的图象．
【分析】根据题意，列表、描点、再用平滑的曲线连接即可．
【解答】解：在平面直角坐标系中画出y＝（x﹣1）2﹣3的图象．
列表
x ﹣1 0 1 2 3
y 1 ﹣2 ﹣3 ﹣2 1
描点，再用平滑的曲线连接如图：
【点评】本题主要考查作二次函数的图象，作图的基本步骤，列表、描点、再用平滑的曲线连接是解题的关键．
3．（2025春 丰城市校级期中）在如图所示的平面直角坐标系中画出二次函数的图．
x … ﹣4 ﹣2 0 2 4 …
… …
（1）补充表格中的y值；
（2）在坐标系中画出图象．
【分析】（1）分别将x的值代入函数解析式，求出对应的y的值即可；
（2）利用描点，连线即可画出图象．
【解答】解：（1）当；
当；
当；
当；
当；
（2）将（1）中的每对x，y的对应值在平面直角坐标系中描出，再连线即可得到函数图象，如图：
【点评】本题考查列表法画二次函数图象，求函数值，正确掌握画函数图象的步骤：列表，描点，连线是解题的关键．
4．（2020春 同步）写出下列二次函数图象的对称轴、顶点坐标，并画出它们的图象．
（1）yx2+3
（2）yx2﹣4
（3）y＝7（x）2
（4）y（x+2）2
【分析】根据二次函数的顶点式确定出顶点坐标，对称轴，画出函数图象即可．
【解答】解：（1）∵yx2+3，
∴函数图象的对称轴为y轴，顶点坐标为（0，3）；
画出函数的图象如图：
；
（2）∵yx2﹣4，
∴函数图象的对称轴为y轴，顶点坐标为（0，﹣4）；
画出函数图象如图：
；
（3）∵y＝7（x）2，
∴函数图象的对称轴为直线x，顶点坐标为（，0）；
画出函数的图象如图：
；
（4）∵y（x+2）2，
∴函数图象的对称轴为直线x＝﹣2，顶点坐标为（﹣2，0）；
画出函数的图象如图：
．
【点评】此题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键．
5．（2026 泸县一模）已知关于x的二次函数y＝（x﹣2）2+1，下列结论错误的是（　　）
A．开口向上
B．对称轴为直线x＝2
C．最小值为1
D．当x＜2时，y随x的增大而增大
【分析】根据二次函数顶点式y＝a（x﹣h）2+k的性质，逐一进行判断即可．
【解答】解：∵y＝（x﹣2）2+1，
∴抛物线的开口向上，A选项不符合题意；
对称轴为直线x＝2，B选项不符合题意；
∴当x＝2时，函数有最小值为1，C选项不符合题意；
当x＜2时，y随x的增大而减小，D选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
6．（2025秋 长春期末）在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+3的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据二次函数图象的性质即可判断．
【解答】解：∵由二次函数y＝﹣x2+3可知，对称轴为直线x＝0，a＜0，c＞0，
∴C图象符合题意，
故选：C．
【点评】本题主要考查了二次函数图象的性质，掌握其性质是解题的关键．
7．（2025秋 安次区期末）若a＞0，c＜0，则二次函数y＝ax2+c的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据二次函数的性质，进行判断即可．
【解答】解：y＝ax2+c，
∵a＞0，c＜0，
∴抛物线的开口向上，与y轴交于负半轴，
∵二次函数y＝ax2+c的对称轴为y轴，
∴二次函数y＝ax2+c的图象大致是：
．
故选：A．
【点评】本题考查判断二次函数的图象．熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
8．（2025秋 邻水县期末）函数y＝ax+b与y＝ax2+b（a≠0）在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据二次函数的图象与一次函数的图象特点逐一排除即可，掌握二次函数的图象与一次函数得性质是解题的关键．
【解答】解：根据二次函数的图象与一次函数的图象性质逐项分析判断如下：
A、此选项由函数y＝ax+b图象可得a＞0，b＞0，由y＝ax2+b（a≠0）图象可得a＞0，b＞0，符合题意；
B、此选项由函数y＝ax+b图象可得a＞0，b＜0，由y＝ax2+b（a≠0）图象可得a＞0，b＞0，不符合题意；
C、此选项由函数y＝ax+b图象可得a＞0，b＝0，由y＝ax2+b（a≠0）图象可得a＜0，b＞0，不符合题意；
D、此选项由函数y＝ax+b图象可得a＞0，b＞0，由y＝ax2+b（a≠0）图象可得a＜0，b＞0，不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数的图象与一次函数的图象问题，熟练掌握以上知识点是关键．
9．（2025秋 忠县期末）下列函数的图象中，与y＝3（x﹣2）2的函数图象形状一致的是（　　）
A．y＝3x2 B．y＝（x﹣2）2+1
C．y＝（x﹣2）2 D．y＝3（x﹣3）
【分析】根据二次函数图象的形状相同则二次项系数的绝对值相等判断即可．
【解答】解：与y＝3（x﹣2）2的函数图象形状一致的是y＝3x2，
故选：A．
【点评】本题考查二次函数的图象和性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
10．（2025秋 阜平县期末）下列图象可能是函数y＝ax2+a（a≠0）的图象的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】从a＞0和a＜0两种情况进行分析图象的开口方向和顶点坐标，即可选出正确的答案．
【解答】解：当a＞0时，函数y＝ax2+a（a≠0）的图象开口向上，顶点在y轴的正半轴；
当a＜0时，函数y＝ax2+a（a≠0）的图象开口向下，顶点在y轴的负半轴；
故选项B符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查的是二次函数系数与图象的关系，熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标与系数的关系是解题的关键，注意分类讨论思想的运用．
11．（2025秋 船营区校级期末）二次函数y＝2（x+1）2的图象如图所示，则△ABO的面积为　1　 ．
【分析】分别令y＝0，x＝0，求出点A，B的坐标，从而得到AO，BO的长，根据三角形的面积即可求解．
【解答】解：令y＝0，则2（x+1）2＝0，
解得x＝﹣1，
∴A（﹣1，0），
∴AO＝1．
令x＝0，则y＝2，
∴B（0，2），
∴BO＝2，
∴二次函数y＝2（x+1）2的图象如图所示，则．
故答案为：1．
【点评】本题考查求二次函数图象与坐标轴的交点．解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
12．（2025秋 澧县期末）已知点A（1，y1），B（﹣2，y2）在抛物线y＝﹣（x+1）2+k（k为常数）上，则y1　＜　 y2．（用“＞”、“＜”或“＝”填空）
【分析】通过计算两点到抛物线顶点的水平距离，结合抛物线开口方向，判断函数值大小即可．
【解答】解：抛物线的顶点坐标为 （﹣1，k），开口向下，二次项系数为负，
点 B（﹣2，y2） 到顶点的水平距离为|﹣2﹣（﹣1）|＝1，点 A（1，y1） 到顶点的水平距离为|1﹣（﹣1）|＝2，
由于抛物线开口向下，距离顶点越近，函数值越大，
因此 y2＞y1，即 y1＜y2，
故答案为：＜．
【点评】本题考查二次函数的图象，熟练掌握二次函数的图象是解题的关键．
13．（2025秋 拱墅区校级期中）抛物线y＝a（x﹣1）2+k的部分图象如图所示，则a+k＝　3　 ．
【分析】把点（0，3）代入解析式即可求解．
【解答】解：由图象可知，抛物线经过点（0，3），
∴3＝a（0﹣1）2+k，
∴a+k＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查了二次函数的图象，二次函数图象上点的坐标特征，把图象上点的坐标代入解析式是解题的关键．
14．（2025秋 海淀区校级月考）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2﹣4ax（a≠0）．
（1）当a＝2时，
①该抛物线的对称轴为x＝2　 ；
②点A（1，m）和B（3，n）是抛物线上的两点，比较m和n的大小关系，并说明理由；
（2）如果点M（x1，y1）和N（x2，y2）是抛物线上的两点，且对于x1＝3a，6＜x2＜7，都有y1＜y2，求a的取值范围．
【分析】（1）①根据抛物线的性质计算出对称轴解析式；
②由2得出A、B两点关于抛物线对称轴对称，即可由抛物线的性质得出m＝n．
（2）先求出抛物线对称轴为直线x＝2，然后分a＜0和a＞0结合抛物线的性质讨论求出a的范围
【解答】解：（1）①当a＝2时，抛物线解析式为：y＝2x2﹣8x．
抛物线对称轴为：x2．
故答案为：x＝2．
②结论：m＝n．
理由如下：
∵2，
∴A、B两点关于抛物线对称轴对称，
∴m＝n．
（2）根据题意抛物线对称轴为：x2．
①当a＜0时：
当x≤2时，y随着x的增大而增大；当x≥2时，y随着x的增大而减小．
x1＝3a＜0，则x1、x2在对称轴两侧．
设点N关于抛物线对称轴的对称点为N1（x3，y3）则﹣3＜x3＜﹣2，y3＝y2，
∵x1＝3a≤﹣3时，y1＜y3，
∴当a≤﹣1时，y1＜y2，
②当a＞0时，x1＝3a＞0，
当x≤2时，y随着x的增大而减小；当x≥2时，y随着x的减增大而增大．
令y＝ax2﹣4ax＝0，则：x（x﹣4）＝0，x＝0或x＝4．
∴抛物线与x轴的交点为（0，0），（4，0）．
由于x2＞4且在抛物线对称轴的右侧，则y2＞0．
∴当0＜x1≤6时，即0＜a≤2，y1＜y2．
∴a的取值范围为a≤﹣1或0＜a≤2．
【点评】本题考查了二次函数的图象和性质，分类讨论等知识点，熟练掌握二次函数的图象和性质是解答本题的关键．
【考点2】二次函数 的性质（第15-34题）
※ 方法总结
最值： 开口向上有最小值 （在 取得），开口向下有最大值 。
增减性： 根据对称轴和开口方向判断：向上时“左减右增”，向下时“左增右减”。
比较函数值大小： 利用开口方向和点到对称轴的距离：开口向上时，距对称轴越近函数值越小；开口向下时，距对称轴越近函数值越大。
含参数问题： 利用对称轴、最值等建立方程或不等式求解。
新定义问题： 如“最小/最大”符号定义，需转化为不等式组或方程求解。
15．（2026 和平区校级三模）二次函数y＝﹣3（x+2）2+5的顶点坐标是（　　）
A．（2，5） B．（2，﹣5） C．（﹣2，﹣5） D．（﹣2，5）
【分析】根据二次函数y＝a（x﹣h）2+k的顶点坐标为（h，k）进行求解即可．
【解答】解：由题意，∵二次函数为y＝﹣3（x+2）2+5，
∴其顶点坐标为（﹣2，5）．
故选：D．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的顶点式是关键．
16．（2026 湖里区三模）已知抛物线y＝（x﹣h）2，其中h＞0，该抛物线示意图是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据二次函数顶点式的图象特征求解．
【解答】解：已知抛物线y＝（x﹣h）2，其中h＞0，
所以对称轴为直线x＝h，并且顶点坐标为（h，0）在x轴的正半轴，
故B、C、D错误，不符合题意，
故选：A．
【点评】本题考查二次函数的图象和性质，解题的关键的熟悉二次函数顶点式的图象性质．
17．（2026 莆田模拟）已知抛物线y＝﹣x2+bx经过A（m，y1），B（﹣1，y2），当﹣1≤m≤3时，总有y1≥y2，则b的值不可能为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】先根据抛物线性质得到b的取值范围，再判断选项即可，解题用到开口向下的二次函数函数值与点到对称轴距离的关系．
【解答】解：由条件可知抛物线开口向下，点到对称轴距离越近，函数值越大，抛物线对称轴为直线 ，
当﹣1≤m≤3 时总有 y1≥y2，都有 ，
整理得 m2﹣bm﹣b﹣1≤0，即（m+1）（m﹣b﹣1）≤0（﹣1≤m≤3），
当（m+1）（m﹣b﹣1）＝0时，m1＝﹣1，m2＝b+1，
∴根据抛物线的性质可知，﹣1≤m≤b+1，
∵﹣1≤m≤3，
∴b+1≥3，
解得 b≥2，
∵选项中只有 1＜2 不满足条件，
∴b的值不可能为1．
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握该知识点是关键．
18．（2026 天长市二模）已知y1与y2是关于x的二次函数，函数图象如图所示，则函数y＝y1﹣y2的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】设，可得二次函数y＝y1﹣y2的解析式，再根据二次函数性质逐项分析判断即可．
【解答】解：设，
∴，
由条件可知a1＞0，a2＜0，c1＜0，c2＞0，
∴a1﹣a2＞0，c1﹣c2＜0，据此逐项分析判断如下：
二次函数的图象开口向上，与y轴负半轴相交，选项D，不符合题意；
由图象知：x＝0时，y1＜﹣1，0＜y2＜1，y＝y1﹣y2＜﹣1，选项C，不符合题意；
x＝1时，y1与y2相交，即y1＝y2，
∴x＝1时，y＝0，即与x轴交点是（1，0），选项B，不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握该知识点是关键．
19．（2026 柳州模拟）关于抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+3，下列说法正确的是（　　）
A．开口向上
B．对称轴是直线x＝﹣1
C．顶点坐标是（1，3）
D．x＞1时，y随x增大而增大
【分析】由抛物线的解析式可求得其对称轴、开口方向、顶点坐标，进一步可得出其增减性，即可得出答案．
【解答】解：抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+3中，根据解析式逐项分析判断如下；
A．因为﹣2＜0，所以抛物线开口向下，不符合题意；
B．由题意知：抛物线的对称轴为直线x＝1，不符合题意；
C．由题意知：抛物线的顶点坐标是（1，3），符合题意；
D．x＞1时，y随x增大而减小，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键．
20．（2026 湖北模拟）二次函数y＝ax2+bx的图象如图所示，则一次函数y＝ax+b的图象一定不经过（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】观察图象得：抛物线开口向上，且对称轴在y轴的右侧，可得a＞0，b＜0，即可求解．
【解答】解：由图象可知：抛物线开口向上，且对称轴在y轴的右侧，
∴，
∴b＜0，
∴一次函数的图象经过第一、三、四象限，
∴一次函数的图象一定不经过第二象限．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握该知识点是关键．
21．（2026 肥东县校级一模）在同一坐标系中，二次函数y＝ax2+c的图象与一次函数y＝cx+a的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】本题可先由二次函数y＝ax2+c图象得到字母系数的正负，再与一次函数y＝cx+a图象相比较看是否一致．
【解答】解：A、由抛物线y＝ax2+c，可知图象开口向上，交y轴的负半轴，可知a＞0，c＜0，则直线y＝cx+a经过一，二，四象限，故此选项不符合题意；
B、由抛物线y＝ax2+c，可知图象开口向上，交y轴的正半轴，可知a＞0，c＞0，则直线y＝cx+a经过一，二，三象限，故此选项不符合题意；
C、由抛物线y＝ax2+c，可知图象开口向下，交y轴的正半轴，可知a＜0，c＞0，则直线y＝cx+a经过一，三，四象限，故此选项符合题意；
D、由抛物线y＝ax2+c，可知图象开口向下，交y轴的负半轴，可知a＜0，c＜0，则直线y＝cx+a经过二、三，四象限，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点评】此题考查了抛物线和直线的性质，用假设法来搞定这种数形结合题是一种很好的方法，难度适中．
22．（2026 海安市校级二模）二次函数y＝a（x﹣1）2+6，当x＜1时，y随x的增大而增大，写出一个符合条件的a的值　﹣1（答案不唯一，任意负数均可）　 ．
【分析】根据顶点式得到对称轴，结合给定的增减性判断a的取值范围，即可写出符合条件的a的值．
【解答】解：根据顶点式得到对称轴，结合给定的增减性判断a的取值范围如下：
二次函数解析式为y＝a（x﹣1）2+6，
∴对称轴为直线x＝1，
∵当x＜1时，y随x的增大而增大，
∴二次函数图象开口向下，
∴a＜0，
∴a＝﹣1（答案不唯一）．
故答案为：﹣1（答案不唯一，任意负数均可）．
【点评】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握该知识点是关键．
23．（2026 上海校级模拟）沿着x轴正方向看，抛物线y＝﹣x2+2x在其对称轴右侧的部分是 　下降　 的．（填“上升”或“下降”）
【分析】根据二次函数的性质解答即可．
【解答】解：因为a＝﹣1＜0，
所以抛物线y＝﹣x2+2x在对称轴右侧部分是下降的，
故答案为：下降．
【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．
24．（2026 姜堰区一模）二次函数y＝x2+2x的顶点坐标为　（﹣1，﹣1）　 ．
【分析】根据二次函数y＝ax2+bx+c的顶点坐标公式进行计算即可．
【解答】解：∵a＝1，b＝2，c＝0，
∴1，
1，
∴顶点坐标为（﹣1，﹣1），
故答案为：（﹣1，﹣1）．
【点评】此题主要考查了二次函数的性质，掌握二次函数一般式y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标公式（，）．
25．（2026 太和县一模）抛物线y＝x2﹣2x+4的对称轴为直线x＝　1　 ．
【分析】先将一般式化为顶点式，即可求解．
【解答】解：将一般式化为顶点式为y＝（x﹣1）2+3，
∴抛物线y＝x2﹣2x+4的对称轴是直线x＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
26．（2025秋 东明县期末）已知二次函数y＝3（x﹣a）2的图象上，当x＞2时，y随x的增大而增大，则a的取值范围是 a≤2　 ．
【分析】根据二次函数的性质，利用二次函数的对称轴不大于2列式计算即可得解．
【解答】解：二次函数y＝3（x﹣a）2的对称轴为直线x＝a，
∵当x＞a时，y的值随x值的增大而增大，
∴a≤2．
故答案为：a≤2．
【点评】本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的增减性，熟记性质并列出不等式是解题的关键．
27．（2025秋 庐阳区校级期末）如图，已知抛物线y＝a（x﹣3）2+k交y轴于点E（0，4）．
（1）此抛物线的对称轴为直线x＝3　 ；
（2）已知正方形ABCD边AB与x轴重合，点A的坐标为（8，0），AB＝2，若此抛物线与正方形的边CD有交点，则a的取值范围是　　 ．
【分析】（1）根据抛物线的顶点式即可得其对称轴；
（2）分别考虑抛物线过点D、C时a的值，即可确定a的取值范围．
【解答】解：（1）根据抛物线的顶点式可知y＝a（x﹣3）2+k，
∴抛物线的对称轴为直线x＝3，
故答案为：x＝3；
（2）由条件可知a（0﹣3）2+k＝4，
即k＝4﹣9a，
∴y＝a（x﹣3）2+4﹣9a＝ax2﹣6ax+4，
∵点A的坐标为（8，0），AB＝2，且四边形ABCD为正方形，
∴B（10，0），D（8，2），C（10，2），
当抛物线y＝ax2﹣6ax+4经过点D时，则64a﹣48a+4＝2，
解得：；
当抛物线y＝ax2﹣6ax+4经过点C时，则100a﹣60a+4＝2，
解得：；
∴当抛物线与正方形的边CD有交点时，则a的取值范围为；
故答案为：．
【点评】本题考查了正方形的性质，求二次函数的对称轴，二次函数的图象与性质等知识，掌握这些知识是关键．
28．（2025秋 丰南区期末）如图，抛物线L1，L2与直线y＝7分别交于A，C和B，D四点，且AB＝10，BC＝5，CD＝6．若点P，Q分别是两抛物线的顶点，且P，Q都在x轴上，则PQ的长是　8　 ．
【分析】如图，作两条抛物线的对称轴PE，QF，E，F在直线y＝7上，再进一步结合矩形的性质与抛物线的对称性解答即可．
【解答】解：如图，作两条抛物线的对称轴PE，QF，E，F在直线y＝7上，
由条件可知PQ＝EF，
∵AB＝10，BC＝5，CD＝6，
∴AC＝AB+BC＝15，BD＝BC+CD＝11，
结合抛物线的对称性可得：
AE＝CE＝7.5，BF＝DF＝5.5，
∴BE＝CE﹣BC＝2.5，
∴EF＝BE+BF＝8，
∴PQ＝8，
故答案为：8．
【点评】本题考查的是矩形的判定与性质，抛物线的性质，熟练掌握以上知识点是关键．
29．（2025秋 贵阳期末）二次函数y＝﹣x2+2x﹣1，当自变量2≤x≤4时，函数的最大值为 　﹣1　 ．
【分析】根据二次函数解析式得到对称轴直线，根据二次函数增减性，最值的计算方法即可求解．
【解答】解：y＝﹣x2+2x﹣1＝﹣（x﹣1）2
∴函数图象的开口向下，对称轴直线为x＝1，
∴当x＞1时，y随x的增大而减小，
∴在2≤x≤4范围内，x＝2时，函数值最大，y最大值＝﹣（2﹣1）2＝﹣1，
∴当自变量2≤x≤4时，函数的最大值为﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题主要考查二次函数图象的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．
30．（2025秋 青浦区期末）如果抛物线y＝（a﹣1）x2﹣1有最高点，那么实数a的取值范围是a＜1　 ．
【分析】根据二次函数的性质，抛物线有最高点时，开口向下，二次项系数小于零．
【解答】解：抛物线y＝（a﹣1）x2﹣1有最高点，
因此开口向下，二次项系数a﹣1＜0，
解得a＜1，
∴如果抛物线y＝（a﹣1）x2﹣1有最高点，那么实数a的取值范围是a＜1，
故答案为：a＜1．
【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
31．（2025秋 万荣县期末）设A（2，y1），B（3，y2），C（﹣4，y3）是抛物线y＝3（x﹣1）2+k图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为y1＜y2＜y3 （用“＜”连接）．
【分析】先求出抛物线的对称轴和开口方向，然后根据二次函数对称性和增减性判断即可．
【解答】解：∵抛物线y＝3（x﹣1）2+k的开口向上，对称轴是直线x＝1，
∴当x＞1时，y随x的增大而增大，
∴C（﹣4，y3）关于称轴是直线x＝1的对称点是（6，y3），
∵2＜3＜6，
∴y1＜y2＜y3．
故答案为：y1＜y2＜y3．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质，能熟记二次函数的性质是解此题的关键．
32．（2025秋 墨玉县月考）已知函数．
（1）指出函数图象的开口方向是　向下　 ，对称轴是　直线x＝﹣1　 ，顶点坐标为　（﹣1，﹣2）　 ；
（2）当x　＜﹣1　 时，y随x的增大而增大；
（3）怎样移动抛物线就可以得到抛物线．
【分析】（1）根据二次函数的图象与系数的关系得出开口方向，根据顶点式得出对称轴及顶点坐标；
（2）根据二次函数的性质可以解答本题；
（3）根据平移的规律：左加右减，上加下减，可以解答本题．
【解答】解：（1）∵函数，，
∴该函数图象的开口方向是向下，对称轴是直线x＝﹣1，顶点坐标是（﹣1，﹣2），
故答案为：向下，直线x＝﹣1，（﹣1，﹣2）；
（2）∵函数，
∴当x＜﹣1时，y随x的增大而增大，
故答案为：＜﹣1；
（3）将抛物线向左平移一个单位长度，再向下平移两个单位长度就可以得到抛物线．
【点评】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数图象的平移规律，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
33．（2025秋 西湖区校级月考）先阅读短文，然后回答短文后面所给出的问题：
对于三个数a、b、c中，我们给出符号来表示其中最大（小）的数，规定min{a，b，c}表示这三个数中最小的数，max{a，b，c}表示这三个数中最大的数．
例如：．
（1）min{﹣2024，﹣2025，﹣2026}＝　﹣2026　 ；max{2，x2+2，2x}＝x2+2　 ；
（2）若min{2，2x﹣1，﹣3x}＝﹣3x，求x的取值范围；
（3）若min{4x，4x+2，x2+5}＝max{2，4﹣2x，﹣x2﹣1}，求x的值．
【分析】（1）根据新定义即可得出结论；
（2）根据新定义列出关于x的不等式组，解之可得；
（3）分情况分别列出关于x的方程，解方程可得．
【解答】解：（1）∵﹣2024＞﹣2025＞﹣2026，
∴min{﹣2024，﹣2025，﹣2026}＝﹣2026；
∵x2+2＞2x，x2+2≥2，
∴max{2，x2+2，2x}＝x2+2；
故答案为：﹣2026，x2+2；
（2）∵min{2，2x﹣1，﹣3x}＝﹣3x，
∴，
解得：x；
（3）∵x2+5﹣4x＝（x﹣2）2+1＞0，
∴x2+5＞4x，
又∵4x＜4x+2，
∴min{4x，4x+2，x2+5}＝4x，
∵﹣x2﹣1＜0，
∴2＞﹣x2﹣1，
∵4﹣2x﹣（﹣x2﹣1）＝（x﹣1）2+4＞0，
∴4﹣2x＞﹣x2﹣1，
当2＞4﹣2x，即x＞1时，则4x＝2，解得：x，（不合题意，舍去），
当2＜4﹣2x，即x＜1时，则4x＝4﹣2x，解得：x．
综上，x的值为．
【点评】本题主要考查新定义下解不等式组和一元一次方程的能力，根据新定义列出不等式组和一元一次方程是根本，准确分类讨论是解题的关键．
34．（2025秋 魏县期中）如图，抛物线与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B．
（1）求k的值，并直接写出l在x轴上方的图象x的取值范围；
（2）坐标平面上放置一透明胶片，在胶片上描画出点B及l的一段，分别记为B′，l′，平移胶片，使B′与点A重合，求平移后l′的表达式．
【分析】（1）把A（4，0）代入中即可得出k的值，再由对称性求出x的取值范围；
（2）先求出点B的坐标，由此得到抛物线向右平移4个单位，再向上平移2个单位得到，即可求出平移后l′的表达式．
【解答】解：（1）∵抛物线与x轴交于点A（4，0），
∴，
解得．
∵抛物线，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵点A（4，0），
∴抛物线与x轴另一个交点为（1，0），
∴当抛物线l在x轴上方时，1＜x＜4；
（2）令x＝0，则，
∴B（0，﹣2），
∴点B′平移到点A，抛物线向右平移4个单位，向上平移2个单位，得平移后l′的表达式为：．
【点评】本题考查二次函数y＝a（x﹣h）2+k的图象与性质，掌握二次函数y＝a（x﹣h）2+k的性质以及平移的方法是解题的关键．
【考点3】二次函数的平移与对称（第35-42题）
※ 方法总结
平移规律： “左加右减，上加下减” — 对 的平移改变括号内，对整体的平移改变常数项。
关于坐标轴对称：
关于 轴对称： 和 变号， 不变；
关于 轴对称： 变号，、 不变；
关于原点对称：、、 均变号。
中心对称： 关于原点成中心对称，顶点对称，开口反向。
35．（2025秋 贺兰县校级月考）若将二次函数y＝x2的图象先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，则平移后的二次函数解析式为y＝（x﹣2）2+3　 ．
【分析】根据平移规则：左加右减，上加下减，进行求解即可．
【解答】解：将二次函数y＝x2的图象先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，则平移后的二次函数解析式为y＝（x﹣2）2+3．
故答案为：y＝（x﹣2）2+3．
【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解题的关键．
36．（2026 巴彦县二模）把抛物线向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据二次函数图象的平移规律进行求解即可．
【解答】解：把抛物线向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为，即，
故选：B．
【点评】本题主要考查二次函数图象的平移，熟练掌握“左加右减，上加下减”的平移规律是解题的关键．
37．（2026 东台市三模）将抛物线y＝2（x+1）2﹣1先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为（　　）
A．y＝2（x﹣1）2 B．y＝2（x+3）2
C．y＝2（x﹣1）2﹣2 D．y＝2（x+3）2﹣2
【分析】根据“上加下减，左加右减”的平移规律求解即可．
【解答】解：将抛物线y＝2（x+1）2﹣1先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的新抛物线的函数表达式为y＝2（x+1﹣2）2﹣1+1＝2（x﹣1）2，
故选：A．
【点评】本题主要考查了二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解题的关键．
38．（2025秋 凉州区期中）已知抛物线y＝x2﹣4x+3图象上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如表所示：
x … 0 1 2 3 4 …
y … 3 0 m 0 3 …
（1）m＝　﹣1　 ；将其配方成y＝a（x﹣k）2+h的形式为y＝（x﹣2）2﹣1　 ；
（2）在下面平面直角坐标系中，画出该抛物线的大致图象；
（3）填空：
①当x＜n时，y随x的增大而减小，则n的取值范围是n≤2　 ；
②直接写出原抛物线关于x轴对称的抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+4x﹣3　 ．
【分析】（1）求出当x＝2时的函数值即可求出m的值，再利用配方法把解析式化为顶点式即可；
（2）利用描点法画出对应的函数图象即可；
（3）①确定开口方向和对称轴，进而确定增减性即可得到答案；
②设P（m，n）为翻折后的函数图象上的一点，那么点（m，﹣n）为y＝x2﹣4x+3图象上的一点，把（m，﹣n）代入y＝x2﹣4x+3中求出m、n的函数关系式即可得到答案．
【解答】解：（1）在y＝x2﹣4x+3中，当x＝2时，y＝﹣1，
∴m＝﹣1；
y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
故答案为：﹣1；y＝（x﹣2）2﹣1；
（2）如图所示，即为所求；
（3）①由条件可知当x≤2时，y随x的增大而减小，
∵当x＜n时，y随x的增大而减小，
∴n≤2，
故答案为：n≤2；
②设P（m，n）为翻折后的函数图象上的一点，那么点（m，﹣n）为y＝x2﹣4x+3图象上的一点，
∴﹣n＝m2﹣4m+3，
∴n＝﹣m2+4m﹣3，
∴关于x轴对称的函数解析式为y＝﹣x2+4x﹣3，
故答案为：y＝﹣x2+4x﹣3．
【点评】本题主要考查了二次函数图象的性质，画二次函数图象，坐标与图形变化—轴对称等等，熟练掌握以上知识点是关键．
39．已知抛物线y＝x2﹣2x﹣1．求：
（1）与此抛物线关于x轴对称的抛物线表达式为y＝﹣（x﹣1）2+2　 ；
（2）与此抛物线关于y轴对称的抛物线表达式为y＝（x+1）2﹣2　 ；
（3）与此抛物线关于原点对称的抛物线表达式为y＝﹣（x+1）2+2　 ．
【分析】（1）依据题意，先求出原顶点（1，﹣2）关于x轴对称的点为（1，2），进而可以判断得解；
（2）依据题意，先求出顶点（1，﹣2）关于y轴对称的点为（﹣1，﹣2），从而可以判断得解；
（3）依据题意，先求出顶点（1，﹣2）关于原点对称的点为（﹣1，2），故可判断得解．
【解答】解：由题意得，抛物线为y＝x2﹣2x﹣1＝（x﹣1）2﹣2，
∴其顶点为（1，﹣2）．
（1）∵顶点（1，﹣2）关于x轴对称的点为（1，2），
∴与此抛物线关于x轴对称的抛物线表达式为y＝﹣（x﹣1）2+2．
故答案为：y＝﹣（x﹣1）2+2．
（2）∵顶点（1，﹣2）关于y轴对称的点为（﹣1，﹣2），
∴与此抛物线关于y轴对称的抛物线表达式为y＝（x+1）2﹣2．
故答案为：y＝（x+1）2﹣2．
（3）∵顶点（1，﹣2）关于原点对称的点为（﹣1，2），
∴与此抛物线关于原点对称的抛物线表达式为y＝﹣（x+1）2+2．
故答案为：y＝﹣（x+1）2+2．
【点评】本题主要考查了二次函数图象与几何变换、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．
40．（2024 凉州区二模）已知抛物线C1与C2关于原点成中心对称，若抛物线C1的解析式为y＝﹣3（x+2）2﹣1，则抛物线C2的解析式为 y＝3（x﹣2）2+1　 ．
【分析】根据抛物线C1的解析式确定抛物线的开口方向及顶点坐标，然后结合中心对称的性质确定抛物线C2的开口方向及顶点坐标，即可求解．
【解答】解：抛物线C1的解析式为y＝﹣3（x+2）2﹣1，
∴抛物线C1的开口向下，顶点坐标为（﹣2，﹣1），
∵抛物线C1，抛物线C2关于原点中心对称，
∴抛物线C2的开口向上，顶点坐标为（2，1），
抛物线的解析式为y＝3（x﹣2）2+1．
故答案为：y＝3（x﹣2）2+1．
【点评】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，掌握关于原点对称的点的坐标的特征是解题的关键．
41．（2026 宁波模拟）同一平面直角坐标系中，抛物线与y＝﹣（x+m）2﹣（x+n）2关于原点成中心对称，则代数式（m+2）2+（n+2）2的值为　　 ．
【分析】设（x，y）为y＝﹣（x+m）2﹣（x+n）2上任一点，它关于原点成中心对称的点为（﹣x，﹣y），根据抛物线与y＝﹣（x+m）2﹣（x+n）2关于原点成中心对称，（﹣x，﹣y）在抛物线上，得，
从而或，求解即可．
【解答】解：设（x，y）为y＝﹣（x+m）2﹣（x+n）2上任一点，它关于原点成中心对称的点为（﹣x，﹣y），
∵抛物线与y＝﹣（x+m）2﹣（x+n）2关于原点成中心对称，
∴（﹣x，﹣y）在抛物线上，
∴，
∴，
∴或，
∴．
故答案为：．
【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知关于原点对称的点的坐标特点是解题的关键．
42．（2025 灞桥区校级模拟）在平面直角坐标系中，有两条抛物线关于x轴对称，且它们的顶点相距4个单位长度，若其中一条抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+4x+2m，则m的值是（　　）
A．或﹣1 B．1 C．﹣1 D．﹣1或﹣3
【分析】根据题意，得出所得抛物线的顶点纵坐标为±2，据此可解决问题．
【解答】解：由题知，
因为两条抛物线关于x轴对称，且它们的顶点相距4个单位长度，
所以这两天抛物线的顶点纵坐标为2或﹣2．
又因为其中一条抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+4x+2m，
则y＝﹣（x﹣2）2+2m+4，
所以2m+4＝2或﹣2，
解得m＝﹣1或﹣3．
故选：D．
【点评】本题主要考查了二次函数图象与几何变换及二次函数的性质，熟知二次函数的图象与性质是解题的关键．
【考点4】二次函数综合应用（第43-45题）
※ 方法总结
实际问题建模： 如投篮、喷水等，根据题意建立坐标系，利用顶点式求解析式。
利用图象解不等式： 观察图象在 x 轴上方（>0）或下方（<0）的部分，确定 x 的范围。
最值问题： 根据顶点坐标或增减性求实际最值，注意自变量的取值范围。
结合几何图形： 如矩形、正方形等，利用抛物线性质求参数范围。
43．（2025秋 临淄区期末）为研究篮球运动员投篮技术特点，某数学兴趣小组开展了综合与实践活动，记录如下表：
主题 研究篮球运动员投篮技术特点
活动准备 1．确定研究对象． 2．准备皮尺等测量工具．
采集数据 图1是运动员投篮示意图，信息如下： 1．运动员距离篮下4m处起跳投篮． 2．篮球运行路线是抛物线． 3．当篮球运动水平距离2.5m时，达到最大高度3.5m，然后准确落入篮圈． 4．篮圈中心到地面3.05m，该运动员身高1.8m，球在头顶上方0.25m处出手．
设计方案 小组成员经过讨论，建立如图2所示的平面直角坐标系．点A为出手点，点B为最高点，点C为篮圈中心．过点A作水平地面的垂线，垂足为点O，以点O为坐标原点，AO所在直线为y轴，水平地面为x轴，建立平面直角坐标系．此时，可以确定点B坐标为（2.5，3.5），点C的坐标为（4，3.05）．
确定思路 通过建立平面直角坐标系，求出抛物线的解析式，进一步解决实际问题．因为B是最高点，说明点B是抛物线的顶点，所以设抛物线的顶点式较为简单，设抛物线的解析式为y＝a（x﹣h）2+k． 根据以上信息，解决下列问题： （1）求抛物线的表达式； （2）球出手时，运动员跳离地面的高度．
【分析】（1）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣h）2+k，把点B坐标（2.5，3.5），点C坐标（4，3.05）代入即可解答；
（2）令x＝0，求出y的值，减去运动员的身高即可解答．
【解答】解：（1）∵抛物线的顶点坐标为（2.5，3.5），
∴设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2.5）2+3.5，
把C坐标（4，3.05）代入得：a，
∴抛物线的表达式为y（x﹣2.5）2+3.5；
（2）当x＝0时，y（0﹣2.5）2+3.5＝2.25，
2.25﹣1.8＝0.45（米），
∴球出手时，运动员跳离地面的高度为0.45米．
【点评】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是由题中信息得出抛物线的解析式．
44．（2025秋 金乡县月考）请仔细阅读并完成相应的任务．
用图象法解一元二次不等式：﹣x2+2x+3＜0 方法如下： 步骤一：设y＝﹣x2+2x+3 步骤二：先将二次函数：y＝﹣x2+2x+3化为顶点式，确定抛物线的顶点位置； 步骤三：列表 x…﹣10123…y…　0　 3　4　 30…
步骤四：描点，连线（因为a＝﹣1＜0，所以抛物线开口向下）． 步骤五：观察函数图象可知，当x＜﹣1或x＞3时，y＜0． 所以﹣x2+2x+3＜0的解集是x＜﹣1或x＞3
任务：
（1）“步骤二”中二次函数一般式化为顶点式是y＝﹣（x﹣1）2+4　 ．
（2）将材料中的表格补充完整，并画出图象．
（3）请直接写出一元二次不等式﹣x2+2x+3＞0的解集是　﹣1＜x＜3　 ．
【分析】（1）把一般式配方成顶点式即可；
（2）根据材料补充表格，再用描点法画图即可；
（3）结合函数图象写出一元二次不等式﹣x2+2x+3＞0的解集．
【解答】解：（1）“步骤二”中二次函数一般式化为顶点式为y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
故答案为：y＝﹣（x﹣1）2+4；
（2）对于y＝﹣x2+2x+3，
当x＝﹣1时，得：y＝﹣1﹣2+3＝0；
当x＝1时，得：y＝﹣1+2+3＝4；
∴列表如下：
x … ﹣1 0 1 2 3 …
y … 0 3 4 3 0 …
描点，连线（因为a＝﹣1＜0，所以抛物线开口向下），如图即为所求；
故答案为：0；4；
（3）一元二次不等式﹣x2+2x+3＞0的解集是﹣1＜x＜3．理由如下：
函数图象取在x轴上方的部分，对应x的范围是﹣1＜x＜3，
∴一元二次不等式﹣x2+2x+3＞0的解集是﹣1＜x＜3．
故答案为：﹣1＜x＜3．
【点评】本题考查二次函数与不等式（组），二次函数的三种形式，抛物线与x轴的交点，解答本题的关键是熟练掌握二次函数的性质．
45．（2022秋 尧都区期中）如图1，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线的方向行驶，为绿化带浇水，喷水口H离地竖直高度为1.5m．如图2，把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象，把绿化带横截面抽象为矩形DEFG，其水平宽度DE＝3m，竖直高度为EF＝0.5m．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2m，高出喷水口0.5m，喷出的水最远落在地面C处．
（1）求上边缘抛物线的函数解析式（用顶点式表示），并求喷出水的最大射程OC；
（2）灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，喷出的水恰好经过点F时，求此时点F的坐标．
【分析】（1）设上边缘抛物线的函数解析式为y＝a（x﹣2）2+2，把点（0，1.5）代入即可求得上边缘抛物线的函数解析式，令y＝0，解方程即可求得喷出水的最大射程OC的值；
（2）令y＝0.5，解方程即可求解．
【解答】解：（1）由题意得点A（2，2）是上边缘抛物线的顶点，
∴设上边缘抛物线的函数解析式为y＝a（x﹣2）2+2，
∵抛物线经过点（0，1.5），
∴1.5＝4a+2，
解得，
∴上边缘抛物线的函数解析式为，
把y＝0代入中，得，
解得x1＝6，x2＝﹣2（舍去），
∴喷出水的最大射程OC为6m；
（2）∵EF＝0.5，
∴点F的纵坐标为0.5，
当抛物线恰好经过点F时，，
解得，（舍去），
∴点F的坐标是．
【点评】本题考查二次函数的实际应用，掌握待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数与方程的关系等知识是解题的关键．
随堂检测 · 精选练习
练习1 — 判断二次函数 （）的图象（顶点在 y 轴正半轴）。
练习2 — 比较 图象上三点函数值大小（利用对称性）。
练习3 — 抛物线 向左平移2个单位，再向上平移5个单位后的解析式（平移规律）。
练习4 — 已知抛物线 ，求关于 x 轴、y 轴对称的解析式（对称变换）。
【练习1】（2025 深圳模拟）在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+k（a≠0，k＞0）的图象可能是如图中的（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据二次函数y＝ax2+k（a≠0）的顶点坐标为（0，k）（k＞0），即它的顶点坐标在y轴正半轴上，即可判断得解．
【解答】解：∵y＝ax2+k（a≠0，k＞0），
∴二次函数的顶点坐标为（0，k），且其顶点坐标在y轴正半轴上，
∴只有A选项中的图象符合题意．
故选：A．
【点评】本题主要考查了二次函数的图象，解决本题的关键是求得二次函数的顶点坐标．
【练习2】（2024春 同步）已知二次函数y＝3（x﹣1）2+5图象上的三点A（2，y1），B（3，y2），C（﹣4，y3），则y1，y2，y3的大小关系是 y1＜y2＜y3 ．
【分析】根据二次函数的解析式得出图象的开口向上，对称轴是直线x＝1，根据x＞1时，y随x的增大而增大，即可得出答案．
【解答】解：∵y＝3（x﹣1）2+5，
∴图象的开口向上，对称轴是直线x＝1，
A（﹣4，y3）关于直线x＝1的对称点是（6，y3），
∵2＜3＜6，
∴y1＜y2＜y3，
故答案为y1＜y2＜y3．
【点评】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用二次函数的性质进行推理是解此题的关键．
【练习3】（2025秋 新会区期末）把抛物线y＝3x2向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到的抛物线的解析式为（　　）
A．y＝3（x+2）2﹣5 B．y＝3（x+5）2+2
C．y＝3（x﹣2）2+5 D．y＝3（x+2）2+5
【分析】根据二次函数图象的平移规律：左加右减，上加下减即可求解．
【解答】解：把抛物线y＝3x2向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到的抛物线的解析式为y＝3（x+2）2+5，
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数图象的平移，掌握二次函数图象的平移规律是解题的关键．
【练习4】已知抛物线y＝x2﹣2x﹣1．
（1）与此抛物线关于x轴对称的抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+1　 ；
（2）与此抛物线关于y轴对称的抛物线解析式为y＝x2+2x﹣1　 ．
【分析】（1）先将解析式写成顶点式，再求出顶点关于x轴的对称点坐标，据此即可解决问题；
（2）求出顶点关于y轴的对称点坐标，据此即可解决问题；
【解答】解：（1）由题知，
因为y＝x2﹣2x﹣1＝（x﹣1）2﹣2，
所以抛物线的顶点坐标为（1，﹣2），
则点（1，﹣2）关于x轴的对称点坐标为（1，2），且对称后的抛物线开口与原抛物线相反，
所以此抛物线关于x轴对称的抛物线解析式为y＝﹣（x﹣1）2+2＝﹣x2+2x+1．
故答案为：y＝﹣x2+2x+1；
（2）点（1，﹣2）关于y轴的对称点坐标为（﹣1，﹣2），且对称后的抛物线开口与原抛物线相同，
所以此抛物线关于y轴对称的抛物线解析式为y＝（x+1）2﹣2＝x2+2x﹣1．
故答案为：y＝x2+2x﹣1．
【点评】本题主要考查了二次函数图象与几何变换及二次函数的性质，熟知二次函数的图象与性质是解题的关键．
课后巩固 · 针对性练习
作业1 — 由顶点式直接写出顶点坐标（）。
作业2 — 判断抛物线 的性质（开口、最值、顶点）。
作业3 — 二次函数 与线段 AB 有交点，求与 y 轴交点纵坐标的取值范围（数形结合）。
作业4 — 比较抛物线 上三点函数值大小（利用到对称轴距离）。
作业5 — 二次函数 在给定区间 上的取值范围（最值结合区间）。
作业6 — 由顶点式直接写出开口方向、对称轴和顶点坐标（）。
作业7 — 综合题：已知抛物线顶点在第三象限、与 y 轴交点、中点等，求参数或线段长（综合运用性质）。
作业8 — 实际应用：投篮问题，建立顶点式模型，求出手高度。
复习建议 本讲重点掌握顶点式的图象与性质，灵活运用平移规律和对称变换，注意数形结合解决综合问题。
【作业1】（2026 南岗区校级二模）已知抛物线的解析式为，则该抛物线的顶点坐标是（　　）
A．（2，1） B．（﹣2，1） C．（2，﹣1） D．（1，2）
【分析】已知抛物线解析式为顶点式，可直接求出顶点坐标．
【解答】解：由抛物线解析式可知，抛物线顶点坐标为（2，1），
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数的性质，将解析式化为顶点式y＝a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是直线x＝h．
【作业2】（2026 增城区二模）对于抛物线y＝7（x﹣2）2﹣1，下列说法正确的是（　　）
A．图象与y轴无交点
B．当x＞0时，y随x的增大而增大
C．当x＝2时，y有最小值﹣1
D．图象的顶点坐标为（﹣2，﹣1）
【分析】利用二次函数的性质进行判断．
【解答】解：A、当x＝0时，y＝27，即图象与y轴的交点坐标是（0，27），即与y轴有交点，故本选项不符合题意；
B、抛物线y＝7（x﹣2）2﹣1开口向上，顶点坐标是（2，﹣1），则当0＜x＜2时，y随x的增大而增大，故本选项不符合题意；
C、抛物线y＝7（x﹣2）2﹣1开口向上，顶点坐标是（2，﹣1），则当x＝2时，y有最小值﹣1，故本选项符合题意；
D、抛物线y＝7（x﹣2）2﹣1d的顶点坐标是（2，﹣1），故本选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查二次函数的性质，正确判断二次函数的图象特点是解题关键．
【作业3】（2026 浙江模拟）如图，在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别为（1，1），（4，1）．若二次函数y＝（x﹣b）2+b﹣2的图象与线段AB有交点，则该抛物线与y轴交点的纵坐标n的取值范围是（　　）
A．﹣2≤n≤6 B．﹣2≤n≤10 C． D．
【分析】根据题意先求得该抛物线的顶点坐标和n的表达式，先根据抛物线的图象与线段AB 有交点，结合A，B两点的坐标，根据顶点坐标推出b≤3且点B一定在抛物线的下方，然后分两种情况讨论：①当点A在抛物线的上方时一定满足条件，从而得到b的取值范围，进而确定n的取值范围；②当点 A在抛物线的下方时，需满足抛物线的对称轴1＜b≤3，进而确定n的取值范围，即可解答．
【解答】解：∵y＝（x﹣b）2+b﹣2，
∴该抛物线开口向上，顶点坐标为（b，b﹣2）；当x＝0时，y＝b2+b﹣2，
∴抛物线与y轴的交点纵坐标n＝b2+b﹣2，
由退款的：该抛物线的顶点的纵坐标b﹣2≤1，即b≤3，
又∵当 x＝4时，，
∴点B一定在抛物线的下方，
∴①当点A在抛物线的上方时一定满足条件，
即当x＝1时，y＝（1﹣b）2+b﹣2＝b2﹣b﹣1≤1，
解得﹣1≤b≤2，
∵n＝b2+b﹣2，是关于b的二次函数，抛物线开口向上，对称轴为，
∴在﹣1≤b≤2范围内，当时，n取得最小值，当b＝2时，n取得最大值4，
∴；
②当点 A在抛物线的下方时，需满足抛物线的对称轴1＜b≤3，
此时对于n＝b2+b﹣2，当b＝1时，n取得最小值0，当b＝3时，n取得最大值10，
∴0＜n≤10，
综上，n的取值范围是 ．
故选：D．
【点评】本题考查二次函数的性质，正确进行计算是解题关键．
【作业4】（2026春 鼓楼区校级月考）已知点A（，y1）、B（2，y2）、C（﹣5，y3）在抛物线y＝﹣2（x+2）2﹣k，则y1，y2，y3的大小关系是 y2＜y1＜y3 （用“＜”连接）．
【分析】根据抛物线的开口方向，和抛物线上的点离对称轴的远近进行判断即可．
【解答】解：y＝﹣2（x+2）2﹣k，a＝﹣2＜0，对称轴为：x＝﹣2，
∴抛物线的开口朝下，图象上点离对称轴越远，函数值越小，
∵，
∴y2＜y1＜y3；
故答案为：y2＜y1＜y3．
【点评】本题考查比较二次函数的函数值大小关系．熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
【作业5】（2026 苏州校级模拟）已知关于x的二次函数y＝2（x﹣1）2+3，当﹣1＜x＜2时，函数y的取值范围为　3≤y＜11　 ．
【分析】直接利用二次函数的性质结合二次函数图象上点的坐标特点，得出y的取值范围．
【解答】解：∵关于x的二次函数y＝2（x﹣1）2+3，图象开口向上，对称轴为直线x＝1，
∴当x＝1时，函数有最小值3，
当x＝﹣1时，y＝11，
∴当﹣1＜x＜2时，函数y的取值范围为3≤y＜11．
故答案为：3≤y＜11．
【点评】此题主要考查了二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特点，正确得出二次函数最小值是解题关键．
【作业6】（2025秋 广信区期末）已知二次函数的表达式为：y＝（x﹣2）2﹣5，写出该二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．
【分析】根据二次函数的性质解决问题．
【解答】解：∵a＝1＞0，
∴二次函数的图象的开口向上，
对称轴是直线x＝2，
顶点坐标（2，5）．
【点评】本题考查了二次函数的性质．熟练掌握该知识点是关键．
【作业7】（2025秋 运河区校级期末）如图，已知点Q（8，0），抛物线的顶点为P，与y轴交于点M，点N（﹣1，n）在L上，作直线PN与y轴交于点A．
（1）若点P在第三象限，且n＝4．
①求点P的坐标；
②当﹣8≤x≤﹣3时，求y的最大值和最小值；
（2）若N为线段AP的中点，求AM的长；
（3）当线段OQ被L只分为两部分，且两部分的比为1：7时，直接写出h的值．
【分析】（1）①依据题意，由n＝4，且抛物线过点N（﹣1，n），则（﹣1﹣h）2﹣4＝4，从而h＝﹣5或3，又顶点为（h，﹣4），且顶点在第三象限，从而h＜0，则h＝﹣5，进而得解；
②依据题意，结合①可得y（x+5）2﹣4，故当x＝﹣5时，y取最小值为﹣4，又当x＝﹣8时，y；当x＝﹣3时，y＝﹣2，从而可以得解；
（2）依据题意得，顶点P（h，﹣4），又点 N（﹣1，n）在抛物线上，可得，又设A（0，a），结合N是AP中点，故，n，从而可得h＝﹣2，则a＝﹣3，故A（0，﹣3），又此时y（x+2）2﹣4，故抛物线与 y轴交点M为（0，﹣2），进而计算可以得解；
（3）依据题意，当线段OQ被L只分为两部分，且两部分的比为1：7时，可得抛物线与x轴的交点横坐标为1或7，又令0，从而求出h后即可计算得解．
【解答】解：（1）①由题意得，（﹣1﹣h）2﹣4＝4．
∴h＝﹣5或3．
又∵顶点为（h，﹣4），且顶点在第三象限，
∴h＜0，则h＝﹣5．
∴P（﹣5，﹣4）；
②由题意，结合①可得y（x+5）2﹣4，
∴当x＝﹣5时，y取最小值为﹣4．
又∵当x＝﹣8时，y；当x＝﹣3时，y＝﹣2，
∴当﹣8≤x≤﹣3时，﹣4≤y，则此时的最大值为，最小值为﹣4；
（2）由题意得，顶点P（h，﹣4），
∵点 N（﹣1，n）在抛物线上，
∴．
设A（0，a），
∵N是AP中点，
∴，n．
∴h＝﹣2，
∴．
∴a＝﹣3．
∴A（0，﹣3）．
又∵此时y（x+2）2﹣4，
∴抛物线与 y轴交点M为（0，﹣2）．
∴AM＝|﹣2﹣（﹣3）|＝1；
（3）由题意，当线段OQ被L只分为两部分，且两部分的比为1：7时，
∴抛物线与x轴的交点横坐标为1或7．
又令0，
∴．
∴当时，；
当时，（不合题意，舍去）；
当时，（不合题意，舍去）；
当时，．
综上，h的值为1﹣2或7+2．
【点评】本题主要考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的最值、一元二次方程的应用，解题时要熟练掌握并能根据题意列出关系式是关键．
【作业8】（2025秋 望花区月考）为研究篮球运动员投篮技术特点，某数学兴趣小组开展了综合与实践活动，记录如下：
主题 研究篮球运动员投篮技术特点
活动准备 1．确定研究对象． 2．准备皮尺等测量工具．
采集数据 图1是运动员投篮示意图，信息如下： 1．运动员距离篮下4m处起跳投篮： 2．篮球运行路线是抛物线； 3．当篮球运动水平距离2.5m时，达到最大高度3.5m，然后准确落入篮圈． 4．篮圈中心到地面3.05m，该运动员身高1.8m，球在头顶上方0.25m处出手．
设计方案 小组成员经过讨论，建立如图2所示的平面直角坐标系．点A为出手点，点B为最高点，点C为篮圈中心．过点A作水平地面的垂线，垂足为点O，以点O为坐标原点，AO所在直线为y轴，水平地面为x轴，建立平面直角坐标系．此时可以确定点B，点C的坐标分别为（2.5，3.5），（4，3.05）．
确定思路 通过建立坐标系，可以求出抛物线解析式，从而进一步解决实际问题．因为点B是最高点然后下降，说明点B是抛物线的顶点，所以可以设抛物线的顶点式较为简单，设抛物线的解析式为y＝a（x﹣h）2+k 根据以上信息，解决下列问题： （1）求抛物线的表达式； （2）球出手时，运动员跳离地面的高度．
【分析】（1）根据题意可得到y＝a（x﹣2.5）2+3.5，将（4，3.05）代入求解即可；
（2）将x＝0代入解析式求解即可．
【解答】解：（1）∵点B是抛物线的顶点，
∴k＝3.5，h＝2.5，
∴y＝a（x﹣2.5）2+3.5，
∵点C（4，3.05）是抛物线上的点，
∴3.05＝a（4﹣2.5）2+3.5，
∴a＝﹣0.2，
∴抛物线的表达式y＝﹣0.2（x﹣2.5）2+3.5；
（2）当x＝0时，y＝﹣0.2（0﹣2.5）2+3.5＝2.25，
∴2.25﹣1.8﹣0.25＝0.2（m）．
答：运动员跳离地面的高度为0.2m．
【点评】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
第1页（共1页）第2讲 二次函数y＝a（x+m） +h的图象和性质
【暑假预习讲义】2026-2027学年沪教版(五四制)数学九年级上册
思维导图 · 课程内容总览
课程目标 · 精准把握学习方向
理解 二次函数 的图象与性质，能准确指出开口方向、对称轴和顶点坐标。
掌握 由 通过平移得到 的规律（左加右减，上加下减）。
熟练运用 顶点式求最值、判断增减性，并能利用对称性比较函数值大小。
理解 抛物线关于坐标轴对称的变换规律，能写出对称后的解析式。
体会 数形结合、化归与转化（配方法）的思想，能应用顶点式解决简单的实际问题。
核心思想：从“顶点”出发，把握抛物线的核心要素，理解平移的本质。
知识梳理 · 核心知识点
☆1. 二次函数 y=a(x+m) +h 的图象
顶点式： （）
·顶点坐标：
·对称轴： 直线
·开口方向： 由 决定
→ 开口向上，顶点为最低点
→ 开口向下，顶点为最高点
·开口大小： 由 决定， 越大开口越窄。
·最值：
若 ，当 时， 取最小值 ；
若 ，当 时， 取最大值 。
·增减性：
当 ，对称轴左侧（）递减，右侧递增；
当 ，对称轴左侧递增，右侧递减。
分析：二次函数 、、 的图像
画图：在同一平面直角坐标系中，分别画出二次函数 、 和 的图像。
通过列表、描点和连线，分别画出函数 、 和 的图像，如图 所示。
图例说明（对应图像中的曲线）：
曲线 1：（顶点在 (0, 2)）
曲线 2：（顶点在原点 (0, 0)）
曲线 3：（顶点在 (0, -2)）
三条抛物线开口方向相同（向上），形状完全相同，只是沿 轴方向进行了上下平移。
☆2. 平移规律（由 y=ax 到顶点式）
左右平移： “左加右减” — 向左平移 个单位， 变为 （ 左移）；向右平移则 变为 。
上下平移： “上加下减” — 向上平移 个单位，整体加 （ 上移）；向下平移则整体减 。
一般规律： 抛物线 的顶点 平移到顶点 ，平移方向由 、 的符号决定。
上图中的三条抛物线的开口方向、对称轴和顶点分别是什么？
抛物线 ， 与抛物线 分别有什么关系？
观察图像可以发现，将抛物线 向上平移 2 个单位长度，就得到抛物线。抛物线 的对称轴仍为 轴，顶点为 。
类似地，抛物线 可由抛物线 向下平移 2 个单位长度得到，对称轴仍为 轴，顶点为 。
观察结论： 的图像可由 的图像向上（）或向下（）平移 个单位得到。
☆3. 关于坐标轴对称的变换
对称方式 变换后解析式 顶点 对称轴 开口方向
关于 轴对称 反向
关于 轴对称 不变
关于原点对称 反向
☆4. 知识总结表
核心概念 表达式 顶点 对称轴 开口方向
顶点式 向上， 向下
平移规律 左加右减，上加下减 顶点从原点平移到 — —
关于x轴对称 反向
关于y轴对称 不变
关于原点对称 反向
核心考点 ·经典题型方法精讲
【考点1】二次函数 的图象（第1-14题）
※ 方法总结
画图步骤： 确定顶点坐标 → 列表（取对称点）→ 描点 → 用平滑曲线连接。
开口方向与大小： 由 决定， 向上， 向下； 越大开口越窄。
顶点与对称轴： 直接由顶点式读出顶点 和对称轴 。
与坐标轴交点： 令 求与 轴交点；令 解方程求与 轴交点。
图象共存问题： 注意一次函数与二次函数中系数符号的一致性，分类讨论。
1．（2025秋 宁明县校级月考）在同一坐标系中画出y＝﹣2x2+1和y＝﹣2x2的图象，并说出它们的关系，对称轴和顶点坐标．
2．（2025秋 厦门校级月考）在平面直角坐标系中画出y＝（x﹣1）2﹣3的图象．
3．（2025春 丰城市校级期中）在如图所示的平面直角坐标系中画出二次函数的图．
x … ﹣4 ﹣2 0 2 4 …
… …
（1）补充表格中的y值；
（2）在坐标系中画出图象．
4．（2020春 同步）写出下列二次函数图象的对称轴、顶点坐标，并画出它们的图象．
（1）yx2+3
（2）yx2﹣4
（3）y＝7（x）2
（4）y（x+2）2
5．（2026 泸县一模）已知关于x的二次函数y＝（x﹣2）2+1，下列结论错误的是（　　）
A．开口向上
B．对称轴为直线x＝2
C．最小值为1
D．当x＜2时，y随x的增大而增大
6．（2025秋 长春期末）在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+3的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
7．（2025秋 安次区期末）若a＞0，c＜0，则二次函数y＝ax2+c的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
8．（2025秋 邻水县期末）函数y＝ax+b与y＝ax2+b（a≠0）在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
9．（2025秋 忠县期末）下列函数的图象中，与y＝3（x﹣2）2的函数图象形状一致的是（　　）
A．y＝3x2 B．y＝（x﹣2）2+1
C．y＝（x﹣2）2 D．y＝3（x﹣3）
10．（2025秋 阜平县期末）下列图象可能是函数y＝ax2+a（a≠0）的图象的是（　　）
A． B．
C． D．
11．（2025秋 船营区校级期末）二次函数y＝2（x+1）2的图象如图所示，则△ABO的面积为　 　 ．
12．（2025秋 澧县期末）已知点A（1，y1），B（﹣2，y2）在抛物线y＝﹣（x+1）2+k（k为常数）上，则y1　 　 y2．（用“＞”、“＜”或“＝”填空）
13．（2025秋 拱墅区校级期中）抛物线y＝a（x﹣1）2+k的部分图象如图所示，则a+k＝　 　 ．
14．（2025秋 海淀区校级月考）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2﹣4ax（a≠0）．
（1）当a＝2时，
①该抛物线的对称轴为　 　 ；
②点A（1，m）和B（3，n）是抛物线上的两点，比较m和n的大小关系，并说明理由；
（2）如果点M（x1，y1）和N（x2，y2）是抛物线上的两点，且对于x1＝3a，6＜x2＜7，都有y1＜y2，求a的取值范围．
【考点2】二次函数 的性质（第15-34题）
※ 方法总结
最值： 开口向上有最小值 （在 取得），开口向下有最大值 。
增减性： 根据对称轴和开口方向判断：向上时“左减右增”，向下时“左增右减”。
比较函数值大小： 利用开口方向和点到对称轴的距离：开口向上时，距对称轴越近函数值越小；开口向下时，距对称轴越近函数值越大。
含参数问题： 利用对称轴、最值等建立方程或不等式求解。
新定义问题： 如“最小/最大”符号定义，需转化为不等式组或方程求解。
15．（2026 和平区校级三模）二次函数y＝﹣3（x+2）2+5的顶点坐标是（　　）
A．（2，5） B．（2，﹣5） C．（﹣2，﹣5） D．（﹣2，5）
16．（2026 湖里区三模）已知抛物线y＝（x﹣h）2，其中h＞0，该抛物线示意图是（　　）
A． B． C． D．
17．（2026 莆田模拟）已知抛物线y＝﹣x2+bx经过A（m，y1），B（﹣1，y2），当﹣1≤m≤3时，总有y1≥y2，则b的值不可能为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
18．（2026 天长市二模）已知y1与y2是关于x的二次函数，函数图象如图所示，则函数y＝y1﹣y2的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
19．（2026 柳州模拟）关于抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+3，下列说法正确的是（　　）
A．开口向上
B．对称轴是直线x＝﹣1
C．顶点坐标是（1，3）
D．x＞1时，y随x增大而增大
20．（2026 湖北模拟）二次函数y＝ax2+bx的图象如图所示，则一次函数y＝ax+b的图象一定不经过（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
21．（2026 肥东县校级一模）在同一坐标系中，二次函数y＝ax2+c的图象与一次函数y＝cx+a的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
22．（2026 海安市校级二模）二次函数y＝a（x﹣1）2+6，当x＜1时，y随x的增大而增大，写出一个符合条件的a的值　 　 ．
23．（2026 上海校级模拟）沿着x轴正方向看，抛物线y＝﹣x2+2x在其对称轴右侧的部分是 　 　 的．（填“上升”或“下降”）
24．（2026 姜堰区一模）二次函数y＝x2+2x的顶点坐标为　 　 ．
25．（2026 太和县一模）抛物线y＝x2﹣2x+4的对称轴为直线x＝　 　 ．
26．（2025秋 东明县期末）已知二次函数y＝3（x﹣a）2的图象上，当x＞2时，y随x的增大而增大，则a的取值范围是 　 　 ．
27．（2025秋 庐阳区校级期末）如图，已知抛物线y＝a（x﹣3）2+k交y轴于点E（0，4）．
（1）此抛物线的对称轴为直线　 　 ；
（2）已知正方形ABCD边AB与x轴重合，点A的坐标为（8，0），AB＝2，若此抛物线与正方形的边CD有交点，则a的取值范围是　 　 ．
28．（2025秋 丰南区期末）如图，抛物线L1，L2与直线y＝7分别交于A，C和B，D四点，且AB＝10，BC＝5，CD＝6．若点P，Q分别是两抛物线的顶点，且P，Q都在x轴上，则PQ的长是　 　 ．
29．（2025秋 贵阳期末）二次函数y＝﹣x2+2x﹣1，当自变量2≤x≤4时，函数的最大值为 　 　 ．
30．（2025秋 青浦区期末）如果抛物线y＝（a﹣1）x2﹣1有最高点，那么实数a的取值范围是　 　 ．
31．（2025秋 万荣县期末）设A（2，y1），B（3，y2），C（﹣4，y3）是抛物线y＝3（x﹣1）2+k图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为　 　 （用“＜”连接）．
32．（2025秋 墨玉县月考）已知函数．
（1）指出函数图象的开口方向是　 　 ，对称轴是　 　 ，顶点坐标为　 　 ；
（2）当x　 　 时，y随x的增大而增大；
（3）怎样移动抛物线就可以得到抛物线．
33．（2025秋 西湖区校级月考）先阅读短文，然后回答短文后面所给出的问题：
对于三个数a、b、c中，我们给出符号来表示其中最大（小）的数，规定min{a，b，c}表示这三个数中最小的数，max{a，b，c}表示这三个数中最大的数．
例如：．
（1）min{﹣2024，﹣2025，﹣2026}＝　 　 ；max{2，x2+2，2x}＝　 　 ；
（2）若min{2，2x﹣1，﹣3x}＝﹣3x，求x的取值范围；
（3）若min{4x，4x+2，x2+5}＝max{2，4﹣2x，﹣x2﹣1}，求x的值．
34．（2025秋 魏县期中）如图，抛物线与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B．
（1）求k的值，并直接写出l在x轴上方的图象x的取值范围；
（2）坐标平面上放置一透明胶片，在胶片上描画出点B及l的一段，分别记为B′，l′，平移胶片，使B′与点A重合，求平移后l′的表达式．
【考点3】二次函数的平移与对称（第35-42题）
※ 方法总结
平移规律： “左加右减，上加下减” — 对 的平移改变括号内，对整体的平移改变常数项。
关于坐标轴对称：
关于 轴对称： 和 变号， 不变；
关于 轴对称： 变号，、 不变；
关于原点对称：、、 均变号。
中心对称： 关于原点成中心对称，顶点对称，开口反向。
35．（2025秋 贺兰县校级月考）若将二次函数y＝x2的图象先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，则平移后的二次函数解析式为　 　 ．
36．（2026 巴彦县二模）把抛物线向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为（　　）
A． B．
C． D．
37．（2026 东台市三模）将抛物线y＝2（x+1）2﹣1先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为（　　）
A．y＝2（x﹣1）2 B．y＝2（x+3）2
C．y＝2（x﹣1）2﹣2 D．y＝2（x+3）2﹣2
38．（2025秋 凉州区期中）已知抛物线y＝x2﹣4x+3图象上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如表所示：
x … 0 1 2 3 4 …
y … 3 0 m 0 3 …
（1）m＝　 　 ；将其配方成y＝a（x﹣k）2+h的形式为　 　 ；
（2）在下面平面直角坐标系中，画出该抛物线的大致图象；
（3）填空：
①当x＜n时，y随x的增大而减小，则n的取值范围是　 　 ；
②直接写出原抛物线关于x轴对称的抛物线的函数表达式为　 　 ．
39．已知抛物线y＝x2﹣2x﹣1．求：
（1）与此抛物线关于x轴对称的抛物线表达式为　 　 ；
（2）与此抛物线关于y轴对称的抛物线表达式为　 　 ；
（3）与此抛物线关于原点对称的抛物线表达式为　 　 ．
40．（2024 凉州区二模）已知抛物线C1与C2关于原点成中心对称，若抛物线C1的解析式为y＝﹣3（x+2）2﹣1，则抛物线C2的解析式为 　 　 ．
41．（2026 宁波模拟）同一平面直角坐标系中，抛物线与y＝﹣（x+m）2﹣（x+n）2关于原点成中心对称，则代数式（m+2）2+（n+2）2的值为　 　 ．
42．（2025 灞桥区校级模拟）在平面直角坐标系中，有两条抛物线关于x轴对称，且它们的顶点相距4个单位长度，若其中一条抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+4x+2m，则m的值是（　　）
A．或﹣1 B．1 C．﹣1 D．﹣1或﹣3
【考点4】二次函数综合应用（第43-45题）
※ 方法总结
实际问题建模： 如投篮、喷水等，根据题意建立坐标系，利用顶点式求解析式。
利用图象解不等式： 观察图象在 x 轴上方（>0）或下方（<0）的部分，确定 x 的范围。
最值问题： 根据顶点坐标或增减性求实际最值，注意自变量的取值范围。
结合几何图形： 如矩形、正方形等，利用抛物线性质求参数范围。
43．（2025秋 临淄区期末）为研究篮球运动员投篮技术特点，某数学兴趣小组开展了综合与实践活动，记录如下表：
主题 研究篮球运动员投篮技术特点
活动准备 1．确定研究对象． 2．准备皮尺等测量工具．
采集数据 图1是运动员投篮示意图，信息如下： 1．运动员距离篮下4m处起跳投篮． 2．篮球运行路线是抛物线． 3．当篮球运动水平距离2.5m时，达到最大高度3.5m，然后准确落入篮圈． 4．篮圈中心到地面3.05m，该运动员身高1.8m，球在头顶上方0.25m处出手．
设计方案 小组成员经过讨论，建立如图2所示的平面直角坐标系．点A为出手点，点B为最高点，点C为篮圈中心．过点A作水平地面的垂线，垂足为点O，以点O为坐标原点，AO所在直线为y轴，水平地面为x轴，建立平面直角坐标系．此时，可以确定点B坐标为（2.5，3.5），点C的坐标为（4，3.05）．
确定思路 通过建立平面直角坐标系，求出抛物线的解析式，进一步解决实际问题．因为B是最高点，说明点B是抛物线的顶点，所以设抛物线的顶点式较为简单，设抛物线的解析式为y＝a（x﹣h）2+k． 根据以上信息，解决下列问题： （1）求抛物线的表达式； （2）球出手时，运动员跳离地面的高度．
44．（2025秋 金乡县月考）请仔细阅读并完成相应的任务．
用图象法解一元二次不等式：﹣x2+2x+3＜0 方法如下： 步骤一：设y＝﹣x2+2x+3 步骤二：先将二次函数：y＝﹣x2+2x+3化为顶点式，确定抛物线的顶点位置； 步骤三：列表 x…﹣10123…y…　 　 3　 　 30…
步骤四：描点，连线（因为a＝﹣1＜0，所以抛物线开口向下）． 步骤五：观察函数图象可知，当x＜﹣1或x＞3时，y＜0． 所以﹣x2+2x+3＜0的解集是x＜﹣1或x＞3
任务：
（1）“步骤二”中二次函数一般式化为顶点式是　 　 ．
（2）将材料中的表格补充完整，并画出图象．
（3）请直接写出一元二次不等式﹣x2+2x+3＞0的解集是　 　 ．
45．（2022秋 尧都区期中）如图1，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线的方向行驶，为绿化带浇水，喷水口H离地竖直高度为1.5m．如图2，把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象，把绿化带横截面抽象为矩形DEFG，其水平宽度DE＝3m，竖直高度为EF＝0.5m．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2m，高出喷水口0.5m，喷出的水最远落在地面C处．
（1）求上边缘抛物线的函数解析式（用顶点式表示），并求喷出水的最大射程OC；
（2）灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，喷出的水恰好经过点F时，求此时点F的坐标．
随堂检测 · 精选练习
练习1 — 判断二次函数 （）的图象（顶点在 y 轴正半轴）。
练习2 — 比较 图象上三点函数值大小（利用对称性）。
练习3 — 抛物线 向左平移2个单位，再向上平移5个单位后的解析式（平移规律）。
练习4 — 已知抛物线 ，求关于 x 轴、y 轴对称的解析式（对称变换）。
【练习1】（2025 深圳模拟）在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+k（a≠0，k＞0）的图象可能是如图中的（　　）
A． B．
C． D．
【练习2】（2024春 同步）已知二次函数y＝3（x﹣1）2+5图象上的三点A（2，y1），B（3，y2），C（﹣4，y3），则y1，y2，y3的大小关系是 　 　 ．
【练习3】（2025秋 新会区期末）把抛物线y＝3x2向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到的抛物线的解析式为（　　）
A．y＝3（x+2）2﹣5 B．y＝3（x+5）2+2
C．y＝3（x﹣2）2+5 D．y＝3（x+2）2+5
【练习4】已知抛物线y＝x2﹣2x﹣1．
（1）与此抛物线关于x轴对称的抛物线解析式为　 　 ；
（2）与此抛物线关于y轴对称的抛物线解析式为　 　 ．
六．课后巩固（共8小题）
【作业1】（2026 南岗区校级二模）已知抛物线的解析式为，则该抛物线的顶点坐标是（　　）
A．（2，1） B．（﹣2，1） C．（2，﹣1） D．（1，2）
【作业2】（2026 增城区二模）对于抛物线y＝7（x﹣2）2﹣1，下列说法正确的是（　　）
A．图象与y轴无交点
B．当x＞0时，y随x的增大而增大
C．当x＝2时，y有最小值﹣1
D．图象的顶点坐标为（﹣2，﹣1）
【作业3】（2026 浙江模拟）如图，在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别为（1，1），（4，1）．若二次函数y＝（x﹣b）2+b﹣2的图象与线段AB有交点，则该抛物线与y轴交点的纵坐标n的取值范围是（　　）
A．﹣2≤n≤6 B．﹣2≤n≤10 C． D．
【作业4】（2026春 鼓楼区校级月考）已知点A（，y1）、B（2，y2）、C（﹣5，y3）在抛物线y＝﹣2（x+2）2﹣k，则y1，y2，y3的大小关系是 　 　 （用“＜”连接）．
【作业5】（2026 苏州校级模拟）已知关于x的二次函数y＝2（x﹣1）2+3，当﹣1＜x＜2时，函数y的取值范围为　 　 ．
【作业6】（2025秋 广信区期末）已知二次函数的表达式为：y＝（x﹣2）2﹣5，写出该二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．
【作业7】（2025秋 运河区校级期末）如图，已知点Q（8，0），抛物线的顶点为P，与y轴交于点M，点N（﹣1，n）在L上，作直线PN与y轴交于点A．
（1）若点P在第三象限，且n＝4．
①求点P的坐标；
②当﹣8≤x≤﹣3时，求y的最大值和最小值；
（2）若N为线段AP的中点，求AM的长；
（3）当线段OQ被L只分为两部分，且两部分的比为1：7时，直接写出h的值．
【作业8】（2025秋 望花区月考）为研究篮球运动员投篮技术特点，某数学兴趣小组开展了综合与实践活动，记录如下：
主题 研究篮球运动员投篮技术特点
活动准备 1．确定研究对象． 2．准备皮尺等测量工具．
采集数据 图1是运动员投篮示意图，信息如下： 1．运动员距离篮下4m处起跳投篮： 2．篮球运行路线是抛物线； 3．当篮球运动水平距离2.5m时，达到最大高度3.5m，然后准确落入篮圈． 4．篮圈中心到地面3.05m，该运动员身高1.8m，球在头顶上方0.25m处出手．
设计方案 小组成员经过讨论，建立如图2所示的平面直角坐标系．点A为出手点，点B为最高点，点C为篮圈中心．过点A作水平地面的垂线，垂足为点O，以点O为坐标原点，AO所在直线为y轴，水平地面为x轴，建立平面直角坐标系．此时可以确定点B，点C的坐标分别为（2.5，3.5），（4，3.05）．
确定思路 通过建立坐标系，可以求出抛物线解析式，从而进一步解决实际问题．因为点B是最高点然后下降，说明点B是抛物线的顶点，所以可以设抛物线的顶点式较为简单，设抛物线的解析式为y＝a（x﹣h）2+k 根据以上信息，解决下列问题： （1）求抛物线的表达式； （2）球出手时，运动员跳离地面的高度．
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