资源简介

专题1　三角形
　　　　　　 　　　　　　　　　　　　
题型一　三角形的三边关系
【典例1】 若三角形的三边长分别为3，2a－1，4，则a的取值范围是 。
【点悟】 已知三角形的两边长，可根据三角形的三边关系确定第三边长的取值范围：两边之差的绝对值＜第三边＜两边之和。
【变式1－1】 已知△ABC的三边长为a，b，c，且a，b，c都是整数。
(1)若a=2，b=5，且c为奇数，求△ABC的周长。
(2)化简：|a－c＋b|－|b－c－a|－|a＋b＋c|。
【变式1－2】 若△ABC的三边长分别为a，b，c，且|a－1|＋(b－3)2=0，则c的取值范围是 。
题型二　三角形的内角和与外角的性质
【典例2】 如图，在△ABC中，D是边AB上一点，H是BC边上一点，过点H作HF∥CD交AB于点F，E是AC边上一点，连结DE，∠FHC＋∠CDE=180°。
(1)判断DE与BC是否平行，并说明理由。
(2)若DE平分∠ADC，∠ACD=35°，∠DEC=∠DCB＋45°，求∠B的度数。
典例2图
【变式2】 问题背景：∠AOB=90°，点M，N分别在OA，OB上运动(不与点O重合)。
(1)问题思考：如图1，MP，NP分别是∠AMN和∠MNB的平分线，则∠MPN= °。
(2)问题解决：如图2，若MC是∠AMN的平分线，MC的反向延长线与∠MNO的平分线相交于点P。
①若∠MNO=60°，则∠P= °。
②随着点M，N的运动，∠P的大小会变吗？如果不变，求∠P的度数；如果会变，请说明理由。
(3)问题拓展：在图2的基础上，如果∠AOB=α，其余条件不变，随着点M，N的运动(如图3)，求∠P的度数(直接写出答案，用含α的代数式表示)。
图1 图2 图3
变式2图
题型三　全等三角形的判定与性质
【典例3】 (1)如图1，AD⊥DE，BE⊥DE，点C在线段DE上，AC=BC且AC⊥BC，求证：△ADC≌△CEB。
(2)如图2，点D，C，E在直线l上，点A，B在l的同侧，AC⊥BC。若AD=AC=BC=BE=5 cm，CD=6 cm，求CE的长。
典例3图
【变式3】 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D在边AC上，AE⊥BD交BD的延长线于点E。
(1)若AD是△BAE的角平分线，说明∠ABD与∠CBD的数量关系。
(2)若点D同时在AB的垂直平分线上，求证：CD=DE。
(3)若AC=BC，BD是∠ABC的平分线，直接写出AE与BD的数量关系。
变式3图
题型四　角平分线与线段垂直平分线的性质
【典例4】 如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，有下列结论：①CD=ED；②AC＋BE=AB；③∠BDE=∠BAD；④DA平分∠CDE。其中正确的是( )
典例4图
A.①③ B.②④
C.①②④ D.①②③④
【变式4】 本学期我们学习了三角形与特殊三角形的相关知识，老师设计了“研数学——三角形篇”项目作业：如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，请回答下列问题：
(1)求线段AB的长。
(2)用尺规作图得到的直线m交BC边于点P，连结AP，通过作图痕迹求出△APC的面积。
变式4图
题型五　全等三角形的探究问题
【典例5】 【探究发现】(1)如图1，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D为BC的中点，E，F分别是边AC，AB上的两点。若∠EDF=90°，∠BDF=40°，则
①∠ADE的度数为 °。
②线段AE，AF，AB之间满足的数量关系为 。
典例5图1
【应用类比】
(2)如图2，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，D为BC的中点，E，F分别是边AC，AB上的两点。若满足∠EDF=60°，试探究线段AE，AF，AB之间的数量关系，并说明理由。
典例5图2
【拓展延伸】(3)如图3，在△ABC中，AB=AC=8，∠BAC=120°，D为BC的中点，E，F分别是直线AC，AB上的两点。若满足CE=3，∠EDF=60°，求AF的长。
典例5图3
1.下列长度的三条线段，能组成三角形的是( )
A.2，2，4 B.5，6，12
C.5，7，2 D.8，8，1
2.在△ABC和△A'B'C'中，∠A=∠A'，AB=A'B'，下列判断中，错误的是( )
A.若添加条件AC=A'C'，则△ABC≌△A'B'C'
B.若添加条件BC=B'C'，则△ABC≌△A'B'C'
C.若添加条件∠B=∠B'，则△ABC≌△A'B'C'
D.若添加条件∠C=∠C'，则△ABC≌△A'B'C'
3.如图，AB∥CD，∠A=70°，∠C=40°，则∠E的度数为( )
A.30° B.40° C.60° D.70°
4.将一副三角尺按如图所示的方式放置，则∠AOD的度数为( )
A.75° B.100° C.105° D.120°
5.如图，在四边形ABCD中，E是BC的中点，连结AC，AE。若AB=AC，AE=CD，AD=CE，则图中的全等三角形有( )
A.0对 B.1对 C.2对 D.3对
6.如图，分别以线段AB的两端点A，B为圆心，大于AB长为半径画弧，在线段AB的两侧分别相交于点E，F，作直线EF交AB于点O。在直线EF上任取一点P(不与点O重合)，连结PA，PB，给出下列结论：①PA=PB；②OA=OB；③OP=OF；④PO⊥AB。其中一定成立的是( )
A.①② B.①②③ C.①②④ D.③④
7.如图，AB=AE，AB∥DE，请再添加一个条件： ，使△ABC≌△EAD。
第7题图
8.小明将如下题目整理到自己的错题本中，题目为“如图，点C，E，F，B在同一条直线上，AE∥DF，且BF=CE，∠A=∠D，求证：AB=CD。”请你帮他补充题目的解答过程。
题目来源 教材1.5例5变式 图形呈现
关键已知 ①AE∥DF ②BF=CE ③∠A=∠D 第8题图
解题过程
9.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D是线段BC上一点(不与点B，C重合)，以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连结CE。
(1)△ABD与△ACE全等吗？请说明理由。
(2)求∠BCE的度数。
第9题图
10.已知a，b，c是△ABC的三边长，化简|a＋b－c|－|c－a－b|的结果是( )
A.2a＋2b－2c B.2a＋2b
C.2c D.0
11.求证：如果两个三角形有两条边和其中一条边上的中线对应相等，那么这两个三角形全等(要求：先写出已知和求证，然后画出图形，再结合图形用数学符号表示已知和求证，最后再证明)。
12.如图1，在Rt△ABC中，AC=BC=4，∠ACB=90°，E是线段CB上一点(不与点C重合)，过点E作EM⊥BC交AB于点M，D是CA延长线上一点，连结DE交AB于点F，AD=BE。
(1)求证：DF=EF。
(2)如图2，过点F作GF⊥DE，交AC于点G，若CG=GF。
①证明：∠D=30°。
②求EB的长(结果不化简)。
　　
第12题图
13.综合与实践
【建立模型】
(1)如图1，△ABC为等边三角形，点D在BC的延长线上，在BD的同侧以CD为边构造等边三角形CDE，连结BE，AD相交于点F。求证：BE=AD，并直接写出∠AFB的度数。
【应用模型】
(2)①如图2，在△ABC中，AD平分∠BAC，且AD=AC，点E在AD的延长线上，且AB=AE，连结BE，CE，求证：BE=CE。
②如图3，△ABC和△ADE都是等腰三角形，∠BAC=∠DAE=90°，点C恰好在ED的延长线上，连结BD，若AB=4，AE=2，求△BDC的面积。
　　　　
第13题图专题1　三角形
　　　　　　 　　　　　　　　　　　　
题型一　三角形的三边关系
【典例1】 若三角形的三边长分别为3，2a－1，4，则a的取值范围是　1＜a＜4　。
【点悟】 已知三角形的两边长，可根据三角形的三边关系确定第三边长的取值范围：两边之差的绝对值＜第三边＜两边之和。
【变式1－1】 已知△ABC的三边长为a，b，c，且a，b，c都是整数。
(1)若a=2，b=5，且c为奇数，求△ABC的周长。
(2)化简：|a－c＋b|－|b－c－a|－|a＋b＋c|。
解：(1)由三角形三边关系定理可得，5－2＜c＜5＋2，
∴3＜c＜7。
又∵c为奇数，
∴c=5，
∴△ABC的周长=a＋b＋c=2＋5＋5=12。
(2)由三角形三边关系定理可得，a＋b＞c，a＋c＞b，
∴a－c＋b＞0，b－c－a＜0，
∴|a－c＋b|－|b－c－a|－|a＋b＋c|
=a－c＋b－[－(b－c－a)]－(a＋b＋c)
=a－c＋b＋b－c－a－a－b－c
=b－a－3c。
【变式1－2】 若△ABC的三边长分别为a，b，c，且|a－1|＋(b－3)2=0，则c的取值范围是　2＜c＜4　。
题型二　三角形的内角和与外角的性质
【典例2】 如图，在△ABC中，D是边AB上一点，H是BC边上一点，过点H作HF∥CD交AB于点F，E是AC边上一点，连结DE，∠FHC＋∠CDE=180°。
(1)判断DE与BC是否平行，并说明理由。
(2)若DE平分∠ADC，∠ACD=35°，∠DEC=∠DCB＋45°，求∠B的度数。
典例2图
解：(1)DE∥BC。理由如下：
∵HF∥CD，
∴∠DCB＋∠FHC=180°。
∵∠FHC＋∠CDE=180°，
∴∠DCB=∠CDE，
∴DE∥BC。
(2)∵DE∥BC，
∴∠DEC＋∠ECB=180°。
∵∠ACD=35°，∠DEC=∠DCB＋45°，
∴∠DCB＋45°＋35°＋∠DCB=180°，
解得∠DCB=50°，
∴∠EDC=∠DCB=50°。
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE=∠EDC=50°。
∵DE∥BC，
∴∠B=∠ADE=50°。
【点悟】 “三角形的内角和等于180°”与“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和”是解决三角形中角度计算问题的基本依据。
【变式2】 问题背景：∠AOB=90°，点M，N分别在OA，OB上运动(不与点O重合)。
(1)问题思考：如图1，MP，NP分别是∠AMN和∠MNB的平分线，则∠MPN=　45　°。
(2)问题解决：如图2，若MC是∠AMN的平分线，MC的反向延长线与∠MNO的平分线相交于点P。
①若∠MNO=60°，则∠P=　45　°。
②随着点M，N的运动，∠P的大小会变吗？如果不变，求∠P的度数；如果会变，请说明理由。
(3)问题拓展：在图2的基础上，如果∠AOB=α，其余条件不变，随着点M，N的运动(如图3)，求∠P的度数(直接写出答案，用含α的代数式表示)。
图1 图2 图3
变式2图
解：(1)∵∠AOB=90°，
∴∠OMN＋∠ONM=180°－∠AOB=90°，
∴∠AMN＋∠MNB=180°×2－(∠OMN＋∠ONM)=270°。
∵MP，NP分别是∠AMN和∠MNB的平分线，
∴∠PMN=∠AMN，∠PNM=∠MNB，
∴∠PMN＋∠PNM=(∠AMN＋∠MNB)=135°，
∴∠MPN=180°－(∠PMN＋∠PNM)=180°－135°=45°。
(2)①∵∠NOM=90°，∠MNO=60°，
∴∠NMO=180°－∠NOM－∠MNO=30°，
∴∠NMA=180°－∠NMO=150°。
∵MC是∠AMN的平分线，
∴∠OMP=∠CMA=∠NMA=75°。
∵NP平分∠MNO，
∴∠PNM=∠MNO=30°，
∴∠P=180°－∠NMO－∠OMP－∠PNM=180°－30°－75°－30°=45°。
②∠P的度数不随点M，N的运动而发生变化。
设∠MNP=x。
∵NP平分∠MNO，∴∠MNO=2x。
又∵∠NOM=90°，
∴∠NMA=∠NOM＋∠MNO=90°＋2x。
又∵MC平分∠NMA，
∴∠NMC=∠NMA=45°＋x。
又∵∠NMC=∠P＋∠MNP，
∴∠P=∠NMC－∠MNP=45°＋x－x=45°。
(3)∠P=α。理由如下：
设∠MNP=x。
∵NP平分∠MNO，∴∠MNO=2x。
又∵∠MON=α，
∴∠NMA=∠MON＋∠MNO=α＋2x。
又∵MC平分∠NMA，
∴∠NMC=∠NMA=α＋x。
又∵∠NMC=∠P＋∠MNP，
∴∠P=∠NMC－∠MNP=α＋x－x=α。
题型三　全等三角形的判定与性质
【典例3】 (1)如图1，AD⊥DE，BE⊥DE，点C在线段DE上，AC=BC且AC⊥BC，求证：△ADC≌△CEB。
(2)如图2，点D，C，E在直线l上，点A，B在l的同侧，AC⊥BC。若AD=AC=BC=BE=5 cm，CD=6 cm，求CE的长。
典例3图
解：(1)∵AD⊥DE，BE⊥DE，AC⊥BC，
∴∠D=∠E=90°，∠ACB=90°，
∴∠ACD＋∠BCE=180°－∠ACB=90°，
∠ACD＋∠A=180°－∠D=90°，
∴∠A=∠BCE。
在△ADC和△CEB中，
∵
∴△ADC≌△CEB(AAS)。
(2)如答图，过点A作AG⊥CD于点G，过点B作BH⊥CE于点H。
典例3答图
∵AD=AC，AG⊥CD，
∴CG=CD=3 cm。
在Rt△ACG中，由勾股定理，得AG==4 cm。
同(1)，得△ACG≌△CBH，
∴CH=AG=4 cm。
∵BC=BE，BH⊥CE，
∴CE=2CH=8 cm。
【点悟】 证明线段或角相等的一般步骤：(1)观察待证线段或角(或通过等量代换得到的线段或角)在哪两个可能全等的三角形中，当待证线段或角不分布在两个全等的三角形中时，常常添加辅助线构造全等三角形；(2)分析需要证明全等的两个三角形，确定已知什么条件(包括图形中的隐含条件)，缺失什么条件；(3)设法推导出所缺失的条件；(4)整理书写证明过程。
【变式3】 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D在边AC上，AE⊥BD交BD的延长线于点E。
(1)若AD是△BAE的角平分线，说明∠ABD与∠CBD的数量关系。
(2)若点D同时在AB的垂直平分线上，求证：CD=DE。
(3)若AC=BC，BD是∠ABC的平分线，直接写出AE与BD的数量关系。
变式3图
解：(1)∵AD是△BAE的角平分线，
∴∠BAD=∠DAE。
∵∠ACB=90°，AE⊥BD，∠BDC=∠ADE，
∴∠CBD=∠DAE=∠BAD。
∵∠ACB=90°，
∴∠ABD＋∠BAD＋∠CBD=90°，
∴∠ABD＋2∠CBD=90°。
(2)∵点D同时在AB的垂直平分线上，
∴DB=DA。
在△BDC和△ADE中，
∵
∴△BDC≌△ADE(AAS)，
∴CD=DE。
(3)BD=2AE。理由如下：
在△BCD和△ACF中，
∵
∴△BCD≌△ADF(ASA)，
∴BD=AF。
∵BD是∠ABC的平分线，∴∠ABE=∠FBE。
在△ABE和△FBE中，
∵
∴△ABE≌△FBE(ASA)，
∴AF=2AE，
∴BD=2AE。
题型四　角平分线与线段垂直平分线的性质
【典例4】 如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，有下列结论：①CD=ED；②AC＋BE=AB；③∠BDE=∠BAD；④DA平分∠CDE。其中正确的是(　C　)
典例4图
A.①③ B.②④
C.①②④ D.①②③④
【解析】 ∵∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB，
∴CD=ED，①正确。
在Rt△ACD和Rt△AED中，
∵
∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL)，
∴AC=AE，∠ADC=∠ADE，
∴AC＋BE=AE＋BE=AB，DA平分∠CDE，②④正确。
∵∠B＋∠BAC=180°－∠C=90°，∠B＋∠BDE=180°－∠BED=90°，
∴∠BDE=∠BAC＞∠BAD，③不正确。
综上所述，正确的是①②④。
【点悟】 由角平分线与线段垂直平分线的性质可以得到线段相等，再结合三角形全等可证明有关结论。
【变式4】 本学期我们学习了三角形与特殊三角形的相关知识，老师设计了“研数学——三角形篇”项目作业：如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，请回答下列问题：
(1)求线段AB的长。
(2)用尺规作图得到的直线m交BC边于点P，连结AP，通过作图痕迹求出△APC的面积。
变式4图
解：(1)在△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，
∴AB==10。
(2)由作图痕迹知直线m是AB的垂直平分线，
∴PA=PB。
设AP=BP=x，则PC=BC－BP=8－x。
在Rt△APC中，AP2=AC2＋PC2，
∴x2=(8－x)2＋62，
解得x=，
∴PC=8，
∴△APC的面积为AC·PC=×6×。
题型五　全等三角形的探究问题
【典例5】 【探究发现】(1)如图1，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D为BC的中点，E，F分别是边AC，AB上的两点。若∠EDF=90°，∠BDF=40°，则
①∠ADE的度数为　40　°。
②线段AE，AF，AB之间满足的数量关系为　AB=AF＋AE　。
典例5图1
【应用类比】
(2)如图2，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，D为BC的中点，E，F分别是边AC，AB上的两点。若满足∠EDF=60°，试探究线段AE，AF，AB之间的数量关系，并说明理由。
典例5图2
【拓展延伸】(3)如图3，在△ABC中，AB=AC=8，∠BAC=120°，D为BC的中点，E，F分别是直线AC，AB上的两点。若满足CE=3，∠EDF=60°，求AF的长。
典例5图3
解：(1)①∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠B=∠C=45°。
∵D为BC的中点，
∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD=45°，AD=BD=CD，
∴∠ADB=∠ADF＋∠BDF=90°。
又∵∠EDF=∠ADE＋∠ADF=90°，
∴∠BDF=∠ADE=40°。
②在△BDF和△ADE中，
∵
∴△BDF≌△ADE(ASA)，
∴BF=AE，
∴AB=AF＋BF=AF＋AE。
(2)AE＋AF=AB。理由如下：
取AB中点G，连结DG，如答图1。
典例5答图1
∵AB=AC，D为BC的中点，∴AD⊥BC。
∵G是△ADB斜边的中点，
∴DG=AG=BG=AB。
∵AB=AC，∠BAC=120°，D为BC的中点，
∴∠BAD=∠CAD=60°，
∴∠GDA=∠BAD=60°，即∠GDF＋∠FDA=60°。
又∵∠FDA＋∠ADE=∠FDE=60°，
∴∠GDF=∠ADE。
∵DG=AG，∠BAD=60°，
∴△ADG为等边三角形，
∴∠AGD=∠CAD=60°，GD=AD，
∴△GDF≌△ADE(ASA)，
∴GF=AE，
∴AG=AB=AF＋FG=AE＋AF，
即AE＋AF=AB。
(3)当点E在线段AC上时，如答图2，取AC的中点H，连结DH。
典例5答图2
当AB=AC=8，CE=3，∠EDF=60°时，
AE=5，此时点F在BA的延长线上。
同(2)可得，△ADF≌△HDE(ASA)，
∴AF=HE。
∵AH=CH=AC=4，CE=3，
∴AF=HE=CH－CE=4－3=1；
当点E在AC的延长线上时，如答图3。
典例5答图3
同理可得，AF=HE=CH＋CE=4＋3=7。
综上所述，AF的长为1或7。
1.下列长度的三条线段，能组成三角形的是(　D　)
A.2，2，4 B.5，6，12
C.5，7，2 D.8，8，1
2.在△ABC和△A'B'C'中，∠A=∠A'，AB=A'B'，下列判断中，错误的是(　B　)
A.若添加条件AC=A'C'，则△ABC≌△A'B'C'
B.若添加条件BC=B'C'，则△ABC≌△A'B'C'
C.若添加条件∠B=∠B'，则△ABC≌△A'B'C'
D.若添加条件∠C=∠C'，则△ABC≌△A'B'C'
3.如图，AB∥CD，∠A=70°，∠C=40°，则∠E的度数为(　A　)
A.30° B.40° C.60° D.70°
4.将一副三角尺按如图所示的方式放置，则∠AOD的度数为(　C　)
A.75° B.100° C.105° D.120°
5.如图，在四边形ABCD中，E是BC的中点，连结AC，AE。若AB=AC，AE=CD，AD=CE，则图中的全等三角形有(　D　)
A.0对 B.1对 C.2对 D.3对
6.如图，分别以线段AB的两端点A，B为圆心，大于AB长为半径画弧，在线段AB的两侧分别相交于点E，F，作直线EF交AB于点O。在直线EF上任取一点P(不与点O重合)，连结PA，PB，给出下列结论：①PA=PB；②OA=OB；③OP=OF；④PO⊥AB。其中一定成立的是(　C　)
A.①② B.①②③ C.①②④ D.③④
7.如图，AB=AE，AB∥DE，请再添加一个条件：　AC=ED(答案不唯一)　，使△ABC≌△EAD。
第7题图
8.小明将如下题目整理到自己的错题本中，题目为“如图，点C，E，F，B在同一条直线上，AE∥DF，且BF=CE，∠A=∠D，求证：AB=CD。”请你帮他补充题目的解答过程。
题目来源 教材1.5例5变式 图形呈现
关键已知 ①AE∥DF ②BF=CE ③∠A=∠D 第8题图
解题过程
证明：∵BF=CE，
∴BF＋EF=CE＋EF，
∴BE=CF。
∵AE∥DF，
∴∠AEB=∠DFC。
在△ABE和△DCF中，
∵
∴△ABE≌△DCF(AAS)，
∴AB=CD。
9.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D是线段BC上一点(不与点B，C重合)，以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连结CE。
(1)△ABD与△ACE全等吗？请说明理由。
(2)求∠BCE的度数。
第9题图
解：(1)△ABD≌△ACE。理由如下：
∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC－∠DAC=∠DAE－∠DAC，
即∠BAD=∠CAE。
在△ABD与△ACE中，
∵
∴△ABD≌△ACE(SAS)。
(2)∵△ABD≌△ACE，
∴∠B=∠ACE，
∴∠B＋∠ACB=∠ACE＋∠ACB=∠BCE。
∵∠BAC=90°，
∴∠B＋∠ACB=90°，
∴∠BCE=90°。
10.已知a，b，c是△ABC的三边长，化简|a＋b－c|－|c－a－b|的结果是(　D　)
A.2a＋2b－2c B.2a＋2b
C.2c D.0
【解析】 ∵a，b，c是△ABC的三边长，∴a＋b－c＞0，c－a－b＜0，
∴|a＋b－c|－|c－a－b|=a＋b－c＋c－a－b=0。
11.求证：如果两个三角形有两条边和其中一条边上的中线对应相等，那么这两个三角形全等(要求：先写出已知和求证，然后画出图形，再结合图形用数学符号表示已知和求证，最后再证明)。
解：如答图，已知：在△ABC和△DEF中，AB=DE，BC=EF，AM是△ABC的中线，DN是△DEF的中线，AM=DN。
求证：△ABC≌△DEF。
第11题答图
证明：∵BC=EF，AM是△ABC的中线，DN是△DEF的中线，
∴BM=EN。
在△ABM和△DEN中，
∵
∴△ABM≌△DEN(SSS)，
∴∠B=∠E。
在△ABC和△DEF中，
∵
∴△ABC≌△DEF(SAS)。
12.如图1，在Rt△ABC中，AC=BC=4，∠ACB=90°，E是线段CB上一点(不与点C重合)，过点E作EM⊥BC交AB于点M，D是CA延长线上一点，连结DE交AB于点F，AD=BE。
(1)求证：DF=EF。
(2)如图2，过点F作GF⊥DE，交AC于点G，若CG=GF。
①证明：∠D=30°。
②求EB的长(结果不化简)。
　　
第12题图
解：(1)∵EM⊥BC，
∴∠BEM=90°。
∵∠ACB=90°，
∴∠ACB=∠BEM，
∴CD∥EM，
∴∠FME=∠DAF，∠D=∠FEM。
∵AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠B=45°，
∴△BEM是等腰直角三角形，
∴EM=EB。
∵AD=BE，
∴AD=EM，
∴△ADF≌△MEF(ASA)，
∴DF=EF。
(2)①如答图，连结EG。
第12题答图
∵GF⊥DE，
∴∠GFE=90°=∠C。
∵CG=GF，EG=EG，
∴Rt△ECG≌Rt△EFG(HL)，
∴∠CEG=∠FEG，CE=EF=DF。
又∵FG⊥DE，
∴GF是DE的垂直平分线，
∴DG=GE，
∴∠D=∠DEG=∠CEG。
∵∠D＋∠CED=90°，
∴∠D=30°。
②设CG=x，则FG=x，DG=2FG=2x，
∴DF=EF=x=CE。
∵AC=BC=4，
∴AD=BE=3x－4。
∵BC=4，
∴x＋3x－4=4，
∴x=，
∴EB=3x－4=4。
13.综合与实践
【建立模型】
(1)如图1，△ABC为等边三角形，点D在BC的延长线上，在BD的同侧以CD为边构造等边三角形CDE，连结BE，AD相交于点F。求证：BE=AD，并直接写出∠AFB的度数。
【应用模型】
(2)①如图2，在△ABC中，AD平分∠BAC，且AD=AC，点E在AD的延长线上，且AB=AE，连结BE，CE，求证：BE=CE。
②如图3，△ABC和△ADE都是等腰三角形，∠BAC=∠DAE=90°，点C恰好在ED的延长线上，连结BD，若AB=4，AE=2，求△BDC的面积。
　　　　
第13题图
解：(1)如答图1，令AC，BE的交点为O。
第13题答图1
∵△ABC和△CDE是等边三角形，
∴AC=BC，∠DCE=∠ACB=60°，CD=CE，
∴∠BCE=∠ACD，
∴△BCE≌△ACD(SAS)，
∴∠CBE=∠CAD，BE=AD。
∵∠BOC=∠AOF，
∴∠AFB=∠ACB=60°。
(2)①∵AD平分∠BAC，
∴∠BAE=∠CAE。
又∵AB=AE，AD=AC，
∴△ABD≌△AEC(SAS)，
∴BD=CE。
∵AB=AE，AD=AC，∠BAE=∠CAE，
∴∠ABE=∠AEB=∠ADC=∠ACD。
∵∠ADC=∠BDE，
∴∠BDE=∠BED，
∴BD=BE，
∴BE=CE。
②如答图2，设CD=x，令AC，BD的交点为O。
第13题答图2
∵△ADE是等腰三角形，∠DAE=90°，AE=2，
∴DE==2。
同①得，△ABD≌△ACE，
∴BD=CE=2＋x，∠ABO=∠ACE。
∵∠AOB=∠COD，
∴∠CDO=∠BAO=90°，
∴BD2＋CD2=BC2，
∴(2＋x)2＋x2=42＋42，
x2＋x=6，
∴S△BDC=·BD·CD
=x(2＋x)=x2＋x=6。

展开更多......

收起↑