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第1章 三角形的初步知识 能力评价
(满分：120分　时间：120分钟)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　
一、选择题(本题有10小题，每小题3分，共30分)
1.为估计池塘两岸A，B间的距离，如图，小明在池塘一侧选取了一点O，测得OA=16 m，OB=12 m，那么AB的距离不可能是(　D　)
A.5 m B.15 m C.20 m D.30 m
　　　
第1题图 第2题图
2.将一副三角尺按如图所示的方式摆放，使有刻度的边互相垂直，则∠1的度数为(　D　)
A.45° B.50° C.60° D.75°
3.如图，分别以线段AB的两端点A，B为圆心，大于AB长为半径画弧，在线段AB的两侧分别相交于点E，F，作直线EF，交AB于点O，在直线EF上任取一点P(不与点O重合)，连结PA，PB。下列结论中，不一定成立的是(　C　)
A.PA=PB B.OA=OB C.OP=PE D.PO⊥AB
　　　
第3题图 第4题图
4.如图，若AB=AC，则添加下列条件中的一个后，仍无法判定△ABE≌△ACD的是(　C　)
A.∠B=∠C B.AE=AD C.BE=CD D.∠AEB=∠ADC
5.对于命题“若a2＞b2，则a＞b。”下面四组关于a，b的值中，能说明这个命题是假命题的是(　B　)
A.a=3，b=2 B.a=－3，b=2 C.a=3，b=－1 D.a=－1，b=3
6.如图，给出一个画图的过程，这个画图过程能说明的事实是(　C　)
A.两个三角形的两条边和夹角对应相等，这两个三角形全等
B.两个三角形的两个角和其中一角的对边对应相等，这两个三角形全等
C.两个三角形的两条边和其中一边的对角对应相等，这两个三角形不一定全等
D.两个三角形的两个角和夹边对应相等，这两个三角形不一定全等
7.如图，在△ABC中，AC⊥BC，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，AB=7 cm，AC=3 cm，则BE的长为(　A　)
A.4 cm B.3 cm C.2 cm D.1 cm
8.我们把两组邻边分别相等的四边形称为“筝形”。如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O。下列条件中，不能判断四边形ABCD是筝形的是
(　D　)
A.BO=DO，AC⊥BD B.∠DAC=∠BAC，AD=AB
C.∠DAC=∠BAC，∠DCA=∠BCA D.∠ADC=∠ABC，BO=DO
【解析】 ∵BO=DO，AC⊥BD，
∴AC是BD的垂直平分线，
∴AB=AD，CB=CD，
∴四边形ABCD是筝形，
∴A不符合题意；
在△ACD与△ACB中，
∵
∴△ACD≌△ACB(SAS)，
∴CD=CB，
∴四边形ABCD是筝形，
∴B不符合题意；
在△ACD与△ACB中，
∵
∴△ACD≌△ACB(ASA)，
∴AD=AB，CD=CB，
∴四边形ABCD是筝形，
∴C不符合题意；
由∠ADC=∠ABC，BO=DO，不能证明四边形ABCD是筝形，
∴D选项符合题意。
9.如图，已知∠C=∠D，AC=AD，增加下列条件：①AB=AE；②BC=ED；③∠1=∠2；④∠B=∠E。其中能使△ABC≌△AED的条件有(　B　)
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
【解析】 ①∵∠C=∠D，AC=AD，AB=AE，
∴△ABC和△AED不一定全等，不符合题意；
②∵∠C=∠D，AC=AD，BC=DE，
∴△ABC≌△AED(SAS)，符合题意；
③∵∠1=∠2，
∴∠1＋∠EAB=∠2＋∠EAB，
∴∠CAB=∠DAE。
又∵∠C=∠D，AC=AD，
∴△ABC≌△AED(ASA)，符合题意；
④∵∠B=∠E，∠C=∠D，AC=AD，
∴△ABC≌△AED(AAS)，符合题意。
综上所述，能使△ABC≌△AED的条件有3个。
10.如图，∠A=70°，∠B=40°，∠C=30°，则∠D＋∠E为(　B　)
A.30° B.40° C.60° D.70°
第10题图 第10题答图
【解析】 如答图，连结BC，设BE与CD相交于点M。
在△ABC中，∠A=70°，∠ABM=40°，∠ACM=30°，
∴∠MBC＋∠MCB=180°－∠A－∠ABM－∠ACM=180°－70°－40°－30°=40°。
又∵∠D＋∠E＋∠DME=180°，∠MBC＋∠MCB＋∠BMC=180°，∠DME=∠BMC，
∴∠D＋∠E=∠MBC＋∠MCB=40°。
二、填空题(本题有6小题，每小题3分，共18分)
11.(3分)如图，已知△ACF≌△DBE，AD=9 cm，BC=5 cm，则AB的长为　2　cm。
　
第11题 图第12题图
12.(3分)如图，直线AB∥CD，OA⊥OB。若∠1=142°，则∠2的度数为　52　°。
13.(3分)如图1是一个平板电脑支架，由托板、支撑板和底座构成，平板电脑放置在托板上，图2是其侧面结构示意图。托板AB可绕点C转动，支撑板CD可绕点D转动，支撑板的顶端C恰好是托板AB的中点。现量得AB=10 cm，当CD⊥AB，且射线DB恰好是∠CDE的平分线时，点B到直线DE的距离是　5　cm。
　　
第13题图
14.(3分)当三角形中一个内角α是另一个内角β的一半时，我们称此三角形为“半角三角形”，其中α称为“半角”。如果一个“半角三角形”的最大内角的度数为120°，那么这个“半角三角形”的“半角”为　20　°。
15.(3分)如图，在△ABC中，∠B=∠C=60°，BD=CF，BE=CD，则∠EDF的度数是　60　°。
【解析】 在△BDE与△CFD中，∵
∴△BDE≌△CFD(SAS)，
∴∠BDE=∠CFD，
∴∠EDF=180°－(∠BDE＋∠CDF)=180°－(∠CFD＋∠CDF)=180°－(180°－∠C)=∠C=60°。
16.(3分)如图，在△ABC中，CD，BE分别是边AB和AC上的高线，点M在BE的延长线上，且BM=AC，点N在CD上，且AB=CN，连结AM，AN，则∠MAN的度数为　90　°。
【解析】 ∵CD，BE分别是边AB和AC上的高线，
∴∠ADC=∠AEB=90°，
∴∠ABM＋∠BAC=180°－∠AEB=90°，∠BAC＋∠NCA=180°－∠ADC=90°，
∴∠ABM=∠NCA。
在△ABM和△NCA中，
∵
∴△ABM≌△NCA(SAS)，
∴∠BAM=∠CNA。
又∵∠CNA=∠ADC＋∠BAN，
∠BAM=∠MAN＋∠BAN，
∴∠MAN=∠ADC=90°。
三、解答题(本题有8小题，共72分)
17.(8分)如图，点E，F分别在AB，AD的延长线上，∠CBE=∠CDF，∠ACB=∠ACD。求证：AB=AD。
证明：∵∠CBE=∠CDF，∴180°－∠CBE=180°－∠CDF，
∴∠ABC=∠ADC。
在△ABC和△ADC中，
∵
∴△ABC≌△ADC(AAS)，
∴AB=AD。
18.(8分)如图，∠ABE=∠BAF，CE=CF。求证：AE=BF。
证明：∵∠ABE=∠BAF，∴CB=CA。
∵CE=CF，∴CB＋CE=CA＋CF，即BE=AF。
在△ABE和△BAF中，
∵
∴△ABE≌△BAF(SAS)，
∴AE=BF。
19.(8分)如图，点D在△ABC的边AB上，且∠ACD=∠A。
(1)(4分)作∠BDC的平分线DE，交BC于点E(尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法)。
(2)(4分)在(1)的条件下，判断直线DE与直线AC的位置关系。
第19题图 第19题答图
解：(1)如答图。
(2)DE∥AC。理由如下：
∵DE平分∠BDC，∴∠CDE=∠BDC。
∵∠BDC=∠ACD＋∠A，∠ACD=∠A，
∴∠BDC=2∠ACD，
∴∠CDE=∠ACD，∴DE∥AC。
20.(8分)如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线l1交BC于点D，边AC的垂直平分线l2交BC于点E，l1与l2相交于点O，△ADE的周长为6。
(1)(4分)求BC的长。
(2)(4分)分别连结OA，OB，OC，若△OBC的周长为16，求OA的长。
解：(1)∵l1是边AB的垂直平分线，l2是边AC的垂直平分线，
∴AD=BD，EA=EC。
又∵△ADE的周长为6，
∴BC=BD＋DE＋EC=AD＋DE＋EA=6。
(2)∵△OBC的周长为16，
∴OB＋OC＋BC=16，
∴OB＋OC=16－BC=10。
又∵l1是边AB的垂直平分线，l2是边AC的垂直平分线，
∴OA=OB=OC=5。
21.(8分)如图，点D，E分别在AB，AC上，∠ADC=∠AEB=90°，BE，CD相交于点O，连结AO，∠1=∠2，求证：OB=OC。小聪同学的证明过程如下：
证明：在△ADO和△AEO中，
∵
∴△ADO≌△AEO(①)，
∴OE=OD(②)，
…　
　　
请解决下列问题：
(1)(2分)小聪同学的证明过程中依据①是　AAS　，依据②是　全等三角形的对应边相等　。
(2)(2分)按小聪同学的思路将证明过程补充完整。
(3)(4分)图中共有　4　对全等三角形，它们是　△ADO≌△AEO，△BOD≌△COE，△ABO≌△ACO，△ABE≌△ACD　。
解：(2)在△ADO和△AEO中，
∵
∴△ADO≌△AEO(AAS)，
∴OE=OD。
在△BOD和△COE中，
∵
∴△BOD≌△COE(ASA)，
∴OB=OC。
22.(10分)如图，已知△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，AD∥BC，E是线段AC上的一点，AE=BC且DE⊥AB于点F，连结DC。
(1)(5分)求证：AB=DE。
(2)(5分)若BC=4，CE=3，求AD的长。
解：(1)∵∠ACB=90°，AD∥BC，
∴∠DAE=180°－∠ACB=90°=∠ACB，
∴∠CAB＋∠DAB=90°。
∵DE⊥AB，∴∠AFD=90°，
∴∠ADE＋∠DAB=180°－∠AFD=90°，
∴∠CAB=∠ADE。
又∵CB=AE，
∴△ABC≌△DEA(AAS)，
∴AB=DE。
(2)∵△ABC≌△DEA，
∴CA=AD。
∵AE=BC=4，CE=3，
∴CA=CE＋AE=7，
∴AD=7。
23.(10分)如图，已知在△ABC中，AB=AC=10 cm，BC=8 cm，∠B=∠C，D为AB的中点。如果点P在线段BC上以3 cm/s的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段CA上由点C向点A运动。设点P运动的时间为t秒。
(1)(3分)用含t的式子表示PC的长为　8－3t　cm。
(2)(3分)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，求证：△BPD≌△CQP。
(3)(4分)若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？
解：(2)∵AB=AC=10 cm，D为AB的中点，∴BD=5 cm。
∵BP=CQ=3×1=3(cm)，
∴CP=8－3=5(cm)，∴CP=BD。
在△DBP和△PCQ中，∵
∴△DBP≌△PCQ(SAS)。
(3)设点Q的运动速度为x(cm/s)。
∵BD=5 cm，BP=3t cm，CP=(8－3t)cm，
∴当BP=CQ，BD=CP或BP=CP，BD=CQ时，△BPD与△CQP全等。
①3t=xt，5=8－3t，解得x=3(不合题意，舍去)；
②3t=8－3t，5=xt，解得x=。
综上所述，点Q的运动速度为 cm/s。
24.(12分)【问题背景】“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为90°。当模型中有相等的线段时，则模型中就有可能存在全等三角形。
(1)(4分)①(2分)如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，过点C作线段DE，使AD⊥DE，BE⊥DE，则CD与BE的数量关系是　CD=BE　。
②(2分)如图2，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，过点C作线段CE，使BE⊥CE，过点A作AD⊥CE于点D。若AD=2.5，DE=1.6，则BE的长为　0.9　。
【变式运用】
(2)(4分)如图3，在Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=∠CDA=90°，CD=2，求△BDC的面积。
【拓展迁移】
(3)(4分)如图4，在△ABC中，AB=AC，BC=6，S△ABC=15，以AC为边向右侧作一个等腰直角三角形ACD，连结BD，请直接写出△BCD的面积。
　　
图1 图2
　　
图3 图4
解：(1)①∵AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠ADC=∠CEB=90°，∠DAC＋∠ACD=90°。
∵∠ACB=90°，∴∠ACD＋∠ECB=90°，∴∠DAC=∠ECB。
在△ADC和△CEB中，∵
∴△ADC≌△CEB(AAS)，∴CD=BE。
②∵BE⊥CE，AD⊥CE，
∴∠ADC=∠CEB=90°，
∴∠CBE＋∠ECB=90°。
∵∠ACB=90°，
∴∠ECB＋∠ACD=90°，
∴∠ACD=∠CBE。
在△ADC和△CEB中，∵
∴△ADC≌△CEB(AAS)，
∴AD=CE=2.5，CD=BE，
∴BE=CD=CE－DE=2.5－1.6=0.9。
(2)如答图1，过点B作BE⊥CD，垂足为E。
第24题答图1
∵AC=BC，∠ACB=∠ADC=∠BEC=90°，
∴同(1)②可得，BE=CD=2，
∴S△BDC=CD·BE=2。
(3)过点A作AN⊥BC于点N，则BN=NC=3，S△ABC=BC·AN=15，
∴AN=5。
分情况讨论：
①如答图2，当∠ACD=90°时，过点D作DF⊥BC，交BC的延长线于点F。
第24题答图2
同(1)①可得，DF=CN=3，
∴S△BCD=BC·DF=×6×3=9。
②如答图3，当∠CAD=90°时，过点D分别作AN，BC的垂线，垂足分别为G，F。
第24题答图3
同(1)①可得，AG=CN=3，
∴易知DF=GN=AG＋AN=3＋5=8，
∴S△BCD=BC·DF=×6×8=24。
③如答图4，当∠ADC=90°时，过点D作BC的垂线，交BC的延长线于点F，过点A作AN的垂线，交FD的延长线于点P。
第24题答图4
同(1)①可得，AP=DF，DP=CF。
设CF=x，则DP=x，
∴易知DF=AP=NF=NC＋CF=3＋x，PF=DP＋DF=x＋3＋x=5，
解得x=1，∴DF=4，
∴S△BCD=BC·DF=×6×4=12。
综上所述，△BCD的面积为9或12或24。第1章 三角形的初步知识 能力评价
(满分：120分　时间：120分钟)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　
一、选择题(本题有10小题，每小题3分，共30分)
1.为估计池塘两岸A，B间的距离，如图，小明在池塘一侧选取了一点O，测得OA=16 m，OB=12 m，那么AB的距离不可能是( )
A.5 m B.15 m C.20 m D.30 m
　　　
第1题图 第2题图
2.将一副三角尺按如图所示的方式摆放，使有刻度的边互相垂直，则∠1的度数为( )
A.45° B.50° C.60° D.75°
3.如图，分别以线段AB的两端点A，B为圆心，大于AB长为半径画弧，在线段AB的两侧分别相交于点E，F，作直线EF，交AB于点O，在直线EF上任取一点P(不与点O重合)，连结PA，PB。下列结论中，不一定成立的是( )
A.PA=PB B.OA=OB C.OP=PE D.PO⊥AB
　　　
第3题图 第4题图
4.如图，若AB=AC，则添加下列条件中的一个后，仍无法判定△ABE≌△ACD的是( )
A.∠B=∠C B.AE=AD C.BE=CD D.∠AEB=∠ADC
5.对于命题“若a2＞b2，则a＞b。”下面四组关于a，b的值中，能说明这个命题是假命题的是( )
A.a=3，b=2 B.a=－3，b=2 C.a=3，b=－1 D.a=－1，b=3
6.如图，给出一个画图的过程，这个画图过程能说明的事实是( )
A.两个三角形的两条边和夹角对应相等，这两个三角形全等
B.两个三角形的两个角和其中一角的对边对应相等，这两个三角形全等
C.两个三角形的两条边和其中一边的对角对应相等，这两个三角形不一定全等
D.两个三角形的两个角和夹边对应相等，这两个三角形不一定全等
7.如图，在△ABC中，AC⊥BC，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，AB=7 cm，AC=3 cm，则BE的长为( )
A.4 cm B.3 cm C.2 cm D.1 cm
8.我们把两组邻边分别相等的四边形称为“筝形”。如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O。下列条件中，不能判断四边形ABCD是筝形的是
( )
A.BO=DO，AC⊥BD B.∠DAC=∠BAC，AD=AB
C.∠DAC=∠BAC，∠DCA=∠BCA D.∠ADC=∠ABC，BO=DO
9.如图，已知∠C=∠D，AC=AD，增加下列条件：①AB=AE；②BC=ED；③∠1=∠2；④∠B=∠E。其中能使△ABC≌△AED的条件有( )
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
10.如图，∠A=70°，∠B=40°，∠C=30°，则∠D＋∠E为( )
A.30° B.40° C.60° D.70°
第10题图
二、填空题(本题有6小题，每小题3分，共18分)
11.(3分)如图，已知△ACF≌△DBE，AD=9 cm，BC=5 cm，则AB的长为 cm。
　
第11题 图第12题图
12.(3分)如图，直线AB∥CD，OA⊥OB。若∠1=142°，则∠2的度数为 °。
13.(3分)如图1是一个平板电脑支架，由托板、支撑板和底座构成，平板电脑放置在托板上，图2是其侧面结构示意图。托板AB可绕点C转动，支撑板CD可绕点D转动，支撑板的顶端C恰好是托板AB的中点。现量得AB=10 cm，当CD⊥AB，且射线DB恰好是∠CDE的平分线时，点B到直线DE的距离是 cm。
　　
第13题图
14.(3分)当三角形中一个内角α是另一个内角β的一半时，我们称此三角形为“半角三角形”，其中α称为“半角”。如果一个“半角三角形”的最大内角的度数为120°，那么这个“半角三角形”的“半角”为 °。
15.(3分)如图，在△ABC中，∠B=∠C=60°，BD=CF，BE=CD，则∠EDF的度数是 °。
16.(3分)如图，在△ABC中，CD，BE分别是边AB和AC上的高线，点M在BE的延长线上，且BM=AC，点N在CD上，且AB=CN，连结AM，AN，则∠MAN的度数为 °。
三、解答题(本题有8小题，共72分)
17.(8分)如图，点E，F分别在AB，AD的延长线上，∠CBE=∠CDF，∠ACB=∠ACD。求证：AB=AD。
18.(8分)如图，∠ABE=∠BAF，CE=CF。求证：AE=BF。
19.(8分)如图，点D在△ABC的边AB上，且∠ACD=∠A。
(1)(4分)作∠BDC的平分线DE，交BC于点E(尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法)。
(2)(4分)在(1)的条件下，判断直线DE与直线AC的位置关系。
第19题图
20.(8分)如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线l1交BC于点D，边AC的垂直平分线l2交BC于点E，l1与l2相交于点O，△ADE的周长为6。
(1)(4分)求BC的长。
(2)(4分)分别连结OA，OB，OC，若△OBC的周长为16，求OA的长。
21.(8分)如图，点D，E分别在AB，AC上，∠ADC=∠AEB=90°，BE，CD相交于点O，连结AO，∠1=∠2，求证：OB=OC。小聪同学的证明过程如下：
证明：在△ADO和△AEO中，
∵
∴△ADO≌△AEO(①)，
∴OE=OD(②)，
…　
　　
请解决下列问题：
(1)(2分)小聪同学的证明过程中依据①是 ，依据②是 。
(2)(2分)按小聪同学的思路将证明过程补充完整。
(3)(4分)图中共有 对全等三角形，它们是 。
22.(10分)如图，已知△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，AD∥BC，E是线段AC上的一点，AE=BC且DE⊥AB于点F，连结DC。
(1)(5分)求证：AB=DE。
(2)(5分)若BC=4，CE=3，求AD的长。
23.(10分)如图，已知在△ABC中，AB=AC=10 cm，BC=8 cm，∠B=∠C，D为AB的中点。如果点P在线段BC上以3 cm/s的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段CA上由点C向点A运动。设点P运动的时间为t秒。
(1)(3分)用含t的式子表示PC的长为 cm。
(2)(3分)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，求证：△BPD≌△CQP。
(3)(4分)若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？
24.(12分)【问题背景】“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为90°。当模型中有相等的线段时，则模型中就有可能存在全等三角形。
(1)(4分)①(2分)如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，过点C作线段DE，使AD⊥DE，BE⊥DE，则CD与BE的数量关系是 。
②(2分)如图2，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，过点C作线段CE，使BE⊥CE，过点A作AD⊥CE于点D。若AD=2.5，DE=1.6，则BE的长为 。
【变式运用】
(2)(4分)如图3，在Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=∠CDA=90°，CD=2，求△BDC的面积。
【拓展迁移】
(3)(4分)如图4，在△ABC中，AB=AC，BC=6，S△ABC=15，以AC为边向右侧作一个等腰直角三角形ACD，连结BD，请直接写出△BCD的面积。
　　
图1 图2
　　
图3 图4

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