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专题2　特殊三角形
　　　　　　 　　　　　　　　　　　　
题型一　轴对称及轴对称图形
【典例1】 下列表示天气的标志中，属于轴对称图形的是(　A　)
A B C D
【点悟】 判断一个图形是否属于轴对称图形的主要依据是轴对称图形的定义，即将图形沿着某条直线折叠，看直线两旁的部分是否能够完全重合，能够完全重合的就是轴对称图形，否则就不是。
【变式1】 将一张正方形纸片按如图所示的步骤①，②沿虚线对折两次，然后沿③中平行于底边的虚线剪去一个角，展开铺平后的图形是(　A　)
变式1图
　 A　　 　　B　　　　 C　　 　 　D
题型二　等腰三角形的性质与判定
【典例2】 如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC边上(不与点A，C重合)，连结BD，BD=AB。
(1)设∠C=α，∠ABD=β。
①当α=50°时，求β。
②请求出β与α的之间数量关系。
(2)若AB=5，BC=6，求AD的长。
典例2图
解：(1)①∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C=50°，
∴∠A=180°－∠ABC－∠C=80°。
∵BD=AB，
∴∠BDA=∠A=80°，
∴β=180°－∠A－∠BDA=20°。
②∵AB=BD，
∴∠A=∠ADB，
∴β=180°－2∠A。
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C=α，
∴∠A=180°－2∠C=180°－2α，
∴β=180°－2(180°－2α)=4α－180°，
即β=4α－180°。
(2)如答图，过点B作BN⊥AC于点N，则AD=2AN。
典例2答图
设AN=x，则CN=5－x。
∵BN2=AB2－AN2=BC2－CN2，
∴25－x2=36－(5－x)2，
∴x=，
∴AD=2AN=。
【点悟】 在求等腰三角形中角的度数或边的长度时，要熟练掌握等腰三角形的底角相等与三线合一的性质。在求一条线段长度的时候，如果暂时没有办法直接求出，那么先求出它的一半是常用的方法。比如在等腰三角形中求底边，可以通过作垂线，将底边分为相等的两部分，再通过勾股定理求出其一。
【变式2】 如图，在锐角三角形ABC中，E是AB边上一点，BE=CE，AD⊥BC于点D，AD与EC相交于点G。
(1)求证：EA=EG。
(2)若BE=10，CD=3，G为CE的中点，求AG的长。
变式2图
解：(1)∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∴∠B＋∠BAD=90°，∠DCG＋∠DGC=90°。
∵EB=EC，∴∠B=∠DCG，
∴∠BAD=∠DGC。
又∵∠AGE=∠DGC，
∴∠BAD=∠AGE，∴EA=EG。
(2)如答图，过点E作EF⊥AG，垂足为F，则∠EFG=90°。
变式2答图
∵EA=EG，EF⊥AG，
∴AG=2FG。
∵G为CE的中点，
∴EG=GC=EC。
又∵EB=EC=10，
∴GC=EG=5。
∵∠EFG=∠CDG=90°，∠EGF=∠CGD，
∴△EFG≌△CDG(AAS)，
∴FG=DG。
在Rt△CDG中，CD=3，
∴DG==4，
∴FG=DG=4，
∴AG=2FG=8。
题型三　等边三角形的性质与判定
【典例3】 如图，已知△ABC和△BDE都是等边三角形，其中点E在BC边上，连结AE，CD，求证：AE=CD。
　典例3图
证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=CB，∠ABE=60°。
∵△BDE是等边三角形，
∴BE=BD，∠CBD=60°，
∴∠ABE=∠CBD。
在△ABE和△CBD中，
∵
∴△ABE≌△CBD(SAS)，
∴AE=CD。
【点悟】 等边三角形不仅有“三条边都相等”和“三个内角都为60°”的性质，还拥有等腰三角形的所有性质。
【变式3】 如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，BD平分∠ABC，P，Q分别为边BD，BC上一点，且BP=CQ，若AP＋AQ的最小值为5，则AB的长为　5　。
变式3图
【解析】 如答图，作CE∥BD，使得CE=AB，连结EQ，
变式3答图
则∠CBD=∠ECQ。
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
∴∠ABP=∠ECQ。
在△ABP和△ECQ中，
∵
∴△ABP≌△ECQ(SAS)，
∴AP=EQ，
∴AP＋AQ=EQ＋AQ，
∴当A，Q，E三点共线时，AP＋AQ的最小值等于AE的长。
又∵AP＋AQ的最小值为5，
∴AE的长为5。
∵∠BAC=100°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=40°，
∴∠ECQ=∠CBD=∠ABC=20°。
∵CE=AB=AC，∠ACE=40°＋20°=60°，
∴△ACE是等边三角形，
∴AC=AE=5，
∴AB=5。
题型四　直角三角形与勾股定理
【典例4】 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，BE⊥CD，交CD的延长线于点E。若AC=3，BC=4，则BE的长为 　。
典例4图
【解析】 ∵∠ACB=90°，
∴AB==5。
又∵D是AB的中点，
∴CD=AB=，S△ABC=2S△BCD，
即BC·AC=2×CD·BE，
∴BE=。
【点悟】 勾股定理的作用是已知直角三角形的任意两边长，求第三边的长，我们要会灵活运用勾股定理的不同形式求解。在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，勾股定理的不同形式有：　
(1)c2=a2＋b2，a2=c2－b2，b2=c2－a2。
(2)c=，a=，b=。
【变式4－1】 如图，在四边形ABCD中，∠A=60°，∠B=∠D=90°，BC=3，CD=6，则AB的长为 　。
变式4－1图
【解析】 如答图，延长AD，BC，两者相交于点E。
变式4－1答图
∵∠A=60°，∠B=90°，
∴∠E=180°－∠A－∠B=30°，
∴AE=2AB。
易知∠CDE=90°，∴CE=2CD=12，
∴BE=BC＋CE=15。
易知AB2＋BE2=AE2，
∴AB2＋225=(2AB)2，
∴AB=。
【变式4－2】 如图，每个小正方形的边长都为1，每个小正方形的顶点叫格点，点A，B，C，D分别在格点上。[提示：=a(a＞0)]
(1)求四边形ABCD的周长及面积。
(2)求∠ABC的度数。
(3)画出点C到线段AD的垂线段CE，并求出CE的长。
变式4－2图
解：(1)由勾股定理可得，AB=，BC==2，CD==5，AD==2，
∴四边形ABCD的周长=AB＋BC＋CD＋AD=5＋5，
四边形ABCD的面积=×5×2＋×5×4=15。
(2)∵AB2=12＋22=5，BC2=42＋22=20，AC=5，
∴AB2＋BC2=AC2，
∴△ABC是直角三角形，∠ABC=90°。
(3)如答图，CE即为所求。
变式4－2答图
∵CD=AC=5，ED=AD=，
∴CE⊥AD，
∴CE==2。
题型五　直角三角形全等的判定
【典例5】 如图，将长方形纸片ABCD折叠，使点C与点A重合，折痕分别与AB，DC相交于点E，F。
(1)求证：△ADF≌△AB'E。
(2)若AD=12，DC=18，求△AEF的面积。
　典例5图
解：(1)∵四边形ABCD是长方形，
∴∠D=∠C=90°，AD=CB，AB∥CD，
∴∠CFE=∠AEF。
由折叠的性质，得∠B'=∠B=90°，AB'=CB，∠CFE=∠AFE，
∴AD=AB'，∠AFE=∠AEF，
∴AF=AE。
在Rt△ADF和Rt△AB'E中，
∵
∴△ADF≌△AB'E(HL)。
(2)由折叠的性质，得AF=CF。
设AF=CF=x，则DF=DC－CF=18－x。
在Rt△ADF中，∵AD2＋DF2=AF2，
∴122＋(18－x)2=x2，
解得x=13，即AF=13。
∵△ADF≌△AB'E，
∴AE=AF=13，
∴S△AEF=AE·AD=78。
【变式5】 如图，在△ABC中，AD是高线，在线段DC上取一点E，使AE=AB。已知AB＋BD=DC。求证：
(1)△ABD≌△AED。
(2)点E在线段AC的垂直平分线上。
变式5图
证明：(1)∵AD是高线，
∴AD⊥BC。
又∵AB=AE，AD=AD，
∴Rt△ABD≌Rt△AED(HL)。
(2)由(1)易得BD=ED，
∴AB＋BD=AE＋ED。
又∵AB＋BD=DC，∴DC=AE＋ED，
即ED＋EC=AE＋ED，∴EC=AE，
∴点E在线段AC的垂直平分线上。
1.将一张平行四边形纸片ABCD折叠成如图所示的图形，DE为折痕，点C的对应点为C'。若∠1=20°，∠2=60°，则∠C的度数为(　D　)
第1题图
A.60° B.50° C.45° D.40°
【解析】 由折叠得∠CED=∠2，∠C=∠C'。
在 ABCD中，AD∥BC，
∴∠ADE=∠CED=∠2，
∴∠C'DE=∠1＋∠2=80°，
∴∠C=∠C'=180°－∠C'DE－∠2=180°－80°－60°=40°。
2.如图，在△ABC中，∠B=50°，CD⊥AB于点D，F为边AC的中点，CD=CF，则∠ACB的度数为(　B　)
第2题图
A.90° B.100° C.110° D.120°
【解析】 ∵CD⊥AB，F为边AC的中点，
∴AC=2CF。
又∵CD=CF，∴AC=2CD，
∴∠A=30°，
∴∠ACD=90°－∠A=60°。
易知∠DCB=90°－∠B=40°，
∴∠ACB=∠ACD＋∠DCB=100°。
3.如图，在△ABE中，BA=BE，F为AE的中点。若∠ABC=34°，∠C=50°，则∠ADB的度数为　67　°。
第3题图
4.为了比较＋1与的大小，可以构造如图所示的图形进行推算，其中∠C=90°，BC=3，点D在边BC上，且BD=AC=1。通过计算可得，＋1　＞ (填“＞”“＜”或“=”)。
第4题图
【解析】 ∵∠C=90°，BC=3，BD=AC=1，
∴CD=BC－BD=2，
AB=，
∴AD=，
∴BD＋AD=＋1。
又∵在△ABD中，AD＋BD＞AB，
∴＋1＞。
5.如图，△ABC为等边三角形，边长为6，AD⊥BC，垂足为D，E，F分别是线段AD和AB上的两个动点，连结CE，EF，则CE＋EF的最小值为 　。
第5题图
【解析】 如答图1，连结CF。根据两点之间线段最短，可得CE＋EF≥CF。又根据垂线段最短可得，当CF⊥AB时，CF有最小值，此时CF与AD的交点即为点E，如答图2。
第5题答图
在Rt△AFC中，
∵AC=6，∠AFC=90°，∠FAC=60°，
∴∠ACF=30°，
∴AF=AC=3，
∴FC=，
∴CE＋EF的最小值为。
6.如图1，在3×3的网格中，△ABC三个顶点均在小方格的顶点上，这样的三角形叫作格点三角形。图1中画出了一个格点三角形(阴影部分)，它与原△ABC关于某条直线成轴对称。请再在图2、图3、图4中，各画一个和原三角形成轴对称的格点三角形，并将所画的格点三角形涂上阴影(不能重复)。
　　　
第6题图
解：如答图(答案不唯一)。
图1 图2 图3
第6题答图
7.如图，∠ACB=90°，AC=AD，过点D作DE⊥AB，垂足为D，交BC于点E。求证：△CDE是等腰三角形。
第7题图
证明：∵DE⊥AB，∴∠ADE=90°。
又∵∠ACB=90°，
∴∠ADE=∠ACB。
∵AC=AD，
∴∠ACD=∠ADC，
∴∠ACB－∠ACD=∠ADE－∠ADC，即∠ECD=∠EDC，
∴△CDE是等腰三角形。
8.如图，在△ABC中，AD是边BC上的高线，CE是边AB上的中线，DG⊥CE于点G，CD=AE。
(1)求证：CG=EG。
(2)已知BC=13，CD=5，求△CDG的面积。
第8题图 第8题答图
解：(1)如答图，连结DE。
在Rt△ADB中，E是AB的中点，
∴DE=AB=AE。
又∵CD=AE，∴DE=DC。
又∵DG⊥CE，∴CG=EG。
(2)如答图，过点E作EF⊥BC于点F。
∵BC=13，CD=5，
∴BD=BC－CD=8，DE=CD=5。
∵DE=BE，EF⊥BC，
∴DF=BF=BD=4，
∴EF==3，
∴S△DEC=CD·EF=，
∴S△CDG=S△CDE=。
9.如图1，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是一个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”。在此图形中，连结四条线段得到如图2所示的图案，记阴影部分的面积为S1，空白部分的面积为S2，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n。若S1=S2，则的值为 　。
第9题图
【解析】 设图1中三角形较短的直角边长为x，则较长的直角边长为x＋n。
由题意，得S1=2nx＋n2，S2=2x2，
∴
∴m2=2x2＋2x2=4x2，
∴m=2x(负值舍去)，
4x2=2nx＋n2＋2x2=x2＋(x＋n)2，
∴(x＋n)2=3x2，
∴x＋n=x(负值舍去)，
∴n=(1)x，
∴。
10.如图，在Rt△ABC和Rt△DEC中，∠ACB=∠CDE=90°，点A在CE上，BA的延长线恰好经过点D，AE=DE。
(1)若∠B=30°，判断△ADE的形状并说明理由。
(2)已知AC=5，设DE=x，BC2=y。
①求y关于x的函数关系式。
②若AB－AD=6，求线段AE的长。
第10题图 第10题答图
解：(1)△ADE是等边三角形。理由如下：
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，
∴∠BAC=60°，
∴∠DAE=∠BAC=60°。
又∵AE=DE，
∴△ADE是等边三角形。
(2)①在Rt△ABC和Rt△DEC中，∠ACB=∠CDE=90°，
∴∠EDA＋∠CDA=90°，∠BAC＋∠B=90°。
∵AE=DE，
∴∠EDA=∠EAD。
又∵∠EAD=∠BAC，
∴∠EDA=∠EAD=∠BAC，
∴∠CDA=∠B，
∴△BCD是等腰三角形，
∴y=BC2=CD2=CE2－DE2=(x＋5)2－x2=10x＋25。
②如答图，过点C作CH⊥BD于点H。
∵BC=CD，
∴BH=DH，
∴AB－AD=BH＋AH－(DH－AH)=2AH=6，
∴AH=3。
又∵AC=5，
∴CH==4。
设BH=a，
在Rt△BCH中，由勾股定理得，BC2=BH2＋CH2=a2＋42，
在Rt△ABC中，由勾股定理得，BC2=AB2－AC2=(a＋3)2－52，
∴a2＋42=(a＋3)2－52，
解得a=，
∴BC2=10x＋25=＋42，
解得x=，
∴AE=DE=。
11.我们规定：在任意△ABC中，在线段BC上取P，Q两点(BP＜BQ)，使得∠BAP=∠CAQ，则称线段AP，AQ为△ABC的等角线，如图1。
(1)如图2，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，点P，Q分别在线段BD，CD上(不与端点重合)，连结AP，AQ，则点D到线段AP，AQ的距离相等，判断线段AP，AQ是否为△ABC的等角线，并说明理由。
(2)如图3，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，线段AP，AQ是△ABC的等角线，且∠PAQ=45°，若PB=，求PQ的长。
第11题图
解：(1)线段AP，AQ是△ABC的等角线。理由如下：
∵点D到线段AP，AQ的距离相等，
∴∠DAP=∠DAQ。
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠DAB=∠DAC，
∴∠PAB=∠QAC，
即线段AP，AQ是△ABC的等角线。
(2)如答图，将△APB围绕点A旋转到△AP'C的位置，则BP=CP'，AP=AP'，∠ACP'=∠B，∠PAB=∠P'AC，设∠PAB=∠QAC=α。
第11题答图
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ACP'=∠B=∠ACQ=45°，AP=AP'，
∴∠QCP'=45°＋45°=90°。
∵∠ACP'=∠ACQ，∠QAC=∠PAB=∠P'AC=α，AC=AC，
∴△CAQ≌△CAP'(ASA)，
∴CQ=CP'，即△CP'Q为等腰直角三角形，
∴P'Q=CP'=PB=2。
∵∠PAQ=90°－2α=45°，
∴2α=45°，
∴∠PAQ=2α=45°，
∴∠PAQ=∠P'AQ。
又∵AP=AP'，AQ=AQ，
∴△AQP≌△AQP'(SAS)，
则PQ=P'Q=2。专题2　特殊三角形
　　　　　　 　　　　　　　　　　　　
题型一　轴对称及轴对称图形
【典例1】 下列表示天气的标志中，属于轴对称图形的是( )
A B C D
【点悟】 判断一个图形是否属于轴对称图形的主要依据是轴对称图形的定义，即将图形沿着某条直线折叠，看直线两旁的部分是否能够完全重合，能够完全重合的就是轴对称图形，否则就不是。
【变式1】 将一张正方形纸片按如图所示的步骤①，②沿虚线对折两次，然后沿③中平行于底边的虚线剪去一个角，展开铺平后的图形是( )
变式1图
　 A　　 　　B　　　　 C　　 　 　D
题型二　等腰三角形的性质与判定
【典例2】 如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC边上(不与点A，C重合)，连结BD，BD=AB。
(1)设∠C=α，∠ABD=β。
①当α=50°时，求β。
②请求出β与α的之间数量关系。
(2)若AB=5，BC=6，求AD的长。
典例2图
【变式2】 如图，在锐角三角形ABC中，E是AB边上一点，BE=CE，AD⊥BC于点D，AD与EC相交于点G。
(1)求证：EA=EG。
(2)若BE=10，CD=3，G为CE的中点，求AG的长。
变式2图
题型三　等边三角形的性质与判定
【典例3】 如图，已知△ABC和△BDE都是等边三角形，其中点E在BC边上，连结AE，CD，求证：AE=CD。
　典例3图
【变式3】 如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，BD平分∠ABC，P，Q分别为边BD，BC上一点，且BP=CQ，若AP＋AQ的最小值为5，则AB的长为　　。
变式3图
题型四　直角三角形与勾股定理
【典例4】 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，BE⊥CD，交CD的延长线于点E。若AC=3，BC=4，则BE的长为 　。
典例4图
【变式4－1】 如图，在四边形ABCD中，∠A=60°，∠B=∠D=90°，BC=3，CD=6，则AB的长为 　。
变式4－1图
【变式4－2】 如图，每个小正方形的边长都为1，每个小正方形的顶点叫格点，点A，B，C，D分别在格点上。[提示：=a(a＞0)]
(1)求四边形ABCD的周长及面积。
(2)求∠ABC的度数。
(3)画出点C到线段AD的垂线段CE，并求出CE的长。
变式4－2图
题型五　直角三角形全等的判定
【典例5】 如图，将长方形纸片ABCD折叠，使点C与点A重合，折痕分别与AB，DC相交于点E，F。
(1)求证：△ADF≌△AB'E。
(2)若AD=12，DC=18，求△AEF的面积。
　典例5图
【变式5】 如图，在△ABC中，AD是高线，在线段DC上取一点E，使AE=AB。已知AB＋BD=DC。求证：
(1)△ABD≌△AED。
(2)点E在线段AC的垂直平分线上。
变式5图
1.将一张平行四边形纸片ABCD折叠成如图所示的图形，DE为折痕，点C的对应点为C'。若∠1=20°，∠2=60°，则∠C的度数为( )
第1题图
A.60° B.50° C.45° D.40°
2.如图，在△ABC中，∠B=50°，CD⊥AB于点D，F为边AC的中点，CD=CF，则∠ACB的度数为( )
第2题图
A.90° B.100° C.110° D.120°
3.如图，在△ABE中，BA=BE，F为AE的中点。若∠ABC=34°，∠C=50°，则∠ADB的度数为　　°。
第3题图
4.为了比较＋1与的大小，可以构造如图所示的图形进行推算，其中∠C=90°，BC=3，点D在边BC上，且BD=AC=1。通过计算可得，＋1　＞ (填“＞”“＜”或“=”)。
第4题图
5.如图，△ABC为等边三角形，边长为6，AD⊥BC，垂足为D，E，F分别是线段AD和AB上的两个动点，连结CE，EF，则CE＋EF的最小值为 　。
第5题图
6.如图1，在3×3的网格中，△ABC三个顶点均在小方格的顶点上，这样的三角形叫作格点三角形。图1中画出了一个格点三角形(阴影部分)，它与原△ABC关于某条直线成轴对称。请再在图2、图3、图4中，各画一个和原三角形成轴对称的格点三角形，并将所画的格点三角形涂上阴影(不能重复)。
　　　
第6题图
7.如图，∠ACB=90°，AC=AD，过点D作DE⊥AB，垂足为D，交BC于点E。求证：△CDE是等腰三角形。
第7题图
8.如图，在△ABC中，AD是边BC上的高线，CE是边AB上的中线，DG⊥CE于点G，CD=AE。
(1)求证：CG=EG。
(2)已知BC=13，CD=5，求△CDG的面积。
第8题图
9.如图1，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是一个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”。在此图形中，连结四条线段得到如图2所示的图案，记阴影部分的面积为S1，空白部分的面积为S2，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n。若S1=S2，则的值为 　。
第9题图
10.如图，在Rt△ABC和Rt△DEC中，∠ACB=∠CDE=90°，点A在CE上，BA的延长线恰好经过点D，AE=DE。
(1)若∠B=30°，判断△ADE的形状并说明理由。
(2)已知AC=5，设DE=x，BC2=y。
①求y关于x的函数关系式。
②若AB－AD=6，求线段AE的长。
第10题图
11.我们规定：在任意△ABC中，在线段BC上取P，Q两点(BP＜BQ)，使得∠BAP=∠CAQ，则称线段AP，AQ为△ABC的等角线，如图1。
(1)如图2，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，点P，Q分别在线段BD，CD上(不与端点重合)，连结AP，AQ，则点D到线段AP，AQ的距离相等，判断线段AP，AQ是否为△ABC的等角线，并说明理由。
(2)如图3，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，线段AP，AQ是△ABC的等角线，且∠PAQ=45°，若PB=，求PQ的长。
第11题图

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