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第1~2章 能力评价
(满分：120分　时间：120分钟)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　
一、选择题(本题有10小题，每小题3分，共30分)
1.下列体育动作中，可以看作轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.小明有两根木棒，长度分别为3 cm，8 cm，他想再选择一根木棒与前两根木棒组成一个三角形，则可选择的木棒的长为( )
A.4 cm B.5 cm C.7.5 cm D.12 cm
3.下列命题中，属于假命题的是( )
A.一个三角形中至少有两个锐角
B.在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C.同角的余角相等
D.一个角的补角大于这个角本身
4.如图，AB=CD，AC=BD，则下列说法中，正确的是( )
A.可用“SSA”证△AOB≌△DOC
B.可用“SAS”证△ABC≌△DCB
C.可用“SSS”证△AOB≌△DOC
D.可用“SSS”证△ABC≌△DCB
5.给出下列说法：①如图1，若PA=PB，QA=QB，则PQ垂直平分AB；②如图2，若点P到OA，OB的距离PC，PD相等，则OP平分∠AOB。其中( )
　　
图1 图2
A.只有①正确 B.只有②正确 C.①②都正确 D.①②都错误
6.如图，在直线l上有正方形a，b，c，若a，c的面积分别为4和16，则b的面积为( )
A.24 B.22 C.20 D.12
7.“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理。如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形的两条直角边长分别为m，n(m＞n)。若小正方形面积为5，(m＋n)2=21，则大正方形面积为( )
A.12 B.13 C.14 D.15
8.如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D，E，AD，CE相交于点H。若EH=EB=3，AE=4，则CH的长为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
9.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，BC=6，∠CAB的平分线交BC于点D，E为边AB上一点，则线段DE长的最小值为( )
A. B. C.2 D.3
第9题图
10.如图，CD是△ABC的角平分线。按以下步骤作图：①以点A为圆心，适当长为半径画弧，与边AB相交于点E，与边AC相交于点F；②以点B为圆心，AE长为半径画弧，与边BC相交于点G；③以点G为圆心，EF长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点H；④作射线BH，与CD相交于点M，与边AC相交于点N，则下列结论一定正确的是( )
A.∠ABN=∠A B.BN⊥AC C.CM=AD D.BM=BD
二、填空题(本题有6小题，每小题3分，共18分)
11.(3分)等腰三角形的一个底角为56°，则它的顶角的度数为 °。
12.(3分)如图，∠AOB=90°，在射线OB上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径画弧；再以点C为圆心，OC长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点D，连结并延长CD交射线OA于点E。设OC=1，则OE的长是 。
第12题图
13.(3分)如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点D，过点D作EF∥BC，交AB于点E，交AC于点F。若AB=14，AC=10，则△AEF的周长为 。
14.(3分)如图，在△ABC中，边AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E。已知△ABC与△ABD的周长分别为18 cm和12 cm，则线段AE的长为 cm。
15.(3分)如图，点A，D在BC的同侧，AB=BC=CA=2，BD=CD=，则AD= 。
第15题图
16.(3分)如图，在△ABC中，AB=AC，E是边AB上一点，连结CE，在BC的右侧作BF∥AC，且 BF=AE，连结CF。若AC=13，BC=10，则四边形EBFC的面积为 。
第16题图
三、解答题(本题有8小题，共72分)
17.(8分)如图，在4×4的方格中有5个小正方形涂上了阴影，请分别在图1，2，3中不同的位置选择1个小正方形涂上阴影，使它与其余5个小正方形组成的新图形是一个轴对称图形。
　　　　　　
图1 图2 图3
18.(8分)如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E在边BC上，BD=CE。求证：∠ADE=∠AED。
19.(8分)如图，点D在△ABC的边BA的延长线上，过边AC的中点F的直线交∠DAC的平分线于点E，交BC于点G。已知AE∥BC。
(1)(4分)求证：△ABC是等腰三角形。
(2)(4分)若AE=10，GC=2BG，求BG的长。
20.(8分)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D在边AC上，AE⊥BD交BD的延长线于点E。
(1)(2分)若AD是△BAE的角平分线，说明∠ABD与∠CBD的数量关系。
(2)(3分)若点D在AB的垂直平分线上，求证：CD=DE。
(3)(3分)若AC=BC，BD是∠ABC的平分线，直接写出AE与BD的数量关系(不需要给出证明过程)。
21.(8分)如图，在△ABC中，AB=AC，D为AB的中点，过点D作FE⊥BC于点E，交射线CA于点F，过点A作AG⊥DF于点G。
(1)(4分)求证：△DBE≌△DAG。
(2)(4分)若∠C=45°，BE=2，求CF的长。
22.(10分)如图，在△ABC中，AB=AC，O为BC的中点，点D在边AB上，连结OD。
(1)(5分)如图1，若OD⊥AB，OE⊥AC于点E，求证：OE=OD。
(2)(5分)如图2，已知∠BAC=90°，AB=4，AD=1。若点F在边AC上，OF=OD，求AF的长。
23.(10分)在四边形ABCD中，O是边BC上的一点。若△OAB≌△OCD(对应顶点写在了对应位置)，则点O叫做该四边形的“等形点”。
(1)(4分)正方形 “等形点”(填“存在”或“不存在”)。
(2)(6分)如图，在四边形ABCD中，边BC上的点O是四边形ABCD的“等形点”。已知CD=，OA=4，BC=9，连结AC，求AC的长。
24.(12分)如图，已知等边三角形ABC，点P在线段BC上，连结AP，作点B关于AP的对称点M，连结CM。在BA上取一点N，使得BN=BP，连结MN，交AP于点D。
(1)(4分)连结MP，NP，则MP，NP之间的数量关系是 。
(2)(8分)设∠CAP=α。
①(3分)求∠AND的大小(用含α的式子表示)。
②(5分)用等式表示线段AD，DM，CM之间的数量关系，并说明理由。第1~2章 能力评价
(满分：120分　时间：120分钟)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　
一、选择题(本题有10小题，每小题3分，共30分)
1.下列体育动作中，可以看作轴对称图形的是(　A　)
A. B. C. D.
2.小明有两根木棒，长度分别为3 cm，8 cm，他想再选择一根木棒与前两根木棒组成一个三角形，则可选择的木棒的长为(　C　)
A.4 cm B.5 cm C.7.5 cm D.12 cm
3.下列命题中，属于假命题的是(　D　)
A.一个三角形中至少有两个锐角
B.在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C.同角的余角相等
D.一个角的补角大于这个角本身
4.如图，AB=CD，AC=BD，则下列说法中，正确的是(　D　)
A.可用“SSA”证△AOB≌△DOC
B.可用“SAS”证△ABC≌△DCB
C.可用“SSS”证△AOB≌△DOC
D.可用“SSS”证△ABC≌△DCB
5.给出下列说法：①如图1，若PA=PB，QA=QB，则PQ垂直平分AB；②如图2，若点P到OA，OB的距离PC，PD相等，则OP平分∠AOB。其中(　C　)
　　
图1 图2
A.只有①正确 B.只有②正确 C.①②都正确 D.①②都错误
6.如图，在直线l上有正方形a，b，c，若a，c的面积分别为4和16，则b的面积为(　C　)
A.24 B.22 C.20 D.12
【解析】 ∵a，b，c都是正方形，
∴AC=CD，∠ACD=90°。
易知∠ACB＋∠ECD=∠ACB＋∠BAC=90°，
∴∠BAC=∠ECD。
又∵∠ABC=∠CED=90°，AC=CD，
∴△ACB≌△CDE(AAS)，
∴BC=ED。
在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC2=AB2＋BC2=AB2＋ED2，即Sb=Sa＋Sc=4＋16=20。
7.“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理。如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形的两条直角边长分别为m，n(m＞n)。若小正方形面积为5，(m＋n)2=21，则大正方形面积为(　B　)
A.12 B.13 C.14 D.15
【解析】 由题意可知，中间小正方形的边长为m－n，
∴(m－n)2=5，即m2＋n2－2mn=5。①
∵(m＋n)2=21，
∴m2＋n2＋2mn=21。②
①＋②，得2(m2＋n2)=26，
∴大正方形的面积=m2＋n2=13。
8.如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D，E，AD，CE相交于点H。若EH=EB=3，AE=4，则CH的长为(　A　)
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】 ∵AD⊥BC，CE⊥AB，
∴∠ADC=∠AEH=∠CEB=90°。
又∵∠AHE=∠CHD，
∴∠HAE=∠BCE。
又∵EH=EB=3，
∴△HEA≌△BEC(AAS)，
∴CE=AE=4，
∴CH=CE－EH=1。
9.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，BC=6，∠CAB的平分线交BC于点D，E为边AB上一点，则线段DE长的最小值为(　C　)
A. B. C.2 D.3
第9题图 第9题答图
【解析】 如答图，过点D作DF⊥AB于点F，则当点E位于点F处时，DE的值最小，等于DF的长。
在Rt△DFB中，∵∠B=30°，
∴DF=BD。
∵AD平分∠CAB，∠C=∠DFA=90°，
∴CD=DF=BD，
∴DF=CD=BC=2，
∴DE长的最小值为2。
10.如图，CD是△ABC的角平分线。按以下步骤作图：①以点A为圆心，适当长为半径画弧，与边AB相交于点E，与边AC相交于点F；②以点B为圆心，AE长为半径画弧，与边BC相交于点G；③以点G为圆心，EF长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点H；④作射线BH，与CD相交于点M，与边AC相交于点N，则下列结论一定正确的是(　D　)
A.∠ABN=∠A B.BN⊥AC C.CM=AD D.BM=BD
【解析】 由作图过程可知，∠CBN=∠BAC，
∵CD是△ABC的角平分线，
∴∠ACD=∠BCD，
∴∠BDM=∠CAD＋∠ACD=∠CBM＋∠BCM=∠BMD，
∴BM=BD。
其他选项中的结论无法由已知条件推出，故选D。
二、填空题(本题有6小题，每小题3分，共18分)
11.(3分)等腰三角形的一个底角为56°，则它的顶角的度数为　68　°。
12.(3分)如图，∠AOB=90°，在射线OB上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径画弧；再以点C为圆心，OC长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点D，连结并延长CD交射线OA于点E。设OC=1，则OE的长是 　。
第12题图 第12题答图
【解析】 如答图，连结OD。
由作图可得OD=OC=CD，
∴△OCD是等边三角形，
∴∠OCD=60°，∴∠OEC=30°，
∴CE=2OC=2，
∴OE=。
13.(3分)如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点D，过点D作EF∥BC，交AB于点E，交AC于点F。若AB=14，AC=10，则△AEF的周长为　24　。
【解析】 ∵EF∥BC，
∴∠EDB=∠DBC。
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC，
∴∠EBD=∠EDB，∴ED=EB。
同理，FD=FC，
∴AE＋EF＋AF=AE＋EB＋FC＋AF=AB＋AC=24，即△AEF的周长为24。
14.(3分)如图，在△ABC中，边AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E。已知△ABC与△ABD的周长分别为18 cm和12 cm，则线段AE的长为　3　cm。
【解析】 ∵DE是AC的垂直平分线，
∴AE=CE，AD=CD，
∴△ABD的周长为AB＋BD＋AD=AB＋BD＋CD=AB＋BC=12 cm。
又∵△ABC的周长为AB＋BC＋AC=18 cm，
∴AC=6 cm，
∴AE=AC=3 cm。
15.(3分)如图，点A，D在BC的同侧，AB=BC=CA=2，BD=CD=，则AD= －1　。
第15题图 第15题答图
【解析】 如答图，延长AD，交BC于点E。
∵AB=CA，BD=CD，∴AE⊥BC，BE=CE。
∵AB=BC=CA=2，∴BE=CE=1，
∴AE=，DE==1，∴AD=AE－DE=－1。
16.(3分)如图，在△ABC中，AB=AC，E是边AB上一点，连结CE，在BC的右侧作BF∥AC，且 BF=AE，连结CF。若AC=13，BC=10，则四边形EBFC的面积为　60　。
第16题图 第16题答图
【解析】 ∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB。
∵BF∥AC，∴∠ACB=∠CBF，
∴∠ABC=∠CBF，
∴BC平分∠ABF。
如答图，过点C作CM⊥AB于点M，CN⊥BF于点N，则CM=CN。
∵S△ACE=AE·CM，S△CBF=BF·CN，且BF=AE，
∴S△CBF=S△ACE，
∴四边形EBFC的面积=S△CBF＋S△CBE=S△ACE＋S△CBE=S△CBA。
解法一：∵AC=13，∴AB=13。
设AM=x，则BM=13－x，
由勾股定理，得CM2=AC2－AM2=BC2－BM2，
∴132－x2=102－(13－x)2，
解得x=，
∴CM=，
∴S△CBA=AB·CM=60，
∴四边形EBFC的面积为60。
解法二：过点A作AH⊥BC于点H，易得AH=12，
∴S△ABC=×10×12=60，∴四边形EBFC的面积为60。
三、解答题(本题有8小题，共72分)
17.(8分)如图，在4×4的方格中有5个小正方形涂上了阴影，请分别在图1，2，3中不同的位置选择1个小正方形涂上阴影，使它与其余5个小正方形组成的新图形是一个轴对称图形。
　　　　　　
图1 图2 图3
解：如答图所示(答案不唯一)。
　　　　　　
图1 图2 图3
第17题答图
18.(8分)如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E在边BC上，BD=CE。求证：∠ADE=∠AED。
证明：∵AC=AB，∴∠C=∠B。
∵CE=BD，
∴CE＋DE=BD＋DE，即CD=BE。
在△ACD和△ABE中，
∵
∴△ACD≌△ABE(SAS)，
∴∠ADC=∠AEB，
即∠ADE=∠AED。
19.(8分)如图，点D在△ABC的边BA的延长线上，过边AC的中点F的直线交∠DAC的平分线于点E，交BC于点G。已知AE∥BC。
(1)(4分)求证：△ABC是等腰三角形。
(2)(4分)若AE=10，GC=2BG，求BG的长。
解：(1)∵AE∥BC，
∴∠B=∠DAE，∠C=∠CAE。
∵AE平分∠DAC，
∴∠DAE=∠CAE，
∴∠B=∠C，
∴AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形。
(2)∵F是AC的中点，
∴AF=CF。
在△AFE和△CFG中，
∵
∴△AFE≌△CFG(ASA)，
∴AE=GC=10。
又∵GC=2BG，∴BG=5。
20.(8分)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D在边AC上，AE⊥BD交BD的延长线于点E。
(1)(2分)若AD是△BAE的角平分线，说明∠ABD与∠CBD的数量关系。
(2)(3分)若点D在AB的垂直平分线上，求证：CD=DE。
(3)(3分)若AC=BC，BD是∠ABC的平分线，直接写出AE与BD的数量关系(不需要给出证明过程)。
解：(1)∵AD是△BAE的角平分线，
∴∠BAD=∠DAE。
∵∠ACB=90°，由题意得∠AEB=90°，且∠BDC=∠ADE，
∴∠CBD=∠DAE。
∵∠ACB=90°，
∴∠ABD＋∠BAD＋∠CBD=90°，
∴∠ABD＋2∠CBD=90°。
(2)∵点D在AB的垂直平分线上，
∴DB=DA。
在△BDC和△ADE中，
∵
∴△BDC≌△ADE(AAS)，
∴CD=DE。
(3)BD=2AE。
由(1)知∠CBD=∠CAF。
在△BCD和△ACF中，
∵
∴△BCD≌△ACF(ASA)，
∴BD=AF。
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABE=∠FBE。
在△ABE和△FBE中，
∵
∴△ABE≌△FBE(ASA)，
∴AF=2AE，
∴BD=2AE。
21.(8分)如图，在△ABC中，AB=AC，D为AB的中点，过点D作FE⊥BC于点E，交射线CA于点F，过点A作AG⊥DF于点G。
(1)(4分)求证：△DBE≌△DAG。
(2)(4分)若∠C=45°，BE=2，求CF的长。
解：(1)∵FE⊥BC，AG⊥DF，
∴∠AGD=∠DEB=90°。
∵D为AB的中点，
∴AD=BD。
在△DAG与△DBE中，
∵
∴△DAG≌△DBE(AAS)。
(2)∵AB=AC，
∴∠B=∠C=45°，∴∠BAC=90°。
∵∠DEB=90°，BE=2，
∴DB=2，
∴AD=2，AC=AB=4。
∵△DBE≌△DAG，
∴∠DAG=∠B=45°，AG=BE=2，
∴∠FAG=45°，∠ADG=45°，
∴∠F=45°，
∴AF=AD=2，
∴CF=AC＋AF=6。
22.(10分)如图，在△ABC中，AB=AC，O为BC的中点，点D在边AB上，连结OD。
(1)(5分)如图1，若OD⊥AB，OE⊥AC于点E，求证：OE=OD。
(2)(5分)如图2，已知∠BAC=90°，AB=4，AD=1。若点F在边AC上，OF=OD，求AF的长。
解：(1)∵AB=AC，
∴∠C=∠B。
∵OD⊥AB，OE⊥AC，
∴∠ODB=∠OEC=90°。
∵O为BC中点，
∴OB=OC。
在△OCE和△OBD中，
∵
∴△OCE≌△OBD(AAS)，
∴OE=OD。
(2)如答图，连结OA，过点O作OG⊥AB于点G，OH⊥AC于点H，
第22题答图
则∠OGB=∠OGA=∠OHC=∠OHA=90°。
∵AB=AC=4，∠BAC=90°，O为BC的中点，
∴∠B=∠C=45°，AO平分∠BAC，OA=BC=OB=OC，
∴OG=OH，AH=CH=AC=2，AG=BG=AB=2，
∴AH=AG。
∵AD=1，
∴DG=AG－AD=1。
分两种情况讨论：
①当点F在线段AH上时，
在Rt△OHF和Rt△OGD中，
∵
∴Rt△OHF≌Rt△OGD(HL)，
∴FH=DG=1，
∴AF=AH－FH=1；
②当点F'在线段CH上时，
同理可证，Rt△OHF'≌Rt△OGD(HL)，
∴F'H=DG=1，
∴AF=AH＋F'H=2＋1=3。
综上所述，AF的长为1或3。
23.(10分)在四边形ABCD中，O是边BC上的一点。若△OAB≌△OCD(对应顶点写在了对应位置)，则点O叫做该四边形的“等形点”。
(1)(4分)正方形　不存在。　“等形点”(填“存在”或“不存在”)。
(2)(6分)如图，在四边形ABCD中，边BC上的点O是四边形ABCD的“等形点”。已知CD=，OA=4，BC=9，连结AC，求AC的长。
解：(1)假设正方形ABCD存在“等形点”O，即存在△OAB≌△OCD，在正方形ABCD中，点O在边BC上，
∴∠ABO=90°。
∵△OAB≌△OCD，
∴∠ABO=∠CDO=90°，
∴CD⊥DO。
∵CD⊥BC，
∴DO∥BC。
又∵点O在BC上，
∴DO与BC相交于点O，
∴假设不成立，故正方形不存在“等形点”。
(2)如答图，过A点作AM⊥BC于点M。
第23题答图
∵点O是四边形ABCD的“等形点”，
∴△OAB≌△OCD，
∴AB=CD，OA=OC，OB=OD，∠AOB=∠COD。
∵CD=，OA=4，BC=9，
∴AB=CD=，OA=OC=4，
∴OB=BC－OC=9－4=5=OD。
∵AM⊥BC，
∴∠AMO=90°=∠AMB，
∴设MO=a，则BM=BO－MO=5－a，
∴在Rt△ABM和Rt△AOM中，
AM2=AB2－BM2=AO2－MO2，
即()2－(5－a)2=16－a2，
解得a=2，即MO=2，
∴MC=MO＋OC=2＋4=6，AM=，
∴在Rt△AMC中，AC=，
即AC的长为。
24.(12分)如图，已知等边三角形ABC，点P在线段BC上，连结AP，作点B关于AP的对称点M，连结CM。在BA上取一点N，使得BN=BP，连结MN，交AP于点D。
(1)(4分)连结MP，NP，则MP，NP之间的数量关系是　MP=NP　。
(2)(8分)设∠CAP=α。
①(3分)求∠AND的大小(用含α的式子表示)。
②(5分)用等式表示线段AD，DM，CM之间的数量关系，并说明理由。
解：(1)如答图1，连结MP，NP。
第24题答图1
由轴对称的性质可得MP=BP。
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60°。
又∵BN=BP，
∴△BNP是等边三角形，
∴NP=BP，
∴MP=NP。
(2)①∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°。
∵∠CAP=α，
∴∠APB=∠CAP＋∠ACP=α＋60°。
∵△BNP是等边三角形，
∴∠BPN=∠BNP=60°，
∴∠APN=∠APB－∠BPN=α。
由轴对称的性质可得∠APM=∠APB=α＋60°，
∴∠MPN=∠APM＋∠APN=2α＋60°。
∵PM=PN，
∴∠PNM=∠PMN==60°－α，
∴∠AND=180°－∠PNM－∠BNP=60°＋α。
②AD＋CM=DM，理由如下：
如答图2，连结BD，在BD上截取DH=DA，连结HN。
第24题答图2
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°，AB=CB，
∴∠BAP=∠BAC－∠CAP=60°－α。
∵∠AND=60°＋α，
∴∠ADN=180°－∠DAN－∠AND=60°，
∴∠PDM=∠ADN=60°。
∵点B，M关于AP对称，
∴△PDM≌△PDB，
∴MD=BD，∠PDB=∠PDM=60°，
∴∠BDN=180°－∠PDB－∠PDM=60°，
∴∠ADN=∠HDN。
又∵DA=DH，DN=DN，
∴△ADN≌△HDN(SAS)，
∴AN=HN，∠DNH=∠DNA=60°＋α，
∴∠HNB=180°－∠AND－∠HND=60°－2α。
∵BN=BP，
∴AB－BN=BC－BP，
∴CP=AN，∴CP=HN。
∵△BNP是等边三角形，
∴BN=PN=PM。
∵∠CPM=180°－∠APM－∠APB=180°－60°－α－60°－α=60°－2α，
∴∠CPM=∠HNB，
∴△CPM≌△HNB(SAS)，
∴BH=CM。
∵BD=DH＋BH，
∴AD＋CM=DM。

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