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第3章 一元一次不等式 能力评价
(满分：120分　时间：120分钟)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　
一、选择题(本题有10小题，每小题3分，共30分)
1.有下列各式：①4x＋3y≥0；②a＞3；③x2＋xy；④a2＋b2=c2；⑤x≠5。其中属于不等式是( )
A.①② B.③④ C.①②⑤ D.①④⑤
2.若a＜b，则下列结论错误的是( )
A.a＋2＜b＋2 B.3－a＜3－b
C.4a＜4b D.
3.如图，已知A，B两点在数轴上表示的数分别为a，b，则下列不等式中，成立的是( )
A.ab＞0 B.a＋b＜0
C.(b－1)(a＋1)＞0 D.(b－1)(a－1)＞0
4.不等式组的解集在同一条数轴上表示正确的是( )
A. B.
C. D.
5.不等式组的整数解为( )
A.x=0 B.x=－1 C.x=－2 D.x=1
6.关于y的一元一次不等式组至少有3个整数解，则a的取值范围是( )
A.1≤a≤2 B.a≥1 C.1≤a＜2 D.a＜2
7.若关于x的不等式3x－m≥5的解集在数轴上表示如图所示，则m的值为
( )
A. B.－1 C.－5 D.－8
8.若不等式组无解，则实数a的取值范围是( )
A.a≥－1 B.a＜－1 C.a≤1 D.a≤－1
9.水果店进了某种水果1吨，进价7元/千克，售价11元/千克，卖掉一半后准备打折出售。如果要使总利润不低于3 450元，可以打( )
A.七折 B.八折 C.八五折 D.九折
10.若关于x的不等式组有解，则其中整数解的个数不可能是
( )
A.1 B.2 C.3 D.4
二、填空题(本题有6小题，每小题3分，共18分)
11.(3分)“x的2倍与1的差不大于3”用不等式表示为 。
12.(3分)不等式组的解集是 。
13.(3分)不等式组的所有整数解的和为 。
14.(3分)若关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是 。
15.(3分)已知关于x，y的二元一次方程组的解满足x＞y，且关于x的不等式组无解，则a的最大整数值为 。
16.(3分)“绿波”是指车辆到达前方各路口时，均遇上绿灯的情况，因此能够提高通行效率。小亮爸爸行驶在最高限速80 km/h的路段上，
某时刻的导航界面如图所示，前方第一个路口显示绿灯倒计时32 s，第二个路口显示红灯倒计时44 s，此时车辆分别距离两个路口480 m和880 m。已知第一个路口红、绿灯设定时间分别是30 s，50 s，第二个路口红、绿灯设定时间分别是45 s，60 s。若不考虑其他因素，小亮爸爸以不低于40 km/h的车速全程匀速“绿波”通过这两个路口(在红、绿灯切换瞬间也可通过)，则车速v(km/h)的取值范围是 。
三、解答题(本题有8小题，共72分)
17.(8分)(1)(4分)解不等式3x＋2(13－x)＞28，并将解集表示在数轴上；
(2)(4分)解不等式组：
18.(8分)下面是小明解一元一次不等式≤x＋的过程，请认真阅读并解决相应的问题。
解：去分母，得x－1≤6x＋4。……第一步
移项，得x＋6x≤4－1。……第二步
合并同类项，得7x≤3。……第三步
两边都除以7，得x≤。……第四步
(1)(3分)小明的解答过程是从第 步开始出错的，这一步正确的结果为 ，此步的依据是 。
(2)(5分)请你写出此题正确的解答过程。
19.(8分)解不等式组把解集表示在数轴上，并求其整数解。
20.(8分)智能机器人的广泛应用是智慧农业的发展趋势之一。某品牌苹果采摘机器人的机械手能自动对成熟的苹果进行采摘，一个机器人可以搭载多个机械手同时工作。在正常工作状态下，该机器人的每一个机械手平均a秒采摘一个成熟的苹果，它的一个机械手用800秒采摘苹果的个数比用600秒采摘苹果的个数多25个。
(1)(3分)求a的值。
(2)(5分)现需要一定数量的苹果发往外地，采摘工作由多个机器人共同完成。每个机器人搭载4个相同的机械手，那么至少需要多少个这样的机器人同时工作1小时，才能使采摘的苹果个数不少于10 000个？
21.(8分)某商店销售一批进价分别为200元、170元的A，B两种型号电风扇，表中是近两天的销售情况：
销售时段 销售数量 销售收入
A B
第一天 3台 5台 1 800元
第二天 4台 10台 3 100元
(进价、售价均保持不变，利润=销售收入－进货成本)
(1)(2分)求A，B两种型号电风扇的销售单价。
(2)(3分)若该商店老板准备用不多于5 400元的金额再购进这两种型号电风扇共30台，求A种型号电风扇最多能采购多少台。
(3)(3分)在(2)的条件下，商店销售完这30台电风扇后能否实现利润为1 400元的目标？若能，直接写出相应的采购方案；若不能，请说明理由。
22.(10分)已知关于x，y的方程组的解都小于1，且关于x的不等式组无解。
(1)(5分)分别求出m和n的取值范围。
(2)(5分)化简：|m＋3|＋|1－m|＋|n＋2|。
23.(10分)为实现可持续发展，资源循环利用，建设“节约型社会”，某省出台阶梯电价计算方案，具体如下表所示：
档次 月用电量x/千瓦时 电价/(元/千瓦时)
1档 0＜x≤200 0.49
2档 200＜x≤400 0.54
3档 x＞400 0.79
例如：若某住户8月的用电量为300千瓦时，则需缴电费200×0.49＋(300－200)×0.54=152(元)。
(1)(5分)若小华家9月共缴电费162.8元，求该月小华家的用电量。
(2)(5分)由于9月花费过大，小华家决定节约用电，使得10月用电的平均费用不超过0.50元/千瓦时，用a(千瓦时)表示小华家10月的用电量，求a的取值范围。
24.(12分)新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“相依方程”。例如：方程x－1=3的解为x=4，而不等式组的解集为2＜x＜5，不难发现x=4在2＜x＜5的范围内，所以方程x－1=3是不等式组的“相依方程”。
(1)(2分)在方程①9x－3=0；②6(x＋2)－(x＋4)=23；③2x－3=0中，不等式组的“相依方程”是 (填序号)。
(2)(5分)若关于x的方程3x－k=6是不等式组的“相依方程”，求k的取值范围。
(3)(5分)若关于x的方程－2m=－是关于x的不等式组的“相依方程”，且此时不等式组有4个整数解，试求m的取值范围。第3章 一元一次不等式 能力评价
(满分：120分　时间：120分钟)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　
一、选择题(本题有10小题，每小题3分，共30分)
1.有下列各式：①4x＋3y≥0；②a＞3；③x2＋xy；④a2＋b2=c2；⑤x≠5。其中属于不等式是(　C　)
A.①② B.③④ C.①②⑤ D.①④⑤
2.若a＜b，则下列结论错误的是(　B　)
A.a＋2＜b＋2 B.3－a＜3－b
C.4a＜4b D.
3.如图，已知A，B两点在数轴上表示的数分别为a，b，则下列不等式中，成立的是(　C　)
A.ab＞0 B.a＋b＜0
C.(b－1)(a＋1)＞0 D.(b－1)(a－1)＞0
4.不等式组的解集在同一条数轴上表示正确的是(　A　)
A. B.
C. D.
5.不等式组的整数解为(　B　)
A.x=0 B.x=－1 C.x=－2 D.x=1
6.关于y的一元一次不等式组至少有3个整数解，则a的取值范围是(　B　)
A.1≤a≤2 B.a≥1 C.1≤a＜2 D.a＜2
【解析】
由①，得y＞－2。
由②，得y≤a，
∴原不等式组的解集为－2＜y≤a。
∵关于y的一元一次不等式组至少有3个整数解，
∴a≥1。
7.若关于x的不等式3x－m≥5的解集在数轴上表示如图所示，则m的值为
(　D　)
A. B.－1 C.－5 D.－8
【解析】 解不等式3x－m≥5，得x≥。
由数轴可知，不等式的解集为x≥－1，
∴=－1，解得m=－8。
8.若不等式组无解，则实数a的取值范围是(　D　)
A.a≥－1 B.a＜－1 C.a≤1 D.a≤－1
【解析】 解不等式x＋a≥0，得x≥－a。　
解不等式1－2x＞x－2，得x＜1。
又∵不等式组无解，∴－a≥1，∴a≤－1。
9.水果店进了某种水果1吨，进价7元/千克，售价11元/千克，卖掉一半后准备打折出售。如果要使总利润不低于3 450元，可以打(　D　)
A.七折 B.八折 C.八五折 D.九折
【解析】 设打x折出售，
由题意，得(11－7)×1 000×＋(11×0.1x－7)×1 000×≥3 450，
解得x≥9，即可以打九折。
10.若关于x的不等式组有解，则其中整数解的个数不可能是
(　C　)
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】 解不等式组，得＜x＜。
又∵原不等式组有解，
∴，解得m＜4，
∴＜1，＞1。
又∵－1=2－=2，
∴分三种情况讨论：
①假设原不等式组有1个整数解，
则易知这个整数解为1，
∴
解得2≤m＜4，符合题意，
∴原不等式组的解中，整数解的个数可能是1；
②假设原不等式组有2个整数解，
则易知这两个整数解为1，2，
∴
解得0≤m＜2，符合题意，
∴原不等式组的解中，整数解的个数可能是2；
③假设原不等式组有4个整数解，
则易知这四个整数解为0，1，2，3，
∴
解得－2≤m＜0，符合题意，
∴原不等式组的解中，整数解的个数可能是4。
综上所述，其中整数解的个数不可能是3，故选C。
二、填空题(本题有6小题，每小题3分，共18分)
11.(3分)“x的2倍与1的差不大于3”用不等式表示为　2x－1≤3　。
12.(3分)不等式组的解集是　x≥1　。
13.(3分)不等式组的所有整数解的和为　－2　。
【解析】 解不等式3x＋6≥0，得x≥－2。
解不等式4－2x＞0，得x＜2，
∴原不等式组的解集为－2≤x＜2，
∴整数解为－2，－1，0，1，
∴所有整数解的和为－2＋(－1)＋0＋1=－2。
14.(3分)若关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是　－2≤a＜－1　。
【解析】 由2x－3≤0得，x≤。
由x－a＞0得，x＞a。
∵此不等式组恰有3个整数解，
∴这3个整数解为1，0，－1，
∴－2≤a＜－1。
15.(3分)已知关于x，y的二元一次方程组的解满足x＞y，且关于x的不等式组无解，则a的最大整数值为　4　。
【解析】 解方程组
得
∵方程组的解满足x＞y，
∴2a＋1＞a－2，解得a＞－3。
解不等式组
得
∵关于x的不等式组
无解，
∴a－≤，解得a≤4，
∴－3＜a≤4，
∴a的最大整数值为4。
16.(3分)“绿波”是指车辆到达前方各路口时，均遇上绿灯的情况，因此能够提高通行效率。小亮爸爸行驶在最高限速80 km/h的路段上，
某时刻的导航界面如图所示，前方第一个路口显示绿灯倒计时32 s，第二个路口显示红灯倒计时44 s，此时车辆分别距离两个路口480 m和880 m。已知第一个路口红、绿灯设定时间分别是30 s，50 s，第二个路口红、绿灯设定时间分别是45 s，60 s。若不考虑其他因素，小亮爸爸以不低于40 km/h的车速全程匀速“绿波”通过这两个路口(在红、绿灯切换瞬间也可通过)，则车速v(km/h)的取值范围是　54≤v≤72　。
【解析】 v(km/h)= m/s。
根据题意，得
解得54≤v≤72，
∴车速v(km/h)的取值范围是54≤v≤72。
三、解答题(本题有8小题，共72分)
17.(8分)(1)(4分)解不等式3x＋2(13－x)＞28，并将解集表示在数轴上；
(2)(4分)解不等式组：
解：(1)去括号，得3x＋26－2x＞28。移项、合并同类项，得x＞2。
解集在数轴上表示如答图所示。
第17题答图
(2)解不等式2x＋1＞0，得x＞－。
解不等式＞x－1，得x＜2，
∴原不等式组的解集为－＜x＜2。
18.(8分)下面是小明解一元一次不等式≤x＋的过程，请认真阅读并解决相应的问题。
解：去分母，得x－1≤6x＋4。……第一步
移项，得x＋6x≤4－1。……第二步
合并同类项，得7x≤3。……第三步
两边都除以7，得x≤。……第四步
(1)(3分)小明的解答过程是从第　二　步开始出错的，这一步正确的结果为　x－6x≤4＋1　，此步的依据是　不等式的基本性质2　。
(2)(5分)请你写出此题正确的解答过程。
解：(2)去分母，得x－1≤6x＋4。
移项，得x－6x≤4＋1。
合并同类项，得－5x≤5。
两边都除以－5，得x≥－1。
19.(8分)解不等式组把解集表示在数轴上，并求其整数解。
解：
解不等式①，得x＞－2。
解不等式②，得x≤1。
在数轴上表示解集如答图。
第19题答图
∴不等式组的解集为－2＜x≤1，
∴不等式组的整数解为－1，0，1。
20.(8分)智能机器人的广泛应用是智慧农业的发展趋势之一。某品牌苹果采摘机器人的机械手能自动对成熟的苹果进行采摘，一个机器人可以搭载多个机械手同时工作。在正常工作状态下，该机器人的每一个机械手平均a秒采摘一个成熟的苹果，它的一个机械手用800秒采摘苹果的个数比用600秒采摘苹果的个数多25个。
(1)(3分)求a的值。
(2)(5分)现需要一定数量的苹果发往外地，采摘工作由多个机器人共同完成。每个机器人搭载4个相同的机械手，那么至少需要多少个这样的机器人同时工作1小时，才能使采摘的苹果个数不少于10 000个？
解：(1)由题意，得25a=800－600，解得a=8。
答：a的值为8。
(2)设需要x个这样的机器人，
由题意，得×4x≥10 000，解得x≥。
又∵x为正整数，∴x的最小值为6。
答：至少需要6个这样的机器人同时工作1小时，才能使采摘的苹果个数不少于10 000个。
21.(8分)某商店销售一批进价分别为200元、170元的A，B两种型号电风扇，表中是近两天的销售情况：
销售时段 销售数量 销售收入
A B
第一天 3台 5台 1 800元
第二天 4台 10台 3 100元
(进价、售价均保持不变，利润=销售收入－进货成本)
(1)(2分)求A，B两种型号电风扇的销售单价。
(2)(3分)若该商店老板准备用不多于5 400元的金额再购进这两种型号电风扇共30台，求A种型号电风扇最多能采购多少台。
(3)(3分)在(2)的条件下，商店销售完这30台电风扇后能否实现利润为1 400元的目标？若能，直接写出相应的采购方案；若不能，请说明理由。
解：(1)设A种型号的销售单价是x元，B种型号的销售单价是y元，
∴
∴
答：A种型号的电风扇的销售单价是250元，B种型号的电风扇的销售单价是210元。
(2)设采购m台A种型号的电风扇，则采购(30－m)台B种型号的电风扇，
∴200m＋170(30－m)≤5 400，
解得m≤10，
∴m的最大值为10。
答：A种型号的电风扇最多能采购10台。
(3)不能。理由如下：
∵(250－200)m＋(210－170)(30－m)=1 400，
解得m=20。
又∵m≤10，
∴m=20不符合题意，舍去。
答：商店销售完这30台电风扇后不能实现利润为1 400元的目标。
22.(10分)已知关于x，y的方程组的解都小于1，且关于x的不等式组无解。
(1)(5分)分别求出m和n的取值范围。
(2)(5分)化简：|m＋3|＋|1－m|＋|n＋2|。
解：(1)解方程组得
由题意，得
解得－3＜m＜1。
解不等式组，得x≥－5且x≤2n－1。
∵该不等式组无解，∴2n－1＜－5，
解得n＜－2。
(2)∵－3＜m＜1，n＜－2，
∴原式=m＋3＋1－m－n－2=2－n。
23.(10分)为实现可持续发展，资源循环利用，建设“节约型社会”，某省出台阶梯电价计算方案，具体如下表所示：
档次 月用电量x/千瓦时 电价/(元/千瓦时)
1档 0＜x≤200 0.49
2档 200＜x≤400 0.54
3档 x＞400 0.79
例如：若某住户8月的用电量为300千瓦时，则需缴电费200×0.49＋(300－200)×0.54=152(元)。
(1)(5分)若小华家9月共缴电费162.8元，求该月小华家的用电量。
(2)(5分)由于9月花费过大，小华家决定节约用电，使得10月用电的平均费用不超过0.50元/千瓦时，用a(千瓦时)表示小华家10月的用电量，求a的取值范围。
解：(1)∵200×0.49=98(元)，
200×0.49＋(400－200)×0.54=206(元)，98＜162.8＜206，
∴200＜x＜400。
设小华家9月的用电量为x千瓦时，
由题意，得200×0.49＋(x－200)×0.54=162.8，
解得x=320。
答：该月小华家的用电量为320千瓦时。
(2)分三种情况讨论：
①当0＜a≤200时，0.49a≤0.50a，符合题意；
②当200＜a≤400时，200×0.49＋(a－200)×0.54≤0.50a，
解得a≤250，∴200＜a≤250；
③当a＞400时，易知用电的平均费用超过206÷400=0.515(元/千瓦时)，故不合题意，舍去。
综上所述，a的取值范围是0＜a≤250。
24.(12分)新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“相依方程”。例如：方程x－1=3的解为x=4，而不等式组的解集为2＜x＜5，不难发现x=4在2＜x＜5的范围内，所以方程x－1=3是不等式组的“相依方程”。
(1)(2分)在方程①9x－3=0；②6(x＋2)－(x＋4)=23；③2x－3=0中，不等式组的“相依方程”是　②　(填序号)。
(2)(5分)若关于x的方程3x－k=6是不等式组的“相依方程”，求k的取值范围。
(3)(5分)若关于x的方程－2m=－是关于x的不等式组的“相依方程”，且此时不等式组有4个整数解，试求m的取值范围。
解：(1)①9x－3=0，解得x=；
②6(x＋2)－(x＋4)=23，解得x=3；
③2x－3=0，解得x=。
解得2＜x≤3。
根据新定义可得，方程②是不等式组的“相依方程”。
(2)
由①，得x＞－1。
由②，得x≤1，
∴不等式组的解集为－1＜x≤1。
∵3x－k=6，
∴x=。
根据“相依方程”的定义可得－1＜≤1，
∴－3＜k＋6≤3，
解得－9＜k≤－3。
(3)
由①，得x＞1。
由②，得x≤3m＋1，
∴不等式组的解集为1＜x≤3m＋1。
∵不等式组有4个整数解，
∴整数解为2，3，4，5，
∴5≤3m＋1＜6，
解得≤m＜。
∵－2m=－，
∴x=4m－5。
根据“相依方程”的定义可得1＜4m－5≤3m＋1，
即
解得＜m≤6，
综上所述，＜m＜。

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