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1.1集合的概念学习案
一、概念填空
1．元素与集合的概念
（1）元素：一般地，把_________统称为元素．元素常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示．
（2）集合：把一些元素组成的_____叫做集合（简称为__）．集合通常用大写的拉丁字母A，B，C，…表示．
（3）集合相等：只要构成两个集合的______是一样的，就称这两个集合是相等的．
（4）元素的特性：_______、_______、_______．
【答案】 研究对象 总体 集 元素 确定性 无序性 互异性
2．元素与集合之间的关系
关系 概念 记法 读法
属于 若S是一个集合，________ ________ a属于S
不属于 若________ ________ a不属于S
【答案】 a是S的一个元素 a不是集合S的元素
3．常见数集的记法
集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
符号 N ______ ______ ______ ______
【答案】 （或） Z Q
4．集合的表示方法用两种，他们分别是________和_______．
【答案】 列举法 描述法
（1）列举法 把集合的元素____________________出来，并用花括号“{　}”括起来表示集合的方法叫做列举法．
温馨提示：运用列举法表示集合，应注意：①元素间用“，”分隔，不能用其它符号代替；
②元素不重复；③元素间无顺序；④“{　}”表示“所有”、“整体”的含义，不能省略
【答案】一一列举
（2）描述法 ①）定义：用集合所含元素的______________________表示集合的方法称为描述法．②书写形式：_____________，其中代表集合中的元素，为集合中元素所具备的共同特征．要注意竖线不能省略，同时表达要力求简练、明确 ．
【答案】 共同特征
5．集合的分类：按集合中元素的个数划分，集合可以分为______、______.
【答案】 有限集 无限集
考点归纳
①判断元素能否构成集合；②判断是否为同一集合；③判断元素与集合的关系；
④利用元素的互异性求参数；⑤利用元素与集合的关系求参数；⑥根据集合中元素的个数求参数；⑦根据集合相等关系求参数；⑧判断集合中元素的个数.
巩固训练
一、单选题
1．下列各组对象中，不能构成集合的对象个数为（ ）
（1）高二（3）班个子偏高的学生；（2）所有难度较大的数学题；（3）某市中考总分600分以上的考生；（4）五大淡水湖；（5）国内知名的高校；（6）小于4的正奇数.
A．2 B．3 C．4 D．6
2．下列集合中，与集合表示同一个集合的是（ ）
A． B．
C． D．
3．下列关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．已知，则实数的值为（ ）
A．0 B．1 C． D．2
5．已知，则实数的值为（ ）
A． B． C．或 D．
6．若集合中恰有6个整数元素，则a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
7．由单词“Chinese”中的字母作为集合A中的元素，则集合A中的元素个数为（ ）
A．3 B．5 C．6 D．7
8．集合的元素个数是（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．无数个
二、多选题
9．（多选）下列说法中不正确的是（　　）
A．集合中有两个元素
B．集合中没有元素
C．
D．与是不同的集合
10．设集合，则下列元素属于的是（ ）
A．7 B．8 C．73 D．240
11．下列四个命题中不正确的是（ ）
A．集合用列举法表示为
B．若，则
C．方程组的解组成的集合为
D．集合与是同一个集合
三、填空题
12．用适当符号填空：1______
13．已知集合，若，则________.
14．已知且，且，则：若有且只有2个元素，则集合的个数是________．
四、解答题
15．设P表示平面内的动点，属于下列集合的点组成什么图形？
(1)(A，B是两个不同定点)；
(2)(O是定点);
(3)（A是定点）
16．用列举法表示下列集合：
(1)方程的解组成的集合；
(2)函数的图象与坐标轴的交点组成的集合
17．用描述法表示下列集合：
(1)被5除余3的正整数组成的集合；
(2)平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合．
18．已知集合.
(1)若集合中恰有两个元素，求实数的取值范围；
(2)若集合中只有一个元素，求实数的取值集合.
19．集合A中的元素是实数，且满足条件①若，则，②，求：
(1)A中至少有几个元素？
(2)若条件②换成，A中至少含有的元素是什么？
(3)请你设计一个属于A的元素，求出A中至少含有的其他元素.
试卷第1页，共3页
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四、参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 B B C C C B C B BCD AC BCD
1．B
【知识点】判断元素能否构成集合
【详解】集合元素必须具备确定性.（1）（2）（5）描述模糊、无统一标准，无法构成集合；
（3）（4）（6）对象确定，可构成集合，共3组不能构成集合.
2．B
【知识点】判断是否为同一集合
【分析】结合相等集合的定义、集合元素特征逐一判断即可
【详解】对于A，由集合元素的互异性知，集合表示错误，A错误；
对于B，解得，此时与集合表示同一个集合，B正确；
对于C，且，故两集合不表示同一集合，C错误；
对于D，集合表示点集，只有一个元素，D错误.
故选：B.
3．C
【知识点】常用数集或数集关系应用、判断元素与集合的关系
【详解】不是整数；0属于自然数；是有理数；是实数，综上只有C正确.
4．C
【知识点】利用集合元素的互异性求参数、根据元素与集合的关系求参数
【分析】根据元素与集合的关系及集合中元素的互异性，分情况讨论实数的值，排除不符合条件的取值.
【详解】因为元素，所以有或两种情况，
当时，集合中元素，不满足集合元素的互异性；
当时，即，当时，不符合题意；
当时，集合为，满足，符合条件.
5．C
【知识点】根据集合相等关系进行计算、利用集合元素的互异性求参数、根据两个集合相等求参数
【分析】根据题意，结合集合的特性即可求解.
【详解】根据题意，两集合相等则元素完全相同，故，整理得，解得或，
当时，，集合为，元素各不相同，符合题意；
当时，，集合同样为，元素各不相同，符合题意；
因此实数的值为或，故C正确.
6．B
【知识点】根据集合中元素的个数求参数
【分析】由题意分析可得6个整数元素为2，3，4，5，6，7，列不等式求解即可.
【详解】若集合中恰有6个整数元素，
则，解得，
此时，，
所以集合中最小整数元素为，最大整数元素可以为或或，
因为集合中恰有6个整数元素，所以只能为2，3，4，5，6，7，
即，解得，
所以的取值范围为.
7．C
【知识点】列举法求集合中元素的个数、集合元素互异性的应用
【分析】根据集合中元素的互异性可得出答案.
【详解】根据集合中元素的互异性，.
即A中的元素个数为6，
故选：C
8．B
【知识点】利用集合中元素的性质求集合元素个数、列举法求集合中元素的个数
【分析】根据集合中的元素所具有性质判断可得.
【详解】因为，所以是自然数且是6的正约数，而6的正约数有
当分别取时，对应的的值分别为，所以只能是.
故集合的元素个数是4.
故选：B
9．BCD
【知识点】判断元素与集合的关系、列举法表示集合、判断是否为同一集合
【分析】利用集合的元素个数判断AB；利用元素与集合的关系判断B；利用集合的元素特性判断D.
【详解】对于A，，该集合中有两个元素，A正确；
对于B，集合中有一个元素0，B错误；
对于C，，则，C错误；
对于D，由集合中元素的无序性，知与是相同的集合，D错误.
故答案为：BCD
10．AC
【知识点】判断元素与集合的关系
【分析】分析，的特点，得到的值必为奇数，再对选项是奇数的进行验证.
【详解】，，则的值必为奇数，
又，，故AC正确．
故选：AC
11．BCD
【知识点】判断是否为同一集合、判断元素与集合的关系、列举法表示集合
【分析】根据方程的根，即可求解A，根据集合中元素的性质即可求解BCD.
【详解】对于A, 由于，故方程的根为，因此,故A正确，
对于B, ,故，故B错误，
对于C, 方程组的解组成的集合为，故C错误，
对于D, ，而表示点集，故两个不是同一集合，故D错误，
故选：BCD
12．
【知识点】判断元素与集合的关系
【分析】根据元素与集合的关系即可求解.
【详解】当时，，故，
故答案为：
13．1
【知识点】根据元素与集合的关系求参数、利用集合元素的互异性求参数
【分析】根据进行一一验证可得.
【详解】因，所以
当时，即，此时，元素重复，不符合题意；
当时，即或，由上可知不符合题意，
而时，，元素重复，不符合题意；
当，即或，
由上可知不符合题意，而时，，符合题意.
故答案为：1.
14．2
【知识点】根据元素与集合的关系求参数、根据集合中元素的个数求参数
【分析】根据题意，讨论时的情况，即可容易求得结果.
【详解】因为且，且，
若，则，此时满足要求；
若，则，此时满足要求；
若，则，此时含1个元素．
综上，当时，集合只有一个元素；
当集合有个元素时，或，故满足题意的集合有个.
故答案为：
15．(1)线段的垂直平分线
(2)以为圆心，半径为的圆
(3)以为圆心，5为半径的圆面（不含圆）
【知识点】描述法表示集合
【详解】（1）是平面内到距离相等的点的集合,
集合中的点构成的图形为线段的垂直平分线.
（2）是平面内到定点的距离为的点的集合，
集合中点构成的图形为以为圆心，半径为的圆.
（3）是表示到点距离小于5的点组成的集合，
集合中的点构成以为圆心，5为半径的圆面（不含圆的边界）.
16．(1)
(2)
【知识点】列举法表示集合
【详解】（1）由方程，得或，
所以方程的解为1或2，因此可以用列举法表示为.
（2）函数的图象与x轴的交点为，与y轴的交点为，因此可以用列举法表示为．
17．(1)；
(2).
【知识点】描述法表示集合
【分析】（1）（2）用集合的描述法来表示即可.
【详解】（1）被5除余3的正整数组成的集合是；
（2）平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合是.
18．(1)或
(2)
【知识点】根据集合中元素的个数求参数
【分析】（1）根据方程有两个不等实根可讨论得到结果；
（2）根据方程有唯一解或两个相等实根可讨论得到结果.
【详解】（1）集合中恰有两个元素，有两个不等实根；
当时，，解得：，不合题意；
当时，，解得：或；
综上所述：实数的取值范围为：或.
（2）集合中只有一个元素，有唯一实根或两个相等实根；
当时，，解得：，符合题意；
当时，，解得：，此时；
综上所述：实数的取值集合为.
19．(1)3；
(2)；
(3)令，A中至少含有的其他元素是.（答案不唯一）
【知识点】根据元素与集合的关系求参数、利用集合中元素的性质求集合元素个数
【分析】（1）按照给定条件，把2代入依次计算作答.
（2）按照给定条件，把3代入依次计算，确定集合A中含有的元素作答.
（3）令集合A中元素为4，再代入依次计算确定其它元素作答.
【详解】（1）因为，由①知，，而，则，而，则，
所以集合A中至少有3个元素.
（2）因为，由①知，，而，则，而，则，
所以集合A中至少含有的元素是.
（3）令，由①知，，而，则，而，则，
所以集合A中至少含有的其它元素是.
试卷第1页，共3页
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