资源简介

第5章 一次函数 能力评价
(满分：120分　时间：120分钟)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　
一、选择题(本题有10小题，每小题3分，共30分)
1.在长方形周长计算公式C=2(a＋b)中(长方形的长为a，宽为b，周长为C)，对长和宽不同的长方形，变量是( )
A.C B.a，b C.C，a，b D.C，2(a＋b)
2.一次函数y=kx＋2(k≠0)的函数值y随x的增大而减小，当x=－1时，y的值可以是( )
A.3 B.2 C.1 D.－1
3.在同一平面直角坐标系中，一次函数y=a(x－1)和y=－ax＋a(a≠0)的图象可能是( )
A. B. C. D.
4.已知将直线y=x－1向上平移2个单位长度后得到直线y=kx＋b(k≠0)，则下列关于直线y=kx＋b的说法正确的是　( )
A.经过第一、二、四象限 B.与x轴相交于点(1，0)
C.与y轴相交于点(0，1) D.y随x的增大而减小
5.已知一次函数y=kx＋b(k≠0)的图象经过点M(1，2)，且y随x的增大而增大。若点N在该函数的图象上，则点N的坐标可以是( )
A.(－2，2) B.(2，1) C.(－1，3) D.(3，4)
6.已知等腰三角形的周长为10，底边长y是腰长x的函数，则下列图象中，能正确反映y与x之间的函数关系的是( )
A. B. C. D.
7.声音在空气中传播的速度随温度的变化而变化，科学家测得一定温度下声音传播的速度v(m/s)与温度t(℃)部分对应数值如表：
温度t/℃ －10 0 10 30
声音传播的速度v/(m/s) 324 330 336 348
研究发现v，t满足公式v=at＋b(a，b为常数，且a≠0)，当温度t为15℃时，声音传播的速度v为( )
A.333 m/s B.339 m/s C.341 m/s D.342 m/s
8.甲、乙两地相距80 km，一辆汽车上午9：00从甲地出发驶往乙地，匀速行驶了一半的路程后将速度提高了20 km/h，并继续匀速行驶至乙地，汽车行驶的路程y(km)与时间x(h)之间的函数关系图象如图所示，则该车到达乙地的时刻是当天上午( )
A.10：35 B.10：40 C.10：45 D.10：50
9.已知(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)为直线y=－2x＋3上的三个点，且x1＜x2＜x3，则下列判断中，正确的是( )
A.若x1x2＞0，则y1y3＞0 B.若x1x3＜0，则y1y2＞0
C.若x2x3＞0，则y1y3＞0 D.若x2x3＜0，则y1y2＞0
10.某日，甲、乙两人相约在一条笔直的健身道路上锻炼，甲匀速健步从A地走向B地，途中偶遇一位朋友，驻足交流10 min后，继续以原速步行前进；乙因故比甲晚出发30 min，从A地跑步至B地后，立刻以原速返回，在返回途中与甲第二次相遇。如图所示的图象表示甲、乙两人之间的距离y(m)与甲出发的时间x(min)之间的函数关系。有以下结论：①甲、乙两人第一次相遇时，乙的跑步用时为20 min；②甲出发86 min时，甲、乙两人之间的距离达到最大值3 600 m；③甲、乙两人第二次相遇的时间是在甲出发后100 min；④A，B两地之间的距离为11 200 m。
其中正确的是( )
A.①② B.③④ C.①②③ D.①②④
二、填空题(本题有6小题，每小题3分，共18分)
11.(3分)将直线y=3x－1向上平移m个单位长度，若平移后的直线经过第一、二、三象限，则m的值可以是 (写出一个即可)。
12.(3分)已知一次函数y=－3x－6，当x＜－1时，y的值可以是 (写出一个合理的值即可)。
13.(3分)如图，直线y=kx＋b(k≠0)过A(－1，2)，B(－2，0)两点，则0≤kx＋b≤－2x的解集为 。
　　
第13题图　
14.(3分)已知直线y=m(x＋1)(m≠0)与直线y=n(x－2)(n≠0)的交点在y轴上，则的值是 。
15.(3分)一个装有进水管和出水管的容器，开始时，先打开进水管注水，3分钟时，再打开出水管排水，8分钟时，关闭进水管，直至容器中的水全部排完。在整个过程中，容器中的水量y(升)与时间x(分)之间的函数关系如图所示，则图中a的值为 。
16.(3分)已知直线y1=x，y2=－x＋b，y3=2x－b(b＞0)。若无论x取何值，y总取y1，y2，y3中的最小值，则当x= 时，y的值最大(用含b的代数式表示)。
三、解答题(本题有8小题，共72分)
17.(8分)已知y是x的正比例函数，且当x=－时，y=2。求：
(1)(4分)y关于x的函数表达式。
(2)(4分)当y=－4时，自变量x的值。
18.(8分)在平面直角坐标系中，已知点P(－3，－2)，A(3，1)。
(1)(2分)写出点P到x轴的距离。
(2)(3分)求出直线PA的表达式。
(3)(3分)若点B在此直线上，求a的值。
19.(8分)如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx＋b(k≠0)的图象分别与x轴、y轴相交于点B(12，0)和点C(0，12)，并与正比例函数y=x的图象相交于点A。求：
(1)(4分)直线BC的表达式。
(2)(4分)△AOC的面积。
20.(8分)已知一次函数y=mx－m－1(m为常数且m≠0)。
(1)(2分)若一次函数经过点(2，5)，求此时函数的表达式。
(2)(3分)若一次函数不经过第三象限，求m的取值范围。
(3)(3分)若函数在－2≤x≤2的范围内，至少有一个x的值使得y≥0，求m的取值范围。
21.(8分)在平面直角坐标系中，已知点M(m，n)，我们将点M的横、纵坐标都乘－1，得到点N(－m，－n)，同时给出如下定义：对于直线l：y=kx＋b(k≠0)，若满足点N在直线l上，则称点M为直线l的“反点”。
(1)(6分)已知直线y=x＋2，
①(3分)判断点A(1，－1)是不是直线y=x＋2的“反点”，并说明理由。
②(3分)若B是直线y=－x＋1上一点，同时也是直线y=x＋2的“反点”，求出点B的坐标。
(2)(2分)C(a，b)是直线y=kx＋2k(k＞0)的“反点”，当b＞0时，求a的取值范围。
22.(10分)请根据以下素材，完成探究任务。
关于出票问题的探究
素材1 为提升市民审美品味和高雅文化消费，综合剧场(可容纳1 200名观众)每月都会上演若干场高品质的剧目。按文化和旅游部的相关规定，剧院等演出场所的上座率原则上不得超过75%。
素材2 “每月一剧”惠民计划：为进一步提升辖区居民的幸福感，文化中心联合辖区推出惠民观剧活动，辖区居民只需40元即可购买一张当月上演的一场剧目前往观剧，数量有限，先购先得!
素材3 2026年3月的一场话剧推出A，B两种观赏票价，并参与“每月一剧”惠民购票活动。已知购买A种票10张、B种票5张，共需3 700元；购买2张B种票比购买1张A种票多出的费用，可购得惠民票2张。
续表
关于出票问题的探究
问题解决
任务1 (1)(3分)据悉，该话剧深受广大市民欢迎，若上座人数恰好达到相关规定的上限，则观剧人数有 人。
任务2 (2)(3分)设该话剧A种票价a元，B种票价b元，请求出a，b的值。
任务3 (3)(4分)在3月14日的话剧惠民演出中，持A种票的人数为y人，持B种票的人数为x人。若A种票的持票人数y与B种票的持票人数x满足如图所示函数图象(其中x取正整数)。且惠民票共200张全部售出，请写出该场话剧票务收入w与x的函数表达式，并求出该场话剧的最大票务收入。
23.(10分)甲、乙两车分别从相距15 km的科学宫和博物馆同时匀速相向而行。甲车出发10 min后，由于交通管制，停止了2 min，再出发时速度比原来减少15 km/h，并安全到达终点。甲、乙两车距科学宫的路程y(单位：km)与两车行驶时间x(单位：h)的图象如图所示。
(1)(3分)填空：a= 。
(2)(4分)求乙车距科学宫的路程y与两车行驶时间x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围。
(3)(3分)当x= h时，甲、乙两车相遇。
24.(12分)【模型建立】(1)(4分)如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，CB=CA，直线ED经过点C，过点A作AD⊥ED，过点B作BE⊥ED，垂足分别为D，E。求证：△BEC≌△CDA。
【模型应用】(2)(4分)如图2，已知直线y=x＋3与y轴相交于点A，与x轴相交于点B，将线段AB绕点B逆时针旋转90°，得到线段BC，过点A，C作直线，求直线AC的函数表达式。
(3)(4分)如图3，四边形ABCO为长方形，O为坐标原点，点B的坐标为(8，6)，点A，C分别在y轴、x轴上，P是线段BC上的动点，已知点D在第一象限，且是直线y=2x－5上的一点。若△APD是不以A为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出所有符合条件的点D的坐标。
　　　
图1 图2
　　　
图3第5章 一次函数 能力评价
(满分：120分　时间：120分钟)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　
一、选择题(本题有10小题，每小题3分，共30分)
1.在长方形周长计算公式C=2(a＋b)中(长方形的长为a，宽为b，周长为C)，对长和宽不同的长方形，变量是(　C　)
A.C B.a，b C.C，a，b D.C，2(a＋b)
2.一次函数y=kx＋2(k≠0)的函数值y随x的增大而减小，当x=－1时，y的值可以是(　A　)
A.3 B.2 C.1 D.－1
3.在同一平面直角坐标系中，一次函数y=a(x－1)和y=－ax＋a(a≠0)的图象可能是(　B　)
A. B. C. D.
4.已知将直线y=x－1向上平移2个单位长度后得到直线y=kx＋b(k≠0)，则下列关于直线y=kx＋b的说法正确的是　(　C　)
A.经过第一、二、四象限 B.与x轴相交于点(1，0)
C.与y轴相交于点(0，1) D.y随x的增大而减小
5.已知一次函数y=kx＋b(k≠0)的图象经过点M(1，2)，且y随x的增大而增大。若点N在该函数的图象上，则点N的坐标可以是(　D　)
A.(－2，2) B.(2，1) C.(－1，3) D.(3，4)
【解析】 根据题意，得k＞0，
把点M(1，2)，(－2，2)代入y=kx＋b，得解得k=0，故A选项不符合题意；
把点M(1，2)，(2，1)代入y=kx＋b，得解得k=－1，故B选项不符合题意；
把点M(1，2)，(－1，3)代入y=kx＋b，得解得k=－，故C选项不符合题意；
把点M(1，2)，(3，4)代入y=kx＋b，得解得k=1，故D选项符合题意。
6.已知等腰三角形的周长为10，底边长y是腰长x的函数，则下列图象中，能正确反映y与x之间的函数关系的是(　D　)
A. B. C. D.
【解析】 由题意，得y=10－2x。
∵∴2.5＜x＜5，
∴符合要求的图象是D。
7.声音在空气中传播的速度随温度的变化而变化，科学家测得一定温度下声音传播的速度v(m/s)与温度t(℃)部分对应数值如表：
温度t/℃ －10 0 10 30
声音传播的速度v/(m/s) 324 330 336 348
研究发现v，t满足公式v=at＋b(a，b为常数，且a≠0)，当温度t为15℃时，声音传播的速度v为(　B　)
A.333 m/s B.339 m/s C.341 m/s D.342 m/s
【解析】 将t=0，v=330和t=10，v=336分别代入v=at＋b，
得解得
∴v与t之间的函数关系式为v=0.6t＋330。
当t=15时，v=0.6×15＋330=339，
∴当温度t为15℃时，声音传播的速度v为339 m/s。
8.甲、乙两地相距80 km，一辆汽车上午9：00从甲地出发驶往乙地，匀速行驶了一半的路程后将速度提高了20 km/h，并继续匀速行驶至乙地，汽车行驶的路程y(km)与时间x(h)之间的函数关系图象如图所示，则该车到达乙地的时刻是当天上午(　B　)
A.10：35 B.10：40 C.10：45 D.10：50
【解析】 由图象得，汽车行驶前一半路程(40 km)所用的时间是1 h，
∴速度为40÷1=40(km/h)，
∴行驶后一半路程的速度是40＋20=60(km/h)，
∴行驶后一半路程所用的时间为40÷60=(h)。
又∵h=40 min，
∴该车一共行驶了1 h 40 min到达乙地，
∴到达乙地的时刻是当天上午10：40。
9.已知(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)为直线y=－2x＋3上的三个点，且x1＜x2＜x3，则下列判断中，正确的是(　D　)
A.若x1x2＞0，则y1y3＞0 B.若x1x3＜0，则y1y2＞0
C.若x2x3＞0，则y1y3＞0 D.若x2x3＜0，则y1y2＞0
【解析】 若x2x3＜0，则x2＜0，x3＞0。
∵k=－2＜0，x1＜x2＜0，
∴y1＞y2＞0，故y1y2＞0。
其他三个选项无法由题设推出结论，故选D。
10.某日，甲、乙两人相约在一条笔直的健身道路上锻炼，甲匀速健步从A地走向B地，途中偶遇一位朋友，驻足交流10 min后，继续以原速步行前进；乙因故比甲晚出发30 min，从A地跑步至B地后，立刻以原速返回，在返回途中与甲第二次相遇。如图所示的图象表示甲、乙两人之间的距离y(m)与甲出发的时间x(min)之间的函数关系。有以下结论：①甲、乙两人第一次相遇时，乙的跑步用时为20 min；②甲出发86 min时，甲、乙两人之间的距离达到最大值3 600 m；③甲、乙两人第二次相遇的时间是在甲出发后100 min；④A，B两地之间的距离为11 200 m。
其中正确的是(　D　)
A.①② B.③④ C.①②③ D.①②④
【解析】 ∵乙比甲晚出发30 min，且当x=50时，y=0，
∴乙出发50－30=20(min)时，两人第一次相遇，
即甲、乙两人第一次相遇时，乙的跑步用时为20 min，①正确。
观察函数图象可知，当x=86时，y取得最大值3 600，
∴甲出发86 min时，甲、乙两人之间的距离达到最大值3 600 m，②正确。
设甲的速度为x(m/min)，乙的速度为y(m/min)，
根据题意，得
解得
∴86＋=86＋=98，
∴甲、乙两人第二次相遇的时间是在甲出发后98 min，③错误。
∵200×(86－30)=11 200(m)，
∴A，B两地之间的距离是11 200 m，④正确。
综上所述，正确的是①②④。
二、填空题(本题有6小题，每小题3分，共18分)
11.(3分)将直线y=3x－1向上平移m个单位长度，若平移后的直线经过第一、二、三象限，则m的值可以是　2(答案不唯一)　(写出一个即可)。
12.(3分)已知一次函数y=－3x－6，当x＜－1时，y的值可以是　1(答案不唯一)　(写出一个合理的值即可)。
13.(3分)如图，直线y=kx＋b(k≠0)过A(－1，2)，B(－2，0)两点，则0≤kx＋b≤－2x的解集为　－2≤x≤－1　。
　　
第13题图　 第13题答图
【解析】 如答图，在平面直角坐标系中作直线OA。
易得直线OA的函数表达式为y=－2x，
∴由图象得，当－2≤x≤－1时，0≤kx＋b≤－2x。
14.(3分)已知直线y=m(x＋1)(m≠0)与直线y=n(x－2)(n≠0)的交点在y轴上，则的值是　－　。
【解析】 当x=0时，y=m(x＋1)=m，y=n(x－2)=－2n。
∵直线y=m(x＋1)(m≠0)与直线y=n(x－2)(n≠0)的交点在y轴上，
∴m=－2n，∴=－。
15.(3分)一个装有进水管和出水管的容器，开始时，先打开进水管注水，3分钟时，再打开出水管排水，8分钟时，关闭进水管，直至容器中的水全部排完。在整个过程中，容器中的水量y(升)与时间x(分)之间的函数关系如图所示，则图中a的值为 　。
【解析】 设出水管每分钟排水x升，
由图象知，进水管每分钟进水10升，则有8×10－5x=20，∴x=12，
∴8分钟后的排水时间为(分)，8＋(分)，∴a=。
16.(3分)已知直线y1=x，y2=－x＋b，y3=2x－b(b＞0)。若无论x取何值，y总取y1，y2，y3中的最小值，则当x= b　时，y的值最大(用含b的代数式表示)。
【解析】 由题意可知三条直线两两相交，
由得
由得
由得
如答图，三个交点分别为A，B，C(b，b)，
第16题答图
当x≤b时，y3的值最小，
∴y=y3。
又∵y3的值随x的增大而增大，
∴当x=b时，y的值最大，为b。
当x≥b时，y2的值最小，
∴y=y2，
又∵y2的值随x的增大而减小，
∴当x=b时，y的值最大，为b。
综上所述，当x=b时，y的值最大。
三、解答题(本题有8小题，共72分)
17.(8分)已知y是x的正比例函数，且当x=－时，y=2。求：
(1)(4分)y关于x的函数表达式。
(2)(4分)当y=－4时，自变量x的值。
解：(1)设y关于x的函数表达式为y=kx(k≠0)，
把x=－，y=2代入，
得2=k·，
∴解得k=－4，
∴y关于x的函数表达式为y=－4x。
(2)当y=－4时，－4=－4x，
∴x=1。
18.(8分)在平面直角坐标系中，已知点P(－3，－2)，A(3，1)。
(1)(2分)写出点P到x轴的距离。
(2)(3分)求出直线PA的表达式。
(3)(3分)若点B在此直线上，求a的值。
解：(1)点P到x轴的距离为2。
(2)设直线PA的表达式为y=kx＋b(k≠0)，
把点P(－3，－2)，A(3，1)分别代入，
得
解得
∴直线PA的表达式为y=x－。
(3)当x=a－3时，y=(a－3)－a－2，
若点B在直线上，则a－2=a，
解得a=－12。
19.(8分)如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx＋b(k≠0)的图象分别与x轴、y轴相交于点B(12，0)和点C(0，12)，并与正比例函数y=x的图象相交于点A。求：
(1)(4分)直线BC的表达式。
(2)(4分)△AOC的面积。
解：(1)将点B和点C的坐标代入y=kx＋b，得
解得
∴直线BC的表达式为y=－x＋12。
(2)由－x＋12=x，得x=8，
则－x＋12=4，
∴点A的坐标为(8，4)，
∴S△AOC=×12×8=48。
20.(8分)已知一次函数y=mx－m－1(m为常数且m≠0)。
(1)(2分)若一次函数经过点(2，5)，求此时函数的表达式。
(2)(3分)若一次函数不经过第三象限，求m的取值范围。
(3)(3分)若函数在－2≤x≤2的范围内，至少有一个x的值使得y≥0，求m的取值范围。
解：(1)∵一次函数y=mx－m－1(m为常数且m≠0)的图象经过点(2，5)，
∴5=2m－m－1，
解得m=6，
∴y=6x－7。
(2)∵一次函数y=mx－m－1(m为常数且m≠0)的图象不经过第三象限，
∴
解得m≤－1，
∴m的取值范围是m≤－1。
(3)一次函数y=mx－m－1(m为常数且m≠0)中，
当m＜0时，y随x的增大而减小。
∵至少有一个x的值使得y≥0，
∴当x=－2时，有－2m－m－1≥0，
解得m≤－；
当m＞0时，y随x的增大而增大。
∴当x=2时，有2m－m－1≥0，
解得m≥1，
∴m的取值范围是m≥1或m≤－。
21.(8分)在平面直角坐标系中，已知点M(m，n)，我们将点M的横、纵坐标都乘－1，得到点N(－m，－n)，同时给出如下定义：对于直线l：y=kx＋b(k≠0)，若满足点N在直线l上，则称点M为直线l的“反点”。
(1)(6分)已知直线y=x＋2，
①(3分)判断点A(1，－1)是不是直线y=x＋2的“反点”，并说明理由。
②(3分)若B是直线y=－x＋1上一点，同时也是直线y=x＋2的“反点”，求出点B的坐标。
(2)(2分)C(a，b)是直线y=kx＋2k(k＞0)的“反点”，当b＞0时，求a的取值范围。
解：(1)①是。理由如下：
当x=－1时，y=－1＋2=1，
∴点(－1，1)在直线y=x＋2上，
∴点A(1，－1)是直线y=x＋2的“反点”。
②设点B(m，n)。
∵B(m，n)是直线y=－x＋1上一点，
∴n=－m＋1。
又∵B(m，n)也是直线y=x＋2的“反点”，
∴－n=－m＋2，
∴－(－m＋1)=－m＋2，解得m=，n=－，
∴点B。
(2)∵C(a，b)是直线y=kx＋2k(k＞0)的“反点”，
∴－b=－ak＋2k，即b=ak－2k。
∵b＞0，
∴ak－2k＞0，即ak＞2k。
又∵k＞0，∴a＞2。
22.(10分)请根据以下素材，完成探究任务。
关于出票问题的探究
素材1 为提升市民审美品味和高雅文化消费，综合剧场(可容纳1 200名观众)每月都会上演若干场高品质的剧目。按文化和旅游部的相关规定，剧院等演出场所的上座率原则上不得超过75%。
素材2 “每月一剧”惠民计划：为进一步提升辖区居民的幸福感，文化中心联合辖区推出惠民观剧活动，辖区居民只需40元即可购买一张当月上演的一场剧目前往观剧，数量有限，先购先得!
素材3 2026年3月的一场话剧推出A，B两种观赏票价，并参与“每月一剧”惠民购票活动。已知购买A种票10张、B种票5张，共需3 700元；购买2张B种票比购买1张A种票多出的费用，可购得惠民票2张。
续表
关于出票问题的探究
问题解决
任务1 (1)(3分)据悉，该话剧深受广大市民欢迎，若上座人数恰好达到相关规定的上限，则观剧人数有　900　人。
任务2 (2)(3分)设该话剧A种票价a元，B种票价b元，请求出a，b的值。
任务3 (3)(4分)在3月14日的话剧惠民演出中，持A种票的人数为y人，持B种票的人数为x人。若A种票的持票人数y与B种票的持票人数x满足如图所示函数图象(其中x取正整数)。且惠民票共200张全部售出，请写出该场话剧票务收入w与x的函数表达式，并求出该场话剧的最大票务收入。
解：(1)设观剧人数为x人，则×100%≤75%，解得x≤900，
∴x的最大值为900。
(2)由题意，得
∴
答：该话剧的A种票价为280元，B种票价为180元。
(3)设y=kx＋b，
∴
∴
∴y=－2x＋1 000，
∴w=280y＋180x＋40×200=280(－2x＋1 000)＋180x＋8 000=－380x＋288 000。
∵－380＜0，
∴w随x的增大而减小。
∵300≤x≤500，
∴当x=300时，w取最大值，为－380×300＋288 000=174 000(元)。
答：该场话剧的最大票务收入174 000元。
23.(10分)甲、乙两车分别从相距15 km的科学宫和博物馆同时匀速相向而行。甲车出发10 min后，由于交通管制，停止了2 min，再出发时速度比原来减少15 km/h，并安全到达终点。甲、乙两车距科学宫的路程y(单位：km)与两车行驶时间x(单位：h)的图象如图所示。
(1)(3分)填空：a= 　。
(2)(4分)求乙车距科学宫的路程y与两车行驶时间x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围。
(3)(3分)当x= 　h时，甲、乙两车相遇。
解：(1)a=。
(2)设乙车距科学宫的路程y与两车行驶时间x的函数关系式为y=kx＋b(k，b为常数，且k≠0)。
将点(0，15)，分别代入y=kx＋b，
得
解得
∴乙车距科学宫的路程y与两车行驶时间x的函数关系式为y=－45x＋15。
(3)设甲车出发10 min内的速度为v(km/h)，则再出发时速度为(v－15)km/h，
根据题意，得v＋(v－15)=15，
解得v=60，
∴当0≤x≤时，甲车距科学宫的路程y与两车行驶时间x的函数关系式为y=60x，
当甲、乙两车相遇时，得60x=－45x＋15，
解得x=，
∴当x= h时，甲、乙两车相遇。
24.(12分)【模型建立】(1)(4分)如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，CB=CA，直线ED经过点C，过点A作AD⊥ED，过点B作BE⊥ED，垂足分别为D，E。求证：△BEC≌△CDA。
【模型应用】(2)(4分)如图2，已知直线y=x＋3与y轴相交于点A，与x轴相交于点B，将线段AB绕点B逆时针旋转90°，得到线段BC，过点A，C作直线，求直线AC的函数表达式。
(3)(4分)如图3，四边形ABCO为长方形，O为坐标原点，点B的坐标为(8，6)，点A，C分别在y轴、x轴上，P是线段BC上的动点，已知点D在第一象限，且是直线y=2x－5上的一点。若△APD是不以A为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出所有符合条件的点D的坐标。
　　　
图1 图2
　　　
图3
解：(1)∵∠ACB=90°，
∴∠EBC＋∠BCE=∠BCE＋∠ACD=90°，
∴∠EBC=∠ACD。
在△BEC和△CDA中，
∵
∴△BEC≌△CDA(AAS)。
(2)如答图1，过点C作CD⊥x轴于点D。
第24题答图1
∵直线y=x＋3与y轴相交于点A，与x轴交于点B，
令y=0，得x=－4，令x=0，得y=3，
∴OA=3，OB=4。
同(1)可证得△CDB≌△BOA，
∴CD=BO=4，BD=AO=3，
∴OD=4＋3=7，
∴点C(－7，4)，且点A(0，3)。
设直线AC的函数表达式为y=kx＋3(k≠0)，
把点C的坐标代入，得4=－7k＋3，解得k=－，
∴直线AC的函数表达式为y=－x＋3。
(3)∵点B的坐标为(8，6)，
∴AB=8，BC=6。
分情况讨论：
①如答图2，当∠ADP=90°，AD=PD时，过点D作EF⊥AO，交BC于点F，则EF⊥BC。
第24题答图2
由(1)可得，△ADE≌△DPF，
∴AE=DF，PF=DE。
设点D(x，2x－5)，
∴DE=x，DF=AE=8－x，
∴8－x＋2x－5=6，
∴x=3，∴点D(3，1)；
②如答图3，当∠ADP=90°，AD=PD时，同①可求得点D；
第24题答图3
③如答图4，当∠APD=90°，AP=PD时。
第24题答图4
设点P的坐标为(8，m)，则同①易知点D的坐标为(14－m，m＋8)。
由m＋8=2(14－m)－5，得m=5，
∴点D(9，13)。
综上所述，点D的坐标为(3，1)或或(9，13)。

展开更多......

收起↑